prado, c.d. (et al.) - precálculo. enfoque de resolución de problemas (pearson)

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Esta obra ha sido escrita para cubrir las matemáticas uni-versitarias previas al Cálculo, y su objetivo es presentar ydiscutir conceptos que ayuden posteriormente a com-prender las ideas fundamentales del Cálculo Diferenciale Integral.

Con este texto el alumno podrá desarrollar sus habili-dades matemáticas hasta el grado de que puedaplantear estrategias y resolver problemas utilizando lasherramientas básicas que proporciona el texto. Por estonuestra propuesta didáctica se basa en aprendermatemáticas mediante la solución de situaciones realeso simuladas, esto surge como resultado de la experien-cia de los autores en la enseñanza de las matemáticasuniversitarias.

En forma paralela hemos incorporado prácticas deexploración computacional que utilizan el paqueteExcel. Dichas prácticas tienen dos objetivos, el primero esque los conceptos matemáticos se exploren utilizandotecnología y, el segundo, que la herramienta sirva pararesolver problemas más complejos.

Prad

o

Definitiva 12/05/2006 22:29

PrecálculoEnfoque de resolución de problemas

Revisión técnica Leopoldo Zúñiga Silva Doctor en Ciencias en Matemática Educativa Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología, Instituto Politécnico Nacional (CICATA-IPN) Director del Departamento de Físico Matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Ciencias Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus San Luis Potosí

Eudaldo Rubio Güemes Lázaro Barajas de la TorreDirector Académico Director AcadémicoRectoría de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México Rectoría de la Zona Centro Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey

Carlos Daniel Prado Pérez Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Estado de México

Rubén Dario Santiago Acosta Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Estado de México

Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Ciudad de México

Guillermo Rodríguez López Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Guadalajara

Ma. de Lourdes Quezada Batalla Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Estado de México

José Luis Gómez Muñoz Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Estado de México

Blanca Rosa Ruiz Hernández Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Monterrey

Araceli Florido Segoviano Departamento de MatemáticasInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Querétaro

PrecálculoEnfoque de resolución de problemas

Editor: Enrique Quintanar Duartee-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Felipe Hernández CarrascoSupervisor de producción: Rodrigo Romero VillalobosDiseño de interiores y portada: Kariza, S. A. de C.V.

PRIMERA EDICIÓN, 2006

D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5º PisoIndustrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

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ISBN 970-26-0671-3

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 08 07 06 05

Datos de catalogación bibliográfica

PRADO, SANTIAGO, AGUILAR, RODRÍGUEZ, QUEZADA, GÓMEZ, RUIZ y FLORIDO

Precálculo. Enfoque de resolución de problemas

��PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006

ISBN: 970-26-0671-3Área: Universitarios

Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 672

Unidad 1. Problemas de conteo (conjuntos) 1

1.1 El lenguaje de conjuntos 2El lenguaje de conjuntos 3Diagramas de Venn 5

1.2 Problemas de conteo 13Cardinalidad de conjuntos 14Probabilidad de eventos 20

Unidad 2. Expresiones algebraicas 29

2.1 Productos notables 30Productos notables o especiales 31

2.2 Factorización 42Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor 43Factorización de trinomios cuadrados perfectos 45Factorización de otros productos notables 47Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c 49

2.3 División de expresiones algebraicas 59División de expresiones algebraicas 60División sintética 64

Contenido

vi Contenido

2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas 72Dominio de una fracción algebraica 73Simplificación de expresiones racionales 74Multiplicación y división de fracciones algebraicas 75

2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 83Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones 84Suma y resta de fracciones 86Fracciones complejas 89

2.6 Exponentes enteros 98Exponentes enteros 99

2.7 Exponentes fraccionarios y radicales 112Radicales 113

2.8 Números complejos 129El conjunto de los números complejos 131Operaciones con números complejos 132

Unidad 3. Ecuaciones 147

3.1 Ecuaciones lineales 148Ecuación lineal 149

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 159Ecuaciones lineales con varias variables 162Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 164Métodos de solución 166Tipos de solución 174Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 177Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

con tres incógnitas 179Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 186

3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 201Ecuaciones cuadráticas 202La fórmula general 203Ecuaciones con radicales 212

3.4 Ecuaciones polinomiales 224Funciones polinomiales 226Resolución y factorización de una ecuación polinomial 227Las posibles raíces de una función polinomial 233

viiContenido

Unidad 4. Desigualdades 251

4.1 Desigualdades 252Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos 253Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades 254Ejemplos sobre intervalos 257Propiedades de las desigualdades 258Ejemplo de la demostración de una propiedad 260Solución de desigualdades 260Resolución de problemas que involucran desigualdades 267

4.2 Valor absoluto 278Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto

de un número real 280Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real 281Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en

la recta numérica real 281Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades 281Algunas propiedades del valor absoluto 283

Unidad 5. Trigonometría 291

5.1 Ángulos 292Ángulos 293Medida en grados y en radianes 295Conversión de grados a radianes y viceversa 298Longitud de un arco circular y el área de un sector circular 302

5.2 Funciones trigonométricas 316Definición de las funciones trigonométricas 317

5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 333Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180° 334Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos 336Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45° 339Identidades de paridad 341

5.4 Identidades fundamentales 351Identidades fundamentales o básicas 354Demostración de otras identidades 357

viii Contenido

Unidad 6. Geometría analítica 371

6.1 Recta 372Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, intersecciones

con los ejes 373Líneas paralelas y líneas perpendiculares 383Gráfica de sistemas de desigualdades lineales 388Distancia de un punto a una recta 392

6.2 Circunferencia 405Ecuaciones de la circunferencia 406Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias

complejas 412

6.3 Parábola 419Parábola 420

6.4 Elipse 432Elipse 433Más sobre elipses 439

6.5 Hipérbola 453Hipérbola 454Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas 457

Unidad 7. Funciones 473

7.1 Conceptos básicos de funciones 474Concepto de función 475Variable dependiente, variable independiente, dominio e imagen

de una función 476Formas de representación para una función 477Efectos geométricos en la gráfica de una función 479

7.2 Modelación 499Planteamiento matemático de relaciones funcionales 500

7.3 La función lineal 512La función lineal 513Crecimiento y decrecimiento 513Modelación de funciones lineales 514

7.4 La función cuadrática 525Análisis de la gráfica de una función cuadrática 526Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática 530

ixContenido

7.5 Funciones que forman parte de una cónica 540Graficación de funciones 541Análisis de crecimiento y decrecimiento 541Modelación de problemas 552Graficación de funciones seccionadas 556Modelación de problemas 559

7.6 Funciones polinomiales 573Funciones potenciales 574Funciones polinomiales 578Máximos y mínimos de funciones polinomiales 585

7.7 Funciones racionales 601Funciones racionales 602

7.8 Funciones trigonométricas 613Funciones trigonométricas 614Otras funciones trigonométricas 623Las funciones trigonométricas inversas 629

El siglo que ahora vivimos se caracteriza, entre diversas cualidades, por cambios queocurren en todos los ámbitos del quehacer humano. El advenimiento de las tecnologíasde información está transformando nuestras vidas de manera inusitada al darnos grandesposibilidades de acceso a información y, sobre todo, de interacción con personas de to-dos los lugares del mundo.

Las computadoras que se desarrollaron inicialmente con finalidades de cómputo sehan transformado adicionalmente en poderosos instrumentos de comunicación, organi-zación y acceso a información, provocando que la rapidez de los cambios se esté acele-rando, por lo que saber hacer frente a esta dinámica situación constituye ahora un factorclave para el éxito en la vida.

Para dar respuesta al creciente cúmulo de información, y lograr transformarla en co-nocimientos que impulsen el desarrollo de la sociedad, se necesita mantenerse al díaaprendiendo por cuenta propia o por otros medios. Lograr este tipo de aprendizaje re-quiere asegurar la existencia de bases fundamentales constituidas por conocimientosesenciales, particularmente los provenientes de los diversos campos de la matemática.

Es, en este contexto, que me complace presentar este libro que tiene como propósitoasegurar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos esenciales para abordar demanera exitosa los diversos dominios de la matemática requeridos en el nivel universi-tario.

El libro ha sido el resultado de la colaboración de profesores entusiastas de diversoscampus del Tecnológico de Monterrey, que basados en su experiencia, incluyeron acti-vidades individuales y de colaboración relacionadas con la vida diaria, que permitiránestimular en los alumnos el desarrollo de cualidades necesarias para desempeñarse conéxito en su futura vida profesional.

Los autores han enfatizado el aprendizaje significativo considerando los diversosestilos de aprendizaje de los estudiantes, con el fin de conducirlos a profundizar en elanálisis del conocimiento y orientarlos a la observación, planteamiento y resolución de

Presentación

xii Presentación

problemas. Adicionalmente se ha aprovechado el uso de tecnologías computacionalesbasadas en hojas de cálculo, para así asegurar la comprensión de los conceptos y apro-vechar aplicaciones computacionales no especializadas, de amplia disponibilidad.

Se trata así de un libro en el que los estudiantes aprenderán a partir del “hacer”, loque a su vez les formará “ser”, dándoles una formación analítica. No se trata solamentede lo que podrán hacer con las matemáticas, sino lo que las matemáticas harán por quie-nes las estudien.

Lázaro Barajas de la TorreDirector Académico

Rectoría de la Zona CentroTecnológico de Monterrey

Prólogo

Distingue lo que puede servir en el problema que estés tratando;más tarde, al resolver otros problemas, intenta descubrir el mo-delo general que subyace en el fondo de la situación concretaque afrontas.

GEORGE POLYA

Escribimos este trabajo pensando en que tú, como estudiante universitario, requieres,además del conocimiento, las habilidades que desarrolla una ciencia tan antigua y útilcomo las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un ba-gaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará, por supuesto, tu gusto porel trabajo y tu deseo, tal vez apenas incipiente, de aprender. Nos gustaría que intentesser de las personas que responden bien a los desafíos y que, además de escuchar, te gus-te participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón, consideramos que,por un juicio preconcebido, no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu for-mación profesional.

El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de ladisciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientementeelaborados, que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención esque desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantearestrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto.Por lo tanto, nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticasmediante la solución de situaciones reales o simuladas, cuyo fundamento es nuestra ex-periencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias, y en las investigaciones quehemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes, así co-mo en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectua-les de alto nivel.

xiv Prólogo

En cada una de las secciones, encontrarás que el texto muestra situaciones que ofre-cen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemaspertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por lahumanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestionesque corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye, porlo tanto, el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender loque aprende”.

La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo.Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente acomprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral.

En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizanel paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos: el primero es que los conceptosmatemáticos se exploren utilizando tecnología, y el segundo, que la herramienta sirvapara resolver problemas más complejos.

También hemos buscado un adecuado equilibrio entre el trabajo individual y el traba-jo en equipos pequeños. Para el primero se proponen actividades rutinarias de soluciónde ejercicios; mientras que para el segundo se sugieren actividades más ambiciosas que,por su complejidad, requieren de un estudio colectivo.

El texto inicia con un capítulo sobre conjuntos. La importancia del tema reside en quebuena parte del saber matemático actual se basa en este concepto. Marcamos el capítulocon el principio de que los símbolos, más que una danza de entes extraños, deben ofre-cer la posibilidad de transitar entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje colo-quial, con la finalidad de que tengan significado para el estudiante.

El capítulo 2 trata de las operaciones básicas del álgebra elemental. Mantenemosnuestra idea fundamental de que el simbolismo matemático es un medio para lograr unfin. En este caso, la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos, sino enconvertir o transformar expresiones de una en otra forma, la que sea más útil, para resol-ver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto, partimos de la idea de que unacompetencia adecuada en matemáticas tendrá que ver con la posibilidad de efectuartransformaciones entre una forma algebraica y otra.

En el capítulo 3 hacemos nuestra la concepción de uno de los científicos más grandesde todos los tiempos; a saber: “El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un proble-ma referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dichoproblema del lenguaje coloquial al idioma algebraico (Newton)”. Por esta razón el capí-tulo 3 se dedica en su totalidad al estudio de las ecuaciones, desde las lineales hasta lasmás elaboradas, como las ecuaciones polinomiales y las que implican radicales.

Las desigualdades también juegan un papel preponderante en las aplicaciones. Porello, el capítulo 4 aborda su estudio partiendo de las definiciones, propiedades y notacio-nes básicas, hasta algunas posibles aplicaciones.

En el capítulo 5 tratamos con la materia prima de los conceptos relacionados con fe-nómenos periódicos y diversas relaciones angulares; es decir, la trigonometría, que en suforma más básica estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rec-tángulo. Sin embargo, las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas quetienen poco o nada que ver con esto, como, por ejemplo, fenómenos periódicos como elsonido, la luz, las ondas eléctricas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planeta-rios. De las aplicaciones mismas se intuye la importancia de este capítulo.

El capítulo 6 está dedicado a un tema en extremo importante: la geometría analítica.Nuevamente tenemos aquí el interés de presentar los conceptos más significativos, sinperder de vista la potencial utilidad de una de las herramientas matemáticas más pode-rosas en la aplicación de diversas áreas.

xvPrólogo

Finalmente, el capítulo 7 se dedica al estudio de las funciones. Tal vez éste sea unode los capítulos más interesantes que componen el libro, a causa de la riqueza de susaplicaciones, que van desde asuntos cotidianos hasta aplicaciones que sorprenden por loinesperado. Cabe indicar que este capítulo, junto con el resto del material, ofrece una ex-celente introducción al cálculo. Discutimos varios modelos que involucran funciones,gráficas y tablas numéricas, de las que conjeturamos métodos que después apareceránrelacionados con el importantísimo concepto de derivada del cálculo diferencial, que nose presenta en este trabajo.

No han sido pocas las dificultades que hemos enfrentado para escribir esta obra; sinembargo, esperamos que lo que aquí encuentres sea novedoso; quizá no tanto en cuantoal desarrollo de la teoría presentada, pero sí en el enfoque de varios de sus temas y en lapresentación de muchos de sus problemas, que se pensaron para darle un alto grado designificancia a los conocimientos.

Unidad

Problemas de conteo (conjuntos)

Contenido de la unidad

1.1 El lenguaje de conjuntos

1.2 Problemas de conteo

Introducción a la unidad

¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar tu país, afectando con sus decisiones tu vida dia-ria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la opinión y las preferencias de la gente. Desdehace varios años, cada elección política viene precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los perió-dicos sobre la “intención de voto” para cada candidato. De hecho, al final de la elección las “encuestas de salida”de los medios de comunicación anuncian al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Sila diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande, los resultados de las encuestas predicen con se-guridad quién es el ganador. Sin embargo, en casos donde la elección es muy cerrada, los resultados de las encues-tas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más famoso es el de la elección presidencial del año 2000 enEstados Unidos, cuando algunos medios de comunicación internacionales, basándose en sus encuestas, informaronerróneamente que el candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situacióndeterioró fuertemente la credibilidad del público internacional, tanto en los medios de comunicación como en laelección misma. Como verás, es muy importante saber qué se puede asegurar y qué no al interpretar los resultadosde una encuesta.

Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven precisamente para organizar e interpretarlos resultados de las encuestas, incluso en términos de probabilidades. De hecho, muchos de los ejercicios de con-juntos comienzan “Se realizó una encuesta en…”. Cabe mencionar que la importancia de la unidad va todavía máslejos, ya que las matemáticas, básicas o avanzadas, tienen su fundamento en la teoría de conjuntos.

2 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)

Es razonable pensar que lo que lees no tiene sentido para ti, en tanto no veas de maneraclara alguna posible utilidad de este lenguaje; por ello, considera la siguiente situación:

Competencia automotriz

A una revista de automovilismo le interesa estudiar la preferencia que la gente dela zona metropolitana tiene sobre las marcas de automóviles disponibles en elmercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford,Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos unauto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 poseen un Ford,900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford yun Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 uno de cada una de las tres mar-cas y el resto alguno de las marcas restantes.

La simple lectura del párrafo anterior en lenguaje coloquial servirá para ver la marañaque se ha formado. La organización de datos y relaciones, en tales términos, no parecetarea sencilla; sin embargo, la teoría de conjuntos te será útil para organizar la maraña,te ayudará a sintetizar su información y, lo que es más importante aún, te facultará parainterpretarla.

1.1 El lenguaje de

conjuntos

Admitámoslo, el estudio de las mate-máticas es una locura divina del espíri-tu humano, un refugio ante la urgenciaaguijoneante de los sucesos apremiantes.

Alfred North Whitehead

Introducciónn

En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. Enmatemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetosque lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto deconjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo co-mún en la cotidianidad. Más aún, el desarrollo moderno de la matemática re-posa sobre el concepto de conjunto, así que si supieras un poco de teoría deconjuntos tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las mate-máticas.


El lenguaje de conjuntos

Igual que ocurre con el estudio de cualquier otro lenguaje, iniciaremos el estudio del len-guaje de las matemáticas estableciendo un vocabulario básico que contiene las palabrasque son esenciales en la construcción de los enunciados propios de nuestra ciencia.

Las matemáticas constituyen un lenguaje exacto, que requiere palabras sencillas, aun-que bien definidas, y la estricta observancia de sus reglas. Una frase en matemáticas de-be transmitir un mensaje exacto a quien la lea. Frases cuyo significado no es claro yaquellas que admiten más de una interpretación no pueden ser toleradas en este lengua-je. El escritor de una frase matemática tiene que saber lo que quiere decir,y estar segurode que la frase expresa el mensaje que desea transmitir. Como regla general, las frasesen matemáticas, breves y sencillas, se expresan por medio de símbolos. Un símbolo enmatemáticas, traducido al lenguaje coloquial, puede requerir muchas palabras. En con-secuencia, una frase matemática sería muy breve en comparación con la frase que ha deconstruirse en otro lenguaje para decir lo mismo. Dentro de esta búsqueda por sintetizarideas, el lenguaje de conjuntos constituye un poderoso recurso.

La siguiente tabla te ofrece un resumen del vocabulario básico de la teoría de conjun-tos; en la tercera columna encontrarás una breve “traducción” de los símbolos al lengua-je coloquial:

Objetivos

Al terminar la sección, serás capaz de “traducir” una expresión que involu-cre conjuntos y sus operaciones al lenguaje común y viceversa.

símbolo traducciónnombre

matemático

U Conjunto universal Colección de números, objetos o ideas “del mismotipo” que abarca la totalidad de elementos en una dis-cusión particular.

x H U Pertenencia Cada número, objeto o idea que comprende U es lla-(léase: x pertenece a U) mado elemento de U. Es costumbre designar a los ele-

mentos con minúsculas.

A Conjunto A es una parte de U determinada por una ley de elegi-bilidad.1 Es costumbre designar a los conjuntos conmayúsculas.

x x A No pertenencia Número, objeto o idea que “no pasa” la ley de elegibi-(léase: x no pertenece a A) lidad que define al conjunto A.

Tabla 1.1 Vocabulario básico del lenguaje de conjuntos


1 La ley de elegibilidad para un conjunto A debe estar definida clara-mente, de tal modo que:

• sea posible examinar a cada elemento de U y decidir si perteneceo no pertenece a A,

• cada elemento de U pertenece al conjunto A o no pertenece a A.

Se usan llaves para colocar los elementos de un conjunto o la ley deelegibilidad del conjunto. Por ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} = {x H N :xes un número par menor que 10}, aquí N = conjunto de todos losnúmeros naturales, o enteros positivos; en el ejemplo, “x es un nú-mero par menor que 10” es la ley de elegibilidad.

2 Cada elemento del conjunto universal debe pertenecer ya sea a A oa su complemento Ac.

3 A B equivale a B ⊃ A, A B; también se lee: A está contenidoen B, mientras que B ⊃ A se lee: B contiene a A.

4 Si A ∩ B = ∅ se dice que A y B son ajenos entre sí. Lo anterior sig-nifica que no tienen elementos en común.

Los siguientes son resultados básicos de la teoría de conjuntos:

⊃⊃

A´ o Ac (léase: A complemento) Complemento Ac es el conjunto de todos los elementos que estando de A en U en U no pasan2 la ley de elegibilidad que define al con-

junto A.

A B (léase: A es un Inclusión de 3Se escribe cuando cada elemento de A pertenecesubconjunto de B) conjuntos también a B.

A = B Igualdad de Cada elemento de A pertenece a B y viceversa.conjuntos

∅ Conjunto vacío Es el único subconjunto de U que carece de elementos.

A ∪ B (léase: A unión B, Unión de conjuntos Este nuevo conjunto se forma con los elementos que o bien, “A o B”) pertenecen a A o a B o a ambos.

A ∩ B (léase: A intersección B, Intersección Este conjunto4 se forma con los elementos que son co-o bien, “A y B”) de conjuntos munes tanto a A como a B.

A − B (léase: A diferencia B, Diferencia Este conjunto consta de los elementos que pertenecen o bien, complemento de B de conjuntos a A, pero no a B.respecto de A)

⊃⊃

1. En toda discusión se tiene que: ∅ (A (U.2. A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B; esto es, A A ∪ B y B

A ∪ B.3. A ∩ B es subconjunto tanto de A como de B, es decir, A ∩ B A y

A ∩ B B.⊃⊃

⊃⊃


Diagramas de Venn

Las ideas de conjunto y subconjunto, así como las operaciones referentes a la combina-ción de ambos pueden ilustrarse gráficamente por medio de los llamados diagramas deVenn (en honor a John Venn, matemático y lógico inglés). En dichos diagramas se repre-senta al conjunto universal U con un rectángulo y se usan regiones encerradas por cur-vas simples (generalmente círculos), dibujadas dentro del rectángulo, para representarlos conjuntos que intervienen. A continuación se muestran representaciones gráficas dealgunas de las operaciones de conjunto que ya fueron descritas.

4. A − B A, además los conjuntos, A − B, A ∩ B y B − A son mutua-mente ajenos, es decir, la intersección de dos cualesquiera de ellos esel conjunto vacío.

5. A ∪ Ac = U, mientras que A ∩ Ac = ∅.6. A − B = A ∩ Bc.7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

a éstas se les conoce como leyes distributivas.8. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; a éstas se les conoce como

leyes de De Morgan.

⊃

Intersección de conjuntos Unión de conjuntos

Conjunto diferencia: B-A

A unión B menos la intersección de A y B

Conjunto diferencia: A-B

Complemento de la unión de A con B

A B

A B A B

A B A B

A B


solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Convierte a lenguaje de conjuntos las siguientes proposiciones textuales:

a) x no pertenece a A.b) B es un conjunto que contiene al conjunto A.c) d es un elemento de A y B.

d) A no es subconjunto de B o C.

a) x x A

b) B ⊃ A

c) d H A ∩ B

d) A X B ∪ C

Ejemplo 2

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {2, 4, 8, 9}, D = {4, 5}, E = {2, 4} y F = {2}. SeaX un conjunto desconocido. Determina cuáles de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser igualesa X si se conoce la siguiente información:1. X A y X B, 2. X X B y X C, 3. X X A y X X C, 4. X B y X X C

1. El único conjunto que es subconjunto de A y de B es D; C, E y F no son subconjuntos de B porque2 H C, E, F, pero 2 x B.

2. El conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues éstos son subconjuntos de C y, como ya se vio, no sonsubconjuntos de B.

3. Sólo B no es subconjunto de A ni de C. D y A son subconjuntos de A; C, E y F son subconjuntos de C.Por lo tanto, X = B.

4. Tanto B como D son subconjuntos de B, pero no son subconjuntos de C. Los demás conjuntos dejan decumplir al menos una de las condiciones. Por lo tanto, X = B o X = D.

Ejemplo 3

Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x2), en donde xi es el resultado del i-ésimodado i = 1, 2. Determina:

a) La colección de todos los resultados que componen al conjunto universo U de esta situación.b) Sea A el conjunto que consta de todas las parejas (x1, x2), tales que la suma de los números de los

dos dados es 10. Escribe al conjunto A usando su ley de elegibilidad, después indica las parejas deresultados de U que lo componen.

⊃⊃⊃⊃


solución

solución

c) Si B es el conjunto que consta de las parejas (x1, x2), tales que el primer dado aparece con un núme-ro mayor que el segundo, describe al conjunto B usando su ley de elegibilidad, después indica lasparejas de U que lo componen.

d) Determina el conjunto que cumple las condiciones en (b) y en (c).e) Encuentra el conjunto que cumple con la condición en (b), pero no en (c).

a) U = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 1),..., (6, 6)}b) A = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}c) B = {(x1, x2) H U :x1 > x2} = {(2, 1), (3, 1), (3, 2),..., (6, 4), (6, 5)}d) A ∩ B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 > x2} = {(6, 4)}e) A − B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 ≤ x2} = {(4, 6), (5, 5)}

Ejemplo 4

Una fábrica produce fusibles para uso doméstico. Su departamento de control de calidad decide tomardos cajas, llamadas caja 1 y caja 2, de un lote de la producción de la última semana. Si un fusible esdefectuoso, se le asigna la letra D; si no lo es, la letra N. Al examinar dos fusibles, uno de cada caja, seproducen parejas cuyas componentes son D o N. Por ejemplo, (D, N) significa que el fusible de la pri-mera caja resultó defectuoso, mientras que el fusible de la segunda caja no resultó defectuoso. Sea A1el conjunto en donde el primer fusible es defectuoso, A2 el conjunto en donde el segundo fusible es de-fectuoso. Escribe en la notación de conjuntos y determina todos los elementos que corresponden a cadauna de las siguientes descripciones:

a) Al conjunto universal de la situación.b) Al conjunto que describe que exactamente uno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.c) Al conjunto que describe que ninguno de los dos fusibles extraídos es defectuoso.d) Al conjunto que describe que al menos uno de los dos fusibles es defectuoso.e) Al conjunto que describe que el número de fusibles defectuosos sea uno como máximo.

a) U = {(D, D), (D, N), (N, D), (N, N)}b) Notamos que A1 = {(D, D), (D, N)} y que A2 = {(D, D), (N, D)}. Ahora bien, Ac

1, por ejemplo, significaque A1 no se cumple, es decir, que el fusible extraído de la caja 1 es no defectuoso. Por lo tanto, la des-cripción coloquial de este inciso corresponde a: (A1 ∩ Ac

2 ) ∪ (Ac1 ∩ A2) en el lenguaje de conjuntos. Se

tiene, en consecuencia:(A1 ∩ Ac

2 ) ∪ (Ac1 ∩ A2) = {(D, N), (N, D)}

c) La descripción de este inciso corresponde a Ac1 ∩ Ac

2 ={(N, N)}.d) Ahora la descripción corresponde a: A1 ∪ A2 = {(D, D), (D, N), (N, D)}.e) La última descripción corresponde al conjunto: Ac

1 ∪ Ac2 ={(N, D), (N, N), (D, N)}.

solución


Ejemplo 5

Una compañía de seguros se interesa en la distribución de edades de las parejas. Sea x la edad del ma-rido y y la edad de la esposa. Cada observación da como resultado una pareja de números (x, y).Considera como conjunto universal U al primer cuadrante del plano x, y, de manera que cada punto conx > 0 y y > 0 es un elemento de U.

Primera parte

Describe cada uno de los siguientes conjuntos:

a) El conjunto A: “el marido es mayor de 40”.b) El conjunto B: “el marido es mayor que la esposa”.c) El conjunto C: “la esposa es mayor de 40”.

Segunda parte

“Traduce” al español cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje de conjuntos, donde A, B y Cson los conjuntos de la primera parte.

a) A ∩ B; ¿tiene la esposa más de 40 años?b) A ∩ Bc; ¿es la esposa mayor o menor de 40 años?c) A ∩ C; ¿quién tiene más edad: el esposo o la esposa?d) A ∪ C; ¿son los dos menores de 40 años?e) (A ∪ B)c ∩ C; ¿por qué se puede reducir este conjunto a Ac ∩ C?

Primera parte

a) El conjunto A está representado por todos los puntos del primer cuadrante a la derecha de la recta ver-tical x = 40.

b) B está representado por la zona angular del primer cuadrante entre el eje x y la bisectriz y = x.c) El conjunto C está representado por todos los puntos del primer cuadrante colocados por encima de la

recta horizontal y = 40.

Segunda parte

a) A ∩ B: el marido es mayor de 40 años y mayor que su esposa. No puede afirmarse nada respecto de laedad de la esposa.

b) A ∩ Bc: el marido es mayor de 40, pero no mayor que su esposa; por lo tanto, la esposa tiene más de 40años.

c) A ∩ C: la mujer y el marido son mayores de 40 años. Con esta información no puede precisarse quiénes mayor.

d) A ∪ C : por lo menos uno de ellos es mayor de 40 años. La pregunta debe responderse negativamente.e) Por una de las leyes de De Morgan: (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C : el marido tiene menos de 40 años o

el marido es menor que la mujer y ella tiene más de 40 años; por lo tanto, si el marido tiene menos de40 años y la mujer más de 40 años, luego el marido es menor que la mujer; entonces podemos prescin-dir de Bc.


Ejercicios

y problemas

Problemas para trabajar en equipo

1. Si A = {x H N :3x = 9} y b = 3, ¿es b = A?

2. Si M = {r, s, t}, indica cuáles de las afirmaciones son correctas o incorrectas. Si alguna es incorrecta,señala por qué lo es:

a) r H M, b) r M, c) {r} H M, d) {r, s} M

3. Sea A un subconjunto de B y B un subconjunto de C. Suponiendo que a H A, b H B, c H C y, ade-más, d x A, e x B, f x C, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) a H C, b) b H A, c) c x A, d) d H B, e) e x A, f ) f x A

4. Un juego de azar, similar al juego de la ruleta, arroja 12 posibles resultados numerados como 1, 2,3,…, 12. Dos jugadores, Antonio y Blanca, participan y deciden jugar con los números: {1, 2, 3, 4} y{3, 5, 6}, respectivamente; esto es, si en el juego sale alguno de los números elegidos entonces el juga-dor correspondiente gana. Cabe decir que entre más números escojan, más costosa será su partida. De-termina cada uno de los siguientes conjuntos.

a) El conjunto universal y los conjuntos de números con los que ganan Antonio o Blanca.b) El conjunto de números con los que no ganan ni Antonio ni Blanca.c) El conjunto de números con los que gana exactamente uno de los jugadores.d) El conjunto de números con los que gana por lo menos uno de los jugadores.

⊃⊃

Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-tuaciones:

1. Competencia automotrizUna revista de automovilismo está interesada en estudiar la preferencia que la gente de lazona metropolitana tiene en cuanto a las marcas de automóviles disponibles en el mercado.De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford, Chevrolet y Chrysler.Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un auto de modelo reciente, mostróla siguiente información: 801 tienen un Ford, 900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 unFord y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 un au-to de cada una de las tres marcas y el resto de los encuestados algún auto de las marcasrestantes.

Usen notación de conjuntos y sus operaciones para trasladar, al lenguaje matemático, cadauna de las siguientes descripciones dadas en el lenguaje coloquial:

El conjunto de propietarios:

a) De sólo una marca de vehículo.


b) De exactamente dos marcas de vehículo.c) Que no poseen ninguna de las tres marcas de vehículo.d) Con al menos un vehículo de alguna de las tres marcas.e) De un vehículo cuando mucho de dos marcas.

2. De la vacuidad a la infinitud Si A = {1, 2, 3,…} y B = ∅ . Realicen los siguientes pasos:

a) Tomen los números 1 y 2 de A y colóquenlos en B. b) Cuando falte 1/2 hora para terminar su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,

tomen los números 3 y 4 del conjunto A y colóquenlos en B.c) Un 1/4 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B,

tomen los números 5 y 6 del conjunto A y colóquenlos en B.d) Cuando falte 1/8 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número

mayor de B, tomen los números 7 y 8 del conjunto A y colóquenlos en B.

Si este procedimiento continúa así, ¿cuál es el conjunto B al terminar la clase? Una vez halla-do el conjunto B, describan sus elementos a través de una ley de elegibilidad adecuada.

3. Preferencias televisivasEn esta actividad organizarás con tu equipo cierta información conforme a los siguientes li-neamientos:

a) Cada miembro del equipo (considerando equipos con cuatro integrantes en promedio)hará una entrevista a 20 personas e investigará sus preferencias televisivas en el horario de9 a 10 de la noche. De manera más específica, investigará si la persona entrevistada ve al-gún programa de TV Azteca, Televisa o televisión privada (sin distingo de la señal contra-tada).

b) Respondan a las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas personas ven en el citado horario algún programa únicamente de TV Azteca?¿De Televisa? ¿Cuántos ven sólo televisión privada?

• ¿Hay personas que ven dos programas de televisoras diferentes? ¿Hay quienes ven de lostres tipos de televisión?

• ¿Hay personas que no ven televisión?

c) Sean A: el conjunto de personas que ven TVAzteca, B: el conjunto de personas que venTelevisa y C: el conjunto de personas que ven televisión privada. El símbolo N(X) (léase:cardinalidad del conjunto X) representa el número de elementos que contiene el conjunto X.Coloquen la información del inciso (a) en un diagrama de Venn adecuado.

• Determinen la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos:

A − (B ∪ C); (A ∪ B ∪ C)c; A ∩ B ∩ C; A ∩ B

• Sin utilizar símbolos matemáticos, expresen en sus propias palabras el significado de ca-da uno de los conjuntos del punto anterior.


1. Indica la opción que contiene una descripción que no define a un conjunto.

a) A es el conjunto de los múltiplos de 2.b) B es el conjunto de los números interesantes.c) C es el conjunto de matrículas de estudiantes del ITESM.d) D es el conjunto de los números x que satisfacen la ecuación x + 4 = 5.

2. Sea U = {copa, basto, espada, oro}, determina la opción que contiene la afirmación falsa.

a) basto ∈ { basto, espada}b) {espada, oro} U

c) Si A = {copa, basto}, B = {copa, basto, espada}, entonces:d) {copa, espada, oro} ∈ U

3. Este problema refiere su descripción a la del problema 4 de la sección de ejercicios y proble-mas. Así, sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; supón ahora que juegan tres jugado-res, cada uno de ellos decidiendo su juego, según se indica a continuación:

, , .Elige la opción que contiene al conjunto que especificado en español se da a continuación:

“el juego es ganado exactamente por uno de los jugadores”.

a) {10, 11, 12}b) {1, 2, 3}c) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}d) {1, 2, 3, 10, 11, 12}

4. Para los conjuntos de las columnas A y B, relaciona los que son iguales.

Columna A Columna B

C = { , , }7 8 9B = { , , , , , }4 5 6 7 8 9A = { , , , , , }1 2 3 4 5 6

A B− = ∅⊃

a) A = { 2 n +1: n es un número natural}b) A = { x : x fue presidente de México antes

de 1815}c) A = { 4 n: n es un número natural}d) A = { x: x satisface la ecuación

2x2 + x − 1 = 0}

i. A = {Guadalupe Victoria, VicenteGuerrero}

ii. A = {1/2, −1}iii. A = {2 n: n es un número natural}iv. A = {2k: k es un número natural par}v. ∅

vi. A = {2 n −1: n es un número naturalmayor o igual a 2}

vii. A = {2 n −1: n es un número natural}viii. A = {Guadalupe Victoria}


Respuestas a los

Ejercicios y problemas

1. No, A = {3}, pero hay una diferencia fundamental entre un elemento x y el conjunto {x}.

2. a) Correctab) Incorrecta. El símbolo vincula a dos conjuntos, pero r no es un conjunto, sino un elemento de M.c) Incorrecta. El símbolo ∈ vincula a un elemento con un conjunto, pero {r} es un subconjunto de M, no

un elemento de M.d) Correcta.

3. a) A es un subconjunto de C. Luego a ∈ A implica a ∈ C, así la afirmación es verdadera.b) Como el elemento b ∈ B puede no ser elemento de A, la afirmación es falsa.c) El elemento c ∈ C podría ser un elemento de A; por lo que c ∉ A podría no ser verdadera.d) El elemento d, que no está en A, puede no estar en B; así que la afirmación podría no ser verdadera.e) Como e ∉ B y A B, e ∉ A es verdadera.f) Ya que f ∉ C y A B, f ∉ A es verdadera.

4. Si U designa al conjunto universal de la situación, A representa el conjunto de números con los que ganaAntonio y B el conjunto de números con los que gana Blanca; entonces:

a) , ,b) c) d) A B∪ = { , , , , , }1 2 3 4 5 6

( ) ( ) { , , , , }A B A Bc c∩ ∪ ∩ = 1 2 4 5 6A B A Bc c c∩ = ∪ =( ) { , , , , , }7 8 9 10 11 12

B = { , , }3 5 6A = { , , , }1 2 3 4U = { , , , , , , , , , , , }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

⊃⊃

⊃

Respuestas a losejercicios de autoevaluación

1. b) 2. d)3. b) 4. (a, vi), (b, v), (c, iv), (d, ii)


1.2 Problemas

de conteo

-—¡Ya lo tengo! -—gritó-—¡Es un juego deniños! ¿Cómo lo sabes? —preguntó el señor

Bockel. -—¡Ooooh!-— respondió Robert-—,se calcula sólo. Y tocó la estrellita

bajo su camiseta y pensó, agradecido,en su diablo de los números.

Hans Magnus Enzensberger,El diablo de los números

Introducciónn

La demografía es una ciencia donde se analizan elementos de la dinámicapoblacional como la natalidad y la mortalidad. En esta área suele usarse lateoría de conjuntos como la base de un sistema de clasificación que considerasexo, edad, composición urbano-rural, etcétera. Más aún, el conocimientodel número de elementos que tienen los conjuntos usados permite, a los gober-nantes, planear nuevos programas en salud, educación y seguridad, entreotros. Con la siguiente situación, conocerás el potencial que tiene el contarlos elementos de un conjunto.

Relación entre alfabetización, edad y sexo

Resultados del XII Censo Nacional de Población y Vivienda, efectuado en Mé-xico en el 2000, muestran que la dinámica poblacional depende del sexo y laedad. Por ejemplo, para edades comprendidas entre ocho y 14 años se tienemayor proporción de hombres que de mujeres, en tanto que para edades supe-riores la proporción cambia notablemente. Resultados relacionados con la al-fabetización muestran una situación similar. En la tabla siguiente se muestranlos resultados clasificados por sexo, edad y grado de alfabetización. De acuerdocon la información presentada ¿cuántos hombres y cuántas mujeres mayoresde ocho años no saben leer ni escribir? Considerando que la muestra es repre-sentativa de la población, ¿cuál es la probabilidad de que un hombre, seleccio-nado al azar, sea mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? Para respondertales preguntas necesitaremos contar el número de elementos con un conjuntofinito y calcular la probabilidad de que suceda un conjunto de resultados en unexperimento aleatorio.


Cardinalidad de conjuntos

Considera los siguientes conjuntos:

Claramente el conjunto A consta de seis elementos y el conjunto B de un número infini-to de elementos. Es posible contar los elementos del conjunto B estableciendo una rela-ción con el conjunto de los números enteros positivos. Por ejemplo, el primer número esel 1, el segundo es el 3, el tercero es el 5, el cuarto el 7 y así sucesivamente. La diferen-cia entre los dos conjuntos es el número de elementos que lo forman; para distinguirlos,contamos con la siguiente definición:

A

B

= − −=

{ , , , , , }{ , , , , , , , ...}

2 1 7 9 11 551 3 5 7 9 11 13

Sexo(total)

Alfabetización(porcentaje)

Hombre Mujer Hombre Mujer

Población de 8 a 14 años 7,707,486 7,522,440 94.9% 95.6%

Población de 15 años y más 30,043,824 32,798,814 92.5% 88.6%

Objetivos

Al terminar la sección, deberás ser capaz de:

• Definir el concepto de cardinalidad de un conjunto finito.• Determinar la cardinalidad de conjuntos finitos dados.• Resolver problemas de conteo, utilizando diagramas de Venn y el concep-

to de cardinalidad.• Utilizar diagramas de Venn para resolver problemas de probabilidad de

eventos.

Definición

a) Un conjunto A es finito si contiene n elementos diferentes a1, a2, a3,.., an.Decimos entonces que su cardinalidad, o número de elementos que lo forman,es N(A) = n.

b) Un conjunto A es infinito si tiene un número infinito de elementos. Decimosentonces que su cardinalidad es N(A) = ∞.


Los conjuntos finitos tienen las propiedades siguientes:

Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces:

1. A ∪ B y A ∩ B son finitos.

2. Si A y B son ajenos, entonces N (A ∪ B) = N(A) + N(B)

3. Si A B, entonces N (A) ≤ N(B)

4.

5.

6. N A B C N A N B N C N A B N A C

N B C N A B C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩− ∩ + ∩ ∩

N A B N A N B N A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩

N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩

Las propiedades 1, 2 y 3 son evidentes por sí mismas. La propiedad 6 es una generaliza-ción de la propiedad 5, así que sólo mostraremos las propiedades 4 y 5.

Demostración de la propiedad 4. Para demostrar la propiedad 4, considera que:

Aplicamos la operación de cardinalidad y la propiedad 2, entonces tenemos:

Finalmente, despejamos N(A − B) de la última relación para obtener:

Demostración de la propiedad 5. La propiedad 5 se deduce, considerando que:

Al calcular la cardinalidad, tenemos:

donde hemos usado las propiedades 2 y 4.

N A B N A B B A A B

N A B N B A N A B

N A N A B N B N A B N A B

N A N B N A B

( ) (( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),

∪ = − ∪ − ∪ ∩= − + − + ∩= − ∩ + − ∩ + ∩= + − ∩

A B A B B A A B∪ = − ∪ − ∪ ∩( ) ( ) ( )

N A B N A N A B( ) ( ) ( )− = − ∩

N A N A B A B

N A B N A B

( ) (( ) ( ))( ) ( )

= − ∪ ∩= − + ∩

A A B A B= − ∪ ∩( ) ( )

⊃


solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Juan y Carlos encuestaron a 350 mexicanos sobre sus preferencias para visitar Cancún y Acapulco enlas vacaciones. Cancún recibió 210 menciones, mientras que Acapulco recibió sólo 195. Doce de losencuestados mencionaron que no les gustaría visitar ninguno de los dos lugares. ¿A cuántos les gusta-ría visitar los dos lugares? ¿A cuántos les gustaría visitar sólo Cancún?

SeanU = conjunto de todos los encuestados,A = conjunto de las personas que desean visitar Acapulco, yC = conjunto de las personas que desean visitar Cancún.

De los datos del problema, tenemos que:

El diagrama de Venn ilustra la situación:

Si usamos la propiedad 5, se tiene:

de donde se concluye que:

Concluimos que 67 personas quieren visitar los dos lugares. Para determinar el número de personas quequieren visitar sólo Cancún usamos

N(C − A) = N(C) − N(C ∩ A)= 210 − 67 = 143.

Es decir, 143 personas quieren visitar sólo Cancún.

N A C( ) .∩ = + − =195 210 338 67

N A C N A N C N A C

N A C

( ) ( ) ( ) ( ),( ),

∪ = + − ∩= + − ∩338 195 210

N A

N C

N U

N U AUC

N AUC

( ) ,( ) ,( ) ,

( ( )) ,( )

===

− == − =

19521035012350 12 338

A-C C-AA∩C

A, 195 C, 210

U, 350

solución


Ejemplo 2

De 400 estudiantes que estudian inglés o francés en una escuela prestigiada, 60 toman clases de inglésy francés simultáneamente. Si se sabe que hay tres veces más estudiantes que estudian inglés que fran-cés, ¿cuántos estudiantes estudian francés? ¿Cuántos no estudian inglés?

Consideremos que:

x = número de quienes estudian sólo inglés.y = número de los que estudian inglés y francés.z = número de quienes estudian sólo francés.

El diagrama de Venn siguiente ilustra las condiciones del problema:

De los datos, tenemos:

De la figura, establecemos el sistema de ecuaciones:

El sistema se reduce a:

Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo el resultado en la segunda ecuación, se obtiene:

x z

z z

= −− + = +

340340 60 3 60

,( ).

x z

x z

+ =+ = +

34060 3 60

,( ).

y

x y z

x y y z

=+ + =

+ = +

604003

,,

( ).

N I F

N I F

N I N F

( ) ,( ) ,

( ) ( ).

∪ =∩ =

=

400603

I F

x zy

solución


Despejando z se tiene:

El valor de x lo obtenemos usando

Entonces, el número de alumnos que estudian francés es N(F) = y + z = 60 + 55 = 115. El número dealumnos que no estudian inglés es z = 55.

Ejemplo 3

Se aplicó una encuesta a 1200 personas sobre sus pasatiempos favoritos. Los resultados indican que: a720 les gusta el cine, 620 escuchan música, 700 hacen ejercicio, 420 hacen ejercicio y les gusta el ci-ne, 314 escuchan música y les gusta el cine, 220 hacen ejercicio y escuchan música y sólo 17 realizanlas tres actividades.

a) ¿A cuántas personas no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejercicio?b) ¿Cuántas personas no escuchan música, pero sí van al cine y hacen ejercicio?

Sean:

C = conjunto de personas que van al cine.M = conjunto de personas que escuchan música.E = conjunto de personas que hacen ejercicio.

Y las variables ai:

a N C M E

a N C M E

a N C M E

a N C M E

a N C M E

a N C M E

a N C M E

c c

c c

c c

c

c

c

1

2

3

4

5

6

7

= ∩ ∩

= ∩ ∩

= ∩ ∩

= ∩ ∩

= ∩ ∩

= ∩ ∩= ∩ ∩

( ),

( ),

( ),

( ),

( ),

( ),( ).

x z

x

x

= −= −=

340340 55285

,

.

400 180 3400 180 3

220 4220 455

− = +− = +

===

z z

z z

z

z

z

,,

,/ ,

.


En el diagrama de Venn siguiente hemos colocado las variables ai

De los datos, sabemos que: a7 = 17 Usando nuevamente los datos del problema, se tiene:

de donde es simple determinar que: a4 = 297, a5 = 203, a6 = 403.El primer diagrama de Venn se simplifica como sigue.

Usando nuevamente los datos y

se obtiene que: a1 = 3, a2 = 103, a3 = 77.

a

a

a

1

2

3

297 17 403 720297 17 203 620403 17 203 700

+ + + =+ + + =+ + + =

,,,

a a

a a

a a

4 7

5 7

6 7

314220420

+ =+ =+ =

,,,

C, 720

E, 700

M, 620

a1 a2

a3

a4

a7

a6 a5

C, 720

E, 700

M, 620

a1 a2

a3

297

17403 203


Finalmente para responder a las dos preguntas, observamos que:

a) Cc ∩ Mc ∩ Ec = conjunto de personas que no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejer-cicio, y N(Cc ∩ Mc ∩ Ec) = 1200 − 3 − 103 − 77 − 403 − 297 − 203 − 17 = 97.

b) C ∩ Mc ∩ E = conjunto de personas que no escuchan música pero sí van al cine y hacen ejercicio,y N(Mc ∩ C ∩ E) = a6 = 403.

Probabilidad de eventos

Consideremos el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto puede representar los re-sultados posibles al lanzar un dado. Cada uno de los resultados tiene una probabilidad

de ocurrir. Nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que salga un

número par al lanzar un dado? En ese caso, la respuesta es . La pro-

babilidad es una forma de determinar la proporción de ocurrencias de un cierto resulta-do con respecto a todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Definimosalgunos conceptos de probabilidad que nos serán útiles posteriormente.

P AN A

N S( ) ( )

( )= =3

6

PN S

= =16

1( )

Definición

1. El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados de un experi-mento aleatorio.

2. Un evento A es un subconjunto del espacio muestral.3. La probabilidad del evento A, en espacios donde todos los resultados son

igualmente probables, es:

P AN A

N S

casos a favor

casos posibles( ) ( )

( )= =

Si A, B y C son eventos y S es el espacio muestral, entonces:

1. P(S) = 12. 0 ≤ P(A) ≤ 1

La probabilidad de un evento A tiene propiedades similares a la función cardinalidad. Larazón es que la probabilidad y la cardinalidad de un conjunto A son proporcionales.Enunciamos, sin demostración, las propiedades de la probabilidad de un evento A:


3. P(A) + P(Ac) = 14. Si A B, entonces P(A) ≤ P(B)5.

6.

7. P A B C P A P B P C P A B P A C

P B C P A B C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩− ∩ + ∩ ∩

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩

P A B P A P A B( ) ( ) ( )− = − ∩

solución

Ejemplos

Ejemplo 4

La probabilidad de que un esposo vote en la próxima elección presidencial es 0.7, la probabilidad deque su esposa vote es 0.6, la probabilidad de que los dos voten es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que

a) ninguno vote?b) un esposo vote y su esposa no?

Sean A y B los eventos

A = el esposo vota yB = la esposa vota

De los datos del problema, se tiene que P(A) = 0.7, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.45. Entonces

a) Para responder la pregunta a), usamos:

P(ninguno vote) = 1 − P(A ∪ B)= 1 − 0.85= 0.15

b) para responder la pregunta b), observamos que:

P(un esposo vote y su esposa no) = P(A ∩ Bc)= P(A) − P(A ∩ B)= 0.7 − 0.45= 0.25

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ). . ..

∪ = + − ∩= + −=

0 7 0 6 0 450 85

⊃

solución


Ejemplo 5

Se aplicó una encuesta a 750 personas en septiembre de 2004 sobre inseguridad en el Distrito Federal.A los encuestados se les hicieron las preguntas:

P1: ¿Ha sido víctima alguna vez de algún delito?P2: ¿Ha notado aumento en la inseguridad?P3: ¿La autoridad hace lo suficiente para reducir la inseguridad?

Después de capturar las respuestas, se encontró que 277 personas respondieron afirmativamente la pre-gunta P1, 293 la pregunta P2 y 270 la pregunta P3. Además, 120 respondieron afirmativamente laspreguntas P1y P2, 132 la P2 y la P3, 125 la P1 y la P3, y 74 las tres preguntas. Si se selecciona unapersona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

a) una persona haya sido víctima alguna vez, declare que no se esté haciendo lo suficiente y que hayanotado aumento en la inseguridad?

b) una persona no haya sido víctima, declare que se esté haciendo lo suficiente por las autoridades yque no haya notado aumento en la inseguridad?

Consideremos que los conjuntos A, B y C son los formados por aquellos que respondieron afirmativa-mente a las preguntas P1, P2 y P3. El número de personas que respondieron afirmativamente alguna delas tres preguntas se calcula usando:

Trabajando de forma similar al ejemplo 3, se obtiene el diagrama de Venn:

Finalmente, para responder a las dos preguntas observamos que:

a) A ∩ B ∩ Cc es el evento deseado y

b) Ac ∩ Bc ∩ C es el evento deseado y P A B CN A B C

N Sc c

c c

( ) ( )( )

∩ ∩ = ∩ ∩ = 87750

P A B CN A B C

N Sc

c

( ) ( )( )

∩ ∩ = ∩ ∩ = 46750

N A B C N A N B N C N A B N A C

N B C N A B C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

- - -

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩− ∩ + ∩ ∩

= + + + =277 293 270 120 132 125 74 537

A, 277

C, 270

B, 293

46

87

115106

74

51 58


Ejercicios

y problemas

1. Si N(A ∪ B) = 280, N(A ∩ B) = 120 y N(A) = 3N(B), determina cuántos elementos tiene cada uno delos conjuntos A y B.

2. En un grupo de 100 estudiantes se tienen 30 que estudian preparatoria, 20 mujeres y 10 mujeres queestudian preparatoria. ¿Cuántos estudiantes son hombres que no estudian preparatoria?

3. En una encuesta realizada entre 1000 personas sobre sus preferencias electorales, 440 contestaronestar a favor del partido revolucionario, 470 a favor del partido nacional y 260 declararon no estara favor de ninguno de los dos partidos. ¿Cuántos de los entrevistados están a favor sólo del partido re-volucionario?

4. De 3000 alumnos que asisten a una escuela profesional, 368 utilizan sólo su automóvil, 548 usan eltransporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan sóloel transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y 1438no usan ningún medio de transporte.

a) ¿Cuántos alumnos utilizan solamente el transporte urbano?b) ¿Cuántos alumnos utilizan su automóvil o el transporte escolar, pero no el transporte urbano?c) ¿Cuántos alumnos utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?d) ¿Cuántos alumnos utilizan los tres medios de transporte?

5. Una universidad tiene 1050 alumnos de primer ingreso. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física,388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción, y todosllevan al menos una de las tres asignaturas.

a) ¿Cuántos alumnos cursan física y matemáticas pero no redacción?b) ¿Cuántos alumnos cursan matemáticas y no llevan física ni redacción?

6. La probabilidad de que una persona escuche música o lea un libro es de 0.4. Si la probabilidad de quelea un libro es de 0.2 y la probabilidad de que escuche música es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad deque lea un libro y no escuche música?

7. En una encuesta aplicada a 5000 personas se encontró que 330 no trabajan ni estudian, 2607 sólo tra-bajan y 220 trabajan y estudian. Si se escoge una al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie pero no trabaje?b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie?

8. En cierta población hay tres periódicos, el Imparcial, la Crónica y Últimas Noticias. Al Imparcial es-tán suscritas el 60% de las familias de esa población, a la Crónica el 40%, a Últimas Noticias el 30%; alImparcial y la Crónica el 20%, al Imparcial y a Últimas Noticias el 10%, a la Crónica y a ÚltimasNoticias el 20% y a los tres periódicos el 5% de la población. Determina la probabilidad de que unafamilia seleccionada al azar

a) esté suscrita al menos a uno de los tres periódicos.b) no esté suscrita a ningún periódico.



9. En una encuesta aplicada a 102 trabajadores de una fábrica, se obtuvo la siguiente información: Todoslos hombres tenían más de 20 años y había 52 mujeres. En total, 62 personas tenían más de 20 años,25 mujeres estaban casadas, 15 de las quienes dijeron estar casadas superaban los 20 años y 10 de lasmujeres casadas tenían más de 20 años. Supón que seleccionas una persona al azar, calcula la probabi-lidad de que:

a) sea casadab) sea una mujer soltera de más de 20 añosc) sea un hombre casadod) tenga menos de 20 años

10. En una encuesta aplicada a 180 personas, se obtuvo la siguiente información: 48 tienen por lo menoscasa propia, 87 tienen por lo menos automóvil, 120 tienen por lo menos televisión, 52 tienen sólo au-tomóvil y televisión, una tiene sólo casa propia, tres tienen sólo automóvil y 44 no tienen ninguna delas tres cosas. Calcula la probabilidad de que un empleado, seleccionado al azar,

a) tenga automóvil, casa propia y televisiónb) tenga casa propia y televisión pero no automóvilc) tenga televisión pero no casa propia ni automóvild) tenga automóvil o televisión

Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientessituaciones:

1. Relación entre alfabetización, edad y sexo a) Construye un diagrama de Venn con los datos proporcionados en el inicio de la sección.b) Determina, si es posible, el número de hombres y mujeres mayores de ocho años que no

saben leer ni escribir.c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no sepa leer ni escribir?d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea hombre mayor de 14 años

y no sepa leer ni escribir?e) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar sea mayor de 14 años y no

sepa leer ni escribir?

2. El examen Recientemente se aplicó un examen de precálculo con tres problemas A, B y C. Sólo 25alumnos resolvieron al menos un problema. De aquellos alumnos que no resolvieron el pro-blema A, el número de quienes resolvieron el problema B fue el doble de los que resolvieronel problema C. El número de quienes resolvieron el problema A fue uno más de quienes resol-vieron el problema A y al menos otro problema. De todos los alumnos que sólo resolvieron


exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema A. Exactamente 12 alumnos re-solvieron el problema A o el C. ¿Cuántos alumnos resolvieron el problema B?

3. El conjunto potencia El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

a) Determina el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5} y el número de elementos que loforman.

b) ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos tiene el conjunto potencia de A?c) ¿Cuántos subconjuntos del conjunto potencia de A no tienen como elemento al 2 y al 3?d) Responde las preguntas a), b) y c) considerando al conjunto

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

1. En una universidad hay 100 estudiantes que estudian alemán o francés. Se sabe que 50 estu-diantes se matricularon para alemán y 70 para francés. Indica cuál de las opciones siguientescontiene la fracción de estudiantes que estudian alemán solamente.

a) 3/10b) 5/10c) 2/10d) 3/5

2. Indica cuál de las opciones dadas a continuación contiene N(A − B).

a)b)c)d)

3. Una fábrica de prendas de vestir produce camisas. Doce inspectores revisan 10,000 prendas y en-cuentran 25 con la tela rayada, 20 ligeramente rotas, 20 descoloridas, seis con rayas y ligera-mente rotas, cinco rayadas y descoloridas, cuatro rotas y descoloridas, y sólo una con los tresdefectos. Indica el número de camisas que tienen al menos un defecto. a) 1b) 13c) 51d) 38

N B N A B( ) ( )− ∩N A N A B( ) ( )+ ∪N A N A B( ) ( )− ∩N A N A B( ) ( )+ ∩


4. Diversos estudios de la Secretaría de Turismo establecen que un turista que visita la ciudadde México tiene una probabilidad de 0.74 de visitar la Basílica de Guadalupe, de 0.70 de iral Palacio de las Bellas Artes, de 0.62 de visitar Santa Fe, de 0.52 de visitar la Basílica e ir aBellas Artes, de 0.44 de ir a Bellas Artes y visitar Santa Fe, de 0.46 de visitar la Basílica ySanta Fe y de 0.34 de visitar la Basílica, Santa Fe y Bellas Artes. Indica cuál de las siguien-tes opciones representa la probabilidad de que un turista cualquiera realice al menos una deestas actividades:

a) 0.32b) 0.64c) 0.98d) 0.06

5. Considera la siguiente situación:

La Delegación Mexicana para los Juegos Olímpicos de Sydney estuvo formada por 205 depor-tistas. Entre ellos hubo 135 atletas con estudios superiores de licenciatura, 146 que asistían almenos por segunda vez a unos Juegos Olímpicos y 84 eran mujeres, 30 eran mujeres con li-cenciatura, 35 eran mujeres que asistían por segunda vez y 110 eran atletas con licenciaturaque asistían por segunda vez. Encuentra en la columna B las respuestas a las preguntas que aparecen en la columna A:

Columna A Columna B

a) ¿Número de mujeres con licenciatura queasisten por segunda vez?

b) ¿Número de hombres con licenciatura queasisten por segunda vez?

c) ¿Número de mujeres sin licenciatura queasisten por primera vez?

d) ¿Número de hombres sin licenciatura queasisten por primera vez?

i. 25ii. 29iii. 11iv. 10v. 15vi. 20vii. 5viii. 100

Respuestas a los


1. N(A) = 300, N(B) = 100

2. 60

3. 270



1. a2. b3. c4. c5. (a, iv), (b, viii), (c, ii), (d, vii)

4.a) 490b) 624c) 1042d) 118

5. a) 382b) 208

6.0.1

7. a) 0.3686b) 0.4126

8. a) 0.85b) 0.15

9. a) 25/102b) 2/102c) 5/102d) 40/102

10. a) 1/9b) 1/12c) 33/180d) 0.75

Unidad

Expresiones algebraicas


2.1 Productos notables2.2 Factorización2.3 División de expresiones algebraicas2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas2.6 Exponentes enteros2.7 Exponentes fraccionarios y radicales2.8 Números complejos


¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es unobjeto real, es una abstracción mental, una idea. Esto se hace más evidente cuando convivimos con una niña muypequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una vez y otra con laniña “uno, dos, tres…”, contando pelotas, piezas de un rompecabezas o las teclas de un pianito. Quizás, al princi-pio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden a la vez que se señalan objetos; tendráque pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad. Por ejemplo, si a cinco manzanas le qui-tamos dos manzanas, quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles, quedan tres pasteles.Como esto sigue siendo cierto para cualquier tipo de objeto que contemos, diremos que si a cinco le quitamos dos,quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitasdos, quedan tres. Pero un cinco no es un objeto; jamás encontrarás un cinco tirado en la calle. Lo que si podríasencontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta decinco, es decir, un papel que tuviera escrito un “5”. Eso nos lleva a otro paso más en la abstracción que la niña ten-drá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: “si a cinco le quitas dos, quedantres”; en lugar de eso utilizará símbolos: 5 – 2 � 3. ¿Por qué debe esforzarse la pequeña en aprender tales abstrac-ciones y simbología? Porque son útiles para la vida diaria. Cuando sea más grande y vaya a comprar cinco refrescosde a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de 100 pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para sa-ber si le dieron el cambio correcto. Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces sería víctima fácil de losestafadores.

Cuando aprendes álgebra, te encuentras en una situación similar a la de la niña. Te enfrentarás con nuevas abs-tracciones y simbología. Por ejemplo, en lugar de decir “si a un número cualquiera le sumo cinco y le quito tres,

30 Unidad 2: Expresiones algebraicas

obtengo el mismo resultado que si a ese mismo número le sumo dos”, ahora escribirásx � 5 – 3 � x � 2. Manejar la simbología algebraica permite trabajar con relacionescomplejas más fácilmente que si tuviéramos que usar sólo palabras. Por ejemplo, intentaexplicar la siguiente expresión sin usar simbología algebraica: (x � y)2 � x2 � 2xy � y2. Site preguntas: ¿Por qué debo esforzarme en aprender estas abstracciones y símbolos?, partede la respuesta es similar al caso de la niña: porque el álgebra te será útil para resolverproblemas en tu vida profesional. Algunos de los ejercicios que resolverás en esta uni-dad te darán una idea de las aplicaciones del álgebra: “El dilema del gerente de com-pras”, “La demanda de la señora Celia Reyes Lujano”, “El problema del agricultor” y“¿Exponentes fraccionarios en la inflación?”. Más aún, el álgebra tiene relación con lamúsica y el arte, como aprenderás en “Arte por medio de radicales, la proporción áurea”.Si no aprendieras a manejar el álgebra, perderías una herramienta muy importante paraun profesionista, independientemente de la carrera que quieras estudiar.

Hay otra razón también muy importante para aprender álgebra. ¿Por qué en la escue-la nos hicieron leer poemas, si pocos de nosotros seremos poetas? Porque la poesía esuno de los logros más bellos de la humanidad; en consecuencia, debe ser parte de la for-mación de todo ser humano. ¿Por qué aprender álgebra, si pocos de nosotros vamos a sermatemáticos? Por la misma razón.

2.1 Productos

notables

La matemática es el faro mediante elcual lo que antes se veía tenue ahorasurge con trazos firmes y marcados.

Irving Fisher

Introducción

La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w´al muqabala, título de un libroescrito en el siglo IX por el matemático árabe Al Juarismi. La traducción fo-nética de al-jabr en el latín popular, llevó al nombre de la rama de las mate-máticas que ahora conocemos como álgebra; disciplina donde se usan letraspara denotar números arbitrarios y símbolos para combinarlos a través de lasuma, la resta, el producto, la división y la potenciación. Pero el simbolis-mo sólo es un medio para un fin; la función del álgebra no consiste en hacerdesfilar símbolos, sino en convertir o transformar expresiones de una for-ma en otra, la que sea más útil, para resolver el problema que tengamos entremanos. Por lo tanto, una competencia adecuada en matemáticas estará rela-cionada con la posibilidad de efectuar transformaciones entre una forma alge-

312.1 Productos notables

braica y otra. ¿Qué determina que una expresión algebraica sea más útil queotra? La respuesta depende, en general, de la situación que se trate. No obs-tante, es preciso señalar que prácticamente cualquier estudio o aplicación delas matemáticas, por simple o técnica que sea, requerirá de tales transforma-ciones. Te presentamos una situación que requiere, según analizarás en unode los problemas, una de tales transformaciones.

Objetivos

Al terminar esta sección, serás capaz de:

1. Reconocer y desarrollar los productos notables.2. Ponderar la utilidad del lenguaje algebraico cuando el lenguaje colo-

quial ya no es útil.3. A través de los productos notables, identificar las transformaciones al-

gebraicas adecuadas que te permitan la solución de problemas.

Productos notables o especiales

Con frecuencia se denomina al álgebra la aritmética de las operaciones simbólicas; aldecir operaciones se quiere subrayar a la suma, la resta, el producto, la división y la ele-vación a potencias de expresiones algebraicas. En esta sección trabajaremos con las tresprimeras, bajo la consideración de los así llamados productos notables; término emplea-do para señalar a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puedeser escrito por simple inspección, sin efectuar las operaciones indicadas. No obstante queestudiarás una parte introductoria del álgebra, te será necesario tener presentes algunosde sus principios, dos de los cuales te presentamos a continuación:

Regla de los signos

El producto o la división de dos cantidades de signos iguales es positivo, el producto ola división de dos cantidades de signos contarios es negativo.

La antigua disputa

En tiempos de la vieja Rusia, se cuenta que dos mercaderes vendieron unapartida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros ha-bía en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas,pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito. Al partirse el rebaño endos mitades, uno recibió una oveja más, y el otro, el corderito. Sin embargo,esto provocó una fuerte disputa entre ellos, que se arregló compensando aldueño del corderito con un rublo. La pregunta es: ¿fue suficiente esta com-pensación para que el reparto fuese equitativo?

Ésta y otras situaciones completamente diferentes pueden ser analizadascon la ayuda de las transformaciones algebraicas de las que hemos hablado.


Leyes básicas de exponentes

Por el momento, sólo necesitaremos de las siguientes leyes de exponentes, donde a, b,m y n son cantidades cualesquiera:

1. .

2. .

3. .

Con base en las tres leyes anteriores, estableceremos sin dificultad la veracidad de los si-guientes resultados, que son los productos notables que más frecuentemente aparecen enel desarrollo y la factorización de expresiones algebraicas.

( )ab a bm m m=

( )a am n mn=

a a am n m n= +

i. Binomio al cuadrado:

ii. Binomio al cuadrado:

iii. Binomios conjugados:

iv. Cubo de un binomio:

v. Cubo de un binomio:

vi. Producto de dos binomios:

vii. Diferencia de cubos:

viii. Suma de cubos:

ix. Diferencia de potencias enésimas:

x. Cuadrado de un trinomio: ( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2

( )( )a b a a b a b ab b a bn n n n n n n− + + + + + = −− − − − −1 2 3 2 2 1

( )( )a b a ab b a b+ − + = +2 2 3 3

( )( )a b a ab b a b− + + = −2 2 3 3

( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ + = + + +2

( )a b a a b ab b− = − + −3 3 2 2 33 3

( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3

( )( )a b a b a b+ − = −2 2

( )a b a ab b− = − +2 2 22

( )a b a ab b+ = + +2 2 22

Tabla 2.1 Productos notables

Nota: Observa que en el desarrollo ix. de la tabla anterior, el segundo factor del miem-bro izquierdo puede ser escrito en la forma:

,

Como puedes observar los exponentes de a comienzan con n � 1y decrecen hasta lle-gar a 0, mientras que los de b empiezan en 0 y crecen hasta n � 1; asimismo, que lasuma de los exponentes de a y b en cada término es n � 1.

a b a b a b ab bn n n n n− − − − −+ + + + +1 0 2 3 2 2 1


El desarrollo en x. tiene una generalización: el cuadrado de un polinomio cualquiera esigual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble producto decada término con cada uno de los que le siguen.

Como se señaló, es posible verificar cada uno de los resultados anteriores e incluso enalgunos casos dar una interpretación geométrica sencilla. A manera de ejemplo, ilustra-mos dos de las igualdades que se han establecido:

I II

IIIIV

Considera el cuadrado de la figura 2.1 y supón que tiene lado a � b, donde a es el valordel lado en el cuadrado IV y b el lado del cuadrado II. Si A es el área total del cuadrado, yAI, AII, AIII y AIV son las áreas mostradas en la figura anterior; entonces,: ;también:

�

;

por lo tanto: .Si en la misma figura 2.1, tomamos ahora al valor de a como al valor del cuadrado

más grande y como b al lado del cuadrado II; entonces:

,

,

como , concluimos que: .( )a b a ab b− = − +2 2 22A a bIV = −( )2

= − + − − + = − +a ab b b ab b a ab b2 2 2 2 2 22

= − − − − −a a b b b a b b2 2( ) ( )

A A A A AIV I II III= − − −

( )a b a ab b+ = + +2 2 22

= + +a ab b2 22

ab b ab a+ + +2 2

A A A A AI II III IV= + + +

A a b= +( )2

Figura 2.1


solución

solución

solución

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejemplos, desarrolla la expresión usando el producto notable que corresponda:

Ejemplo 1

, asociando términos (binomios conjugados)

, (iii)

, binomio al cuadrado (i)

, uso de las leyes de exponentes (a), (b).

Ejemplo 2

, (generalización de x), ver nota anterior,

, uso de la regla de los signos.

Ejemplo 3

, una extensión del resultado (vi)

, ley de exponentes (b).

Ejemplo 4

, escribe el resultado en la forma, para cierto valor de k.( )( )x y x yk k k k− +

( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +

= + ++ +x xa a2 2 117 72

( )( ) ( ) ( ) ( )x x x xa a a a+ + + ++ + = + + +1 1 1 2 18 9 8 9 8 9

( )( )x xa a+ ++ +1 18 9

= + + + − + − − + −a b c d ab ac ad bc bd cd2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ − + − − + −2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( )b c b d c d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c d a b c d a b a c a d− + − = + − + + − + − + + −2 2 2 2 2 2 2 2

( )a b c d− + − 2

= + + −x x x4 3 22 1

= + + −( ) ( )( )x x x x2 2 2 22 1

= + −( )x x2 2 21

[ ][ ] [( ) ][( ) ]x x x x x x x x2 2 2 21 1 1 1+ + + − = + + + −

[ ][ ]x x x x2 21 1+ + + −


solución

solución

� , ley de exponentes

, de acuerdo al resultado (ix) con n � 7

, ley de exponentes (b) y diferencia de cuadrados.

Ejemplo 5

, utilizando (viii)

, por la ley de exponentes (c).= +x y3 3 8

( )( ) ( )xy x y xy xy+ − + = +2 2 4 22 2 3 3

( )( )xy x y xy+ − +2 2 42 2

= − = − +x y x y x y14 14 7 7 7 7( )( )

= −( ) ( )x y2 7 2 7

( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x y x x y x y x y x y x y y2 2 2 6 2 5 2 2 4 2 2 2 3 2 3 2 2 2 4 2 2 5 2 6− + + + + + +

( )( )x y x x y x y x y x y x y y2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12− + + + + + +

Ejercicios

y problemas

1. Determina si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En caso de que la proposi-ción sea falsa, proporciona su corrección; si, por el contrario, la proposición es verdadera fundamentasu veracidad:a)

b)

c)

d) Con la finalidad de que , sea igual a se requiere que, y

e) El coeficiente de x2 en es .

2. Desarrolla cada una de las siguientes operaciones, sin recurrir al producto directo, sino utilizando al-guno de los productos notables i)- x):

a) .( )( )( )x x x4 2 21 1 1+ + −

5 4− m3 2 42 2( ) ( )( ) ( )x my x my x my mx y− + − + − +

c = 76b = 5

2a = 43

4 2x x+a x x b x x c[ ( ) ] [ ( ) ]3 3 2 21 1− − + − − +

[( )( )]a a a a− + = + +3 2 362 4 2

x x x x x x x( ) ( )+ + + = + + + +1 1 1 4 6 43 3 2 3 4

( )( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x x+ + − + − = + − − =1 1 1 1 1 1 22 2


b) .

c) .

d) .

e) .

3. Una esfera de radio r centímetros tiene un volumen de . ¿Cuánto aumentará el volumen si el ra-dio se incrementa en un centímetro?

4. Considera la figura 2.2, en el cuadrado: OA � OB � n. Por otro lado, cada Bj es un cuadrado de ladoj. Si también usamos Bj para referirnos al área del rectángulo correspondiente, se te pide hallar una for-ma cerrada para la suma de áreas (véase el problema Una mente brillante, de la sección de Proble-mas para trabajar en equipo): .

Considera el siguiente procedimiento:

a) Desarrolla , luego escribe el resultado en la forma: , para ciertos valores delas constantes a, b, c.

b) En la igualdad , asigna a k sucesivamente los valores 1, 2, …, n, luegoescribe las ecuaciones resultantes, una debajo de la otra.

c) Suma en forma ordenada el miembro izquierdo de una ecuación con el de la ecuación que está in-mediatamente debajo de ésta y simplifica, en cuanto al miembro derecho; sólo podrás escribir su-mas en forma abierta.

d) En el miembro derecho quedarán las sumas abiertas: , y ; relacionaeste hecho con la suma , luego determina la respuesta pedida.B B Bn1 2+ + +

1 22 2 2+ + + n

1 2+ + + n

( )k k ak bk c+ − = + +1 3 3 2

ak bk c2 + +( )k k+ −1 3 3

B B Bn1 2+ + +

43

3π r

( )( )x y x x y ym m m m m m3 3 2 1 6 6 3 3 2 1 4 2+ + + + + ++ − +

( )( )x y x x y x y xy y− + + + +2 2 4 8 164 3 2 2 3 4

− + + + −( )( )x y z x y z

( )( )( )a a a a a a2 2 4 21 1 1− + + + + +

1

432

1 4320B1

B2B3

B4

B

A

Figura 2.2




1. La antigua disputaLean nuevamente el problema presentado en la introducción (La antigua disputa). Fundamen-tando una respuesta con todo detalle y claridad, argumenten en favor o en contra acerca de siel reparto que se describe en este problema es equitativo o no.

2. Una mente brillante El título de este problema poco tiene que ver con la obra cinematográfica que en honor del ma-temático John Forbes Nash produjo Hollywood, pero es el calificativo con el que uno se tieneque referir a la inteligencia de uno de los hombres que la historia ha señalado como a una delas mentes más brillantes de la antigüedad; nos referimos a Arquímedes. Algunos historiadoresatribuyen las fórmulas para la suma de los primeros enteros positivos y la de sus cuadrados aeste genio de la antigua Grecia. La fórmulas que discutirás en este problema eran conocidas porlos matemáticos árabes de la Edad Media, que tradujeron, honraron y preservaron las obras deArquímedes durante esos oscuros siglos durante los cuales la mayoría de los europeos no sa-bía leer o escribir ni nada de matemáticas; los pocos que sabían leer y escribir vivían en mo-nasterios y estaban sumergidos en una vida de piedad.

1 An43201

n

B

4

3

2

Ln

L3

Figura 2.3


Consideren la figura 2.3, los cálculos que realizarán llevaron a los matemáticos árabes hacemás de mil años a determinar una hermosa fórmula que se aplica, por ejemplo, en el campo delcálculo integral. El argumento depende de los cuadrados B1, B2, B3, …, que se construyen co-mo sigue. Comenzando en el punto O, tracen segmentos sucesivos de longitudes 1, 2, 3, etcé-tera, y uno de longitud n, que se extiende hasta el punto A. Hagan lo mismo en el segmento OBperpendicular a OA, de modo que (una suma como ésta se conocecomo abierta porque se usa la notación de puntos suspensivos para sugerir muchos términosque están presentes, pero no se escriben).

En este problema, su trabajo consiste en hallar una forma cerrada para la suma:. Apóyense en la guía que se desglosa en los siguientes puntos:

a) Escriban , y debajo de esta expresión nuevamente a S, pero en la forma: . Ahora, sumen el primer término de la primera expresióncon el primer término de la segunda, el segundo con el segundo y así sucesivamente.¿Cuál es el valor de las sumas indicadas? A partir de su respuesta, determinen una for-ma cerrada (esto es, una expresión equivalente para ,pero en la que ya no aparecen los puntos suspensivos) para la suma .

La fórmula que deben obtener es de la forma: , para ciertos valoresconstantes de a, b, c, d, k.

b) Sea “C” el área del cuadrado con lados OA, OB. Usando el resultado del inciso anterior,determinen una expresión cerrada para el cálculo de C.

c) Ahora, sean L1, L2, etcétera, las regiones en forma de “L” que se muestran en la figu-ra; designemos, por las mismas letras, los valores de sus áreas. Entonces:

. Usen el hecho de que puede descomponerse en dos rectángu-los, como se ve en la figura 2.3, para probar que ; de este modo:

.

Determinen una expresión cerrada para C del tipo: , donde r, s, t, p, l sonciertos enteros positivos.

3. Números pitagóricos

Desde hace miles de años, un antiguo método empleado por agrimensores y constructores depirámides egipcias, se basaba en que los triángulos, en los que la relación de sus lados es 3: 4:5, son rectángulos (puesto que: ). Hay infinidad de números enteros y positivos

a, b, c que satisfacen la relación ; a este tipo de números se les conoce como nú-meros pitagóricos. El trabajo de su equipo consiste en determinar la veracidad o falsedad decada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si a, b, c son número pitagóricos, también lo son pa, pb y pc, donde p es un factor ente-ro positivo.

Nota: Si la proposición es verdadera, se seguirá que en caso de que a, b y c tengan un factorcomún, éste puede ser simplificado.

a b c2 2 2+ =3 4 52 2 2+ =

rn sn tn

l

p p p+ +− −1 2

C n= + +1 23 3 3

L kk= 3

L kC L L L n= + + +1 2

( )( )an b cn d

k

+ +

1 2+ + + n

1 2+ + + n

S n n= + − + +( )1 1

S n= + + +1 2

1 23 3 3+ + + n

OA OB n= = + + +1 2


b) Con la finalidad de que a, b y c no tengan factores comunes en la relación , es necesa-rio que si a es par entonces b sea impar (y viceversa).

c) Hay números pitagóricos a, b, c, tales que a, b son impares y c es par.

1. Descubre la opción que contiene el único desarrollo algebraico correcto.

a) b) c) d)

2. Determina la opción que contiene un error algebraico.

a) b) c)

d)

3. Un cubo de lado a aumenta en dos unidades, ¿cuánto aumenta el volumen del cubo?

a)b)c) 8d)

4. Lee cada uno de los siguientes textos y determina cuál de ellos es incorrecto:

a) Al multiplicar dos cantidades con la misma base, se suman los exponentes de estascantidades.

b) El producto de la diferencia de dos cantidades a y b, por la suma de las mismas canti-dades, produce una diferencia de cuadrados.

c) Si al cuadrado de la suma de a y b se le resta el cuadrado de b, se obtiene el cuadradode a, más el doble producto de a y b.

d) La diferencia del cubo de a más b menos el cubo de a menos b da como resultado dosveces el cubo de b.

6 82a +

3 3 82a a+ +6 12 82a a+ +

( )2 3 4 12 92 2 2x y x xy y− = − +( )( )x y x y x y+ + = +2 2

x x x x3 28 2 2 4+ = + − +( )( )( )( )( )x x x x x− + + = − −2 2 3 122 4 2

( )− + = − +1 1 22 2x x x

( )x x x x− = − + −2 8 6 123 3 2( )2 5 4 252 2x x− = +( )( )2 2 4 2− − = −x x x


5. Encuentra, en la columna B, los desarrollos de las operaciones que aparecen en la co-lumna A.

Columna A Columna B

a) i.b) ii.c) iii.d) (x2y3 � 8)(x2y3 + 6) iv.

v.

vi.

vii.

viii. x y x y4 9 2 348 2− −

x x4 22 3+ −x y x4 2 2+ −

x y x y4 6 2 32 48− −

x 4 81−

x x4 218 81+ +( )( )x x y y x x2 2− + + +x x4 23 2− +( )( )( )x x x+ + −3 9 32

x x y y x4 2 2 22+ + −( )( )x x2 21 3− +

Respuestas a los


1. a) El desarrollo es incorrecto, puesto que ; en efecto: .

Así, la corrección es:

b) El desarrollo es correcto, en efecto:

c) La proposición es falsa, desarrollando:

= − − + + ≠ + +a a a a a a4 3 2 4 22 11 12 36 36

= + + − − +a a a a a4 2 3 236 2 12 12

[( )( )] [ ]a a a a− + = − −3 2 62 2 2

= + + + +1 4 6 42 3 4x x x x

= + + + + + + +x x x x x x x4 3 2 3 23 3 3 3 1

x x x x x x x x x x( ) ( ) ( )+ + + = + + + + + + +1 1 3 3 1 3 3 13 3 3 2 3 2

= + + − + = +x x x x2 22 1 1 2 2

( )( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x x+ + − + − = + − −1 1 1 1 1 12 2

( )( ) ( )x x x+ + = +1 1 1 2( )( )x x x+ + ≠ +1 1 12


d) La proposición es verdadera, si desarrollamos:

si sustituimos los valores dados para a, b y c, la última expresión se convierte en:

e) La proposición es verdadera, ya que al desarrollar la expresión algebraica dada, encontramos:

2. a)

b)

c)

d)

e)

3.

4.

B B Bn n n

n1 21 2 1

6+ + + = + +

( )( )

43

3 3 12π ( )r r+ +

x ym m9 9 6 3+ ++

x y5 532−

− − − +x xy y z2 2 22

1 2 3 22 4 6 8+ + + +a a a a

x8 1−

3 2 4 5 4 14 42 2 2 2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x my x my x my mx y m x mxy m y− + − + − + = − − + −

= +4 2x x.

43

3 3 1 52

2 1 76

4 4 43

5 52

76

2 2x x x x x x− +[ ] + − + = − + + − +[ ]

= − + + − +a x x b x c[ ] [ ]3 3 1 2 12

a x x x x b x x x c[ ( )] [ ( )]3 3 2 2 23 3 1 2 1− − + − + − − + +


1. d2. c3. a4. d5. (a, vii), (b, iv), (c, i), (d, v)


Espectaculares en la Autopista del Sol

La empresa “Carteleras y Espectaculares S. A. de C. V.” recientemente fir-mó un contrato con “Caminos y Puentes Federales” para construir y colo-car 60 espectaculares gigantes en la Autopista del Sol, que conecta la ciudadde México con el puerto de Acapulco. En el contrato se especifica que:“cada espectacular deberá ser del tipo estructural de dos vistas y con di-mensiones que no sobrepasen 15 metros de largo y 8 metros de alto, con lacondición adicional de que el ancho no debe sobrepasar el doble del largo”.

2.2 Factorización

Debemos hacer la ciencia lo mássencilla posible. Pero no más sencilla.

Albert Einstein

Introducciónn

En la sección anterior establecimos expresiones para productos notables quepermiten desarrollar la multiplicación de dos expresiones algebraicas de formaágil y rápida. Por ejemplo, al multiplicar las expresiones 4x + 3y y 4x − 3yutilizamos el producto notable de binomios conjugados para obtener

En esta relación 4x + 3y y 4x − 3y son factores del producto 16x2 − 9y2.Nuestro interés, en esta sección, es desarrollar métodos que permitan resolver elproblema inverso, es decir, determinar los factores de una expresión algebraicadada. La utilidad de la factorización se ilustra en la siguiente situación.

( )( ) ( ) ( ).

4 3 4 3 4 316 9

2 2

2 2x y x y x y

x y

+ − = −= −

Figura 2.4 Espectacularvacío en la Autopistadel Sol.

432.2 Factorización

Actualmente existe una diferencia de opinión entre las dos empresas porquelos espectaculares que fueron colocados fueron de dimensiones diferentesy “Caminos y Puentes Federales” considera que no cumplen las disposicionesdel contrato. En el reporte entregado por “Carteleras y Espectaculares” seseñala que los diferentes tipos de espectaculares colocados fueron:

• Cuarenta espectaculares con un área de contenido de 32 metros cuadra-dos, con márgenes laterales de 0.2 metros y márgenes superior e inferiorde 0.1 metros y con ancho igual al doble del largo.

• Doce espectaculares con márgenes iguales a 0.1 metros en todos loslados, ancho dos veces el alto y área de 105.12 metros cuadrados

• Ocho espectaculares con márgenes iguales a 0.2 metros en todos loslados, ancho dos veces el alto y área de 112.48 metros cuadrados

¿Cuál de las dos empresas tiene razón?

Contenido del espectacular

Margensuperior

Margeninferior

Margenlateral

Figura 2.5 Diseño de un espectacular.

Objetivos

Al terminar la sección deberás ser capaz de:

• Identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto.• Identificar y factorizar una diferencia de cuadrados.• Identificar y factorizar una diferencia de cubos.• Identificar y factorizar una suma de cubos.• Factorizar una expresión dada

Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor

En el trabajo con la aritmética de números enteros resultan útiles el máximo común di-visor y la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c). El máximo común divisor (mcd) deuna colección de números enteros se utiliza cuando queremos encontrar el mayor número


que los divide . Por ejemplo, 8 es el mcd de 16 y 24. La propiedad distributiva sirvepara factorizar una suma o resta de números. Para expresiones algebraicas existen equi-valentes del mcd y de la propiedad distributiva que resultan útiles en el proceso de fac-torización por agrupación.

Definición

✓ Un monomio m(x) es factor común de un polinomio p(x) si todos los térmi-nos que componen el polinomio tienen a m(x) como un factor. En ese casose puede escribir p(x) = m(x)n(x)

✓ El máximo común divisor (mcd) de p(x) es el factor mcd (x) que incluye to-dos los factores comunes de todos los términos del polinomio.

Por ejemplo, el monomio 4xy es un factor común del polinomio 4xy2 + 8x2y3. En efecto, deacuerdo con la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c) se tiene que:

Sin embargo, el mcd es 4xy2 puesto que 4xy2 es un factor común de los dos términos delpolinomio.

4 8 4 4 24 2

2 2 3 2

2xy x y xy y xy xy

xy y xy+ = +

= +* *( )

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio 4xy + 8xy2 + 2x2y.

El monomio 2xy es factor de todos los términos del polinomio. En efecto, tenemos que

Usando este resultado para factorizar el polinomio obtenemos:

4 8 2 2 2 4 2 22 2 4

2 2xy xy x y xy y xy x xyxy y x

+ + = + += + +

( ) ( ) ( )( )

4 2 28 4 22 2

2

2

xy xyxy y xyx y x xy

===

( )( )

( ).

solución

solución


Ejemplo 2

Factorizar el polinomio 6x2y3 + 3x3y3 + 3x4y3 + 9x2y4 determinando su máximo común divisor.

El término 3x2y2 es el mcd del polinomio debido a que es el mayor de todos los factores comunes delpolinomio. Usando este resultado para factorizar el polinomio tenemos:

Ejemplo 3

¿Qué número tiene la propiedad de que la suma de ese número más dos veces su recíproco es igual a 3?

Sea x el número, su recíproco es 1/x. Debemos encontrar un número x con la propiedad de que

Multiplicando por x se tiene x2 + 2 = 3x, escribiendo todos los términos en el lado izquierdo se tiene x2

− 3x + 2 = 0. Factorizamos el polinomio de la siguiente forma

De tal suerte que se debe cumplir que (x − 1) (x − 2) = 0. El producto de dos términos es igual a cero,si y sólo si, al menos uno de los dos factores es igual a cero, entonces, x = 1 y x = 2. Cualquiera deestos dos números cumple la condición pedida, por lo tanto, esos son los números buscados.

x x x x xx x xx x

2 23 2 2 22 2

1 2

− + = − − += − − −= − −

( ) ( )( )( )

xx

+ =2 3

6 3 3 9 2 3 3 3 3 32 3 3

2 3 3 3 4 3 2 4 2 3 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3x y x y x y x y x y x x y x x y y x y

x x y x y+ + + = + + +

= + + +( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Los trinomios cuadrados perfectos son expresiones algebraicas que se obtienen de la su-ma o diferencia de cuadrados. Los productos notables

permiten determinar si una expresión es o no un trinomio cuadrado perfecto. Concreta-mente, un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede expresarse como el cua-drado de un binomio.

( )( )a b a ab ba b a ab b

+ = + +− = − +

2 2 2

2 2 222

solución

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto x2 + 6xy + 9y2.

Escribimos el polinomio como:

donde se identificó y .

Ejemplo 2

Determina si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, en caso de que lo sean factorízalos.

a)

b)

c)

a) x2 + 4xy + y2 no es un trinomio cuadrado perfecto porque el segundo término no es 2xy.b) El polinomio 4x4 + 20x2 + 25 es un trinomio cuadrado perfecto porque podemos identificar que

, luego:

c) El polinomio 16x2y2z 2 + 24xyzt + 9t2 también es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso iden-tificamos , . La factorización resulta

16 24 9 4 4 3 3

4 3

2 2 2 2 2

2

2

22 2

x y z xyzt t xyz y xyz t t

xyz ta a b b

+ + = + +

= +

( ) ( )( ) ( )

( )

b t↔ 3a xyz↔ 4

4 20 25 2 2 2 5 5

2 5

4 2 2 2

2

2 2

2 22 2

x x x x

xa

a b b

+ + = + +

= +

( ) ( )( )

( )

b ↔ 5a x↔ 2 2 ,

16 24 92 2 2 2x y z xyzt t+ +

4 20 254 2x x+ +

x xy y2 24+ +

3y b↔x a↔

x xy y x x y y

x y

a a b b

2 2 2 2

2

6 9 2 3 3

3

2 2

+ + = + +

= +

( )( ) ( )

( )

2

solución


Ejemplo 3

Encuentra las raíces de la ecuación 36x2 + 48x3 + 16x4 = 0.

Para resolver la ecuación factorizamos primero el factor 4x2, luego identificamos , .El proceso es el siguiente:

Finalmente los factores se igualan a cero para obtener las raíces x = 0, x = −3/2.

36 48 16 4 9 12 44 3 2 3 2 2

4 3 2

2 3 4 2 2

2 2 2

2 2

2 2

x x x x x xx x x

x x

a a b b

+ + = + += + +

= +

( )( ( )( ) ( ) )

( )

2x b↔3 ↔ a

Factorización de otros productos notables

Los siguientes productos notables se pueden usar para factorizar diversas expresiones al-gebraicas

Cuando se usan estos resultados en el proceso de factorización conviene identificar pri-mero a y b.

a b a b a ba b a a b ab ba b a a b ab b

a b a b a ab b

a b a b a ab b

2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3 3 2 2

3 33 3

− = + −+ = + + +− = − + −+ = +( ) − +( )− = −( ) + +( )

( )( )( )( )

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Factoriza la expresión x4 − 81y4.

Claramente tenemos una diferencia de cuadrados, identificamos , y obtenemos

x y x yx y x yx y x y x y

4 4 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

81 99 9

3 3 9

− = −= − += − + +

( ) ( )( )( )( )( )( )

usando diferencia de cuadrados, usando nuevamente diferencia de cuadrados

9 2y b↔x a2 ↔

solución

solución

solución


Ejemplo 2

Factoriza la expresión 8x3 - 27y3.

Tenemos una diferencia de cubos, identificamos , y obtenemos

Ejemplo 3

Factoriza la expresión 8a3 + 36a2 + 54a + 27.

Escribimos el polinomio como

Ejemplo 4

Factoriza la expresión a6 - (y + a)6.

Se observa que tenemos una diferencia de cuadrados primero y después diferencia y suma de cubos. Enefecto, la factorización se puede efectuar como sigue:

a y a a y a a y a

a y a a a y a ya y a a a y a y a a y a a a y a y a

6 6 3 3

2 2

3 3

2 2

2

− + = − + + +

= − + + + +− + + + + + + + − + + +

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ( ))( ( ) (( ( ))( ( ) ( ) ) ( ( ))( ( ) ( ) )

++ + + − + + += − + + + + + + − − + + += − + + + + +

a a y a a a y a y ay a ay a y ay a y a a ay a y ay ay a ay y y a a ay y

) )( ( ))( ( ) ( ) )( )( )( )( )( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

3 3 2

8 36 54 27 2 3 2 3 3 2 3 32 3

3 2 3 2 2 3

3a a a a a a

a+ + + = + + +

= +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

8 27 2 3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 6 9

3 3 3 3

2 2

2 2

3 3

2 2

x y x y

x y x x y y

x y x xy y

a b

a b a a b b

− = −

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − + +

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3y b↔2x a↔

solución


Ejemplo 5

Dos enteros pares consecutivos tienen la propiedad de que el cubo del mayor menos el cubo del menores igual a 8, encuentra esos números.

Sean 2x y 2x + 2 los dos pares consecutivos. De acuerdo con el problema se tiene que

Desarrollando la diferencia de cubos y colocando todos los términos del lado izquierdo se tiene

Finalmente, las raíces son x = 0 y x = −1. Los números pares consecutivos son 0 y 2. Otro par de nú-meros que cumple la condición es −2 y 0.

( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

,,

( ) ,

2 2 2 82 3 2 2 3 2 2 2 2 8

8 24 24 8 8 824 24 024 1 0

3 3

3 2 2 3 3

3 2 3

2

x xx x x x

x x x xx xx x

+ − =+ + + − =

+ + + − =+ =

+ =

desarrollando los productos

simplificando factorizando

( ) ( )2 2 2 83 3x x+ − =

Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c

Para factorizar términos de la forma ax2 + bx + c es conveniente recordar el resultadodel producto

El método es simple,

( )( ) ( )ax r ax s a x r s ax rs+ + = + + +2 2

Método para factorizar trinomios

✓ Primero se multiplica y divide la expresión por el coeficiente a para obtener:

✓ Se buscan números r y s que cumplan, .

✓ Finalmente tenemos que

ax bx ca

a x bax ac

aax r ax s

2 2 21

1

+ + = + +

= + +

( )

( )( )

ac rs=b r s= +

1 2 2

aa x bax ac+ +( )

solución

solución

Ejemplos


Ejemplo 1Factoriza la expresión x2 − 5x + 6

Como el coeficiente de x2 es 1, proponemos directamente la factorización como

x x x x2 5 6 2 3− + = − −( )( )

x x x r x s2 5 6− + = − −( )( )

x x x x2 5 6− + = − −( )( )

x x x x2 5 6− + = −( )( ) El signo propuesto es el signo del coeficiente de x, en estecaso es − porque el coeficiente es −5

El segundo signo propuesto es el signo del producto del coe-ficiente de x con el término independiente. En este caso es −porque el producto es −30.

Buscamos dos números r y s tales que la suma: (−r) + (−s)sea −5 y el producto (−r) (−s) sea 6.

Los números r, s se obtienen por prueba y error buscandoentre los divisores del número 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Por ejem-plo, si r = −1 y s = −6, (−r) (−s) = 6 pero (−r) + (−s) es 7.En cambio, los números r = 2 y s = 3 cumplen las dos con-diciones.

Ejemplo 2

Factoriza la expresión 3x2 + 5xy − 2y2.

Seguimos el proceso siguiente:

Y proponemos dos números r y s que cumplan r + (−s) = 5 y r(−s) = −6. Los números que cumplen am-bas condiciones son r = 6, s = 1. Tenemos entonces que:

= + −( )( )x y x y2 3

3 5 2 13

3 6 32 2x xy y x y x y+ − = + −( )( )

3 5 2 13

9 5 3 6

13

3 3

2 2 2 2x xy y x x y y

x y x y

+ − = + −( )= + −

( )

( ___ )( ___ )

solución

solución


Ejemplo 3

Factoriza la expresión 4x4 − 6x2 − 4.

El proceso de factorización se muestra a continuación

donde r y s cumplen . Los valores que satisfacen estas condiciones son: r = 8y s = 2. Finalmente se tiene

En el último paso hemos usado el producto notable de binomios conjugados.

Ejemplo 4

Un granjero tiene 250 metros de cerca para delimitar un área rectangular. Un lado del terreno se encuen-tra al lado de un terreno previamente cercado de forma que es posible aprovechar la cerca existente. Siel área a cercar es de 7200 metros cuadrados determina las dimensiones del terreno.

4 6 4 14

4 8 4 2

2 4 22 2 4 2

4 2 2 2

2 2

2

x x x x

x x

x x x

− − = −( ) +( )= − += −( ) +( ) +( )

( )( )

− + = − − = −r s r s6 16, ( )

4 6 4 14

4 6 4 16

14

4 4

4 2 2 2 2

2 2

x x x x

x r x s

− − = − −( )= −( ) +( )

( ) ( )

Cerca existente

x x

y

Los 250 metros servirán para cercar el terreno. De la figura se tiene:

2 250250 2

x yy x

+ == −

Figura 2.6

solución


El área de la región es A = xy. Usando la relación anterior se tiene que

En nuestro problema se afirma que el área es de 7200 metros cuadrados, entonces:

.

El problema se reduce a determinar las raíces de la ecuación anterior. Aplicamos nuestro método de fac-torización para obtener

Tenemos dos posibles soluciones al problema. La primera solución se obtiene al considerar que x = 45,entonces y = 250 − 2(45) = 160. La segunda solución se obtiene cuando x = 50 y y = 250 − 2(80) = 90.

Ejemplo 5

La utilidad U ( x ) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por

.

Determina el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener una utilidad de $1600.

El problema se reduce a resolver la ecuación

,

transponiendo y factorizando se tiene:

De donde la única solución es x = 40 unidades.

Ejemplo 6

Un bateador de béisbol golpea una pelota con el bat. La pelota describe aproximadamente la trayectoria

y = 20x − 5x2

Donde y es la altura de la pelota y x es la distancia recorrida. ¿A qué distancia del bateador se encuen-tra la pelota cuando la altura es 15 metros?

0 80 160040 4040

2

2

= − += − −= −

x xx xx

( )( )( )

1600 80 2= −x x

U x x x( ) = −80 2

2 250 7200 12

4 250 2 14400

12

2 90 2 160

45 2 160

2 2x x x x

x x

x x

- ( )

( )( )

+ = − +( )= −( ) −( )= − −

7200 250 2 2= −x x

A xy x x x x= = − = −( )250 2 250 2 2

solución


Substituyendo los datos del problema resulta que

,

transponiendo y factorizando se tiene:

La altura de la pelota es de 15 metros a una distancia de 1 ó 3 metros del bateador.

0 5 20 155 4 35 3 1

2

2

= − += − +( )= − −

x x

x x

x x( )( )

15 20 5 2= −x x

Ejercicios

y problemas

1. Factoriza los expresiones algebraicas siguientes

a) f )

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

2. Factoriza las siguientes expresiones determinando primero su máximo común divisor.

k) n)

l) o)

m)

3. Encuentra la factorización de los siguientes trinomios cuadrados perfectos

p) s)

q) t)

r) 16 40 254 2x x− +

9 24 162 2u u v w v w+ + + +( ) ( )16 8 2 2+ +xy x y

x y xyz z2 2 24 4+ +4 12 92x x− +

12 16 242 3 3 4 2abc a bc a b c− −

8 4 2 2 3a ab ab ab+ + +7 2 35 4 4 5 5 5x y x y x y+ −

15 25 10xy yz xyz+ +8 4 24 2 2 2 3 5x y x y x y− +

4 8 2 42 2 2 2a mx a nx a my a ny+ − −u u uv v2 6 6+ + +

y y y5 44 4+ + +x x xy y2 3 2 6+ − −

w x y z x y x y( ) ( ) ( )+ − + + +4 5 2 8 3 411 4 4( ) ( )a b b a b+ − +

xy x x y+ + +3 6 224 3 3( ) ( )x a x+ + +

x x x x4 3 23 3+ + +2 43 3xy x y+


4. Usa los productos notables para diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos para factorizar lassiguientes expresiones algebraicas.

u) x)

v) y)

w)

5. Aplica el método para factorizar trinomios cuadrados para factorizar las siguientes expresiones.

z) ee)

aa) ff )

bb) gg)

cc) hh)

dd) ii)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones usando factorización.

jj) oo)

kk) pp)

ll) qq)

mm) rr)

nn) ss)

7. Un cuerpo en caída libre tiene altura dada por h = 29.4 − 4.9t − 4.9t2 metros.

tt) Determina cuándo el cuerpo chocará contra el piso.uu) ¿En qué momento la altura será de 19.6 metros?

8. Un granjero va a cercar un terreno rectangular de área 48 metros cuadrados: si el largo es dos unidadesmayor que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? ¿Cuál es el perímetro del terreno?

9. El cuadrado de un número más siete veces el mismo número es igual a 18, encuentra el número.

10. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 280 metros y un área de 4500 metros cuadrados, ¿qué di-mensiones tiene el terreno?

9 9 2 02+ + =y y3 16 35 02x x− − =

2 14 120 02x x+ − =3 10 8 02x x− + =

15 6 02x x+ − =2 2 12 02x x+ − =

4 7 2 02x x+ − =x x2 6 0− − =

6 15 21 02x x− − =x x2 9 8 0− + =

8 22 56 3 2 4x x y y+ +2 14 1202x x− −

− − +5 13 62 2 2 2b bxyz x y z4 2 22x x− −

4 9 22 2 4y x y x+ +6 5 212x x− −

3 5 22 2x xy y+ +3 8 352x x+ −

4 7 22 2x y xy+ −2 5 122x x− −

8 643( )x y− −

( ) ( )2 23 3x y x y+ + −16 814 4y x −

( ) ( )2 23 3x y x y+ − −25 6252x −



Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situa-ciones.

1. La situación presentada en la introducción: “Espectaculares en la Autopista del Sol”

2. “La empresa de cable”.La empresa “Televisión por Cable S. A. de C. V.” tiene actualmente 20,000 suscriptores que pa-gan una renta mensual de $200.00 por el servicio. Su departamento de “Estudios de Mercado”realizó una encuesta que reveló que por cada $2.50 de disminución en la renta se tendrían 500suscriptores más.

a) ¿Cuál es el ingreso actual?b) Si se realiza una reducción de $2.50 ¿cuál sería el ingreso?c) Si hicieras una reducción de $5.00 ¿cuál sería el ingreso?d) Supón que x es el número de reducciones en la renta, escribe una ecuación para calcular el in-

greso.e) Usa la ecuación que obtuviste para determinar el número de reducciones que tendrías que

hacer para obtener un ingreso de $4,000,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?.f) Con la misma ecuación determina el número de reducciones necesarias para tener un ingre-

so de $4,375,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?.g) Repite el inciso anterior cuando se tiene un ingreso de $4,468,750 y cuando el ingreso es

$4,500,000.h) ¿Cuál debería ser el valor de la renta si la empresa quiere tener un ingreso máximo?

3. “Marcos de pinturas”En el monumento a la Madre, cerca del cruce entre Insurgentes y Reforma, en la ciudad deMéxico, pintores de todas las edades y condiciones socioculturales muestran sus pinturas todoslos fines de semana. Algunos de ellos indican que las pinturas resaltan por los enmarcados ymárgenes alrededor de ellas. Un buen enmarcado, para un cuadro horizontal, debe tener altoigual a 1.5 veces el ancho y 3 centímetros de margen en cada lado. Si un amante de la pinturacompra tres pinturas al óleo con áreas de 1.49985, 5.99985, y 3.37485 metros cuadrados, ¿có-mo debe solicitar los enmarcados para que resalten sus cuadros?

Figura 2.7

Otro Blues, ¡por favor!,Ivonne López (2000)

Figura 2.7


1. Factoriza la expresión x3 − 4x2 − x + 4

a)b)c)d)

2. Señala la opción donde aparece la factorización de la expresión x3 − 8.

e)f)g)h) (x − 2)(x2 + 2x + 4)

3. Factoriza la expresión 25x2 − 60x + 36

i)j)k)l)

4. Dos números enteros positivos pares consecutivos son tales que la suma de sus cuadrados esigual a 100. Indica la opción que contiene la multiplicación de esos dos números pares

a) 12b) 48c) 80d) 36

5. Encuentra en la columna B un factor de los polinomios que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) i.b) ii.c) iii.d) iv.

v.vi.

vii.viii. 4 6 92 2a ab b+ +

a b+ 22 4a b−4 92 2a b+2a b−4 2 122 2a ab b+ −2 3a b−4 8 32 2a ab b− +3 2a b−16 814 4a b−2 3a b+8 273 3a b−

( )5 6 2x +( )5 6 2x −

( )( )5 9 5 4x x+ −( )( )5 6 5 6x x+ −

( )( )x x x+ + +2 2 42

( )( )x x x− − +2 2 42

( )( )x x x+ − −2 2 42

( )( )( )x x x− + −2 2 1( ) ( )x x− +2 12

( )( )x x2 1 4+ −

( )( )( )x x x− + −1 1 4


Respuestas a los


1.a)b)c)d)e)f)g)h)

i)j)

2.k)l)

m)n)

o)

3.p)q)r)s)t)

4.u)

v)w)x)y)5.z)

aa)bb) ( )( )2 3 3 7x x+ −

( )( )x x+ −5 3 7

( )( )2 3 4x x+ −

4 4 32 2x x y( )+2 12 2 2y x y( )+8 2 2 2 2 42 2( )( )x y x xy y x y− − − + + − +( )( )( )2 3 2 3 4 92 2xy xy x y− + +

25 5 5( )( )x x− +

( )3 4 4 2u v w+ +( )xy z+ 2 2

( )4 52 2x −( )4 2+ xy

( )2 3 2x −

mcd a a b b= + +; ( )( )4 22

mcd y y x z xz= + +5 5 3 5 2; ( )mcd abc abc ac a b c= − −4 4 3 4 62 2 3; ( )mcd x y x y x y xy= + −4 4 4 4 7 2 3; ( )mcd x y x y x xy= − +2 2 4 22 2 2 2 2 3; ( )

2 2 22a x y m n( )( )− +( )( )y y4 1 4+ +

( )( )w z x y− + +10 3 4( )( )x y x+ +2 3( )( )x x x3 3+ +( )( )u v u+ + 6( )( )x y x− +2 3( )( )11 4− +b a b

( )( )4 3+ +a x

2 22 2xy y x( )+


cc)dd)ee)ff )

gg)hh)

ii)

6.jj) 1, 8

kk) 3, −2ll) −3, 2

mm) 2, 4/3nn) 7, −5/3oo) −1, 7/2pp) −2, 1/4qq) 3/5, −2/3rr) 5, −12ss) −3, −3/2

7.tt) t = 2 seg.

uu) t = 1 seg.

8. Ancho = 6m, largo = 8m, perímetro = 28m.

9. x = 2; x = −9

10. 90 y 50 metros.

( )( )4 2 53 2 3 2x y x y+ +( )( )3 2 5xyz b xyz b+ −

( )( )2 42 2x y x y+ +( )( )x y x y+ +3 2( )( )xy xy+ −2 4 1( )( )2 10 12x x+ −

( )( )4 2 1x x+ −


1. a2. d3. c4. b5. (a; iii, viii), (b; iii, i, v), (c; iii, iv), (d; iii, vii)

El dilema del gerente de compras

Carlos Montes de Oca, licenciado en administración de empresas recién egresa-do de la Universidad, trabaja como gerente de compras en una gran tienda depar-tamental, que regularmente vende 600 refrigeradores por año. Los refrigeradoresse piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en una bodega cercana paraalmacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay“periodos pico” durante el año, si los aparatos se venden de forma regular, elinventario promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refri-geradores. Consecuentemente, la tienda incurre en costos corrientes sustanciales,debidos a derechos de almacenamiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagarel inventario. Para bajar estos costos corrientes, el gerente puede decidir pedir losrefrigeradores en lotes más pequeños, volviendo a hacerlo tan pronto como seanecesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos, debenconsiderarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya que cada vez quelos refrigeradores se vuelven a ordenar se hacen gastos extras, tales como papel,mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. En efecto, órdenes más pequeñasredundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, con lo que se incremen-tarían los costos de pedido, mientras que los costos corrientes han sido reducidos.

2.3 División de expresiones

algebraicas

La matemática es la cienciadel orden y medida, de bellas

cadenas de razonamientos,todos sencillos y fáciles.

René Descartes

Introducciónn

En sus orígenes, el principal uso del álgebra fue para resolver problemasrelacionados con el comercio, principalmente de los mercaderes del MarMediterráneo. En el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250), más conocido como Fibonacci. Alrededor del 1202 escribió su célebreobra Liber Abaci (El libro del ábaco), en donde se encuentran expuestos: elcálculo de números, según el sistema de numeración posicional; operacio-nes con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales, como laregla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas so-bre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresio-nes y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas. En esta sección revisaremosalgunas estrategias algebraicas que usaremos para resolver problemascomo:

592.3 División de expresiones algebraicas


Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tangrandes deben ser las órdenes (número de refrigeradores pedidos) que debe pedira la tienda departamental si quiere conservar sus costos totales en un mínimo.

Objetivos


• Dividir dos expresiones cualesquiera.• Utilizar la división sintética, cuando el divisor sea de la forma adecuada.

División de expresiones algebraicas

La división es la operación inversa de la multiplicación. Es posible también definir la di-visión con el postulado siguiente:

Dados dos números cualesquiera a y c, a ≠ 0, existe un número b y sólo uno, talque ab = c

Este número b está dado por , a ≠ 0, que se lee “b es igual a c, dividido entre

a”; de aquí, se dice que b es el cociente obtenido al dividir el dividendo c entre el divisor a.

Nota: La operación de división puede indicarse por medio de una línea horizontal, unalínea oblicua, con el símbolo ÷ o, simplemente, con dos puntos: Entonces, , , c ÷ ay c : a tienen el mismo significado.

En seguida mostraremos la manera de dividir dos expresiones algebraicas, pero antes re-visaremos algunas reglas y leyes importantes:

Regla de los signos de la división

El cociente de dos números es positivo o negativo, según el dividendo y el divisor ten-gan signos iguales o contrarios, respectivamente. Por lo tanto, si a, b y c son todos posi-tivos, escribiremos

; − = − =−

bc

a

c

ab

c

a

c

a= = −

−

ca

c

a

bc

a=

Leyes de los exponentes

a) Para m entero y positivo tenemos .

b) Para a ≠ 0, m y n enteros positivos tales que m > n, .

c) Si a y b son ambos diferentes de cero, m, n, r y s son números enteros y po-

sitivos, tales que m > n y r > s; entonces .a b

a ba b

m r

n sm n r s= − −

a

aa

m

nm n= −

a

b

a

b

m m

m⎛⎝

⎞⎠ =


División de un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio en-tre el monomio, luego se suman los cocientes obtenidos. Esto es:

a b c

m

a

m

b

m

c

m

+ + = + +

Guía para dividir un polinomio entre otro

a) Se ordenan el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes deuna misma literal.

b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divi-sor; el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el di-visor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.

c) El residuo obtenido del paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite elproceso del paso 2, para obtener el segundo término del cociente.

d) Se repite este proceso hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior queel del divisor.

Nota: Si en una división A es el dividendo, B es el divisor, Q el cociente y R el residuo,tenemos:

• Si R = 0, la división es exacta, luego escribimos , de donde A = BQ. Esta

igualdad muestra que la división exacta se comprueba verificando que el dividen-do es igual al producto del divisor y el cociente.

• Si R ≠ 0, la división puede convertirse en exacta si el dividendo original es dismi-nuido en R. Entonces, escribimos , de donde A − R = BQ y A = BQ + R.

La última relación muestra que cualquier división se comprueba verificando que el divi-dendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo. Observa que de ma-nera equivalente:

A

BQ

R

B= +

A R

B

−

A

BQ=

Ejemplos

Efectúa las siguientes divisiones:

Ejemplo 1

8 43 4 2a b ab( ) ÷ −( )

solución

solución

solución

solución

solución


Dividimos término a término, para obtener: .

Ejemplo 2

Dividiendo término a término, obtenemos: .

Ejemplo 3

Dividimos término a término, y obtenemos: .

Ejemplo 4

, dividimos cada término entre 2a2b

, y simplificamos.

Ejemplo 5

; dividimos cada término entre

; y simplificamos.= − +m n x m n ym n z

2 2 3 22

35

33

m n x m n y m n z

m n

m n x

m n

m n y

m n

m n z

m n

4 3 5 3 4 2

2

4 3

2

5 3

2

4 2

25 9

3 353

93

− + = − +

m n x m n y m n z m n4 3 5 3 4 2 25 9 3− +( ) ÷ ( )

= − −32

2 52

2 22abx

a b yb

3 4 52

32

42

52

3 2 4 3 2 3

2

3 2

2

4 3

2

2 3

2a b x a b y a b

a b

a b x

a b

a b y

a b

a b

a b

− − = − −

3 4 5 23 2 4 3 2 3 2a b x a b y a b a b− −( ) ÷ ( )

−−

= −−

⋅ ⋅ =42

42

25 4

3

5

3

42 3m n

m n

m

m

n

nm n

−( ) ÷ −( )4 25 4 3m n m n

72

72

72

3 2

2 3

3

2

2

3x y z

x y z

x

x

y

y

z

z

x

y= ⋅ ⋅ ⋅ =

7 23 2 2 3x y z x y( ) ÷ ( )

84

84

23 4

2

3 4

22 2a b

ab

a

a

b

ba b

−=

−⋅ ⋅ = −

solución

solución


Ejemplo 6

.

Primero ordenamos el dividendo y el divisor, con potencias descendentes de m; la operación se hacecomo sigue:

Comprobación: . Es posible escribir el resul-tado como:

Ejemplo 7

El dividendo y el divisor están ordenados con potencias descendentes de x; la operación se hace comosigue:

Comprobación: .

Podemos escribir el resultado como: .x x y x y xy y

x xy yx xy y

4 3 2 2 3 4

2 22 27 6

22 3− − + −

+ −= − +

( )( )x xy y x xy y x x y x y xy y2 2 2 2 4 3 2 2 3 42 2 3 7 6+ − − + = − − + −

)x xy y x x y x y xy y

x xy y cociente

x x y x y

x y x y xy yx y x y xy

x y xy yx y xy

2 2 4 3 2 2 3 4

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3

2 7 62 3

22 7 6

2 2 43 3 63 3 6

+ − − − + −− +

− + −− + + −

− − − ++ −

− + −

( )

( )

( )

( yy

residuo

4

0)

( )

x x y x y xy y x xy y4 3 2 2 3 4 2 27 6 2− − + −( ) ÷ + −( )

− + + −+ −

= − + + − −+ −

= − + − ++ −

5 9 71

5 6 2 11

5 6 2 11

3 2

2 2 2m m m

m mm

m

m mm

m

m m

( )( ) ( )m m m m m m m2 3 21 5 6 2 1 5 9 7+ − − + + − − = − + + −

m m m m m2 3 25 9 7 1− + −( ) ÷ + −( )

comom

mm

:− = −5 5

3

2

)m m m m m

m cociente

m m m restamos m m m

m mm m restamos m m

m residuo

2 3 2

3 2 2

2

2 2

1 5 9 75 6

5 5 5 5 16 4 76 6 6 6 1

2 1

+ − − + + −− +

− − − + − + −+ −

− + − + −− −

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

comom

m

6 62

2 =


División sintética

Hay un método para efectuar rápidamente la división de un polinomio entre un binomiode la forma x − a; a esta división se le conoce como división sintética. Antes de indicaren qué consiste tal método, enunciaremos el teorema en el que se fundamenta:

Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x − a, siendo a una constante in-dependiente de x, el residuo es igual a P(a).

La representación algebraica del teorema es: .

Explicaremos el método de división sintética efectuando la división del polinomio6x3 − 8x2 − 4x − 14 entre x − 2.

De acuerdo con la sección anterior, la división algebraica ordinaria es:

Procederemos ahora a abreviar el esquema anterior, tanto como sea posible. Como lospolinomios se escriben ordenados con potencias descendentes de x, es posible omitir ta-les potencias y conservar solamente sus coeficientes. Además, el coeficiente de x en eldivisor es la unidad, el primer término de cada producto parcial es una repetición del tér-mino que sigue inmediatamente después de él; por lo tanto, puede ser omitido. También,el segundo término de cada residuo parcial es una repetición del término que está sobreél en el dividendo, por lo cual es posible omitirlo. Por comodidad, omitimos el primertérmino del divisor y colocamos el término constante a la derecha del dividendo. Deigual manera, ya que cada coeficiente del cociente, con excepción del primero, está re-presentado por el primer coeficiente del residuo parcial, resulta que todo el cociente pue-de omitirse. Con todas estas omisiones, la división se reduce a lo siguiente:

Escribiendo en tres líneas todo lo anterior, y repitiendo el coeficiente principal en la ter-cera línea, tenemos:

6 8 4 14 212 8 8

6 4 4 6

− − − −↓ − − − − − −

−

|( ) ( ) ( )

6 8 4 14 2124

84

86

− − − −− −

− −

− −−

|( )

( )

( )

)x x x x

x x cociente

x x

x xx x

xx

residuo

− − − −+ +

− −− −

− −−

− −−

2 6 8 4 146 4 4

6 124 4 14

4 84 144 8

6

3 2

2

3 2

2

2

( )

( )

( )

( )( )

P x

x aQ x

P a

x a

( ) ( ) ( )−

= +−


Si cambiamos el signo del término que representa al divisor, sumaremos los productosparciales en lugar de restarlos. Lo anterior es deseable pues, de acuerdo con el teoremavisto al inicio de la sección, el residuo obtenido como resultado de la división es el valorde P(x), cuando el valor de x es 2 y no −2. Por lo tanto, la forma final de la división quedaasí:

El cociente 6x2 + 4x + 4 se construye utilizando la tercera línea, mientras que el residuo,separado de esta línea tal como se indica, es −6.

6 8 4 14 212 8 8

6 4 4 6

− − −↓ + + +

+ + −

|

|

Guía para la división sintética

Para dividir un polinomio entre x − a, seprocede como sigue:

a) En la primera línea se escriben en orden los coeficientes c0, c1, c2,…, cn deldividendo P(x); el número a va separado y a la derecha. Si alguna potenciade x no aparece en P(x), su coeficiente se escribe como cero:

b) Se incluye el coeficiente principal c0 como primer término de la tercera línea yse multiplica por a, escribiendo el producto c0a en la segunda línea debajo dec1. Se suma c1 con el producto c0a y se anota la suma c1 + c0a, en la tercera línea.Se multiplica esta suma por a, se escribe el producto en la segunda línea debajode c2 y se suma con c2, escribiéndose la suma en la tercera línea. Se continúaasí hasta que se usa como sumando cn, escribiéndose la suma en la tercera línea.

c) El último número de la tercera línea es el residuo; los números anteriores sonlos coeficientes del cociente, correspondientes a potencias descendentes dex, es decir:

Cociente c x c a c x c a c a c xn n n= + + + + + +− − −0

10 1

22 0 1

3( ) ( ( ))

c c c c a

c a a c a c

c c a c c a c a c residuo

n0 1 2

0 0 1

0 0 1 2 0 1

|( )

( ) ( ) |↓ +

+ + +

c c c c a

c

n0 1 2

0

|↓

P x c x c x c x cn n nn( ) = + + + +− −

0 11

22

solución

solución

solución

Ejemplos


Obtén el cociente y el residuo, usando división sintética:

Ejemplo 1

Divide −x2 + x3 − x −3 entre x − 3.

Primero ordenamos los términos del dividendo con las potencias en forma descendente, es decir: x3

− x2 − x − 3. Además, como vamos a dividir entre x − 3, tomaremos a = 3. La operación queda como:

Concluimos que tiene como cociente x2 + 2x + 5 y residuo 12.

Ejemplo 2

Divide 2x4 + 3x3 − 10x − 3 entre x − 1.

Como el dividendo carece del término de x2, ponemos el coeficiente cero en ese lugar. Además, comovamos a dividir entre x − 1, tomamos a = 1. La operación queda así:

Concluimos que tiene como cociente 2x3 + 5x2 + 5 − 5 y residuo −8.

Ejemplo 3

Divide x3 − 3x2 + 2x − 5 entre x + 3.

El dividendo ya tiene los coeficientes de x arreglados en forma descendente. Como vamos a dividir entrex + 3 = x −(−3), debemos tomar a = −3. La operación queda como:

Por lo cual, tiene como cociente x2 − 6x + 20 y residuo −65.x x x

x

3 23 2 53

− + −+

1 3 2 5 33 18 60

1 6 20 65

− − −− −− −

|

|

2 3 10 31

4 3x x x

x

+ − −−

2 3 0 10 3 12 5 5 5

2 5 5 5 8

− −−

− −

|

|

x x x

x

3 2 33

− − −−

1 1 1 3 33 6 15

1 2 5 12

− − − |

|

solución


Ejemplo 4

Divide x5 + 2x3 + 6x − 35 entre x + 4.

Ahora, el dividendo carece de los términos x4 y x2; en consecuencia, hay que poner los coeficientes ceroen esos lugares. Además, como vamos a dividir entre x + 4 = x − (−4), tomamos a = −4. La operaciónqueda así:

Entonces, tiene como cociente x4 − 4x3 + 18x2 − 72x + 294 y residuo −1211.x x x

x

5 32 6 354

+ + −+

1 0 2 0 6 35 44 16 72 288 1176

1 4 18 72 294 1211

− −− − −− − −

|

|

Ejercicios

y problemas

1. En una división exacta el dividendo es x3 + 3x2y + xy2 − 2y3 y el cociente es x2 + xy − y2. Halla el di-visor.

2. Efectúa la división indicada y comprueba el resultado:

a)

b)

c)

d)

e)

3. En cada uno de los ejercicios siguientes, obtener el cociente y el residuo usando la división sintética

a)

b)

c)

d) n n n n n n n5 2 4 3 62 7 8 5 5 3 1+ + − + + +( ) ÷ +( )

a a a a a4 3 25 10 8 2 2+ − − +( ) ÷ +( )

5 20 15 20 33 2r r r r− + +( ) ÷ −( )

m m m m3 28 18 7 5− + +( ) ÷ −( )

r r s rs s r rs s4 2 2 2 4 2 22 4 2+ − +( ) ÷ + +( )x y x y x y xy y x y xy y5 4 2 2 4 5 6 2 2 34 10 7 9 4+ + − +( ) ÷ + −( )x x x x x x4 3 2 24 10 12 9 2 3− + − +( ) ÷ − +( )50 10 35 53 2r r r r+ −( ) ÷ ( )

12 6 18 63 3 2 2m n m n mn mn− +( ) ÷ −( )




1. El dilema del gerente de compras (la situación de la introducción). Carlos Montes de Oca,licenciado en administración de empresas recién egresado de la Universidad, trabaja comogerente de compras en una gran tienda departamental que regularmente vende 600 refrigera-dores por año. Los refrigeradores se piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en unabodega cercana para almacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si nohay “periodos pico” durante el año y si los aparatos se venden de forma regular, el inventariopromedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refrigeradores. Consecuen-temente la tienda incurre en costos corrientes sustanciales, debidos a derechos de almace-namiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar tales costoscorrientes, el gerente puede decidir pedir los refrigeradores en lotes más pequeños, volviendoa pedir tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamañode los pedidos deben considerarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya quecada vez que los refrigeradores se vuelvan a ordenar se harán gastos extras, tales como papel,mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. Obviamente, órdenes más pequeñas re-dundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, lo que incrementaría los costos depedido mientras que los costos corrientes han sido reducidos. Tomando en cuenta ambostipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número derefrigeradores pedidos) que tiene que pedir a la tienda departamental si quiere conservar suscostos totales en un mínimo. Carlos ha pedido ayuda a sus profesores de la Universidad,quienes le han sugerido que considere lo siguiente:

a) Determinar los costos corrientes anuales. Carlos sabe que tiene que considerar los cos-tos anuales por refrigerador y el número promedio de refrigeradores.

b) Obtener los costos de pedido. Carlos se ha informado que debe considerar los costos deentrega y el número de entregas en el año, además de que los costos de entrega constande costos de pedido fijos y de costos variables, que se originan al recibir cada entrega

c) Determinar los costos totales mediante los costos corrientes y de pedidos anuales.d) Carlos desea comprobar los costos totales considerando que el costo anual corriente por

refrigerador es de $400, el valor de los costos de pedidos fijos es de $200 y que el cos-to de remesa de refrigerador es de $250, obteniendo el tamaño óptimo del lote y el costototal que este pedido originaría.

2. El ingeniero industrial Felipe Guzmán trabaja en la compañía HTS y necesita conocer el cos-to promedio de producción en cualquier tiempo; ha observado que el número de mercancíasproducidas en la compañía, durante un turno de 10 horas, está dado por n(t) = t + 3, perotambién ha investigado que el costo total en dólares por producir n(t) mercancías está dado porc(t) = 5t2 + 17t + 6; por último, le han informado que el costo promedio de producción está

dado por . A Felipe le han pedido que informe qué sucede con el costo prome-

dio de producción a las 10 horas y cuál es el costo promedio por mercancía en ese momento.

a tc t

n t( ) ( )

( )=


3. La compañía “Hardware y Software S.A.” produce discos compactos vírgenes y grabados. Ana-lizando sus archivos han deducido que el costo promedio en dólares por disco para una pro-

ducción de x discos grabados está dada por la función . ¿Aproximadamente,

cuál es el costo promedio si el número de discos es muy grande? ¿Cuál será el costo prome-dio para 20 discos compactos?

4. La compañía Silva-Form diseña una caja para almacenar archivos; la caja con base cuadra-da debe ser cerrada y con capacidad de 108 cm3. El gerente de la compañía tiene pensadohacer la caja de cartón, por lo que requiere conocer la cantidad de cartón necesaria para ha-cer cada caja en términos del lado de la base. Determina la cantidad de cartón que se requie-re para elaborar una de estas cajas.

5. La función da la concentración N(t) en el cuerpo, en partes

por millón, de una cierta dosis de medicamento, después de t horas. Realiza el cociente yexplica qué representan el cociente y el residuo.

N tt

tt( ) . ;= +

+≥0 8 1000

5 415

f xx

x( ) = +13 100

1. Indica la opción que contiene el cociente y el residuo de utilizan-do división sintética.

a) Cociente: ; residuo: 101.

b) Cociente: ; residuo: 283.

c) Cociente: ; residuo: 23.

d) Cociente: ; residuo: 41.

2. Halla la opción que contiene el cociente y el residuo de

.

a) Cociente: ; residuo: .

b) Cociente: ; residuo: .

c) Cociente: ; residuo: .

d) Cociente: ; residuo: .y y y x y xy3 3 2 2 22− − + +x xy y y x y2 2 2 23 2 10+ − + +

y y y xy xy2 3 3 210 3+ − + +x xy y y2 2 33 10+ + −

y y xy xy4 6 3 510 3 33− − +x y y xy xy2 3 210 3+ − + +

y y y xy xy2 3 3 210 3+ − + +x xy y y xy2 2 33 2 10− + − +

x y x y x y x y x y xy x y x y xy y4 3 2 2 2 2 3 3 3 4 2 4 2 2 34 2 3 3+ + + + − −( ) ÷ + −( )

2 3 113 2x x x− + −

2 53 2x x x+ −

2 11 33 973 2x x x+ + +

2 11 313 2x x x+ +

8 5 2 2 33 4+ + −( ) ÷ +( )x x x x


3. Determina la solución del problema: La población P en cientos de habitantes de la ciudad de

Cuernavaca está dada por , donde t está dado en meses. Encuentra

la población en cualquier tiempo.

a) P(t) = 65 + 250t

b) P(t) = 65t + 5 + 250t2

c) P(t) = 250t + 130

d) P(t) = 130 + 25t

4. Indica la opción que representa la solución del problema: La cantidad total de pulgadas de

lluvia durante una tormenta de t horas de duración, se calcula así: ,

donde a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Encuentrala cantidad total de pulgadas R (t) de lluvia para la región del Pacifico, si se sabe que en esaregión a = 2 y b = 8.

a) 2t − 7b) 2t + 8c) t + 3d) 2t + 1

5. Encuentra, en la columna B, las soluciones de las operaciones que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) i. x5 + 3x + y2

b) ii. x2 + 2xy + y2

c) iii. x2 + y2

d) iv. x5 − 2x2 + y5

v. x2 – y3

vi. x5 + y5

vii. x5 + 5xy2 + y4

viii. x2 + 2xy2

4 2 4 2 2 47 4 5 3 2 4 3 5 8 5 2 5x x y x y x y x y xy y x x y x− − + + −( ) ÷ − +( )− + + − + −( ) ÷ −( )2 24 7 2 3 5 3 2 6 8 2 3x y x y x y x y x y y x y y

x x y x y x y x y xy x xy8 4 2 6 2 2 4 3 4 6 3 25 5+ − − + −( ) ÷ −( )x x x y x y x y y x x xy y5 4 3 4 3 2 4 3 2 23 4 2 3 2+ + + + +( ) ÷ + − +( )

R tat at a

at b( ) = + +

+2 9 42

P tt t

t( ) = + +

+130 510 500

2 1

2


Respuestas a los


1. x + 2y2.

a) −2m2n2 + mm − 3b) 10r2 + 2r − 7c). x2 − 2x + 3d) Cociente: x3 + xy2 + 6y3; residuo −30xy5 + 15y6

e) Cociente: r2 − 2rs + 5s2; residuo: −4s4 − 4rs2 − 8rs3

3. a) Cociente: m2 − 3m + 3; residuo: 22b) Cociente: 5r2 − 5r; residuo: 20c) Cociente: a3 + 3a2 − 16a + 24.; residuo: −46d) Cociente: 5n5 − 4n4 + 11n3 − 19n2 + 21n − 16.; residuo: 19


1. d) 2. b) 3. c)4. d)5. (a, ii), (b, vii), (c, iv), (d, v)


2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones

algebraicas

La matemática: el inconmoviblefundamento de todas las Ciencias y la generosa fuente de beneficios

para los asuntos humanos.

Isaac Barrow

Introducción

Pocas tecnologías han disfrutado alguna vez de una celebridad similar a la deuna estrella de cine, como la que los superconductores recibieron en la déca-da de 1980. La historia se inicia con la Ley de Ohm, que en teoría eléctrica

nos indica que , donde R representa la resistencia (en ohms) del con-

ductor, V la diferencia de potencial (en volts) en los terminales del conductore I la corriente (en amperes) que circula por el conductor. La resistencia deciertas aleaciones se aproxima a cero conforme la temperatura se acerque alcero absoluto (alrededor de −273° C), en tanto que la aleación se convierteen superconductor de electricidad. Si la tensión V es fija, entonces para dichosuperconductor, a medida que R se aproxime a 0, la corriente aumentará sinlímite. Los superconductores permiten usar corrientes muy altas en plantasgeneradoras y motores. También tienen aplicaciones en el transporte terrestrede alta velocidad (trenes levitantes de hasta 500 kph), donde los intensos cam-pos magnéticos producidos por imanes superconductores elevan los trenes,con lo cual se evita la fricción entre las ruedas y la vía; quizá la aplicaciónmás importante de los superconductores se realice en los circuitos paracomputadoras, en los cuales se produce muy poco calor.

La siguiente situación es sólo un esbozo que marca la utilidad del álgebraen la práctica tecnológica:

IV

R=

¿Álgebra en los circuitos eléctricos?

La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producircircuitos eléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tareadel todo simple si, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación delos ingenieros que han investigado que para determinados circuitos del modelo

C520T el voltaje está dado por y la resistencia, por .R tt

t( ) = +

−2 13 1

V tt

t( ) =

+2

5 3

Ejemplos

732.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas

Dominio de una fracción algebraica

Una expresión racional o fracción algebraica es el cociente indicado de dos poli-nomios. Por ejemplo, si A es el dividendo y B es el divisor (no nulo), el cociente A / Bes una fracción. Aquí, A recibe el nombre de numerador y B el de denominador; esto es,

.

Por ejemplo: , y son fracciones algebraicas.

Dominio de una fracción algebraica

El dominio de una expresión racional es el conjunto de todos los números reales para loscuales la expresión está definida. Puesto que no se puede dividir entre cero, cualquier nú-mero que haga el denominador cero no está en el dominio de una fracción algebraica.

Considera los siguientes ejemplos:

x

x x

2

29

6−

+ −5

2x +28

A

B

numerador

deno ador

←← min

Objetivos


• Encontrar los valores de las variables para los cuales una fracción dada noestá definida.

• Reducir a su mínima expresión una fracción dada.• Multiplicar y dividir fracciones dadas.

Determina el dominio de las fracciones racionales siguientes:

Expresiones racionales

El denominador es cero si x = 0 x = −2 x = 6 x = 2 y x = −3 Para ninguna x y = x3

Dominio Toda Toda x Toda x Toda x tal que Toda x Toda x y y tales quex ≠ 0 tal que tal que x ≠ 2 y x ≠ −3 y ≠ x3

x ≠ −2 x ≠ 6

x x y y

y x

3 2 2

32 16− +

−x

x x

2

216

4+

+ +x

x x

2

29

6−

+ −x

x − 65

2x +1x


Simplificación de expresiones racionales

Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos, o totalmente sim-plificada, cuando no hay ningún factor común al numerador y al denominador.

De acuerdo con el siguiente teorema: El valor de una fracción no varía si el numera-dor y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula, para

simplificar expresiones racionales, consideraremos que ; a este proceso

se le llama cancelación de factores comunes.

ac

bc

a

b

c

c

a

b= =*

solución

solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes entre ellos:

si x ≠ 0 y

Ejemplo 2

Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos sus factores comunes:

si x ≠ 0 y

Ejemplo 3

Factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes:

si x ≠ 0 y x ≠ 45

5 410 23 12

5 410 23 12

5 42 3 5 4 2 3

4 3

4 3 2

3

2 2

3

2x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x

−− +

= −( )− +( ) = −( )

−( ) −( )=

−( )

5 410 23 12

4 3

4 3 2x x

x x x

−− +

x ≠ 12

− − +− + −

=− + −( )

− − +( ) = − −( ) +( )− −( ) −( )

= +−( )

6 22 7 3

6 22 7 3

2 1 3 22 1 3

3 23

3 2

4 3 2

2

2 2 2x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x

− − +− + −

6 22 7 3

3 2

4 3 2x x x

x x x

x ≠ 15

20 14 210 17 3

20 14 210 17 3

5 1 4 25 1 2 3

4 22 3

4 3 2

4 3 2

2 2

2 2

2

2x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

− +− +

=− +( )− +( ) = −( ) −( )

−( ) −( )= −

−

20 14 210 17 3

4 3 2

4 3 2x x x

x x x

− +− +


Multiplicación y división de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador y denomina-dor son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denomi-

nadores de las fracciones dadas. Es decir:

El cociente de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el recíproco deldivisor; esto es:

De manera equivalente: y a

b

c

d

ad

bc÷ =a

b

c

d

ad÷ =

a

b

c

d

a

b

d

c

ad

bc÷ = × =

a

b

c

d

ac

bd× =

dividendo divisor recíproco

solución

Ejemplos

Efectúa la operación indicada y simplifica:

Ejemplo 1

Multiplicamos los numeradores y los denominadores:

Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamoslos factores comunes; resulta:

Ejemplo 2

x

x x

x

x x2 23 41

6+ −× −

− −

76

310

2160

720

2

2

2

2

2 2

2 2x y

ab

a b

xy

a bx y

ab xy

ax

by× = =

76

310

2160

2

2

2

2

2 2

2 2x y

ab

a b

xy

a bx y

ab xy× =

76

310

2

2

2

2x y

ab

a b

xy×

solución

solución



Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, finalmente eliminamos losfactores comunes; resulta:

si x ≠ 1.

Ejemplo 3

Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación:

Ahora, multiplicamos los numeradores y los denominadores:

Finalmente, factorizamos numerador y denominador, con la finalidad de eliminar los factores comunes:

Otra forma de hacer el cociente es:

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

2

2

2

2

2 2

2 2

4 35 6

5 66

4 3 65 6 5 6

1 3 2 33 2 3 2

12

− ++ +

÷ − ++ −

=− +( ) + −( )+ +( ) − +( ) = −( ) −( ) −( ) +( )

+( ) +( ) −( ) −( )= −

+

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

2

2

2

2

2 2

2 2

4 35 6

65 6

4 3 65 6 5 6

1 3 2 33 2 3 2

12

− ++ +

× + −− +

=− +( ) + −( )+ +( ) − +( ) = −( ) −( ) −( ) +( )

+( ) +( ) −( ) −( )= −

+

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

2

2

2

2

2 2

2 2

4 35 6

65 6

4 3 65 6 5 6

− ++ +

× + −− +

=− +( ) + −( )+ +( ) − +( )

x x

x x

x x

x x

2

2

2

24 35 6

65 6

− ++ +

× + −− +

x x

x x

x x

x x

2

2

2

24 35 6

5 66

− ++ +

÷ − ++ −

x

x x

x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x

x x x2 2

2

2 23 41

6 3 4 61

1 4 2 3 4 2 3+ −× −

− −= −

+ −( ) − −( ) = −( )−( ) +( ) +( ) −( )

=+( ) +( ) −( )

x

x x

x

x x

x x

x x x x2 2

2

2 23 41

6 3 4 6+ −× −

− −= −

+ −( ) − −( )

solución

solución


Ejemplo 4

Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación:


Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamos losfactores comunes; resulta:

O bien:

Ejemplo 5

Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación: ; de aquí:

Factorizamos y simplificamos:

O bien:6 5 6

42 3

26 5 6 2

4 2 33 2 2 3 2

2 2 2 33 2

2

2

2

2 2

2 2

x x

x

x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x x

− −−

÷ −+

=− −( ) +( )−( ) −( ) = +( ) −( ) +( )

−( ) +( ) −( )= +

−( )

6 5 64

22 3

6 5 6 24 2 3

3 2 2 3 22 2 2 3

3 22

2

2 2

2

2 2

x x

x

x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x x

− −−

× +−

=− −( ) +( )−( ) −( ) = +( ) −( ) +( )

−( ) +( ) −( )= +

−( )

6 5 64

22 3

6 5 6 24 2 3

2

2 2

2

2 2

x x

x

x

x x

x x x

x x x

− −−

× +−

=− −( ) +( )−( ) −( )

6 5 64

22 3

2

2 2x x

x

x

x x

− −−

× +−

6 5 64

2 32

2

2

2x x

x

x x

x

− −−

÷ −+

x

x x2 4 5 2+( ) +( )

5 12 416

25 20 42

5 12 4 216 25 20 4

5 2 2 24 2 2 5 2

2

4

2

2

2 2

4 2 2 2x x

x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

+ +−

÷ + +−

=+ +( ) −( )

−( ) + +( ) = +( ) +( ) −( )+( ) −( ) +( ) +( )

=

5 12 416

225 20 4

5 12 4 216 25 20 4

5 2 2 24 2 2 5 2

4 5 2

2

4

2

2

2 2

4 2 2 2

2

x x

x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x x

+ +−

× −+ +

=+ +( ) −( )

−( ) + +( ) = + + −+ − + +

=

+ +

( )( )( )( )( )( )( )

( )( )

5 12 416

225 20 4

5 12 4 216 25 20 4

2

4

2

2

2 2

4 2

x x

x

x x

x x

x x x x

x x x

+ +−

× −+ +

=+ +( ) −( )

−( ) + +( )

5 12 416

225 20 4

2

4

2

2x x

x

x x

x x

+ +−

× −+ +

5 12 416

25 20 42

2

4

2

2x x

x

x x

x x

+ +−

÷ + +−

Ejercicios

y problemas


1. Determina el dominio de las fracciones algebraicas siguientes:

a)

b)

c)

d)

2. Simplifica las fracciones siguientes:

a)

b)

c)

d)

3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:

a)

b)

c)

d) y

y

y y

y y

3

2

2

211

12 1

−−

÷ + ++ +

x x x

x x

x x x

x x

3 2

2

4 3 2

262

5 44 5

− −+ −

÷ + ++ −

x x

x x

x x

x

2

2

2

22 34 4

3 101

+ −+ +

× − −−

4 32 642 6 8

164

4 3 2

3 2

2

3x x x

x x x

x

x

+ ++ −

× −+

y

y

3

611

−−

x y

x x y x y xy

4 4

4 3 2 2 32 2−

+ − −

4 162 6 8

3 2

3 2x x

x x x

++ −

9 6 312 12

2

2x x

x

+ −−

x

x x

−+ +

12 102

a b

a ab b

2 2

2 23 2−

+ +

x y

x xy y

+− +2 32 2

x

x x

−+ +

34 32



1. Indica la opción que contiene el dominio de la fracción

a) Toda x tal que x ≠ 0 y

b) Toda x tal que x ≠ 0 y

c) Toda x tal que x ≠ 0; y

d) Toda x tal que y

2. Halla la opción que contiene la simplificación de

a)

b) x

x

−+

23 2

x

x 2 2−

8 26 158 42 67 30

3 2

4 3 2x x x

x x x x

− +− + −

x ≠ − 32x ≠ 3

5

x ≠ 53x ≠ − 3

2

x ≠ − 53

x ≠ − 23

3 106 15

2

3 2x x

x x x

+ −− −


1. Resuelvan el problema de la introducción a esta sección: ¿Álgebra en los circuitos eléc-tricos?La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitoseléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tarea del todo simplesi, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación de los ingenieros que haninvestigado que para determinados circuitos del modelo C520T el voltaje está dado por

y la resistencia por . Determinen la corriente I(t).

2. La compañía Tecnologías Genéticas, S.A. ha encontrado que el número de bacterias de una

colonia en cualquier tiempo t está dado por , donde t es el tiempo. Los

genetistas desean saber cuál es el número de bacterias en que se estabilizará la colonia; haninvestigado con diversos especialistas sobre cómo determinar el nivel de estabilización yalgunos de ellos les han sugerido hacer el cociente y luego analizar qué sucede a medida quese incremente el tiempo. Completen los detalles descritos por los especialistas.

nt

t= +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10000 3 11

2

2

R tt

t( ) = +

−2 13 1

V tt

t( ) =

+2

5 3


c)

d)


a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

5. Indica la opción que representa la solución del siguiente problema. La cantidad total de pulgadas

R(t) de lluvia durante una tormenta de t horas de duración se calcula por , donde

a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Además, la intensidad I(t)

de la lluvia en (pulg/hora) está definida por . Encuentra la intensidad I(t) de la lluvia

para la región del Pacífico, si se sabe que en esa región a = 2 y b = 8.

a)

b) 28

t

t +

t

t

+ 8

I tR t

t( ) ( )=

R tat

t b( ) =

+

x x

x

2 21

−−

3 22 1

2x

x

−+

5 142

x

x

−+

3 26 5

x

x

−−

15 8 123 4 4

5 64

2

3 2

2

4 2x x

x x x

x x

x x

+ −+ −

÷ + −−

2 13 2

x

x

−+

34 1

2x x

x

++

5 22 3

2x x

x

++

3 12 32

x

x

++

12 28 54 4 15

15 218 3 1

3 2

2

2

2x x x

x x

x x

x x

− −− −

× + −− −

12x −

x

x x

−−

52


c)

d)

6. Encuentra, en la columna B, la simplificación que corresponde a la expresión de la co-lumna A.

Columna A Columna B

a) i.

b) ii.

c) iii.

d) iv.

v.

vi.

vii.

viii. 2 11

2

2x x

x

+ +−

x

x x

++ +

112

4 3x

x

−

x

x

++

32

x x

x

2

21+ +x

x x x

x x x

x

3

3 2

3 2

38

3 22 4

1−

− +÷ + +

−

2 32 4

x

x

+−

x

x x x

x x x

x x

4

3 2

3 2

216

2 4 8 162 4 8 16

4 2 12−

− + −÷ − − +

− −

x x

x

2 12

− ++

4 8 9 8 32 5 5 5 3

4 3 2

4 3 2x x x x

x x x x

− − − −− − + +

3 23

x

x

+−

x x x

x x x

4 3

3 22 2

5 8 4+ + +

+ + +

282t t+

28t +

Respuestas a los


1. a) Toda x tal que x ≠ −1 y x ≠ −3.b) Toda x, y tales que x ≠ y y 2x ≠ y.c) Toda a y b tal que a ≠ −2b y a ≠ −b.d) Toda x.


2.

a)

b)

c)

d)

3.

a)

b)

c)

d) y + 1

x x

x x x

+( ) −( )+( ) +( )5 31 4

x x

x x

−( ) +( )+( ) +( )

5 32 1

2 14 162

x x

x x

+( )− +

113y +

x y

x xy

2 2

2 2++

21

x

x −

3 14 1

x

x

−−( )


1. c)2. d)3. b)4. d)5. c)6. (a, ii), (b, viii), (c, iii), (d, iv)

832.5 Suma y resta de fracciones algebraicas

2.5 Suma y resta de fracciones

algebraicas

No es necesario introducirse mucho enlos rompecabezas de problemas

que conduzcan a ecuaciones simples,para convencerse de la utilidad del

simbolismo algebraico. Cada símbolodistinto acude, como una mano amiga,

para ayudar a desenredar la maleza.

Herbert Westren Turnbull

Introducciónn

Aun cuando los fenómenos electrostáticos fundamentales eran conocidos enla época de Charles Coulomb (1736-1806), todavía no se conocía la propor-ción en la que esas fuerzas de atracción y repulsión variaban. Fue este físicofrancés quien, tras poner a punto un método de medida de fuerzas sensiblesa pequeñas magnitudes, lo aplicó al estudio de las interacciones entre peque-ñas esferas dotadas de carga eléctrica. El resultado final de la investigaciónexperimental fue la ley que lleva su nombre y describe las características delas fuerzas de interacción entre cuerpos cargados. La utilidad del lenguaje alge-braico es palpable en diversas áreas de las ciencias puras y aplicadas. Comocaso sencillo, baste decir por el momento que el álgebra ha logrado describir,con unos cuantos símbolos, lo que de otra manera, esto es, con el lenguaje co-loquial, abarcaría una extensión considerable. El caso de la ley de Coulomben español se expresa así:

La ley de Coulomb

Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de lafuerza atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al pro-ducto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lossepara, dependiendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea.

En la sección de problemas, te pediremos que discutas con tu equipo cómo lamisma ley puede expresarse de una manera muy concisa en lenguaje algebraico.

Objetivos


• Encontrar el mínimo común denominador de una suma o una resta de frac-ciones dadas.

• Sumar o restar fracciones dadas.• Reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada.

solución

solución

Ejemplos


Mínimo común denominador de una sumao resta de fracciones

Un polinomio que es divisible exactamente entre otro se llama un múltiplo de este últi-mo. Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se conoce como múltiplocomún de estos polinomios. El múltiplo común de dos o más polinomios, con el menorgrado posible, se llama mínimo común múltiplo de dichos polinomios, al que se gene-ralmente se le designa con la abreviatura M.C.M.

El mínimo común múltiplo de una suma o una resta de fracciones es igual alproducto de todos los factores de los diferentes polinomios de los denominado-res, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca.

Ejemplo 1

Encuentra el M.C.M. de x2 − y2, x2 − 2xy + y2, x3 − y3.

Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada:

Los factores diferentes son , y . El mayor exponente de es 2 y el de losotros factores es 1. Por lo tanto,

Nota: Generalmente conviene conservar el M.C.M. en su forma factorizada.

Ejemplo 2

Encuentra el M.C.M. de x3 − 27, x2 − 6x + 9, x2 − 9, 2x2 − 3x − 9.


x x x x3 227 3 3 9− = −( ) + +( )

M.C.M. = −( ) +( ) + +( )x y x y x xy y2 2 2

x y−( )x xy y2 2+ +( )x y−( )x y+( )

x y x y x xy y3 3 2 2− = −( ) + +( )x xy y x y2 2 22− + = −( )x y x y x y2 2− = −( ) +( )

solución

solución


Los factores diferentes son (x − 3), (x + 3), (2x + 3) y (x2 + 3x + 9). El mayor exponente de (x − 3) es2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto,

M.C.M. = (x − 3)2 (x + 3)(2x + 3)(x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3

Encuentra el M.C.M. de x3 − 2x2 − 3x, x2 + x − 2, x3 − x2 − 6x.


x3 − 2x2 − 3x = x(x − 3)(x + 1)

x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2)

x3 − x2 − 6x = x(x − 3)(x + 2)

Los factores diferentes son x, (x − 1), (x + 1), (x + 2) y (x − 3). Todos los factores tienen como expo-nente 1. Por lo tanto,

M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3)

Ejemplo 4

Encuentra el M.C.M. de los denominadores de: .

Primero tenemos que buscar el M.C.M de x3 − 1, x2 − 2x + 1, x2 − 1; para ello escribimos cada polino-mio en forma factorizada.

x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)

x2 − 2x + 1 = (x − 1)2

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

Los factores diferentes son (x + 1), (x − 1) y (x2 + x + 1). El mayor exponente de (x − 1) es 2 y el de losotros factores es 1. Por lo tanto,

M.C.M. = (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

x

x x x

x

x3 2 2132 1

21−

+− +

−−

2 3 9 3 2 32x x x x− − = −( ) +( )x x x2 9 3 3− = −( ) +( )x2 − 6x + 9 = (x − 3)2

solución


Ejemplo 5

Encuentra el menor denominador común (M.C.M. de los denominadores) de:

De acuerdo con el ejemplo 3, el M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3). Luego, el menor denominadorcomún es x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3)

12 3 2

263 2 2 3 2x x x

x

x x x x x− −+

+ −+

− −

Suma y resta de fracciones

Si dos fracciones tienen denominador común, entonces su suma o diferencia se obtienecomo:

Este método puede utilizarse para obtener la suma algebraica de tres o más fraccionesque tengan un denominador común.

Si dos o más fracciones no tienen un denominador común, entonces pueden ser trans-formadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar comoen el caso anterior. Así, si b y d son diferentes; entonces,

Al transformar dos o más fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominadorcomún, conviene usar su menor denominador común; esto es el M.C.M. (mínimo co-mún múltiplo) de los denominadores.

a

b

c

d

ad

bd

bc

bd

ad bc

bd± = ± = ±

a

m

b

m

a b

m± = ±

Ejemplos

Calcula las sumas algebraicas de fracciones:

Ejemplo 1

Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible:

24

12

13 22 2

x

x x

x

x x−−

−+ −

+ +

solución


Encontramos el denominador común de ; para ello, debemos obtener el

M.C.M. de x2 − 4, x − 2. x2 +3x +2. Escribimos cada polinomio de manera factorizada:

x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)x − 2 = (x − 2)

x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Los factores diferentes son (x − 2), (x + 1) y (x + 2). Todos los factores tienen como exponente 1. Por lotanto, el M.C.M. = (x − 2)(x + 1)(x + 2), expresión que es el menor denominador común.

Ahora, transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denomi-nador común:

En consecuencia, la suma de fracciones queda como:

Una vez teniendo el menor denominador común, es posible operar de otra manera:

Ejemplo 2


x

x x x

x

x3 2 2132 1

21−

+− +

−−

= −( )−( ) +( ) +( )

=+( ) +( )

=+ +

2 22 2 1

22 1

23 22

x

x x x x x x x

=+( ) − + +( ) + − + −( )

−( ) +( ) +( )= −

−( ) +( ) +( )2 2 3 2 3 2

2 2 12 4

2 2 1

2 2 2x x x x x x

x x x

x

x x x

24

12

13 2

2 1 1 1 2 1 22 2 12 2

x

x x

x

x x

x x x x x x

x x x−−

−+ −

+ += +( ) − +( ) +( ) + −( ) −( )

−( ) +( ) +( )

= −( )−( ) +( ) +( )

=+( ) +( )

=+ +

2 22 2 1

22 1

23 22

x

x x x x x x x

24

12

13 2

2 2 3 2 3 22 2 1

2 42 2 12 2

2 2 2x

x x

x

x x

x x x x x x

x x x

x

x x x−−

−+ −

+ +=

+( ) − + +( ) + − + −( )−( ) +( ) +( )

= −−( ) +( ) +( )

13 2

12 1

1 22 2 1

3 22 2 12

2−+ +

= −+( ) +( )

= −( ) −( )−( ) +( ) +( )

= − + −−( ) +( ) +( )

x

x x

x

x x

x x

x x x

x x

x x x

12

1 1 22 2 1

3 22 2 1

2

x

x x

x x x

x x

x x x−= +( ) +( )

−( ) +( ) +( )= + +

−( ) +( ) +( )

24

22 2

2 12 2 1

2 22 2 12

2x

x

x

x x

x x

x x x

x x

x x x−=

−( ) +( )= +( )

−( ) +( ) +( )= +

−( ) +( ) +( )

24

12

13 22 2

x

x x

x

x x−−

−+ −

+ +

solución

solución


En el ejemplo 4 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común es(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1).

Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común:

Luego, la suma de fracciones queda como:

Otra forma de hacer la suma algebraica es:

Ejemplo 3


En el ejemplo 5 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común esx(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3).

Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común:

12 3

13 1

1 1 23 1 1 2

23 1 1 23 2

2

x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x− −=

−( ) +( )= −( ) +( )

−( ) +( ) −( ) +( )= + −

−( ) +( ) −( ) +( )

12 3 2

263 2 2 3 2x x x

x

x x x x x− −+

+ −+

− −

=−( ) + + + +( ) − −( )

−( ) +( ) + +( )= − + + + +

−( ) +( ) + +( )

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

3 3 2 4

2 2

4 3 2

2 2

3 6 6 3 2 21 1 1

2 4 6 7 31 1 1

x

x x x

x

x

x x x x x x x x x x

x x x x3 2 2

2 2

2 2132 1

21

1 1 3 1 1 2 1 11 1 1−

+− +

−−

=−( ) +( ) + +( ) + +( ) − −( ) + +( )

−( ) +( ) + +( )

x

x x x

x

x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x3 2 2

3 3 2 4

2 2

4 3 2

2 2132 1

21

3 6 6 3 2 21 1 1

2 4 6 7 31 1 1−

+− +

−−

=−( ) + + + +( ) − −( )

−( ) +( ) + +( ) = − + + + +−( ) +( ) + +( )

21

21 1

2 1 11 1 1

2 21 1 12

2

2 2

4

2 2

x

x

x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x−=

−( ) +( )=

−( ) + +( )−( ) +( ) + +( ) = −

−( ) +( ) + +( )

32 1

31

3 1 11 1 1

3 6 6 31 1 12 2

2

2 2

3 2

2 2x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x x− +=

−( )=

+( ) + +( )−( ) +( ) + +( ) = + + +

−( ) +( ) + +( )

x

x

x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x x x3 2 2 2

3

2 21 1 11 1

1 1 1 1 1 1−=

−( ) + +( ) = −( ) +( )−( ) +( ) + +( ) = −

−( ) +( ) + +( )


Luego, la suma de fracciones queda como:

O bien, sumando directamente:

=+ −( ) + − −( ) + −( )

−( ) +( ) −( ) +( )

= − + −−( ) +( ) −( ) +( )

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

2 4 3 2 2

4 3

2 2 3 2 23 1 1 2

2 43 1 1 2

12 3 2

26

1 1 2 3 1 2 1 13 1 1 23 2 2 3 2x x x

x

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x− −+

+ −+

− −= −( ) +( ) + ( ) −( ) +( ) + −( ) +( )

−( ) +( ) −( ) +( )

= − + −−( ) +( ) −( ) +( )

x x x

x x x x x

4 32 43 1 1 2

12 3 2

26

2 2 3 2 23 1 1 23 2 2 3 2

2 4 3 2 2

x x x

x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x− −+

+ −+

− −=

+ −( ) + − −( ) + −( )−( ) +( ) −( ) +( )

26

23 2

2 1 13 1 1 2

2 23 1 1 23 2

2

x x x x x x

x x

x x x x x

x

x x x x x− −=

−( ) +( )= −( ) +( )

−( ) +( ) −( ) +( )= −

−( ) +( ) −( ) +( )

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x2

4 3 2

2 1 23 1

3 1 1 22 3

3 1 1 2+ −=

−( ) +( )= ( ) −( ) +( )

−( ) +( ) −( ) +( )= − −

−( ) +( ) −( ) +( )

Fracciones complejas

Una fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones, ya sea en su nume-rador o en su denominador, o en ambos.

Para reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada, se pueden usardos métodos:• Transformar el numerador y el denominador en fracciones simples (en caso

de ser necesario); luego, proceder como en la división.

O bien:

• Obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominadororiginales por el menor denominador común de todas las fracciones.

solución

Ejemplos


Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión:

Ejemplo 1

Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja:

Usamos el primer método:Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:

Si dividimos ahora el numerador entre el denominador y simplificamos, tenemos:

Con el segundo método:Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todaslas fracciones, que en este caso es (x − y)(x + y):

Ejemplo 2


21

11

1 11

x

x

xx

x

−+ −

++ +

−

x

x y

x

x yy

x y

x

x y

x

x y

x

x yx y x y

y

x y

x

x yx y x y

x x y x x y

y x y x x y

x xy x xy

xy y x xy−

−+

−+

+

=−

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−( ) +( )

−+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−( ) +( )=

+( ) − −( )+( ) + −( ) = + − +

+ + −=

2 2

2 22xyxy

x y2 2+

=−( ) +( )

−( ) +( ) +( ) =+( )

2 22 2 2 2

xy x y x y

x y x y x y

xy

x y

2 2 2xy

x y x y

y x

x y x y−( ) +( ) ÷ +−( ) +( )

x

x y

x

x yy

x y

x

x y

x x y x x y

x y x yy x y x x y

x y x y

x xy x xy

x y x y

xy y x xy

x y x y

xy

x y x y−−

+

−+

+

=

+( ) − −( )−( ) +( )

+( ) + −( )−( ) +( )

=

+ − +−( ) +( )

+ + −−( ) +( )

=−( ) +( )

2 2

2 2

2

yy x

x y x y

2 2+−( ) +( )

x

x y

x

x yy

x y

x

x y

−−

+

−+

+

solución

solución


Primer método:Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:

Dividimos el numerador entre el denominador, y simplificamos:

Segundo método:Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todaslas fracciones, que en este caso es (x − 1)(x + 1):

Ejemplo 3


Primer método:Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples:

Dividimos el numerador entre el denominador:

h x h

x x hh

h x h

hx x h

x h

x x h

− −( )+( )

÷ = − −( )+( )

= − −( )+( )

2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2 22 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2x h x

h

x x h

x x h

h

x x xh h

x x h

h

xh h

x x h

h

h x h

x x h

h

+( )−

=

− +( )+( ) =

− − −+( ) =

− −+( ) =

− −( )+( )

1 12 2x h x

h

+( )−

21

11

1 11

21

11

1 1

1 11

1 1

2 1 1 11 1 1 1

2 2 22x

x

xx

x

x

x

xx x

x

xx x

x x x

x x x x

x x x−+ −

++ +

−

= −+ −

+⎛⎝

⎞⎠ −( ) +( )

+ +−

⎛⎝

⎞⎠ −( ) +( )

= +( ) + −( ) −( )−( ) +( ) + +( ) +( )

= + + − ++− + + +

= ++

=+( )+( )

11 2 1

32 2

32 1

2 2

2

2

2

x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x x

x

x x

2 2 231 1

21

3 12 1 1

32 1

+−( ) +( )

÷−( )

=+( ) −( )−( ) +( )

=+( )+( )

21

11

1 11

2 1 1 11 1

1 1 11

2 2 2 11 11 1

1

31 12

2 2

x

x

xx

x

x x x

x xx x

x

x x x

x xx x

x

x

x xx

x

−+ −

++ +

−

=

+( ) + −( ) −( )−( ) +( )

−( ) + +( )−( )

=

+ + − +−( ) +( )− + +

−( )

=

+−( ) +( )

−−( )1

solución


Segundo método:Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todaslas fracciones que en este caso es (x + h)2x2:

Ejemplo 4


En este ejemplo sólo usaremos el primer método. Reducimos los denominadores en fracciones simplesy simplificamos cada fracción:

= ( ) + −( ) = + =+

12 1

2

11

2

21x x x x

=+

−

=+ −

112

1

11

2x

x

xx

11

1 11

11

1 1 11

x x

x

xx x

x

++ +

−

=+ −( ) + +( )

−

11

1 11

x x

x

++ +

−

= − −( )+( )

= − −( )+( )

h x h

hx x h

x h

x x h

2 22 2 2 2

= − +( )+( )

= − − −+( )

x x h

hx x h

x x xh h

hx x h

2 2

2 2

2 2 2

2 22

1 1 1 12 2 2 2

2 2

2 2x h x

h

x h xx x h

hx x h

+( )−

=+( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+( )

+( )

Ejercicios

y problemas



1. Indica la manera de obtener el menor denominador común de una suma o una resta de fracciones. 2. Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado:

a)

b)

c)

3. Reduce a su mínima expresión las fracciones complejas siguientes:

a)

b)

c)

Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes si-tuaciones:

1. Escriban en lenguaje matemático la Ley de Coulomb, enunciada en la introducción de estasección de la siguiente manera:

Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de la fuer-za atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al producto desus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, depen-diendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea.

x

x x

x x

x

14

11

21

4 31

−−

−

++

− −−

1 13 3x h x

h

+( )−

11

1

1 1

21

x x

x

x

+−

−+

−

x

x x

x

x x

x

x x

−− +

+ −− +

− −− +

22 5 2

5 25 12 4

3 16 5 12 2 2

22 3 1

12 7 5

34 12 52 2 2x x x x x x− +

−− +

+− +

32 11 15 2 9 10

15 62 2 2x x

x

x x

x

x x− +−

− ++ −

− +


Posteriormente proporciona la posición en que la fuerza neta es cero para una partícula decarga −1, que está dada en una recta de coordenada en x = −2. Si una partícula de carga +1está en la posición x entre −2 y 2:

2. Adolphe Quetelet (1796-1874), director del Observatorio de Bruselas de 1832 a 1874, fueel primero que intentó ajustar una expresión matemática a los datos del crecimiento humano.La fórmula de Quetelet para personas de sexo masculino de Bruselas se puede expresar como:

donde h0 es la estatura de nacimiento, hM es la estatura final de un adulto, t es su edad enaños y a es una constante.

a) Determina si la fórmula funciona para personas nacidas en México: para ello, investigalos datos de h0 y hM, considera diversos valores de a para 0.5 < a < 0.6, y realiza una ta-bla con todos los valores posibles de t.

b) Compara los resultados obtenidos en el punto anterior con datos reales de la poblaciónmexicana.

c) ¿A qué edad se alcanza 90%, 70% y 50% de la estatura de la edad adulta?

3. La empresa Tecnologías Óxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitoseléctricos. En los circuitos C728T, el voltaje de salida está definido por:

donde:

y

Los ingenieros necesitan determinar una fórmula para Vsalida en términos de Ventrada; para ello,les han sugerido considerar que R sea igual a X. Completen los detalles requeridos para obte-ner la citada fórmula.

ZR X RX

R Xentradai

i

= − −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 3

IV

Zentradaentrada

entrada

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

V IRX

R Xsalida entradai

i

= −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

hh

h hat

h t

tM

+−

= + +

+0

1 43


1. Indica la opción que contiene la solución:

a)

b)

c)

d)

2. Halla la opción que contiene la simplificación:

a)

b)

c)

d)

3. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: La fórmula de contracciónde Lorentz, en teoría de la relatividad, relaciona la longitud L de un objeto que se mueve auna velocidad de v m/s, con respecto a su observador, con su longitud L0 en reposo. Si c es la

velocidad de la luz, entonces . ¿Para qué velocidades ? Escribe turespuesta en términos de c:

a)

b) 32

c

32

c

L L= 12 0L L

v

c2

02

2

21= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x

x

2 25 4

+− +

x

x x

2

21

3 2−+

x

x x

−−

122

x

x x

2

21

5 4 1+

+ −

x

x x

x

x

−−

+−

−+

11

13 2

1 21

27 3210 59 47 103 2

−− + −

x

x x x

3 75 7 13 2

x

x x x

−− + −

7 33 22

x

x x

−− −

x

x x x

−− − +

22 5 123 2

52 11 5

25 27 10

310 9 22 2 2− + −

+− + −

−− +x x x x x x


c)

d)

4. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: Cuando dos resistores R1 y R2

se conectan en paralelo, la resistencia neta R está dada por . Si R 1 =10 ohms . ¿Quévalor de R2 hará que la resistencia neta sea de 2 ohms?

a)

b)

c)

d)

5. Encuentra, en la columna B, las simplificaciones de las expresiones que aparecen en la co-lumna A:

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d)4 3

53 5

2 82

−−

−−

−

x

x

4 33

5 2

2 14

x x

x

−−

−−

+

x

x x x x x2 3 12

2 15

12 2 2− +−

+ −+

−

x

x x

x

x x x x

2

2 3 2 21

4 32

5 7 31

1−

− ++ −

− + −−

−

45

52

54

25

1 1 1

1 2R R R= +

23

c

34

c

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.x x

x x x

2

3 27 8

3 18− −

+ −

x x

x x x

2

3 23

1+ −

+ + +

x x

x x x

2

3 29 3

2 2 1+ −

− − +

x x

x x

2

284 76131 30

− +− +

2 17 848 3 81

2

3 2x x

x x x

− −+ −

8 94 27631 130

2

2x x

x x

− +− +

x

x

3

2−

x x x

x x x

4 2

2 2

2 3 41 2 3− + −

−( ) − −( )


Respuestas a los


1. El menor denominador común de una suma o un resta de fracciones es igual al producto de todos losfactores de los diferentes polinomios de los denominadores, tomando cada factor con el máximo expo-nente que aparezca.

2.

a)

b)

c)

3.

a)

b)

c) − −( ) +( ) +( )+ − +

3 1 4 23 7 33 2

x x x

x x x

− − −+( )

3 32 2

3 3x xh h

x x h

2 322 3

−− + +

x

x x x

12x −

12 55 17 16 42 3

−− + −

x

x x x

− + +− + − +

x x

x x x

2

3 21

2 15 37 30


1. d2. a3. b3. c4. (a, i), (b, vi), (c, iv), (d, iii)


2.6 Exponentes enteros

El álgebra es generosa: a menudoda más de lo que se le pide.

Jean D’Alambert

Introducciónn

El álgebra se vale de símbolos y convenciones para representar cantidades yoperaciones con éstas. La evolución de la ciencia matemática, en general, y delálgebra, en particular, no dejan duda respecto de que el simbolismo ha sidouno de los principales promotores del desarrollo de la misma. Gracias al sim-bolismo, el matemático o el usuario de tal ciencia llega a escribir expresioneslargas de manera compacta, para que el ojo perciba al instante y la mente re-tenga lo que se dice.

Parte de este simbolismo corresponde al tema de exponentes, con los cua-les analizaremos aplicaciones vinculadas a asuntos tales como los sistemas denumeración y la notación científica, tan útil al hablar de cantidades muy gran-des o muy pequeñas. Cabe señalar que la actual notación para exponentes seremonta apenas al siglo XVI, con Francois Vieta, quien logró la liberación dela aritmética y el álgebra por medio de la notación algebraica.

Te presentamos una situación real (que podrás consultar en la direcciónelectrónica indicada) donde el uso de exponentes es insoslayable.

La demanda de la señora Celia Reyes Lujano

(Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html)

“CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004.- Celia Reyes Lujano abrió, ha-ce 16 años, dos cuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejospesos, con un interés anual del 124%, la otra por $54,072,400.00, también deviejos pesos, con un rendimiento del 149%. Sus inversiones tenían una cláusulade renovación automática, con reinversión de intereses. En 1998, la señora CeliaReyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptópagar la cantidad exigida por su cliente. La señora Reyes inició una demandamercantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que elBanco del Atlántico debía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100%anual. El apoderado legal de la señora Reyes estimó que la suma podría alcanzarlos 450 mil millones de pesos, cantidad que supera por mucho el valor del banco.


Exponentes enteros

Desde la antigüedad, los números han formado parte de la vida del hombre; en sus inicios,con fines utilitarios para realizar trueques y actividades diversas vinculadas, principal-mente, con la agricultura y la astronomía. Más tarde, en la medida en que el conocimien-to humano fue evolucionando y haciéndose más complejo, la matemática llamó la aten-ción por la belleza de sus estructuras.

La figura 2.8 era llamada por los griegos gnomon (escuadra) y la utilizaban para laconstrucción de los números cuadrados. Los griegos descubrieron que si sumaban enforma consecutiva los números impares, obtendrían siempre números cuadrados; esto es:

Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad a pagarno supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlán-tico, expresó: Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de quecon cerca de 60 mil nuevos pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millonesde pesos, digo, ni el Banco de México los tiene en sus arcas. Desde 1998, la de-manda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferentes juicios de ampa-ro que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia analizaun incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actua-lizado del capital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambaspartes en el conflicto pueden apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscarun amparo”.

Objetivos


• Dar significado a las potencias de una variable cuando el exponente sea unnúmero entero.

• Reconocer las leyes que rigen las transformaciones algebraicas con expo-nentes enteros.

• Aplicar tus conocimientos a diferentes contextos donde es imprescindibleel uso de potencias con exponentes enteros.

1 = 1 ⋅11 + 3 = 4 = 2 ⋅2

1 + 3 + 5 = 9 = 3⋅31 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 ⋅4

…

Figura 2.8

Es posible que el descubridor de esta ley (tal vez Pitágoras) se haya inspirado en la figuragnomon para hacerla evidente. Observa que cada número cuadrado surge al añadir, al nú-mero anterior, un grupo de puntos en la forma de L. Por ejemplo, 4 se construye al agregar


el grupo de tres puntos en forma de L al punto inicial. El siguiente número cuadrado, el9, sale al aumentar al número cuadrado 4 el siguiente grupo de cinco puntos en forma deL, y así sucesivamente.

Figura 2.9

Uno de los ejemplos más sencillos de la comodidad del simbolismo algebraico está enlos exponentes. Con ello, las igualdades anteriores pueden ser escritas de la siguientemanera:

1 = 1 ⋅1 = 12

1 + 3 = 4 = 2 ⋅2 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 3 ⋅3 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4⋅4 = 42

…

En la expresión 32 = 9, por ejemplo, el número 2 es el exponente, el 3 es la base y el 9se conoce como una potencia del número 3. El exponente se coloca arriba y a la derechade la base para indicar que la cantidad a la que se aplica, 3 en este caso, se multiplicará porsí misma dos veces. Por supuesto que esta idea puede extenderse; así, 35 indicaría que el3 se multiplicaría por sí mismo cinco veces; esto es,

35 = 3 ⋅3⋅3⋅3 ⋅3

De manera general, an con n, un entero positivo, indica que a se multiplica por sí mismon veces. Pero los exponentes son más útiles que esto; por ejemplo, si deseamos multipli-

car por , entonces tendríamos: .

En general, si m y n son números enteros positivos, an ⋅ am = an+m (i).

Supongamos ahora que deseamos expresar con exponentes; para ello,

escribiríamos . Además, si quisiéramos calcular el valor de la expresión original,33

5

4

3 3 3 3 33 3 3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

a a a a a a a a anveces mveces

n m veces

n m n m⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ⋅ =

+

+

a a am veces

⋅

a a an veces

⋅


tendríamos que suprimir del numerador y denominador cuatro veces el número 3, así queobtendríamos:

Es decir, llegamos al mismo resultado si al 5 le restamos 4. Esta resta nos indica el nú-mero de factores que quedan después de la simplificación.

En términos generales, si m y n son enteros positivos, y si m es mayor que n, entonces

(ii).

Pero también llega a darse el caso en el que nos encontremos con una expresión como lasiguiente:

;

con exponentes escribiríamos: . En esta ocasión, al suprimir los factores del nume-

rador y el denominador, reduciríamos la expresión a . Expuesto de manera gene-

ral, si m y n son enteros positivos, y si n es mayor que m, entonces:

(iii).

Analicemos ahora qué ocurre con una expresión como . Con exponentes es-

cribiríamos . Si como en los casos anteriores restáramos los exponentes, tendríamos:

Con la finalidad de extender lo que ya hemos descubierto sobre exponentes, será pre-

ciso convenir un significado para una expresión como 30. Sabemos que ;

luego, parece que lo más natural sería establecer de manera general que si a ≠ 0, enton-ces a0 = 1.

Todavía se puede decir más: supongamos que en un cálculo hallamos una expresióncomo

De acuerdo con lo que se ha señalado, 35 ⋅ 35 ⋅ 35 ⋅ 35 = (35)4. Pero también,

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 5 5 5

5 5 5 5

4

20

5 4⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) = =

veces veces veces veces

veces

veces

( )

3 3 3 35 5 5 5⋅ ⋅ ⋅

3 33

105

5= =

33

3 35

55 5 0= =−

33

5

5

3 3 3 3 33 3 3 3 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a

a a

m

n n m= −1

13

131=

33

4

5

3 3 3 33 3 3 3 3

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a

aa

m

nm n= −

31

3 31 5 4= = −


Este ejemplo es esencia de otra ley de exponentes: si m y n son enteros positivos, en-tonces

(am)n = amn (iv).

Hay otro resultado sobre exponentes de gran utilidad. Supongamos que tenemos una ex-presión como

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3,

es decir: 24 ⋅ 3 4. Como el orden en el que aparecen los factores no importa, es correctoescribir

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) = (2 ⋅ 3)4.

Este hecho significa que, si m es un entero positivo, entonces:

(ab)m = am bm (v).

Aunque no lo mostraremos, cabe la aclaración de que una ley similar a la (v) en el pro-ducto se cumple para el cociente; esto es:

(vi).

Ahora, extendemos el trabajo precedente a cualquier exponente entero, sea positivo o ne-gativo. Lo único que requerimos es darle significado a una expresión como am, con mnegativo; los casos m = 0 y m entero positivo han sido discutidos ya. El significado quebuscamos es muy sencillo, ya que si a ≠ 0 y m < 0, entonces:

am = (a−1)−m, de acuerdo con (iv), donde −m es un entero positivo;

de aquí: . A partir de esto puede deducirse que las leyes (i)-(vi) son váli-

das también para números enteros cualesquiera. Es conveniente notar también que:

, (vii);

así, un factor del numerador (denominador) puede llevarse al denominador (numerador)cambiando el signo de su exponente.

Te presentamos en síntesis los resultados que se han discutido hasta aquí:

aa a a

m mm

m m= ⎛⎝

⎞⎠ = =−

−

− −1 1 1

aa

m m= ⎛⎝

⎞⎠

−1

a

b

a

b

m m

m⎛⎝

⎞⎠ =

Leyes de exponentes

En lo que sigue, suponemos que m y n son números enteros, y que a y b son nú-meros reales positivos arbitrarios, entonces:

a) am an = am + n d) (am)n = amn g)

b) e) ambm = (ab)m

c) a0 = 1; a ≠ 0 f) a

b

a

b

m m

m⎛⎝

⎞⎠ =

a

aa

a

m

nm n

n m= =−−1

aa

mm= −

1


solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Distribuye y usa las leyes de los exponentes en la siguiente expresión para transformarla en otra equi-valente que contenga sólo exponentes positivos:

; usamos e)

, por d); además,

, se distribuyeron y acomodaron los factores

, por a)

, por c) y g)

, por b) y c).

Ejemplo 2

Escribe la expresión como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y

d, con exponentes positivos.

, de acuerdo con b)

, simplificando

, usando d), e) y f)

, por g).=⋅

⋅ = ⋅ ⋅−

− − −c

b d a

a b d

c

8

16 12 2

2 16 12

81

=⋅

⋅−

− −

−

−c

b d a

4 2

8 2 6 2

2

1 21( )

( ) ( ) ( )( )

=⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−c

b d a

4

8 6 1

21

a c

b d

b d

a c

c

b d a

3 8

3 4

5 2

4 4

2 8 4

3 5 4 2 4 3

21⋅

⋅⋅ ⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − − −

− − − − −

−

( ) ( )

a c

b d

b d

a c

3 8

3 4

5 2

4 4

2⋅⋅

⋅ ⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −

= − = −− − −x y x y

x y

x y

x y

2 9 6 2 2 9 9

2 9

2 3

2 91

= −1 16 2 9y x y

= −− − −x y x y0 6 2 9

= −− − − − −x x y x y y2 2 6 2 6 3

( ) ( )− = =−−1 12 1

1 2= −− − −x y x y2 6 2 3( )

−( ) −( ) = − ( ) −− − − − − −xy x y x y x y3 2 2 3 2 2 3 2 2 31( ) ( )

−( ) −( )− −xy x y3 2 2 3

solución

solución


Ejemplo 3

Determina la división de a−4 + 2 + 3a−2 entre a−4 − a−2 + 1; escribe tu respuesta usando sólo exponen-tes positivos.

Notamos que:

(estamos usando un factor igual a 1; véase sección anterior).

, se distribuyó y se utilizaron las leyes a) y c)

Elaborando la división de estos polinomios, determinamos que:

Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión, transformándola en una equivalente que sólo tenga exponentespositivos:

Como indicamos en la sección anterior, una estrategia cómoda y rápida para simplificar expresiones deeste tipo consiste en determinar los denominadores que sería deseable no tener dentro de los cocientesde los dos términos anteriores. Una vez localizados, tomamos el producto de todos ellos y multiplica-mos numerador y denominador por el producto formado. De esta manera, observamos que es conve-niente multiplicar el primer término por x y2 y el segundo por x2 y2, luego:

, usando las leyes a) y c)

, tomando como M.C.M. a x2 y= + +y x x

x y

2 2

22

= + + +y x

x y

x

xy

2

21

x y

xy

x y x y

x y

x y

xy

x y

x y

x y x y

x y

x y

x y

− −

−

− − − −

− −

− −

−

− − − −

− −+ + + = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1

2 2 1 2

1 1

1 2

1

2

2

2 2 1 2

1 1

2 2

2 2

x y

xy

x y x y

x y

− −

−

− − − −

− −+ + +1 2

1

2 2 1 2

1 1

2 3 11

2 5 11

4 2

4 2

2

4 2a a

a a

a

a a

+ +− +

= + −− +

a a

a a

− −

− −+ +− +

=4 2

4 22 3

1

= + +− +

2 3 11

4 2

4 2a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a

− −

− −

− −

− −+ +− +

= + +− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 2

4 2

4 2

4 2

4

42 3

12 3

1

solución


Ejemplo 5

En las áreas científicas, es común trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que se escribenen la forma a × 10n, en donde a es un decimal tal que 1 ≤ a < 10. A esta escritura se le conoce comonotación científica. La notación científica permite determinar (sin contar ceros) las magnitudes relati-vas de números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, uno de los números primos más grandesconocidos es 244497 − 1. Verificar que este número era primo le llevó a una de las computadoras más rá-pidas del mundo 60 días. La máquina era capaz de realizar 2 × 1011 cálculos por segundo. Usa la nota-ción científica para estimar el número de cálculos requeridos para realizar tal hazaña.

En 60 días hay 60 × 24 × 3600 = 5.184 × 106 segundos. Si la máquina era capaz de realizar 2 × 1011

cálculos por segundo, entonces el número total de cálculos que realizó fue:

cálculos, equivalente al número 10,368 seguido de 14 ceros.

Dato curioso: Se sabe que un libro normal de 100 páginas llega a contener aproximadamente 800, 000dígitos. Para darnos una mejor idea de la magnitud del número hallado en la solución y de las ven-tajas de la notación científica, imagina que intentamos escribir en un libro los números 1, 2, 3,…,1.0368 × 1018. Si pudiéramos (y quisiéramos) hacer esto, nos daríamos cuenta que necesitaríamos1, 296, 000, 000, 000 volúmenes.

5 184 10 2 10 1 0368 106 11 18. .×( ) ×( ) = ×

Ejercicios

y problemas

1. Escribe las siguientes expresiones como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y d, conexponentes positivos:

a)

b) a b

b c

d a

d c

4 65 6

2 3

3 4

2⋅ ⋅ ⋅

⋅ ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅− −

a b c a b c4 3 5 2 3 4 6 3( ) ( )− − −



2. Simplifica las siguientes expresiones y transfórmalas en otras equivalentes que sólo contengan expo-nentes positivos:

a)

b)

c)

d)

3. Algunos asuntos de astronomía:

a) Las distancias cósmicas se miden en años luz, donde un año luz es la distancia que recorre un rayode luz en un año. Investiga la velocidad de la luz y determina el valor aproximado de un año luz enkilómetros; expresa tu resultado usando notación científica.

b) En la actualidad se tiene una buena estimación del número de estrellas que conforman la Vía Lác-tea. Encuentra este número y exprésalo con notación científica.

c) También se conoce una estimación del diámetro de la Vía Láctea; expresa este diámetro en kilóme-tros usando notación científica.

x y

x y

y x

y xx y

− −

− −

− − −

− −

−− −+

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ÷ +

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +( )

1 1

1 1

1 2 2

2 2

13 3 0

x xy y

y

xxy x

− − −

−−

− +⎛⎝

⎞⎠ + +

2 1 2

21 0

2

2

( )

x x

x

x

x

− −

−

−+ + ++

1 2

2

111

xy

x

x

y

− −

−

−( )⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1

3


1. La demanda de la señora Celia Reyes Lujano

(Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html)

“CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004- Celia Reyes Lujano abrió, hace 16 años, doscuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejos pesos, con un interés anual del124%, la otra por $54’072, 400.00, también de viejos pesos, con un rendimiento del 149%. Susinversiones tenían una cláusula de renovación automática con reinversión de intereses. En 1998,la señora Celia Reyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptópagar la cantidad exigida por su cliente y entonces la señora Reyes inició una demanda mer-cantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que el Banco del Atlánticodebía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100% anual. El apoderado legal de la seño-ra Reyes estimó que la suma podría alcanzar los 450 mil millones de pesos, cantidad que supera,por mucho, el valor del banco. Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad apagar no supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlántico, expre-só: ‘Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de que con cerca de 60 mil nuevos


pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millones de pesos, ni el Banco de México los tiene ensus arcas’. Desde 1998, la demanda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferen-tes juicios de amparo que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia anali-za el incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actualizado delcapital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambas partes en el conflicto pue-den apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscar un amparo.

a) Investiguen y expliquen los conceptos de interés simple y compuesto. Señalen en qué radi-ca su diferencia.

b) Den su punto de visto sobre el asunto de la señora Reyes. Investiguen el plazo que se acor-dó entre la señora y el banco para la capitalización de intereses. Estimen el monto que elbanco le debe a la señora Reyes.

c) ¿Cuál sería el saldo de la señora Reyes si los vencimientos reales hubieran tenido venci-miento cada siete días? ¿Qué infieren de sus cálculos?

d) Investiguen las deudas que por Fobaproa y deuda externa tiene México. Comparen estascantidades con el monto que demanda la señora Reyes. ¿Qué conclusiones obtienen de talsituación y de todas las preguntas formuladas?

e) Den su punto de vista acerca de esta disputa, fundamentado su opinión a partir de suscálculos.

2. El problema del agricultorEl siguiente problema es un “clásico” y se remonta a épocas tan antiguas como lo son las cul-turas babilónica y egipcia. Una versión del problema del agricultor aparecía descrita en una delas tablillas cuneiformes descubiertas en las cercanías del río Tigris en Sumeria (actualmenteIrak), unos 6,000 años atrás. Ni los caldeos ni los egipcios lograron grandes avances en álge-bra; no obstante, se apreciará en el citado problema el nivel de su cultura matemática. Adaptada a nuestra cultura y lenguaje, les ofrecemos una versión del problema del agricultor:

Un labrador sabe que cada año puede cosechar el triple del grano que haya sembrado enprimavera; si siembra un tercio de barril de semilla, entonces recogerá un barril completo dela misma. El sembrador sabe además que requiere para su propio consumo alimenticio unbarril anual de semilla. De esta manera, si él sembrara exactamente un tercio de barril en pri-mavera de cierto año, obtendría de su cosecha un barril de grano que utilizaría para su con-sumo del siguiente año; sin embargo, ya no le quedaría semilla para sembrar. Por lo tanto, elcampesino debe sembrar algo más que un tercio de barril de grano, pero ¿cuánto más? De ma-nera más específica, ¿cuánto grano debe sembrar en la primavera para obtener el suministroadecuado de comida para el siguiente año, con suficiente sobrante de grano para sembrar nue-vamente? Si respondemos que necesitamos , entonces obtendríamos en la cosecha un

barril para consumo y otro tercio de barril para sembrar; sin embargo, en este caso, ya no ten-dría grano para sembrar en un siguiente año. Si estas condiciones se mantienen permanente-mente, ¿cuánto grano debería sembrar un campesino de 20 años en la primera ocasión paraque al momento de su muerte (justo al cumplir 80 años) no falte ni sobre semilla?

Discutan el problema y resuélvanlo justificando sus afirmaciones.

3. Trucos usando númerosVladimir, un viejo ruso adicto a las apuestas, le decía a un amigo: he pensado un número ente-ro entre 1 y 1000. Adivínalo, haciéndome como máximo 10 preguntas a las que sólo responde-

13

19+


ré con “sí” o “no”, y yo te daré la mitad de mis bienes si aciertas. Si fallas, tú me darás enefectivo el valor que tengan estos bienes.

Si fueras el amigo de Vladimir, ¿aceptarías la apuesta?Para tener una respuesta fundamentada a la pregunta anterior, consideren y discutan la si-

guiente información:Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El ejemplo más conocido de un

sistema no posicional es el sistema de los números romanos. En este sistema se tiene una colec-ción determinada de símbolos principales, en tanto que todo número se representa como unacombinación de tales símbolos. Por ejemplo, el número 888 se escribe en este sistema comoDCCCLXXXVIII. En este caso, el significado de cada símbolo no depende del lugar que ocupa.En la representación del número 888, la cifra X aparece tres veces y siempre vale lo mismo,diez unidades. Pero, si hablamos de nuestro usual sistema decimal, una cantidad como 888 serepresenta como combinación de potencias de 10, con coeficientes que toman valores del 0 al9; así:

Decimos que el número 888 está representado en base 10 (decimal). Con no menos éxito, po-dríamos representar todo número como combinación de potencias de otro número entero posi-tivo (con excepción del 1), que no sea el número 10. Si tomamos un número p, como base delsistema de numeración, un número N se representaría como la combinación de potencias de pcon coeficientes que toman valores de 0 a p − 1 en la forma:

Afirmamos que N se ha representado en la base p, y escribimos:

Elaboren una respuesta al reto que propone Vladimir; apóyense en la siguiente guía:

a) Discutan cómo escribir los números (3287)10 = 3287 y (1000)10 = 1000 en el sistema bi-nario N = (ak ak − 1 … a0)2. Noten que cada aj puede tomar únicamente los valores 0 y 1.Describan un método general para representar un número en sistema decimal a otro en unabase diferente.

Asuman que uno de ustedes es el amigo de Vladimir. Formulen a Vladimir las siguientespreguntas:

• 1a. pregunta: divide el número entre 2, ¿da resto la división? Si la respuesta es “no”, anota la cifra 0; si la respuesta es “sí”, escribe la cifra 1.

• 2a. pregunta: divide entre 2 el cociente obtenido en la primera división, ¿da resto la divi-sión?De nuevo, escribe 0 si la respuesta es “no” y 1 si la respuesta es “sí”.

• Las demás preguntas serán del mismo tipo: ”divide entre 2 el cociente obtenido en la divi-sión anterior”. Todas las veces escribe 0, si la respuesta es “no”, y 1, si la respuesta es “sí”.

b) Indiquen qué se logra con las preguntas formuladas en el inciso anterior. ¿Qué ocurriría sien lugar de formular 10 preguntas, sólo se formularan ocho preguntas?

N a a ak k p= ( )−1 0

N a p a p a p a pkk

kk= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅−

−1

11

10

0

888 8 10 8 10 8 102 1 0= ⋅ + ⋅ + ⋅


c) Señalen si es posible adivinar el número. Si acaso lo es, propongan una estrategia para adi-vinar cualquier número entero entre 1 y 1000. Si no es posible, expliquen por qué no es po-sible.

d) Si la respuesta al inciso anterior fue afirmativa, prueben entre los miembros de su equipo supropuesta de solución.

1. Indica la opción que contiene la igualdad correcta.

a)

b)

c)

d)

2. Considera las siguientes proposiciones y determina si son verdaderas o falsas. En caso de quealguna sea falsa, corrígela, con la finalidad de que se convierta en una proposición verdadera.

a)

b)

c)

d)

3. Simplifica las siguientes expresiones; responde usando sólo exponentes positivos:

a)

b)

4. Realiza las operaciones indicadas, simplifica tu resultado y exprésalo usando sólo exponentespositivos:

a) 2 1 1 3 1 13 4 2x x x x+( ) −( ) − +( ) −( )− −

24

1 3 3 2

0 1 1 4

− −

− −x y z

x y z

23

2 1 0

1 4 2 3r s v

r s v

−

− − −

−( ) = ⎛⎝

⎞⎠

−

− −3

3

2

2 2

2a

a b

b

a ba b

+( ) = +−1 1 1

−( ) = −− −a ba

b1 2 3

3

6

2 23

33 3a

aa a a

( ) = −( ) =

a b abm n m n= ( ) +

a

b

b

a⎛⎝

⎞⎠ =

−3 3

3

( )a b a b+ = +4 4 4

a b a b2 3 3 5( ) =


b)

c)

d)

5. Encuentra, en la columna B, la expresión que se corresponda con la que se ha dado de la co-lumna A.

Columna A Columna B

a) a−t a−r

b)

c)

d) a ax x− +1 1

93

3 4

2 1

3

1

2x

x

y

x

a

a

b

a

−

− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

b

0

1

5

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 2 1 3 2 2 2 1 3 21 2 2x x x x−( ) +( ) − −( ) +( )− −

x x x+( ) − +( ) +( )− −2 4 2 14 5

3 3 2 2 3 22 2 3 3x x x x+( ) −( ) − +( ) −( )− −

Respuestas a los


1. a)

b)

2. a)

b) x x

x

2 1+ +

16x y

a b c d11 10

8

a b

c

17 18

8

i. b−5

ii. 27x3a − 9 yb2

iii. a2x

iv. b5

v. 27xa − 7 y 2b

vi. art

vii. ax2 − 1

viii. a−(r + t)


c)

d)

3. a) 9.4608 × 1012 kilómetros.

b) Se estima que hay 100 mil millones de estrellas = 1 × 1011 = 1011 estrellas.

c) El diámetro d de la Vía Láctea se estima en 100, 000 años luz, esto es:

d = (105)(9.4608 × 1012) = 9.4608 × 1017 kilómetros.

22

xy

x y+( )

x y

x xy

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

2


1. c)

2. a) Es falsa; en realidad

b) La proposición es verdadera.

c) Es falsa; de hecho

d) La proposición es verdadera.

3. a)

b)

4. a)

b)

c)

d)

5. (a, viii), (b, iv), (c,v), (d, iii)

2 3 2 3 52 1 2

x x

x

+( ) −( )−( )

− ++( )

3 22 5

x

x

x x

x

−( ) +( )+( )

2 133

2

3

x x

x

−( ) −( )+( )5 1

1 4

x

y z

4

2 22

6 3

2s v

r

a ba b

+( ) =+

−1 1

2 2 83

3

3a

a

a

a

( ) = ⎛⎝

⎞⎠ =


2.7 Exponentes fraccionarios

y radicales

En cuanto a las matemáticas, no puedoinformar de imperfecciones, salvo que

los hombres no entienden en gradosuficiente las excelencias de las mismas.

Francis Bacon

Introducciónn

Las conexiones matemáticas son tan diversas como fascinantes; lo mismo seles haya en la ciencia aplicada y teórica que en la música y las bellas artes.Te presentamos, a manera de introducción, un concepto que tiene que ver conmatemáticas (de manera particular, con radicales), pero también con el arteclásico. El concepto del que hablamos se llama proporción áurea o propor-ción sagrada (según se le refiere en el papiro de Rhind, escrito hacia el año1650 a. C.); con ella se erigió la Gran Pirámide en Gizeh y se desarrolló laarquitectura griega, en tanto que el arte renacentista la utilizó en la pintura yla escultura.

Arte por medio de radicales, la proporción áurea

El descubrimiento de la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, esto es, fue como una ducha de agua helada para las matemáticas griegas. Sin em-

bargo, gracias al desarrollo lógico de la matemática, la aparición de este tipo decantidades, llamadas por los griegos inconmensurables, les dio a éstos un con-cepto geométrico de gran valor y un hermoso número: la proporción áurea, paraser utilizada a través de los años en las obras artísticas más hermosas que ha crea-do el hombre y que aún en la actualidad sirven para nuestro regocijo; dicha pro-porción se construye a partir del rectángulo áureo, o de oro.

En la sección Problemas para resolver en equipo, hablaremos más abun-dantemente de esta proporción; por el momento baste decir que los radicaleshan sido ampliamente usados en muchas áreas del saber humano y que, másallá de esto, han tenido incluso vertientes que van hacia lo sagrado, lo filosófi-co y lo estético.

2

1132.7 Exponentes fraccionarios y radicales

Radicales

Todo número real positivo a determina un número real positivo único (léase “bes igual a la raíz enésima de a”) para todo entero positivo n. Entonces, b está definidocomo aquel número real positivo cuya enésima potencia bn es igual con a. Es costumbreque en el caso de que n = 2 se escriba simplemente y no ; además, hacemos no-tar que .

Para precisar nuestras definiciones, fijemos nuestra atención en . De acuerdo conlo indicado en el párrafo anterior, sabemos que:

Ahora bien, el miembro derecho de la ecuación puede escribirse como 31. Si quisiéra-mos conservar la validez de las leyes de exponentes para este caso, nos interesaría saberqué notación de exponentes adoptaríamos para . Digamos que esta notación fuera 3a;entonces:

;

esto es, tendríamos 2a = 1 o a = 1/2. Así, lo que sugiere este razonamiento es que adop-temos la notación ; de manera más general, tomamos como . A

se le llama radical; a b, expresión subradical, y a n, índice o grado del radical. Loscálculos con radicales no son muy usuales en la práctica y generalmente tanto en lasmatemáticas como en sus aplicaciones se prefiere ver al radical en forma de exponentefraccionario, según se ha indicado; esto es: (léase: “la raíz enésima de b esigual a b elevado a la potencia 1 entre n”). Buscando preservar las leyes de exponentesexpuestas en la sección anterior, parece razonable definir una potencia fraccionaria de lasiguiente manera:

La extensión de esta definición de potencia con exponente racional, a la potencia an

para todo número real positivo a y todo número real n, queda más allá del alcance de estetexto; no obstante, vale la pena señalar que las leyes de exponentes que se han discutidopara el caso de exponentes enteros siguen siendo válidas para exponentes reales. De ma-nera más especifica, tenemos:

a a am

n nm nm

= ( ) = ⎛⎝

⎞⎠

1 1/

b bn n=

1

bn

b n1

bn

3 31

2=

3 3 3 3 32 1a a a a a= = =+

3

3 3 3 32

= ( ) =

3b b

1 =b

2b

b an=

Objetivos


• Definir y operar símbolos de la forma an con n un número racional.• Transformar cualquier potencia de la forma an con n un número racional en

forma de radical y viceversa.• Resolver problemas que involucran exponentes fraccionarios.• Enunciar, aplicar y simplificar radicales a partir de las leyes que los rigen.

Notas:

1

2 Hemos indicado que en el radical , a debe ser positivo; no obstante, en el caso en

el que n sea impar, es posible definir de la siguiente manera. Si a < 0, entonces

a = −d con d positivo. Si n es impar:

3 La expresión , con a negativo y n real, no tiene sentido en general en los númerosreales.

4 En general ; sin embargo, en todo caso: , el valor absoluto de A quese define de la siguiente manera:

AA si A

A si A=

≥− <

⎧⎨⎩

00

A A2 =A A2 ≠

a n1

a d dn n n1 1 1

= −( ) = −

an

an

b a abn nn

=


Leyes de exponentes para las potencias de números reales positivos

a) d) g)

b) e)

c) f )

donde a y b son números reales positivos arbitrarios y n y m son números rea-les cualesquiera.

a

b

a

b

m m

m⎛⎝

⎞⎠ =a a0 1 0= ≠;

a b abm m m= ( )a

aa

a

m

nm n

n m= =−−1

aa

mm= −

1a am n mn( ) =a a am n m n= +

Las leyes para exponentes, en el caso de que los exponentes sean fraccionarios, puedenexpresarse a través de radicales de la siguiente manera:

Leyes de exponentes fraccionarios expresadas con radicales

ab a ba

b

a

b

a a a a a

n n n n

n

n

mn mn n m m nmn

= =

= =

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

+

;

;


Por otro lado, en general sí se cumple que

5 no debe confundirse con . En el primer radical, se asume que la cantidad espositiva; en el segundo se trata en realidad de dos cantidades, una positiva y otra nega-tiva. Si nos referimos al valor negativo de la raíz cuadrada de x, debemos escribir .− x

± xx

A A( ) =2

solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifica el siguiente radical:

Simplificación: Se dice que el radical está simplificado cuando satisface las siguientes condicio-nes:

a) El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice n del radical.b) El subradical no contiene fracciones.c) El índice del radical es el menor posible.

La simplificación pedida es:

Ejemplo 2

Determina la suma indicada y simplifica tu resultado:

Observamos que los radicales de la expresión no tienen el mismo índice; en consecuencia, buscaremostransformar los términos a radicales del mismo índice.

784 4 144

4944

4− +

= −3 2 23abc ab

= −( )3 3 3 3 63 23a b c ab

− = −27 34 5 63 3 3 3 2 63a b c a ab b c( )

an

−27 4 5 63 a b c

solución

solución


Ejemplo 3

Efectúa la operación

Ejemplo 4

Racionalizar el denominador de una fracción dada significa transformar esa fracción en otra equiva-lente, cuyo denominador sea racional. Aunque no es usual, es posible hablar también de racionalizar elnumerador.

Racionaliza el denominador en la operación:

La técnica estándar para racionalizar el denominador consiste en multiplicar numerador y denominadorpor el factor de racionalización del denominador; esto es, un factor que convierte una expresión con ra-dicales a otra de tipo racional. Por ejemplo, si la expresión con radicales es de la forma, , su factor de racionalización es la expresión conjugada ; ésta difiere de la primera en el signo queentrelaza a los dos radicales.Tenemos:

,

(nota que el segundo factor es en realidad igual a 1)

2 65 2 6

2 65 2 6

5 2 65 2 6

−+

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a b+a b−

2 65 2 6

−+

= =27 33

= − ( )49 222

3

7 22 7 22 7 22 7 223 3 3+ ⋅ − = + −( )( )

7 22 7 223 3+ ⋅ −

= − = − = −49 7 74 24

= − +2 49 4 49 494 4 4

= − ⋅ +2 49 4 2 74

4942 2

4 4

784 4 144

49 2 494 14

4494

44 44

24

44− + = ⋅ −

( )+

solución

solución


Ejemplo 5

Calcula el valor de x2 + 2x − 4 cuando

Sustituyendo:

Ejemplo 6

Simplifica la expresión

= − − + −− + −

= −2 4 4 44 4

2 42 2 2

2 22x x x

x xx

[ ]

= − + −

−−

+−

2 4 4

14

44

2 2

2

2 2

[ ]x xx

x x

8 2 2 4

14

2

14

2 4 4

14

24

4

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

− + −

−−

+−

= − + −

−−

+−

x xx

x x

x xx

x x

[ ]

8 2 2 4

14

2

14

2 2

2

2 2

− + −

−−

+−

x xx

x x

− +( ) + − +( ) − = − + − + − = −1 3 2 1 3 4 1 2 3 3 2 2 3 4 22

x = − +1 3

= − = −22 9 61

22 9 6

=− + ( )

− ( )10 9 6 2 6

5 2 6

2

2 2 2


Ejercicios

y problemas

1. Establece el valor de verdad (verdadero o falso) de cada una de las siguientes proposiciones.

a) , para todo número x

b)

c)

d) , únicamente para x mayor que 1

e) para todo valor de x y y

2. Escribe cada una de los siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios no negativos, simpli-fica tu resultado:

a)

b) , con a, b, c y d positivos

c) , con x, y, y z positivos

d)

3. Racionaliza el denominador y encuentra la forma simplificada para x > 0, y > 0.

a)

b)

c)

d)

4. Simplifica:

a) 2 450 9 12 7 48 3 98+ − −

x x

x x

++ +1

x x

x x

− − +− + +

1 11 1

x y

x y

2 2−−

x xy

x y

2 −+

a a

a

a

a a

⋅ +⋅

− −

−

23

56

1256 23

x y

z

5 34

23

a b

c d

24 53

2 2−

x 234

x y x y x+ + −( ) =2 2 22

x

xx

−−

= −11

1

x x x4 2 22 1 1+ + = +

a aa aa a2 1− −=

x x2 =


b)

c)

5. Elabora las operaciones indicadas y reduce el resultado lo más que sea posible.

a) Multiplica por

b) Multiplica por

c) Divide entre

d)

6. Utiliza las fórmulas: para racionalizar el denominador de las siguien-

tes expresiones:

a)

b)

c)

7. El área superficial S del cuerpo humano (en pies cuadrados) se puede estimar a partir de la estatura h(en pulgadas) y el peso w (en libras) usando la expresión:

Esta fórmula se usa para estimar el contenido total de grasa del cuerpo.

a) Calcula el área superficial de un individuo de 6 pies de estatura que pesa 175 libras.

Los incisos b)-d) requieren cuando menos la lectura del enunciado del problema ¿Exponentes fraccio-narios en la inflación? de la sección de Ejercicios para trabajar en equipo.

b) ¿Cuál es el efecto sobre el área superficial de un cuerpo, si se produce un 10% de aumento en el peso?c) Si en un periodo de seis meses, un adolescente incrementa su estatura en un 6.5% y su peso en un

7%, ¿cuál es el efecto sobre el área superficial de su cuerpo?d) Si un joven incrementa en un 3% su estatura, ¿cómo debe variar su peso a fin de mantener el valor

de su área superficial?

8. La velocidad v (en metros por segundo) necesaria para que un satélite permanezca en órbita alrededorde la Tierra está dada por la fórmula:

S w h= 0 1091 0 425 0 725. . .

a

a a

6

4 2 3 36

6 36−

+ +

x

x x

−+ +

88 6423 3 3

1315 63

−− −

a

a

a b a b a ab b

a b a b a ab b

3 3 2 2

3 3 2 2

− = − + ++ = + − +

⎧⎨⎩

( )( )( )( )

( )a b+ 23

110

2 2a45

43 a b

2 3 34 a ba b2 23

a x a x+ − −a x a x+ − −

( ) ( ) ( )a ba b

a ba b

a b

a ba b

a b− +

−− + −

++ −

−2 2 1

3 108 110

625 17

1715 4 323 3 3 3+ + −



donde d es la distancia del satélite al centro de la Tierra en metros. Calcula la velocidad de un satéliteque está a 5.2 × 107 metros del centro de la Tierra.

9. La fórmula estima la velocidad v (en pies por segundo) a la que avanzaba un automóvil, apartir de la longitud L (en pies) de las marcas que deja al frenar sobre piso mojado.

a) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 50 pies?b) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 100 pies?

10. En la Primera Guerra Mundial, las potencias centrales, no anticipando una guerra prolongada, comen-zaron a preocuparse por la salud de sus pueblos. Necesitaban una medición rápida de la desnutrición.Se encontró experimentalmente que para alguien saludable, el cubo de la altura de una persona sen-tada es aproximadamente 10 veces su peso en gramos. A partir de esta idea formularon una razónllamada peledisi, que se calcula con la fórmula:

La talla sentado en centímetros es la distancia desde lo alto de la cabeza a la silla. Un adulto bien ali-mentado tiene un peledisi muy cercano al 100%, el peledisi de un adulto desnutrido es menor del 100%y el de una persona obesa es superior al 100%.

a) Describe la nutrición de un adulto cuyo peso es de 77,000 gramos y cuya altura (sentado) es de 100 cm.b) Determina tu propio peledisi, describe tu estatus de nutrición.

peledisipeso en gramos

talla sentado en centímetros=

××

10100

3 ( )%

v L= 12

vd

= ×4 1014


1.Arte por medio de radicales, la proporción áureaLa proporción áurea, que escribiremos con la letra φ , encontró lugar tanto en el arte griegocomo en el renacentista. Por ejemplo, la relación entre el alto y el ancho del frente del Parte-nón en Atenas, construido en el siglo V a. C. es muy aproximada a la proporción φ. El hechode que un rectángulo cuyos lados estén en la proporción φ (lo que se llama rectángulo áureo)sea agradable al ojo humano es algo que se ha sabido durante siglos. En el siglo XIX, psicólo-gos, encabezados por Adolf Zeising, ensayaron con el gusto de los humanos en lo referente ala forma del rectángulo. Se descubrió que preferimos la forma de un rectángulo similar al rec-tángulo áureo.


Con la finalidad de que conozcan algunas de las hermosas relaciones que giran en torno a laproporción áurea, discutan los siguientes puntos:

a) Inicien con un rectángulo cuyos lados BC, AB midan 1 y 2, respectivamente (en general, essuficiente que los lados se encuentren en la proporción 1:2). Tracen la diagonal del rectángulo;así, el rectángulo quedará dividido en dos triángulos; llamen a uno de éstos ABC (véase lafigura 12.10). ¿Cuánto miden los lados de este triángulo?

b) Tomen a C como eje de rotación, giren los segmentos CB y CA hasta dejarlos alineados conel segmento EF; esto es, los vértices A y B deberán coincidir con los puntos E y F, respec-tivamente. ¿Cuánto mide el segmento EF? Observen que al girar el segmento CB, como seha indicado, el segmento AB coincidirá con el segmento DF.

c) Con los lados EF y FD, construyan un nuevo rectángulo. Los griegos definieron la propor-

ción áurea como: , ¿cuál es el valor de φ ?φ = longitud EF

longitud DF

( )( )

E C F

D

A B

Figura 2.10 Construcción de la figura áurea

E R F

U

T

V

S D

Figura 2.11 ¿Qué sucede si se sustrae un cuadrado de un rectángulo áureo?

2. En la figura 2.11, el rectángulo SDFE tiene lados de longitudes SD igual a y DF delongitud 2. Si ERTS es un cuadrado con lados de longitud igual a la del segmento ABde la figura 2.10, ¿es áureo el rectángulo RFDT? Si en el rectángulo RFDT repetimos elproceso anterior, quitando un cuadrado de longitud UV, entonces quedará el rectánguloUVDT. ¿Es áureo este rectángulo? ¿Qué infieren de sus respuestas? Expliquen.

5 1+


a) ¿Cuál es la proporción entre el área del rectángulo EFDS y la del rectángulo RFDT? Res-pondan la misma pregunta con los rectángulos RFDT y UVDT. Escriban su respuesta entérminos de φ.

b) Sea φ´ el recíproco cambiado de signo de φ; determinen el valor de φ´; si es necesario,racionalicen el denominador.

c) El valor de φ 2 puede expresarse en la forma aφ + b; determinen los valores de a y b.d) A partir del inciso anterior, infieran una relación entre φ n, φ n − 1 φ n − 2 y calculen enton-

ces las primeras ocho potencias de φ, expresen sus resultados por medio de radicales.

3. Algo de ganadería con radicalesEn la ganadería hay dos términos relacionados con el cuidado de los animales; éstos son: ra-ción alimenticia de sostén y ración de producción. El primero se refiere a la cantidad mínimade alimento que cubre, de manera exclusiva, el número de calorías que consume el funciona-miento de los órganos internos y el restablecimiento de las células que perecen, mientras queel segundo tiene que ver con el alimento destinado a la producción ganadera. Para el primerode ambos términos, la ciencia veterinaria ha determinado los siguientes principios:

• Que la ración alimenticia de sostén es proporcional a la superficie externa del cuerpo delanimal.

• Las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidaslineales (l).

• Los pesos de cuerpos semejantes son proporcionales al cubo de sus medidas lineales.

Haciendo uso de estas observaciones, un veterinario determinó que un buey de 630 kilogramosrequiere 13, 500 calorías para su ración alimenticia de sostén.

a) A partir de la información anterior, determinen las calorías necesarias para cubrir la raciónalimenticia de sostén de un buey que pesa 420 kilogramos.

b) Si un médico veterinario tuviera a su cargo el cuidado de 100 cabezas de ganado, no seríapráctico repetir los cálculos del inciso a) animal por animal; por ello, deduzcan una fórmu-la que permita determinar el número de calorías de la ración alimenticia de sostén para unanimal que pese p kilogramos.

4. ¿Exponentes fraccionarios en la inflación?Un estudiante de economía ajustó, apoyándose en una técnica de la estadística conocida comoregresión lineal y en los precios a los consumidores de tres productos de la canasta básica: le-che, huevo y arroz, un modelo simplificado que proporciona el consumo mensual (C) de carne(en kilogramos), en términos de los precios de los tres productos señalados. Sus cálculos lo lle-varon a la expresión:

Aquí, A es una cierta constante, x es el precio del litro de leche, y y z los precios del kilogra-mos de huevo y arroz, respectivamente.

La expresión puede ser usada para determinar la variación porcentual en

el consumo de carne. Su trabajo consiste en determinar lo siguiente:

rC C

C= − ×1 0

0

100%

C A x y z= − − −0 3 0 2 0 5. . .


a) El cambio porcentual en el consumo mensual de carne si el litro de leche aumentara en un3%, el kilogramo de huevo disminuyera en un 2% y el precio del kilo de arroz se incremen-tara en un 1%. Interpreten su resultado.

b) Si el precio de la leche disminuyera un 2% por litro y el kilo de arroz incrementara su pre-cio en un 4%, ¿en qué porcentaje debería variar el precio del kilogramo de huevo con la fi-nalidad de mantener el consumo de carne en su nivel?

5. Conexiones numéricas asombrosas

Una fracción como puede escribirse en la forma:

Las características de la última fracción son:

• El numerador y denominador son números de un solo dígito,• Está escrita como un número entero más una fracción con un numerador y denominador ca-

da uno de los cuales es menor a 10.

Una fracción como la que se ha descrito, con las características señaladas, se conoce como frac-ción continua. Cuando una fracción continua (como la anterior) termina, se le llama fraccióncontinua finita; en caso contrario, se le conoce como fracción continua infinita.Con la finalidad de simplificar nuestra notación, escribimos:

aquí, el primer 1 se separa con punto y coma del resto para indicar que es un número entero.Una fracción como

según se ha dicho, es una fracción continua infinita. Dada la repetición de los números 1 y 2,se acostumbra escribir:

a) Construyan una fracción continua infinita que represente al número . Usen sus cálculospara ofrecer una estimación de este número.

2

[ ; , , , , ...] [ ; , ]1 1 2 1 2 1 1 2=• •

[ ; , , , , ...]1 1 2 1 2 1 1

1 1

2 1

1 1

2 1

= ++

++

+

1715

1 7 2= [ ; , ]

1715

1 215

1 1152

1 1

7 12

= + = + = ++

1715


(Sugerencia: Escriban . Ahora, noten que ,

simplifiquen y escriban en la forma ; deberán hallar los valores de

a, b, c y d. Sustituyan reiteradamente en lugar de , de aquí resulta la frac-

ción continua correspondiente).

b) También existe el concepto de radical continuo. Un radical continuo es una expresión de laforma:

A “L” se le conoce como límite del radical continuo.Eleven al cuadrado L y resten n al resultado, deduzcan un método que permita escribir

un número L en forma de radical continuo; apliquen su método al número 9.

c) Escriban la proporción áurea (vean el problema Arte por medio de radicales, la propor-ción áurea) como radical continuo. Usen el inciso g) del citado problema para escribir suresultado sin el empleo del símbolo φ ni de su valor equivalente con radicales.

L n n n n= + + + +

2ab

c d+

+ 2

22

= ++

ab

c d2

2 1 2 1 2 12 1

− = − ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )2 1 2 1= + −( )

1. Indica la opción que contiene la proposición verdadera.

a)

b)

c)

d)

2. Señala la opción que contiene la proposición falsa:

a)

b) x xaba b=

x y x y x y+( ) +( ) = +3

23

2

a

aa

n

mn m= −

a amn m pnp=

a b a bn n n+ = +

a b abn n n= 2


c) Para x < y:

d)

.3. Determina la forma más simple de las siguientes expresiones:

a)

b) , con a = 4, b = 16, x = 3.

c) , con a = 4, b = 8, x = 32, y = 7.

d)

4. Encuentra en la columna B las transformaciones de las expresiones correspondientes que apa-recen en la columna A.

Columna A Columna B

a) i.

b) ii.

c) iii.

d) iv.

v.

vi.

vii.

viii. x2

x y2

32

3+

x x2 3

22a

xy

3x 2136

x x y y2

31

31

32

3− +49

827

2

2

3

3

12

13x

x

x

y

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

÷⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

x x62 82 21

2a a÷( )−−

a24( ) ( )x y x y+ ÷ +

13

13

13

45

112

− +

32

11

223

35 0

313

0 45

a b

x ya b

b x−

− −

+ − +

a b a b x− + +2 01

23

4

x x y xy y3 2 2 33 3 3+ + +

13 2

3 2−

= +

x x y y+ −( ) =2


Respuestas a los


1. a) Siendo x un número real, . Si , para todos los valores en x; entonces con

x = −1, tendríamos que , o sea , lo que resulta absurdo. En realidad,

, para x ≥ 0, para x < 0. Un resultado válido para ambos casos es

.

b) La proposición es verdadera, en efecto:

c) La proposición es verdadera ya que:

d) La proposición es verdadera. no es un número real si x < 1. Asimismo,

no tiene sentido si el denominador es 0; esto es si x = 1. Por lo tanto, para x > 1

e) Esta proposición es falsa. Por ejemplo, con x = 2, y = 4:

mientras que 2x = 4. El error radica en considerar que , en realidad se cumple

que .

2. a)

b)

c)

d) 2a

x y

z

110

38

13

a b c

d

14

56

x1

6

x y x y−( ) = −2 22

x y x y−( ) = −2 22

x y x y+ + −( ) = + + − =2 2 2 8 2 8 162 2( )

x

xx x x

−−

= −( ) = −( ) = −−11

1 1 11 12

12

x

xx

−−

= −11

1x − 1

x x x x x4 2 2 2 2 22 1 1 1 1+ + = +( ) = + = +

a a aa aaa a

a a22

1−−

−= =

x x2 =

x x2 = −x x2 =

1 1= −−( ) = −1 12

x x2 =x 2 0≥


3. a)

b)

c)

d)

4. a)

b)

c)

5. a)

b)

c)

d)

6. a)

b)

c)

7. a) Tomando 1 pie como12 pulgadas, S ≈ 21.7611b) El área superficial aumenta aproximadamente un 4.13 %.c) El área superficial aumenta aproximadamente un 7.725 %.d) Disminuyendo su peso en un 4.93%.

8. 2.774 × 103

9. a) Aproximadamente iba a 24.49 pies por segundo.

b) Aproximadamente iba a 34.64 pies por segundo.

10. a) Desnutridos, peledisi ≈ 91.65%

a2 3 6−

x3 2−

25 5 6 63 23+ − + −a a( )

a b+3

8 2 2 26

aa b

2 27 5 1112a a b

3 3 2 2a x a x− − −

2 a b−

4 3 52

33

+

9 2 10 3−

x x

x x

2

21+

+ +

x x2 1− −

x y x y+( ) +( )x x y−( )



1. c)2. a)3. a) x + y

b) 18c)

d)

4. (a, iii), (b, v), (c, iv), (d, ii)

5 3 4 510−

1 4364

1292.8 Números complejos

La impedancia

En el análisis de circuitos de corriente alterna se utiliza el análisis fasorial,consistente en representar cada uno de los elementos de un circuito (resistencias,capacitores e inductancias) en forma de impedancias (ZR, ZC, ZL, respectivamente)para, después, aplicar la Ley de Ohm y obtener los voltajes VR, VC, VL, lo mismoque las corrientes (I) que circulan por el circuito. Las impedancias de cada ele-mento se muestran en la figura 2.12.


El Divino Creador ha encontradoocasión de manifestar su sublime

inteligencia en esta maravilla del análisis,este portento del mundo ideal, este anfibioentre el ser y el no ser que llamamos raíz

imaginaria de la unidad negativa.

Leibnitz

Introducción

El concepto de número ha evolucionado a la par con el desarrollo de la hu-manidad. Los números naturales surgen prácticamente en épocas prehistóri-cas por la necesidad innata que tenemos los seres humanos de contar. Todaslas culturas, de una forma u otra, han requerido desarrollar el concepto de nú-mero. Babilonios, egipcios y griegos descubrieron los números racionales enprocesos donde se requerían proporciones y los números irracionales en elcálculo de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. A pesar detales avances, no se desarrolló la comprensión de los números negativos y setuvo que esperar hasta el siglo XV para que fueran aceptados. Sin superar plena-mente las dificultades conceptuales que planteaban los números negativos, losnúmeros complejos aparecieron al considerar el cálculo de sus raíces cuadra-das. La necesidad de establecer un marco para el desarrollo de los complejosse hizo patente cuando Tartaglia y Cardano (matemáticos italianos del sigloXV) tuvieron que utilizarlos cuando buscaban fórmulas generales de raíces deecuaciones polinomiales cúbicas. En 1799, Gauss (matemático alemán) propor-cionó el impulso requerido para su consolidación, al utilizarlos en su primerademostración del Teorema Fundamental del Álgebra. Actualmente los númeroscomplejos son una herramienta básica para el trabajo de ingenieros y cientí-ficos, quienes los utilizan en infinidad de aplicaciones. Por ejemplo, los inge-nieros electricistas los utilizan para analizar circuitos eléctricos, así como paraformular la teoría de señales y sistemas, entre otras cosas. El siguiente ejemplonos muestra las enormes posibilidades que se abren con su uso:


Por ejemplo, para el circuito serie de la figura 2.12, la Ley de Ohm establece que:

,donde

• ZT es la impedancia total.• V es el voltaje de la fuente de corriente alterna medida en voltios.• R es la resistencia medida en ohms.• C es el valor del capacitor o condensador medido en farads.• L es la inductancia medida en henries.• I es la corriente que circula en el circuito y está medida en amperes.• f es la frecuencia de la fuente y sus unidades son los hertz.

(Nota: usualmente en ingeniería eléctrica la unidad imaginaria se denota por ,en tanto se reserva el símbolo i para la corriente. Nosotros usaremos la convención usualy denotamos la corriente con el símbolo I.)Si se desea conocer el voltaje de cada uno delos elementos del circuito (resistencia, capacitor, inductancia) se aplica nuevamente laLey de Ohm. En el caso de la resistencia, se tiene:

.Para el voltaje en el capacitor, obtenemos:

.De la misma forma se obtiene el voltaje en la inductancia:

.Este tipo de circuitos se conocen como filtros y son la base de los ecualizadores utiliza-dos en cualquier sistema de audio.

V Z If L V i

Ri

f Cf L i

L L= =− +

* 2

22

π

ππ

V Z Ii V

fC RifC

f LiC C= = −

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

*2

22π

ππ

V Z IR V

RifC

f LiR R= =

− +*

22

ππ

j = −1

IV

Z

V

Z Z Z

V

Ri

fCf LiT R C L

= =+ +

=− +

22

ππ

R

V

L

C

Impedancias de los elementos de uncircuito

Z R

Zi

fCZ i f L

R

C

L

=

= −

=

; Resistencia

; Capacitor

; Inductancia2

2π

π

Figura 2.12 Circuito serie


El conjunto de los números complejos

Como se indica en la introducción, los números complejos surgen al considerar raíces denúmeros negativos. Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo,una ecuación como x2 � 9 � 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales.Para tratar con tales situaciones, debemos aceptar la existencia de soluciones del tipo

y extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjun-to de los números complejos. Más aún, es necesario definir la unidad imaginaria

y aceptar que las reglas para trabajar con radicales son válidas en los comple-jos, para escribir la raíz de cualquier número negativo en términos de la unidad i. Porejemplo, es posible simplificarla así: . Cualquier raíz cuadra-da de un número negativo puede llevarse a esta forma. Con el número i lograríamosconstruir todo el sistema de los números complejos, para lo cual requerimos la siguien-te definición:

x i= − =9 1 3x = −9

i = −1

x = −9

Objetivos


• Describir el conjunto de los números complejos.• Realizar operaciones de suma, resta, producto y cociente entre números

complejos.• Representar gráficamente números complejos en el plano.• Determinar el conjugado de un número complejo.• Obtener raíces cuadradas de números negativos reales.• Obtener raíces cuadradas de números complejos.

Definición

Un número complejo es una expresión de la forma z � a � bi, donde a y b sonnúmeros reales que se conocen como parte real y parte imaginaria de z, y se de-notan a � Re (z) y b � Im(z), respectivamente. El conjunto de los números com-plejos está formado por todos los números de la forma z � a � bi.

Por ejemplo, en el número z � 4 � 3i la parte real es 4 y la parte imaginaria es 3. Cualquier número complejo z � a � bi, se puede visualizar en el plano cartesiano

asociándole el punto (a, b). En la figura siguiente se muestran los números z � 4 � 3i,zc � 4 � 3i, �zc � �4 � 3i y �z � �4 � 3i.


Operaciones con números complejos

Entre números complejos es posible realizar diferentes operaciones: suma, resta, produc-to, cociente. Tales operaciones se establecen a continuación:

54321

1 2 3 4 5

Re z

Im z

Los números 4 + 3i, 4 – 3i, 4 + 3i, – 4 – 3i.

–1–1–2–3–4–5–2–3

–5

00

–4

Figura 2.13 Representación gráfica de números complejos

Suma y resta

La suma de los números complejos z � a � bi y w � c � di es el número z � w �(a � c) � (b � d)i.

La resta de los números complejos z � a � bi y w � c � di es el número z � w �(a � c) � (b � d)i.

Es decir, para sumar (restar) dos números complejos z y w se suman (restan) la parte realde z con la parte real de w y la parte imaginaria de z con la parte imaginaria de w. Porejemplo,

.

En la siguiente figura se muestran la suma y la resta de dos números complejos; hemosincluido el segmento dirigido del origen a cada punto para volver evidente el significadogeométrico de la suma y de la resta.

( ) ( ) ( ) ( ) ;( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 8 4 2 3 8 6 114 3 2 8 4 2 3 8 2 5

+ + + = + + + = ++ − + = − + − = −

i i i ii i i i


No es necesario memorizar la fórmula, ya que se obtiene el mismo resultado si conside-ramos esta multiplicación como un producto de binomios y remplazamos i2 por �1. Porejemplo

esto es, (3 � 2i) (4 � 5i) � 2 � 23i. En la siguiente ilustración se muestra el resultadodel producto:

3 24 5

12 815 10

12 23 10

2

+++

+ ++ −

ix i

ii i

i

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

Re z

Im z

z2

z1

z1 + z2

−z

Suma de números complejos

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Re z

Im z

z2

z1 −z2

z1 −z2

−z

Resta de números complejos

0 1 2 3 4 5

z1

Figura 2.14 Suma y resta de números complejos

Producto

El producto z * w, o simplemente z w, de los números complejos z � a � bi yw � c � di es el número complejo.

z w a bi c di ac bd ad bc i* ( )( ) ( ) ( )= + + = − + +


Antes de definir el cociente, hay que definir el conjugado y la magnitud de un númerocomplejo.

Im z

Re z

Producto de números complejos

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5−z

z1*z2

z1

z2

Figura 2.15 Producto de números complejos

Definición

El conjugado de un número complejo z � a � bi es z� � a � bi.

La magnitud de un número complejo z � a � bi es el número real || ||z a b= +2 2

No es difícil mostrar la siguiente propiedad:

Propiedad

Si z � a � bi es un número complejo, entonces || || .z z z2 =

En efecto, mediante una multiplicación directa se tiene:

Enunciamos otras propiedades de la magnitud sin demostración:

z z a bi a bi a abi abi b i a b z* ( ) * ( ) || ||= + − = + − − = + =2 2 2 2 2 2


Ahora definamos el cociente de dos números complejos:

Propiedades

Si z y w son números complejos, entonces:

•

• || * || || || * || ||z w z w=

|| || || || || ||z w z w+ ≤ +

Cociente

El cociente , de los números complejos z � a � bi y w � c � di � 0, esel número complejo

z

w

a bi

c di

ac bd bc ad i

c d= +

+= + + −

+( )

2 2

z w/

Tampoco es necesario memorizar esta fórmula, ya que el cálculo se reduce a multiplicary dividir por el conjugado de w, así como a realizar las operaciones necesarias, obser-vando que w*w– es un número real. En efecto,

Por ejemplo, simplifiquemos el cociente . Multipliquemos y dividamos por el

conjugado de 3 � 4i. Obtenemos, después de realizar varias simplificaciones:

Con tales operaciones se puede demostrar que el conjunto de los números complejoscumple las siguientes propiedades:

13 4

13 4

3 43 4

3 3 4 49 16

3 3 4 49 16

725725

125

2

++

= ++

−−

= + − −+

= + − ++

= −

= −

i

i

i

i

i

ii i i

i i

i

i

.

13 4

++

i

i

z

w

a bi

c di

a bi

c di

c di

c di

ac bd bc ad i

c d= +

+= +

+−−

= + + −+

. ( )2 2


Propiedades de la suma Propiedades del producto

Cerradura Si z1 y z2 son complejos, Cerradura Si z1 y z2 son complejos,también lo es su suma. también lo es su producto.

Conmutatividad z1 � z2 � z2 � z1 Conmutatividad z1 * z2 � z2 * z1

Asociatividad z1 � (z2 � z3) � (z1 � z2) � z3 Asociatividad z1 *(z2 * z3) � (z1 * z2)* z3

Existencia del 0 Existe un número complejo, el Existencia del 1 Existe un número complejo,cero 0 � 0 � 0i, con la propiedad llamado uno 1 � 1 � 0i, con lade que z � 0 � 0 � z � z propiedad de que

z * 1 � 1 * z � z

Existencia del Para cualquier número complejo Existencia del Para cualquier número inverso aditivo z, existe un único número inverso complejo z � 0, existe un

complejo(�z), llamado inverso multiplicativo inverso multiplicativo único aditivo de z, tal que , llamado inverso z � (�z) � 0

de z, tal que zz

z*

|| ||21=

12z

z

z=

|| ||

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Si z1 � 2 � 3i y z2 � 8 � 6i y determina

a) z1 � z2

b) z1 � 4z2

c) 2z1 � z2

d z1 * z2

e) z1 / z2

Haciendo las operaciones indicadas, se tiene:

a)

b)

c)

d)

e) z

z

i

i

i

i

i

i

i i ii1

2

2 38 6

2 38 6

8 68 6

16 24 12 1864 36

2 36100

0 02 0 36= +−

= +−

++

= + + −+

= − + = − +* . .

z z i i i i i i i1 222 3 8 6 16 24 12 18 16 12 18 34 12* ( ) * ( )= + − = + − − = + + = +

2 2 2 3 8 6 4 6 8 6 4 121 2z z i i i i i− = + − − = + − − = − +( ) ( ) ( ) ( )

z z i i i i i1 24 2 3 4 8 6 2 3 32 24 34 21+ = + + − = + + − = −( ) ( ) ( ) ( )

z z i i i i1 2 2 3 8 6 2 8 3 6 10 3+ = + + − = + + − = −( ) ( ) ( ) ( )

solución

solución

solución


Ejemplo 2

Si z1 � 3 � 4i y z2 � 2 � 5i, calcula y

Haciendo las operaciones indicadas, se tiene:

a) z1 � z2 � (3 � 4i) � (2 � 5i) � 5 � i y la magnitud es

b)

Ejemplo 3

Determina k de forma que el cociente sea un número:

a) real

b) imaginario puro; esto es, un número complejo sin parte real.

Haciendo la división, se tiene:

a) Para obtener un número real, se requiere que k2 � 16 ó k � �4.b) Para que el resultado sea imaginario puro se necesita que k � 0.

Ejemplo 4

Grafica en el plano z, z2, z3, z4, z5, z6 z7 y z8 si

Primero calculemos las potencias pedidas de z:

z i ii i

i2 12

12

12

12

12 2 2

12

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + + − =

z i= +12

12

82

82

22

8 16 24

8 16 24

10 164

2 2

2

2

2

2

2

++

= ++

−−

= + − −+

= + − ++

= + −+

ki

k i

ki

k i

k i

k ik k i i ki

kk k i k

kk k i

k

*

( )

( )

82

++

ki

k i

|| || || || || || || || . .z z i i1 2 3 4 2 5 9 16 4 25 25 29 5 5 385 10 385+ = + + − = + + + = + ≈ + =

|| || .z z1 2 25 1 26 5 099+ = + = ≈

|| || || ||z z1 2+|| ||z z1 2+

solución


En la gráfica siguiente se muestran los puntos. Claramente forman un octágono regular:

z z z z i i ii

z z z i i

z z z z i

z z z i

3 2

4 2 2

5 4

6 2 4

12

12 2

12

112

12

= = = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

= = = −

= = − = − −

= = −

* *

* *

*

* ( 1112

12

12 2

1 1 1

7 6

8 4 4

)

* ( ) ( )

* ( ) * ( )

= −

= = − = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− = −

= = − − =

i

z z z z i i ii

z z z

−1.5

1.5 Im z

Re z

Potencias de z = 2−1/2+2−1/2 i

−1.51 1.55−0.5

−0.5. 0.5

0.5

00

1

1

−11

−1

Figura 2.16 Potencias de z i= +12

12

Ejemplo 5

Determina números reales a y b, tales que . Posteriormente, muestra la posición de los nú-meros obtenidos en el plano complejo.

Elevando al cuadrado y simplificando se tiene:

Tomando en cuenta el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspon-dientes partes real e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

i a bi a bi a bii a b abi

= + = + += − +

( ) ( )( )2

2 2 2

i a bi= +


De la primera ecuación se tiene:

Sustituyendo en la segunda ecuación. Resulta:

Sólo consideramos el signo positivo porque a es real; esto implica que b � a. Obtenemos:

Los números complejos buscados son:

y

En la siguiente figura se muestran los números complejos i, 0.7071 � 0.7071i, �0.7071� 0.7071i:

z i i212

12

0 7071 0 7071= − − ≈ − −. .

z i i112

12

0 7071 0 7071= + ≈ +. .

a = ± 12

± =

= ±

2 112

2

2

a

a

b a= ±

a bab

2 2 02 1− =

=

0.5

0.5

0.5

–1 1

1

–1

00

Re z

Im z

Los números i, 0,7071 + 0,7071i,0,7071 – 0,7071i.

–0.5

Figura 2.17 Los puntos i, 0.7071 � 0.7071i, �0.7071� 0.7071i

solución


Ejemplo 6

Determina las raíces cuadradas del número complejo 3 � 4i y muestra sus posiciones en el plano.

Queremos determinar un número complejo z = a + bi, tal que:

Elevando al cuadrado y simplificando, tenemos:

Usando el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspondientes partesreal e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

De la segunda ecuación, se tiene:

Sustituyendo en la primera ecuación, resulta:

Como a es real, sólo debemos considerar el caso:

cuya solución es:

Finalmente, usamos la relación entre a y b para obtener:

Así que los números complejos buscados son:

yz i2 2= − −

z i1 2= +

ba

= =±

= ±2 22

1

a = ±2

a2 4 0− =

aa

aa

a

a aa a

a a

22

22

2

4 2

4 2

2 2

2 3

4 3

4 33 4 0

4 1 0

− ⎛⎝

⎞⎠ =

− =

− =− − =

−( ) +( ) =

;

;

;;;

multiplicando por se tiene

simplificando obtenemos factorizando se tiene

ba

= 2

a bab

2 2 32 4− =

=

3 43 4 2

2

2 2+ = + = + ++ = − +

i a bi a bi a bii a b abi

( ) ( )( )

3 4+ = +i a bi


En la figura siguiente se muestran los números complejos 3 � 4i, 2 � i, �2 � i.

Im z

Re z

Los números 2 + i, −2 − i,3 + 4 i

0

1

2

3

4

5

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2

−1

Figura 2.18 Los puntos 3 � 4i, 2 � i, �2 � i.

Ejercicios

y problemas

1. Realiza las siguientes operaciones, luego expresa cada número en la forma: z = a + bi:

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j) ( )( )( )

1 11 2

4

3+ −

+i i

i( ) ( ) ( )( )1 4 2 5 32− + − + +i i i i

( )2 5 3+ i( )( )5 2 1 5− +i i

13 4

2++

⎛⎝

⎞⎠

i

i( )( )3 2 3 2− +i i i

11 5( )− i

( )( )3 5+ −i i

3 42 3

++

i

i( ) ( )3 5 2 3+ + −i i



2. Escribe los siguientes números en la forma z � a � bi:

a) c)

b) d)

3. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es 5.Calcula ambos números.

4. Calcula la magnitud de los siguientes números:

a) c)

b) d)

5. Sea . Calcula el valor de k para que z � 2 � i.

6. Sea z � (3 � 6i)(4 � ki). Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.

7. Determina las raíces cuadradas de los números

a) z � 3 � 4i

b) z � 4 � 3i

c) z � 15 � 8i

8. Una raíz cuadrada de un número complejo es �1 � i. Calcula dicho número y su otra raíz cuadrada.

9. Demuestra que para dos números complejos cualquiera se cumple que

10. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4 21

3 5m i

n ii

−+

= −

|| || || || || || || ||z z z z z z1 22

1 22

12

222 2+ + − = +

zk i

i= +

+2

zi

i= +

−2 2

3z

i

i= +

−32

z i i i= − +( )( )5 10 2z i= −8 6

31

4+

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i

i

11

4+−

⎛⎝

⎞⎠

i

i

13

4−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i

i

i i

i

5 8 4

2−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−


1. La impedancia, presentada en la introducción.

a) En la situación se habla de los siguientes términos: impedancia, Ley de Ohm, circuito se-rie, filtro. Investiguen el significado de cada uno de ellos.


b) Se tiene un circuito serie RLC con los datos de los incisos siguientes. Para cada incisodeterminen la impedancia total, la corriente I y los voltajes VR, VC, VL, así como sus mag-nitudes. Supongan que el voltaje de entrada es V � 2 voltios de corriente alterna y que lafrecuencia es f � 1 /(2p)hertz.

i. R � 4Ω, C � 3 farads, L � 5 henries

ii. R � 2Ω, C � 5 farads, L � 4 henries

iii. R � 3Ω, C � 2 farads, L � 2 henries

iv. R � 4.5Ω, C � 2.5 farads, L � 2.5 henries

v. R � 4.8Ω, C � 3 farads, L � 5.1 henries.

c) Un semáforo compacto de bajo consumo se diseñó utilizando los elementos básicos de laelectrónica de potencia. Para armarlo, se requiere de un condensador (capacitor) de330x10�9 F, otro de 220x10�9 F y uno más de 150x10�9 F. Desafortunadamente tienescinco capacitores sin su valor impreso y el laboratorio no cuenta con un puente de impe-dancias, con el cual podría resolverse el problema. Para determinar el valor de cada unode los capacitores, se arma el circuito de la figura 2.19. Se prueban cada uno de los capa-citores y se obtienen los datos de ⎟⎜VC⎟⎜, que aparecen en la figura. Determinen si los ca-pacitores que encontraron servirían para terminar el semáforo.

CapacitorVoltaje medio en cada

capacitor. ⎟⎜Vc ⎟⎜ (volts)

R

V 24V60Hz C¿?

33K

1 8.82

2 4.15

3 5.69

4 11.54

5 16.86

Figura 2.19 Medición decondensadores o capacitancias

2. Graficando potencias de números complejos

a) Consideren el número complejo z � i; sus primeras cuatro potencias son z2 � �1,z3 � �i, z4 � 1. Elaboren una figura donde muestres los cuatro puntos en el plano com-plejo. ¿Qué figura se forma? ¿Cambia la figura si consideramos potencias superiores?

b) Determinen las primeras ocho potencias del número complejo z � 0.7071� 0.7071i ygrafíquenlas en el plano complejo. ¿Qué figura se forma?


c) Determinen las primeras seis potencias del número complejo z � 0.5 � 0.866025i. ¿Quéfigura forman?

d) Para los siguientes números complejos calculen las primeras 20 potencias y coloquen lospuntos en el plano complejo. ¿Qué figura forman?

i. z � 3 � 4i

ii. z � 1 � i

iii.

iv.

v.

e) Calculen ahora la magnitud de todos los números complejos que utilizaste. ¿Qué relaciónguardan las magnitudes con las figuras?

f) Seleccionen tres números complejos y grafiquen su primeras 20 potencias en el plano com-plejo. Intenten determinar la gráfica sin hacer el cálculo.

z i= −56

36

z i= −23

15

z i= +12

12

1. Realiza la operación

a) 9 � 13i

b) 15 � 13i

c) 15 � 13i

d) 15 � 4i

2. Simplifica la operación

a) i

b) i � 2

c) i � 2

d) �i /2

34 2 1

−− +

i

i

i

i*

( )( )4 3 3− +i i


3. Encuentra una raíz cuadrada del número z � 3 � 4i

a) 2 � i

b) �2 � i

c) 2 � i

d) 1�i /2

4. Calcula z10 si z � 1� i

a) �32(1 � i)b) 32(1 � i)c) �32i

d) 32i

5. Encuentra la forma simplificada z � a � bi, en la columna B de la operación indicada en lacolumna A.

Columna A Columna B

a) (i � 2)3

b)

c)

d) ( )( )3 4 1 2+ −i i

135i

i +

31

−+

i

i

Respuestas a los


1. a) 5 � 2i

b) 16 � 2i

c) 13i

d) 15 � 23i

e) �15 � 19i

f) (18 � i) /13

i. 0.5 � 2.5i

ii. �5 � 10i

iii. 2 � 11i

iv. 0.5 � 2.5i

v. 2 � i

vi. 1 � 2i

vii. 10 � 11i

viii. 5 � 10i


g) �(1� i) /8h) (48 � 14i) /625i) �142 � 65i

j) (52 � 36i) /125

2.a) �1b) 1c)

d)

3. 3 � 4i, 3 � 4i

4.a) 10b) c) 25 d) 1

5. k � 5 � i

6. k � 2

7. a) 2 � i, �2 � i

b) ;

c) 4 � i, �4 � i

8. El número es �2i y la otra raíz cuadrada es 1 � i.

9. Considera z1 � a � bi y z2 � c � di y muestra ⎟⎜z1 � z2⎟⎜2 � (a � c)2 � (b � d)2 y ⎟⎜z1 � z2⎟⎜2 �(a � c)2 � (b � d)2. Al sumar estos dos términos y al desarrollar se obtiene el resultado pedido.

10. m � 2, n � 1.

− −32 2

i32 2

+ i

2

2 2 3− i

( ) /1 3 8+ i


1. a2. d3. c4. d5. (a, iii), (b, vi), (c,iv), (d, ii)

Unidad

Ecuaciones


3.1 Ecuaciones lineales3.2 Sistemas de ecuaciones lineales3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales3.4 Ecuaciones polinomiales


“Llama a la llama para que no se queme con la llama”. Es evidente que la primera “llama” en esta frase es una conju-gación del verbo llamar, la segunda es un conocido animal andino y la tercera se refiere a fuego. Sin embargo, las tresse escriben exactamente igual. En todos los idiomas hay ejemplos similares, como también los hay en la simbolo-gía algebraica. Quizá te sorprenda averiguar que el signo “igual a” (=) tiene diferentes significados. Por ejemplo, enuna expresión del tipo (x + a)2 = x2 + 2ax + a2, indica una identidad, ya que (x + a)2 es idéntico a x2 + 2ax + a2 pa-ra cualquier pareja de números a y x. Por otro lado, una expresión del tipo x2 + 8x + 16 = 0, aunque parece similar a laanterior, no es una identidad, ya que sólo es cierta cuando x vale −4, en tanto que es falsa para cualquier otro valor dex. Este tipo de expresión se llama ecuación. Imagínate que una identidad es una aseveración: “el lado izquierdo es idén-tico al lado derecho”; por otro lado, una ecuación es una pregunta: “¿Para qué valores de x es el lado izquierdoigual al derecho?” Decimos que resolvemos una ecuación cuando respondemos esa pregunta.

Es muy importante que aprendas a plantear y resolver ecuaciones en problemas prácticos. Ernest Mach, un famo-so científico del siglo XIX, dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente, porque en la soluciónde un problema, después de construir la ecuación, te puedes “olvidar” de toda la situación práctica para concentrar-te en la expresión matemática; todo lo que no es necesario para resolver el problema deja de interferir con tu mente.Otro famoso científico, Isaac Newton, escribió que El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema re-ferente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema del lenguaje coloquialal idioma algebraico.

Desafortunadamente no hay una receta infalible para construir la ecuación o las ecuaciones que corresponden acada problema práctico. Necesitas imaginación e intuición; por lo tanto, requieres mucha práctica y mucho esfuerzo.Como suele suceder en muchos casos, aprenderás más de los errores que de los aciertos. Sin embargo, todo el tiem-po que utilices planteando y resolviendo ecuaciones será una valiosa inversión, que te permitirá resolver proble-mas prácticos en tu vida profesional.

148 Unidad 3: Ecuaciones

3.1 Ecuaciones lineales

El álgebra es el instrumento intelectualque se creó para dilucidar el aspecto

cuantitativo del mundo.

Alfred North Whitehead

Introducciónn

El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema referente a núme-ros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problemadel lenguaje coloquial al idioma algebraico, escribió Newton, en 1707, en sumanual de álgebra titulado Aritmética universal. El ejemplo que sigue servi-rá para mostrarte la enorme utilidad que ofrece el aprendizaje del álgebra:

Un reparto equitativo

Una empresa que administra servicios informáticos obtuvo ganancias por$140,000.00 en el año fiscal y desea repartir la utilidad entre sus cinco socios.Para decidir qué cantidad corresponde a cada socio, se pretende considerar dosaspectos: el capital aportado y el número de clientes captados por cada socio. Lasiguiente tabla muestra la distribución por socio.

Socio Capital aportado Clientes captados

Antonio López $ 10, 000.00 4

Bernardo Sánchez $ 8, 000.00 10

Carmen Martínez $ 50, 000.00 0

Damián Leyva $ 14, 000.00 6

Eunice Bautista $ 18, 000.00 15

Los socios han acordado aplicar alguno de los siguientes criterios para el repartode las ganancias:


1. Repartir el 50% de la utilidad en proporción al capital aportado y el otro 50%en relación con el número de clientes captados.

2. Repartir usando el criterio anterior, pero definiendo cualquiera otra relaciónporcentual.

3. Repartir en relación con el producto de los dos índices, lo cual quiere decirque Carmen, aunque aportó la mayor cantidad de capital, por no haber capta-do clientes no le tocaría reparto de ganancias.

Las siguientes son sólo algunas de las cuestiones que el álgebra, así como de ma-nera particular el planteamiento adecuado y las correspondientes soluciones deecuaciones lineales, podrían responder:

1. Si los socios adoptan el primer criterio, ¿cuánto correspondería a cada socio?

2. ¿Cuál de los socios, Bernardo Sánchez o Antonio López, se beneficiaría máscon un reparto de ganancias de acuerdo con el 40% en proporción al capital y60% en relación con el número de clientes captados?

Tal vez la solución de problemas como el anterior harían probablemente quecoincidieras con la opinión de Ernest Mach, un famoso científico del siglo XIX,quien dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente. Enefecto, en la solución de un problema como el propuesto nos “olvidamos” de todala situación física para concentrarnos en la expresión matemática. Todo cuanto fue-se improcedente para resolver el problema dejará de interferir con nuestra mente.

Objetivos


• Determinar la solución de una ecuación lineal.• Definir el concepto de ecuación equivalente y usarlo para resolver ecuaciones

lineales.• Plantear y resolver problemas donde sea necesario el uso de ecuaciones

lineales.

Ecuación lineal

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:

, ( )a ≠ 0ax b+ = 0

La única solución de la ecuación lineal es:

xb

a= −


que se obtiene al transformar la ecuación original en ecuaciones equivalentes (ecuacio-nes que tienen la misma solución) hasta obtener el valor de la variable x. También se

dice que el conjunto solución de la ecuación lineal es

El procedimiento ordinario para la resolución de las ecuaciones lineales más com-plicadas consiste en trasladar al primer miembro de la ecuación todos los términos quecontienen a x como factor, y al segundo todas las constantes. Entonces la ecuación seescribiría en la forma:

en donde d y c son constantes y c no es 0. En este caso, la única solución será x = d/c.cx d=

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

b

a

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación: (x + 1)(2x + 3) = 2x2 + 8 x + 5

Desarrollando el producto del miembro izquierdo, se obtiene:

eliminando el término 2x2, resulta:

trasponiendo 8x y la constante 3, se tiene:

simplificando y despejando x, obtenemos la solución de la ecuación lineal.

así, el conjunto solución de la ecuación es .

Ejemplo 2

Determinar la raíz de la ecuación siguiente:

35

42 3x x−

=−

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

23

− == −

3 22 3

xx

,/

5 8 5 3x x− = −

5 3 8 5x x+ = +

2 5 3 2 8 52 2x x x x+ + = + +

solución

solución


Primero multiplicamos ambos términos por ; simplificando, se obtiene:

Ejemplo 3

Despejar x en la ecuación:

Se trasladan al primer miembro todos los términos en x y al segundo todos los que no lo contienen, conlo cual se obtiene:

factorizando los términos con x, resulta:

después de factorizar el término del lado derecho y simplificar la solución es:

Ejemplo 4

Raúl visitó Atenas en los Juegos Olímpicos de 2004. Al llegar al aeropuerto rentó un automóvil com-pacto por $750 diarios, más $5 por kilómetro recorrido. Si Raúl tiene un presupuesto de $1,800 por día,¿cuántos kilómetros podrá recorrer cada día?

xy a y a a

a y ya y y

a y ya

a

= − − − + −− +

= − − +− +

= −

2

2

2

2

2 1 2 1 2 11

2 1 11

2 1

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )ay a ay a x y ay ay a ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − − = − + − + + + −

ay x ax ayx ax y ay ay a ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − − = − + − + + + −

ay x y ay ax ayx ay a ax ay y2 2 22 2 4 2 2 1+ − + = − + + + + −

3 2 3 4 56 9 4 20

9 4 20 613 26

2613

2

( ) ( )− = −− = −

− − = − −− = −

= −−

=

x xx x

x xx

x

x

( )( )2 3 5− −x x

solución

solución


El costo de recorrer x kilómetros, considerando la renta del auto, es:

como el presupuesto de Raúl es de $1,800, se tiene:

por lo tanto, Raúl puede recorrer 210 km.

Ejemplo 5

La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años erael doble de la edad Gerardo dentro de 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo?

Supongamos que x es la edad de Gerardo; la primera condición indica que Jorge tiene una edad tres vecesmayor, es decir, la edad de Jorge es 3x. El mismo Jorge tenía una edad de 3x − 5 hace cinco años. Laedad de Gerardo dentro de 10 años será x + 10. La segunda condición del problema se puede escribircomo:

reuniendo los términos con la variable en el lado izquierdo y simplificando, se tiene:

es decir, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75.

3 5 2 203 2 20 5

25

x xx x

x

− = +− = +

=

3 5 2 10x x− = +( )

1800 750 51800 750 5

1800 7505

210

= +− =

= −

=

xx

x

x

C x x( ) = +750 5

Ejercicios

y problemas


1. Considera las ecuaciones: y . ¿Tienen el mismo conjunto solu-ción?

2. Se ha indicado que el conjunto solución de la ecuación ax + b = 0, (a ≠ 0) es , ¿qué ocurre sia = 0?

3. Encuentra el valor de x que resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i )

j )

4. Carlos y Juan pueden levantar una barda en seis horas trabajando conjuntamente. Juan trabaja dos ve-ces más rápido que Carlos. Si solamente trabaja Carlos, ¿en cuánto tiempo terminará de levantar labarda?

5. Un estudiante gasta $500 en herramientas necesarias para producir velas de diferentes tipos. Si para ela-borar cada vela requiere además de $8 en material y si la puede vender en $15. ¿Cuántas velas debeproducir para obtener una ganancia de $550?

6. Juan invierte una cantidad al 7% de interés anual, invierte el doble de esa cantidad al 6% anual. Su in-greso total anual por concepto de intereses generados por las dos inversiones es de $44,650. ¿Cuántoinvirtió a cada tasa?

7. Un fabricante gasta $20,000 en herramientas necesarias para producir cierto artículo doméstico. Si pro-ducir cada artículo requiere de $2 en material y mano de obra y todo artículo producido se puede ven-der a $2.50. ¿Cuántos artículos debe producir el fabricante para obtener $25,000 de utilidad?

12

13

362x x x x+

+−

=− −

( ) ( ) ( )x x x x+ − − = − +1 1 6 3 23 3

4 12 3

2 1x

x

x

x

−+

= +

64 5

3 12 2

x

x

x

x−= +

+

23

4 5 1x x

+ = +

35

42 3x x−

=−

4 25 3x x

=−

3 5 1 2 1 4x x x x− − = − + +( ) ( )

5 23

7 64

+ = −x x

x x+ = −3 2 5

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

b

a

xx x

+ +−

= +−

1 11

2 11

x + =1 2


8. Juan se dedica a la compra-venta de autos usados. En su última operación compró dos automóvilesChevy y se gastó $80,000, posteriormente los vendió obteniendo una utilidad total de $5,400. Si ganóen uno 8% y perdió en el otro 2% del precio de compra. ¿Cuánto le costó cada automóvil?

9. En la tienda de la esquina se ofrece 30% de descuento en el frasco de café “La Oaxaqueña” y, aun así,se obtiene una utilidad del 10%. Si al tendero le cuesta $28 el artículo, ¿cuál debe ser el precio con elque debe marcar el frasco?

10. Francisco ha decidido invertir una cantidad en el Banco Nacional a una tasa de interés del 6% anual,y el doble de esa cantidad en el Banco Mundial a una tasa del 8%. Si al terminar el año tiene una ga-nancia de $22,000, ¿cuánto invirtió en cada banco?

11. Raúl sale de la ciudad de México hacia Acapulco a las 6 de la mañana a una velocidad constante de 80km/h. Una hora después sale del mismo lugar y también dirigiéndose a Acapulco su amigo Carlos. SiCarlos mantiene una velocidad constante de 110 km/h, ¿a qué distancia alcanzará a Raúl?

12. La tienda de electrodomésticos redujo el precio de una televisión de color en un 25%, ¿cuál es el pre-cio original de la televisión si el precio de la oferta es de $1,200?

13. Carlos elaboró un libro de matemáticas para la empresa editora Pearson. La compañía ofrece un pagoúnico de $60,000 o $5,000 más 10% de regalías por copia vendida. Si el precio de venta del libro es de$180 y se esperan vender 3000 copias del libro, ¿qué plan le sugieres elegir a Carlos?

14. El club de tenis “Océano Pacífico” ofrece dos planes de pago para sus miembros. El plan I es un pagomensual de $250, más $10 pesos por hora de renta de la cancha. El plan II no tiene pagos mensuales,pero la hora de renta de la cancha es de $18.50, ¿cuántas horas tendrá que jugar Jorge para que le con-venga el plan I?

15. Una tienda de electrónica se encuentra en liquidación de equipos. La primera semana reduce sus pre-cios en un 10%, en la segunda semana reduce $50 cada artículo que vende. Si Raúl compró una calcu-ladora graficadora por $490 durante la segunda semana, encuentra el valor original de la calculadora.

16. Encuentra dos números tales que su suma sea 508 y el triple del menor exceda al mayor en 100.

17. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados sea 57.

18. El largo de un jardín es el doble del ancho. Si el largo se disminuye en seis metros y el ancho aumen-ta en cuatro metros, la superficie del jardín no cambia. Determina las dimensiones del jardín.

19. Juan compró un perro y su collar en $5,400, si el perro costó ocho veces más que el collar determineel valor del perro y del collar.

20. Armando y Manuel, trabajando juntos, pueden hacer una puerta de madera en ocho horas, pero si Ar-mando requiere 12 horas para construir la misma puerta trabajando solo, ¿cuánto tiempo necesitaManuel para elaborar una puerta sin ayuda de Armando?



Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes:

1. Un reparto equitativo, presentado en la introducción de la sección.

2. Lo que el álgebra puede hacer por el anticongelante.Ocasionalmente las fábricas de automóviles cometen errores que resultan muy costosos parasus empresas. Por ejemplo, recientemente una fábrica de automotores no cumplió con las nor-mas de concentración de anticongelante al llenar equivocadamente los radiadores, con capaci-dad de 10 litros, de un lote de 1000 autos compactos. Se utilizó una mezcla que contenía 20%de anticongelante y 80% de agua. No obstante, una especificación de fabricación señala que, delos 10 litros, el 50% debe ser anticongelante y el otro 50% debe ser agua. Para corregir esteerror es necesario extraer parte de la mezcla y reemplazarla con anticongelante para que la mez-cla resultante cumpla con la citada especificación.

a) El supervisor de turno propone manejar la situación de la siguiente manera: sacar cinco li-tros de la mezcla y sustituirlos por cinco litros de anticongelante. ¿Qué inconveniente le en-cuentras a esta solución? ¿Cuál es el costo del reemplazo de la mezcla según la propuestadel supervisor?

b) Discute alternativas a la solución propuesta por el supervisor; además indica ventajas y des-ventajas. La discusión debe incluir aspectos económicos y éticos de las alternativas propuestas.

c) Halla la estrategia que reduzca el costo de la empresa al mínimo y que cumpla con las es-pecificaciones de la fábrica.

d) Calcula el ahorro entre las propuestas de los incisos a) y c).

3. La tumba de Diofanto.En la tumba de Diofanto (matemático griego) se escribió el siguiente epitafio.

Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar la duración de su vida.La primera sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además otraduodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la sépti-ma parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinque-nio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Éste entregó su cuerpo ysu existencia habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Dio-fanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a suhijo.

a) ¿A qué edad murió Diofanto?b) ¿A qué edad murió su hijo?c) ¿Cuántos años duró su matrimonio?d) ¿Cuál era la edad de Diofanto cuando nació su hijo?e) ¿Cuándo se cubrió de vello su barba?f) ¿Cuánto duró su infancia?


1. Indica la opción que contiene la solución de la ecuación x + 3 = 2x − 5.

a) −8

b) −2

c) 8

d) 8/3

2. Halla la opción que contiene el conjunto solución de la ecuación:

a) {−1, 1}

b) No tiene solución

c) {0, 3/2}

d) {5}

3. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25% de alcohol. Escoge la opciónque indica el número de litros de alcohol que deben añadirse para obtener una mezcla que con-tenga el 50% de alcohol.

a) 8 litros

b) 6 litros

c) 10 litros

d) 7 litros

4. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadradossea 151.

a) 85 y 86

b) 74 y 75

c) 84 y 85

d) 75 y 76

5. Encuentra en la columna B las soluciones de las ecuaciones lineales que aparecen en la co-lumna A.

21

2 31

x

x x−− =

+


Columna A Columna B

a)

b)

c)

d) 7 3 2 312

x

x x x x

−+

= ++

52 5

27( )x x−

=−

4 73

3 5 47

9( ) ( )x xx

+ + + =

3 5 4 2 21( )x x x+ − + = −

Respuestas a los


1. No. La primera ecuación tiene solución x = 1; la segunda no tiene solución.

2. La ecuación se reduce a b = 0.

3. a) x = 8b) x = 1/26c) x = 7/9d) x = 2/3e) x = 2f) x = 13/9g) x = −5/23h) x = −1/3i) x = 0j) x = 2

4. 18 horas

5. 150

6. $235,000 y $470,000

7. 90,000

8. $70,000 y $10,000

i. x = 1

ii. x = −5

iii. x = 19

iv. x = 55/9

v. x = 2.5

vi. x = 0.666

vii. x = 2

viii. x = −5/7


9. $44.00

10. $100,000 y $200,000

11. A 293.33 km de la Ciudad de México

12. $1,600

13. Aceptar los $60,000

14. 30 o más horas

15. $600

16. 152 y 356

17. 28 y 29

18. 12 y 24 metros

19. $600 y $4,800

20. 24 horas


1. c2. d3. a4. d5. (a, iii), (b, vii), (c, iv), (d, v)

1593.2 Sistemas de ecuaciones lineales

3.2 Sistemas

de ecuaciones lineales

Con las rectas no hay una segundavez, si se encuentran será solamente

una vez; si reinciden, es parasiempre y desde siempre.

Introducción

El álgebra dio lugar a un cambio radical en las condiciones del trabajo mate-mático, porque permitió reemplazar, mediante el trazo escrito, ciertos usos dela memoria humana. Pero no fue esa su única aportación, el álgebra tambiénhizo posible la determinación de patrones de conducta de ciertos problemas,que nos permite caracterizarlos y resolverlos de manera más general a partirdel análisis de las variables que intervienen, es decir, su uso no se restringe ala manipulación algebraica, sino a la modelación y caracterización de fenó-menos en los que intervienen más de una incógnita.

En el trabajo matemático, de manera frecuente encontramos que la relaciónentre dos cantidades está dada a través de una fórmula. Así, sabemos que paraconocer cuánto mide el contorno de un círculo se parte de la fórmula: p = 2πr,y de medir su radio. Si el radio de la circunferencia que nos interesa es de unmetro, su perímetro o contorno será de 2π metros o de 6.28 metros, aproxi-madamente, pero si el radio es de 4.5 metros, su perímetro o contorno será de9π metros o, de forma aproximada, de 28.27 metros, es decir, hacemos usode una relación entre dos variables, en donde el cambio en una introduce unamodificación en la otra: una de ellas “varía” conforme “varía” la otra. A una detales variables la denotamos r (radio) y a la otra p (perímetro).

Perímetro aprox. (m)

Radio (m)

Círculos

0.3 1.88496 1 6.28319

1.5 9.42478 2 12.56637

2.34 14.70265 10 62.83185

21.3 133.83185


Para analizar mejor este fenómeno, tenemos que ser capaces de imaginarnosque hay muchos círculos con diferente radio y, por lo tanto, también con di-ferente perímetro. La ecuación p = 2πr establecería la relación entre el radioy el perímetro de todos los círculos que podamos imaginar que existen. En lasiguiente tabla te esbozamos algunos de los círculos que nos imaginamos, ¿esposible que te imagines más?

Sin embargo, hay muchas relaciones en las que una variable puede modi-ficar a otra. Así, si nuestro interés no hubiera estado en el contorno del círculo,sino en la superficie del círculo, entonces nos hubiéramos concentrado en elanálisis de otra variable y requeriríamos de otra fórmula, la del área: a = πr2.Necesitaremos también la existencia imaginaria de muchos círculos. Pero, eneste caso, aprovechemos los ya imaginados.

Área aprox. (m2)

Radio (m)

Círculos

0.3 0.28274 1 3.14159

1.5 7.06858 2 12.56637

2.34 17.20210 10 314.15926

21.3 1425.30917

Aunque las relaciones son diferentes (¿por qué podemos considerarlas mate-máticamente diferentes?), una de las variables es la misma: el radio del cír-culo, es decir, al variar el radio de un círculo, varía también su perímetro, pe-ro lo mismo ocurre con su área. Observemos y comparemos los valores delárea con los valores del perímetro en los diferentes círculos:

• En los círculos con radio de 0.3, de 1 y de 1.5, el perímetro es mayor quesu área. (¿Te esperabas eso?)

• En un círculo con un radio de 2, el perímetro y el área son iguales.• En los círculos con radio de 2.34, 10 y 21.3, el perímetro es menor que su

área. (¿Ocurrirá lo mismo con otros valores mayores a estos?)

Esta comparación propicia más preguntas; por ejemplo, ¿hay otros círcu-los con radio diferente a 2 metros para los que su área y su perímetro seaniguales? O bien, ¿cómo probaríamos la hipótesis de que en círculos en dondesu radio tenga valores mayores a dos, siempre el área será mayor que su perí-metro? La discusión que tuvimos es insuficiente para responder tal tipo decuestiones, que se resuelven a través del análisis matemático de las relaciones


Moira y Eris

Moira salió de Acapulco en su automóvil a las 6:00 de la mañana de ayer, conuna velocidad de 80 km/h, hacia el DF, que está a 434 kilómetros de Acapulcopor la carretera libre. Al mismo tiempo que Moira salía de Acapulco, Eris salióen su automóvil del DF hacia Acapulco, con una velocidad de 60 km/h. Ambasviajaron por la carretera libre y mantuvieron sus velocidades constantes.

Algunas de las preguntas que nos podemos hacer en el contexto aritmético sonlas siguientes:

1. Dos horas después de haber salido, a las 8:00 de la mañana, ¿a qué distanciaestaba Moira de Acapulco? ¿Del DF? ¿A qué distancia se hallaban separadasEris y Moira en la carretera? Contesta las mismas preguntas cuando las jóve-nes tengan cuatro horas de haber salido, a las 10:00 de la mañana.

Desde la perspectiva algebraica, nuestras preguntas serían:

a) t horas después de haber salido, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco?¿Del DF? ¿A qué distancia estaba Eris del DF? ¿De Acapulco? ¿Qué distan-cia separaba a Eris y a Moira en la carretera? ¿Qué valores puede tomar t pa-ra que estas expresiones tengan sentido? ¿A qué horas corresponden del díade ayer?

establecidas, y que, aunque importante, no se puede restringir a un análisisaritmético, porque requiere un trabajo algebraico más profundo.

En esta situación hipotética con diferentes círculos, observamos que enuna misma circunstancia podemos manejar diferentes tipos de variables y derelaciones, dependiendo de cuál sea nuestro interés. Así, por ejemplo, tal vezestemos interesados en rodear con un hilo una circunferencia con cierto radio(en tal caso, nos importará el perímetro) o en saber cuánto papel requerimospara recortar un círculo con un cierto radio (en tal caso, nos concentraríamos enel área) o por el valor del radio que hace que el área y la circunferencia seaniguales, por simple curiosidad. A partir de una sola situación es posible estable-cer muchas variables y muchas relaciones, lo que va a guiar nuestro análisisserá el contexto en el que estemos insertos.

También en este análisis observamos que las ecuaciones que describen elárea y el perímetro son diferentes. La diferencia principal es que a pesar deque ambas tienen una misma variable, el radio, en las fórmulas que usamos,ésta aparece con diferente exponente. Esto es, el grado de la ecuación del perí-metro es 1; en cambio, el grado de la ecuación del área es 2 (porque en esteúltimo caso la variable radio está elevada al cuadrado, algo que no ocurre enla primera fórmula). En este apartado nos restringiremos al análisis de ecua-ciones lineales, es decir, aquellas en donde las relaciones entre las variablesestablecidas tengan como grado máximo 1; sin embargo, introduciremos unanálisis algebraico que permita sondear problemas con dos o más variables yque logren conducir al análisis de otras ecuaciones con mayor grado.

El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las ecua-ciones lineales y para distinguir el tipo de problemas que es posible resolvera través de ellas.


Nuestras preguntas son:

• ¿A qué hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera? ¿A qué distancia de Aca-pulco ocurrió su feliz encuentro?

Objetivos


• Definir e identificar un sistema de ecuaciones lineales en un contexto dado.• Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por diferen-

tes métodos.• Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.• Resolver problemas que requieran el planteamiento de sistemas de ecua-

ciones lineales.

Ecuaciones lineales con varias variables

Las ecuaciones lineales también son llamadas ecuaciones de primer grado, porque elgrado máximo de cualquiera de sus términos es 1. Tales ecuaciones relacionan entre síuna o más variables. Comenzaremos el análisis con las ecuaciones lineales más simples:con las que tienen dos variables.

Una ecuación que puede escribirse de la forma:

con

es una ecuación lineal con dos variables. A esta forma se le llama forma general.

a b y ≠ 0ax by c+ + = 0

A una ecuación lineal con dos variables también se le denomina ecuación de primer gradocon dos incógnitas, porque el grado máximo de esta ecuación es 1 y porque las variables,en ciertos casos, fungen como incógnitas, es decir, como números desconocidos. Delmismo modo, existen otras formas en las que comúnmente encontramos a la ecuación li-neal; entre ellas:

o bien

Una ecuación lineal con dos variables tiene un número infinito de soluciones. Todosaquellos valores, tanto para x como para y, que hacen que se cumpla la igualdad. Así, porejemplo, en la ecuación:

la igualdad se cumple cuando x = 1 y y = 5 (¡compruébalo!, sustituye ambos valoresen la ecuación), pero también cuando x = −1 y y = 1 o cuando x = −35 y y = −67. Lassoluciones de las ecuaciones de dos variables, entonces, están dadas por dos valores, unopara cada una de las variables, a los que comúnmente se les escribe en forma de pares

y x− =2 3

ax by c+ =y ax b= +


ordenados: (1, 5), (−1, 1) y (−35, −67), donde el primer elemento se corresponde con lavariable x y el segundo con la y. Hay muchos más pares ordenados que cumplen con esaigualdad: (0.1, 3.2), (π, 2π + 3), (−1.41, 0.18)...; como habíamos dicho, un número in-finito de soluciones.

Aunque es necesario escribir las soluciones de las ecuaciones en forma de paresordenados, una solución queda automáticamente establecida cuando una de las dos va-riables queda definida. Así, por ejemplo, cuando definimos a x con valor 3, y debe tenervalor 9 para que la igualdad se cumpla; la solución sería (3, 9). Si y toma el valor de 10,entonces x debe valer 3.5; en ese caso, la solución sería (3. 5, 10).

No sería posible representar todas las soluciones de una ecuación de primer grado condos incógnitas de manera aritmética, pues nunca terminaríamos de numerarlas todas.Hay una forma más sencilla de representar muchos de estos pares ordenados, aunque di-fícilmente todos, que es a través de su representación gráfica.

La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una línearecta (de ahí el nombre de estas ecuaciones), en donde cada punto de la gráficarepresenta un par ordenado.

Cada punto de la gráfica representa un par ordenado, así que una recta es la unión de unnúmero muy grande de pares ordenados; por lo tanto, también representa muchas solu-ciones de la ecuación

Pero hay una sola forma de representar todos los pares posibles:

«para cualquier valor de x, y valdrá 2x + 3»,

puesto que para conocer cuánto vale y, dado el valor de x, bastará con sustituir x en 2x + 3.De modo que una forma más general de escribir todas las soluciones de la ecuación seráa través de la misma ecuación: y = 2x + 3

y x− =2 3

Gráfica dey − 2x = 3

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10−2−4−6−8

(−4, −5)

(−1, 1)

(1, 5)

(3, 9)

Figura 3.1 Gráfica de la rectay − 2x = 3


Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3 + y = 24

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10−2−4−6−8

(−1, 6.75)(2, 4.5)

(0, 6)

(8, 0)

Figura 3.2 Gráfica de la recta 3x + 4y = 24

Por ejemplo, si elegimos otra ecuación diferente a la manejada antes:

Ésta también tendrá un número infinito de pares ordenados, que harán que la igualdad secumpla: (0, 6), (2, 4.5), (−1, 6.75), (4, 3) (8, 0), ..., y también tendrá como gráfica una lí-nea recta:

3 4 24x y+ =

Dos ecuaciones de primer grado, con dos variables o incógnitas consideradasconjuntamente, forman un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.Suele escribirse en la forma:

Nuestro objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas gene-ralmente es conocer el valor de incógnitas que hace que las dos ecuaciones secumplan. El par ordenado que satisface ambas ecuaciones será la solucióndel sistema de ecuaciones.

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

+ =+ =

Cada una de las dos ecuaciones, tanto como , tienen un núme-ro infinito de soluciones y una línea recta como representación gráfica, pero sólo una

3 4 24x y+ =y x− =2 3


solución común. Es decir, hay un solo par de números que hacen que las dos igualdadesse cumplan. Esto se vislumbra mejor si graficamos ambas ecuaciones en un solo siste-ma de ejes cartesianos. Se observa que cada una de las gráficas es independiente, perotienen un punto en común, que es aquel en el que ambas rectas se intersecan. Por lo tan-to, todos los pares ordenados que constituyen cada recta son diferentes, excepto uno deellos, que estará dado por las coordenadas del punto de intersección de las rectas:

y − 2x = 3

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1

123456789

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−3−4−5−6−7−8−9

3x + 4y = 24

Figura 3.3 La intersección de las rectas y − 2x =3, 3x + 4y = 24.

Único punto en común a lasdos rectas (sus coordenadasserán el único par ordena-do que cumplirá con las dosecuaciones).

A través de la gráfica, incluso podemos determinar, de manera aproximada, cuáles conlas coordenadas de ese punto y, por lo tanto, el valor aproximado de x y y con el que lasdos igualdades se cumplen.

En resumen, en un sistema de ecuaciones de dos variables el objetivo principales encontrar:

1. Las coordenadas del punto en el que se intersecan las dos rectas.2. El valor de x y el valor de y, que hacen que las dos igualdades se cumplan.

El principio básico es que ambas ecuaciones tienen un número infinito de solucio-nes (tantos como puntos tiene su gráfica), pero queremos conocer aquella soluciónque sea común a las dos ecuaciones (o un punto común a las dos gráficas).


Métodos de solución

Como ya mencionamos, una forma aproximada de conocer el punto común a las dos rec-tas es a través de la gráfica de las dos ecuaciones. Aparentemente el punto común a lasdos gráficas que nos ocupan es (1, 5). Comprobémoslo: El par ordenado (1, 5) debe sa-tisfacer las ecuaciones; por lo tanto, si sustituimos x = 1 y y = 5, en ambas ecuaciones,se debe cumplir la igualdad:

• 5 = 2(1) + 35 = 5 Sí cumple con la igualdad

•No cumple con la igualdad

Por lo tanto, el punto (1, 5) no es solución para las dos ecuaciones, sino sólo para laprimera.

A pesar de ello, el punto (1,5) está muy próximo a una solución de la segunda ecua-ción, puesto que 23 es cercano a 24. De modo que podemos probar otras aproximacio-nes a través de una tabla, proponiendo valores cercanos a 1 para x y encontrando cuál seríael valor de y que satisface cada una de las ecuaciones. Es necesario, para ello, despejary de ambas ecuaciones.

23 24≠

3 1 4 5 24( ) ( )+ ≠3 4 24x y+ =

y x− =2 3

x y = 2y x + 3x y – x

x

0.9 4.8 5.325 1 5 5.25 1.1 5.2 5.175 1.2 5.4 5.1

y x= −6 34

y x= +2 3

En esta tabla se muestran diversas soluciones para ambas ecuaciones. Ninguna de esassoluciones es la solución del sistema de ecuaciones, puesto que ninguno de los paresordenados son iguales en ambas ecuaciones; sin embargo, se deduce que un valor de 1.1para x es una mejor aproximación a la solución que 1, puesto que (1.1, 5.2) está máspróximo a (1.1, 5.175) que (1, 5) a (1, 5.25). De manera que encontraríamos una mejoraproximación si damos valores a x, ahora alrededor de 1.1, de la misma forma que lo hi-cimos alrededor de 1.

Aun cuando el método gráfico es muy útil para comprender uno de los significadosde la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, no nos proporciona unasolución muy precisa. El método aritmético brinda una solución más exacta, pero es ne-cesario un tanteo sistemático para encontrarla. El álgebra, en cambio, nos proporcionamétodos con los que es posible hallar de una manera más rápida esa solución.

Todos los métodos algebraicos se basan en reducir el problema a una ecuación quetenga una sola incógnita, siguiendo el principio básico de que buscamos la solución


que sea común a ambas ecuaciones, y tienen nombres que siguen al pie de la letra el pro-cedimiento que se debe llevar.

Método de igualación

El método consiste en igualar las dos ecuaciones. Para ello, es necesario despejar pre-viamente la misma variable de ambas ecuaciones.

Ejemplifiquemos el procedimiento:

La primera ecuación es: La segunda ecuación es:

Despejamos y: Despejamos y:

Recordemos que las y de ambas ecuaciones deben ser iguales:

y = y

Por lo tanto:

De aquí, ya podemos despejar x:

Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones donde y está despejada:

Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:

26411

24=3311

3=

3611

22811

24+ =5711

2411

3− =

3 1211

4 5711

24⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ =57

112 12

113− ⎛

⎝⎞⎠ =

y = 5711

y = ⎛⎝

⎞⎠ +2 12

113

y x= +2 3

x = 1211

114

3x =

2 34

6 3x x+ = −

2 3 6 34

x x+ = −

y x= −6 34y x= +2 3

3 4 24x y+ =y x− =2 3


La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado:es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.

En forma decimal, la solución es , muy próxima a la que ya habíamos en-contrado. Pero como la solución es un número decimal periódico, no es posible encon-trar la solución exacta a través del método numérico, sólo hallaremos aproximaciones.

El procedimiento seguido hubiera sido el mismo si originalmente hubiéramos despe-jado x en ambas ecuaciones.

Método de sustitución

1 09 5 18. , .( )

1211

5711

,⎛⎝

⎞⎠

El método consiste en sustituir una de las dos variables en la otra ecuación. Paraello, al menos una de las dos ecuaciones debe tener despejada una de las dos va-riables.

Veamos un ejemplo diferente:


Despejamos x de la primera ecuación:

Sustituimos x en la segunda ecuación:

Despejamos y de esta ecuación resultante:

Sustituimos el valor de y para encontrar el valor de x en la primera ecuación ya despejada:

x = 2

x = − +34

1 114

( )

y = −1

574

574

y = −

334

6 16 1214

y y+ = −

334

1214

6 16y y+ + =

334

1214

6 16y y+ + =

11 34

114

6 16y y+⎛⎝

⎞⎠ + =

x y= +34

114

11 6 16x y+ =4 3 11x y− =




En este método hubiéramos podido escoger cualquiera de las dos ecuaciones paradespejar cualquiera de las dos incógnitas y después sustituir en la otra ecuación. Pero hayque tener cuidado de despejar de una ecuación y sustituir en la otra ecuación. Si se sus-tituye en la misma ecuación de la que se despeja, no se involucran las dos ecuacionesen la solución; por lo tanto, sólo se destruirá el proceso realizado, porque la igualdadresultante será cierta para cualquier valor de la variable.

Método de suma y resta, reducción o eliminación

2 1, −( )

22 6 16− =8 3 11+ =

11 2 6 1 16( ) + − =( )4 2 3 1 11( ) − − =( )

La intención en este método es reducir el sistema a una ecuación con soluciónobvia. Una de las dos variables se elimina sumando o restando una ecuación a la otra.Para lograrlo, es necesario reemplazar una o ambas ecuaciones originales del sistemacon ecuaciones equivalentes, en donde la incógnita que se quiere reducir esté encondiciones de que, al sumarlas o restarlas, efectivamente la incógnita sea eli-minada.

Ilustremos este método con otro ejemplo:


Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by = c:

Se analizan ambas ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. Elcriterio de selección habrá de definir cuál de las dos variables ofrece mayor facilidad paraque, al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en lasdos ecuaciones del sistema. En este caso, los coeficientes de y tienen signo contrario, asíque para que al ser sumadas ambas ecuaciones se elimine la variable y, será necesariomultiplicar cada una de las ecuaciones por un número, de manera que esta variable ten-ga el mismo coeficiente, pero de signo contrario.

Se multiplica la ecuación por 5: Se multiplica la ecuación por 3:

21 15 54x y− =25 15 65x y+ =

7 5 18x y− =5 3 13x y+ =

7 5 18x y= +5 13 3x y= −


Las ecuaciones resultantes son equivalentes a las originales; entonces, lo importante esque la variable y tiene coeficientes simétricos, por lo que al sumar ambas ecuaciones se“eliminará” la variable y:

46x = 119

De la ecuación resultante, ya es posible despejar x:



Este método es el menos rutinario, porque exige un análisis previo de las ecuaciones,pero una vez que te has familiarizado con él resulta el más fácil de realizar, pues el des-peje de la incógnita no eliminada es inmediato.

Método de determinantes

Este método hace uso de herramientas matemáticas que permiten la solución de sistemade ecuaciones de manera rutinaria y general: las matrices, y más específicamente delconcepto de determinante.

11946

146

,⎛⎝

⎞⎠

83346

83346

=59546

59546

=

83346

546

18= +59546

13 346

= −

7 11946

5 146

18⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ +5 119

4613 3 1

46⎛⎝

⎞⎠ = − ⎛

⎝⎞⎠

y = 146

3 346

y =

3 59546

13y = −

59546

13 3= − y

5 11946

13 3⎛⎝

⎞⎠ = − y

x = 11946

21 15 54x y− =25 15 65x y+ =

+


Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema de ecuaciones:

De manera general, la matriz de un sistema de dos por dos (dos ecuaciones con dos in-cógnitas), se representa de la siguiente manera:

Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema:

Cabe decir que para usar este método debemos tener el mismo número de ecuaciones quede incógnitas.

a x b y c2 2 2+ =a b

a b1 1

2 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

a x b y c1 1 1+ =

x y− = −5 3

2 31 5−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 3 7x y+ =

Una matriz es un arreglo de números que permitirá representar un sistema deecuaciones de manera simplificada a través de los coeficientes de sus variables.En general, los coeficientes de la variable x se colocan en la primera columna ylos de la variable y en la segunda columna. Asimismo, los coeficientes de la primeraecuación están en el primer renglón y los de la segunda ecuación en el segundorenglón, de manera que la ubicación de los números permite reconstruir fácil-mente el sistema de ecuaciones.

El valor del determinante de una matriz de dos por dos, , se simboli-

za con la letra D y está dado por el número a1b2 − a2b1

a b

a b1 1

2 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Una forma de recordar cómo se calcula el valor del determinante de una matriz de dospor dos es:

Entonces, el determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería:

Matriz del sistema:

Ds = −10 − (3) = −13

2 31 5−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥


Pero, ¿cuál es el objetivo de calcular ese número? ¿Qué nos indica el −13?

La regla de Cramer establece que para encontrar la solución de un sistema deecuaciones es necesario establecer varias matrices: la matriz del sistema y unamatriz por cada variable que tengamos. El valor de cada variable estará dadopor el cociente del determinante de la matriz de esa variable entre la matriz delsistema. Para justificar la validez del método bastaría con resolver un sistemageneral de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados.

Las matrices de las variables se construyen sustituyendo la columna asignada a la varia-ble en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos indepen-dientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa lamatriz de cada una de sus variables será:

Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: Matriz de la variable x:

x y

Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: Matriz de la variable y:

x y

Los determinantes de cada uno de estas matrices serían:Matriz de la variable x:

Dx = −35 − (−9) = −26

Matriz de la variable y:

Dy = −6 − (7) = −13

2 71 3−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

7 33 5− −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

x y− = −5 32 71 3−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 31 5−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 3 7x y+ =

x y− = −5 37 33 5− −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 31 5−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 3 7x y+ =


Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuacio-nes sería:

y


La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: (2,1)es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.

La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se re-sume de la siguiente forma:

Sistema de ecuaciones:

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

+ =+ =

2 5 1 3− = −( )2 2 3 1 7( ) ( )+ =

x y− = −5 32 3 7x y+ =

y = −−

=1313

1x = −−

=2613

2

Del sistema De la variable ‘y’De la variable ‘x’

Matriz:

Determinante: Ds = a1b2 − a2b1 Dx = c1b2 − c2b1 Dy = a1c2 − a2c1

Solución:y

a c a c

a b a b= −

−1 2 2 1

1 2 2 1

xc b c b

a b a b= −

−1 2 2 1

1 2 2 1

yDy

Ds=x

Dx

Ds=

a c

a c1 1

2 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

c b

c b1 1

2 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

a b

a b1 1

2 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

La ventaja de esta generalización es que se observa claramente la condición indispensablepara encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

La presentación de tantos métodos de solución alude a las diferentes formas en quese puede mostrar un sistema de ecuaciones. Regularmente hay un método por el cual elsistema de ecuaciones de interés se logra resolver de una manera más fácil, por lo queconstituye un reto saber seleccionar cuál es el método más simple en cada caso particular.Sin embargo, en forma de recomendación general, es preferible hacer uso del método desuma y resta en los casos más complicados y el de determinantes en caso de que los coe-ficientes de las variables sean otras variables (o parámetros).

a b a b1 2 2 1 0− ≠


Tipos de solución

La condición que se establece a partir de la generalización de la solución de un sistemade ecuaciones cuestiona el tipo de soluciones que se podrían hallar. ¿Será posible encon-trar un sistema de ecuaciones en donde no ocurra que ? ¿Qué pasa conlos otros métodos cuando esto ocurre? ¿Qué significado tiene tal condición?

Sabemos que hay dos situaciones bajo las cuales la condición no se cumple:

1. Una de ellas es cuando el sistema de ecuaciones a resolver está constituido porecuaciones equivalentes y, por lo tanto, el sistema es dependiente. La gráficade ambas ecuaciones es la misma línea recta. Lo anterior significa que cual-quier par ordenado que sea solución de una de las ecuaciones, también lo seráde la otra ecuación, por lo que para el sistema de ecuaciones habrá muchas so-luciones, tantas como soluciones tenga cada ecuación por separado: un númeroinfinito.

2. La otra ocurre cuando el sistema es inconsistente. Esto significa que no existe unasolución que haga que ambas se cumplan. En tal caso, la gráfica del sistema deecuaciones serán dos rectas paralelas que nunca se juntan; por lo tanto, el sistemade ecuaciones no tiene solución.

Daremos un ejemplo para cada caso, usando diferentes métodos de solución.

Sistema de ecuaciones dependientes

Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos.

6 8 4x y− = −3 2 4x y+ =

a b a b1 2 2 1 0− ≠

Método de eliminación


Método numérico y gráfico


Despejamos x de Acomodamos ambas Acomodamos ambas Elaboramos una tabla con distintas ambas ecuaciones: ecuaciones: ecuaciones: soluciones de ambas ecuaciones

6 4 8x y+ =6 4 8x y+ =x

y= −8 46

yx

28 6

4= −

yx

14 3

2= −3 2 4x y+ =3 2 4x y+ =x

y= −4 23

x y1 y2

–3 6.5 6.5–2 5 5


Igualamos las dos Multiplicamos por (−2) Obtenemos la matrizecuaciones: la primera ecuación del sistema y su deter-

para eliminar x: minante:

; Ds = 3*4 − 6*2

Ds = 0

Despejamos y: Sumamos ambas La gráfica de ambas ecuaciones es:ecuaciones:

Cualquier valor de y Al simplificar se El determinante del Cualquier solución de la primerahace cierta la eliminan ambas sistema es 0, por lo ecuación, es solución tambiénigualdad resultante. variables. tanto, el cociente de de la segunda.

las soluciones sería 0.

No es posible Da lugar a una igualdad Resulta una indeter- La gráfica de ambas ecuacionesdespejar la variable. que será siempre cierta. minación matemática. es la misma.

6 4 2 3 8 424 12 24 12

−( ) = −( )− = −

y yy y

6 4 8x y+ =

3 26 4

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − = −6 4 8x y4 2

38 4

6− = −y y

–1 3.5 3.50 2 21 0.5 0.52 –1 –13 –2.5 –2.5

0 = 06 4 8x y+ =

− − = −6 4 8x y

1−1−2−3−4 2 3 4

1

2

3

4

−1

−2

−3

Conclusión: El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Esto significa que:

1. Todos los pares ordenados que satisfacen una ecuación también lo harán con la otra.2. Todos los puntos que pertenezcan a la recta de una ecuación también pertenecerán a la otra.

Sistema de ecuaciones inconsistente

Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos:

5 8 10x y+ = −

x y+ =2 8

Método de eliminación


Método numérico y gráfico



Despejamos x de Acomodamos ambas Acomodamos ambas Elaboramos una tabla con distintasambas ecuaciones: ecuaciones: ecuaciones: soluciones de ambas ecuaciones:

Igualamos las dos Multiplicamos por (−5) Obtenemos la matriz ecuaciones: la primera ecuación del sistema y su

para eliminar x: determinante:

; Ds = 1*10 − 5*2

Ds = 0

Despejamos y: Sumamos ambas La gráfica de ambas ecuaciones esecuaciones:

Ningun valor de y Al simplificar se El determinante del Ninguna solución de la primerahace cierta la eliminan ambas sistema es 0. ecuación es solución de laigualdad resultante. variables. segunda.

No es posible Da lugar a una Resulta una Las gráficas de las ecuacionesdespejar la variable. igualdad que nunca indeterminación son líneas paralelas.

será cierta. matemática.

0 = −48

10y − 10y = −8 − 40

0 = −2440 10 8 10− = − −y y

5 10 8x y+ = −− − = −5 10 16x y5 8 2 8 10−( ) = − −y y

5 10 8x y+ = −

1 25 10

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− − = −5 10 16x y

8 2 8 105

− = − −y

y

5 10 8x y+ = −5 10 8x y+ = −x

y= − −8 105

yx

18 510

= − −y

x2

82

= −x y+ =2 8x y+ =2 8x y= −8 2

x y1 y2

–3 5.5 0.7–2 5 0.2–1 4.5 –0.30 4 –2.51 3.5 –1.32 3 –1.83 2.5 –2.3

1−1−2−3−4 2 3 4

1

2

3

4

−1

−2

−3

−45x + 8 − 10y

x + 2y = 8

Conclusión: El sistema de ecuaciones no tiene solución. Esto significa que:

1. Ningún par ordenado hará que se cumplan las dos ecuaciones.2. Las rectas no se cortan en ningún punto, son paralelas.

Entonces, dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos esperar tres resultados, dependiendo del tipode sistema de ecuaciones con el que nos encontremos:

1. Tendrá una solución si el sistema de ecuaciones es consistente y las ecuaciones que lo forman son independientes.2. No tiene ninguna solución si el sistema de ecuaciones es inconsistente.


Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas

3. Tendrá un número infinito de soluciones si el sistema es consistente, pero las ecuaciones que lo forman sondependientes.

No es posible diferenciar un sistema inconsistente de uno dependiente por el método de determinantes, pero sí hacerloexplorando el sistema con algún otro método.

La forma general de una ecuación lineal con tres variables es una ecuaciónque puede escribirse así:

con a b c, , ≠ 0ax by cz d+ + + = 0

Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que una de dos variables, tiene un nú-mero infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para x, y y z que hacen que secumpla la igualdad. Esta vez cada solución es una terna ordenada: (x, y, z). Su gráficase traza en un sistema coordenado de tres ejes y es un plano.

z

x y

Figura 3.4 La gráfica de una ecuación lineal de tres variables es un plano

Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que son solución a la ecuaciónson (1, 2, 5), (1, 0, −3), (2, 1, 5) y (3, 0, 5), en tanto que el plano

de arriba es su representación gráfica.− − + + =4 4 7 0x y z


El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas generalmente es co-nocer el valor que tomará cada una de las tres incógnitas para que las tres ecuaciones secumplan; así, la terna ordenada que satisface las tres ecuaciones será la solución delsistema de ecuaciones. La gráfica de cada ecuación por sí misma es un plano, de modoque la terna ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres planos.

Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas consideradas con-juntamente forman un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Suele es-cribirse de la forma:

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

+ + =+ + =+ + =

z

yx

Figura 3.5 La gráfica de tres planos que representan tres ecuaciones lineales. El puntode intersección es la solución del sistema de ecuaciones

Sin embargo, como en el caso del sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es posibleque el sistema de ecuaciones con tres incógnitas sea inconsistente, consistente-inde-pendiente y consistente-dependiente. La complejidad de los tipos de soluciones que en-contramos es mayor porque son más las posibilidades de intersección de los tres planos:

1. Puede ocurrir que los tres planos coincidan, sean los mismos. Esto significará que lasecuaciones son equivalentes; por lo tanto, el sistema será dependiente y tendrá un nú-mero infinito de soluciones porque todas las ternas ordenadas que satisfagan una delas ecuaciones lo harán con las otras dos.

2. Otra posibilidad es que dos de los planos coincidan y el tercero sea paralelo. En talcaso, las primeras dos ecuaciones son equivalentes; por lo tanto, dependientes e in-consistentes con la tercera ecuación. El sistema no tendrá solución porque no haypuntos comunes a los tres planos.

3. Los tres planos pueden ser distintos y paralelos. En tal caso, el sistema es inconsis-tente y no tiene solución, porque no hay puntos comunes a los tres planos.


4. Dos planos pueden ser coincidentes y el tercero cortarlos. Entonces, las dos ecuacio-nes correspondientes a los planos coincidentes son dependientes y consistentes conla tercera ecuación. En tal caso hay un número infinito de soluciones, dadas por lospuntos que satisfacen a la recta en que se cortan los dos planos.

5. Los tres planos se cortan en una misma recta; el dibujo sería semejante a las hojas deuna revista. En éste las tres ecuaciones son consistentes, pero dependientes (a pesarde no haber equivalencia), porque el sistema es redundante, puesto que se podría eli-minar una ecuación sin afectar el conjunto solución. El número de soluciones es infi-nito, dadas por los puntos de la recta común a los tres planos.

6. Los tres planos pueden corresponder a las caras de un prisma triangular: se cortan porpares. El corte de cada par de planos es una línea recta que será paralela a la recta for-mada por otro par de planos. Así, con el corte de los tres planos se forman tres rectasparalelas; por lo tanto, el sistema es independiente, pero inconsistente. El sistema notiene solución porque no hay puntos comunes a los tres planos.

7. Dos planos pueden ser paralelos y el tercero cortarlos. Así, el sistema es inconsisten-te e independiente. El sistema no tiene solución porque no hay puntos comunes a lostres planos.

8. Los tres planos pueden cortarse en un punto único, como ocurre con las caras de unapirámide triangular o con las tres paredes perpendiculares de una recámara o una ca-ja. En tal caso, el sistema es consistente e independiente, y tiene una única solución.

Dependiendo del tipo de solución, es posible resumir los tipos de soluciones en cuatrocasos:

1. No hay ninguna solución cuando se presenta algún tipo de inconsistencia, es decir,cuando no hay puntos comunes a los tres planos y, por lo tanto, no hay valores posi-bles para las tres variables que hagan que las tres ecuaciones sean ciertas (casos 2, 3,6 y 7).

2. La solución es un plano cuando las tres ecuaciones son dependientes entre sí, es de-cir, cuando la gráfica de las tres ecuaciones es un mismo plano; por lo tanto, todas lasternas ordenadas que satisfacen una de las ecuaciones también serán solución delas otras dos. En este caso se afirma que el sistema tiene un número infinito de solu-ciones y la gráfica de esas soluciones será un plano (caso 1).

3. La solución es una línea recta cuando dos de las ecuaciones que constituyen el siste-ma tienen algún tipo de dependencia, pero no hay inconsistencia (casos 4 y 5). Lasternas ordenadas que están sobre esa línea recta serán las soluciones al sistema decoordenadas; por lo tanto, también tiene un número infinito de soluciones.

4. La solución es una terna ordenada cuando los tres planos se interceptan (caso 8). Ental caso, el sistema es consistente e independiente.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones linealescon tres incógnitas

Los métodos para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones con tresincógnitas son muy parecidos a los vistos para las ecuaciones con dos incógnitas. La ló-gica que se sigue es la misma: cada ecuación tiene un número infinito de soluciones ytratamos de encontrar alguna solución común a las tres ecuaciones. Como ya se analizó,es posible encontrar diferentes soluciones y darse cuenta de qué tipo de solución se trata.


Dada la complejidad que implica el manejo algebraico de tres incógnitas, reducire-mos la exposición de los métodos de solución a dos casos: por reducción o suma y res-ta, y por determinantes, que son los más sencillos y los más útiles para tratar sistemas deecuaciones con más incógnitas.

Método de suma y resta, reducción o eliminación

El principio será el mismo que en el caso de dos variables, sólo que ahora nuestra pri-mera intención es reducir un sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitaspara, posteriormente, resolver este último sistema, como ya se describió. La mecánicaconsiste en eliminar una de las tres variables sumando o restando parejas de ecuaciones,dando lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, que se podrá resolver de laforma vista. Ilustremos este método con un ejemplo. Encontraremos la solución al siste-ma de ecuaciones:

Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by + cz = d:

1. 2. 3.

Se analizan las tres ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. Elcriterio de selección es definir cuál de las tres variables ofrece mayor facilidad para que,al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en dos de lasecuaciones del sistema.

En este caso, los términos de y tienen el mismo coeficiente en dos de las ecuaciones(la primera y la tercera) y el coeficiente de la segunda es múltiplo de las otras dos. Así,uno de nuestros pares de ecuaciones será el formado por la primera y la tercera ecuacio-nes; el otro estaría constituido por las ecuaciones primera y tercera (aunque también po-dríamos haber escogido la segunda y la tercera ecuaciones).

Par de ecuaciones 1ª y 3ª: Par de ecuaciones 1ª y 2ª:

La primera ecuación se multiplica La primera ecuación se multiplica por elpor el factor (−1), luego se suman factor (2), luego se suman y se eliminay se elimina la variable y: la variable y:

4. –5x + 7z = 4 5. 5x −z = −7

Las ecuaciones resultantes tienen dos incógnitas: x y z, así que volvemos a buscar la for-ma de reducir una de las dos incógnitas para despejar la otra. En este caso, los coeficien-tes de x son simétricos, de modo que al sumarlas se eliminará esa variable, es decir, nonecesitamos multiplicar por un factor para que al sumarlas se eliminen.

x y z− − = −4 5 7− + + =3 2 9 4x y z

4 4 4 0x y z+ + =− − − =2 2 2 0x y z

x y z− − = −4 5 7− + + =3 2 9 4x y z2 2 2 0x y z+ + =2 2 2 0x y z+ + =

− + + =3 2 9 4x y zx y z− − = −4 5 72 2 2 0x y z+ + =

2 2 24 7 5

3 2 9 4

x y zy x z

x y z

+ = −− + + =

− + + =


De la ecuación resultante, ya es posible despejar z:

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para co-nocer x. En este caso, por facilidad, se sustituirá en la ecuación 5:

Sustituimos las dos incógnitas ya conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales.Por facilidad, sustituiremos en la ecuación 1:

Comprobemos los valores encontrados para las tres variables en las tres ecuaciones ori-ginales:

− = −52

52

− − = −1 32

52

92

4 92

4+ + − =− − + = −8 32

7 52

− + =3 4 1

− −⎛⎝

⎞⎠ + ( ) + −⎛

⎝⎞⎠ =3 3

22 2 9 1

24− ( ) + −⎛

⎝⎞⎠ + = −⎛

⎝⎞⎠4 2 3

27 5 1

22 3

22 2 2 1

2−⎛

⎝⎞⎠ + ( ) = − −⎛

⎝⎞⎠

− + + =3 2 9 4x y z− + + =4 7 5y x z2 2 2x y z+ = −

y = 2

2 4y =

2 4 0y − =

− + − =3 2 1 0y

2 32

2 2 12

0−⎛⎝

⎞⎠ + + −⎛

⎝⎞⎠ =y

x = − 32

x = − 152 5( )

5 7 12

x = − −

5 12

7x − −⎛⎝

⎞⎠ = −

z = − 12

z6 3= −5 7x z− = −

− + =5 7 4x z

1 1= 4 4=


La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.

Como se observa, este método también permite resolver sistemas de ecuaciones con másincógnitas; la mecánica sería la misma: reducir el sistema de ecuaciones hasta llegar auna solución obvia. Así, un sistema con cuatro incógnitas y cuatro ecuaciones se reduci-ría a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones; ese sistema se volvería a reducir aun sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones y así sucesivamente hasta despejar fá-cilmente una de las incógnitas.

No está por de más recordar que si en el proceso no es posible despejar las incógnitas,el sistema no tendrá solución o tendrá un número infinito de soluciones, dependiendodel tipo de indefinición a la que se llegue, de la misma forma que ocurre con un sistema dedos incógnitas con dos ecuaciones. Si resulta una igualdad obvia, el sistema tendrá algu-na modalidad de dependencia y un número infinito de soluciones; si no hay un valor dela variable que haga que la ecuación resultante sea cierta, el sistema tendrá algún tipo de in-consistencia y ninguna solución.


La Regla de Cramer, ya definida, es cierta para cualquier sistema de ecuaciones con másde dos incógnitas. De modo que nuestra preocupación ahora será encontrar las matricesy los determinantes, tanto del sistema como de cada una de las incógnitas en un sistemade ecuaciones con tres incógnitas.

Las matrices del sistema y de las incógnitas se encuentran de la misma manera quese describió en el caso de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Es convenienteque el sistema de ecuaciones tenga el orden en que serán ordenadas las variables en lasmatrices; también, sólo es posible usar este método cuando hay el mismo número deecuaciones que de incógnitas.


De manera general, la matriz de un sistema de tres por tres (tres ecuaciones con tres in-cógnitas) se representa de la siguiente manera:


Obtener el valor del determinante de una matriz de tres por tres es un poco

más complicado que para una matriz de dos por dos. El determinante está dado por:

Ds = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2

a x b y c z d3 3 3 3+ + =

a x b y c z d2 2 2 2+ + =

a x b y c z d1 1 1 1+ + =

4x + 2y + z = 1

−2x − 2y − z = −1

x − 2y + 5z = 0

− −⎛⎝

⎞⎠

32

2 12

, ,


Para recordar cómo se calcula el valor del determinante, es necesario modificar la ma-triz original. Se repiten los dos primeros renglones; así, calcular el determinante serácuestión de multiplicar las ternas formadas por las diagonales. Se suman los productosde cada columna y el resultado de la columna del lado izquierdo se resta al resultado dela columna del lado derecho. En general, el proceso se ilustra de la siguiente manera:

El determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería:

Determinante del sistema: Ds = −14 − (−38) = 24

Las matrices de las variables se construyen sustituyendo la columna asignada a la varia-ble en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos indepen-dientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa, lamatriz de x se obtiene sustituyendo la columna 0, −1 y 1 (términos independientes delsistema) por la columna correspondiente a los coeficientes de x en la matriz del sistema(recuerda que en esta matriz están ordenados: x, y, z).

Matriz del sistema:

Matriz de la variable x: Matriz de la variable y: Matriz de la variable z:

A continuación se calculan los determinantes de cada una de estas matrices:

1 5−2−2 −1−2

−40 = (4)(−2)(5) (1)(−2)(1) = −2−2 = (1)(2)(−1) (−2)(2)(5) = −204 = (−2)(−2)(1) (4)(−2)(−1) = 8

−38 −14


De la variable x:

Determinante de x: Dx = −8 − (−8) = 0

De la variable y:

Determinante de y: Dy = −11 − (−21) = 10

De la variable z:

Determinante de z: Dz = 6 − 2 = 4

Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuacionessería:

, y


1 1=− = −1 10 0=

56

16

1+ =− − = −56

16

1− + =56

56

0

4 0 2 512

16

1( ) + ⎛⎝

⎞⎠ + =− ( ) − ⎛

⎝⎞⎠ − = −2 0 2 5

1216

10 2 512

5 16

0− ⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ =

4x + 2y + z = 1− 2x − 2y − z = −1x − 2y + 5z = 0

z = =424

16

y = =1024

512

x = =024

0

1 0−2−2 −1−2

10 = (4)(−2)(0) (1)(−2)(1) = −2−2 = (1)(2)(−1) (−2)(2)(0) = 04 = (−2)(−2)(1) (4)(−2)(−1) = 8

2 6

1 50−2 −1−1

−20 = (4)(−1)(5) (1)(−1)(1) = −1−1 = (1)(1)(−1) (−2)(1)(5) = −100 = (−2)(0)(1) (4)(0)(−1) = 0

−21 −11

0 5−2−1 −1−2

−10 = (1)(−2)(5) (0)(−2)(1) = 00 = (0)(2)(−1) (−1)(2)(5) = −10

2 = (−1)(−2)(1) (1)(−2)(−1) = 2−8 −8


DeterminanteMatriz Solución

La igualdad se cumple en las ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.

La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se resu-me de la siguiente forma:

Sistema de ecuaciones:

a x b y c z d3 3 3 3+ + =a x b y c z d2 2 2 2+ + =a x b y c z d1 1 1 1+ + =

0 512

16

, ,⎛⎝

⎞⎠

Claramente se observa que para que haya una solución de un sistema de ecuaciones contres incógnitas se debe cumplir que , es decir,

.En caso contrario, el sistema de ecuaciones tendría muchas soluciones

o ninguna y deberá analizarse por otro método.Hay que tener cuidado al aplicar el método de determinantes a sistemas de ecua-

ciones con un número de incógnitas superior a tres, ya que si bien es cierto que tanto laRegla de Cramer como la obtención de las matrices del sistema y de cada una de las va-riables se extiende a sistemas mayores a los tratados, el cálculo del determinante de lasmatrices es diferente. La regla expuesta para la obtención del determinante aquí tratadosólo es cierta para las matrices de tres por tres y de dos por dos. La obtención del deter-minante de matrices superiores pertenece al campo del álgebra lineal y las reglas a se-guir pueden ser consultadas en esa área de la matemática.

a b c a b c2 1 3 1 3 2 0− ≠ .a b c a b c a b c a b c1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1+ + − −Ds ≠ 0

Del sistema

De lavariable x

De lavariable y

De lavariable z z

Dz

Ds=Dz a b d a b d a b d a b d a b d a b d= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2

a b d

a b d

a b d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

yDy

Ds=Dy a d c a d c a d c a d c a d c a d c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2

a b c

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

xDx

Ds=Dx d b c d b c d b c d b c d b c d b c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2

d b c

d b c

d b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Ds a b c a b c a b c a b c a b c a b c= + + − − −1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2

a b c

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones

solución

Ejemplos

Ejemplo 1: ¡Taxi!

En el aeropuerto de una cierta ciudad dos compañías se disputan los clientes interesados en viajar delaeropuerto a cualquier sitio de la urbe. La compañía “Viaje Seguro” cobra por kilómetro recorrido 3.50pesos por kilómetro y 25 pesos de cuota inicial. En cambio, la compañía “Los Pequeños Aquiles” ofre-ce un costo por kilómetro recorrido de 2.60 pesos, pero cobra una cuota inicial de 40 pesos. ¿En cuál delas dos compañías convendrá viajar?

Organizamos la información que se nos proporciona de las dos compañías.

La compañía “Los Pequeños Aquiles” cobra una alta cuota inicial, pero ofrece un menor costo por ca-da kilómetro recorrido que la compañía “Viaje Seguro”, que a cambio de cobrar una cuota superior porcada kilómetro recorrido cobra una menor cuota inicial. Lo anterior significa que la respuesta a la pre-gunta de cuál es la compañía en la que conviene viajar dependerá del número de kilómetros que elusuario necesite recorrer. Si el pasajero viajará grandes distancias, le convendrá la compañía “Los Pe-queños Aquiles”, porque cobra una menor cuota por kilómetro recorrido y él recorrerá muchos; en cam-bio, si el usuario recorrerá una distancia corta, le convendrá usar la compañía que cobra menor cuotainicial. Para que nuestra respuesta sea consistente, es necesario ocuparse de contestar qué significa“grandes distancias” y “distancia corta”, es decir, hay que preocuparse por resolver cuántos kilómetrostendrá que recorrer el usuario para que la compañía “Viaje Seguro” deje de ser conveniente para él y leconvenga usar la compañía “Los Pequeños Aquiles”.

Observamos que el número de kilómetros es nuestra variable independiente. El costo del viaje depen-de de ello; por lo tanto, se pueden establecer las ecuaciones del costo del viaje en función del número dekilómetros recorridos para cada compañía:

Los pequeños AquilesViaje seguro

Cuota inicial $ 25.00 $40.00

Cuota por $3.50 $2.60kilómetro recorrido

Los pequeños AquilesViaje seguro

Distancia d drecorrida (km)

Costo del viaje 25 + 3.5d 40 + 2.6d(en pesos)


Para observar mejor la tendencia de las dos compañías, se puede recurrir a una tabla y a la gráfica deambas ecuaciones. Observamos que la variable independiente es la distancia recorrida y la dependien-te es el costo del viaje, de modo que la primera irá en el eje de las abscisas y la segunda en el eje de lasordenadas.

5 10 20 25

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distancia recorrida

Costo del viajeC = 25 + 3.5d“Viaje seguro”

C = 40 + 2.6d“Los pequeños Aquiles”

Figura 3.6 Intersección de las rectas del ejemplo “Taxi”

Tanto en la tabla como en la gráfica observamos que el costo por el viaje es superior en la compañía“Los Pequeños Aquiles”, si la distancia recorrida está entre 0 y 16 kilómetros aproximadamente; a par-tir de ahí, la compañía “Viaje Seguro” comienza a ser más cara para el usuario que debe recorrer unadistancia mayor a 16 kilómetros aproximadamente. Es decir, la cota que buscamos está alrededor de los16 kilómetros, pero no la conocemos con exactitud porque la tabla o la gráfica no nos lo permiten. Po-dríamos hacer una tabla más precisa, pero también recurrir a la herramienta matemática estudiada eneste apartado.

Observamos que la cuota que buscamos es donde ambas compañías cobran lo mismo, es decir, don-de el costo es igual para las dos, que también es el punto de intersección de las rectas que describen elcomportamiento de ambas. De modo que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones del que que-remos conocer el valor de sus variables que hace que ambas ecuaciones se cumplan. Resolveremos elsistema de ecuaciones por el método de suma y resta, aunque ya sabemos que es posible usar cualquie-ra otro que se nos facilite.

La ecuación del costo del viaje para La ecuación del costo del viaje para lala compañía “Viaje seguro” es: compañía “Los pequeños Aquiles” es:

C d= +40 2 6.C d= +25 3 5.

Distancia Viaje Pequeñosrecorrida seguro Aquiles

d 25 + 3.5d 40 + 2.6d(km) (pesos) (pesos)

0 25.0 40.0 2 32.0 45.2 4 39.0 50.4 6 46.0 55.6 8 53.0 60.8 10 60.0 66.0 12 67.0 71.2 14 74.0 76.4 16 81.0 81.6 18 88.0 86.8 20 95.0 92.0 22 102.0 97.2 24 109.0 102.4 26 116.0 107.6


Nos conviene eliminar la variable C porque tiene coeficiente 1 en ambas. Basta con multiplicar por(−1) cualquiera de las dos ecuaciones para eliminar la variable. Multiplicaremos por (−1) la ecuaciónde la compañía “Los pequeños Aquiles” y la sumaremos con la ecuación de la compañía “Viaje seguro”.

De la ecuación resultante, ya es posible despejar d:

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conocer C



El resultado es algo que ya esperábamos, porque teníamos una idea de cuál sería la solución por la ta-bla y la gráfica que elaboramos, de modo que podemos estar seguros que esa solución no sólo es co-rrecta desde la perspectiva matemática, sino también en el contexto del problema.

Por lo tanto, la solución al problema propuesto será:

Si el usuario de los taxis recorre una distancia menor a 16.67 kilómetros, le convendrá usar la compa-ñía “Viaje seguro”; en cambio, si el usuario necesita recorrer una distancia superior a 16.67 kilóme-tros le convendrá usar la compañía “Los pequeños Aquiles”. Cuando el usuario desea recorrer 16.67kilómetros, le dará lo mismo usar cualquiera de las dos compañías, ya que ambas le cobrarán lo mis-mo: 83.33 pesos.

Nota: La solución obtenida en el sistema de ecuaciones por sí misma no es la solución al problema, esnecesario transformar el resultado y darle un sentido dentro del contexto del problema.

503

2503

,⎛⎝

⎞⎠

2503

2503

=2503

2503

=

2503

40 1303

= +250

325 175

3= +

2503

40 2 6 503

= + ⎛⎝

⎞⎠.

2503

25 3 5 503

= + ⎛⎝

⎞⎠.

C d= +40 2 6.C d= +25 3 5.

C = ≈2503

83 333.

C = + ⎛⎝

⎞⎠25 3 5 50

3.

d = = ≈150 9

503

16 667.

.

0 15 0 9= − + . d− = − −C d40 2 60.

C d= +25 3 5.

solución


Ejemplo 2

En la línea

La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general . Si sabemos que la grá-fica de la parábola que está dibujada a la derecha pasa por los puntos (3,4) (−2,5) (8,5), ¿cuál sería laecuación de esta parábola?

y ax bx c= + +2

12

8

0 4–4–8 8 12 16

(–2,5)

(3,4)

(8,5)4

0

y

x

Figura 3.7 La gráfica de la parábola que pasa por los puntos (3, 4), (−2, 5) y (8, 5)

Es obvio que la parábola dibujada pasa por muchos más puntos que los que nos proporcionan; sin embar-go, la información que proporcionan esos tres puntos es suficiente para resolver nuestro problema.

Si sabemos que la forma de la parábola es , nuestro problema se reduce a encon-trar el valor de los coeficientes a, b y c, puesto que, al sustituirlos en la forma general, encontraríamosla ecuación de esa parábola. Por otro lado, si conocemos que los puntos proporcionados pasan por laparábola dibujada, entonces esos puntos harán que la igualdad sea cierta al sustituirlos en la ecuación.Es decir, el punto (8, 5), por ejemplo, nos proporciona la información de que y = 5 cuando x = 8 y esodebe ser cierto también en la ecuación. De manera que es posible sustituir cada punto en la forma ge-neral de la parábola:

y ax bx c= + +2

Punto Simplificación

(8, 5)

(3, 4)

(−2, 5) 5 = 4a − 2b + c5 2 22= −( ) + −( ) +a b c

4 9 3= + +a b c4 3 32= ( ) + ( ) +a b c

5 64 8= + +a b c5 8 82= ( ) + ( ) +a b c

y ax bx c= + +2


Si observamos las ecuaciones resultantes, son tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas sonlos valores de los coeficientes de la ecuación de segundo grado, es decir, justo lo que queremos conocerpara encontrar la ecuación de la parábola. Nuestro problema se reduce, entonces, a resolver ese siste-ma de ecuaciones de tres por tres. Podemos emplear determinantes o suma y resta, pero aquí usaremosel método de suma y resta.

Las ecuaciones en cuestión son:

1. 2. 3.

En este caso, la variable c tiene coeficiente 1 en las tres ecuaciones; es la que nos conviene reducir enprimera instancia. Seleccionamos la ecuación más sencilla (la tercera), la multiplicamos por (−1) y sela sumamos a las otras dos. De manera que haremos dos pares de ecuaciones: la primera con la terceray la segunda con la tercera para reducir el sistema.

Par de ecuaciones 1ª y 3ª: Par de ecuaciones 2ª y 3ª:

4. 5.

Las dos ecuaciones resultantes las volvemos a sumar para eliminar otra incógnita. Nos conviene eli-minar la incógnita b, dividiendo entre (−2) la ecuación 4, con lo que lograremos que los coeficientesde ambas ecuaciones sean simétricos.

De la ecuación resultante, ya es posible despejar a:

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para conocer b. En estecaso, por ser la más sencilla, se sustituirá en la ecuación 4:

b = − 625

− =10 125

b

0 60 125

10= ⎛⎝

⎞⎠ + b

0 = 60a + 10b

a = 125

a− = −1 25−1 = 5a + 5b

0 30 5= − −a b

−1 = 5a + 5b0 = 60a + 10b− = − + −5 4 2a b c− = − + −5 4 2a b c4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c

5 = 4a − 2b + c4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c

+


Sustituimos las dos incógnitas conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales. Por facilidad,sustituiremos en la ecuación 3:

Comprobemos la solución en las tres ecuaciones originales:

La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada:es la solución al sistema de ecuaciones propuesto.

De manera que esos serán los valores de los coeficientes a, b y c. La ecuación de la parábola dibujadaserá:

De modo que si sustituimos x = 3, esperamos que nos dé y = 4, mientras que si sustituimos x = −2,esperamos que nos dé y = 5. Esta comprobación es equivalente a la que realizamos al sustituir losvalores de a, b y c en las tres ecuaciones, al finalizar el proceso de resolver el sistema de ecuaciones,de manera que es posible afirmar que dentro del contexto del problema la solución encontrada es cierta.

La ecuación encontrada también se puede escribir como: , porque todos lostérminos de su lado derecho tienen como denominador a 25, de modo que es posible multiplicarla por25 para simplificarla. Después sólo la igualamos a 0.

x x y2 6 25 109 0− − + =

y x x= − +125

625

10925

2

125

10925

, , 625

−⎛⎝

⎞⎠

5 5=4 4=5 5=

5 12525

=4 10025

=5 12525

=

5 425

1225

10925

= + +4 925

1825

10925

= − +5 6425

4825

10925

= − +

5 4 125

2 625

10925

= ⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ +4 9 1

253 6

2510925

= ⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ +5 64 1

258 6

2510925

= ⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ +

5 4 2= − +a b c4 9 3= + +a b c5 64 8= + +a b c

c = 10925

c = − −5 425

1225

5 425

1225

= + + c

5 4 125

2 625

= ⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ + c

5 4 2= − +a b c

Ejercicios

y problemas


1. Dada la ecuación :

a) Verifica si (1, 2, 0) es una solución o no a esa ecuación.

b) Verifica si (1, 4, 4) es una solución o no a esa ecuación.

c) Verifica si (−3, 2, 4) es una solución o no a esa ecuación.

d) Encuentra la solución en donde se cumpla que (x, 0, 0).

e) Encuentra la solución en donde (2, y, 3).

f) Encuentra todas las soluciones (x, y, z), en donde x = 2, y = −1.

2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

Di cuáles de las siguientes ternas ordenadas son soluciones al sistema y cuáles no:

a) (1, 2, −1)

b) (1, 2, 1)

c) (0, 0, 6)

d) (−2, 0, 8)

e) (1, 1, −2)

f) (4, 4, 6)

g) Encuentra otra solución al sistema.

3. Clasifica cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones como consistentes, inconsistentes e inde-pendiente o consistente y dependiente. En cada caso, indica cuáles serían sus soluciones.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j) 3 2 614 21 42

r ss r

− == −

3 23 3 1

m nm n

+ =+ =

3 55

y xy x

==

y x zz y x

x z y

− + = −+ − =

− + = −

13 2 8

6 2 4 4

x y

x y

+ + =

− + =

4 012

16

25

05 2 4

15 6 1p qp q

− =− =

2 3 18 12 7

x yx y

− =− =

2 13 2 2

a ba b

+ =+ =

n mm n

=− =

26 3 0

y xx y

=+ = 1

x y zx y z+ + =

− + =2 6

3 2

x y z- 2 3 5+ =


k) l)

m)

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, utiliza un cambio de variable; supón quey que

a) b)

5. Encuentra un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenga como única solu-ción el punto (−2, 1). Verifica que el sistema efectivamente tenga este punto como solución.

6. La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general . Si sabemos que la pará-bola pasa por los puntos (2, 16) (0, −6) (1, 2), ¿cuál es la ecuación?

7. Dos cuadrados son tales que el lado del más grande mide el doble del lado del otro, ¿cuánto mide el la-do de ambos cuadrados si el perímetro del cuadrado más grande es de 60 metros?

8. Un ama de casa recuerda que la receta de un pastel pedía tanta azúcar como mantequilla y el doble deharina que de azúcar. Sabe que por cada kilogramo de masa que haga, el pastel le alcanzará para 20personas. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente necesita para 100 personas? (Supón que la masadel pastel está hecha únicamente por la mezcla de los tres ingredientes mencionados.)

9. Cuando una balsa navega contra la corriente, avanza 30 kms/h y cuando navega a favor de la corrien-te, recorre 60 kilómetros cada hora. Suponiendo que la balsa y la corriente llevan la misma velocidad,tanto de ida como de regreso, ¿cuáles son las velocidades de la balsa y de la corriente?

10. Tres amplificadores y cinco bocinas cuestan $19,500. Cinco amplificadores y ocho bocinas cuestan$32,000. ¿Cuál es el precio de cada bocina y de cada amplificador?

11. En la elaboración de un producto se pueden seguir dos procedimientos obteniendo la misma calidad enel artículo producido. La inversión inicial requerida en el primer proceso es de $100,000.00 y en el otroes de $50,000.00. En el primero el costo de elaboración de cada artículo es de $4.00 y en el segundoes de $7.00. ¿En cuál de los dos procesos convendrá invertir?

12. Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uni-formemente hasta terminarse en cuatro horas, en tanto que la otra se consume en seis horas. Ambas mi-den 120 centímetros ¿A qué hora deben prenderse ambas velas para que a las 5:00 de la tarde la velamás grande mida el doble que la otra?

y ax bx c= + +2

5 1 3

12

2 1

x y

x y

+ =

+ =

3 2 1

7 6 2

x y

x y

− = −

− = −

ny

= 1mx

= 1

− + − =− − − = −

+ + =

x z yy x zz x y

04 6 6 203 3 2 10

− + + =− + − =

+ =

x y zy x z

z x

3 03 5 0

4 2 3

3 25

67

2

2 53

74

1

q p q

p q p

+ + + =

− + + =



13. Tu compañero de cuarto es corredor de distancia. Corre a una velocidad media constante de 12.8 km/hy cada mañana se entrena. Una mañana, dos horas después de que él salió a correr, tú decides alcan-zarlo, pero en tu coche, por la misma ruta que él sigue a una velocidad de 60 kilómetros por hora.¿Cuánto tiempo tardarás en darle alcance a tu amigo? ¿A qué distancia de tu casa lo encontrarás?

14. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para ha-cer una válvula estándar son necesarios cinco minutos en el torno y 10 en la prensa taladora; para laválvula de lujo son necesarios nueve minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está dis-ponible cuatro horas y la prensa siete. ¿Cuántas válvulas de cada tipo deben hacerse para utilizar las dosmáquinas todo el tiempo posible?

15. Seis hombres planean alquilar una avioneta para ir de pesca al Lago del Oso en Canadá, repartiéndosela cuota en forma equitativa. Descubrieron que si iban tres personas más, la cuota de cada uno se redu-ciría en 150 pesos. ¿Cuál es el costo total del vuelo?

16. Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo in-greso. Decidieron contratar dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son:a) El primer grupo cobra $30,000, más el 40% de lo recaudado por las entradasb) El segundo grupo cobra $64,500, más el 10% de lo recaudado por las entradas.

Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las en-tradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo. ¿Cuánto es lo menos que tienen quecobrar por persona para que eso se cumpla, si estiman que habrá 500 personas que pagarán su entrada?

17. En una oficina se necesita una fotocopiadora y tienen dos opciones: una que cuesta $20,000.00 y otra,de mayor calidad, que cuesta $40,000.00. Con la primera fotocopiadora se obtienen 1000 copias porhora y con la segunda, 1500. El costo de producción por cada copia es de $0.1 con la primera fotoco-piadora y de $0.05 con la fotocopiadora más cara. Tomando en cuenta todas las características mencio-nadas, ¿cuál de las dos fotocopiadoras conviene comprar?


1. Moira y Eris, presentado al inicio de la sección.

2. A flor de pielUna empresa fabrica carteras y maletines con el mismo tipo de piel. Asimismo, para su fabrica-ción, ha especializado a un grupo de trabajadores que se dedican exclusivamente a la elaboraciónde estos dos tipos de productos. Contesta las siguientes preguntas utilizando la información quese te proporciona:

a) Para fabricar una cartera utiliza un metro cuadrado de piel y tres metros cuadrados para unmaletín. En total, dispone de 27 metros cuadrados de piel. Aprovechando al máximo la pieldisponible, ¿es posible producir siete carteras y tres maletines? ¿Es posible producir ochocarteras y siete maletines? ¿Es posible producir 12 carteras y cinco maletines? ¿Hay más po-sibilidades de producción?


b) Para fabricar una cartera, los trabajadores de la empresa ocupan dos horas y para fabricarun maletín, una hora. La empresa dispone de 34 horas de trabajo efectivo de los trabaja-dores por semana, ¿cuántos maletines y carteras es posible producir para aprovechar lomás posible el tiempo disponible de los trabajadores? Proporciona algunas posibilidadesde producción.

c) ¿Cuántos maletines y cuántas carteras se deben producir para aprovechar al máximo el ma-terial disponible y las horas de trabajo?

3. Tiro al blancoPor mutación, un virus está siendo cada vez más fuerte y no alcanza con un solo rayo para ma-tarlo. Hay que enviarle dos rayos de manera simultánea para destruirlo.

a) Si el virus aparece ahora en el punto de coordenadas (2, 3), propón dos ecuaciones de dosrayos que lo alcancen y dibuja su grafica. Verifica algebraicamente que los rayos alcancenal virus.

b) Un virus aparece en el punto (−1, 3) y los rayos que emiten las fuentes son tales que ademásde pasar por ese punto, el primero de ellos para por el punto (−2,4) y el segundo por (0,1).¿Cuáles son las ecuaciones de los rayos que alcanzan al virus?

1. Una compañía renta automóviles por 350 pesos el día, más 10 pesos por kilómetro recorrido.Otra compañía cobra 300 pesos diarios más 12 pesos el kilómetro recorrido. Si necesitas ren-tar uno por cinco días, ¿qué distancia debes recorrer para tener ventaja económica si rentasuno en la segunda compañía?

a) Debes recorrer más de 25 kilómetros por día o bien, más de 125 kilómetros en cincodías.

b) Debes recorrer exactamente 25 kilómetros por día, o bien, 125 kilómetros en cinco días.

c) Debes recorrer menos de 25 kilómetros por día, o bien, menos de 125 kilómetros en cincodías.

d) No es posible obtener ventaja por rentar un auto en la segunda compañía.

e) Siempre se va a tener ventaja por rentar en la segunda compañía.


2. Relaciona los siguientes sistemas de ecuaciones con su correspondiente solución:

a)

b)

c)

d)

3. Encuentra las ecuaciones de dos rectas que se corten en el punto (3,1).

4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, indica cuáles de las siguientes ternas son solucionespara ese sistema:

a) (−2, 0, −2)

b) (5, 1, −12)

c) (3, −3, 2)

d) (1, 2, −11)

e) (1, 2, −2)

f) (4, −1, −5)

g) (2, −5, 9)

h) (1, 1, −8)

5. Cada una de las siguientes gráficas mostradas representan tres ecuaciones lineales con tresvariables. Indica cuál de esos sistemas de ecuaciones tiene:

a) Una sola solución.

b) Un número infinito de soluciones definidas por una línea recta.

c) Un número infinito de soluciones definidas por un plano.

d) Ninguna solución.

x z yz y x+ + + =

+ + =3 4 0

2 3 5

y xx y

= −= +

1 21 3

7 33 21 9

x yy x

− =− =

− − =+ = −

4 2 61 3 2x y

y x

2 3 15 2 7x y

x y− =

− − =i. Ninguna solución.

ii. Una solución, el punto

iii. Un número infinito de soluciones.

iv. Una solución, el punto − −⎛⎝

⎞⎠

25

35

,

47

17

, −⎛⎝

⎞⎠


yx

z

x y

z

x y

z

z

yx

z

yx

z

x y

z

x y

z

x y yx

z

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Respuestas a los


1. a) No lo es.b) Sí lo es.c) Sí lo es.


d) La solución es (5, 0, 0).e) La solución es (2, 3, 3).

f) Sólo hay una solución :

2.a) No es solución.

b) Sí es solución.

c) No es solución.

d) Sí es solución.

e) No es solución.

f) No es solución.

g) Una solución muy sencilla de encontrar es (4, 4, −6). En forma general, cuando paracualquier valor de y, los valores de z serán iguales en ambas ecuaciones.

3.a) Es consistente; su solución es

b) Es consistente y dependiente, tiene un número infinito de soluciones.

c) Es consistente; su solución es (0, 1).

d) Es inconsistente; no tiene solución.

e) Es inconsistente; no tiene solución.

f) Es consistente; su solución es (0, 0).

g) Es consistente; su solución es

h) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones.

i) Es consistente; su solución es (1, 1).

j) Es consistente; su solución es

k)Es consistente; su solución es

l) Es consistente; su solución es

m) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones.

4.

a)

b) m n x y= = = =1019

719

1910

197

, , , por lo tanto:

m n x y= − = − = − = −12

14

2 4, , , por lo tanto:

0 14

34

, ,−⎛⎝

⎞⎠

277

257

457

, ,−⎛⎝

⎞⎠

− −⎛⎝

⎞⎠

85

125

,

56

12

, −⎛⎝

⎞⎠

12

12

,⎛⎝

⎞⎠

xy= − +4 3

2

2 1 13

, ,−⎛⎝

⎞⎠

z = 13


5. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que sean ciertascuando x = −2 y y = 1, y que verifiquen que la solución del sistema es el punto que se proporciona. Unejemplo de una ecuación cuya solución es (−2, 1) es 2x + 3y = −1 porque 2(−2) + 3(1) = −1.

6. La ecuación es: y = 3x2 + 5x − 6.

7. El cuadrado más grande tiene por lado 15 metros; el otro, 7.5 metros.

8. Se necesitan 1.25 kilogramos de mantequilla, 1.25 kilogramos de azúcar y 2.5 kilogramos de harina.

9. La balsa lleva una velocidad de 45 km/h y la corriente de 15 km/h.

10. El precio de cada bocina es de $1,500 y el de cada amplificador es de $4,000.00.

11. Si el número de artículos producidos es menor a 16,666 artículos es preferible invertir en el segundoproceso, pero si la cantidad de artículos producidos es mayor a 16,666 artículos es preferible invertir enel primer proceso.

12. A las 2:00 de la tarde.

13. A las 0.5423 horas, a 32.54 kilómetros de tu casa.

14. 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo.

15. El costo total del vuelo es de 2,700 pesos.

16. El precio de entrada debe ser de $230 pesos por persona.

17. Si se tendrá un tiempo de trabajo superior a 800 horas, conviene invertir en la fotocopiadora más cara,pero si la fotocopiadora trabajará menos de 800 horas, será conveniente la primera fotocopiadora. Si selaborarán 800 horas, el costo de comprar una u otra fotocopiadoras será el mismo.


1. c

2. (a, iv), (b, iii) (c, i) (d, ii)


3. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que seanciertas cuando x = 3 y y = 1, así como que verifiquen que la solución del sistema es el puntoque se proporciona. Un ejemplo de una ecuación cuya solución es (3,1), donde 2x + 3y = 9,porque 2(3) + 3(1) = 9. En general, la familia y = 1 + m(x − 3) pasa por el punto (3, 1), sin im-portar el valor de m. Así que sólo se deben seleccionar dos valores de m para hallar la soluciónal problema.

4. b, c, f y g

5. a: la gráfica 8; b: las gráficas 4 y 5; c: la gráfica 1; d: las gráficas 2, 3, 6 y 7

Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas

“Vulcano”, S.A. de C.V., es una empresa que renueva llantas en la zona de Xa-lostoc. Su gerente desea aumentar las utilidades, pero está indeciso en cuanto areducir el precio de venta unitario de cada llanta, con lo cual ganaría clientes, oa incrementarlo, con el riesgo de perderlos. Actualmente para la empresa cadallanta tiene un costo de renovación total (incluyendo costos fijos y costos variables)que depende del nivel de producción. Se sabe que el costo unitario de renova-ción es de 85 pesos, pero que por cada 50 llantas más éste se reducirá progre-sivamente en 2.50 pesos por cada unidad renovada. Asimismo, se sabe que enpromedio la empresa vende 800 llantas a un precio de 170 pesos y estima que porcada incremento en el precio de venta unitario de 5 pesos, venderá siete llantasmenos (en promedio) por mes. Por cuestión de costos, el gerente está cuidandoademás no tener llantas almacenadas; esto es, todo lo que produzca la empresa sedeberá vender.

3.3 Ecuaciones cuadráticas

y con radicales

En el empleo de símbolos y en el razo-namiento con éstos es donde se reconoce

la transición de la aritmética al álge-bra, aunque en realidad no haya línea

divisoria alguna.

Morris Kline

Introducciónn

El estudio de las ecuaciones puede remontarse a épocas tan remotas como lasque corresponden a los egipcios y babilonios. Problemas que de no ser por elálgebra hubieran sido muy laboriosos, han sido resueltos de manera exactacon la ayuda del simbolismo algebraico. No obstante, por increíble que pa-rezca, la idea de involucrar símbolos en la solución de ecuaciones (prácticaque luego se extendió a otras áreas de las matemáticas) es reciente. La introduc-ción de la simbología algebraica se atribuye a François Vieta (1540-1603),quien siendo abogado y trabajando para los reyes de Francia encontró en lasmatemáticas un pasatiempo fascinante al que dedicó un trabajo intenso. Vietatuvo plena conciencia de su hazaña, consistente en introducir símbolos paralas cantidades que en otros tiempos sólo se habían manejado numéricamen-te. Es por este simbolismo que las matemáticas logran vincularse a muy di-versos contextos, a la generación de procedimientos de carácter general y ala obtención de respuestas exactas. La siguiente situación te ofrece un en-cuentro, de muchos posibles, entre las matemáticas y nuestra realidad:

2013.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales


¿Cómo fundamentar una recomendación al gerente para que cumpla su obje-tivo?

Ésta y otras situaciones te ayudarán a ver al álgebra, y de manera más especí-fica a la solución de ecuaciones, como una poderosa herramienta para resolverproblemas.

Objetivos


• Reconocer y resolver una ecuación cuadrática.• Determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática y su re-

lación con los coeficientes de la ecuación.• Aplicar ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas que así lo re-

quieran.• Resolver ecuaciones con radicales y aplicar los correspondientes métodos

en la solución de problemas que así lo requieran.

Ecuaciones cuadráticas

Definiciones básicas

Sea f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c son números complejos con a ≠ 0 un po-linomio de grado 2. Si reemplazamos x por el número complejo r, el resultadose denomina valor de f(x) en x = r, y se designa como f(r). Si f(r) es el númerocomplejo 0, r se llama una raíz o 0 de f(x).

Una ecuación del tipo f(x) = 0 siempre conlleva la siguiente pregunta: ¿cuáles son los nú-meros complejos r tales que f(r) = 0? Los valores que satisfagan esta ecuación serán lla-mados raíces o soluciones de la ecuación. Una respuesta a la ecuación f(x) = 0 no serácompleta a menos que se den todas las raíces; diremos entonces que se ha resuelto laecuación cuando se han encontrado todas sus raíces.

Por otro lado, si f(x) y g(x) son dos polinomios en x de grado 2, la ecuación f(x) = g(x)debe traducirse en la pregunta: ¿cuáles son los números complejos r tales que f(r) yg(r) tienen el mismo valor? La pregunta formulada es equivalente a la siguiente: ¿quévalores complejos r satisfacen la ecuación f(x) − g(x) = 0? Es probable que la segundapregunta sea más fácil de resolver que la primera, por ello requerimos de la siguiente de-finición:

Definición

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen exactamente las mismas raíces.


Con esta base diremos que una ecuación es una ecuación cuadrática si a través de trans-formaciones algebraicas puede llevarse a la forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.

La fórmula general

Hay una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, fórmula que se ge-nera a través del siguiente principio:

Principio de completación de cuadrados

La expresión x2 + px se convierte en cuadrado perfecto si se le suma el cuadradode la mitad del coeficiente de x. El resultado de tal operación genera un trinomiocuadrado perfecto en x menos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.

En símbolos, el principio anterior es:

Apliquemos ahora este principio a la ecuación cuadrática. Factoricemos primero elcoeficiente a; observa que es preciso que el coeficiente de x2 sea igual a 1. Tenemosentonces:

Sumando y restando la cantidad , dentro del corchete y reagrupando, se tiene:

Reconociendo el término entre llaves como un trinomio cuadrado perfecto se tiene:

Utilizando el producto notable de la diferencia de cuadrados obtenemos:

f x a xb

a

b ac

a

a xb

a

b ac

ax

b

a

b ac

a

( ) = +⎛⎝

⎞⎠ − −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= + + −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

24

4

24

2 24

2

2 2

2

2 2

f x a xb

a

ac b

a( ) = +⎛

⎝⎞⎠ + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

44

2 2

2

f x a xb

ax

b

a

c

a

b

a( ) = + + ⎛

⎝⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ − ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

22 2

2 2

b

a2

2⎛⎝

⎞⎠

f x ax bx c a xb

ax

c

a( ) = + + = + +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2 2

x px x pxp p

xp p

2 22 2

2 2

2 2

2 2

+ = + + ⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − ⎛

⎝⎞⎠

= +⎛⎝

⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠


En resumen, tenemos la:

Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

La ecuación de segundo grado puede resolverse identificando la última ecua-ción en la forma

f(x) = a(x − r1)(x − r2)donde:

, rb b ac

a2

2 42

= − − −r

b b ac

a1

2 42

= − + −

Naturaleza de la raíces de una ecuación cuadrática (coeficientes a, b, c reales)

La cantidad Δ = b2 − 4ac que aparece en el radical de la fórmula de segundo gra-do recibe el nombre de discriminante y determina la naturaleza de las raíces; asaber:

a) Si Δ = 0, entonces las raíces r1, r2 son reales e iguales a

b) Si Δ > 0, entonces será un número real positivo; en consecuencia, r1 yr2 son reales y diferentes.

c) Si Δ < 0, definimos Λ = −Δ; entonces, , donde es positivo ylas raíces son:

,

Es decir, las raíces son números complejos conjugados.

rb

a ai1 2 2

= − + Λr

b

a ai1 2 2

= − + Λ

ΛΔ Λ= i

Δ

r rb

a1 2 2= = −

Observa que si conoces la factorización de una ecuación cuadrática, en términos defactores lineales, entonces conoces las raíces de la ecuación. En efecto, si tienes la fac-torización definida como

f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2) = 0

las raíces de la ecuación son: x = r1 y x = r2El siguiente es un resultado que clasifica las raíces de acuerdo con su naturaleza:


Observa que, independientemente de la naturaleza de las raíces, siempre se cumple que:

y

donde hemos usado el producto notable de la diferencia de cuadrados y simplificacionessucesivas. En resumen, tenemos la siguiente relación:

r rb b ac

a

b b ac

a

b

a

b ac

a

b

a

b ac

a

b

a

b ac

a

b

a

b ac

aac

1 2

2 2

2 2

2 22

2

2

2

2

42

42

24

2 24

2

24

2

44

44

= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= − −

=44 2ac

a=

r rb b ac

a

b b ac

a

b

a

b

a1 2

2 242

42

22

+ = − + − + − − − = − = −

Relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes

Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + c = 0, entoncesse cumple que:

y r rc

a1 2 =r rb

a1 2+ = −

Es posible una interpretación geométrica acerca de la naturaleza de las raíces de unaecuación cuadrática. Concretamente, si hacemos y = f(x) = ax2 + bx + c, su representa-ción gráfica en el plano cartesiano corresponderá en cualquier caso a una parábola ver-tical. Ya que el cálculo de raíces se realiza a través de la ecuación cuadrática: y = f(x) =0, debemos interpretar las soluciones de esta ecuación como las intersecciones (si lashay) de la parábola con el eje x. La figura 3.8 muestra los tres casos posibles; observaque en el último caso no hay intersección con el eje x.


Observa que en la figura 3.8.a (una parábola que abre hacia arriba) el valor más peque-ño de y se encuentra en el punto medio entre las dos raíces r1 y r2. Es decir, el valor mí-nimo que puede obtener la función y = f(x) es:

En el caso de la figura 3.8b el valor mínimo es 0. Para el caso de la figura 3.8.c, no setienen raíces reales; sin embargo, el valor mínimo también se puede calcular usando:

De manera similar, si la parábola abriera hacia abajo, entonces se tendría un valor máxi-mo para y, dado por:

Pasemos ahora a discutir el concepto de irreducibilidad de una expresión cuadrática. Re-cordemos que p(x) y q(x) son factores (o divisores) de f(x) si f(x) = p(x)q(x). Es claro quetodo polinomio tiene factorizaciones triviales del tipo:

f(x) = a[a−1 f(x)]

y fr r b ac

amax = +⎛⎝

⎞⎠ = − −1 2

2

24

4

yb ac

amin = − −2 44

y fr r

fb

a

ab

ab

b

ac

b

a

b

ac

b

ac

b ac

a

min = +⎛⎝

⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠

= −⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ +

= − +

= − + =

= − −

1 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

4 2

44

4

−10

−5

0

5

10

0 2 4−2−4

a) caso Δ > 0

f (x) = 2x2 + x − 2 = 2(x − 1)(x + 2)

−10

−5

0

5

10

0 2 4−2−4

b) caso Δ = 0

f (x) = 2x2 − 4x + 2 = 2(x − 1)2

−10

−5

0

5

10

0 2 4−2−4

c) caso Δ < 0

f (x) = 2x2 + x + 2

x

y y y

x x

Figura 3.8 Posibles intersecciones de una parábola con el eje x

solución

Ejemplos


para cualquier número a ≠ 0. Por lo tanto, todo polinomio tiene a todos los múltiplosconstantes distintos de 0 como factores triviales. Esto nos permite hacer la siguiente de-finición:

Definición (factores irreducibles)

Si un polinomio no tiene más factorizaciones que las triviales, se dice que es unpolinomio irreducible; en caso contrario, afirmamos que el polinomio es reducible.

Criterio de irreducibilidad para expresiones cuadráticas

Un polinomio f(x) = ax2 + bx + c, con coeficientes reales, es irreducible en elcampo de los números reales (es decir, no puede factorizarse usando polinomiosde grado 1 con coeficientes reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac < 0.

De otra manera: el polinomio f(x) = ax2 + bx + c es reducible (puede factori-zarse en los reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac ≥ 0, en cuyo caso, si r1 y r2 son lasraíces (reales) de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces: f(x) = ax2 + bx + c =a(x − r1)(x − r2).

A partir del discriminante puede establecerse el siguiente criterio para decidir la irredu-cibilidad de una expresión cuadrática. De manera concreta:

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación 2x2 − 4x + 8 = 5x2 + 2x − 5

Trasponiendo términos, se obtiene la ecuación equivalente:

3x2 + 6x − 13 = 0

En esta ecuación: a = 3, b = 6 y c = −13, luego

Δ = b2 − 4ac = 36 + 156 = 192 = 3(82)

Por lo tanto, las raíces son:

r 1 26 8 3

61 4

33, = − ± = − ±

solución

solución


Ejemplo 2

Determina los valores de k para los cuales la ecuación 9k x2 − 60x + 6k + 1 = 0 tiene raíces iguales.

Para que la ecuación tenga raíces iguales se requiere que el discriminante sea 0. Tenemos entonces que:

Δ = b2 − 4ac = 3600 − 4(9k)(6k + 1) = 36(100 − k − 6k2) = 0

De donde se infiere que:6k2 + k − 100 = 0

Aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, obtenemos las raíces:

Para el caso k1 = 4, la ecuación inicial se convierte en 36x2 − 60x + 25 = 0. Esta ecuación tiene, en efec-to, dos raíces reales e iguales: (¡verifícalo!).

Con , la ecuación inicial se convierte en: 25x2 + 40x + 16 = 0, que tiene, como se espera,

dos raíces reales iguales: (¡verifícalo!).

Ejemplo 3

Un tren recorre 400 kilómetros con una velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido 20 kms/h ma-yor, el tiempo empleado hubiera sido de dos horas menos. Calcula la velocidad del tren.

Sea v la velocidad (en realidad rapidez) del tren en kms/h. En el caso de velocidad constante, sabemos

que o , donde d es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. El tiempo necesario

para recorrer los 400 kilómetros a la velocidad original es de horas. Si se aumenta la velocidad

en 20 kms/h, cambia el tiempo que se necesita para hacer el recorrido. Este tiempo es ahora, con la ve-

locidad modificada: horas.

Si tomamos la diferencia de estos dos tiempos, el resultado es de dos horas. En términos algebrai-cos, esto significa que:

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por v(v + 20), tenemos:

400(v + 20) − 400v = 2v(v + 20)

400 40020

2ν ν

−+

=

40020ν +

400ν

td

v=ν = d

t

r r1 24

5= = −

k2256

= −

r r1 25

6= =

k = − ± + = − ± = −⎧⎨⎪

⎩⎪1 1 2400

121 4912

4256

solución


desarrollando se obtiene:

400v + 8000 − 400v = 2v2 + 40v

Finalmente, trasponiendo términos y simplificando, hallamos la ecuación equivalente:

v2 + 20v − 4000 = 0

Al resolver esta ecuación, usando la fórmula general, encontramos:

y ;

ambos valores en kms/h.

El valor satisface la ecuación original y las condiciones del problema. El valor dev1 satisface la ecuación original, pero no el contexto del problema; por esa razón, debe ser rechazado.

Nota: Es común encontrar, al resolver problemas de este tipo, que haya raíces que cumplen las condi-ciones algebraicas del problema, pero físicamente sean inaceptables, como en este problema. Te acon-sejamos analizar las respuestas para determinar si las soluciones son o no viables o aceptables.

Ejemplo 4

Dados los siguientes polinomios de grado 2, determina si son reducibles o no en los reales. En caso deque lo sean, encuentra su factorización:

a) g(x) = x2 − 2x − 1

b) h(x) = 9x2 + 24x + 16

c) f(x) = (x − 5)(x + 1) − 2(x − 2)2

Para determinar si los polinomios son reducibles o no, usaremos el criterio de irreducibilidad.

a) En este caso, Δ = (−2)2 −4(1)(−1) = 8 > 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrá-tica. Consideremos la ecuación:

x2 − 2x − 1 = 0

aplicando la fórmula general, obtenemos las raíces:

y

Luego:

Observa que esta factorización no hubiera podido obtenerse por ninguno de los casos de factoriza-ción estudiados hasta ahora.

g x x x x x( ) ( )( )= − − = − − − +2 2 1 1 2 1 2

r2 1 2= −r1 1 2= +

ν2 10 1 41= − +( )

ν2 10 1 41 54 0312= − + ≈( ) .ν1 10 1 41 74 0312= − + ≈ −( ) .

solución


b) En este caso, Δ = (24)2 − 4(9)(16) = 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrática.

Consideremos la ecuación 9x2 + 24x + 16 = 0, cuyas raíces son:

luego:

c) Si desarrollamos y simplificamos, encontramos que:

f(x) = x2 − 4x − 5 − 2(x2 − 4x + 4) = −x2 + 4x − 13

El discriminante asociado a la ecuación cuadrática -x2 + 4x − 13 = 0 es:

Δ = 42 − 4(−1)(−13) = −36 < 0

de donde concluimos que el polinomio es irreducible.

Ejemplo 5

Calcula el valor de k que satisfaga la condición dada:

a) En la ecuación (k + 1)x2 + (k + 8)x + 10 = 0, la suma de sus raíces debe ser 4.

b) En la ecuación (k − 1)x2 − 5x + 10 = 0, una de las raíces debe ser el recíproco de la otra.

a) Los coeficientes de la ecuación son a = k + 1 y b = k + 8. Sabemos que la suma de las raíces cum-ple:

Por lo tanto,

de aquí:

−k − 8 = 4k + 4, o

De acuerdo con nuestros cálculos, se esperaría que al sustituir este valor de k en la ecuación, la su-ma de las raíces de la ecuación resultante sea, en efecto, 4. Haciendo la sustitución indicada, tene-mos que la ecuación resultante es:

ó −7x2 + 28x + 50 = 0− + +75

285

102x x

k = −125

− ++

=( )k

k

81

4

r rb

a1 2+ = −

h x x x x x x( ) = + + = − −⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

9 24 16 9 43

43

9 43

22

r r1 24

3= = −

2113.3: Ecuaciones cuadráticas y con radicales

Las raíces de esta ecuación pueden ser escritas como:

y

luego:

b) Identificamos primero los coeficientes de la ecuación a = k − 1 y c = 10. Sabemos que el productode las raíces cumple que:

En el caso que nos ocupa, se tiene:

De acuerdo con la condición del enunciado, si r1 es una raíz, entonces r2 = 1/r1 debe ser la otra raíz.Tenemos que el producto de estas raíces es 1. Por lo tanto:

en consecuencia:k = 11

A manera de comprobación, si sustituimos este valor de k en la ecuación, ésta se convierte en:

10x2 − 5x + 10 = 0 o 2x2 − x + 2 = 0

las raíces de esta ecuación son:

y

Observa ahora que:

Con esto se comprueba el resultado.

1 41 15

41 15

1 151 15

4 1 151 154 1 15

161 15

4

1

2 2

2

r i

i

i

i

i

i

i

i

r

=−

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +−

= +

= +

=

( )( )

( )

ri

21 15

4=

+r

i1

1 154

=−

101

1k −

=

r rk1 210

1=

−

r rc

a1 2 =

r r1 214 546

714 546

7287

4+ = − + + = =

r214 546

7= +

r114 546

7= −


Ecuaciones con radicales

Una ecuación con uno o más radicales que contienen a la incógnita se conoce comoecuación con radicales.

Por ejemplo:

es una ecuación con radicales.Sólo consideraremos aquí ecuaciones en las que intervienen raíces cuadradas y cuya

solución dependa de ecuaciones lineales o cuadráticas. En este caso, es importante seña-lar un convenio respecto de los signos de los radicales. Este convenio es un acuerdo so-bre notación:

x x+ + − =6 4 6

Convenio de notación

Si no hay signo escrito antes de una raíz cuadrada, deberá asumirse en todo casoque significa raíz cuadrada positiva.

Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales

Trasponiendo términos, aislamos un radical dejándolo solo en un miembro de laecuación, después elevamos al cuadrado ambos lados de ésta. El método, conoci-do como aislamiento del radical, puede ser repetido para cada uno de los radica-les restantes.

Si se desea la raíz cuadrada negativa, debe escribirse el signo menos delante del radical.

Así, la raíz cuadrada positiva de x debe escribirse como , la raíz cuadrada negativa

se escribe , y ambas raíces se escriben como .Para resolver una ecuación con radicales, debe tomarse en cuenta que la idea funda-

mental es la eliminación del o los radicales que aparecen en la ecuación. El siguienteprocedimiento suele ser útil para dicho fin.

± x− x

x

Para evitar que aparezcan ecuaciones de cuarto grado, hay que aislar con cuidado elradical. En muchas ocasiones, al resolver ecuaciones con radicales aparecen solucionesextrañas. Éstas parecen ser soluciones de la ecuación, pero en realidad no lo son. Porello, se tienen que comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuaciónoriginal. También es importante observar que existen ecuaciones con radicales sin solu-ción. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución.x x− − + =3 2 2 2

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación y determina si aparecen raíces extrañas:

El primer paso es aislar uno de los radicales; trasponiendo se tiene:

Si elevamos al cuadrado resulta:

Otra vez, si aislamos el radical que aparece en la ecuación, hallamos:

Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que

100(2x + 5) = 784 + 56x + x2

simplificando obtenemos:

x2 − 144x + 284 = 0

Al resolver esta ecuación, encontramos las raíces: x1 = 2 y x2 = 142.A manera de comprobación, al sustituir x1 = 2 en la ecuación , hallamos que:

es una proposición verdadera; luego x1 = 2 sí es solución de la ecuación.Por otro lado, si sustituimos x2 = 142, se tiene:

Esto es, x2 = 142 es una solución extraña. Por lo tanto, la única solución de esta ecuación es x1 = 2.

Ejemplo 2

Verifica que la ecuación no tiene solución.x x− − + =3 2 2 2

142 2 2 142 5 5+ + + ≠( )

2 2 2 2 5 5+ + + =( )

10 2 5 28x x+ = +

x x

x x

+ = − +( )= − + +

2 5 2 5

30 10 2 5 2

2

x x+ = − +2 5 2 5

x x+ + + =2 2 5 5

solución

solución


Trasponiendo para aislar un radical, resulta:

Si ahora elevamos al cuadrado, tenemos:

Aislando nuevamente el radical y simplificando, hallamos que:

de donde se obtiene después de elevar al cuadrado y simplificar:

16(x − 3) = x2 + 2x + 1 o x2 − 14x + 49 = (x − 7)2 = 0

Resolviendo esta última ecuación, encontramos que sus raíces son x1 = x2 = 7. Ahora sustituimos x = 7en la ecuación original; obtenemos:

De aquí concluimos que la ecuación dada no tiene solución.

Ejemplo 3

Racionaliza la siguiente ecuación, es decir, transfórmala en una ecuación sin radicales.

Trasponiendo términos para aislar un radical, tenemos:

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior, hallamos que:

Si desarrollamos y simplificamos, deducimos que:

Si aislamos nuevamente el radical y dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación, tenemos:

5 3 3 252 2( )x y x+ + = +

− = − + + +6 100 20 3 62 2x x y x( )

( ) ( ) ( )x y x y x y− + = − + + + + +3 100 20 3 32 2 2 2 2 2

( ) ( )x y x y− + = − + +3 10 32 2 2 2

( ) ( )x y x y− + + + + =3 3 102 2 2 2

7 3 2 7 2 2 4 2− − + = − ≠( )

− − = +4 3 1x x

x x x− − − + = +3 4 3 4 2 2

x x− − = +3 2 2 2

solución


Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros; obtenemos:

25x2 + 150x + 225 + 25y2 = 9x2 + 150x + 625

Simplificando, nos da:

16x2 + 25y2 = 400

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación:

Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por , hallaremos que:

Elevando al cuadrado, tenemos:x2 − 18x + 81 = x2 − 9

de donde −18x = −90; esto es, x = 5. Si ahora sustituimos este valor:

Esto es, x = 5 es la única solución de la ecuación.

5 35 3

2 5 35 3

2 2 22 2

1+−

− −+

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

x x x x

x x

+ − − = − +− + = −

3 2 3 3 39 92

( )

x x− +3 3

x

x

x

x

+−

− −+

=33

2 33

1

Ejercicios

y problemas

1. Para los incisos a)-e), considera la ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + 3 = 0, y supón que sus raícesson r1 y r2.

a) ¿Existe algún número complejo r ≠ r1, r2 tal que f(r) = 0? Argumenta tu respuesta.b) Si la suma de las raíces de una ecuación cuadrática es 4 y su producto es , determina los valores

de los coeficientes a, b en la ecuación.c) Aplica el criterio del discriminante y, sin resolver la ecuación, determina la naturaleza de sus raíces.

13


d) Resuelve la ecuación resultante f(x) = ax2 + bx + 3 = 0.e) El polinomio cuadrático f(x) = ax2 + bx + 3, ¿es reducible o irreducible (en los reales)? En caso de

que el polinomio sea reducible, factorízalo.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 − 4x + 1 = 0

b)

c) 2x2 = x − 1

d) 2x4 − 13x2 − 7 = 0 (sugerencia: sustituye u = x2 y resuelve la ecuación cuadrática resultante).

e) (sugerencia: sustituye y resuelve la ecuación cuadrática re-

sultante).

3. Una piscina tiene forma rectangular de 12 metros de ancho por 15 de largo y está rodeada de una zo-na verde. El pasillo que rodea a la piscina tiene un ancho uniforme y el área total de la zona verde esde 52 metros cuadrados. Calcula el ancho del pasillo.

u xx

= − 2xx

xx

−⎛⎝

⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ +2 3 2 2

2

2 4 2 2 02x x− + =

Piscina

Pasillo

Figura del problema 3

4. Un comerciante compra cierto número de bolsas de dulces por 180 pesos y las vende todas, menos seis,con una ganancia de 2 pesos por cada bolsa. Si con el dinero recaudado en la venta ahora puede comprar30 bolsas de dulces más, calcula el precio al que el comerciante está comprando cada bolsa de dulces.

5. Dos ebanistas, Luis y Manuel, juntos, barnizan un comedor en 10 días. Trabajando por separado, Luistarda cinco días más que Manuel. Encuentra el número de días que tardarían cada uno de ellos en bar-nizar un comedor si trabajaran separados.


6. Resuelve el siguiente verso originario de la India, que traducido al español dice:

Regocíjanse los monos divididos en dos bandos:su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza.Con alegres gritos, doce atronando el campo están.¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total?

7. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:

a)

b)

c)

d)

8. Un barco se encuentra en el punto A y otro en el B, exactamente 10 kilómetros al norte de A. El barcoque está en el B navega hacia el este a una velocidad de 2 kms/h. El barco que se encuentra en el A escapaz de navegar a 5 kms/h, y su capitán desea interceptar a la otra nave en un cierto punto C. Si el ca-pitán sabe que las velocidades de ambos navíos se mantendrán constantes durante su trayecto:

a) Determina la ecuación con radicales que resulta de la situación descrita.b) Resuelve la ecuación y encuentra la distancia x a la que se encontrarán los navíos que salen de A y

B, siendo x la distancia desde B hasta un punto C al este de B.

x x x x2 26 6 3 5− − − − =

48 32

352

−− +

=x

x x

x x+ − =16 2

x x x x2 6 2+ = +

A

10

B C



9. En el Caribe mexicano existe una isla reservada a la fauna y flora silvestres del lugar. La isla se encuen-tra a 40 kms en línea recta del punto D más cercano sobre una playa recta. Una empresa de turismo or-ganiza un recorrido que parte del punto C, situado a 200 kilómetros del punto D, hasta un punto Bubicado sobre la playa a x kilómetros del punto D. El recorrido sigue después por mar hasta la isla. Elrecorrido sobre agua se hace a 20 kms/h en promedio, mientras que sobre tierra se lleva a cabo a unavelocidad de 60 kms/h. Determina la ubicación del punto B entre D y C, donde la empresa debe pla-near el embarco, con la finalidad de que el tiempo total de recorrido sea de nueve horas.

40

BD

Isla

C

200 − xx


BA C

E

10

D

2


10. En la siguiente figura, AD = 10, BE = 2 y ED mide el triple de lo que mide el segmento AB. Determinacuánto mide el segmento AB.




1. La situación: Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas, que fue presenta-da en la introducción de esta sección.

La actividad de tu equipo consistirá en formular una propuesta detallada para lograr el ob-jetivo del gerente; para ello, deberán escribir un reporte con sus cálculos, conclusiones y reco-mendaciones. La siguiente guía les ayudará a precisar una recomendación fundamentada paraesta situación.

Sean:

U: las utilidades mensuales de la empresa.n: el número de incrementos de 5 pesos sobre el precio actual de venta.m: el número de llantas vendidas por la empresa.p: el precio de venta unitario de cada llanta.

a) Determinen una ecuación lineal que vincule el costo de cada llanta con m.

b) Señalen cómo calcular las utilidades en términos de n; escriban su resultado en la forma deun polinomio de segundo grado del tipo: U = an2 + bn + c.

c) Encuentren la ecuación lineal que vincula el precio de venta unitario p con n, entonces es-criban a U en la forma:U = ap2 + bp + c.

d) ¿Cuál es el monto de las ganancias actuales? Si esto es posible, ¿a qué precio se debe fijarla venta de las llantas con la finalidad de incrementar las ganancias en un 6%?

e) Determinen las raíces de la ecuación cuadrática U = 0. El punto medio de estas dos raícesproporcionará un valor máximo o mínimo para U. ¿Qué deducen? ¿Pueden mejorarse lasutilidades actuales? Si la respuesta a la última pregunta es afirmativa, ¿con qué precio se lo-gra esta máxima utilidad? ¿A cuánto asciende la utilidad máxima? De acuerdo con sus cálcu-los, cuánto está dejando de percibir la empresa mensualmente en la actualidad.

f) Los asesores del gerente han comentado que un medio para encontrar U = ap2 + bp + cconsiste en registrar las utilidades durante un lapso de tres meses para precios de venta pvariables. Encuentren por este medio la expresión U = ap2 + bp + c, dado que la empresa hadeterminado que: U(170) = 68000, U(175) = 71092.50 y U(180) = 74119.80.

g) Aplica tus conocimientos, busca una empresa como la descrita en este problema, investigalos datos que correspondan y haz un estudio como el precedente con esos datos.

2. El álgebra en las leyes del UniversoDe acuerdo con la Ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza de atracción entre doscuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre los cuerpos. ¿A qué distancia de la Tierra se localiza el punto olos puntos donde la Tierra y la Luna atraen a un satélite artificial con la misma fuerza, supo-niendo que éste se encuentra sobre la recta que une los centros de la Tierra y la Luna?


3. ¿Dónde poner las marcas?Cónica, S.A. de C.V., es una empresa que se dedica a la manufactura de productos de papel, yentre otros productos fabrica “conitos” para beber. Con la finalidad de optimizar en tiempoy costo sus procesos de manufactura, la gerencia de producción ha decidido construir los men-cionados conos cortando un sector circular limitado por los puntos A y B, sobre la circunferenciade un círculo de papel de radio R. Después del corte, se unen los puntos A y B (véase la figura delproblema). Con el propósito de construir los conos de mayor volumen, se necesita determinardónde colocar las marcas para los puntos A y B; esto es, hay que determinar cuántos grados de-be tener el arco del sector circular mostrado en la figura.

El gerente de producción y su equipo de trabajo tienen las siguientes ideas para determinarlas marcas. Completen los detalles y escriban un reporte con cálculos, resultados, conclusionesy su respuesta a la pregunta formulada en esta situación.

Ideas generadas por el equipo de producción:

a) Sea x el perímetro de la circunferencia de la base del cono. Determinen la relación entre r y x.b) Encuentren la relación existente entre la altura del cono (H) y el perímetro x.c) Expresen el volumen del cono en términos de x.d) La gerencia no está segura de los siguientes tres principios que un miembro del equipo planteó:

i. El mayor valor de una cantidad K que depende de x se alcanza simultáneamente cuandoK2 es máxima.

ii. Si una cantidad L se divide en dos partes, de manera que L = m + n, entonces el produc-to mn resulta máximo cuando m = n = L/2.

(Nota: A partir de esto se intuye que, si L = m1 + m2 + ⋅⋅⋅ + mp, donde L es constante, enton-ces el producto m1m2 ⋅⋅⋅ mp resulta máximo cuando…)

iii. El producto X′(a − X)s resulta máximo si:

(Sugerencia: Multipliquen la expresión Xr(a − X)s por . Deben observar que el resultado

de este producto: , alcanza su valor máximo cuando lo hace la expresión inicial

Xr(a − X)s; relacionen ahora el producto con (d, ii).

Refuten o validen los tres principios anteriores.

e) El gerente ha decidido aceptar las sugerencias del inciso anterior, después de aplicarlas en-

contró que las cantidades y están en una relación de 2 a 1. Discutan

la validez de esta afirmación y el contenido de la conclusión a la que ha llegado la gerencia.

Rx2

2

2− ⎛

⎝⎞⎠π

x

2

2

π⎛⎝

⎞⎠

X

r

a X

s

r

r

s

s

( )−

X

r

a X

s

r

r

s

s

( )−

1r sr s

X

a X

r

s−=


A partir de esto, determinen su utilidad en la solución de la situación planteada.

Círculo de radio R para lamanufactura de conos.

Los puntos A y B se hanunido para formar el cono.

C

C

H

rA = B

R

A B

Figura del problema para trabajar en equipo 3

1. Elige la opción que contiene la proposición verdadera:

a) Si una raíz de ax2 + bx + c = 0 es el doble de la otra, entonces: 2b2 = 4ac.b) Si x = r es una raíz de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces la división de ax2 + bx + c

entre x + r produce un residuo igual a 0.c) Una ecuación cuadrática tiene una raíz igual a 0 si y sólo si su término independiente

es 0.d) La suma de los cuadrados de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a

2. Hallar la opción que contiene la proposición falsa:

a) Si los coeficientes de ax2 + bx + c = 0 son reales, a y b son ambos positivos y c es negati-vo, entonces una raíz es positiva y la otra negativa.

b) La suma de los recíprocos de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a c) La ecuación x2 − 2x + 5 = 0 cuadrática tiene a 1 + 2i como una de sus raíces.d) El polinomio cuadrático f(x) = x2 + 2x + 2 es irreducible en el campo de los números reales,

pero no en el campo de los números complejos.

−2bac

b

a

c

a

2

22+


3. Elige la opción que contiene el valor de k con el cual puede asegurarse que la ecuación(k + 4) x2 − 1 = (2k + 2) x − k, tenga raíces iguales.

a) k = 5

b)

c) k = 7

d)

4. Relaciona cada pregunta en la columna B con su respuesta en la columna A.

Columna A Columna B

i. 16

ii.iii. 23iv.

v.

vi. 32

vii.

viii. 14

−154

17

−223

18

k = − ±1 132

ki= − ±3 11

2

a) Valor de a con el cual la ecuación ax2 + 16x + 2tiene solución única.

b) Valor entero que no puede tomar el discriminan-te en la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a, b, c enterosy b par.

c) Solución positiva de la ecuación

d) Valor de b con el cual la ecuación 2x2 − bx +4 = 0 tiene una raíz igual a −3.

42 1

32 1

0x

x x−+

+=

Respuestas a los


1. a) Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática, entonces: f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2),luego: f(r) = a(r − r1)(r − r2); como r ≠ r1, r2, concluimos que es imposible que f(x) = 0.

b) a = 9, b = −36

c) Δ = b2 − 4ac = (−36)2 − 4(9)(3) = 1188 > 0; por lo tanto, las raíces r1 y r2 son reales y dife-rentes.

d) y

e) El polinomio es reducible; en efecto: f x x x x x( ) ( )( )= − + = − − − +9 36 3 3 6 33 3 6 332

r26 33

3= −

r26 33

3= −


2. a)

b)

c)

d) ;

e) x = −1, x = 2,

3. El ancho del pasillo es de 0.902614 metros.

4. Cada bolsa de dulces costó 3 pesos.

5. Luis tardaría 22.8 días, mientras que Manuel tardaría 17.8 días.

6. Hay dos soluciones posibles, 48 o 16 monos.

7. a) x = 0 y x = 2b) x = 0c) x = 1 es la única solución.d) x = 7 y x = −1

8. a)

b) x = 4.4 kilómetros.9. El desembarco debe planearse en el punto B ubicado a 162.734 kilómetros del punto D

10. 2.31386

x x2

1005

2= +

x = ±1 3

x i= ± 22

x = ± 7

1 74

± i

r r1 2 2= =

2 3±


1. c2. b3. a4. (a, vi), (b, iii), (c, viii), (d, iv)


3.4 Ecuaciones polinomiales

Hay verdades fundamentales, pero im-productivas, hasta que alguien da con su

formulación científica. De ahí el culto alas ecuaciones, que traducen al lenguaje

de la vigilia los barruntos oníricos.Sólo los poetas y los sabios son capaces

de dar ese salto de una a otra dimensión.Y lo dan apoyados en un humilde verso

o en una breve fórmula algebraica.

J. J. Millás

Introducción

En ingeniería, negocios, economía o las ciencias en general se llega a en-contrar modelos que involucran funciones polinomiales de tercero o cuartogrados o mayores. Así, por ejemplo, la función a(x) = −0.0915x3 + 1.771xmodela la concentración aproximada de alcohol en la sangre que hay en pro-medio en una persona x horas después de haberlo ingerido. Algunas de laspreguntas que haríamos a partir de esta formulación son: ¿A qué hora ese su-jeto habrá digerido toda la cantidad de alcohol que ingirió? Dos horas des-pués de haber ingerido el alcohol, ¿cuál será la concentración del mismo ensu sangre? La solución a este tipo de preguntas involucra el análisis de fun-ciones de grado mayor a dos y, con ello, la solución de ecuaciones de gradosuperior a dos.

Hasta aquí hemos resuelto ecuaciones de primero y segundo grados, queno son más que casos particulares de las ecuaciones polinomiales; sin embar-go, la solución de ecuaciones polinomiales no es tan simple como la soluciónde ecuaciones de primero o segundo grados. La solución de las ecuacionespolinomiales de tercero y cuarto grados fue descubierta hasta el siglo XVI yfueron muchos los matemáticos que trabajaron en ello. Se considera que elcomienzo del periodo moderno de la matemática comenzó en el momentocuando se lograron resolver las ecuaciones cúbica y cuártica. Las fórmulashalladas tuvieron la virtud de estimular el desarrollo del álgebra y jugaron unpapel relevante en el desarrollo posterior de los números complejos. En su li-bro Ars magna, Jerónimo Cardano describe la forma de resolver cualquierecuación de tercero y cuarto grados, siguiendo un número finito de pasos me-diante las cuatro reglas aritméticas; sin embargo, la solución requiere de uncambio de variable más o menos complicado y, tal como la conocemos aho-ra, del manejo de operaciones con números complejos. La solución a la ecua-ción de tercer grado es adjudicada a Niccolo Tartaglia y la solución de laecuación de cuarto grado a Luigi Ferrari, aunque en ambos casos también seconsidera la participación de Cardano. La matemática tuvo que esperar alre-dedor de tres siglos a que llegaran dos matemáticos muy jóvenes: Niels Hen-


rik Abel y Evariste Galois, para demostrar que no era posible resolverecuaciones de grados superiores a cuatro con un número finito de pasos. Enresumen, hoy sabemos que no hay una fórmula para resolver ecuaciones degrado superior a cuatro, así como que los procedimientos para resolver ecua-ciones de tercero y cuarto grados requieren nociones matemáticas comple-jas no propias de este grado de estudios. Eso no significa que las funcionespolinomiales nos sean totalmente inaccesibles; en este apartado nos concen-traremos en el estudio de aquellas ecuaciones polinomiales cuyas raíces seannúmeros racionales o ecuaciones que sea posible simplificar hasta una ecua-ción de segundo grado. De tal suerte, será necesario fundamentar diversosresultados matemáticos que permitan analizar y clasificar las raíces de lasecuaciones a tratar.

El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las fun-ciones polinomiales y del tipo de problemas que podemos resolver a travésde ellas.

“De allá pa’ca”

Carlitos se encuentra en una mecedora en el frente de su casa, desde donde ob-serva a un vendedor ambulante que pasa varias veces por la misma calle en unacamioneta anunciando sus productos con un altavoz. Tomando en cuenta que elvendedor modificaba su aceleración de forma constante, la ecuación que descri-be la posición del vendedor (x) con respecto al tiempo (t) sería la siguiente:

En donde el tiempo está medido en minutos, a partir de que el vendedor pasafrente de la casa de Carlitos, y la posición del vendedor está medida en metroscon respecto a la casa de Carlitos.

1. De acuerdo con esto, ¿cuántas veces pasa el vendedor frente a su casa y cuan-to tiempo después de haber pasado la primera vez?

2. Su amiga Lulú vive a 20 metros a la derecha de su casa, pero Carlitos no al-canza a observar si el vendedor pasó frente a su casa. ¿Se puede usar la infor-mación que tenemos para saber si pasó o no pasó frente a la casa de Lulú? Siasí fue, ¿cuántos minutos después pasó el vendedor frente a la casa de Lulú?¿Pasa una sola vez?

x t t t= − + −3 29 16

Objetivos


• Definir e identificar una función polinomial.• Plantear y resolver ecuaciones polinomiales con soluciones racionales.• Enunciar y aplicar los teoremas del factor, de las n raíces y de la raíz racio-

nal en el análisis de las funciones polinomiales.• Resolver problemas que dan lugar a ecuaciones polinomiales.


Funciones polinomiales

Las funciones polinomiales se definen sólo en términos de suma, resta y multi-plicación. Así, una función polinomial tiene la forma:

donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no ne-gativo.

p x a x a x a x a x ann

nn

nn( ) ...= + + + +−

−−

−1

12

21 0

Una función polinomial está definida por dos variables, una de las cuales está igualadaa un polinomio de grado n definido por la otra variable. El grado de la función polino-mial es el grado del polinomio.

Así, por ejemplo:

es una función polinomial de grado 2

es una función polinomial de grado 5

no es una función polinomial

Como observarás, las ecuaciones de segundo grado, ya estudiadas, no son más que uncaso particular de las funciones polinomiales.

Las funciones polinomiales dan lugar a ecuaciones polinomiales cuando hay un in-tención explícita de resolver, es decir, de encontrar los valores de alguna variable quehagan cierta esa igualdad. Si en la ecuación primera, , quisiéramos co-nocer cuánto vale x cuando y = 5, entonces igualaríamos la ecuación a 5. La función setransformaría en la siguiente ecuación: , que resolveríamos por algunode los métodos ya tratados.

3 5 2 02x x+ − =

y x x= + +3 5 32

p xx

x x( ) = −

+ −4 3

4 52

p x x x x( ) = − + −3 9 4 85 3

y x x= + +3 5 32

Así, una ecuación polinomial tiene la forma:

donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no ne-gativo.

a x a x a x a x ann

nn

nn+ + + + =−

−−

−1

12

21 0 0...

Las ecuaciones polinomiales más comunes son aquellas que se forman cuando queremosconocer las raíces de una función polinomial. Una raíz o solución de una función poli-nomial p(x) es aquel valor de x que hace que el polinomio sea igual a 0. Generalmente ala raíz de un polinomio se le denota con la letra r.


Resolución y factorización de una ecuación polinomial

Como ya lo mencionamos, no hay un método general para resolver cualquier ecuaciónpolinomial; el método que se analizará aquí sólo permitirá obtener la solución de lasecuaciones de grado superior a 2, cuya solución sea un número entero o fraccionario, ocuando se trate de una ecuación polinomial que pueda ser reducida a una ecuación de se-gundo grado. Nuestro método se basa principalmente en la factorización de polinomios.Para introducirnos en este tema, será necesario que redefinamos primero algunos aspec-tos importantes ya vistos; para ello, se partirá de la solución de una ecuación de segun-do grado.

Para resolver una ecuación de segundo grado; por ejemplo, , esco-geríamos tres caminos familiares: completar trinomio cuadrado perfecto, con fórmulageneral o factorizándola. Indudablemente la forma más sencilla de hacerlo es por facto-rización, cuando el trinomio es factorizable. En este caso sí lo es:

por lo tanto:

Puesto que el producto está igualado a 0, tenemos la seguridad de que la igualdad secumplirá si igualamos cada uno de los factores a 0, es decir:

1. Si , entonces se cumple la igualdad

2. Pero si , también se cumple la igualdad

De estas dos igualdades, conocemos los valores de x que hacen que la igualdad original

se cumpla. Despejando, obtenemos que x vale , o bien, que x vale −1. Pero también

es cierto que es posible ignorar las bondades de la factorización y resolverla por fórmu-

la general; entonces:

obtenemos los valores que hacen que la igualdad se cumpla:

o

De esta otra forma, encontramos las respuestas (que son las mismas que habíamos obte-nido), pero no factorizamos el trinomio. Sin embargo, una vez con las respuestas, cono-ceremos los factores porque podemos partir exactamente al revés, es decir, si sabemos

que y , son las soluciones de una ecuación de segundo grado, también

sabemos que tenemos dos igualdades, que es posible despejar e igualar a 0:

x = −1x = − 43

x = −1x = − 43

x

x

=− ± − ( )( )

( )= − ±

7 7 4 3 42 3

7 16

2( )

− 43

x + =1 0

3 4 0x + =

3 4 1 0x x+( ) +( ) =

3 7 4 3 4 12x x x x+ + = +( ) +( )

3 7 4 02x x+ + =


Pero como 0 por 0 es 0, y cada una de las ecuaciones que tenemos está igualada a 0, tam-bién se cumpliría que:

¿Qué obtuvimos? La ecuación original factorizada. Es decir, usamos una nueva manerade factorizar una ecuación conociendo sus raíces. Pongamos otro ejemplo en el que real-mente no conozcamos la ecuación.

3 4 1 0x x+( ) +( ) =

0 0 0( )( ) =

3 4 0x + =

x + =1 03 4x = −

x = −1x = − 43

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Si sabemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado son y −3, ¿se podría encontrar unaecuación de la que provengan?

72

Las soluciones las escribiríamos como y , de manera que también es cierto que

y ; por lo tanto, la ecuación original estaría dada por , la cual,

efectuando la multiplicación de los factores, quedaría: .De este modo, conociendo las soluciones, no sólo es posible factorizar la ecuación, sino también

conocer una de las ecuaciones de las que provengan. Pero, ¿por qué dice que es sólo “una” de lasecuaciones de las que provenga? Porque en realidad las soluciones provendrían de otra ecuación; porejemplo, de , porque la factorización de la ecuación sería: , ysus soluciones serían las mismas. Además, la ecuación estaría influida por otro factor, como −1; así,la ecuación sería y su factorización: . En realidad, dadas lassoluciones de una ecuación cuadrática, hay un número infinito de ecuaciones de las que proven-dría (¡imagínate! cualquier número puede ser otro factor); aquí nos contentaremos con que provengade la más sencilla.

− −( ) +( ) =2 7 3 0x x− + + =2 21 02x x

4 2 7 3 0x x−( ) +( ) =8 4 84 02x x− − =

2 21 02x x− − =

2 7 3 0x x−( ) +( ) =x + =3 02 7 0x − =

x = −3x = 72


solución

solución

solución

Ejemplo 2

Proporciona una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones los números 1.234 y −4.567.La ecuación que obtuviste, ¿es factorizable?

Las soluciones las escribiremos como y , de manera que también es cierto que:

y

por lo tanto, la ecuación original estaría dada por , la cual, desarrollada, que-daría: .

Observemos que en otras circunstancias hubiese sido factible pensar que no es posible factorizarla,porque hubiera sido realmente difícil encontrar dos números que multiplicados dieran −5.635678 y su-mados 3.333; sin embargo, ahora sabemos que sí es posible factorizarla y que sus factores serían

y , así como que si sólo hubiéramos conocido la ecuación hubiese podido fac-torizarla resolviéndola primero por fórmula general.

x +( )4 567.x −( )1 234.

x x2 3 333 5 635678 0+ − =. .x x−( ) +( ) =1 234 4 567 0. .

x + =4 567 0.x − =1 234 0.

x = −4 567.x = 1 234.

Ejemplo 3

¿De qué grado es la ecuación que tiene como única solución a x = 3 repetida dos veces?

Si la solución está repetida dos veces, significa que hay dos factores iguales, es decir, la ecuación pro-vendría del desarrollo de , o bien, , y sería ; por lo tan-to, la ecuación que tiene como solución a x = 3 repetida dos veces debe ser de segundo grado.

x x2 6 9 0− + =x −( ) =3 02x x−( ) −( ) =3 3 0

Ejemplo 4

¿Cuál sería el grado de una ecuación polinomial del que sabemos que sus soluciones son ,y , y no son repetidas?x = 6

x = 5x = 4

Si tenemos tres soluciones no repetidas, el polinomio debe provenir del desarrollo del siguiente produc-to: ; por lo tanto, tiene tres factores en los que se involucra la variable x, demanera que el polinomio tiene que ser de grado 3. Sus factores serían: , y .x −( )6x −( )5x −( )4

x x x−( ) −( ) −( ) =4 5 6 0

Ejemplo 5

¿Qué diríamos de un polinomio del que sabemos que dos de sus soluciones son 7 y −4?


¿Qué se concluye de estos ejemplos? Puntualicemos:

1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lo mismocon una ecuación de la que provengan, porque cada una de las soluciones se trans-forma en uno de los factores de la ecuación.

2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, se conocería el gra-do de la ecuación, porque cada una de las soluciones se convierte en un factor quees posible desarrollar para hallar la ecuación.

Analicemos cada una de estas conclusiones por separado:

solución

Esas dos soluciones las escribiremos como: y , de manera que también es cierto que:

y

Pero esta vez no es posible asegurar que la ecuación está dada por , porque nosabemos si la ecuación sólo tiene esas dos soluciones o más (en el enunciado no lo especifican).Si la ecuación sólo tuviera esas dos soluciones, estaría dada por ese producto, pero de otra ma-nera sólo afirmaríamos que y son dos de sus factores y que no podemos conocerlos demás.

x - 7( )x +( )4

x x+( )( ) =4 7 0-

x − =7 0x + =4 0

x = 7x = −4

1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lomismo con una ecuación de la que provengan, porque cada una de las solu-ciones se transforma en un factor de la ecuación.

Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que es una ecuación con esas soluciones. De tal manera que si esa ecuación polinomialproviene de una función , los valores de x = a, x = b y x = charán que esa función sea igual a 0. Esto último lo escribiremos de la sigueinte forma:

, y , es decir, a, b y c son raíces de la función f(x). Así, sise conocen las raíces de una función polinomial, es posible conocer una función de lasque provengan, pero el resultado más importante es que si conocemos una de las raí-ces de una función polinomial, ocurre lo mismo con uno de los factores de esa función.A este importante resultado se le llama teorema del factor, el cual, al pie de la letra,nos dice:

f c( ) = 0f b( ) = 0f a( ) = 0

f x x a x b x c( ) = −( ) −( ) −( )

x a x b x c−( ) −( ) −( ) = 0


Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que es una función con raíces a, b y c, y que el grado del polinomio está dado por la multiplica-ción de sus factores: ; por lo tanto,el grado de la función polinomial es 3. Del mismo modo, si se sabe que la función tienecuatro raíces, x = a, x = b, x = c y x = d, también se sabrá que cuatro son sus factores

y que, por lo tanto, el grado de la función es 4. Pode-mos esperar que una función con n soluciones tenga n factores y que sea de grado n.

La reflexión inversa resulta interesante; si una función es de grado n, ¿significa quetiene n soluciones? Recordemos el ejemplo 3; en éste las soluciones de una ecuación desegundo grado son iguales, pero finalmente hay dos soluciones. ¿Qué otro caso se pue-de tener? Es posible que las soluciones estén dadas por números complejos, de maneraque considerando una ampliación, en el sentido de que las raíces de los números com-plejos pueden ser iguales o distintas, reales o complejas, se da lugar a otro importanteteorema, el Teorema de las n raíces:

f x x a x b x c x d( ) = −( ) −( ) −( ) −( )

f x x ax bx cx abx acx bcx abc( ) = − − − + + + −3 2 2 2

f x x a x b x c( ) = −( ) −( ) −( )

Teorema del factor

Si , entonces es un factor de la función polinomial f, que tam-bién se cumple en sentido inverso, es decir, si es un factor de una fun-ción polinomial f, entonces .f c( ) = 0

x c−( )x c−( )f c( ) = 0

2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, ocurriría lomismo con el grado de la ecuación, porque cada una de las soluciones se con-vierte en un factor que es posible desarrollar para hallar la ecuación.

Teorema de las n raíces

Todo polinomio f(x) de grado , con coeficientes reales o complejos, puedeexpresarse como producto de n factores lineales; por lo tanto, tiene n raíces nonecesariamente distintas.

n ≥ 1

Pero estos dos teoremas, ¿qué utilidad tienen en la solución de las ecuaciones poli-nomiales? ¿Cómo se encuentran las raíces de una polinomial de tercer grado como

?De acuerdo con lo desarrollado, las raíces de se encuen-

tran cuando , de modo que las raíces se hallarán si resolvemos la ecuación po-linomial . Por el teorema de las n raíces, se sabe que tiene tres3 8 13 30 03 2x x x− − + =

f x( ) = 0f x x x x( ) = − − +3 8 13 303 2

f x x x x( ) = − − +3 8 13 303 2


raíces y tres factores. De modo que si factorizamos la ecuación será posible encontrarlas raíces, pero ¿cómo se factoriza? Vayamos paso a paso:

Por el Teorema del factor, si se conoce una raíz de la función polinomial f (x) =, se tendrá un factor del polinomio. Pero ¿cómo conoceremos una

raíz? Se llega a hacer una tabla en donde se le dé valores a x y se calcule el valor de f(x),hasta obtener un 0. Los valores deberán ser positivos y negativos. La tabla obtenida semuestra a continuación:

3 8 13 303 2x x x− − +

x f(x)

0 30

1 12

-1 32

2 -4

-2 0

De acuerdo con la tabla, es una raíz de la función polinomial; por lo tanto, uno

de los factores del polinomio es . Se gana un factor, pero ¿cómo se obtienen los

otros dos? Si uno de los factores del polinomio es , hay al-

gún otro polinomio Q(x) (que no conocemos) que, multiplicado por , sea igual

a , de modo que es posible establecer la siguiente igualdad:

Esto significa que sí se puede conocer a Q(x):

La división que hay que efectuar para conocer Q(x) sería una división sintética, por-que el divisor tiene la forma x − a:

3 −8 −13 30 −2−6 28 −30

3 −14 15 0

El polinomio resultante es ; por lo tanto:

El polinomio de segundo grado es factorizable: , pormétodos conocidos. De modo que el polinomio de tercer grado queda factorizado de lasiguiente forma:

3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )

3 14 15 3 5 32x x x x− + = −( ) −( )

3 8 13 30 2 3 14 153 2 2x x x x x x− − + = +( ) − +( )Q x x x( ) = − +3 14 152

Q xx x x

x( ) = − − +

+3 8 13 30

2

3 2

3 8 13 30 23 2x x x x Q x− − + = +( ) ( )

3 8 13 303 2x x x− − +

x +( )2

x +( )23 8 13 303 2x x x− − +x +( )2

x = −2


Es posible obtener las raíces del polinomio original :

de donde:, y

Entonces las raíces del polinomio son , y , en tanto que el polino-

mio queda factorizado como .Concluiremos que para resolver una ecuación de tercer grado será necesario encon-

trar una solución; de esa manera, nuestro problema se reduce a una ecuación de segun-do grado, que puede ser resuelto por métodos conocidos. El problema real es cómoconocer una solución o raíz; más aún, cuando la ecuación que se desee resolver sea de gra-do superior a 3, porque en tales casos, para llegar a tener una ecuación de segundo gradoes necesario conocer dos o más raíces.

Las posibles raíces de una función polinomial

En el ejemplo que se resolvió, la primera solución se encontró a través de una tabla endonde se le dieron valores a x y se evaluó la función hasta encontrar el valor de x que hicie-ra que f fuera 0. Pero, ¿no hay una manera más simple? ¿Cómo saber hasta dónde seguirevaluando?

Hay formas de simplificar esa evaluación; sin embargo, el método exige un tanteo quese puede sistematizar y simplificar, pero que sigue siendo un tanteo. Analizaremos va-rios casos para concluir en la manera de simplificar este procedimiento.

Analicemos el polinomio resuelto y su factorización:

Lo anterior es fácilmente demostrable porque bastará con efectuar la multiplicación delos tres binomios; si el resultado es el polinomio de la izquierda, la factorización serácorrecta. Hay que observar que el término independiente, 30, forzosamente debe prove-nir del producto de 2 por −5 por −3 ,y que las soluciones están de alguna manera condi-cionadas por esos números, de manera que en este caso no hubiese sido posible que elpolinomio tuviera como raíz entera el número 7, porque de esa forma uno de los facto-res sería (x −7); por lo tanto, tendría que haber números enteros que, multiplicados por−7, dieran como producto 30, lo que no puede ser.

De modo que los términos independientes de los factores del polinomio están condicio-nados por los factores del término independiente del polinomio. Como las raíces enterasestán dadas por el inverso de los términos independientes de los binomios de primer gra-do, éstas también quedan condicionadas por los factores del término independiente. Así,las raíces enteras posibles de la función polinomial sólopueden ser 1,−1, 5, −5, porque los factores , , o sí seríanfactores del polinomio .Hay que observar que 5 y 1 son los factores del término independiente del polinomio.

¿Qué ocurre con las raíces fraccionarias? En el resultado obtenido:

3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )

3 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −x +( )1x −( )1x +( )5x −( )5

g x x x x x( ) = − − − −3 2 2 2 54 3 2

3 8 13 30 2 3 5 33 2x x x x x x− − + = +( ) −( ) −( )

f x x x x( ) = +( ) −( ) −( )2 3 5 3

x = 3x = 53

x = −2

x = 3x = 53

x = −2

f x x x xf x x x x( )( )

= − − + == +( ) −( ) −( ) =

3 8 13 30 02 3 5 3 0

3 2

f x( )


La raíz fraccionaria proviene del factor . Observa que el 3x es indis-

pensable porque el producto de x por 3x por x, en los tres factores, debe regresar al 3x3

del polinomio y el coeficiente 3 luego se convierte en el denominador de la raíz fracciona-ria. De manera que si una ecuación polinomial tiene un factor de la forma , en-tonces a debe ser factor del coeficiente del término de mayor grado del polinomio, así

como b un factor de su término independiente, en tanto que su raíz es de la forma . A

este resultado se le conoce como Teorema de la raíz racional, el cual se enuncia de lasiguiente forma:

b

a

ax b−( )

3 5x −( )x = 53

Teorema de la raíz racional

Si el número racional , escrito en su mínima expresión, es una raíz del polinomio:

con coeficientes enteros, entonces p debe ser factor de a0 (el término constante def(x)) y q un factor de an (el coeficiente del término de mayor grado de f(x)).

f x a x a x a x a x ann

nn

nn( ) ...= + + + +−

−−

−1

12

21 0

p

q

De modo que no hubiera sido posible que fuera raíz de la función f(x) = 3x2 −

, porque el factor (2x − 1) no puede ser factor del polinomio

. Hay que observar que 2 no es factor del coeficiente del término de

grado mayor.De acuerdo con este teorema, las raíces racionales (enteras y fraccionarias) posibles

de una función polinomial estarían dadas por la fracción simplificada que resulta delcociente de todas las posibles combinaciones de los factores del término independienteentre los factores del coeficiente del término de mayor grado.

3 8 13 303 2x x x− − +8 13 302x x− +

x = 12

Ejemplo

Las posibles raíces racionales de la función están dadas por:

Factores del término independiente: 1, 5.Factores del término de mayor grado: 1, 3.Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1, 5, −5.

Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér-

mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , , , .− 53

53

− 13

13

g x x x x x( ) = − − − −3 2 2 2 54 3 2


Se sabe que el número de raíces de la ecuación es 4 (porque es de cuarto grado) y el número de posi-bilidades que se encontraron son 8. De manera que para conocer exactamente cuáles de todas ellas sonlas raíces de la función polinomial, hay que evaluar cada una en la función hasta encontrar un 0. Cier-tamente aún son muchas las posibilidades, lo que implica muchas evaluaciones, pero son menos que lasque se tendría si no hubiera forma de discriminar entre todas las posibilidades que hay en el conjuntode los números racionales.

Se puede afirmar que en ese conjunto de números encontrados están todas las soluciones racionalesposibles de la ecuación dada, de manera que si la función se evalúa en todos esos valores y ningunoproporciona un 0 para la función, entonces la función tratada no tendrá ninguna raíz en el conjunto delos números racionales; por lo tanto, sus soluciones estarán en el conjunto de los números irracionales(decimales infinitos no periódicos) o de los complejos. El método que se está describiendo, por lo tan-to, no servirá para hallar las raíces del polinomio dado. Es necesario que al menos haya un número deraíces racionales tal que el polinomio sea llevado a un producto en donde uno de los factores sea de se-gundo grado, porque este tipo de ecuaciones sí logran resolverse aún cuando la naturaleza de sus solu-ciones sea compleja o irracional. En el ejemplo que nos ocupa, esto es posible si dos de sus raíces sonracionales, porque el polinomio es de grado 4. Si el polinomio fuera de quinto grado, sería necesarioque al menos tres de sus raíces fueran de naturaleza racional.

Por ello, se concluye que si la función polinomial es de grado n y si al menos n-2 de las raíces delpolinomio no son de naturaleza racional (entera o fraccionaria), el método que se proporciona no ser-virá para hallar las soluciones.

Ahora que ya sabemos cuáles son las posibles soluciones de la función g(x) = 3x4 − 2x3 −, nos dedicaremos a buscar cuáles de esas posibilidades son realmente sus raíces. Ya

mencionamos que para lograrlo se debe evaluar hasta encontrar un 0, pero hay una forma más sencillade hacer esa evaluación que haciendo directamente la sustitución en la función; esto es: efectuandola división.

Sabemos que las posibles raíces racionales de esa función son: 1, −1, 5, −5, , , , . Esco-

jamos una de ellas, por ejemplo la primera: Si 1 es una de las raíces del polinomio, entonces seríafactor del polinomio; por lo tanto, al efectuar la división de la función g(x) entre , su residuo ten-dría que ser 0. Si no es factor del polinomio, entonces al efectuar la división el residuo no se-ría 0; por lo tanto, 1 no sería raíz del polinomio. De manera que si sustituimos el valor en la función ynos da como resultado un 0, será equivalente a realizar la división entre el polinomio y el factor posi-ble y que el residuo nos dé 0. Realizar la división es más sencillo que sustituir la posible raíz en el po-linomio, porque esto último requiere elevar un número a una potencia varias veces; en cambio, si se usauna división sintética (porque los divisores serán de la forma ) las únicas operaciones que se rea-lizarán son la suma, la resta y la multiplicación. Efectuaremos las divisiones con cada una de las posi-bles raíces hasta encontrar una que en efecto lo sea:

1. Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre (x − 1) es:

3 −2 −2 −2 −5 13 1 −1 −3

3 1 −1 −3 −8

El residuo resultante es −8; por lo tanto, no es factor de g(x).x −( )1

3 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −x −( )1x = 1

x a−( )

x −( )1x −( )1

x −( )1

− 53

53

− 13

13

2 2 2 53 2x x x− − −


2. Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre es:

3 −2 −2 −2 −5 −1−3 5 −3 5

3 −5 3 −5 0

El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de g(x) y es el otro factor:

Como observamos, al encontrar una raíz podemos tener dos factores, uno de primer grado y otro detercer grado. El problema se ha reducido un grado, pero todavía queda un polinomio de tercer gra-do por resolver, para lo cual hay que utilizar el mismo método. En este caso, las posibles raíces soniguales que las del polinomio anterior, porque el coeficiente del término de mayor grado es 3 y eltérmino independiente es 5, así que continuaremos haciendo más divisiones sintéticas con los va-lores que ya tenemos. Como no resultó ser raíz de g(x), tampoco lo será del polinomio

, así que comenzaremos la evaluación con , porque es posible que el po-linomio tenga factores repetidos.

3. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de entre es:

3 −5 3 −5 −1−3 8 −11

3 −8 11 −26

El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .


3 −5 3 −5 515 50 265

3 10 53 260



3 −5 3 −5 −5−15 100 −515

3 −20 103 520

El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, no es factor de .3 5 3 53 2x x x− + −x +( )5

x +( )53 5 3 53 2x x x− + −x +( )5x = −5

3 5 3 53 2x x x− + −x −( )5

x −( )53 5 3 53 2x x x− + −x −( )5x = 5

3 5 3 53 2x x x− + −x +( )1

x +( )13 5 3 53 2x x x− + −x +( )1x = −1

x = −13 5 3 53 2x x x− + −x = 1

3 2 2 2 5 1 3 5 3 54 3 2 3 2x x x x x x x x− − − − = + − + −( )( )

3 5 3 53 2x x x− + −x +( )1

x +( )13 2 2 2 54 3 2x x x x− − − −x +( )1x = −1


6. Para la siguiente posible raíz , el factor sería , así que la división de

entre es:

3 −5 3 −5

1

3 −4



entre es:

3 −5 3 −5

−1 2

3 −6 5



entre es:

3 −5 3 −5

5 0 53 0 3 0

El residuo de esta división es 0; por lo tanto, es factor de y es el

otro factor. Así:

3 5 3 5 53

3 33 2 2x x x x x− + − = −⎛⎝

⎞⎠ +( )

3 32x +3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝

⎞⎠

53

53

x −⎛⎝

⎞⎠

533 5 3 53 2x x x− + −

x −⎛⎝

⎞⎠

53x = 5

3

3 5 3 53 2x x x− + −x +⎛⎝

⎞⎠

13

− 203

− 53

− 13

x +⎛⎝

⎞⎠

13

3 5 3 53 2x x x− + −

x +⎛⎝

⎞⎠

13

x = − 13

3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝

⎞⎠

13

− 409

53

59

− 43

13

x −⎛⎝

⎞⎠

13

3 5 3 53 2x x x− + −x −⎛⎝

⎞⎠

13

x = 13


Como:

Entonces:

Reacomodando factores:

Igualando el último factor a 0, , se obtienen las dos raíces que nos hace falta conocer:

Por lo tanto, las raíces de g(x) son: , , y . La función g(x) en el conjunto

de los números reales queda factorizado como: g x x x x( ) ( )= + −( ) +( )1 3 5 12

x i=x i= −x = 53

x = −1

x i= ±

x = ± −1

x = −1x 2 1 0+ =

x 2 1+( )g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −( ) +( )3 2 2 2 5 1 3 5 14 3 2 2

g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −⎛⎝

⎞⎠ +( )3 2 2 2 5 1 5

33 14 3 2 2

g x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + −⎛⎝

⎞⎠ +( )3 2 2 2 5 1 5

33 34 3 2 2

g x x x x x x x x x( ) ( )= − − − − = + − + −( )3 2 2 2 5 1 3 5 3 54 3 2 3 2

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra las raíces y los factores de la siguiente función polinomial: .f x x x x( ) = − + −4 7 5 14 2

Lo primero que habrá que analizar es cuáles son las posibles raíces de la función f(x):

Factores del término independiente: 1.Factores del término de mayor grado: 1, 2, 4.Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1.

Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér-

mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , , , .− 14

14

− 12

12


Después, habrá que ver cuáles de esas posibles raíces son efectivamente raíces de la función polino-mial. Para ello, recurriremos a la división sintética. Hay que hacer notar que el polinomio es de cuartogrado; por lo tanto, esperamos cuatro factores y cuatro raíces.

a) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entrees:

4 0 −7 5 −1 14 4 −3 2

4 4 −3 2 1

El residuo resultante es 1; por lo tanto, no es factor de f(x) ni es su raíz.

b) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entrees:

4 0 −7 5 −1 −1−4 4 3 −8

4 −4 −3 8 −9

El residuo resultante es −9; por lo tanto, no es factor de f(x) ni es su raíz.

c) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre

es:

4 0 −7 5 −1

2 1 −3 1

4 2 −6 2 0

El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de f(x); su otro factor es

y es su raíz. Así, obtenemos que:

4 7 5 1 2 1 2 3 14 2 3 2x x x x x x x− + − = −( ) + − +( )

4 7 5 1 12

2 2 3 14 2 3 2x x x x x x x− + − = −⎛⎝

⎞⎠ + − +( )

4 7 5 1 12

4 2 6 24 2 3 2x x x x x x x− + − = −⎛⎝

⎞⎠ + − +( )

x = 12

4 2 6 23 2x x x+ − +x −⎛⎝

⎞⎠

12

12

x −⎛⎝

⎞⎠

12

4 7 5 14 2x x x− + −x −⎛⎝

⎞⎠

12

x = 12

x = −1x +( )1

x +( )14 7 5 14 2x x x− + −x +( )1x = −1

x = 1x −( )1

x −( )14 7 5 14 2x x x− + −x −( )1x = 1

ó

ó


Las posibles raíces del polinomio de tercer grado tienen que ser subconjunto de las raíces del polinomioanterior, de cuarto grado, en tanto que los valores que ya probamos que no son raíces del polinomio decuarto grado, pero tampoco pueden ser raíces del polinomio de tercer grado, así que continuaremos eva-luando a partir de donde nos quedamos, porque lo que sí llegaría a ocurrir es que la raíz esté repetida.

d) Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre

es:

2 1 −3 1 1 1 −1

2 2 −2 0

El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de ; su otro factor es

y es una raíz doble. Así, obtenemos que:

Como: , entonces:

El siguiente factor es de segundo grado, pero como no es posible factorizarlo en los racionales (nohay dos números racionales que multiplicados den 1 y que sumados o restados den −1), hay que recu-rrir a otros métodos para encontrar las dos raíces que faltan.

Para hallar las raíces, es necesario igualar a 0 la función polinomial:

Así, el factor cuadrático queda igualado a 0; por lo tanto, es resoluble a través de la fórmula general:

x =− ± − ( ) −( )

( ) 1 ( 1 ) 4

2 1

2 1 1

x x2 1 0+ − =

2 1 2 1 1 02x x x x−( ) −( ) + −( ) =

f x x x x x( ) = −( ) −( ) + −( )2 1 2 1 12

f x x x x x( ) = −( ) + − +( )2 1 2 3 13 2

f x x x x x x x x( ) = − + − = −( ) + − +( )4 7 5 1 2 1 2 3 14 2 3 2

2 3 1 2 1 13 2 2x x x x x x+ − + = −( ) + −( )

2 3 1 12

2 13 2 2x x x x x x+ − + = −⎛⎝

⎞⎠ + −( )

2 3 1 12

2 2 23 2 2x x x x x x+ − + = −⎛⎝

⎞⎠ + −( )

x = 12

2 2 22x x+ −

2 3 13 2x x x+ − +x −⎛⎝

⎞⎠

12

12

x −⎛⎝

⎞⎠

12

2 3 13 2x x x+ − +x −⎛⎝

⎞⎠

12

x = 12

ó

ó


solución

solución

Por lo tanto, las raíces de f(x) son: , , y . La función f(x) en el

conjunto de los números racionales, queda factorizada como f x x x x x( ) = −( ) −( ) + −( )2 1 2 1 12

x = 12

x = 12

x ≈ −1 618.x ≈ 0 618.

x ≈≈ −

0 6181 618.

.x

x 1 2

= − ± 5

Ejemplo 2

Encuentra el valor de k, tal que tenga como factor a (x − 3).f x x kx kx( ) = − + +3 2 3

Si (x – 3) es factor de f(x), entonces x = 3 es una raíz de f(x). Esto es, f(3) = 0, de manera que se llegaa establecer la siguiente igualdad:

La función quedaría de la siguiente forma: f x x x x( ) = − + +3 25 5 3

k = =306

5

30 6 0 - k =

27 9 3 3 0 - k k+ + =

f k k3 3 3 3 3 03 2( ) = − + + =

Ejemplo 3

De un cubo de juguete, se sabe que se podría duplicar su volumen si se modifican las dimensiones desus caras de la siguiente manera: a una de las aristas se le incrementa una longitud de seis centímetros,a otra de las aristas se le incrementan 12 centímetros y a la tercera arista se le disminuye cuatro centí-metros. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo original?

Interpretemos la información que se proporciona. Se tiene un cubo con una cierta longitud de arista, ala que denominaremos con la letra a. Como es un cubo, sus tres aristas miden lo mismo.

Si a ese cubo se le modifican las aristas de diferente manera, se duplica su volumen. Una de las aris-tas se incrementa en seis, la otra en 12 y a la tercera se le disminuyen cuatro centímetros; como la aristaoriginal mide a, entonces la primera de las aristas mediría a + 6, la otra a + 12 y la otra a − 4; la figu-ra resultante quedaría de la siguiente forma:


Para conocer la longitud de la arista del cubo original, a, usaremos la información que permite relacio-nar a las dos figuras: El volumen del poliedro con las aristas modificadas es el doble del volumen delcubo. Si el V1 es el volumen del cubo original y V2 es el volumen del poliedro, la relación quedaría:

El volumen de ambas figuras también se puede expresar en función de sus aristas:

y

Así, la relación entre sus volúmenes quedará establecida de la siguiente forma:

Se ha definido una ecuación. Desarrollándola y simplificándola, queda de la siguiente forma:

Es una ecuación de tercer grado. Para resolverla, recurriremos a la división sintética. Como es de ter-cer grado, basta con conocer una de sus raíces para resolverla por completo, porque uno de los facto-res resultantes será de segundo grado; además, será posible recurrir entonces a la fórmula general.

Sus posibles raíces son los factores de 288, que son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72,96,144, 288. Probaremos en números tanto negativos como positivos:

Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entrees:a −( )1

− + −a a3 214 288a −( )1a = 1

− + − =a a3 214 288 0

a a a3 2 314 288 2+ − =

a a a a+( ) −( ) +( ) =6 4 12 2 3

V a a a2 6 4 12= +( ) −( ) +( )V a13=

V V2 12=

a + 12

a + 6

a − 4a

a

a

Figura 3.9 La transformación de un cubo de lado a a un paralelepípedo de longitudes a − 4, a + 6 y a + 12


−1 14 0 −288 1−1 13 13

−1 13 13 −275 No es factor

Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entrees:

−1 14 0 −288 −11 15 15

−1 15 15 −273 No es factor


−1 14 0 −288 1−2 24 48

−1 12 24 −240 No es factor

Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entre

es:

−1 14 0 −288 −22 −32 64

−1 16 −32 −224 No es factor


es:

−1 14 0 −288 3−3 33 99

−1 11 33 −189 No es factor


−1 14 0 −288 −33 −51 153

−1 17 −51 −135 No es factor

Para la posible raíz , el factor sería , así que la división de entrees:a −( )4

− + −a a3 214 288a −( )4a = 4

a +( )3− + −a a3 214 288a +( )3a = −3

a −( )3− + −a a3 214 288a −( )3a = 3

a +( )2− + −a a3 214 288a +( )2a = −2

a −( )2− + −a a3 214 288a −( )2a = 2

a +( )1− + −a a3 214 288a +( )1a = −1


−1 14 0 −288 4−4 40 160

−1 10 40 −128 No es factor


es:−1 14 0 −288 −4

4 −72 288−1 18 −72 0 Sí es factor

El residuo resultante es 0; por lo tanto, es factor de ; su otro factor esy es una raíz. Así, obtenemos que:

El polinomio de segundo grado se puede factorizar así: . En conse-cuencia, el polinomio original quedará de la siguiente manera:

Por lo tanto, las soluciones a la ecuación serán:

, y a = 6

¿Cuál de estas tres soluciones es la que proporciona el resultado al problema? Debemos interpretar ca-da una de ellas en el contexto del problema:

: No hay posibilidad de interpretación del signo negativo en términos de la longitud de laarista. Esta solución no tiene sentido en el contexto del problema.

: Si la arista del cubo es de 12, el volumen del cubo sería V1 = 123 = 1728. El poliedro ten-dría aristas de longitud: 12 + 12 = 24, 12 + 6 = 18 y 12 − 4 = 8, de manera que su volumensería: V2 = (24)(18)(8) = 3456. Se cumple que V2 = 2V1 porque 3456 = 2(1728). La aristadel cubo sí puede medir 12 centímetros.

Si la arista del cubo original es de 6, el volumen del cubo sería V1 = 63 = 216. El poliedrotendría aristas de longitud: 6 + 12 = 18, 6 + 6 = 12 y 6 − 4 = 2; de manera que su volumensería V2 = (18)(12)(2) = 432. Se cumple que V2 = 2V1 porque 432 = 2(216). La arista delcubo sí puede medir seis centímetros.

El problema tiene dos soluciones: la arista puede medir seis o 12 centímetros.

a = 6

a = 12

a = −4

a = 12a = −4

− + − = − +( ) −( ) −( ) =a a a a a3 214 288 4 12 6 0

− + − = − − −a a a a2 18 72 12 6( )( )

− + − = +( ) − + −( ) =a a a a a3 2 214 288 4 18 72 0

a = −4− + −a a2 18 72− + −a a3 214 288a +( )4

a +( )4− + −a a3 214 288a +( )4a = −4


Ejercicios

y problemas

1. Basándote en los teoremas del factor, del residuo y de la raíz racional, contesta los siguientes incisos:

a) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean 0.345, 4.1 y −9.

b) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean , , 5y .

c) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean , y .

d) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga tres raíces racionales repetidas.

e) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga una raíz entera y dos irracionales distintas.

f) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga dos raíces complejas y una racional.

g) ¿Es raíz de ? Justifica tu respuesta.

h) ¿Es raíz de ? Justifica tu respuesta.

i) ¿Es (z + 3) factor de f (z) = 2z4 − z3 − 18z2 − 7? Justifica tu respuesta.

j) ¿Es factor de la función ? Justifica tu respuesta.

k) ¿Es posible que sea una raíz de ? Justifica tu

respuesta.

l) ¿Es posible que la función tenga raíces fraccionarias? De serasí, menciona cuáles fracciones serían raíces de esa función. De no serlo, justifica tu respuesta.

m) ¿Es posible que la función tenga raíces fraccionarias? De serasí, menciona cuáles fracciones serían raíces de esa función. De no ser así, justifica tu respuesta.

n) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función tenga como factora ?

o) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función tenga como factora ?

p) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función tenga como factora ?

q) Encuentra la función polinomial de cuarto grado para la que se cumple que si ; la funciónvale 48, en tanto que tres de sus cuatro raíces son y la cuarta es .

2. Encuentra las raíces de las siguientes funciones y factoriza cada una de las funciones:

a) f x x x x( ) = − + +3 26 2 12

x = 2x = 1x = −1

x +( )1f x x kx kx( ) = − + +4 3 2 1

x +( )2f x x kx x( ) = − − +3 2 2 5

x −( )1f x x kx x( ) = − − +3 2 2 5

f x x x x x( ) = + − − −4 12 3 10 34 3 2

f x x x x x( ) = − + − +4 3 28 23 28 12

f x x x x x( ) = + − − −4 8 141 288 1084 3 2x = 32

f x x cn n( ) = −x c−( )

f x x x x x( ) = + − − +4 3 22 8 17 12x = 7

f y y y y y( ) = + − − +5 21 17 124 3 2y = −4

−41 3− i1 3+ i

−71 3−1 3+



b)

c)

d)

f)

g)

h)

3. Una compañía encontró que el año pasado sus utilidades, determinadas por la cantidad de productosvendidos, estuvieron dadas por la siguiente relación en donde losingresos, i, están dados en pesos y el número de unidades, n. ¿Con cuantas unidades vendidas lacompañía tuvo utilidades nulas? A partir de ese momento, ¿la compañía comenzó a tener ganancias opérdidas?

4. Un tanque sobre el que actúan tres llaves, dos llenándolo y una vaciándolo, está cambiando su nivel deagua, de manera que dicho nivel varía conforme pasa el tiempo, de acuerdo con la siguiente función:

, en donde h está dada en centímetros y t en minutos. Si el tanque tiene una al-tura total de 100 centímetros, ¿en qué momento se llena?h t t t t( ) = − − +3 22 2 15

G n n n n( ) = − − −3 246 539 1176

f x x x x x( ) = + − − −3 4 6 9 104 3 2

f x x x x x( ) = + − − −2 9 13 144 704 3 2

f x x x x x( ) = + − − −4 12 3 10 34 3 2

f x x x x x( ) = + − − −4 8 141 288 1084 3 2

f x x x x( ) = − + −3 26 13 10

f x x x x x( ) = − + − +4 3 28 23 28 12

Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes.

1. De allá pa’ca, presentado en la introducción de la sección.

2. El tinacoUn tinaco de 208 centímetros de altura, que abastece el agua de una casa, tiene dos salidas queson utilizadas en estos momentos. Al mismo tiempo se llena con la llave del agua provenientede la cisterna. Una de las llaves que lo vacían lo hace con velocidad variable y la otra con ve-locidad constante, de manera tal que la ecuación de la altura del agua en el tanque en funcióndel tiempo está dada por la siguiente expresión:

a) ¿Será posible que en algún momento se llene el tanque? Si es así, proporciona el momentocuando ocurre.

b) ¿Se vaciará el tanque? Si es así, proporciona el momento cuando ocurre.c) Con la información proporcionada por las respuestas anteriores, describe cuál esperas que

sea el comportamiento de la altura del agua del tanque.

h t t t t( ) = − + − +3 212 21 110


1. Relaciona las funciones polinomiales de la derecha con la columna de la izquierda.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2. Encuentra la raíz de las funciones de la columna de la izquierda y relaciónalas con la natura-leza de sus raíces en la columna de la derecha.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3. ¿Para qué valores de k el polinomio es divisible entre ?

4. Se quiere duplicar la capacidad de una cisterna en forma de cubo. Si se sabe que se logra si seincrementa el tamaño de dos de sus aristas, una de ellas en tres metros y la otra en seis centí-metros, y la otra arista se disminuye en dos metros, ¿cuáles son las dimensiones de la cisternaactualmente?

x −( )2f x x k x kx( ) = + − −3 2 2 4 5

f x x x x x( ) = + + + +4 3 26 10 6 9

f x x x x( ) = − + +3 5 13 2

f x x x x( ) = − + −2 11 18 93 2

f x x x x( ) = + + +3 2 1

f x x x x x( ) = − + − +2 23 31 230 1104 3 2

f x x x x( ) = − + −11 2 33 63 2

f x x x x x( ) = − + − +4 4 5 4 14 3 2

f x x x x x( ) = + + + +4 3 26 10 6 9

f x x x x( ) = − + +3 5 13 2

f x x x x( ) = − + −2 11 18 93 2

f x x x x( ) = + + +3 2 1

f x x x x( ) = − + −3 23 3 1

f x x x x( ) = + − −3 5 4 43 2

f x x x x x( ) = + − + −2 3 7 3 94 3 2

f x x x x x( ) = − + − +2 23 31 230 1104 3 2

f x x x x( ) = − + −11 2 33 63 2

f x x x x x( ) = − + − +4 4 5 4 14 3 2 i. f(x) es divisible entre . ii. f(x) tiene tres raíces enteras iguales.

iii. f(x) tiene cuatro raíces que no pueden ser frac-ciones.

iv. Es posible que una de las raíces enteras de f(x)sea .

v. f(x) tiene como factor a . vi. f(x) tiene cuatro raíces y los únicos valores que

pueden dar lugar a una raíz entera son 1 y −1. vii. f(x) es divisible entre .2 3x +( )

x +( )1x = −11

x −( )3

i. f(x) tiene una raíz entera y dos complejas. ii. f(x) tiene dos raíces enteras iguales y dos com-

plejas. iii. f(x) tiene dos raíces enteras y una fraccionaria. iv. f(x) tiene una raíz fraccionaria y dos raíces com-

plejas. v. f(x) tiene dos raíces enteras iguales y una fraccio-

naria. vi. f(x) tiene una raíz entera, una raíz fraccionaria

y dos complejas. vii. f(x) tiene dos raíces complejas y dos fracciona-

rias iguales.

Respuestas a los



1.a) La función polinomial es .

b) La función polinomial es .

c) La función polinomial es .

d) El polinomio debe ser de la forma: , donde a

y b pueden ser cualquier número entero positivo o negativo.

e) El polinomio debe ser de la forma: , en donde a es un número

entero y b y c dos racionales (por ejemplo, el número π ó ).

f) El polinomio debe ser de la forma: , en donde a, b, c

y d son números enteros.

g) Sí, porque al hacer la división sintética de entre (y + 4) el resi-

duo es 0.

h) No, ningún factor de 12 es 7.

i) No, para que sea factor, tendría que ser raíz y 3 no es un factor de 7.

j) Sí, porque al evaluar la función en , la función es 0.

k) Sí, porque 3 es factor de 108 y 2 es factor de 4.

l) No es posible porque el coeficiente del término de cuarto grado es uno.

m) Sí es posible. Sus posibles raíces fraccionarias son , , , .

n)

o)

p)

q)

2.

a) Raíces: , ,

Función factorizada: .

b) Raíces: , , ,

Función factorizada: f x x x x( ) = −( ) −( ) −( )3 2 12

x = 1x = 2x = 2x = 3

f x x x x( ) = −( ) − −( )2 4 62

x = −2 10x = +2 10x = 2

f x x x x x( ) = − + − +2 10 18 14 44 3 2

k = − 12

k = 14

k = 4

± 34

± 14

± 32

± 12

x c=f x x cn n( ) = −

z = −3z +( )3

5 21 17 124 3 2y y y y+ − − +

f x ax b x c di x c di( ) = −( ) − +( ) − −( )5

f x x a x b x c( ) = −( ) −( ) −( )

f x ax b a x a bx ab x b( ) = +( ) = + + +3 3 3 2 2 2 33 3

f x x x x( ) = + + +3 22 2 40

f x x x x( ) = − + +4 241 66 70f x x x x( ) . . .= + + +3 24 555 38 5905 12 7305


c) Raíces: , ,

Función factorizada:

d) Raíces: , , ,


e) Raíces: , , ,


f) Raíces: , , ,


g) Raíces: , , ,


3. Con 56 unidades. A partir de ese momento la compañía comienza a tener utilidades posi-tivas, es decir, tiene ganancias. Antes sólo tenía pérdidas.

4. A los cinco minutos.

f x x x x x( ) = + +( ) −( ) +( )2 1 3 5 2

xi= − −1 3

2xi= − +1 3

2x = −2x = 5

3

f x x x x x( ) = − +( ) −( ) +( )2 2 10 2 1 7

x i= −1 3x i= +1 3x = −7x = 12

f x x x x( ) = +( ) +( ) +( )2 1 3 12

x = 1x = −3x = − 12

x = − 12

f x x x x x( ) = +( ) +( ) +( ) −( )2 1 2 3 6 6

x = 6x = −6x = − 32

x = − 12

f x x x x( ) = −( ) − +( )2 4 52

x i= −2x i= +2x = 2


1. (a, vi), (c, v), (d, vii), (f, iv), (g, ii), (h, i) y (j, iii). Sobran: ii, v y ix

2. (a, vii), (b, iv), (c, vi), (f, i), (e, iii), (f, v), (gi, ii)

3. y

4. Puede tener una arista de 6 o de 3 metros

k = 32

k = 12

Unidad

Desigualdades


4.1 Desigualdades4.2 Valor absoluto


4

¿Te gustaría invertir en la bolsa de valores? ¡El objetivo sería que obtuvieras las mayores ganancias posibles! Paraello, tendrías que considerar: ¿De cuánto dinero dispones? ¿Qué cantidad estarías dispuesto a arriesgar en las di-ferentes opciones de inversión, considerando los riesgos y las posibles ganancias? ¿En qué tiempo de inversión mí-nima debes colocar tu dinero? Tales consideraciones se pueden describir por medio de desigualdades. Expresiones deltipo 3000x + 7000y ≤ 500,000 indicarían, por ejemplo, que lograrías invertir, a lo más, una cantidad de medio millónde pesos en dos tipos de acciones A y B de alguna empresa, donde $3,000 sería el precio por acción del tipo A y$7,000 sería el precio por la acción tipo B. ¿Te sorprende saber que las matemáticas que estudias son útiles paraganar dinero?

Además de su aplicación en las inversiones, las desigualdades sirven para resolver problemas de optimizacióny toma de decisiones en ingeniería, economía, administración de empresas, finanzas y negocios. La aplicación de-tallada de las desigualdades en optimización es estudiada por la investigación de operaciones, que forma parte delcurrículo de muchas carreras de negocios e ingeniería.

En esta unidad, estudiarás los conceptos básicos de desigualdades y los aplicarás para resolver problemas rela-cionados con la optimización.

252 Unidad 4: Desigualdades

Invertir en la bolsa de valores

Una empresa internacional dispone de $210,000 dólares para invertir en la bol-sa de valores. Su asesor financiero le recomienda dos tipos de acciones. Lasacciones tipo A, que tienen un rendimiento del 10% anual, y las del tipo B, conun rendimiento del 8% anual. La empresa, junto con su asesor financiero, de-ciden invertir un máximo de $130,000 dólares en las acciones de tipo A y porlo menos $60,000 en las acciones de tipo B. Además, el asesor financiero quiereque la inversión del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B, debido ala incertidumbre y al riesgo existente entre una y otra acciones. La empresaquiere determinar la distribución de la inversión para obtener el máximo ren-dimiento anual.

Al terminar la sección se te pide que resuelvas con tu equipo este problema; pa-ra ello, deberán investigar lo relacionado con la programación lineal y su solu-ción mediante el método gráfico para dos variables.

4.1 Desigualdades

Yo protesto sobre todo del uso que sehace de una cantidad infinita como

cantidad completa, lo que en matemáti-cas jamás está permitido. El infinito es

sólo una forma de hablar, en la quepropiamente debería hablarse de límites.

Carl Friedrich Gauss

Introducciónn

Hasta ahora la mayor parte del trabajo se ha realizado con ecuaciones oigualdades, así como la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Enesta sección se combinarán algunas nociones introductorias de funciones,sistemas de ecuaciones lineales que, junto con alguna información sobredesigualdades, ayudarán a resolver problemas prácticos reales en el cam-po de la ingeniería, de la economía, de la administración, de las finanzasy de los negocios, todo encaminado a la optimización y a la toma de deci-siones. El siguiente problema muestra una aplicación del uso de las des-igualdades:

2534.1 Desigualdades

Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos

En particular, el sistema de los números reales denotado con la letra R, consta de un con-junto de elementos, una o más relaciones que establecen cierta comparación entre loselementos del conjunto y una o más operaciones (en este caso, la adición (+) y la multi-plicación (×)), además de una lista de reglas básicas que rigen el comportamiento de loselementos bajo estas operaciones. Algunos sinónimos para el término regla son axiomas,postulados, propiedades y teoremas. Aquí el término relación se define intuitivamentecomo la comparación entre los elementos del sistema de los números reales y se lleva acabo entre un par de ellos a la vez, conforme a unas reglas determinadas llamadas pro-piedades, que definiremos después. Quizá te preguntes, ¿qué rige el comportamiento delos números reales? La estructura de cualquier sistema matemático y en particular delsistema de los números reales tiene reglas, igual y como ocurre con las reglas de undeporte. Ahora examinemos las “reglas” llamadas axiomas de orden.

El grupo de axiomas de orden es un concepto por el cual se establece una ordenaciónentre los números reales. Tal ordenación permite decidir, dados dos números reales, cuáles mayor o menor. Los axiomas de orden nos ayudarán, a partir del concepto intuitivo denúmero positivo que tenemos, a definir los conceptos de las relaciones “mayor que” y“menor que” desde el concepto de número positivo. Consideremos el conjunto de los nú-meros reales positivos denotado por . El lector debe ser capaz de inferir que el con-junto es un subconjunto de los números reales . Pediremos que esteconjunto cumpla con las siguientes tres “reglas”, llamadas axiomas de orden:R+

R R+ ⊂( )R+

R+

Objetivos


• Trazar números reales sobre la recta numérica y definir su orden medianteel uso correcto de los símbolos de desigualdades mayor que > o menor que <.

• Identificar correctamente desigualdades lineales.• Enunciar y aplicar las propiedades de las desigualdades.• Encontrar el conjunto solución de una desigualdad de primer grado con

una variable.• Resolver desigualdades lineales, cuadráticas y algunas racionales expre-

sando el resultado en forma de desigualdad, gráfica en la recta numérica,intervalo y conjunto solución (C. S.).

• Resolver problemas reales que involucren el uso de desigualdades.

Axioma 1. Si , también y .

Axioma 2. Para todo y , , o bien, pero no ambos.

Axioma 3. , es decir, el 0 no es considerado número positivo.0 ∉ +R

− ∈ +a Ra ∈ +Ra ≠ 0a ∈R

( )ab ∈ +R( )a b+ ∈ +Ra b, ∈ +R

Una vez establecidos estos axiomas de orden, definiremos los símbolos <, >, ≤ y ≥, llama-dos, respectivamente (y leídos de izquierda a derecha cada uno), menor que, mayor que,


menor o igual que y mayor o igual que. Los símbolos <, >, ≤ y ≥ se conocen como sím-bolos de desigualdad. Además, con los axiomas de orden se logran demostrar todas lasreglas usuales del cálculo de desigualdades, de las cuales las más importantes se tratanen el siguiente apartado de esta sección 4.1.

Definiciones de menor que y mayor que, menor o igual que y mayor o igual que

1. Si a y b son números reales, entonces a es menor que b, lo que se escribeasí: , si y sólo si existe un número real positivo k, tal que , o bien,

. Es importante que el lector observe que se ha dado una definiciónequivalente, la cual establece: si y sólo si es positivo. Obsérve-se también que esta relación se describe diciendo que b es mayor que a ocomo .

2. Si a es mayor que b, se escribe , lo que significa que hay un número realpositivo k, tal que , o bien, , es decir, si y sólosi es positivo.

De tales dos definiciones, tenemos los siguientes casos especiales:

a) a > 0 si y sólo si a es positivo.

b) a < 0 si y sólo si a es negativo.

c) Si a ≥ 0, se dice que a es no negativo, lo que significa que a es positivo o 0.

Esto último permite definir:

3. La desigualdad a ≤ b se lee como a es menor o igual a b, es decir; o lo que se define así: a ≤ b si y sólo si existe un número real no negativo, talque . Esta definición difiere de la definición 1 en que k ahora pue-de ser 0. De manera análoga, la desigualdad a ≥ b se define como b es ma-yor o igual a a.

a b+ =k

a b= ,a b<

a b−a b>a b− = ka b− =k

a b>

b a>

b a−a b<b a− = k

a b+ =ka b<

Las desigualdades simultáneas y se escriben generalmente, en forma breve,como . De manera análoga se dan interpretaciones para ,y .

Tales definiciones no te ofrecerán una visión clara a menos que tengas experiencia ensu uso, por lo que te ofrecemos los siguientes ejemplos:

Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades

a) , dado que es positivo.

b) , dado que es positivo.

c) , dado que = es positivo.

d) , dado que es positivo.3 0 3− =3 0>

1 2+1 2− −( )− <2 1

− − − = − + =3 8 3 8 5( )− < −8 36 4 2− =6 4>

a x b≤ ≤a x b< ≤a x b≤ <a x b< <

x b<x a>


e) , dado que es positivo, o bien; , en donde −7 es

negativo.

f) , dado que es positivo o 0. Note el lector que es posible que dé 0.

g) , dado que es 0 o positivo.

Los últimos dos ejemplos son casos especiales de las siguientes propiedades generales:

a > 0 si y sólo si a es positivo.a < 0 si y sólo si a es negativo.

Como recordarás, hay una correspondencia uno a uno entre los números reales y los pun-tos de una recta, llamada recta numérica o recta de los números reales, lo cual significa que:

1. Cada punto de la recta dada se asocia con uno y sólo un número real.

2. Cada número real se asocia con uno y sólo un punto de la recta dada.

Así que los símbolos de desigualdades < y > tienen una interpretación geométrica en larecta real o recta numérica. Si , significa que a esta a la izquierda de b; si significa que sobre la recta de los números reales c está a la derecha de d, como se mues-tra en la siguiente figura:

Un concepto relacionado con este tema es el de intervalo, que ofrece una convenientenotación para las desigualdades. Si consideramos un conjunto continuo sobre la recta nu-mérica, es decir, un conjunto que incluya todos los puntos que corresponden a los númerosracionales e irracionales, comprendido entre dos números (y posiblemente los incluya aellos también), entonces nos referiremos a este conjunto como un intervalo de la recta nu-mérica; éste será representado por una línea continua. Se muestran estos conceptos en lasiguiente tabla:

bda c

c d>a b<

− − − = − + =5 5 5 5 0( )− ≥ −5 5

7 4 3− =4 7≤

− − = −7 0 70 7 0 7− − = +( )− <7 0

Notación de des-

igualdad

Gráfica (1) Recta numérica

o real


o realConjunto solución

Notación de

intervalo

( (a b a b Se lee: “El conjunto

solución es igual alconjunto de números

Intervalo reales, tales que abierto y x < b”

x a>

C.S = ∈ < <{ }x a x bRa x b< <a b,( )

Tabla 4.1


Notación de des-

igualdad


o real



Notación de

intervalo

Intervalo Se lee: “El conjuntosemicerrado solución es igual al con-o junto de números reales,semiabierto tales que y ”

Intervalo Se lee: “El conjuntosemiabierto solución es igual al o conjunto de números reales,semicerrado tales que y ”

Se lee: “El conjuntosolución es igual al con-

Intervalo junto de números reales,cerrado tales que y ”

Intervalo Se lee: “El conjuntoinfinito solución es igual al semicerrado conjunto de números*El símbolo reales tales que ”∞ (se lee“infinito”) no es unnúmero. Nunca seCuando se escribiráescribe

,se refiere aun intervalo que empieza en a ycontinúa de maneraindefinidahacia laderecha. Nunca seescribirá

.a, ∞[ ]

a, ∞[ )a x≤ ≤ ∞

x a≥x a≥

C.S. = ∈ ≥{ }x x aRa, *∞[ )

x b≤x a≥

C.S. = ∈ ≤ ≤{ }x a x bRa x b≤ ≤a b,[ ]

x b≤x a>

C.S. = ∈ < ≤{ }x a x bRa x b< ≤a b,( ]x b<x a≥

C.S. = ∈ ≤ <{ }x a x bRa x b≤ <a b,[ )a ba b

[ )

a b

[)a b

a b

[[a b

a

[a


Notación de des-

igualdad


o real



Notación de

intervalo

Intervalo Se lee: “El conjuntoinfinito solución es igual alabierto Nunca se conjunto de números

escribirá reales, tales que ”Nunca seescribirá

.

Intervalo Se lee: “El conjuntoinfinito Nunca se solución es igual alabierto escribirá conjunto de númerosNunca se reales, tales que ”escribirá

.

Intervalo Se lee: “El conjuntoinfinito Nunca se solución es igual alsemicerrado escribirá conjunto de números

reales, tales que ”Nunca seescribirá

.−∞[ ], b

x b≤−∞ ≤ ≤x b

C.S. = ∈ ≤{ }x x bRx b<−∞( ], b

−∞[ ), b

x b<− ∞ ≤ <x b

C.S. = ∈ <{ }x x bRx b<−∞( ), b

a, ∞( ]

a x< ≤ ∞x a>

C.S. = ∈ >{ }x x aRx a>a, ∞( )

a

(a

)b b

[b b

Si un intervalo no tiene “límite derecho” (o “límite superior”), como es el caso del con-

junto de todos los números reales mayores que 4, es decir, , escribiremos

. Toma en cuenta que el símbolo ∞ no es un número, sólo es un símbolo. Se pre-

senta una situación similar cuando ; en este caso escribimos .

Ejemplos sobre intervalos

En los siguientes ejemplos escribiremos los intervalos de la columna izquierda en nota-ción de desigualdad, graficaremos en la recta numérica y daremos una breve explicacióndel conjunto que representa dicho intervalo:

− ∞( ), 4x x∈ <{ }R 4

4, ∞( )x x∈ >{ }R 4


Notación de

desigualdad

Gráfica recta numérica

o realDescripción del conjunto

Notación de

intervalo

La desigualdad denotaa todos los números realesmenores o iguales a 3.

La desigualdad significa que ya la vez . Esta dobledesigualdad denota a todoslos números reales entre −3y 4, incluyendo a −3, pero no a 4.

La desigualdad de-

nota a todos los números rea-

les, tales que y

Esta doble desigualdad indicatodos los números reales

comprendidos entre y ,

pero sin incluirlos.

La desigualdad denota a todos los númerosreales mayores a −2 sin llegara ser −2.

x > −2x > −2− ∞( )2,

53

12

x < 53

x < 12

12

53

< <x12

53

< <x12

53

,⎛⎝

⎞⎠

x < 4x ≥ −3

− ≤ <3 4x− ≤ <3 4x−[ )3 4,

x ≤ 3x ≤ 3− ∞ ]( ,3

0−1−2 1 2 3 4 5

0−1−2 1 2 3 4 5−3−4−5

0−1 1/2 1 5/3 2 3

0−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5

En la sección de ejercicios y problemas se te pedirá que, a partir de la desigualdad o elconjunto solución, escribas la notación de intervalos.

Propiedades de las desigualdades

El conjunto solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números reales delconjunto de sustitución que hacen verdadera la desigualdad. Cualquier elemento del con-junto solución se llama solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad es encon-trar su conjunto solución. Al igual que en el proceso de solución en las ecuaciones de launidad anterior, se deben realizar las operaciones y “reglas” con desigualdades que produz-can una desigualdad equivalente más simple, y continuar el proceso hasta que se logreuna desigualdad cuya solución sea evidente. Para resolver desigualdades se necesita enun-ciar y demostrar ciertas “reglas”, a las que llamamos propiedades de las desigualdades.


De los axiomas de orden expuestos se pueden deducir o demostrar estas reglas del cál-culo con desigualdades, entre las cuales las más importantes se enuncian a continuacióncomo propiedades de las desigualdades:

Propiedades

1. Propiedad de la tricotomía. Exactamente una de las siguientes relacionesse verifica para dos números reales cualesquiera a y b: o ó

.2. Propiedad transitiva. Si y , entonces para todos los nú-

meros reales y c.3. Propiedad aditiva. Si , entonces , para cualesquiera nú-

meros reales y c.4. Propiedad multiplicativa.

5. Propiedad del recíproco.

6. Propiedad del cuadrado. Si entonces .a2 0>a ≠ 0

a)Si entonces siempre que

b)Si entonces siempre que

a ba b

ab

a ba b

ab

< < <

< > >

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

,

1 1 0

1 1 0

Observa la diferenciaentre a) y b)

a)Si y entonces para cualquier b)Si y entonces para cualquier

a b c ac bc a ba b c ac bc a b

< > < ∈< < > ∈

⎧⎨⎩

⎧⎨⎪

⎩⎪

00, ,, ,

RR

Observa la diferenciaentre a) y b)

a b,a c b c+ < +a b<

a b,a c<b c<a b<

a b>a b<a b=

Las propiedades también se cumplen para desigualdades similares si se invierten los sig-nos de las desigualdades o se cambian < por ≤ y > por ≥. Las propiedades aplicadas a lasoperaciones con desigualdades son similares a las propiedades de campo de los númerosreales que se aplican en las ecuaciones. Cuando trabajes con desigualdades, debes tenerespecial cuidado con el uso de las propiedades de multiplicación (o división).

El sentido de la desigualdad se invierte cuando se multiplican (o dividen) am-bos lados de la proposición de una desigualdad por un número negativo.

Es útil conocer una demostración de la propiedad multiplicativa; por tal razón, te lapresentamos en el siguiente ejemplo:


Ejemplo de la demostración de una propiedad

Demostración de la propiedad multiplicativa inciso a). Si a < b, entonces por definiciónde <, (es decir, b − a es positivo). Si , por el axioma de orden 1, se pue-de multiplicar por c obteniéndose . Pero ; por lotanto, , lo cual significa que o equivalentemente .

Ahora te ofrecemos la demostración de la propiedad multiplicativa del inciso b);para ello utilizamos la forma alterna de la definición de la desigualdad <. Hacemos estocon el objeto de señalar que en matemáticas hay diferentes esquemas para hacer las cosascorrectamente, todas ellas válidas cuando se usan de forma adecuada las “reglas”.

Demostración de la propiedad multiplicativa inciso b). Si , entonces, por defi-nición de <, hay un número positivo k, tal que . Ahora, si multiplicamos am-bos miembros de por un número negativo c , se obtiene ,es decir, , siendo negativo (ya que k es positivo y c es negativo), por lo que espositivo. Por lo tanto, por definición de <, se tiene que , o bien, .

Solución de desigualdades

Las propiedades presentadas en el apartado anterior se utilizan cuando se requiere resol-ver desigualdades de números reales que comprendan a sus conjuntos solución. En granmedida, las desigualdades se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero aho-ra teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Veamos el proceso en los si-guientes ejemplos.

ac bc>bc ac<−kckc−kc

ac c bc+ =kc <( )0a b+ =ka b+ =k

a b<

ac bc<bc ac>bc ac− > 0b a c bc ac−( ) = −b a c−( ) > 0b a−( )

c > 0b a− > 0

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad lineal: y expresa la solución en forma de:

a) Desigualdadb) Gráficac) Intervalod) Conjunto solución (C. S.)

6 69 24 16x x+ ≥ +

6 15 84 24 16x x− + ≥ +

3 2 5 84 24 4 4x x−( ) + ≥ + ( )

12 2 54

7 12 2 43

x x− +⎛⎝

⎞⎠ ≥ +⎛

⎝⎞⎠

2 54

7 2 43

x x− + ≥ +

2 54

7 2 43

x x− + ≥ +

solución


a) En forma de desigualdad el conjunto solución es:

b) En forma gráfica:

c) En forma de intervalo:

d) El conjunto solución es:

Ejemplo 2

Resuelve la desigualdad lineal y expresa su solución en forma de:


Procedemos de manera similar al ejemplo 1, sólo que aquí hay que despejar la variable x de la parte deen medio; para ello hay que hacer que su coeficiente sea 1.

Restamos 5

Se multiplicó cada miembro por . El signo de las desigualdades cambió

porque se multiplicó en ambos lados por un n

− 43

úúmero negativo.

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−( ) −⎛⎝

⎞⎠ > − −⎛

⎝⎞⎠ ≥ −⎛

⎝⎞⎠6 4

334

43

3 43

x

− < − ≤6 34

3x

− − < − − ≤ −1 5 5 34

5 8 5x

− < − ≤1 5 34

8x

− < − ≤1 5 34

8x

C.S. = ∈ ≤⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x xR92

x ≤ 92

x ≤ −−

4510

− ≥ −10 45x

6 16 24 69x x− ≥ −

0−1−2−3−4 1 2 3 4 5−59/2

solución


a) En forma de desigualdad, el conjunto solución es: .

b) En forma gráfica:

c) En forma de intervalo:

d) El conjunto solución es:

Ejemplo 3

Resolver la desigualdad racional y expresar la solución en forma de:


Para determinar el conjunto de valores x, esta variable debe estar en el numerador. Para cumplir el ob-jetivo de que la variable x esté en el numerador, podemos usar la propiedad 5 inciso a) o inciso b). ¿Cómosaber cuál de estas posibilidades usar? Para contestar la pregunta, debes notar que el 2 del lado derecho

de la desigualdad es positivo y como es mayor que 2, también debe de ser positivo; así que 1

es positivo, por lo que 3x tiene que ser positivo; por lo tanto, los valores de x son necesariamente po-sitivos. En consecuencia, hay que escoger la propiedad 5 inciso b); tenemos que:

equivale a , es decir: ,

si multiplicamos por el inverso multiplicativo de 3: ó .

Recuerda que los valores de x son positivos, por lo que x > 0. Además , por lo cual ;

aquí decimos que los valores de x son tales que x es mayor que 0 y menor que un sexto. Expresamos lasolución en forma de:

0 16

< <xx < 16

x < 16

x < ⎛⎝

⎞⎠⎛⎝

⎞⎠

13

12

3 12

x <31

12

x <13

2x

>

13x

13x

13

2x

>

C.S. = ∈ − ≤ <{ }x xR 4 8

−[ )4 8,

− ≤ <4 8x

− ≤ < ( )4 8x S lo se reescribi y es equivalente a la expresi n anterioró ó, ó

8 4> ≥ − ⎧

⎨⎩

xSe acostumbra por notación dejar las desigualdades apuntando hacia la izquierda

0−1−2−3−4 1 2 3 4 5−5 6 7 8

solución


a) Desigualdad:

b) Gráfica:

c) Intervalo:

d) Conjunto solución:

Ejemplo 4

Encuentra todos los valores reales de x para los que se cumple: .

La desigualdad a resolver es de forma racional (cociente de polinomios). Hay diferentes técnicas pararesolver desigualdades racionales, la que aquí seguiremos consiste en analizar los signos que des-cribiremos a continuación. Para aplicar las propiedades de las desigualdades correctamente es necesariodeterminar si el denominador x − 6 es positivo o negativo, en tanto que automáticamente se descarta x = 6(¿por qué?). Después tendríamos que analizar varios casos cuyo procedimiento sería un poco engorroso;por lo tanto, lo haremos de la siguiente manera:

Nota: Resolver la desigualdad dada originalmente es equivalente a resolver la desigualdad

racional

Ahora buscamos los valores de x que hagan que el miembro izquierdo sea mayor estrictamente que 0(es decir, positivo). ¿Cómo deben ser los signos del numerador 2x + 7 y del denominador x − 6 para quesu cociente sea positivo? Ambos, numerador y denominador, deben tener el mismo signo.

2 76

0x

x

+−

>

−−

<196

2x

−( ) − +−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

> −( ) +−

>1 2 76

1 0 2 76

0x

x

x

x;

− − −( )−

< − − +−

< − −−

< − +( )−

< − +−

<19 2 66

0 19 2 126

0 2 76

0 2 76

0 2 76

0x

x

x

x

x

x

x

x

x

x; ; ; ;

−−

− < ( )196

2 0x

Combinamos el primer miembro para obtener una fracción simple

−−

< ( )196

2x

Pasamos todos los miembros no nulos al miembro izquierdo

−−

<196

2x

C.S. = ∈ < <⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x xR 0 16

0 16

,⎛⎝

⎞⎠

0 16

< <x

0 1−1/6 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6


Con esta técnica de análisis de signos debes determinar dónde es positiva, negativa o nula la ex-presión racional. Los valores de x, donde la expresión racional se anula o se indefine (el numeradores 0), se llama valor crítico.

Nota: Un valor crítico en una expresión racional se presenta cuando el numerador o el denominadores cero.

Análisis de signos para 2x + 7:

entonces

es indefinida si

2 76

0 2 7 0

2 76

6 0

x

xx

x

xx

+−

= + =

+−

− =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

Punto crítico

2x + 7 es positivo cuando

2x + 7 es negativo cuando

2x + 7 = 0 2x + 7 > 0 2x + 7 < 0

x < − 72

x > − 72

x = − 72

Te mostramos a continuación un resumen de este análisis de signos sobre la recta numérica real:

−7/2

−−−−− + + + + +

Valor crítico

signo de 2x + 7

x

Por lo que 2x + 7 es negativo para todos los valores de x a la izquierda de −7/2 y es positivo para to-dos los valores de a la derecha de −7/2.

Análisis de signos para x − 6

Punto crítico

x – 6 es positivo cuando

x – 6 es negativo cuando

x − 6 = 0 x − 6 > 0 x − 6 > 0

x = 6 x > 6 x < 6


Por lo tanto, x − 6 es negativo para valores de x a la izquierda de 6 y positivo para valores de x a la dere-cha de 6.

Combinando los resultados, llegamos a una solución simple del problema original. Para determinarla solución de forma fácil se toman en cuenta los siguientes pasos:

Paso 1. Obtienes los valores críticos:

Paso 2. Señalas los valores críticos en una recta numérica real:

Paso 3. De izquierda a derecha, determinas los intervalos:

Paso 4. Elaboras una tabla como la siguiente, escogiendo cualquier valor del intervalo que te per-mita determinar el signo de la desigualdad a resolver.

− ∞ −( ) −( ) ∞( ), ; , ; ,7 2 7 2 6 6

x

x

= −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

72

6

6

−−−−− + + + + +

Valor crítico

signo de x − 6

x

0−1−2−4 1 2 3 4 5 6−5−7/2

Intervalo

Valor de prueba x = −4 x = 0 x = 7

Signo de 2x + 7 –– + +

Signo de x − 6 __ __ +

Signo resultante de + __ +2 7

6x

x

+−

6, ∞( )−( )7 2 6,− ∞ −( ), 7 2

solución


Las soluciones de son los valores de x para los cuales el signo resultante es positivo. Así, la

solución de esta desigualdad es la unión .

Notas:

1 En general, definiremos como valor crítico o valor extremo de la expresión (ax + b) al valor de xpara el cual ax + b = 0.

2 La expresión ax + b = 0 tiene un signo a la izquierda del valor crítico en una recta numérica real yel signo opuesto a la derecha .

Ejemplo 5

Resuelve la desigualdad cuadrática 2x2 − 9 ≤ 3x.

Debes escoger la técnica de solución con la cual te sientas más cómodo, es decir, cuando resuelvas de-sigualdades cuadráticas o desigualdades racionales como las del ejemplo 4, podrás usar una tabla o undiagrama de análisis de signos; cuidado, la idea es no usar ambos. Aquí tenemos:

2x2 − 9 ≤ 3x, desigualdad dada.

2x2 − 3x − 9 ≤ 0, un miembro de la desigualdad se hace 0 trasponiendo términos.

Hallamos ahora los valores críticos x. Estos valores son: y x = 3. Los puntos correspondientes

en una recta numérica determinan los intervalos que no se traslapan: .

Observa que la parte de un enunciado de desigualdad se satisface en los puntos críticos o extremos. Comoen el ejemplo 4, hacemos ahora el correspondiente análisis de signos, de donde obtenemos la siguien-te tabla.

− ∞ −( ) −( ) ∞( ), ; , ; ,3 2 3 2 3 3

x = − 32

a ≠( )0

− ∞ −( )∪ ∞( ), ,7 2 6

−−

<196

2x

0−1−2−4 1 2 3 4 5 6−5−3/2


Ahora podemos dar la solución:

: Notación de desigualdad.

: Notación de intervalo.

: Gráfica.

: Conjunto solución.C.S = ∈ − ≤ ≤⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x xR32

3

−[ ]3 2 3,

− ≤ ≤32

3x

Intervalo

Valor de prueba x = −2 x = 0 x = 4

Signo de 2x + 3 –– + +

Signo de x − 3 __ __ +

Signo resultante de + __ +2 3 3

2 3 92x x

x x

+( ) −( ) =− −

3 , ∞[ )−[ ]3 2 3,− ∞ −( ], 3 2

0−1−2−4 1 2 3 4 5 6−5−3/2

Resolución de problemas que involucran desigualdades

Se pueden resolver muchos problemas prácticos usando técnicas algebraicas; de hecho,no hay un método de resolución que funcione para resolver todos los problemas de lamisma forma. Sin embargo, se logran formular estrategias para organizar el planteamien-to de un problema, llegar a una solución e interpretar.

Lee con atención la siguiente guía:

Estrategia para resolver problemas

I. Entender el problema:

1. Lee el problema con detenimiento (tantas veces como sea necesario), hastaque lo entiendas, sepas lo que vas a encontrar y lo que tienes como datos.

Ejemplo de una aplicación resuelta con una desigualdad


2. Haz diagramas, “dibuja” la situación con figuras para determinar los datosy las incógnitas o variables; éstas últimas las encontrarás en la pregunta o loscuestionamientos del enunciado.Preguntas que te pueden ayudar: ¿Qué estoy tratando de encontrar? ¿Quédatos podría necesitar?

II. Elaborar y llevar a cabo un plan:

1. Busca las fórmulas y/o ecuaciones que relacionen los datos con las incóg-nitas o variables.

2. Representa mediante una variable, por ejemplo “x”, una de las incógnitasy trata de representar todas las demás (si es que las hay) en términos de x.Éste es un paso importante, por lo que debes realizarlo con cuidado.

3. Formula una desigualdad (o ecuación) que relacione las incógnitas con losdatos.

4. Resuelve la desigualdad y escribe las respuestas de todas las partes de pro-blema propuesto.Preguntas que te pueden ayudar: ¿Cuáles estrategias podría utilizar pararesolver el problema?¿Cómo puedo llevar a cabo correctamente las estrategias que he seleccio-nado?

III. Encontrar la respuesta y comprobarla:

1. Verifica e interpreta todas las soluciones en términos del problema origi-nal y no sólo en cuanto a la desigualdad formulada en el punto 3 (se pu-do haber cometido un error al establecer la desigualdad en ese punto).Preguntas que te pueden ayudar: ¿Concuerda la solución propuesta conlos datos?¿Es razonable la respuesta?¿Se ha determinado con claridad la respuesta?

Ejemplo 1

Una compañía A renta autos en $250 dólares por semana, sin ningún cargo extra por kilometraje reco-rrido. Un auto similar puede ser rentado en la compañía B por $150 dólares por semana, más $0.25 porcada kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben manejar en una semana para que el pago por larenta del auto en la compañía B sea mayor que el pago de la compañía A?

solución


Resolvemos la desigualdad:

Respuesta e interpretación: Se deben manejar más de 400 kilómetros a la semana para que el pagopor la renta del auto sea mayor en la compañía B.

150 0 25 2500 25 250 1500 25 100

10 25

0 25 10 25

100

400

+ >> −>

( ) > ( )

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

...

..

.

x

x

x

x

x

CompañíaB

Renta deautos

DATOS

CompañíaA

$150 dlls a la semana+

$0.25 por kilómetrorecorrido

$250 dlls por semana

INCÓGNITA

FORMULACIÓN

Ejercicios

y problemas


Expresa los siguientes intervalos como una desigualdad en la variable x (si esto es posible) y grafica en larecta numérica real.

1. (−5, 7] 2. [−8, 4] 3. (− ∞, ∞)

4. 5. 6.

Escribe cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalos y grafica en la recta numéricareal.

7. 8. 9.

10. −4 ≤ x ≤ 4 11. 12. −7 < x < 8

Expresa las siguientes gráficas como una desigualdad en la variable x y en forma de intervalo:

13. 14.

15. 16.

17. 18.

Resuelve cada una de las siguientes desigualdades y expresa las soluciones en términos de intervalos:

19. 5x − 1 ≥ 2x + 4 20. −4 < 5x + 6 ≤ 21 21. 2x + 5 ≤ 3x − 7

22. 5x − 2 ≥ 14 − 3x 23. 6x − 5 ≤ −10x − 4 24. −2 ≤ x − 5 < 7

32

3≤ <x

x ≤ 125

− < ≤72

23

xx > 53

−⎡⎣⎢

∞32

, )52

8,⎡⎣⎢

⎞⎠

− ∞⎛⎝

⎤⎦⎥

, 43

10−1 2

−1/2

10−1−2 2 3

10−1−2 2 3 4 0 1−13/5

0−1−2−3 1 0 1/6 1/3 1/2 2/3−1/6


25. 6 ≤ −3(2x − 4) < 12 26. 3(x − 1) − 2(x + 3) < 4x 27. 3(1 − 2x) < −2(x + 3) − 4

28. −9 < 2x + 1 ≤ 1 29. −2 ≤ 4 − 2(x + 3) ≤ 5 30. 4x − 3 < −2(1 − x)

31. 3(4x − 1) ≥ 2(x + 4) 32. 7x − 8 < 2 − 2 − 3x 33. 4 − 3x ≥ 13

34. 35. 36.

37. 38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45.

46. 47. 48.

49. 50. 51.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60. x2 > 9

61. x2 + 1 > 2x 62. 2x > 3x2 − 16 63. 5x2 + 13x − 6 < 0

64. x2 ≤ 4x 65. x2 + 6x ≥ 0 66. 3x2 − 13x > 10

67. x2 + 5x ≤ 0 68. x2 < 10 − 3x 69.

70.

Establece y resuelve las desigualdades adecuadas para los siguientes problemas:

71. Para que una operación comercial sea rentable se requiere que el precio de venta de los artículos sea,cuando menos, un 30% mayor que el costo. Un comerciante está vendiendo una cierta marca de tosta-dor a un precio de $199.90. Determina el intervalo sobre el que varían los precios a los que otro comer-ciante puede ofrecer el mismo artículo, si éste desea venderlo a un precio inferior y si el costo en estecaso es de $146.75.

33

22x x−

≤+

21

12x x+

≥−

−+

>510 3

0x

x

x

+−

≥31

0

3 14

1x

x

++

≤23

1x

x +≥3

50−

+≤x

x

121

02−( )>

x

−−

>24 3

0x

43 2

0x +

≥

x

x14

−≤1

23

x<1 3 4

x− <

x x

73 4

31− > − +x x x

32

2 44− − ≤ −2 3

458

x x+ > −

x x− − >34

12

− − ≤ +24

13

x x9 13

4 12

+ ≥ −x x

3 2 35

7≤ − <x0 4 13

2≤ − <x4 2

52− < − −x

x

6 23

14

x − ≤ −14

5 6x + ≥ −5 27

15− >x

4 73

18− ≤x54

23

1x − <23

3 1x − ≥ −



72. El propietario de una casa desea recibir por ella no menos de $2,000,000.00, y la ofrece a una agenciade bienes raíces que cobra una comisión del 6%. Casas similares se ofrecen a un precio total inferior a$2,500,000.00. ¿Cuál es el intervalo de precios a los que podría ofrecerse la casa? ¿Cuál es el interva-lo de variación de las comisiones de los corredores si la casa se vendiera?

73. La ecuación relaciona las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius.

¿Qué valores de F corresponden a los valores de C, tales que 30 ≤ C ≤ 40?

74. Vas a invertir $25,000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes inver-tir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos de $3,600?

75. Para que una empresa obtenga utilidades, es evidente que el ingreso R debe ser mayor que el costo to-tal C, es decir, R > C. Si una compañía distribuye CD vírgenes y su ecuación de costos totales(transporte, almacenamiento y etiquetado individual de cada CD) es C = 300 + 5.5x y su ecuación deingresos (precio de venta por cantidad vendida de CD’s) R = 8x, donde es el número de CD vendidosa la semana, ¿Cuántos discos se deben vender para que la compañía obtenga utilidades?

76. Un fabricante tiene un costo fijo de $10,000 y un costo unitario de fabricación de $21.00. Si el preciode venta es de $32.00 por unidad, su utilidad unitaria es de $11.00 y su utilidad total es R = −10,000 +11x, donde x indica el número de unidades vendidas. ¿Para qué valores de x la utilidad total es de por lomenos $54,000?

C F= −( )59

32

Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes.

1. Resuelvan el problema Invertir en la bolsa de valores, presentado en la introducción de es-ta sección.

2. Demuestren las propiedades de las desigualdades 1, 2, 3, 5 y 6, utilizando las propiedadesdemostradas, los axiomas de campo de los números reales y los tres axiomas presentados enesta sección.

3. Discutan la falacia en el siguiente razonamiento; determinen el error:Razonamiento: Supongan que x > y, x > 0, y > 0 (es decir, x y y son positivos).

x > y

xy > y2

xy − x2 > y2 − x2

x(y − x) > (y − x)(y + x)x > y + x

0 > y

Pero se supuso que y > 0, ¿cuál es el error?


1. Indica la desigualdad que corresponde a la gráfica:

a) −3x < x ≤ 1 b) −3 > x ≤ 1 c) −3 ≤ x < 1 d) x ≥ 3

2. Indica la opción que contiene la gráfica correcta que describe la desigualdad: x < −4:

a) b) c)

d) e)

3. Señala la opción que contiene la desigualdad que expresa el intervalo: :

a) b) c) d)

4. Encuentra la opción que contiene la solución a la desigualdad: 8 ≤ 7 − 3x ≤ 16.

a) −3 ≤ x ≤ − 1/3 b) −23/3 ≤ x ≤ −5 c) x ≤ −3 o x ≥ −1/3

d) x ≥ −1/3 e) x ≥ −3/5 y x ≤ −3

5. Determina la opción que proporciona la solución a la desigualdad: 2(4 −3x) ≥ 10 + 4(x + 1).

a) x ≥ 1/5 b) x ≥ −1/5 c) x ≤ −3/5

d) x ≥ 3/5 e) x ≥ 3/10

6. Halla la opción que da el conjunto solución de la desigualdad: .

a) x < −2/3 b) x > 2/3 c) x < 2/3

d) x > 1 e) x < 1

2 12

4 32

x x−−

< −

x ≤ 23

x < 23

23

≤ x23

< < ∞x

23

, ∞⎡⎣⎢

⎞⎠

0−1−2−3 1

0−1−2−3−4−5−6 1 0−1−2−3−4−5−6 1

0−1−2−3−4−5−6 1 0−1−2−3−4−5−6 1

0−1−2−3−4−5−6 1


7. Determina la opción que proporciona el conjunto solución de 3x2 ≥ 4x + 4.

a) b) c)

d)

8. Halla la opción que da el conjunto solución de la desigualdad: .

a) b) c)

d)

9. Cada desigualdad (ai) tiene su solución en alguno de los incisos (bj). Determina todos los paresque se correspondan entre las dos columnas:

(a1) x2 − 16 < 0 (b1) x < 4

(a2) 14 − 3x > 2 (b2) x ≤ −2 o x ≥ 2

(a3) (b3) −4 < x < 4

(a4) 2x + 3 ≤ 0 (b4)

(a5) x2 ≤ 4 (b5) x ≥ −1

(a6) 4 − 3x ≤ -(1 + 8x) (b6) −1 < x < 2

(a7) x2 < x + 2 (b7) −2 ≤ x ≤ 2

(a8) (b8)

(a9) 1 − x ≤ 2 (b9) x ≤ −1

(a10) −5 ≤ 3 − 2x ≤ 9 (b10) −3 ≤ x ≤ 4

10. Una compañía tiene que fabricar un total de 5000 unidades de un producto entre sus dosplantas A y B. En la planta A el costo por unidad combinados trabajo y material es de $2.50,mientras que para la planta B es de $3.00. Los costos fijos en la planta A son de $6,000 y en laplanta B son de $8,000. La compañía ha decidido que entre las dos plantas sean asignadosno más de $28,000 para los costos totales. Determina la opción que proporciona el mínimonúmero de unidades que debe producir la planta A.

a) 1871 b) 2000 c) 2500 d) 2545 e) 2546

x < − 32

x

x

2

244

0−+

≥

x ≤ − 32

42 3

2x

x +≥

− −⎡⎣⎢

⎞⎠

83

32

,

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ − ∞⎛⎝

⎞⎠, ,8

323

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ − ∞⎡⎣⎢

⎞⎠, ,8

332

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ − ∞⎛⎝

⎞⎠, ,12

732

x

x

−+

≤22 3

2

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ ∞⎡⎣⎢

⎞⎠, ,1

232

− ∞ −( ] ∪ ∞⎡⎣⎢

⎞⎠, ,2 2

3− ∞ −⎛

⎝⎤⎦⎥

∪ ∞⎡⎣⎢

⎞⎠, ,3

212

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ ∞[ ), ,23

2

Respuestas a los



1. −5 < x ≤ 7 2. −8 ≤ x ≤ 4

3. R. Todos los reales no se expresan en 4.desigualdad.

5. 6.

7. 8.

9. 10. [−4, 4]

11. 12. (−7, 8)

13. 14. −1 < x 3; (−1, 3]x ≥ − − ∞⎡⎣⎢

⎞⎠

12

12

, ,

32

3,⎡⎣⎢

⎞⎠

− ∞⎛⎝

⎤⎦⎥

, 125

−⎛⎝

⎤⎦⎥

72

23

,53

,∞⎛⎝

⎞⎠

x ≥ − 32

52

8≤ <x

x ≤ 43

0−1−2−3−4−5 1 2 3 4 5 6 7 0−1−2−3−4−5 1 2 3 4−6−7−8

0−1−2−3−4−5 1 2 3 4−6−7−8 0−1 1/2 1 2 4/3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−25/2

0 1 2 3 4 5 6−1−2−4−53/2

0 1 2 35/3 0−1 1−2−3−4 2/3−7/2

0 1 2−1 312/5

−1−2−3−4 2 41 30 5 6

0 1 2 3 43/2

−1−2−3−4 2 41 30−5−6−7 5 6 7 8


15. x < 4; (− ∞, 4) 16.

17. x > −3; (−3, ∞) 18.

19. 20. −2 < x ≤ 3 21. x ≥ 12

22. x ≥ 2 23. 24. 3 ≤ x < 12

25. 0 < x ≤ 1 26. x > −3 27.

28. −5 < x ≤ 0 29. 30.

31. 32. x < 1 33.

34. x ≥ 3 35. 36. x ≥ −6

37. x < −35 38. x ≥ −44 39.

40. 41. 12 ≥ x > 6 42. 9 ≤ x < 19

43. x ≤ −6 44. x ≥ −4 45. x < −7

46. 47. x ≥ 12 48. x < −14

49. 50. 51.

52. 53. 54. (− ∞, 1) ∪ (1, ∞)

55. (− ∞, −5) ∪ [3, ∞) 56. (− ∞, −3) ∪ [3, ∞) 57.

58. (− ∞, −3) ∪ [1, ∞) 59. 60. (− ∞, −3) ∪ (3, ∞)

61. (− ∞, 1) ∪ (1, ∞) 62. 63. −⎛⎝

⎞⎠3 2

5,−⎛

⎝⎞⎠2 8

3,

x < − 310

−⎛⎝

⎤⎦⎥

4 32

,

43

< x− <23

x

( , ] ( , )− ∞ ∪ ∞45

1( , ) ,− ∞ ∪ ∞⎛⎝

⎞⎠0 1

6( , ) ( , )− ∞ ∪ ∞0 1

7

x > − 124

x < − 143

x ≤ 524

x < 43

x ≤ 173

x ≥ 1110

x < 12

− ≤ ≤72

0x

x > 134

x ≤ 116

x ≥ 53

− < < −⎛⎝

⎞⎠

16

12

16

12

x ; ,

− ≤ ≤ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1 35

1 35

x ; ,


64. [0, 4] 65. (− ∞, −6) ∪ [0, ∞) 66.

67. [−5, 0] 68. (−5, 2) 69. (−1, 2) ∪ [5, ∞)

70. (− ∞, −12) ∪ (-2, 3) 71. $190.78 ≤ precio de venta del tostador ≤ $199.90

72. $ 2,120,000 ≤ precio de la casa 73. 86 ≤ F ≤ 10≤ $2,500, 000, 6% ≤ 7.075%

74. Al menos $20,000 debes invertir al 14% 75. Se deben vender más de 120 CDpara obtener al menos $3,600 de intereses. 76. Para x ≥ $5,818.18

− ∞ −⎛⎝

⎞⎠ ∪ ∞, ( , )2

35


1. c2. b3. b4. a5. c6. b7. a8. b9. a1 − b3

a2 − b1a3 − b8a4 − b4a5 − b7a6 − b9a7 − b6a8 − b2a9 − b5a10 − b10

10. b


4.2 Valor absoluto

De la misma manera que las flores nosbrindan múltiples propiedades naturales:belleza, color, aroma, etc., también el nú-mero nos brinda mucho más que un sim-ple “valor absoluto”; éste sostiene ademásun valor relativo (la forma de la frac-ción) y su localización específica dentrodel esquema general de los números.

Domingo Gómez1

Introducción

Es muy frecuente, en el cálculo diferencial e integral, tener que trabajar condesigualdades. Son de particular interés las que se relacionan con el concep-to de valor absoluto. En esta introducción comenzamos con una definicióngeométrica del valor absoluto. Si x es la coordenada de un punto de la rectanumérica real, la distancia (no dirigida) de x al origen es una cantidad no nega-tiva que se representa por |x| y se denomina valor absoluto de x. Por ejemplo,si |x| = 4, x puede ser −4 o 4.

1 Domingo Gómez es autor del libro La quinta operación aritmética, revolución del número.“…. aun los matemáticos de tiempos ancestrales tenían a su alcance la herramienta aritmética mássimple: la media racional (la quinta operación aritmética) para la resolución de problemas relacio-nados con ecuaciones de grados superiores”.

Más formalmente, el valor absoluto se define de la siguiente manera:

Valor absoluto de un número real x

xx x

xx x

=>=

− <

⎧⎨⎪

⎩⎪

si si si

00 0

0

�1�2 1 20�3�4�5�6 3 4

2794.2 Valor absoluto

Contabilidad: prueba de discrepancia de un presupuesto

El servicio de contabilidad de una empresa internacional efectuó una revisión pa-ra ver si los gastos reales de un departamento se diferenciaron de los costos he-chos en un presupuesto por más de $500 dólares o el 5%. Los costos hechos enun presupuesto y los costos reales se muestran en la siguiente tabla:

Así, el valor absoluto de un número nunca es negativo, siempre es un nú-mero positivo o 0; por ejemplo, |4| = 4, |−4| = −(−4),|0| = 0. De este modo,|x − 3| es siempre positivo o bien 0 para cualquier valor de x. Como ya se men-cionó, el valor absoluto puede interpretarse sobre la recta numérica como ladistancia entre el número 0 y el número x, sin tomar en cuenta el signo del nú-mero. Es decir, el valor absoluto de un número llega a considerarse como elvalor numérico. Ambas definiciones del valor absoluto, la geométrica comola formal, son útiles, como verás en esta sección.

Costos presupuestados: b Costos reales: a

Rubro o apartado

Tabla 4.2

Impuestos $37,640.00 $37,335.80

Reparaciones $62,550.50 $64,205.00

Renta de equipo $15,350.00 $15,350.00

Mantenimiento $2,150.20 $1,805.00

Diferencia: a – bRubro o apartado

Tabla 4.3

Impuestos 37,335.80−37,640.00 = −304.20

Reparaciones 64,205.00−62,550.50 = 1,654.50

Renta de equipo 15,350.00−15,350.00 = 0.00

Mantenimiento 1,805.00−2,150.20 = −345.20

El encargado de contabilidad hizo la diferencia entre la cantidad del costo real yla cantidad del costo presupuestado para cada rubro:

Para llevar a cabo una prueba de discrepancia de un presupuesto, al encargadode contabilidad sólo le interesa saber cuánto es la diferencia entre el costo real

Discrepancia = |a – b|Rubro

o apartado

5% del costo presupuestado

0.05b

Diferencia de $500 dólares

Sí o no

La diferencia es más del 5% del

costo presupuestado

Tabla 4.4 Prueba de discrepancia de un presupuesto


y el costo presupuestado; por ello, no importa si el costo presupuestado es mayor o me-nor que el costo real. El contador diseña la tabla 4.4 para determinar si el costo real pa-sa “la prueba de discrepancia de un presupuesto”.

Impuestos

Reparaciones

Renta de equipo

Mantenimiento

Observa que si una diferencia de la tabla 4.3 es negativa, ésta se hace positiva enla tabla 4.4. Otra manera de observarlo es: si un número en la tabla 4.3 es nega-tivo, el contador usa su parte opuesta (inverso aditivo) en la tabla 4.4; por otro la-do, si un número en la tabla 4.3 es positivo o 0, el contador no lo cambia.

Más tarde, en la sección de problemas para trabajar en equipo se les pedirá quereflexionen sobre el significado del signo (positivo o negativo) de las diferenciasen la tabla 4.3 y que completen los espacios de la tabla 4.4 para determinar si elcosto real pasa “ la prueba de discrepancia del presupuesto”.

Objetivos


• Aplicar el concepto de valor absoluto a la distancia entre dos puntos de unarecta numérica.

• Resolver ecuaciones que contienen valores absolutos. • Resolver desigualdades que contienen valores absolutos.

Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absolutode un número real

De acuerdo con la definición dada en la introducción de esta sección, tenemos:

1. |8| = 8, ya que 8 es un número positivo.


2. , ya que es positivo.

3. , ya que es negativo.

4. |3 − π| = −(3 − π) = 3 − π, ya que es negativo.

5. , ya que es negativo.

Se pueden generalizar los resultados de los ejemplos 2 y 3, así como podemos demos-trar la siguiente propiedad del valor absoluto: |b − a| = |a − b|. En efecto, si por ejemplob − a > 0 (b − a es positivo), entonces −(b − a) = (a − b) < 0 (a − b es negativo), por loque tenemos:

El caso b − a < 0 es similar.

Definición de distancia entre dos puntos deuna recta numérica real

Sean A y B dos puntos de la recta numérica real, con coordenadas a y b, respectivamen-te. La distancia entre A y B (llamada también longitud del segmento de recta que une Acon B) está dada por:

d(A , B) = |b − a|.

Dado que |b − a| = |a − b|, se observa que d(A , B) = d(B , A), por lo que para calcular ladistancia entre dos puntos de una recta numérica real, no importa cómo se marquen losdos puntos (el punto A puede estar a la izquierda o derecha del punto B). También se ob-serva que si A es el origen, entonces d(0 , B) = |b − 0| = |b|; luego |b| es igual a la distan-cia del punto al origen.

Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntosen la recta numérica real

Usa el valor absoluto para determinar la distancia entre los puntos que se indican:

1.

2.

3.

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

Con frecuencia se encuentran ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, algunas delas cuales tienen interpretación geométrica directa.

d163

1315

163

13 8015

6715

6715

, 1315

⎛⎝

⎞⎠ = − = − = − =

d − −( ) = − − −( ) = − + = =125 5 75 125 75 125 50 50, 7

d −( ) = − −( ) = + = =11 5 5 11 5 11 16 16,

b a b aa b a b b a

b a a b− = −− = − −( ) = −

⎧⎨⎩

→ − = −

− 34

− = − −⎛⎝

⎞⎠ =3

434

34

1 2−1 2 1 2 2 1− = − −( ) = −

2 1−2 1 2 1− = −


Considera la ecuación con valor absoluto |x − 5| = 3. Geométricamente |x − 5| repre-senta la distancia entre x y 5, por lo que |x − 5| = 3 indica que x es un número real cuyadistancia desde 5 es 3. Esto es,

equivalente a:

equivalente a:

Ahora bien, si requerimos resolver la desigualdad |x − 5| < 3, usamos la idea geométricade que x es un número cuya distancia a 5 es menor que 3; es decir,

o 2 < x < 8 o en forma de intervalo (2, 8). Ahora observa que esto se llega a hacer analí-ticamente así:

Generalizaremos y demostraremos estos resultados más adelante.Para una desigualdad como , interpretamos que x es un número cuya

distancia a 5 es menor que 3, pero el número real x no puede ser igual a 5. Por lo que:

Por último, si analizamos geométricamente la desigualdad |x − 5| > 3, x es un núme-ro real cuya distancia a 5 es mayor que 3, es decir,

o 2 8 5< < ≠x x y .

0 5 3< − <x

x x x x− < − < − < − + < < + < <5 3 3 5 3 3 5 3 5 2 8, , de aquí que equivale a ,

x xx x

x x− = ↔ − = ±

− = − → = − =− = → = + =

⎧⎨⎩

5 3 5 35 3 5 3 25 3 5 3 8

x x− = − − =5 3 5 3, o bien,

x x= − = = + =5 3 2 5 3 8, o bien, ,

43 6 7521 8 9

3 3

43 6 7521 8 9

43 6 7521 8 9


En forma equivalente: , en tanto que en forma de intervalo Resumimos las propiedades utilizadas en la siguiente tabla:

− ∞( ) ∪ ∞( ), , .2 8x x< >2 8 o

43 6 7521 8 9

Forma (d > 0)

Interpretación geométrica

Equivalencia (sin valor absoluto)Gráficas

cc�d c�d

d d

cc�d c�d

cc�d c�d

cc�d c�d

x c d− >

0 < − <x c d

x c d− <

x c d− = La distancia entre xy c es igual a d.

La distancia entre xy c es menor que d.

La distancia entre xy c es menor que dpero x ≠ c

La distancia entre xy c es mayor que d.

x − c = ± dLo que resulta en dospuntos: x − c = d y x − c = −d o bien

x = c − dx = c + d

−d < x − c < d,por lo que:

c − d < x < c + d

−d < x − c < d,pero x ≠ c.por lo que:c − d < x < c + dy x ≠ c

x − c < −d o bienx − c > d, resulta:x < c − d o bienx > c + d

Algunas propiedades del valor absoluto

Propiedad 1. Con a > 0, |x| = a, si y sólo si x = ±a.

Demostración: Hay que demostrar dos cuestiones. Primero, que la igualdad |x| = a implicalos dos resultados x = a y x = −a, recíprocamente, que si x = ±a implica |x| = a.


Supuesto que |x| = a por definición de valor absoluto se tiene .

Lo cual prueba la primera parte de la propiedad 1.Para probar el recíproco, supóngase que x = ±a. Si x es positivo, entonces |x| = x = a;

si, por el contrario, x es negativo, entonces |x| = −x = a y x = −a, ya que a es positiva y −anegativa.

Significado geométrico de esta propiedad: |x| = a si y sólo si x es un número queestá a una distancia a del 0, es decir, x = a, o bien, x = −a.

Propiedad 2. Para a > 0, |x| < a si y sólo si −a < x < a.

Demostración: Al igual que en la propiedad 1, hay que probar dos cuestiones. Primero, su-pón que |x| < a. Como x = |x| (si x es positivo), o bien, x = −|x| (si x es negativo), tenemosx < a y −x < a, por lo que x < a y x > −a ; intersecando estos dos conjuntos solución−a < x < a.

Para demostrar el recíproco, supón que −a < x < a. Si x > 0 se tiene |x| = x < a; si, porel contrario, x < 0, entonces |x| = −x < a. En ambos casos se tiene que |x| < a, lo que de-muestra la propiedad 2.

Significado geométrico: |x| < a representa a todos los números reales x, tales que sudistancia al origen es menor que a.

De la misma forma: |x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a.

Propiedad 3. Para a > 0, |x| > a si y sólo si x < −a o bien x > a.La interpretación geométrica de la desigualdad |x| > a es que ésta representa a todos

los números reales x que están a una distancia mayor que a del origen:La demostración es similar a la de la propiedad 1, por lo cual la omitimos. Asimismo,

|x| ≥ a equivale a x ≤ −a o x ≥ a.

x x a

x x a x a

= =

− = = → = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪o bien

0 a�a

en este intervalo

0 a�a

|x|> a

solución

solución

Ejemplos de solución de ecuaciones y desigualdades

que contienen valor absoluto


Ejemplo 1

Resuelve la ecuación |3x + 4| = 8.

|3x + 4| = 8, la ecuación dada.

3x + 4 = ± 8, propiedad 1.

resolviendo las ecuaciones para x

De este modo, la ecuación tiene dos soluciones: y x = −4.

Ejemplo 2

Resuelve la desigualdad |5 − 2x| ≤ 9.

|5 − 2x| ≤ 9, desigualdad dada.

−9 ≤ 5 − 2x ≤ 9, propiedad 2.

, resolviendo para x

7 ≥ x ≥ −2, simplificando

o −2 ≤ x ≤ 7.

De esta forma, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [−2, 7]. Gráficamente:

Ejemplo 3

Resuelve la desigualdad |2x − 1| > 3.

− −−

≥ ≥ −−

9 52

9 52

x

x = 43

x

x

=

= −

434

3 4 83 4 83 4 8

xx

x+ = ±

+ =+ = −

⎧⎨⎩

, implica:

�1�2�3�4 2 41 30 5 6 7

solución


|2x − 1| > 3, entonces:

2x − 1 < −3 o 2x − 1 > 3, propiedad 3.

2x < −2 o 2x > 4, se resuelve para x

x < −1 o x > 2.

En consecuencia, el conjunto solución de la desigualdad |2x − 1| > 3 es (− ∞, −1) ∪ (2, ∞).

Gráficamente:

�1�2�3�4 2 41 30 5 6 7

Ejercicios

y problemas

Simplifica y escribe sin signos de valor absoluto, dejando los radicales en su forma más simple:

1. 2. 3.

4. |−8 − (−2)| 5. ||−5|−|−3|| 6.

7. |π − 9| 8. |2−|−12|| 9. , x ≠ 1

Encuentra la distancia entre los números dados:

10. −7 y 15 11. 12 y 3 12. y

13. −38 y −59 14. y 15. −2.6 y −1.7

Resuelve las siguientes ecuaciones:

16. |2x| = 3 17. |6x + 9| = 13 18. |x − 4| = 0.01

19. |5x − 7| = 11 20. |x − 5| = −2

− 310

− 118

− 121

715

x

x

−−

11

−−

11

2 7−5− 34



Resuelve las siguientes desigualdades y expresa las soluciones en términos de intervalos:

21. |x| < 3 22. |x| ≥ 5 23. |x + 3| < 0.001

24. |x + 2| + 0.1 ≥ 0.2 25. |2x + 5| < 4 26.

27. |7x + 2| > −2 28. |2x − 3| ≤ 4 29. |3x − 4| ≤ 0

30. |3x − 9| > 0 31. 32.

33. 34. 1 < |x − 2| < 4

Determina los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes expresiones:

35. |x + 7| = −(x − 7) 36. |2x + 3| = 2x + 3 37. |5x − 1| = −(5x − 1)

38. |4x + 3| = 4x + 3 39. |x − 10| = x − 10 40. |2 − 3x| = −(2 − 3x)

17

2x +

>

35 2

2−

<x

2 35

2− ≥x

− − + ≥13

6 5 2 1x


1. Contabilidad: prueba de discrepancia de un presupuesto. Reflexionen sobre el significadoque tiene el signo (positivo o negativo) de las diferencias en la tabla 4.3 y que completen losespacios de la tabla 4.4, para determinar si el costo real pasa “la prueba de discrepancia delpresupuesto”. Den una interpretación de los resultados que obtengan al completar la tabla 4.4.

2. Demuestren la propiedad conocida con el nombre desigualdad del triángulo; esto es, si x y yson números reales cualesquiera, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|. Nota: Esta propiedad se denominadesigualdad del triángulo, porque cuando se generaliza a vectores indica que la longitud decada lado en un triángulo es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos.

3. Demuestren o refuten cada una de las siguientes afirmaciones del valor absoluto.

a) |−x| = |x|

b) |x2| = x2

c)

d) |xy| = |x||y|

e) x

y

x

y=

x x= 2


1. Determina la opción que contiene la simplificación de −|−15| −15.

a) 0 b) −30 c) 15 d) 30

2. Señala la opción que da la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son

y

a) b) c) d)

3. Elige la opción que equivale al siguiente intervalo representado en la recta numérica:

a) |x + 2| ≤ 6 b) |x − 2| < 6 c) |x − 4| ≤ 4 d) |x − 2| ≤ 6

4. Determina la opción que equivalente al enunciado “La distancia entre z y −5 es menor que 12”.

a) |z − 5| < 12 b) |z + 5| ≤ 12 c) |z + 5| ≤ 12 d) |z − 5| ≤ 12

5. Señala la opción que proporciona el conjunto solución de la desigualdad |4x + 5| < 9.

a) b) c) (−1, 1)

d) e)

6. Determina la opción que contiene el conjunto solución de la desigualdad .

a) b) c) [−2, ∞]

d) [− ∞, −2] ∪ [2, ∞] e) [−2, 2]

7. Cada desigualdad (ai), de las escritas a continuación, equivale exactamente a una desigual-dad (bj). Por ejemplo, |x| < 5 si y sólo si −5 < x < 5; por lo tanto (a1) tiene como solución a (b2).Determina todos los pares equivalentes:

(a1) |x| < 5 (b1) −1 ≤ x ≤ 0(a2) |x − 2| ≤ 5 (b2) −5 < x < 5(a3) |3 − 2x| < 1 (b3) x > 5 o x < −3

− ∞ −( ]∪ ∞⎡⎣⎢

⎞⎠, ,2 14

5−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2 145

,

2 54

3− ≥x

−⎛⎝

⎞⎠

72

1,−⎛⎝

⎞⎠

72

72

,

−⎛⎝

⎞⎠1 7

2,− ∞ −⎛

⎝⎞⎠ ∪ ∞( ), ,7

21

4315

4215

− 2915

2915

b = − 715

a = 125

0�1�2�3�4�5 1 2 3 4 5 6 7 8


(a4) |2x + 1| ≤ 1 (b4)

(a5) |x − 1| > 4 (b5) −3 ≤ x ≤ 7(a6) |x + 1| ≥ 6 (b6) 1 < x < 2(a7) |5 − x−1| < 1 (b7) x ≤ −7 o x ≥ 5

8. Decide si la afirmación de cada uno de los siguientes incisos es verdadera o falsa. En cada casorazona la decisión:

a) x < 7 implica |x| < 7

b) |x − 3| ≤ 2 implica −1 ≤ x ≤ 5

c) |1 + 3| ≤ 1 implica

d) No existe un número real x para el que |x − 4| = |x − 5|

− ≤ ≤23

0x

16

14

< <x

Respuestas a los


1. 2. 3.

4. 6 5. 2 6. −1

7. 9 − π 8. 10 9. 1

10. 22 11. 9 12.

13. 21 14. 15. 0.9

16. 17. 18. x = 4.01; x = 3.99

19. 20. No existe solución, pues un 21. (−3, 3)valor absoluto nunca es negativo.

22. (− ∞, −5) ∪ [5, ∞) 23. (−3.001, −2.999) 24. (− ∞, −2.1] ∪ [−1.9, ∞)

x x= = −185

45

;

x x= = −23

113

;x x= = −32

32

;

4340

1835

7 2−534


25. 26. 27. R. Para todos los valores dex reales, el valor absolutoserá mayor que cualquier nú-mero negativo.

28. 29. 30. (− ∞, 3) ∪ (3, ∞)

31. 32. 33.

34. (−2, 1) ∪ (3, 6) 35. (−∞, −7) 36.

37. 38. 39. [10, ∞)

40. [ , )32

∞

− ∞⎡⎣⎢

⎞⎠

34

,( , ]− ∞ 15

− ∞⎡⎣⎢

⎞⎠

32

,

− −⎛⎝

⎞⎠

152

132

,− ∞⎛⎝

⎞⎠ ∪ ∞⎛

⎝⎞⎠, ,7

4134

− ∞ −⎛⎝

⎤⎦⎥

∪ ∞[ ), ,83

4

x = 43−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

12

72

,

35

95

,⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −⎛⎝

⎞⎠

92

12

,


1. b2. d3. d4. b5. e6. b7. a1 – b2

a2 – b5a3 – b6a4 – b1a5 – b3a6 – b7a7 – b4.

8. a) falsab) falsac) verdaderad) falsa

Unidad

Trigonometría


5.1 Ángulos5.2 Funciones trigonométricas5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales5.4 Identidades fundamentales


5

En marzo y abril de 1996, estudiantes de 16 a 18 años en Suecia,Dinamarca, Alemania y España se esforzaron durante varios días porconseguir fotografías del cometa Hyakutake. Intentaban obtener fotossimultáneas desde diferentes países. Esto fue muy difícil porque lascondiciones climáticas no son las adecuadas durante esos meses enEuropa. No era posible que lo hicieran en otros meses, porque elcometa Hyakutake sólo estuvo cerca de la Tierra en marzo y abril deese año. Después de mucho esfuerzo, una noche en particular lograronobtener fotos simultáneas desde Dinamarca y Portugal. Las dos fotostomadas desde diferentes lugares son distintas porque el cometa esta-ba mucho más cerca de la Tierra que la otra estrella que se ve en lafotografía. Con la ayuda de la trigonometría, los estudiantes lograrondeterminar qué distancia había en ese momento entre el cometa y nues-tro planeta. Su resultado fue sólo 13% distinto del resultado de loscientíficos profesionales, un gran logro para estudiantes de 16 a 18años. Puedes consultar este trabajo en la siguiente página de Internet:http://www.amtsgym-sdbg.dk/as/ags2.htm (febrero, 2005). Como ves,la trigonometría que estudiarás en esta unidad tiene aplicaciones muyinteresantes.

292 Unidad 5: Trigonometría

Agricultura: costo de la semilla de maíz híbrido

Un agricultor planea probar una nueva variedad de maíz híbrido, para lo cualdispone de un terreno similar al de la parte sombreada de la figura 5.2. Para de-terminar el costo de la semilla a utilizar, el agricultor necesita conocer primeroel área del sector circular disponible. La empresa a la que el agricultor le com-prará la semilla estima que el costo por metro cuadrado es de 3 pesos. ¿Cuál esel área disponible para sembrar? ¿Cuál es el costo de la semilla que se debeutilizar?

La primera cuestión puede ser respondida gracias a una ecuación o fórmuladel área para un sector de círculo; para utilizar tal fórmula se requiere que el án-gulo esté medido en la unidad de radianes.

5.1 Ángulos

Los decimales no calculados de π, duermenen un misterioso reino abstracto, donde

gozan de una débil realidad, hasta que noson calculados, no se convierten en algo

plenamente real, e incluso entonces su rea-lidad es mera cuestión de grado.

William James,The Meaning of Truth

Introducciónn

La trigonometría tuvo su origen en las investigaciones de los griegos; aproxi-madamente aparece antes del año 100 a. C. Los griegos usaron la trigonometríapara resolver problemas de astronomía, navegación y geografía; prácticamentesurge de la necesidad de la medición indirecta de distancias y ángulos de la es-fera celeste. La palabra trigonometría, que deriva del griego y significa “me-dida de triángulo”, fue usada por primera vez como título de un texto por elmatemático alemán Pitiscus en el año 1600 d. C. En su forma más básica, latrigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados deun triángulo rectángulo, pero ahora las aplicaciones modernas abarcan variostipos de problemas, que tienen poco o nada que ver con ángulos o triángulos;por ejemplo, fenómenos periódicos como el sonido, la luz, las ondas eléctri-cas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planetarios. Las funcionestrigonométricas se relacionaron en la antigüedad con el cálculo de triángulosy tenían como dominio los ángulos en este contexto. Se estudiarán los ángu-los y su medida en esta sección, con la finalidad de estudiar las funciones tri-gonométricas.

2935.1 Ángulos

En esta sección se explica cómo un ángulo medido en grados se llega a expresaren radianes y viceversa, así que al finalizar la sección responderás las cuestionesplanteadas en el problema introductorio.

TerrenoA

B4 m

11 m

Objetivos


• Utilizar el concepto, la notación y clasificación de los ángulos.• Utilizar correctamente las unidades de medida de los ángulos en grados y

en radianes.• Convertir grados a radianes y viceversa.• Aplicar las fórmulas de longitud de un arco circular y la fórmula del área

de un sector circular.

Ángulos

Hay dos maneras de definir un ángulo; una de ellas es estática , que se utiliza en geome-tría plana, donde un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dosrayos (o segmentos de rectas), /1 y /2, cuyo origen es común O (figura 5.3). Ambos ra-yos (o segmentos) que forman un ángulo se llaman lados de éste, en tanto que el ex-tremo u origen común se conoce como vértice. Los ángulos se denotan con letras grie-gas, como θ, α, β y γ, o con tres puntos del ángulo (unos sobre cada lado y otro en elvértice), si A y B son puntos en /1 y /2, como en la figura 5.4, se considera el ánguloAOB, o bien, ∠AOB. En resumen, esta manera de definir al ángulo lo considera comodos segmentos finitos con un punto extremo en común.

θ

A

O

B1

Figura 5.3 Figura 5.4

Figura 5.1 Figura 5.2


La otra forma de definir un ángulo, la dinámica, es usada en la trigonometría. En ésta,se interpreta a los ángulos como rotaciones de rayos (o semirrectas). Así, para formar unángulo θ, se comienza con un lado, llamado lado inicial, en posición fija; después, un se-gundo lado llamado lado terminal, parte de la misma posición del lado inicial y gira enel plano alrededor del vértice O hasta que alcance su posición final. Una rotación en elsentido del movimiento de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo y una ro-tación en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj produce un án-gulo positivo. La amplitud de la rotación en uno u otro sentidos no está restringida, esdecir, se podría hacer que el lado inicial diera varias vueltas o revoluciones en cualquiersentido alrededor de O, antes de llegar a la posición del lado terminal, como indican lasflechas curvas de las figuras 5.5a y 5.5b. Hay muchos ángulos con los mismos ladosinicial y terminal. Dos cualesquiera de ellos se llaman ángulos coterminales [figura5.5c].

lado terminal

lado inicialθ

lado terminal

lado inicial

θ

lado terminal

lado inicial

α

β

Figura 5.5a θ positivo

Figura 5.5c. α y β son ángulos coterminales

Figura 5.5b θ negativo

Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, se dice que un ángulo está enposición normal (posición canónica) si su vértice está en el origen y su lado inicial coin-cide con el eje x positivo. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal coincidecon un eje coordenado, se le llama ángulo cuadrantal. Si no coincide, entonces se re-fiere al ángulo en términos del cuadrante al que pertenece (figura 5.6).

2955.1 Ángulos

Medida en grados y en radianes

Así como los segmentos de recta se miden en pulgadas, pies, millas, centímetros, me-tros, los ángulos se miden también en diferentes unidades. Las dos unidades usadas co-múnmente para medir ángulos son el grado y el radián.

θ

y

θ

y

θ

y

Figura 5.6a θ es un ángulocuadrantal

Figura 5.6b θ es un ángulo enel III cuadrante

Figura 5.6c θ es un ángulo enel II cuadrante

Medida en grados

El ángulo en posición normal, que se obtiene con una revolución (rotación) com-pleta en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, mide 360 grados,lo que se escribe así: 360°. Un ángulo generado por de una rotación comple-ta mide 1 grado (1°). El símbolo ° denota grados.

1360

Ciertos ángulos reciben nombres especiales. En la siguiente tabla se dan definiciones deestos ángulos especiales:

Terminología Definición Ejemplos

Ángulo llano θ. θ = 180° (media rotación). 180°

Ángulo agudo θ. 0° < θ < 90° 15°; 39°; 87°

Ángulo obtuso θ. 90° < θ < 180° 102°; 98°, 176°

Ángulos complementarios α + β = 90° 30° y 60°; 53° y 37°; α, β 12° y 78°

Ángulos suplementarios α + β = 180° 117° y 63°; 17° y 163°α, β


En este libro, la notación θ = 70° especifica un ángulo θ cuya medida es 70°. Tambiénse dice que es un ángulo de 70°, en lugar de un ángulo que mide 70°.

Si se necesitan menores medidas de un grado, se emplean décimos, centésimos y mi-lésimos de grado. Para esto, también se puede dividir un grado en 60 partes iguales, quese llaman minutos y se representan por′ (una comilla en la parte superior), y dividircada minuto en 60 partes iguales, llamadas segundos, lo que se representa así:′′ (doscomillas en la parte superior), tal como se divide una hora. Así; 1° = 60′ y 1′ = 60′′. Lanotación θ = 13°25′17′′ indica un ángulo θ cuya medida es 13 grados, 25 minutos y 17segundos.

La medida en grados de los ángulos se emplea extensamente en áreas como la topo-grafía, la navegación y el diseño de equipo y piezas mecánicas. En aplicaciones científi-cas que requieren del cálculo diferencial o integral, se utiliza otra unidad de medida enradianes (rad). Para definir un ángulo cuya medida en radianes sea 1, considérese unacircunferencia de radio r. Un ángulo central de una circunferencia es aquél cuyo vérti-ce se encuentra en el centro de la circunferencia. Si es el ángulo central que se muestraen la figura 5.7, se dice que el arco QP subtiende a θ, o que θ está subtendido por elarco QP o que el ángulo θ determina el arco QP.

Q

P

r

s

Figura 5.7 Ángulo central

Si la longitud del arco QP, denotada por s es igual al radio r de la circunferencia, enton-ces θ tiene la medida de un radián, o mide un radián; todo esto se resume en la siguien-te definición:

Medida en radianes

Sea θ un ángulo central en una circunferencia de radio r > 0 y la longitud delarco subtendido en la circunferencia es s, la medida en radianes de θ estará dada por

.

Nota: r y s deben medirse con las mismas unidades.

θ = sr

r

s

θ

1 radián

rr

2975.1 Ángulos

En geometría lo anterior se demuestra mediante proporciones que si r1 y r2 son radiosde dos circunferencias concéntricas (es decir, tienen el mismo centro) con el mismo án-gulo central θ, y si s1 y s2 son los respectivos arcos subtendidos por θ en cada circunfe-rencia, entonces:

sr

sr

1

1

2

2

=

radianes

Si s = r, entonces

radián

Nota: las unidades con las que se mide la longitud del arco y el radio se cancelan;por lo tanto, queda un número “sin dimensiones” o puro. Por tal razón, a menudose omite la palabra radián cuando se trabaja con medida de ángulos, a menos quese desee tener más claridad; por ejemplo, en física la velocidad y la aceleración an-gular se expresan casi siempre indicando las unidades como rad/s y rad/s2, respec-tivamente. Así, si un ángulo mide 7 rad, se escribe θ = 7; no habrá confusión si seusan medidas en radianes o en grados, ya que si θ está en grados, y su medida es7, es escribe θ = 7°, y no θ = 7.

θ = rr

θ = sr


Por lo tanto, la medida en radianes de un ángulo no depende de la magnitud de la cir-cunferencia.

Conversión de grados a radianes y viceversa

Para hallar la relación entre grados y radianes, considérese la rotación completa de unsegmento de recta

S

OP en sentido contrario a las manecillas del reloj (figura 5.8). Comola circunferencia de un círculo es 2πr, la longitud del arco interceptado es 2πr.

La medida de θ = 360° en radianes es:

rad , es decir, 2π rad = 360° ≈ 6.28 rad

O bien, π rad = 180° ≈ 3.1415 rad

θ π π= =2 2rr

OP

θ = 360°

r

s = 2πr

Figura 5.8

Este resultado da las siguientes relaciones:

Relaciones entre grados y radianes

1. 180° = π rad.

2. rad ≈ 0.0175 rad.

3. 1 rad = ⎛⎝

⎞⎠ ≈ °

°180 57 2958π

.

1° = π180

Conviene recordar estas relaciones, sobre todo que 180° = π rad, porque se puede obte-ner la medida en radianes de muchos ángulos especiales a partir de ella. En la siguientetabla se dan algunos ejemplos:

Ángulo(en grados) Razonamiento Cálculos

Ángulo(en radianes)

2995.1 Ángulos

90° 90 es la mitad de 180 Si se divide180 entre 2, tambiénse divide π entre 2.

60° 60 es un tercio de 180 Si se divide 180 entre 3,también se divide π entre 3.

45° 45 es un cuarto de 180 Si se divide 180 entre 4, tambiénse divide π entre 4.

30° 30 es un sexto de 180 Si se divide 180 entre 6, tambiénse divide π entre 6.

120° 120 es dos tercios de 180 Si se multiplica 180 por 2/3,también se multiplica π por 2/3

270° 270 es tres medios de 180 Si se multiplica 180 por 3/2,también se multiplica π por 3/2

1° 1 es un ciento ochentavo Si se multiplica 180 por 1/180,de 180 también se multiplica π por 1/180 π

1801180

⋅π

3π23

2⋅π

2π32

3⋅π

π6π π

6= ⋅1

6

π4π π

4= ⋅1

4

π3π π

3= ⋅1

3

π2

π π2

= ⋅12

La última fila de la tabla se usa para convertir cualquier ángulo medido en grados a ra-dianes.

radianes1180

° = π


La siguiente tabla muestra cómo convertir de grados a radianes:

Para convertir de Multiplíquese por Ejemplos

Grados a radianes 1. rad.

2. rad.

3. rad.

4. rad.

5. rad.150 150° = ⎛⎝

⎞⎠ =π π

18056

225 225° = ⎛⎝

⎞⎠ =π π

18054

345 345° = ⎛⎝

⎞⎠ =π π

1802312

7 7° = ⎛⎝

⎞⎠ =π π

1807

180

12 12° = ⎛⎝

⎞⎠ =π π

180 15π

180

De manera similar, es posible convertir ángulos medidos en radianes a grados. Para es-to, estúdiense los siguientes ejemplos:

Ángulo (en radianes) Razonamiento Cálculos

Ángulo (en grados)

Dos tercios de π 120°

7π 7 veces π (7)180 1260°

1 Se tiene que π = 180°. 180 ÷ πDivídase cada lado de laigualdad por π.

π180

⎛⎝

⎞⎠

23

⋅18023π

La última fila de la tabla anterior nos da una equivalencia útil en la conversión de radia-nes a grados.

1 rad 180= °π

°

3015.1 Ángulos

La siguiente tabla muestra cómo convertir de medida de radianes a grados:

Para convertir de

Multiplíquese por Ejemplos

Radianes a grados 1.

2.

3.

4.

5.11 11 330π π

π6rad

6180= °⎛

⎝⎞⎠ = °

7 7 315π ππ4

rad4

180= °⎛⎝

⎞⎠ = °

4 4 240π ππ3

rad3

180= °⎛⎝

⎞⎠ = °

0 6 0 6. .rad 180 108 grados 34.4= °⎛⎝

⎞⎠ = ≈ °

π π

5 5rad 180 900 grados 286.5= °⎛⎝

⎞⎠ = ≈ °

π π180°

π

Se puede aplicar el razonamiento anterior para formar la siguiente tabla, que muestra las me-didas en radianes y grados de algunos ángulos especiales; es importante recordar tales co-rrespondencias, ya que ellas (y sus múltiplos) se usan mucho en los temas de trigonometría.

Radianes 0 π 2π

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

116π7

4π5

3π3

2π4

3π5

4π7

6π5

6π3

4π2

3ππ

2π3

π4

π6

Algunos de estos ángulos especiales se muestran en su posición normal en la figura 5.9.

y

180° = π

360° = 2π

30° = π ——

6

45° = π ——

4

60° = π ——

3

90° = π ——

2

270° = π ——

2

Figura 5.9


Longitud de un arco circular y el área de un sector circular

En el cálculo diferencial e integral casi siempre se usa la medida en radianes, porque esuna medida que involucra unidades de longitud y relaciona ángulos, radios y longitud dearco. Debido a ello, las fórmulas que usan medidas en radianes tienden a ser más sim-ples, a diferencia de las fórmulas que emplean medidas en grados, que son por lo generalmás complicadas. Ejemplo de fórmulas medidas en radianes son: longitud de arco, áreade un sector circular, velocidad y aceleración angular. El siguiente resultado muestra larelación entre la longitud de un arco circular y el ángulo central medido en radianes quesubtiende. De hecho, la fórmula de longitud de arco es un simple despeje de la defini-ción de un ángulo θ medido en radianes.

rr

θ rad

s = r θ

s1rθ1

Fórmula de la longitud de un arco circular

Si un arco de longitud s en una circunferen-cia de radio r subtiende un ángulo central θ(en radianes), entonces.

Por definición, un ángulo medido en radia-

nes está dado por la ecuación ; des-

pejando s, se tiene la ecuación s = rθ.

La fórmula es una proposición que se de-muestra en geometría plana. En la figura5.10a se muestra un arco de longitud s y elángulo central θ correspondiente. En la fi-gura 5.10b se muestra un arco de longituds1 y ángulo central θ1 en la misma circun-ferencia de radio r. Si se utilizan radianes, deacuerdo con la geometría plana, la razónde las longitudes de arco es igual a la ra-zón de las medidas de los ángulos, es decir,

Considerando el caso especial en el cualθ1 mide 1 rad, de acuerdo con la defini-ción s1 = r; por lo tanto:

, despejando s, s = rθ.sr

= θ1

ss1

= θθ1

θ = sr

Figura 5.10a

Figura 5.10b

3035.1 Ángulos

La figura 5.11 representa regiones sombreadas formadas por círculos y ángulos centra-les medidos en radianes, conocidos como sectores circulares. El área de cada sector esuna fracción del área de cada círculo.

Ángulo:

Área:

1 rotación = 2π

π r2

1/2 rotación = π

(1/2) π r2

1/4 rotación = π/2

(1/4) π r2

3/4 rotación = 3π/2

(3/4) π r2

θ = 2π θ = π

θ =

π

—2

θ =

3π

—2

Figura 5.11

Fórmula del área de un sector circular

Si θ es un ángulo central, medido en radianes, de una circunferencia de radio r, y si

A es el área del sector circular subtendido por θ, entonces .

Esta fórmula se demuestra de manera similar a la anterior. En general, hayun resultado en geometría plana que establece:

Área del sector

Área del sector

Nota: Al aplicar las fórmulas anteriores, es importante asegurarse que θ estémedido en radianes.

= =Ar2 θ

2

= ( )⎛⎝⎞⎠π θ

πr2

2

Área del sectorr 22π

θπ

=

Área del sectorÁrea del círculo

valor del ángulo central en radianesrotación completa 2 rad

== π

A = =12

22

rrθ θ

2

solución

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

Encuentra, en cada caso, la medida del ángulo en grados y represéntalo en posición normal; conside-ra que el ángulo de una rotación completa corresponde a 360°.

a) en rotación en el sentido del movimiento b) en rotación contraria del movimiento

de las manecillas del reloj. de las manecillas del reloj.

a) b)

Ejemplo 2

a) Convierte 135°14′12′′ a grados decimales. b) Convierte −22.569° a la forma grados, minu-tos y segundos.

a) b)

con cuatro cifras decimales de aproximación.

Se te recomienda que intentes realizar estas conversiones en un solo paso con una calculadora científica.

135 14 12 135 1460

123600

135 2367° ′ ′′ = + +⎛⎝

⎞⎠ ≈ °

°

.

23

360 2 120 240°( ) = °( ) = °56

360 5 60 300− °( ) = − °( ) = − °

23

56

CuadranteII

CuadranteI

CuadranteIII

CuadranteIV

y

−360°

CuadranteII

CuadranteI

CuadranteIII

CuadranteIV

y

240°

−22.569° = −(22° + 0.569(60)′)= −22°34.14′= −(22° + 34′+ 0.14(60)′′)≈ −22.34°8′′

solución

solución

3055.1 Ángulos

Ejemplo 3

Encuentra, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño:

a) 870° b) −135°

Haz un diagrama para cada ángulo, luego sumar o restar 360°, hasta obtener un ángulo cuyo valor seencuentre entre 0° y 360°.

a) b)

870° − 360° = 510°510° − 360° = 15°870° y 150° son ángulos coterminales.

Ejemplo 4

Determinar dos ángulos coterminales (uno positivo y uno negativo) de:

a) b)

a) b)

43

23

π π π− = −2π9

179

− = −2π π

43

103

π π π+ =2π π π9

199

+ =2

θ π= 43

θ π=9

870°

150°

y

225°

−135°

y

-135° + 360° = 225°−135° y 225° son ángulos coterminales.

solución

solución

solución


Ejemplo 5

Encuentra, si es posible, un ángulo complementario y un ángulo positivo suplementario de los ángulos:

a) b)

a) Complementario b) Complementario

Suplementario Suplementario

Ejemplo 6

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por un arco de 720 pulgadas en una cir-cunferencia de 12 pies de radio?

Nótese que las unidades de longitud son diferentes. Primero hagamos la conversión a unidades comu-

nes. Se sabe que 1 pie = 1 pie = 12 pulgadas. Por lo tanto,

Por definición de un ángulo medido en radianes, tenemos que:

Ejemplo 7

Expresa los siguientes ángulos dados en radianes a sus medidas en grados, sin usar calculadora.

a) b)

a) Se usa la relación b) Se usa la relación

θ° = °⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ = − °180 66

ππ11

30θ° = °⎛

⎝⎞⎠ = °180 420

ππ73

θ θ° = °⎛⎝

⎞⎠

180π

θ θ° = °⎛⎝

⎞⎠

180π

− 1130

π .73π .

θ = = =sr

60 5ft12 ft

rad

720 60pulgadas 1ft12 pulgadas

ft.⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

π π π− =34 4

π π π− =3

23

34 2π π>π π π

2 3 6− =

34ππ

3

solución

solución

solución

3075.1 Ángulos

Ejemplo 8

Expresa los siguientes ángulos dados en grados a sus medidas en radianes como múltiplos de π, sin usarcalculadora.

a) −20° b) −240°

a) Se usa la relación b) Se usa la relación

Ejemplo 9

Convierte de grados a radianes. Da la respuesta con una aproximación de tres cifras decimales.

a) 532° b) 0.54°

a) radianes b) radianes

Ejemplo 10

Convierte de radianes a grados. Da la respuesta con una aproximación de tres cifras decimales.

a) b)

a) b)

Ejemplo 11

Encuentra con tres cifras decimales la medida de:

a) Un ángulo de 125°23′, en radianes b) Un ángulo de 5 radianes, en grados

− = − ⎛⎝

⎞⎠ ≈ °5

11511

81.818π π 180π

π ππ7 7

25.714= ⎛⎝

⎞⎠ ≈ °180

− 511π .π

7.

0 54 0 54 0 009. . .° = ⎛⎝

⎞⎠ ≈π

180532 532 9 285° = ⎛

⎝⎞⎠ ≈π

180.

θ° =°

⎛⎝

⎞⎠ − °( ) = −π π

18043

240θ° =°

⎛⎝

⎞⎠ − °( ) = −π π

180 920

θ θ=°

⎛⎝

⎞⎠ °π

180θ θ=

°⎛⎝

⎞⎠ °π

180

solución

solución


a) Se convierte primero 125°23′ a grados decimales Se usa la relación

y después se usa la relación :

rad

Ejemplo 12

Aplicación de la fórmula de longitud de un arco circular. Una banda conecta una polea de 2 pulga-das con otra de 5 pulgadas. Si la polea menor gira 5 radianes, ¿cuántos radianes girará la polea mayor?

Para resolver el problema, primero se hace un esquema:

125 383 2 188. .π180

⎛⎝

⎞⎠ ≈

125 23 125 2360

° ′ = +⎛⎝

⎞⎠ ≈ °

°

125 383.

5 5 180rad 286.479= ⎛⎝

⎞⎠ ≈ °

πθ θ=

°⎛⎝

⎞⎠ °π

180

θ θ° = °⎛⎝

⎞⎠

180π

P

Q2

pulga

das

5

pulga

das

Cuando la polea menor gira 5 rad, el punto de su circunferencia recorre la misma distancia (longitud dearco) que la que viaja al punto P de la circunferencia mayor. Para la polea menor:

; s = r θ = (2)(5) = 10 pulgadas.

Para la polea mayor:

radianes. Por lo tanto, cuando la polea menor gira 5 rad la polea mayor gira 2 rad.θ = = =sr

105

2

θ = sr

solución

3095.1 Ángulos

Ejemplo 13

Aplicación de la fórmula de longitud de un arco circular. Encuentra la distancia entre dos ciudades.Supón que la Tierra es una esfera de radio 4000 millas y que las ciudades están sobre el mismo meri-diano (una ciudad está al norte de la otra).

Ciudad Latitud

Miami 25°46′37′′ NErie 42°7′15′′ N

Para resolver el problema primero se hace un esquema:

El ángulo central es la diferencia en latitudes.θ = 42° 7′15′′ − 25° 46′ 37′′

radianes.

La distancia entre las ciudades se encuentra calculando la longitud de arco.

s = r θ = 4000(0.28525) = 1141 millas.

Las ciudades están aproximadamente a 1141 millas de distancia

Ejemplo 14

Aplicación de la fórmula del área de un sector circular.Determina el área del sector sombreado de la figura.

= ° = ⎛⎝

⎞⎠ ≈16 3438 16 3438 0 28525. . .π

180

= + +⎛⎝

⎞⎠ − + +⎛

⎝⎞⎠42 7

6015

360025 46

6037

3600

Erie

θ

Miami4000

4000

120°


solución

es la fórmula del área de un sector circular.

A ≈ 84.82 cm2

A =( ) ⎛

⎝⎞⎠

= = ° =9

9

2 23

2cm, 120 2

3rad

π

, r θ π

A = r2 θ2

Ejercicios

y problemas

Encuentra la medida en radianes de un ángulo central θ subtendido por un arco s en una circunferencia deradio r; en cada ejercicio se dan r y s:

1. r = 4 cm, s = 24 cm.2. r = 18 cm, s = 27 cm.3. r = 12 pies, s = 30 pies.4. r = 7 pulg., s = 42 pulg.

Calcula la medida exacta, en radianes, del ángulo dado (en términos de π):

5. 95° 6. 210° 7. 54°8. 120° 9. 450° 10. 150°

11. −135° 12. 72° 13. −60°14. 100° 15. 54° 16. 225°

Encuentra el valor exacto, en grados, del ángulo dado:

17. 18. 19.

20. 21. 22. 7π

23. 24. 25.

26. 11π. 27. 28. − 72π5

3π

π9

π16

− 52π

114π− π

2

− 34π5

6π2

3π

3115.1 Ángulos

Expresa el ángulo en forma decimal, con precisión de tres cifras decimales:

29. 184°31′7′′ 30. 5°51′33′′

31. 258°39′52′′ 32. 254°8′29′′

Expresa el ángulo θ en términos de grados, minutos y segundos, al segundo más cercano (notar que el án-gulo está dado en radianes):

33. θ = 3 34. θ = 2.5

35. θ = 1.8 36. θ = 5

Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cuadrantal. Considera todos los án-gulos en posición o normal (o posición estándar) en un sistema de coordenadas rectangulares (recuerda quesi no tiene unidades, se trata de radianes); en algunos ejercicios puede ayudar un dibujo:

37. 270° 38. −200° 39. −60°40. −1 41. −5 42. −π

43. 44. 45.

46. 47. 820° 48. −560°

¿Qué ángulos son coterminales con el de ? Considera todos los ángulos en posición o normal (o posición

estándar) en un sistema de coordenadas cartesianas:

49. 390° 50. −330° 51.

52. 53. −690° 54. 750°

¿Qué ángulos son coterminales con el de 135°? Considera todos los ángulos en posición o normal (o posi-ción estándar) en un sistema de coordenadas cartesianas:

55. 56. −225° 57.

58. 59. −135° 60.

Si un arco circular de la longitud dada s, subtiende al ángulo central θ de una circunferencia, calcula el ra-dio de ésta:

61. s = 14 cm, θ = 6 62. s = 4 km, θ = 22°

− 5π4

11π4

− 7π4

− 3π4

− 11π6

− π6

π6

− 34π

− 32π23

3π13

4π



En los siguientes ejercicios se manejan datos de ángulos centrales con el radio de la circunferencia indica-do. Determina el área correspondiente a cada sector de la circunferencia, expresando la respuesta con unaaproximación de una cifra decimal:

63. r = 7.6 cm, θ = 50° 64. r = 15 ft, θ = 24°

65. r = 12.3 m,

Calcula la longitud del arco que subtiende el ángulo central dado θ en una circunferencia de diámetro d; des-pués, usa este resultado para calcular el área del sector determinado por θ:

66. d = 15 m, θ = 55°. 67. d = 120 cm, θ = 2.5.

θ π=5


1. Agricultura: costo de la semilla de maíz híbrido presentado en la introducción de la sec-ción.

2. Un problema de ingeniería. Una bicicleta tiene una llanta delantera de 50 cm de diámetroy una llanta trasera de 35 cm de radio, ¿con que ángulo gira la llanta delantera (en radianes)cuando la trasera gira 9 radianes?

1. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el lado terminal del ángulo :

a) I b) II c) III

d) IV e) El lado terminal está en uno de los ejes coordenados.

2. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el lado terminal del ángulo θ = 215°:

a) I b) II c) III

d) IV e) El lado terminal está en uno de los ejes coordenados.

θ π= 65

3135.1 Ángulos

3. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo ?:

a) b) c)

d) Tanto a) como c)

4. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo θ = −73°?:

a) 107° b) 287° c) −253° d) 17°

5. Determina cuál de los siguientes ángulos es un ángulo complementario a :

a) b) c) d)

6. Determina cuál de los siguientes ángulos es un ángulo suplementario a :

a) b) c) d)

7. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo θ = −73°?:

a) 107° b) 287° c) −253° d) 17°

8. Convierte a grados: :

a) 82° b)150° c) 36° d) 75°

9. Convierte a grados: 2.5 rad:

a) 143.24° b) 0.04° c) 286.48° d) 450°

10. Convierte a radianes: 25°:

a) b) c) d)

11. Convierte a grados decimales: −13°42′15′′:

a) −13.95° b) −12.05° c) −13.7042° d) −12.2958°

12. Convierte a grados, minutos y segundos: 178.463°:

a) 178°77′50′′ b) 178°46′30′′ c) 178°7′12′′ d) 178°27′47′′

13. Un ángulo central θ de una circunferencia de radio 16 cm subtiende un arco de 19.36 cm.Encuentra θ:

a) 47.3519° b) 1.21° c) 69.3279° d) 0.8264°

5π18

4500π

365π

5π36

5π12

14π15

16π15

13π30

29π15

θ π=15

3π14

− 10π7

16π7

5π7

θ π= 27

− 19π12

17π12

5π12

θ π= − 712


14. Encuentra la longitud de arco s que se muestra en la figura:

a) 3.49 pulg b) 37.22 pulg c) 27.93 pulg d) 17.41 pulg

15. Una circunferencia de radio r tiene un ángulo central θ = 15°, el cual subtiende un arco de lon-gitud 23 pulgadas. Encuentra r:

a) 105.27 pulg b) 41.16 pulg c) 94.98 pul d) 87.85 pulg

16. Encuentra el área de un sector circular que, subtendido por un ángulo central de 15°, dé unacircunferencia de diámetro de 20 pulgadas.

a) b) c) d) 5π18

4500π

365π

5π36

r = 5 pulg

r

s

40°

Respuestas a los


1. 6 rad 2. 1.5 rad 3. 2.5 rad 4. 6 rad

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.25π

rad− 34π

rad56π

rad52π

rad

23π

rad310π

rad76π

rad1936

πrad

3155.1 Ángulos

13. 14. 15. 16.

17. 120° 18. 150° 19. −135° 20. −90°

21. 495° 22. 1260° 23. −450° 24. 11.25°

25. 20° 26. 1980° 27. 300° 28. −630°

29. 184.518° 30. 5.859° 31. 258.664° 32.354.141°

33. 171°53′14′′ 34. 143°14′22′′ 35. 103°7′56′′ 36. 286°28′44′′

37. cuadrantal 38. II 39. IV 40. I

41. I 42. cuadrantal 43. III 44. IV

45. cuadrantal 46. II 47. II 48. II

49, 50, 53 y 54 son coterminales a 56, 58 y 60 son coterminales a 135°.

61. r = 2.33 cm 62. 10.419 km 63. 25.20 cm2

64. 47.12 pies2 65. 47.53 m2 66. s = 7.2 m, A = 27 m2

67. s = 150 cm, A = 4500 cm2

π6

54π

rad310π

rad59π

rad− π3

rad


1. c2. c3. b4. b5. a6. a7. b8. d9. a

10. a11. c12. d13. c14. c15. c16. a


5.2 Funciones trigonométricas

El libro de la naturaleza está escrito enlenguaje matemático, cuyos caracteresson triángulos, círculos y otras figuras

geométricas, sin las cuales sería imposi-ble entender una sola palabra, y se anda-ría siempre como en un laberinto oscuro.

Galileo Galilei

Introducciónn

Se empezará por presentar las funciones trigonométricas con dominio en losnúmeros reales, es decir, funciones cuyos dominios son medidas de cualquierángulo en posición normal y luego se definirán las funciones trigonométricascon dominio angulares, como ha ocurrido históricamente, con el objeto de irde lo general a lo particular.

Para entender lo que se conoce como funciones trigonométricas y lo quesignifican bajo este enfoque, se necesita relacionar o poner en corresponden-cia el valor del ángulo en posición normal y ciertas razones que involucranlas coordenadas de cualquier punto del lado terminal en un sistema de coor-denadas cartesianas o rectangulares.

El siguiente problema es un ejemplo de cómo se lograrían utilizar lasfunciones trigonométricas. Se espera que al final de la sección sea capaz deresolverlo en forma colaborativa.

Después de la excursión, verifican la altura verticalaproximada de la cara de Abraham Lincoln

Un grupo de estudiantes viajó de excursión al sur de Dakota y planearon una vi-sita para ver el Monumento Rushmore.

Un estudiante experto en fotografía investigó algo sobre la construcción dedicho monumento y descubrió que, al pie de la montaña, la altura vertical apro-ximada donde empieza la cara de Lincoln es de 500 pies; con este dato y con susconocimientos de fotografía hizo cálculos para obtener los ángulos para colocarel tripié y la cámara fotográfica de modo que su ángulo de inspección (ángulo deelevación) de la cara de Lincoln fuera la más grande posible; los resultados queobtuvo fueron los que se presentan en la figura: ¿Cuál es la altura aproximada enmetros de la cara de Abraham Lincoln?


Definición de las funciones trigonométricas

Considérese la figura 5.12, donde P(x, y) y P1(x1, y1) son dos puntos del lado final de unángulo θ. La distancia del origen O(0, 0) al punto P se obtiene mediante la ecuación

, similarmente sea . Por geometría

plana se puede establecer que los triángulos ΔOPQ y ΔOP1Q1 son semejantes y que laslongitudes de los lados correspondientes son proporcionales, de donde se deducen las si-guientes igualdades:

y

r

y

r

x

r

x

r

y

x

y

x= = =1

1

1

1

1

1

y

r d O P x y1 1 12

12= ( ) = +,d O P r x y( , ) = = +2 2

407 pies

56.5049°

59.98986°

?

?

y

Objetivos


• Calcular las seis funciones trigonométricas de cualquier ángulo.• Dada una función trigonométrica de un ángulo, obtener el valor de las otras

funciones trigonométricas de ese mismo ángulo.

Nota: El diagrama no está a escala


Las razones sólo dependen del ángulo θ y

no de la elección o de la posición del punto del lado terminal delángulo en posición normal. De lo anterior se establecen relacio-nes o correspondencias, que resultan ser funciones y que se co-nocen como funciones trigonométricas.

Así,

El triángulo rectángulo que se forma al bajaruna perpendicular desde el punto P(x, y) al ejehorizontal se le llama triángulo de referencia,asociado con el ángulo θ (véase la figura 5.13).Será común en la sección que sigue referirse aeste triángulo. En la figura 5.14 se muestrantriángulos de referencia:

y

r

x

r

y

x, y

x1

x

y1

yr

P(x, y)

y

P1(x1, x1)

O(0, 0) Q Q1

r1

Figura 5.12

Significa correspondencia o se relaciona con

θ → y

—,r θ →

x — r

y θ → y

— x

Triángulode referencia

Lado terminal

Ángulode referencia Lado inicial: eje x positivo

x

yr

x

θ

O

P(x, y)

y

y

r θP(x, y)

x

y

O

y

r θP(x, y)

x

y

O

P(x, y)r

x

y

y

O

θ

Figura 5.13

Figura 5.14


Conociendo el valor y el cuadrante en que se encuentra una de las funciones trigonomé-tricas del ángulo θ, se pueden encontrar los valores de las otras funciones. Por esta ra-zón, es importante que el lector conozca los signos de las funciones trigonométricas enlos cuatro cuadrantes. En la figura 5.15 se encuentran los signos de los valores x, y y latabla muestra los signos de las funciones trigonométricas obtenidos por la definición deellas; considérese siempre que r > 0:

Funciones trigonométricas

Sea P(x, y) cualquier punto (que no sea el origen, es decir; (x, y) ≠ (0, 0)) sobreel lado terminal de un ángulo θ en posición normal y la distanciadel origen O al punto P. Se definen las funciones seno, coseno, tangente, cose-cante, secante y cotangente de la siguiente manera:

Nota: siempre es positivo y diferente de 0, quienes pueden tenersignos positivo o negativo son los valores de x y y.

r x y= +2 2

cotangente θ θ= = ≠cot ,x

yy 0secante secθ θ= = ≠r

xx, 0

cosecante cscθ θ= = ≠r

yy, 0tangente tanθ θ= = ≠y

xx, 0

coseno cosθ θ= = x

rseno senθ θ= = y

r

r x y= +2 2

CuadranteI

CuadranteII

CuadranteIV

CuadranteIII

x < 0y > 0

x > 0y > 0

x < 0y < 0

x > 0y < 0

I II III IV

sen θ + + − −

cos θ + − − +

tan θ + − + −

csc θ + + − −

sec θ + − − +

cot θ + − + −

Figura 5.15

Por último, es frecuente usar el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos. Sólopara recordar, el teorema establece que en un triángulo rectángulo c2 = a2 + b2 (véase figu-ra 5.16), o bien:


Por ejemplo, para determinar los valores de funciones trigonométricas en un triángulodado o en un triángulo de referencia, primero se usa el teorema de Pitágoras para deter-minar el lado que falta, o bien, la hipotenusa.

c b

a

hipotenusa Cateto opuesto

Cateto adyacente

θ

(hipotenusa)2 = (cateto adyacente)2 + (cateto opuesto)2

Figura 5.16

Ejemplos

Ejemplo 1

Determinar el valor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo dado θ y el punto P que semuestra se encuentra en el lado final.

a) b)

P(− 3, 1)

y

θ

P(8, −15)

y

θ

solución

solución


a) b) El valor de r también se puede obtener medianteel teorema de Pitágoras:

Ejemplo 2

El lado final de un ángulo en posición normal contiene al punto P dado. En cada caso, determinar elvalor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo.

a) P(4, 10) b) P(−5, −12)

a) b)

Ejemplo 3

Suponer que el ángulo θ se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante donde se encuentrael ángulo para el que secθ < 0 y cotθ > 0

cot θ = −−

=512

512

tan θ = −−

=125

125

cot θ = =410

25

tan θ = =104

52

secθ =−

= −135

135

cosθ = − = −513

513secθ = =2 29

4292

cosθ = =42 29

2 2929

cscθ =−

= −1312

1312

sen θ = − = −1213

1213cscθ = =2 29

10295

sen θ = =102 29

5 2929

x y

r

= − = −

= −( ) + −( ) = =

5 12

5 12 169 132 2

, ,x y

r

= =

= + = = ( ) =

4 10

4 10 116 4 29 2 292 2

, ,

cot θ = = −x

y3tan θ = = − = −y

x

13

33

secθ = = −

= −

r

x

23

2 33

cosθ = = −x

r

32

x y r= = − = + −( ) = =8 15 8 15 289 172 2, ,cscθ = =r

y2sen θ = =y

r

12

x y r= − = = −( ) + = + =3 1 3 1 3 1 22 2, ,

cot θ = = −x

y

815

tan θ = = −y

x

158

secθ = =r

x

178

cosθ = =x

r

817

cscθ = = −r

y

1715

sen θ = = −y

r

1517

solución

solución

solución


Se tiene que como r > 0, secθ < 0 cuando x < 0, entonces se puede encontrar en los cuadran-

tes II o III. Si se tiene que cotθ > 0, x, y, deben ser positivas o negativas a la vez; en este caso, elángulo puede estar en los cuadrantes I o III. Por lo tanto, el lado final del ángulo se encuentra enel cuadrante III.

Ejemplo 4

Suponer que el ángulo se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante donde se encuentra elángulo para el que senθ < 0 y cosθ < 0.

senθ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante III o en el cuadrante IV.cos θ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante II o en el cuadrante III.senθ < 0 y ; cosθ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante III.

Ejemplo 5

Encontrar el valor de las cinco funciones trigonométricas restantes del ángulo θ, dado que θ se encuen-

tra en el cuadrante III y .

De la función , se tiene que:

x = −3, r = 5 (véase la figura). Por lo tanto, se puede encontrar el valor de x mediante el teorema de Pi-

tágoras o la ecuación :

x2 +(−3)2 = 52

x2 = 25 − 9

x2 = 16

x = ±4, es decir; x = 4 o x = −4

Como θ se encuentra en el III cuadrante, se tieneque x = −4; de esto, se obtiene que:

cscθ = = −r

y

53

sen θ = = −y

r

35

r x y= +2 2

senθ = − = −35

35

senθ = − 35

secθ = r

x

y

P(−3, −4)

−3

−4

5

θ

solución


Ejemplo 6

Encontrar el valor de las cinco funciones trigonométricas restantes del ángulo θ, dado que senθ > 0 ysecθ = −2.

De la función , se tiene que x = −1, r = 2 y senθ > 0; se concluye que el ángulo θ

se encuentra en el cuadrante II (véase la figura). Por lo tanto, se puede encontrar el valor de y median-

te el teorema de Pitágoras o la ecuación ;

Pero como el ángulo θ se encuentra en el cuadrante II, se tiene que .

Se tiene que:

cot θ = =x

y

43tan θ = =

−= −y

x

31

3

secθ = = −r

x

54

cosθ = = −x

r

12

cscθ = =r

y

23

seny

rθ = = 3

2

y = 3

−( ) + =

= −

=

= ± = = −

1 2

4 1

3

3 3 3

2 2 2

2

2

y

y

y

y y y, es decir; o

r x y= +2 2

secθ = = − =−

r

x2 2

1

cot θ = =x

y

43

tan θ = =y

x

34

secθ = = −r

x

54

cosθ = = −x

r

45

y

P(−1,− 3)

−1

2

3

θ

solución

solución


Ejemplo 7

En cada caso, encontrar el ángulo de referencia θ′ y dibujar un diagrama.

a) θ = −245°. b) −72°

a) El ángulo de referencia se mide con b)respecto al eje horizontal. θ = −72°θ = −245° θ′ = |−72°| = 72°θ′ = 245° − 180°θ′ = 65°

Ejemplo 8

En cada caso, encontrar el ángulo de referencia θ′ y dibujar un diagrama:

a) θ = 3.5. b) 5.8.

a) b)

θ = 3.5 θ = 5.8θ′ = 3.5 − π θ′ = 2π − 5.8θ′ ≈ 0.3584 θ′ ≈ 0.4832

y

−245°

θ′ = 65°

y

3.5

θ′ ≈ 0.3584

y

θ′ ≈ 0.4832

y

−72°

θ′ = 72°

Ejercicios

y problemas


Evalúa cada una de las seis funciones trigonométricas (si esto es posible) del ángulo θ en posición normal,cuyo lado terminal pasa por los puntos cuyas coordenadas se indican. Da las respuestas en la forma más sim-plificada posible.

1. P(12, −5) 2. P(6, 8) 3.

4. P(−2, −2) 5. P(−3, 4) 6. P(10, 0)

7. P(0, 8) 8. P(−4, −3) 9.

10. P(7, −7) 11. P(5, 5) 12. P(0, −10)

Los siguientes ejercicios se refieren a un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en elcuadrante dado. En cada caso se proporciona una función trigonométrica; encuentra las cinco funciones tri-gonométricas restantes. Expresa las respuestas en la forma más simple posible:

13. ; cuadrante III 14. ; cuadrante IV

15. ; cuadrante IV 16. ; cuadrante II

17. sen θ = −0.6; cuadrante IV 18. tan θ = 1.2; cuadrante III

19. ; cuadrante II 20. ; cuadrante III

21. ; cuadrante III 22. cot θ = −3; cuadrante II


Encuentra el valor de las otras cinco funciones trigonométricas de un ángulo θ, dada la información que seindica. Puede ser útil dibujar un triángulo de referencia:

25. y cos θ < 0 26. y cot θ > 0

27. y sen θ < 0 28. y sen θ < 0

29. y cos θ > 0 30. y tan θ > 0cscθ = − 92

tan θ = − 2

tan θ = − 43

cot θ = − 43

secθ = − 52

sen θ = 35

secθ = 1312

cscθ = − 43

cot θ = 54

cscθ = − 2secθ = − 135

cosθ = − 810

tan θ = − 34

cosθ = 32

sen θ = − 45

P 3 1,( )

P −( )1 3,



Encuentra la medida faltante del triángulo de referencia que se muestra y evalúa las seis funciones trigono-métricas del ángulo θ:

4

−2

θ

y

6

−5θ

y

35

θ

y y

? 5

31. 32.

33. 34.

Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas.

1. Resuelvan el problema: Después de la excursión, verifican la altura vertical aproximada dela cara de Abraham Lincoln, presentado en la introducción de la sección.

2. En los siguientes ejercicios tendrán que investigar primero temas tales como: función lineal,y obtención de coordenadas a partir de la ecuación lineal; después discutirán la manera de re-solver el problema, argumentando y fundamentando sus respuestas.

El lado final de un ángulo θ en posición normal coincide con la recta y = 5x y se encuen-tra en el cuadrante III. Determinen las seis funciones trigonométricas de θ.


3. Discutan los siguientes ejercicios; justifiquen las respuestas:

a) Determinen el valor de csc(−80°), si csc 280° = −1.015.b) Determinen el valor de tan(−195°), si tan 165° = −0.267.c) Expliquen por qué no se permite que el punto P(x, y) esté en el origen, cuando se trata

de definir funciones trigonométricas.d) Si P(x, y) es un punto sobre la recta del lado final de un ángulo en posición normal, con

medida θ.

• Identifica un punto sobre la recta del lado final de un ángulo cuyo valor es (180° + θ)y se encuentra en posición normal.

• ¿Cómo es sen(180° + θ) en relación con sen θ?• ¿Cómo es cos(180° + θ) en relación con cos θ?• ¿Cómo es tan(180° + θ) en relación con tan θ?

4. ¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuando el lado terminal del ángulocoincide con el eje vertical, positivo o negativo?

5. ¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuando el lado terminal del ángulocoincide con el eje horizontal, positivo o negativo?

1. Encuentra el valor de csc θ para el ángulo θ que se muestra a la derecha.

a) b) c)

d)

2. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el ángulo θ si: tan θ < 0, sen θ > 0.

a) I b) II c) III d) IV

− 1137

− 7113

− 87

− 78

y

P(8, −7)

θ


3. Dado que y tan θ < 0, encuentra el valor de cos θ.

a) b) c) d)

4. Halla el valor de tanθ si el ángulo θ se encuentra en el cuadrante I y

a) b) c) d)

5. Encuentra el valor de tan θ, dado que

a) b) c) d)

6. Halla el valor de sen θ si el punto P(−7. −9) se encuentra en el lado terminal del ángulo θ enposición estándar.

a) b) c) d)

7. Determina el ángulo de referencia de .

a) b) c) d)

8. Determina el ángulo de referencia de θ = −155°.

a) −25° b) 205° c) −335° d) 25°

9. Determina el ángulo de referencia de θ = 10 rad.

a) 2π − 10 b) 3π − 10 c) 10 − 3π d) 10

10. Encuentra el valor de sec θ, del ángulo θ en posición estándar con lado terminal sobre larecta 2y + 3x = 0 en el segundo cuadrante.

a) b) c) d) − 132

133

213

132

49π15

4π15

7π30

11π30

θ = 19π15

− 7130

− 9130− 130

9− 130

7

− 157

− 7 1515

− 7 113113

− 17

cos , .θ π θ π= − ≤ ≤78 2

179

917

178

817

sec .θ = 98

2 65

265

− 265

− 2 65

senθ = − 15

Respuestas a los



1. P(12, −5)

4. P(−2, −2)

tan θ = 1 cot θ = 1

7. P(0, 8)

sen θ = 1 csc θ = 1cos θ = 0 sec θ = no es

posibletan θ = no es cot θ = 0posible

10. P(7, −7)

tan θ = −1 cot θ = −1

2. P(6, 8)

5. P(−3. 4)

8. P(−4. −3)

11. P(5, 5)

tan θ = −1 cot θ = −1

3.

6. P(10, 0)

sen θ = 0 csc θ = no esposible

cos θ = 1 sec θ = 1tan θ = 0 cot θ = no

es posible

9.

csc θ = 2

12. P(0, −10)

sen θ = −1 csc θ = −1cos θ = 0 sec θ = no es

posibletan θ = no es cot θ = no esposible posible

cot θ = 3tan θ = 13

secθ = 23cosθ = 3

2

sen θ = 12

P 3 1,( )

cot θ = −13tan θ =

−31

secθ =−21

cosθ = −12

cscθ = 23sen θ = 3

2

P −( )1 3,

cot θ = −34

tan θ =−43

cscθ = 505

cosθ = 550

cscθ = 505

sen θ = 550

cot θ = 43

tan θ = 34

secθ =−54

cosθ = −45

cscθ =−53

sen θ = −35

cot θ = −34

tan θ =−43

secθ =−53

cosθ = −35

cscθ = 54

sen θ = 45

cot θ = 68

tan θ = 86

secθ = 106

cosθ = 610

cscθ = 108

sen θ = 810

secθ = 987

cosθ = 798

cscθ =−987

sen θ = −798

secθ =−

82

cosθ = −28

cscθ =−

82

sen θ = − 28

cot θ =−12

5tan θ = −5

12

secθ = 1312

cosθ = 1213

cscθ =−13

5sen θ = − 5

13



csc θ = −2

cot θ = − 3tan θ = −13

secθ = 23

cosθ = 32

sen θ = − 12

cosθ = 32

cot θ = 34

tan θ = 43

secθ =−53

cosθ = −35

cscθ = − 54

sen θ = − 45

sen θ = − 45

15. ; cuadrante IV 16. ; cuadrante II

cot θ = −43

tan θ =−34

secθ =−54

cosθ = −45

cscθ = 53

sen θ = 35

cosθ = − 810

cot θ = − 43

tan θ = − 34

secθ = 54

cosθ = 45

cscθ =−53

sen θ = −35

tan θ = − 34

17. sen θ = −0.6; cuadrante IV 18. θ = 1.2; cuadrante III

cot θ = 56

tanθ = 65

secθ =−24410

cosθ = −10244

cscθ =−24412

sen θ = −12244

cot θ =−43

tan θ = −34

secθ = 54

cosθ = 45

cscθ =−53

sen θ = −35

19. ; cuadrante II 20. ; cuadrante III

tan θ = 1 cot θ = 1

secθ = − 2cosθ = −12

cscθ = − 2sen θ = −12

cscθ = − 2

cot θ = −512

tan θ =−12

5

secθ =−13

5cosθ = −5

13

cscθ = 1312

sen θ = 1213

secθ = − 135


21. ; cuadrante III 22. cot θ = −3; cuadrante II

cot θ = −3tan θ =−13

secθ =−103

cosθ = −310

cscθ = 101

sen θ = 110

cot θ = 54tan θ = 4

5

secθ =−415

cosθ = −541

cscθ =−414

sen θ = −441

cot θ = 54


cot θ =−12

5tan θ = −512

secθ = 1312cosθ = 12

13

cscθ =−13

5sen θ = − 5

13

secθ = 1312

cot θ = 73

tan θ = 37

secθ =−

47cosθ = − 7

4

cscθ =−43

sen θ = −34

cscθ = − 43

25. y cos θ < 0 26. y cot θ > 0

cot θ = 2tanθ = 12

secθ = − 52

cosθ = −25

cscθ = − 5sen θ = −15

secθ = − 52

cot θ = −43tan θ =

−34

secθ =−54cosθ = −4

5

cscθ = 53

sen θ = 35

sen θ = 35

27. y sen θ < 0 28. y sen θ < 0

cot θ =−34tan θ = −4

3

secθ = 53cosθ = 3

5

cscθ =−54

sen θ = −45

tan θ = − 43

cot θ = − 43tan θ = − 3

4

secθ = 54cosθ = 4

5

cscθ =−53

sen θ = −35

cot θ = − 43


29. y cos θ > 0 30. y tan θ > 0

cot θ = 772

tan θ = 277

secθ =−

977

cosθ = − 779

cscθ =−92

sen θ = −29

cscθ = − 92

cot θ =−

12

tan θ = − 2

secθ = 3cosθ = 13

cscθ =−

32

sen θ = − 23

tan θ = − 2

31.

tan θ = −2

32.

cot θ = 511

tan θ = 115

secθ =−65

cosθ = −56

cscθ =−

611

sen θ = − 116

cot θ = −12

secθ =−202

cosθ = −220

cscθ = 204

sen θ = 420

33. 34.

cotθ =−

912

tan θ = −129

secθ = 159

cosθ = 915

cscθ =−1512

sen θ = −1215

cot θ = − 23

tan θ =−

32

secθ =−

52

cosθ = − 25

cscθ = 53

sen θ = 35


1. d

2. b

3. d

4. b

5. d

6. c

7. c

8. d

9. c

10. a

3335.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales

Distancia aproximada a la que estuvo Juan del volcánFujiyama

En su último viaje a Japón, Juan puso en práctica sus conocimientos de trigono-metría y calculó la distancia aproximada a la que estuvo del centro del Fujiyama.Resulta que Juan lleva a todas partes un goniómetro artesanal que elaboró con untransportador, un hilo a plomo y un tubo de más o menos 15 a 20 centímetros delargo, como lo ilustra el siguiente dibujo:


de ángulos especiales

…aplicaciones muy simples en aparien-cia dan nacimiento a las ideas de las

teorías más abstractas.

Marquis de Condorcet

Introducciónn

Ciertos ángulos surgen con frecuencia en la naturaleza y en la ingenieríadebido a la simetría involucrada. Por ejemplo, en las estructuras de algunospuentes se observan ángulos de 30, 45, 60 y 90 grados. Para cualquier múlti-

plo entero de 30°, 45°, 60°, 90°, (estos ángulos son llamados

ángulos especiales), si la función trigonométrica está definida se logracalcular su valor exacto sin usar una calculadora o una tabla. Con un poco depráctica se llegan a determinar mentalmente estos valores. Para otros ángulosse utiliza una calculadora. En muchos casos, es más conveniente trabajar convalores exactos que con valores aproximados.

El siguiente problema muestra cómo puede aproximarse la distancia o al-tura de un objeto sin el uso de una calculadora o tabla de valores de funcio-nes trigonométricas.

π π π π6 3 4

o2

, ,

TransportadorTubo

Hilo a plomo

Transportador

Hilo a plomo Tubo

Figura 5.17


El transportador y el tubo están unidos formando un todo solidario en relacióncon el movimiento, de modo que, al inclinar el tubo para mirar el extremo supe-rior de un edificio, en este caso de la cumbre del volcán Fujiyama, el hilo a plo-mo marca en la gradación del transportador el ángulo de elevación. Juan no traíacalculadora, pero afortunadamente el ángulo de elevación de su altura de obser-vación a la cumbre marcó 30° (resultó un ángulo especial) y la altura aproxima-da del Fujiyama, según la conversión de unidades que hizo Juan, la consideró de3776 metros (véase la figura 5.18). ¿Cuál fue la estimación de la distancia a laque se encontraba Juan del centro de la base del Fujiyama? Recuérdese que di-cha estimación la hizo sin el uso de una calculadora, ¿cómo estimó Juan la dis-tancia?

Distanciaa la que está

Juan

1.80 m

3 776 m30°

Figura 5.18

Objetivos


• Utilizar los conceptos de razón trigonométrica y relaciones trigonométri-cas de triángulos rectángulos para calcular funciones trigonométricas deángulos especiales.

• Definir y aplicar la relación existente entre la función trigonométrica conargumento negativo con la misma función trigonométrica, pero de argu-mento positivo.

Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180°

Para múltiplos de 90° (equivalente a múltiplos de rad), el triángulo de referencia se de-

genera en un segmento de recta vertical u horizontal. Recuérdese que estos ángulos sonllamados cuadrantales o cuadrangulares, ya que tienen su lado terminal sobre un ejecoordenado. Es fácil encontrar las coordenadas de un punto que pertenece a un eje coorde-

π2


nado. Dado que cualquier punto que no sea el origen sirve para calcular la función trigono-métrica, conviene elegir puntos que estén a una unidad del origen (véase la figura 5.19).

(0, 1)

(0, 1)(−1, 0)

(0, −1)

y

En cada caso: r = 1

Figura 5.19

Comprueba los valores de la siguiente tabla. Observa que, para ciertos valores de θ, al-gunas funciones tienen valores no definidos. ¿Por qué? En cada caso, hay que represen-tar mentalmente la ubicación del lado terminal del ángulo en relación con la figura 5.19.Con un poco de práctica, es posible hacer mentalmente el cálculo:

0 π 2π

0° 90° 180° 270° 360°

0 1 0 −1 0

1 0 −1 0 1

0 No definido 0 No definido 0

No definido 1 No definido −1 No definido

1 No definido −1 No definido 1

No definido 0 No definido 0 No definidocotθ = x

y

secθ = r

x

cscθ = r

y

tanθ = y

x

cosθ = x

r

senθ = y

r

32ππ

2


Las funciones trigonométricas de otros ángulos agudos (ángulos mayores que 0, peromenores que 90°) pueden determinarse mediante el empleo de relaciones geométricas.Para explicar esto, primero definamos las razones trigonométricas de triángulos rectán-gulos:

Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos

Para un ángulo θ en un triángulo rectángulo (figura 5.20), las funciones trigonométricas,llamadas también razones trigonométricas, se definen como sigue:

Razones trigonométricas

Cateto opuesto

Hipoten

usa

Cateto adyacente

θ

cot CatetoadyacenteCateto opuesto

θ =tan Cateto opuestoCateto adyacente

θ =

sec HipotenusaCateto adyacente

θ =cos CatetoadyacenteHipotenusa

θ =

csc HipotenusaCateto opuesto

θ =sen Cateto opuestoHipotenusa

θ =

Obsérvese que: para todo ángulo (o nú-

mero real), donde la función trigonométrica está definida. Éstas son llamadas iden-tidades recíprocas.

cot 1tan

θθ

=sec 1cos

θθ

=csc 1sen

θθ

=

Si el triángulo de referencia de un ángulo dado es rectángulo con ángulos de 30° y 60°,o bien, de 45°, es posible encontrar con exactitud un punto distinto del origen cuyas coor-denadas estén en el lado terminal del ángulo dado. Ya que el triángulo de referencia tieneuna función muy importante en esta forma de calcular los valores de las funciones trigo-nométricas, se mencionan nuevamente el triángulo de referencia y el ángulo de referenciaen esta sección.

Para formar un triángulo de referencia del ángulo θ, se baja una perpendicular desdeel punto P(x, y) del lado terminal de θ al eje horizontal. El ángulo de referencia θ′ es elángulo agudo comprendido entre el lado terminal de θ y el eje horizontal; además, siem-pre se considera positivo.

Figura 5.20


Un triángulo rectángulo con ángulos de 30° y 60° forma la mitad de un triángulo equi-látero, como se indica en la figura 5.22. Puesto que todos los lados de este triángulo soniguales, se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener una relación útil entre lostres lados del triángulo original. En la figura 5.23 se muestran triángulos con diferentesvalores de a, en tanto que el triángulo que se muestra en la parte izquierda es el más sen-cillo de recordar y el que se usa más comúnmente.

θ′

θ

y

P(x, y)

y

(x, y) ≠ (0, 0)

Figura 5.21

a

c

a

c cb

60°

30° 30°

60°

1

2

1

2 2

60°

30° 30°

60°

3

c = 2a

b c a

a a

a aa

= −

= ( ) −

= =>

2 2

2 2

2

2

3 30

Figura 5.22

Triángulo equilátero usadocomúnmente


En la figura 5.24 se muestra el triángulo rectángulo de 45°; utilizando el teorema de Pi-tágoras se obtienen las medidas de los lados. En la figura 5.25 se muestran triángulos condiferentes valores de a, mientras que el triángulo que se muestra en la parte izquierda esel más sencillo de recordar y el que se usa más comúnmente.

2a

60°

30°

a 3

π–3

π–6

a

2

60°

30°

3

1

1

60°

30°

π–3

π–6 a 3–2

1–2

a = 1–2 a = 1 El triángulo usado comúnmente yel más fácil de recordar provienedel triángulo equilátero cuyoslados miden 2

Figura 5.23

45°

2

π–4

π–4

45°c a

45°π–4

π–4

45°

a > 01 1

1

1c = a2 + a2

= 2a2

= a 2

a

Cuadrado usado comúnmente

Figura 5.24

45°π–4

π–4

45°a c

45°π–4

π–4

45°

21–

a 2

a

45°π–4

π–4

45°12

1

a =

21– 2–

2=

21– 2–

2=

El triángulo usado comúnmentey el más sencillo de recordarproviene del triángulo equiláterocuyos lados miden 2

Figura 5.25


En las figuras 5.22 y 5.25 los triángulos de la izquierda son los que se deben recordar.Los otros triángulos se pueden obtener a partir de éstos, multiplicando o dividiendo lalongitud de cada lado entre una misma cantidad no nula. Si un ángulo tiene un triángulode referencia de 30° y 60° o de 45°, es posible usar las figuras 5.22 y 5.25 para determinarlas coordenadas exactas de un punto en el lado terminal diferente del origen (0, 0). Me-diante las razones trigonométricas señaladas en el punto 2 de esta sección y los signosde las funciones trigonométricas, se pueden encontrar los valores exactos de cualquiera delas seis funciones trigonométricas del ángulo indicado, como se muestra en los ejemplosde esta y la siguiente secciones.

Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45°

De los triángulos especiales vistos en el punto anterior:

23

1

30°

60°

se pueden obtener valores importantes de las funciones trigonométricas, usando comoreferencia estos triángulos.

csc HipotenusaCateto opuesto4

π( ) = = =21

2sen45 Cateto opuestoHipotenusa

° = = =12

22

cot30 Cateto adyacenteCateto opuesto

° = = =31

3cot60 Cateto adyacenteCateto opuesto

° = = =13

33

sec HipotenusaCateto adyacente6

π( ) = = =23

2 33

sec60 HipotenusaCateto adyacente

° = = =21

2

csc HipotenusaCateto opuesto6

π( ) = = =21

2csc HipotenusaCateto opuesto3

π( ) = = =23

2 33

tan Cateto opuestoCateto adyacente6

π( ) = = =13

33tan Cateto opuesto

Cateto adyacente3π( ) = = =3

13

cos Cateto adyacenteHipotenusa6

π( ) = = 32

cos Cateto adyacenteHipotenusa3

π( ) = = 12

sen30 Cateto opuestoHipotenusa

° = = 12sen60 Cateto opuesto

Hipotenusa° = = 3

2


Para valores exactos de funciones trigonométricas de ángulos (o números reales) másgenerales, cuyos ángulos de referencia son los ángulos especiales de 30°, 60° o 45°, seprocede de la siguiente manera: se localiza el ángulo, se determina el cuadrante del ladofinal para conocer el signo de la función trigonométrica y se utilizan los triángulos espe-ciales para sacar el valor. Por ejemplo, calcular el valor exacto de:

a) b) c) tan 210°

d) sec(−240°)s e) f) cot 135°

Cada ángulo (o número real) tiene un triángulo de referencia de 30° y 60° o uno de 45°,como se ve en las gráficas.

a) b) sen 5 sen3

π π3

32

⎛⎝

⎞⎠ = − ⎛

⎝⎞⎠ = −cos cos7 1

22

2π π4 4

⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ = =

csc −⎛⎝

⎞⎠

5π6

sen 5π3

⎛⎝

⎞⎠

cos 7π4

⎛⎝

⎞⎠

cot Cateto adyacenteCateto opuesto4

π( ) = = =11

1tan45 Cateto opuestoCateto adyacente

° = = =11

1

sec45 HipotenusaCateto adyacente

° = = =21

2cos Cateto adyacenteHipotenusa4

π( ) = = =12

22

El ángulo de referencia es ; el co-

seno es positivo en el cuadrante I yen el cuadrante IV; por esta razón,

El ángulo tiene como ángulo

de referencia al ángulo ; el se-

no es negativo en el cuadrante IV; por

esta razón, sen3

sen3

5π π⎛⎝

⎞⎠ = − ⎛

⎝⎞⎠

π3

= °60

5π3

300= °

cos cos7π π4 4

⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

π4

π–4

7π–4

y

π–3

5π–3

y


c) d) sec sec60− °( ) = − ° = − = −240 21

2tan tan210 30 13

33

° = ° = =

El ángulo de referencia de 210° es 30°;la tangente es positiva en el cuadranteIII; por esta razón, tan 210° = tan 30°

El ángulo −240° tiene como ángulo dereferencia al ángulo 60°; la secante esnegativa en el cuadrante II; por estarazón, sec(−240°) = −sec60°

210°

30°

y

60°

−240°

y

y

5π− – 6

π–6

135°45°

y

e)

El ángulo de referencia de

es ; la cosecante es negativa en

el cuadrante III; por esta razón,

f)

El ángulo 315° tiene como ángulo dereferencia al ángulo 45°; la cotan-gente es negativa en el cuadrante II;por esta razón, cot315° = −cot45°

cot315 cot45° = − ° = − = −11

1

csc csc−⎛⎝

⎞⎠° = − ⎛

⎝⎞⎠

5π π6 6

π6

= °30

− = − °5 150π6

csc csc−⎛⎝

⎞⎠° = − ⎛

⎝⎞⎠ = − = −5 2

12π π

6 6

Identidades de paridad

Una identidad es una igualdad de expresiones que se cumple para cualquier valor de ca-da variable en una expresión trigonométrica; a esta variable se le llama argumento de lafunción trigonométrica. Así, el dominio de cada variable en una expresión trigonométri-


ca es el conjunto de los números reales o de los ángulos para la cual la expresión tieneun significado llamado argumento de la función trigonométrica.

En esta sección se estudia la relación que existe entre la función trigonométrica conargumento negativo con la misma función trigonométrica, pero de argumento positivo.Para esto, sea P(x, y) un punto en el lado terminal de un ángulo central θ en una circun-ferencia de radio 1, luego identifíquese un punto sobre la recta del lado final del ángulocentral −θ; después de la aplicación de las definiciones de las funciones trigonométricasse pueden responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo es sen(−θ) en relación con sen(θ)?2. ¿Cómo es cos(−θ) en relación con cos(θ)?3. ¿Cómo es tan(−θ) en relación con tan(θ)?4. ¿Cómo es csc(−θ) en relación con csc(θ)?5. ¿Cómo es sec(−θ) en relación con sec(θ)?6. ¿Cómo es cot(−θ) en relación con cot(θ)?

y

(x, y)

(x, − y)

(0, 1)

(0, −1)

(−1, 0) (1, 0)

r =1θ

θ

Figura 5.26

Puesto que los puntos circulares (x, y) y (x, −y) son simétricos con respecto al eje hori-zontal (figura 5.26), se tienen las siguientes relaciones o propiedades de los signos lla-madas identidades de paridad:

sen(−θ) = −y = −sen θ El seno es una función impar

cos(−θ) = x = cos θ El coseno es una función par

La tangente es una función impar

La cosecante es una función impar

La secante es una función par

La cotangente es una función impar cot −( ) =−

= − = −θ θx

y

x

ycot

sec −( ) = = =θ θ1 1x x

sec

csc −( ) =−

= − = −θ θ1 1y y

csc

tan −( ) = − = − = −θ θy

x

y

xtan

θ

θ


solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Evalúa las seis funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos dados sin usar calculadora:

a) 225° b) +225°

a) El ángulo de referencia del ángulo 225° es 45°, en tanto que 225° se encuentra en el cuadrante III.

b) El ángulo de referencia del ángulo −225° es 45°; −225° se encuentra en el cuadrante II. Sin embar-go, es posible usar las identidades de paridad.

Ejemplo 2

Evalúa las seis funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos dados sin usar calculadora.

a) b)

a) El ángulo de referencia es , en tanto que se encuentra en el cuadrante III.

csc3 sen

3

4 14

2 33

ππ= = −sen

3sen

34 3

2π π= − = −

4π3

π3

4π3

23π4π

3

cottan

− °( ) =− °( )

= −2252251 1tan 225 tan 225− °( ) = − ° = −1

sec 225225

− °( ) =− °( )

= −1 2coscos 225 cos 225− °( ) = ° = − 2

2

csc 225sen 225

− °( ) =− °( )

=1 2sen 225 sen 225− °( ) = − ° = 22

cottan

225° =°

=1225

1tan 225 tan 45° = ° = 1

sec 225° =°

= −1225

2cos

cos 225 cos 45° = − ° = − 22

csc 225sen225

° =°

= −1 2sen 225 sen 45° = − ° = − 22

solución


b) El ángulo de referencia de es , en tanto que se encuentra en el cuadrante II.

Ejemplo 3

Usar el hecho de que y evaluar las funciones:

a) sen(−t) b) csc(−t)

Usando las identidades de paridad Usando las identidades de paridad

y el hecho de que . y el hecho de que

a) b)

Ejemplo 4

Resuelve para x

csc cscsen

−( ) = − = − = − = −t tt

1 113

3sen sen−( ) = − = −t t13

csc 1sen

tt

=sen 13

t =

sen 13

t =

cottan

23 2

3

ππ= = −1 3

3tan 2

3tan

3π π= − = − 3

sec 23 2

3

ππ= = −1 2

coscos 2

3cos

3π π= − = − 1

2

csc 23 sen 2

3

ππ= =1 2 3

3sen 2

3sen

3π π= = 3

2

23ππ

323π

cottan

4 14

33

ππ33

= =tan3

tan3

4 3π π= =

sec3

3

4 14 2π

π= = −cos

cos3

cos3

4 12

π π= − = −

60°

25

x

solución


x = = ≈253

25 33

14 43.

3 25=x

tan 60 25° =x

Ejercicios

y problemas

Calcula el valor exacto (si existe) de las siguientes funciones trigonométricas sin usar calculadora.

1. cot 45° 2. sen 0° 3. sec 0°

4. cot(−60°) 5. 6.

7. tan 90° 8. sec(−30°) 9. cos 510°

10. sec 45° 11. sen 150° 12. csc 60°

13. tan 90° 14. sec(−270°) 15.

16. 17. 18.

19. cos 0° 20. cot 330° 21. csc 150°

22. sec 300° 23. 24.

25. cot 225° 26. cos 120° 27. cot 90°

28. tan 60° 29. tan 690° 30. csc(−540°)

31. cot 0° 32. cos 30° 33. sen 45|

34. 35. 36. csc(−π)cot −⎛⎝

⎞⎠

196πcos 8

3π⎛

⎝⎞⎠

cot 32π⎛

⎝⎞⎠cos 2

3π⎛

⎝⎞⎠

cos −⎛⎝

⎞⎠

π6

sec 116π⎛

⎝⎞⎠

tan −⎛⎝

⎞⎠

43π

cot −⎛⎝

⎞⎠

π4

sen 34π

cos 32π c



30°

12 y

37. Resuelve para y:

Usa las identidades convenientes para hallar el valor de la función trigonométrica que se pide:

38. Encuentra sen(−x) si se sabe que

39. Encuentra tan(−x) si se sabe que

40. Encuentra cos(−x) si se sabe que

41. Encuentra sec(−x) si se sabe que secx = 1

42. Encuentra csc(−x) si se sabe que csc x = −1

43. Encuentra cot(−x) si se sabe que cot x = 5

Con una identidad para ángulos negativos, calcula el valor exacto.

44. 45. 46.

47. tan(−π) 48. tan(−45°) 49. csc(−45°)

50. 51. 52.

53. cot(−225°) 54. (sen(−30°)) 55. cot(−135°)

sec6

−⎛⎝

⎞⎠

5πcos3

−⎛⎝

⎞⎠

πsec

3−⎛

⎝⎞⎠

π

sen2

−⎛⎝

⎞⎠

3πcsc6

−⎛⎝

⎞⎠

7πcos

4−⎛

⎝⎞⎠

3π

cos x = 12

tan x = − 3

sen x = − 12

Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas, utilizando una estrategia de reso-lución de problemas:

1. Resuelve el problema: Distancia aproximada a la que estuvo Juan del volcán Fujiyama,que aparece en la introducción de esta sección. ¿A qué distancia estuvo Juan del Fujiyama?


x

y

r

60°

2. Construye un goniómetro artesanal y úsalo para determinar la altura de un edificio. El go-niómetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ángulos. Sus aplicaciones lle-van implícitos los conceptos matemáticos desarrollados por los antiguos griegos. Para cons-truirlo, debes consultar sitios en Internet o en la biblioteca, así como seleccionar el materialnecesario y distribuir las tareas entre los integrantes de tu equipo de trabajo. Una vez que loconstruyan, deberán utilizarlo para medir la altura de un edificio o un monumento impor-tante de tu ciudad.

3. Discute el siguiente problema con los integrantes de tu equipo. Escribe tus argumentos a fa-vor de cada una de tus respuestas.

Problema Usa la figura para encontrar la distancia de los lados opuestos de la tuerca hexa-gonal como función (en términos) de r.

1. Encuentra el valor exacto de cot(−150°):

a) b) c) d) 1

2. Encuentra el valor exacto de :

a) b) c) d) 32

12

− 12

− 32

sen3

−⎛⎝

⎞⎠

8π

− 13− 1

23



a) 1 b) c) d)

4. Encuentra el valor exacto de csc(225°):

a) b) c) d) 2


a) b) c) −1 d)


a) b) c) d)

7. Encuentra el valor exacto de tan(−210°):

a) 1 b) c) d)

8. Encuentra x del triángulo rectángulo mostrado a la derecha:

a) b) −14 c) d)

9. Simplifica la expresión: :

a) −tanx b) cot x c) tanx d) −cot x

10. Determina si la siguiente proposición es verdadera o falsa, dando una justificación a tu res-puesta:

a) Verdadero b) Falso

sen 60sen 30

sen sen °°

= °°

⎛⎝

⎞⎠ = °60

302

cos −( )−( )

x

xsen

72

7 373

− 33

12

− 3

22− 1

23

3− 3

2

sen6

7π⎛⎝

⎞⎠

3− 33

32

tan6

5π⎛⎝

⎞⎠

− 232

− 32

232

13

sec4

7π⎛⎝

⎞⎠

7

30°

x


Respuestas a los


1. cot 45° = 1 2. sen 0° = 0 3. sec 0° = 1

4. 5. 6.

7. tan 90° = indefinido 8. 9.

10. 11. sen 150° = 1/2 12. csc 60° = 1/2

13. tan 90° = indefinido 14. sec(−270°) = indefinido 15.

16. 17. 18.

19. cos 0° = 1 20. 21. csc 150° = 2

22. sec 300° = 2 23. 24.

25. cot 225° = 1 26. 27. cot 90° = 0

28. 29. 30. csc(−540°) = indefinido

31. cot 0° = indefinido 32. 33.

34. 35. 36. csc(−π) = indefinido

37. y = 6 38. 39.

40. 41. 1 42. 112

312

cot −⎛⎝

⎞⎠ = −19

6π 3cos 8

3π⎛

⎝⎞⎠ = − 1

2

sen 45 =° 22

cos 30 =° 32

tan 690 =° − 33

tan 60 =° 3

cos 120 =° − 12

cot 32π⎛

⎝⎞⎠ = 0cos 2

3π⎛

⎝⎞⎠ = − 1

2

cot 330 =° − 3

cos −⎛⎝

⎞⎠ =π

63

2sec 11

6π⎛

⎝⎞⎠ = 2 3

3tan −⎛

⎝⎞⎠ = −4

3π 3

cot −⎛⎝

⎞⎠ = −π

41

sec 45 = ° 2

cos 510 =° − 32

sec − °( )30 23

3

sen 34π = 2

2cos 3

20π =cot − °( ) = −60

3π


43. −5 44. 45. 2

46. 1 47. 0 48. −1

49. 50. 2 51.

52. 53. −1 54.

55. 1

− 12− 2 3

3

12

− 2

− 22


1. a 4. c 7. d 10. b2. a 5. b 8. c3. d 6. c 9. d

3515.4 Identidades fundamentales


Así como en la naturaleza no hay un pun-to medio entre la verdad y la falsedad,también en las pruebas rigurosas debeuno establecer su objetivo sin ninguna

duda, o si no hacer peticiones de principiode manera excusable. No hay oportunidadde mantenerse de pie invocando limitacio-

nes, distinciones, distorsiones verbales ocualquiera otra acrobacia mental. Uno de-

be, con pocas palabras y al primer salto,convertirse en César o nada.

Galileo Galilei

Introducción

En matemáticas, uno se encuentra con expresiones, ecuaciones y fórmulascomplicadas de las seis funciones trigonométricas. Es importante lograr es-cribir una expresión trigonométrica complicada en una forma más sencilla omás conveniente. Para hacerlo, se requieren dos cosas: dominar bien el álge-bra y conocer las identidades trigonométricas fundamentales.

En matemáticas hay dos tipos de ecuaciones en las que intervienen fun-ciones trigonométricas. Unas se llaman identidades y las otras ecuacionescondicionales. En general, a la ecuación f(x) = g(x) (léase “f de x es igual a gde x”) se le llama identidad si se cumple la igualdad para cualquier númeroreal x donde estén definidas tanto f como g. Si la ecuación f(x) = g(x) se cum-ple para algunos valores de x y para otros no, cuando se sustituye x, se le co-noce como ecuación condicional.

Por ejemplo, en trigonometría:

1. 1 + tan2 x = sec2 x es una identidad, ya que la ecuación se cumple paracualquier valor de la variable x, donde x toma valo-res en el dominio de definición de las funciones tan-gente y secante.

2. 2 cos x − 1 = 0 es una ecuación (condicional) trigonométrica, yaque la igualdad sólo se cumple para algunos valo-res de x. En tal caso, la igualdad se cumple sólo si

y si para el caso particular de que

0 ≤ x ≤ 2π. Pero, por ejemplo, para ,

; sin embargo, . 2 1 0cos π4

⎛⎝

⎞⎠ − ≠cos = =π

4 22

x = π4

x = 53π

x = π3


Uso de la trigonometría para eliminar un parámetro

En el tema de curvas planas y ecuaciones paramétricas se pide trazar la curva re-presentada por:

A las ecuaciones x = 3 cos t y y = 4sen t se les denomina ecuaciones paramétri-cas, en tanto que a t se le llama parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obte-nido cuando t varía en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π se le conoce como la gráfica de lasecuaciones paramétricas. El par formado por las ecuaciones paramétricas y sugráfica recibe el nombre de curva plana, mismo que se denota por C.

Para trazar la gráfica, primero se despejan cos t y sen t:

y Despejar cost y sent.

A continuación, se utiliza la identidad fundamental: cos2t + sen2 t = 1, para lle-gar a una ecuación que sólo involucre a “x” y a “y”.

cos2t + sen2 t = 1 Identidad trigonométrica

Sustituir

Ecuación rectangularx y2 2

9 161+ =

x y

3 41

2 2⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ =

sen ty=4

cos tx=3

0 2≤ ≤t πx ty t

==

⎧⎨⎩

34

cossen

De esta manera, se observa que la ecuación 2 cos x− 1 = 0 sólo se cumple para algunos valores de x deldominio de la función coseno; por dicha razón, se lellama ecuación condicional.

3. ; la expresión no es considerada como ecuación, por-que no tiene el signo de igualdad, aunque sí es ca-talogada o nombrada como simple expresión trigo-nométrica.

Las identidades trigonométricas forman una parte importante de cualquierdesarrollo de la trigonometría. La importancia de las identidades radica enque facilitan, con mucha frecuencia, el trabajo de evaluación de funciones deuna función dada o de una expresión que contiene varias funciones. Un ejemplo

es el de la propiedad recíproca: , vista en la sección anterior, la

cual permite la evaluación de la función secante, para un ángulo cuyo valordel seno es conocido. El uso y la aplicación más comunes de las identidadestrigonométricas son en la misma matemática, como se plantea en el siguien-te problema:

secθθ

= 1cos

1 ++csc

cos cotx

x x


Esta ecuación rectangular permite ver que la gráfica es una elipse centrada en(0, 0), con vértices en (0, 4) y (0, −4), así como eje menor de longitud 2b = 6(figura 5.27); ambas deducciones aún no han sido vistas, pero el lector las puedeconsultar en la sección 6.4 de la siguiente unidad. Hasta este momento sólo esposible entender que la trigonometría llega a usarse en temas de la misma mate-mática. La gráfica de esta elipse se traza en sentido contrario al movimiento delas agujas del reloj cuando t varía de 0 a 2π. ¿Por qué?

Al finalizar esta sección, resolverás en forma colaborativa ejercicios similares.

t = π

y

2π–t =

3π t = – 2

t = 0x

Objetivos


• Usar las identidades fundamentales para encontrar valores de una funcióntrigonométrica.

• Convertir expresiones trigonométricas a formas equivalentes usando lasidentidades fundamentales.

• Conocer la diferencia entre una expresión, una ecuación condicional y unaidentidad.

• Resolver identidades trigonométricas, usando las siguientes técnicas:

- Con un lado a la vez. No “cruzar” del signo igual.- Algebraicas como combinación de fracciones, factorización de expresio-

nes, racionalizando denominadores y completando el binomio al cuadrado.- De identidades fundamentales.- De conversión de todos los términos a senos y cosenos.

Figura 5.27


Identidades fundamentales o básicas

En la sección anterior se presentaron seis identidades fundamentales; a saber, las recí-procas y las de los ángulos negativos. En esta sección se presentan 11 identidades fun-damentales o básicas y tres más que, aunque no son básicas, son muy útiles en cálculo.Tales identidades se usan con mucha frecuencia, por lo que deben recordarse y memori-zarse de forma razonada.

Identidades fundamentales

1. Identidades recíprocas:

2. Identidades de cociente o identidades de tangente y cotangente:

3. Identidades pitagóricas:

4. Identidades para negativos o para los inversos aditivos, también llamadasidentidades de paridad:

5. Identidades no básicas, pero útiles en cálculo que se sugiere sean aprendidas:

sen 1 cos22

2θ θ= −cos 1 cos22

2θ θ= +sen 2 2sen cos θ θ θ=

tan −( ) = −θ θtancos −( ) =θ θcossen sen −( ) = −θ θ

1 cot csc2 2+ =θ θ1 tan sec2 2+ =θ θsen cos 12 2θ θ+ =

cot cos sen

θ θθ

=tan sen cos

θ θθ

=

cot 1tan

θθ

=sec 1cos

θθ

=csc 1sen

θθ

=

Funciones trigonométricas definidas Funciones trigonométricas de triángulospara cualquier ángulo. rectángulos o ángulos agudos

, para sen θ ≠ 0

, para cos θ ≠ 0 1cos cateto adyacente

hipotenusa

hipotenusacateto adyacenteθ

θ= = =1 sec1

cos sec

θθ= = =1

xr

r

x

1sen cateto opuesto

hipotenusa

hipotenusacateto opuesto

θ

θ= = =1 csc1sen

θ

θ= = =1yr

r

ycsc

1. Demostración Las identidades recíprocas se obtienen directamente de las definiciones de las funciones tri-gonométricas. A continuación se ofrecen dos formas de demostrarlas:

Cateto opuesto = bHipotenusa = c

Cateto adyacente = a

θ


, para tan θ ≠ 0 1tan cateto opuesto

cateto adyacente

cateto adyacentecateto opuestoθ

θ= = =1 cot1

tan 1 cot

θθ= = =y

x

x

y

2. Demostración Para demostrar la identidad de la tangente, se aplican las definiciones de las funciones trigo-nométricas, en tanto que para comprobar la identidad de la cotangente se emplean una relación recíproca yla identidad de la tangente.

Funciones trigonométricas definidas para Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos cualquier ángulo. o ángulos agudos.

, para cos θ ≠ 0

para tan θ ≠ 0

cot 1tan

1sen cos

sen

θθ θ

θ

θθ

= = = cos

sen cos

cateto opuestohipotenusa

cateto adyacentehipotenusa

cateto opuestocatetoadyacente

θθ

θ= = = tansen cos

θθ

θ= = =

yrxr

y

xtan

3. Demostración Las identidades pitagóricas se llaman así por el primer paso en su demostración. De acuerdocon la figura:

b2 + a2 = c2 teorema de Pitágoras.

se divide todo entre c2

sen2θ + cos2θ = 1 definiciones de sen θ y cos θ

Funciones trigonométricas definidas paracualquier ángulo.

sen cos 2 2θ θ+ = ⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ = + = =y

r

x

r

x y

r

r

r

2 2 2 2

2

2

2 1

b

c

a

c⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ =

2 2

1


4. Demostración Para demostrar la identidad pitagórica 1 + tan2θ = sec2θ, se aplica la identidad demostrada co-mo sigue:

se divide entre cos2θ

ecuación equivalente

propiedad de los exponentes

tan2θ + 1 = sec2θ identidades de tangente y recíproca

Para demostrar 1 + cot2θ = csc2θ, se divide sen2θ + cos2θ = 1 entre ambos miembros como sigue:

se divide entre sen2θ

ecuación equivalente

propiedad de los exponentes

identidades de cotangente y recíproca1 cot csc2 2+ =θ θ

sensen

cos sen

1sen

θθ

θθ θ

⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

2 2 2

sensen

cossen

1sen

2

2

2

2 2θθ

θθ θ

+ =

sen cossen

1sen

2 2

2 2θ θ

θ θ+ =

sencos

cos cos

1cos

θθ

θθ θ

⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

2 2 2

sencos

coscos

1cos

2

2

2

2 2θθ

θθ θ

+ =

sen coscos

1cos

2 2

2 2θ θ

θ θ+ =

5. Demostración Las identidades de paridad o de ángulo negativo fueron demostradas enla sección anterior.

6. Demostración: Las demostraciones de las identidades no fundamentales, tales como:

Identidades para el doble de un ángulo

Identidades para la mitad de un ángulo

tan 1 cos21 cos2

2θ θθ

= −+

tan2 2tan 1 2θ θ

θ=

− tan

sen 1 cos22

2θ θ= −cos2 cos sen1 sen

cos 1

2 2

2

2

θ θ θθ

θ

= −= −= −

22

cos 1 cos22

2θ θ= +sen2 sen cos θ θ θ= 2

se dejan como trabajo de investigación y discusión en equipo.


Demostración de otras identidades

Las identidades básicas de la trigonometría y las técnicas del álgebra sirven para verifi-car o comprobar otras ecuaciones trigonométricas, que también son identidades. Gene-ralmente, esto se hace transformando un miembro de la ecuación en la forma expresadaen el segundo miembro. A menudo resulta útil transformar cada lado o cada miembro dela ecuación de manera independiente en una forma equivalente que sea la misma para losdos miembros, pero tal procedimiento es el más recomendado sólo cuando resulta com-plicado, como ocurre en la primera forma mencionada.

Cuando se trabaja con expresiones trigonométricas, con frecuencia es convenienteconvertir una forma en otra equivalente que resulte más útil. Esta sección fue diseñadapara lograr experiencia en este proceso. Las 11 identidades fundamentales que se dieronen la tabla de la sección anterior se usarán frecuentemente, por lo que se deben aprenderantes de seguir adelante. Para llegar a ser eficiente en el uso de identidades, es importan-te que el lector resuelva muchos problemas por sí mismo. Aunque no hay un método fijode demostración que sirva para todas las identidades, existen ciertos pasos que ayudanen muchos casos.

Sugerencias para demostrar identidades

1. Se comienza con el miembro más complicado de la identidad para transfor-marlo en el más simple.

2. Se intenta hacer operaciones algebraicas como multiplicación, factorización,combinación de fracciones con otras más simples y descomposición de frac-ciones simples; también se sugiere hacer sustituciones utilizando identida-des básicas.

3. Si fallan otros pasos, expresar cada función en términos de senos y cosenos,lo cual a menudo resulta muy útil, y después realizar operaciones algebrai-cas apropiadas.

4. En cada paso, hay que tomar en cuenta al otro miembro de la identidad. Confrecuencia, lo anterior sugiere lo que hay que hacer para llegar a él.

Se advierte que si una identidad (supuesta, a menos que ya haya sido demostrada comoidentidad) contiene fracciones, no deben multiplicarse ambos miembros por el mínimocomún denominador.

Es importante advertir también que no todas las ecuaciones que contengan funcionestrigonométricas son identidades, lo cual es posible demostrar produciendo un contrae-jemplo, mediante la asignación de valores a la variable que se está considerando. Lo an-terior lleva a una ecuación donde los valores de los dos miembros de la misma no soniguales, como se ilustra en el ejemplo 8.

solución

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

Demuestra la identidad cscx − cosx cotx = senx

Identidad recíproca e identidad cociente

Álgebra

Identidad pitagórica, despejando sen2x

Álgebra (ley de los exponentes)

Ejemplo 2

Demuestra la identidad

Identidad cociente, todo a senos y cosenos

Álgebra

Álgebra (división de fracciones)

Álgebra (simplificación de fracciones)

Ejemplo 3 Demuestra la identidad sec cot

tan cos

2 1x x

x x xx

−( )+

=sen

sen

= cos2 x

= −−

cos coscos

2 2

21x x x

x x

sensen

2

2

= −−

coscos

cos

2

2

2

x xx x

x

sensen

2

2

cos cos

cos

2 2

21 1

x x

x

x xx

x

−−

= −

−

sentan

sensen

2

2

2

2

cos cos22

1x

x x

x= −

−sen

tan

2

2

= senx.

= sensen

2 x

x

= −1 2cos x

xsen

csc cos cot cos cosx x x

xx

x

x− = −1

sen sen

solución

solución

solución


Identidad pitagórica, despejando tan2x,

identidad recíproca e identidad cociente

Álgebra

Identidad pitagórica e identidad cociente


Álgebra (simplificación)

Ejemplo 4


Álgebra (factorización)

Álgebra (división y prop., asociativa)

Identidad pitagórica

Ejemplo 5


Identidad recíproca e identidad cociente1

sen sen sen+

+=

+

+

sectan

cos

cos

x

x xx

xx

x

1 1

1sen

++

=sectan

cscx

x xx

= −1 sen t tcos

= +( ) −sen sen2 2t t t tcos cos

sensen

sen sen sensen

3 3 2 2t t

t t

t t t t t t

t t

++

=+( ) − +( )

+coscos

cos cos coscos

sensen

sen3 3

1t t

t tt t

++

= −coscos

cos

= senx

= senx

x

x

coscos

1

=

sen

1

x

x

x

cos

cos

=+

tancos

cos

xx x

x

sen2 2

sec cottan cos

tantan

cos

22

11

x x

x x x

xx

x

xx x

−( )+

=

⎛⎝

⎞⎠

+sen sencos

sen

solución


Álgebra (suma de fracciones)



Álgebra (simplificación de fracciones)

Identidad recíproca

Ejemplo 6


Álgebra (suma de fracciones)

Álgebra (productos notables)

Álgebra (simplificación),identidad pitagórica

Álgebra (combinaciónde fracciones)

Identidad cociente,identidad recíproca

Ejemplo 7

Demuestra la identidad coscos

tanxx

x x=−( )

− −( ) −( )1 sen

= 4 tan secx x

= 4 1senx

x xcos cos

= 42

senx

xcos

= + + − + −−

1 sen sen 1 sen sen1 sen

2 2

22 2x x x

x

1 sensen

1 sensen

1 sen 1 sen 1 sen 1 sensen sen

+−

− −+

= +( ) +( ) − −( ) −( )−( ) +( )

x

x

x

x

x x x x

x x1 1 1 1

1 sensen

1 sensen

+−

− −+

=x

x

x

xx x

1 14 tan sec

= csc x

= 1senx

= ++( )

coscos

x

x x

11sen

= ++

coscos

x

x x x

1 sen sen

=

+

+

coscos

coscos

x

xx x x

x

1

sen sen

solución


Identidades de paridad

Álgebra, identidad recíproca

Identidad cociente

Álgebra

Álgebra (combinación de fracciones)

Identidad recíproca


Identidad pitagórica, despejando cos2x

Identidad cociente

Álgebra

Ejemplo 8

Demuestra que la expresión 2senx cosx = senx no es una identidad.

Se debe encontrar un valor para el cual ambos miembros estén definidos, pero que no sean iguales entre sí.Si se prueba el valor x = 0, se tiene que:

Para este valor no resulta un contraejemplo que muestre que no se trata de una identidad.

Para , se obtiene la siguiente contradicción:

esto muestra que 2senx cosx = senx no es una identidad.

2

2 1 0 10 1

sen2 2

sen2

π π π⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

( )( ) =≠

cos

x = π2

2 0 0 02 0 1 0

0 0

sen sen cos =( )( ) =

=

= cos x

= 1 2

coscos

xx

= sec x xcos2

= −( )sec x x1 sen2

= −sec secx x xsen2

= −seccos

xx

x11

sen2

= −seccos

xx

x

sen2

= −seccos

xx

xx

sen sen

= −sec tanx x xsen

1 1cos

tancos

tan−( )

− −( ) −( ) = − −( ) −( )[ ]x

x xx

x xsen sen


Ejercicios

y problemas

Demuestra las siguientes identidades:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34. tan cottan cot

cosx x

x xx

−+

= −1 2 2cot sec cos tan sen

x xx x

x+ = +

tantan

secsec

sen sen

u u

u u

u

u

+−

= +−

11

2 3 3 2 11

2

2sen

sen

x x

x

x

x

+ − = −+

cos coscos

cot csc coscos

u uu

u−( ) = −

+2 1

1cos cos csc cotx

x

xx x x−

+= − +sen

1 cos

tantan cos

sen

x

x x x−=

−21

2sen

sen θ

θθ

θ11

−= +

coscos

11

2

22−

−=cot

tancotx

xx

coscos

cos3

1θ θθ θ

θ θ−−

= +sen sen

sen 3

cos cos sen

cos 1 cos 2

2 3 2 2x x

x

x

x

− + = −+

sen sen cos

sen 1 sen 2

2 4 3 3x x

x

x

x

+ + = +−

csc cos cot−( ) −( ) = − −( )t t xsectan

csc−( )−( )

= −t

tt

cot cos csc−( ) −( ) − −( ) = − −( )x x x xsen11 1

2−−( ) +( ) =cos y

y yy

sen sentan2

sec2 y y− =tan 12csc2 x x− =cot 12

cos2 x x x− = −sen 1 2sen2 2sen 1 2sen2x x x x+( ) = +cos cos

cos csc2 t

sen tsen t t+ =1 2

22+ = −cos cscθ

θθ

sen12

csc cot sec

θθ

θ=cos sec 1 sen2 2 2θ θ θ−( ) =

cot tan csc sec θ θ θ θ+ =cot csc tan sen sec cos θ θ θ θ θ θ+( ) −( ) = −

sen cos cos

tan θ θθ

θ+ = +11 1 1−( ) +( ) =sen tan2 2θ θ

sec sec2 2θ θ θ θcsc csc2 2= +1 1 12+( ) −( ) =sen sen θ θ

θsec

coscos

sen

sen

αα

αα1

1+

= −costan

cos2 2

22

1x x

x−

−=sen

sec tan cosx x

x

x− =

+1 sen csc cot sen

1 cos θ θ θ

θ− =

+



35. 36.

37.

Demuestra que las siguientes ecuaciones no son identidades. Determina un número en el dominio de t o θpara el cual sea falsa la ecuación:

38. 39.

40. 41.

42. 43. (cos θ + sen θ)2 = cos2θ + sen2θ

44. 45. sec tant t= +2 11 2− =cos t tsen

3 02cos θ θ+ − =cos 2

cos2 2 1θ θ+ =sen tan2 1t t+ = −cot2

tan2 1t t+ = −cot2cot tan θ θ=

tantan cos

sen

x

x x x−=

−21

2

1 2+ ++

=coscos

cscx

x

x

xx

sen sen

1 sec sec tan tan4 2 2 42 1x x x x− + =

Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas:

1. Resuelvan el problema Uso de la trigonometría para eliminar un parámetro, que apareceen la introducción de esta sección. Consulten la unidad sobre cónicas para identificar las curvasdefinidas por las ecuaciones paramétricas siguientes, con el nombre que la denomine, es decir,parábola, elipse, circunferencia o hipérbola.

a)

b)

c)

2. Investiguen y discutan la demostración de las siguientes identidades:Identidades para el doble de un ángulo Identidades para la mitad de un ángulo

tan 1 cos21 cos2

2θ θθ

= −+

tan2 2tan1 2θ θ

θ=

− tan

sen 1 cos22

2θ θ= −

cos2 cos sen1 sen

cos 1

2 2

2

2

θ θ θθ

θ

= −= −= −

22

cos 1 cos22

2θ θ= +sen2 sen cos θ θ θ= 2

x ty t

==

⎧⎨⎩

43

sec tan

x ty t

= += +

⎧⎨⎩

2 23 2

sen cos

x ty t

==

⎧⎨⎩

34

sen cos


1. Elige la opción correcta que verifique la siguiente identidad: .

a) b)

c) d) Todas las verificaciones soncorrectas.


a) b)

= tan x

= 1cot x

= −sec tancot

2 2x x

x

=− ⎛

⎝⎞⎠sec tan

tancot

2 3 1x x

xx

seccot

tan sec tan cotcot

23

2 3x

xx

x x x

x− = − ( )sec

cottan sec tan tan

23 2 3x

xx x x x− = −

seccot

tan tan2

3x

xx x− =

= tan x

= cos sen

x

x

= − ⋅cos cosx

x

x

x

1sen sen

= −

⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠

cos

cos

x xxx

1sen sen

= −cos csctan

xx

x2

cos csccot

cos csctan

x x

x

x x

x2 21=

−

= tan x

= tan x= cos x

xsen

= sen xxcos= −cos

cscx

x

1

= coscos

x x

x x

sensen

2

2= −cos csccsc

x x

x1 2

cos csccot

cos tanx x

xx

xx2

21= ⎛⎝

⎞⎠sen

cos csccot

cos csccsc

x x

x

x x

x2 21=

−

cos csccot

tanx x

xx2 =

= tan x

= ( )tan x 1

= −( )tan sec tanx x x2 2


c) d) Todas las verificaciones son correctas.

.


a) b)

c) d) Todas las verificaciones son correctas.

= ( ) =sen sen x x1

= −( )sen x x1 cos

= −sen sen x x xcos

= −sen cos

sen x

xx

= ⎛⎝

⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

1cos cos

coscosx

x

xx

x

x

sen sen

= −( )sec cos cotx x x

sen x x

x

x x

x

− = −costan

sec cos

cot1

= sen x

= sensen

2 x

x

= −1 2cos x

xsen

= −1 2

sen sen x

x

x

cos

= ⎛⎝

⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

1cos

cos cos cosx

x

xx

x

xsen sen

= −( )⎛⎝⎞⎠sec cos cos

x xx

xsen = −( )sec cos cotx x x

sen sen

x x

x

x xxx

− = −costan

sec cos

cos

sen x x

x

x x

x

− = −costan

sec cos

cot1

sen x x

xx

− =costan

cos

= tan x

= + −tan tan tanx x x3 3

= + −1 23

cottancot

tanx

x

xx

seccot

tan tancot

tan2

32

31x

xx

x

xx− = + −

= sen x

= −1 2cos x

= −sec cosx x xsen 2

Respuestas a los



4. Expresa en términos de seno y coseno; luego simplifica el resultado.

a) -sen x b) cos x c) sec x d) csc x e)

5. Simplificar completamente .

a) b) 1 c) 0 d) 11cos t t+( )sen− −

+11

sen sen

t

t

1 sen

sen

− −+

t

t

t

tcoscos

1

12cot x

1 ++csc

cos cotx

x x

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

sen cos cos

sen cos

cos cos

tan θ θθ

θθ

θθ

θ+ = + = +11 1

1

2−( ) +( ) = + =+ =

sen tan cos tancos sen

2 2 2 2

2 2

θ θ θ θ θθ θ

cos

sec ( tan

tan

csc sec

2 2

22

2

2 2

11

θ θ θ θ

θ θ θ θ θθ θ

θθ

θ θ

csc )(csc )

csc csc csccos

1cos

csc

2 2

2 2 22

22

= + =

+ = + =

= + = +

sen

sen

1 11 1

1

2

2

+( ) −( ) == − + − = − =

= =

sen sen sen sen

cos

2

2

θ θθ θ θ θ

θθ

sen sen

sec

cos cos *

coscos cos

αα

αα

αα

α αα

α αα

αα

1 111

12

+=

+−−

= =

= = −sen sen

sen

cos (1- sen )1- sen

(1- sen ) sen

2sencos

tancoscos

cos

cos2 2

2

2 2

2 2

2

2

1x x x x

x x

x

x−

−= −

−=sen sen

sen

sec tancos cos cos

cos*

cos ( )cos

cos ( )cos

x xx

sen x

x

sen x

xsen x

x

sen x

sen x

sen x

x sen xx

x sen x

x

x

− = − = −

= − ++

= −+

=

=+

=+

1 1

1 11

11

1 1

2

2

sen

csc cottan

cos

cos * cos

θ θθ θ

θθ

θθ

θθ

θθ θ

θθ θ

θθ

− = − = −

= − ++

= −+

=+

=+

1 1 1

1 1

2

sen

sen

sen

sen

sen 1 cos 1 cos

sen 1 cos

(1 cos )sen

1 cos

2


9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

csc coscos( )

( )cos( )

( )cot

−( ) −( )= −

−= −

−= − −( )

t tt

sen t

t

sen tx

sectan

sec( )tan( )

coscos

csc

−( )−( )

=−

= −

= − = −

t

t

t

t

t

sent t

sentt

1

cot cos

cot cos cos

csc csc

−( ) −( ) − −( )

= − + = +

= = = − −( )

x x x

x x senxx sen x

sen x

sen xx x

sen2 2

2

21

11 1

1 1

2

2

2

2

2

2

2

−−( ) +( )

=+ − −

=−

= =

cos

cos

y

y y

sen y

seny seny sen y

sen y

sen ysen y

yy

sen sen

tan2

seccos cos

coscoscos

22

2

2

2

2

2

2

1

1

y yy

sen y

ysen y

y

y

y

− = −

= − = =

tan

1

2csc cos

cos

22

2

2

2

2

2

2

1

1

x xsen x

x

sen xx

sen x

sen x

sen x

− = −

= − = =

cot

1

2

cos2

2 21x xsen x sen x x

−= − − = −

sen1 2sen

2

2

sen

1 2sen

2x x

sen x sen x x xx x

+( )= + += +

coscos cos

cos

2 22

cos

cos csc

2

2 2 1

tsen t

sen t

t

+

= + = =t sen t

sent sent

1

2

22 2

2

+ = + = +

= + − = −

cos csc csc

csc

θθ

θ θθ

θ θ

θ θ θsen

cossen

cot

csc csc 1 12

2

22

2 2

csc cos cot sec

1

cos

sen

θθ

θ

θ

θθ

θ= = =

1sencos sec 1

cos1 cos sen

2 22

2 2

θ θ θθ

θ

θ θ

−( ) = −

= − =

cos cos2

2

cot tan sen

sen cos

sen cos

cos csc sec

2

θ θ θθ

θθ

θ θθ θ

θ θθ θ

+ = + = +

= =

cos cos2

1sen

sen

cot csc tan sen tan - cot sen csc tan - csc sen

tan tan

sen

sen cos

sen sen

sec -1 sec cos

θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θθθ

θ θθ

θθ θ

θθ

θ θ θ θ

+( ) −( ) == +

= − + −

= − + = −

cotcos

cossen

sen

1


23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

tantan

coscos

coscos

( cos )cos( cos )cos

cos

cos

secsec

u u

u u

sen u sen u uu

sen u sen u uu

sen u uu

senu uu

u

u

u

u

+−

=

+

−

=

+

− =+

−= +

−

sen sen

1

1

1 1

1 1

11

2 3 3 2 2 3 1

2 3 1 2 3 1

2 1 11

2 1 11 1

2 11

2

2

2

2

2

2

2

2

sensen

sensen

1- sensen

2

x x

x

x

xx x

x

x x

sen xx x

x

x x

x xx

x

x+ − = − + −

=− ( ) + −

= − + −

= − −−

= − −− +

= −+

cos cos

cos cos cos

( cos )(cos )cos

( cos )(cos )( cos )( cos )

coscos

cot csc cot cot csc csccos cos

cos cos ( cos )( cos )( cos ) cos

coscos

u u u u u u

u

sen u

u

sen u sen uu u

sen u

u u

u uu

u

−( ) = − +

= − + =

= − + = − −− +( )

= −+

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

2 1

2 1 1 11 1

11

cos cos *

cos ( cos ) cos cos

cos cos csc cot

xx

xx

x

x

x

x

xx x

xx

x

sen x

xsen x

x

sen xcs x x x

−+

= −+

−−

= − −−

= − −

= − + = − +

sen 1 cos

sen 1 cos

1 cos 1 cos

sen 1 cos

21 1

1

tantan

coscos

cos

cos cos

x

x x

senx

xsenx x senx

xsenx

senx x senx x

sen −= −

=−

=−

2 2

21

2

sen

sen

1 cos

(1 cos ) 1 cos

sen

θθ

θθ

θθ

θ θθ

θ θθ

θθ

1 1 1

11

2 2

−=

−++

=

= +−

= +( ) =

= +

cos cos*

cos

coscos

sen sen

sen

11

2

2

2 2

2

2 2

2

2

22

−−

=

−

−=

= =

cottan

cos

coscos

cos cot

x

x

sen x x

sen xsen x x

xx

sen xx

coscos

(cos )(cos )cos

(cos ) cos cos

3

2

2 1

θ θθ θ

θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ

−−

= + +−

= + + = +

sen sen

- sen cos sen sen sen

sen sen sen

3

2

2

cos cossen

cos1 cos

2

2

23 2 2 1

12 11 1

2

x x

x

x x

xx x

x x

x

x

− + = − −−

= − −+ −

= −+

(cos )(cos )cos

( cos )( cos )( cos )( cos )

sen sencos

sen1 sen

2

2

24 3 3 1

13 1

1 13

x x

x

senx senx

sen xsenx senx

senx senx

x

x

+ + = + +−

= + ++ −

= +−

( )( )

( )( )( )( )


33. 34.

35. 36.

37.

38. 39.

40. 41.

no es identidad.

42. 43.

no es identidad. no es identidad

cos coscos .

cos

θ θ θ θ+( ) = ++( ) =+ =

sen sen sen36

36 sen 36 1

2

2

2 2

2

236 1 95

3 0

3

2

2

cos

cos

θ θπ π

+ − =

+ − =

cos 2

2cos

22 -2

cos

cos

2

2

2 1

2 2

θ θπ π

+ =

+ =

sen

2sen

2

tantan

2

21t t+ = −

+ =cotcot no existe

2

2π π

cot( )

tan

π

π2 0

2

=

( ) = no definida

tantan

2

21t t+ = −

+ =cotcot no existe

2

2π πcot tanθ θ=

tantan

coscos

cos

(cos ) cos

x

x x

sen xx

sen x x sen xx

sen x

sen x x x

sen

−= −

=−

=−

2 2

21

2

1 1

1 2 2 21

2 11

2

2 2

2 2

+ ++

= + ++

= + + ++

= ++

= ++

=

coscos

( cos )cos

cos coscos

cos( cos )

( cos )( cos )

csc

x

x

x

x

x sen x

sen x sen x xx x sen x

sen x sen x x

x

sen x xx

sen x xx

sen sen

1

sec sec tan tansec tan

4 2 2 4

2 2 22

1x x x x

x x

− += −( ) =

tan cottan cot

coscos

coscos

cos cos cos

cos

x x

x x

sen xx

xsen x

sen xx

xsen x

sen x xx x

x

−+

=−

+

= − = − −

= −

2 22 2

21

1

1 2

cot sec cos tan coscos

coscos

coscos

coscos

cos tan

x xx x

sen x

x

sen x x

x sen x

sen x x

x sen xx

sen x xx

x x

x

+ = + = +

= + =

+

= +

sen

1

2

2


44. 45.

sec tant t= +2 11 2− =cos t tsen


1. b2. d3. e4. c5. c

Unidad

Geometría analítica


6.1 Recta6.2 Circunferencia6.3 Parábola6.4 Elipse6.5 Hipérbola


6

Es impresionante ver brincar a los jugadores profesionales de basquetbol. A veces parecen flotar en el aire. En larealidad, su cuerpo sigue una trayectoria parabólica. Todo objeto que sea lanzado, si la resistencia del aire es des-preciable, sigue ese tipo de trayectoria. Las parábolas aparecen además en muchas otras situaciones de la vidadiaria, como en las antenas que reciben la señal de televisión por satélite en tu casa y también en los faros de tuautomóvil.

La parábola es una de las curvas cónicas. Tales curvas son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábo-la. Se llaman cónicas porque se obtienen al cortar un cono en diferentes posiciones. Es muy importante estudiarlas,ya que aparecen continuamente en las aplicaciones tecnológicas, en campos tan diversos como los negocios, eldeporte, la visión de robots y la astronomía. Fue en el siglo XVII cuando René Descartes, un filósofo y científicofrancés, descubrió como se relacionan estas curvas con las ecuaciones algebraicas. Es decir, Descartes descubrió lageometría analítica que vas a estudiar en esta unidad y que, además, describe con precisión los saltos de tu jugadorfavorito de basquetbol.

372 Unidad 6: Geometría analítica

Primera situación

El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en au-to a la pista que está a dos kilómetros de su casa y camina durante una hora en lí-nea recta a una velocidad constante de 50 metros por minuto.

6.1 Recta

Las matemáticas son el lenguaje conel cual Dios escribió el Universo

Galileo Galilei

Introducciónn

En la práctica, existen situaciones en las cuales la relación entre dos varia-bles establecen un cambio constante. Unas veces, cuando una variable au-menta, la otra también lo hace proporcionalmente. Otras veces, cuando unavariable aumenta, la otra disminuye siempre en la misma proporción. A es-te tipo de dependencia entre dos variables se conoce como relación lineal; yse representa en matemáticas a través de ecuaciones lineales en dos variables,cuya característica principal es que su gráfica en el plano cartesiano es una lí-nea recta.

Te presentamos dos ejemplos para aclarar este tipo de relaciones:

20−2 4 6−1

−2

1

2

3

4

5

−3

x20−2 4 6

−2

2

4

6

x

3736.1 Recta

Observa cómo en este caso, a medida que aumenta la variable t, la distanciad también aumenta siempre en la misma proporción.

Segunda situación

La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A” y“chunche tipo B”. Cada artículo A requiere de 3 horas de mano de obra para suelaboración, mientras que cada artículo B necesita de 2 horas de mano de obrapara fabricarse.

Esta semana la empresa dispone de 60 horas para fabricar estos productos.Nota como en este caso, entre más artículos de un tipo se produzcan, menosdel otro tipo se pueden hacer, esto es, entre más aumente una variable, la otradisminuye.

Objetivos


• Identificar y determinar la ecuación de una línea recta.• Graficar e interpretar cada parte de una ecuación lineal.• Utilizar ecuaciones lineales para resolver problemas prácticos.

2−222−−44 4

−20

−30

20

30

x

Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, interseccionescon los ejes

Las relaciones lineales son las más simples que se pueden dar entre dos variables; se en-cuentran prácticamente en cualquier rama del saber humano. Su principal característicaes que su gráfica es una línea recta y, recíprocamente, la ecuación correspondiente a unalínea recta es una relación lineal.


Consideremos, por ejemplo, la relación que encontraremos en la segunda situación de laintroducción: 2x + 3y = 60, que representa la relación lineal entre el número de chunchestipos A y B que se pueden producir.

Si se tiene un pedido de 15 chunches tipo A, entonces x = 15; al sustituir en la ecua-ción (2), obtenemos

2(15) + 3y = 60es decir,

30 + 3y = 60

de aquí podemos despejar el valor para y, que en este caso es de y = 10. En otras pala-bras, cuando se producen 15 chunches tipo A, se pueden producir 10 chunches tipo B.Brevemente decimos que la pareja ordenada (15, 10) es una solución de la ecuación li-neal 2x + 3y = 60, o que (15, 10) satisface esta ecuación.

Podemos obtener otras soluciones si damos valores a una variable y despejamos dela ecuación el valor correspondiente para la otra variable. De esta forma, si y = 12, en-tonces al sustituir en la ecuación lineal tenemos:

2x + 3(12) = 602x + 36 = 60

2x = 24

Así, x = 12, lo que significa que cuando se producen 12 chunches tipo B se pueden produ-cir 12 chunches tipo A. De este modo, (12, 12) es otra solución de la ecuación lineal (2).

Si, por un momento, no tomamos en cuenta que en este problema las variables x y ysolamente pueden tomar valores enteros positivos o 0, es posible tabular las solucionespara construir la gráfica de la relación lineal que, como mencionamos, siempre es una lí-nea recta:

Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación de la forma::

Ax + By = C

con A, B y C constantes, y A y B no ambas 0.

x y

5 50/3

15 10

20 20/3

36 −4

… …

Si graficas todas las soluciones de la ecuación, incluyendo números fraccionarios y nega-tivos, obtienes la gráfica de la relación. Por ejemplo, para la ecuación (2), su gráfica es,

3756.1 Recta

Existen dos soluciones importantes: si producimos solamente chunches tipo A, entoncesy = 0 y la solución es (30, 0), pero si producimos chunches tipo B, x = 0, la solución es(0, 20). Estas soluciones son importantes porque en la gráfica representan las intersec-ciones de la recta con el eje x.

En general, para determinar la intersección de una línea recta con el eje x, basta sus-tituir y = 0 en la ecuación y resolver para x.

Análogamente, para determinar la intersección de una línea recta con el eje y, bastasustituir x = 0 en la ecuación y resolver para y.

En las ecuaciones lineales Ax + By = C, a veces es conveniente despejar la variable y,

Esta última expresión se conoce como la forma punto pendiente de la ecuación lineal,que es costumbre escribirla como:

y = mx + b… (3)

con y . El coeficiente m se conoce como la pendiente de la recta, en

tanto que b es la ordenada al origen. A la forma Ax + By = C, se le conoce como la for-ma general de la recta.

La pendiente es una ‘medida’ de la inclinación de la recta. Formalmente, la pendien-te es la tangente del ángulo positivo que forma la recta con el eje x.

bC

B=m

A

B= −

yA

Bx

C

B= − +

10−10 20 30 400

5

−5

10

15

20

25

x

y

θm = tan θ


Una propiedad importante de la pendiente es que para determinar este coeficiente m enuna recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que estén sobre larecta:

……(4)my y

x x= −

−2 1

2 1

No importa qué puntos utilicemos, la pendiente siempre es igual a la razón de la diferen-cia de abscisas entre la diferencia de ordenadas, esto es, mide la proporción entre lo quese eleva a lo que se avanza o recorre horizontalmente:

melevación

avance=

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = 3/2?

2

3

Significa que por cada tres unidades de elevación vertical, se recorren dos unidades horizontalmente ha-cia la derecha o, lo que es equivalente, se recorren dos unidades a la derecha por cada tres hacia arriba.(véase la figura).

Ejemplo 2

¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = −3/2?

3776.1 Recta

solución

Una pendiente m = −3/2 significa que por cada tres unidades recorridas hacia arriba, se recorren dosunidades hacia la izquierda, o que por cada tres unidades que se bajan verticalmente, se recorrendos unidades horizontalmente hacia la derecha.

−2

3 ó

2

−3

solución

Primero despejamos y:

−10x + 5y = 205y = 20 + 10x

y = 4 + 2x

Vemos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para cada avance verti-cal hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia la derecha de una unidad

1

2

Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es positiva, la recta se in-clina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

m > 0m < 0

Ejemplo 3

Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal −10x + 5y = 20


¿Qué sucede desde el punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es 0? La respuesta essimple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada avance horizontal hacia la derecha, no hayavance hacia arriba, es decir, la recta no tiene inclinación, es una recta horizontal.

m = 0

Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y = b. En otras palabras, no apare-ce la variable x para la ecuación de una línea horizontal.

Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la pendiente no existe yen la ecuación no aparece la variable y. La ecuación es de la forma x = k con k una constante.

El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la intersección de la rectacon el eje y.

Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construirsu gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para dibujar la misma.

De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los quepase la recta:

Si (x1, y1) y (x2, y2) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecua-ción está determinada por:

y − y1 = m(x − x1)… (5). con my y

x x= −

−2 1

2 1

Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta esy − y2 = m(x − x 2). Por ejemplo, para determinar una ecuación de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8).

solución

Ejemplo 4

Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos(2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma.

Comenzamos calculando la pendiente:

m = −−

=8 54 2

32

3796.1 Recta

Ahora sustituimos en (5) con (x1, y1) = (2, 5) (a propósito, es indistinto cuál de los dos puntos se elija,si se elige (x1, y1) = (4, 8), ¡el resultado es el mismo!):

Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente,

Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtene-mos la forma general:

3x − 2y = −2

Para la gráfica, como mencionamos, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dadosoriginalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consiste en trazar su gráfica a partir de las intersecciones conlos ejes coordenados.

y x = + 232

y x – 5 = – 332

y x – 5 = ( – 2)32

0 2−2 4 6

2

4

6

8

10

12

x

Ejemplo 5

Dada la ecuación lineal 2x + 3y = 12, determina la forma punto pendiente, la pendiente, las interseccio-nes con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase la recta y dibuja la misma.


solución

La forma punto pendiente se obtiene despejando y:

2x + 3y = 123y = 12 − 2x

Así la pendiente es m = −2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La intersección conel eje x la obtenemos al sustituir y = 0 y despejar para x:

x = 6

Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica:

23

x = 4

0 = 4 – 23

x

y x = 4 – 23

2−2 4 6 8

1

2

3

6

x

Ya tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos, damos un valor para xy despejamos para y. Elegimos, por ejemplo, x = 3, entonces y = 4− (2/3) (3) = 4 − 2 = 2, es decir, untercer punto por el que pasa la recta es (3, 2).

Ejemplo 6

Si la pendiente de una recta es m = 1/3 y la recta pasa por el punto (10, 4), determina la ecuación ge-neral de la recta y su gráfica.

3816.1 Recta

solución

Directamente utilizamos la fórmula (5) con los datos dados:

Como no nos piden la forma punto pendiente, no despejamos y, sino que multiplicamos cada lado dela ecuación por 3:

3y − 12 = x − 10

Ahora escribimos las variables del lado derecho y las constantes del lado izquierdo:

−x + 3y = −10 + 12

Así, la ecuación general de la ecuación es

−x + 3y = 2

Ahora, para trazar su gráfica, tabulamos dos puntos; por ejemplo, las intersecciones con los ejes coor-denados:

y x – 4 = ( – 10)13

x y

0 2/3

−2 0

0 2−2−4 4

0.5

−0.5

1

1.5

2

x


solución

Ejemplo 7

Determina la ecuación y dibuja la gráfica de la recta que pasa por los puntos (−3, 3), (4, 3)

Utilizamos la fórmula (4) para encontrar la pendiente:

Puesto que la pendiente es 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = 3 (y = la ordenada de cualquierpunto de la recta). Observa que ésta es a la vez la forma general y forma punto pendiente de la ecua-ción de la recta.

Para dibujar la gráfica, utilizamos los puntos dados:

m = −− −

= =3 34 3

07

0( )

20−2−4 4x

2.5

33

3.5

4

solución

Ejemplo 8

Encuentra la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por lospuntos (4, −2) y (4, 3)

Primero que nada, nota que la fórmula (4) para la pendiente no puede aplicarse porque se indeterminaal dividir por 0:

m = − −−

=3 24 4

50

( )

3836.1 Recta

Líneas paralelas y líneas perpendiculares

Puesto que la pendiente de una línea recta es una medida de su inclinación, si dos rectastienen la misma pendiente, entonces su inclinación es la misma; por lo tanto, son rectas pa-ralelas. El recíproco también es cierto para rectas no verticales: si dos rectas son parale-las sus pendientes son iguales. Establecemos esto en el siguiente resultado:

La razón de lo anterior es que esta recta es vertical. Pero sabemos que la ecuación de una recta verticales x = k; en este caso, x = 4 (la abscisa de cualquier punto). Esta es la única forma general de la ecua-ción y no hay forma punto pendiente.

−

−

−

0

1

2

4

5

3.5 44 4.5 5x

Las rectas perpendiculares entre sí poseen también una relación entre sus pendientes,que estableceremos a continuación sin demostración.

Teorema

Las rectas no verticales y = m1x + b1 y y = m2x + b2 son paralelas, si y sólo si m1 = m2

Teorema

Las rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2, m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0 son perpendiculares si ysólo si m2 = −1/m1

Dos líneas rectas que nos son paralelas ni perpendiculares reciben el nombre de rectasoblicuas.


solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina si las rectas L1: y = 2x − 8 y L2: 4x − 2y = 5 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

Determinamos primero las pendientes. Para la recta L1, directamente vemos que m1 = 2, mientras quepara la pendiente de la recta L2, debemos despejar y:

4x − 2y = 52y = 4x − 5

Vemos de esta forma que m2 = 2. Así que las rectas son paralelas.

y x x = 42

54

2 54

− = −

−5

5

10

−10

−15

02−2−4 4 6x

Ejemplo 2

Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2, 1) y que es

a) Paralela a la recta 4x − 2y = 12b) Perpendicular a la recta 4x − 2y = 12

3856.1 Recta

solución

Al despejar y de 4x − 2y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m = 2

a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que buscamos. Utiliza-mos ahora la fórmula (5):

y − 1 = 2(x + 2)y = 2x + 5

2−2−4 4

−10

−15

5

10

15

x

b) Buscamos ahora la recta perpendicular; si m es la pendiente de esta recta, entonces m = −1/2 de acuer-do con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es:

y x = − 12

y x – 1 = ( + 2)− 12

2− 4 6 8

5

−5

10

−10


solución

Ejemplo 3

Determina la ecuación general de la recta que pasa por (6, −7), que es perpendicular a la recta que pasapor los puntos P(2, −3) y Q(−1, −1)

Determinamos primero la pendiente de la recta que pasa por P y Q:

Por lo tanto, la recta perpendicular tiene pendiente . Utilizamos ahora la fórmula (5):

Multiplicamos esta ecuación por 2:

2y + 14 = 3x − 18

De esta forma, la ecuación buscada es −3x + 2y = −32 o 3x − 2y = 32

y x – (–7) = ( – 6)32

− =1 32m

m = − − −− −

= −1 31 2

23

( )

12 14

−5

−10

−15

−20

5

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que es a) paralela, b) perpendicular a la recta y = −2y que pasa por el punto (3, 7).

3876.1 Recta

solución

La recta dada es horizontal, por lo que su pendiente es m = 0

a) Si queremos la ecuación de la recta paralela, simplemente igualamos y con la ordenada del punto pordonde pasa la recta. Así, su ecuación es: y = 7

20−2−4 4

2

−22

−4

4

6

8

x

b) Como la recta perpendicular a una recta horizontal es vertical, no tiene pendiente y su ecuación, se-gún vimos, es simplemente x igual a la abscisa: x = 3

2−4 −2 4 6 80

2

−−22

−4

4

6

8

x

Ejemplo 5

Determina la ecuación de la bisectriz del segmento que une los puntos A(2, −1), B(−4, −3)


solución

El segmento tiene punto medio ó M(−1. −2). Por lo que buscamos una ecuación de

la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por A y B.

La pendiente de la recta que pasa por A y B es , por lo que la pendiente de la recta que buscamos

es −1/m = −3. Finalmente, de acuerdo con la fórmula (5), la ecuación es:

y + 2 = −3(x + 1) ó y = −3x − 5

m = 13

M 2 42

1 32

− − −⎛⎝

⎞⎠,

2−2−6 −4 64

−

4

6

−4

−6

−8

x

Este tipo de rectas bisectrices nos serán de utilidad en la sección sobre circunferencia.

Gráfica de sistemas de desigualdades lineales

Consideremos la recta , que consiste de los puntos (x, y), que hacen verdadera

la relación. Esta recta divide al plano cartesiano en tres regiones: la parte de arriba de larecta, la parte de abajo de la recta y la parte sobre la recta, lo que presentamos en la figura:

y x = +112

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x 0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x 0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

3896.1 Recta

Como la región encima de la recta tiene ordenada mayor, la región está representada por

la desigualdad De la misma forma, representa la región de

abajo de la línea recta, mientras que representa los puntos sobre la línearecta.

Debido al principio de tricotomía, o bien y < mx + b o bien y = mx + b o bien y > mx + b.Toda recta no vertical divide al plano en tres regiones: la región que está por encima de

la recta dada por y > mx + b, la región que está por debajo de la recta dada por y < mx + by la región que está exactamente sobre la recta dada por y = mx + b.

Si la recta es vertical, las regiones en que queda dividido el plano son: la parte a laderecha de la recta, la parte la izquierda de la recta y la parte sobre la recta.

y x = + 112

y x < + 112

y x > + 1.12

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Dibuja la región dada por: a) y = 2x − 2, b) y < 2x − 2, c) y ≤ 2x − 2, d) y ≠ 2x − 2

a) La región consiste en todos los puntos que están sobre la recta, lo que representamos con la línea:

x y

1 0

2 2

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

b) En este caso, como la ordenada y es menor que 2x − 2, la región consiste de los puntos que están pordebajo de la recta y no incluye los puntos de la recta. Esto se representa con la línea recta punteada(para indicar que no se incluye) y sombreando la región.


0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

c) Para este caso, recordemos que el símbolo ≤ representa una de dos opciones: y < 2x − 2, o bieny = 2x − 2, pero ambos casos son precisamente los anteriores, así que la región corresponde a launión de los mismos. En otras palabras, la región consta de los puntos en el plano cartesiano queestán por debajo de la recta y también de los puntos de la recta. Representamos esto sombreandola región, igual que en el inciso anterior, pero la recta no es punteada, sino completa para repre-sentar que también se incluye.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

d) y ≠ 2x − 2 representa que o bien y < 2 x − 2, o bien y > 2x − 2, es decir, la región consiste de los pun-tos del plano que están encima de la recta y debajo de la recta, pero no sobre la recta. En este casola representación consiste en sombrear todo el plano y dibujar la recta con una línea punteada pararepresentar que no se incluye.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

3916.1 Recta

solución

Ejemplo 2

Representa la gráfica de 3( – 2) – 2 + x yx

y≥ −2 43

Primero simplificamos la ecuación y obtenemos y ≤ (7/9)x −14/9. De esta forma podemos ver que laregión consiste de los puntos del plano que están debajo de la recta incluyendo los puntos de ésta:

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

solución

Ejemplo 3

Dibuja la región dada por las desigualdades a) y < 2x + 1, y < 3 − x, b) y ≥ 2x + 1, y < 3 − x

a) La región está dada por dos desigualdades, así que su gráfica corresponde a la intersección de la grá-fica de cada desigualdad. En otras palabras, la región consiste en los puntos en el plano que simul-táneamente están por debajo de la rectas y = 2x + 1 y y = x + 3

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x


Distancia de un punto a una recta

En esta sección estableceremos la fórmula para la distancia de un punto P(x0, y0) a unarecta dada L: Ax + By = C.

Para ello, lo primero es advertir que, al hablar de distancia, nos referimos a la menordistancia de P a L. Tal distancia se logra midiendo el segmento de recta que hay entreP y la intersección Q, de la recta perpendicular a L que pasa por P.

b) Nuevamente es la intersección de las regiones dadas por y ≥ 2x + 1 (puntos encima de la recta inclu-yendo ésta) y por y < 3 − x (puntos debajo de la recta sin incluir ésta).

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

Q

LP

Por ejemplo, si queremos calcular la distancia del punto P(−2, 1) a la recta L: 3x − 4y = 12,

primero encontraremos la forma punto pendiente de L: . Así, la pendiente de

la recta ortogonal a L que pasa por P es . Determinamos las coordenadasy x = − −43

53

y x = 34

3−

3936.1 Recta

del punto intersección Q al resolver el sistema La solución es

La distancia del punto a la recta es la distancia de P a Q:

Si repetimos este proceso para la recta Ax + By = C y para el punto P(x0, y0), obtendre-mos la siguiente fórmula:

d = 1625

2 6325

1 225

2 2

+⎛⎝

⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠ =

y = − 6325

x = 1625

y x

y x

= −

= − −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

34

343

53

dAx By C

A B = 0 0

2 26

+ −

+...( )

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcula la distancia del punto P(2, 3) a la recta L: 3x − 4y = 12

Sustituimos en la fórmula (6):

d =3 2 4 3 12

3 41852 2

( ) ( )− −

+=

solución

Primero determinamos la ecuación de la recta L. En tal caso la ecuación es 6x + 5y = 2, por lo que alaplicar la fórmula (6) tendremos:

D =6 2 5 5 2

6 511612 2

( ) ( )− + −

+=

Ejemplo 2

Calcula la distancia del punto (−2, 5) a la recta L que pasa por los puntos M(2, −2) y N(−3, 4).


Ejercicios

y problemas

1. Describe con tus palabras qué es la pendiente de una línea recta.2. Describe qué es la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.3. Explica el significado del coeficiente b en la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.4. Describe cómo se dibuja una línea recta a partir de su ecuación.5. Explica por qué no hay forma punto pendiente para la ecuación de una línea recta vertical.6. Señala cuál es la pendiente de una recta vertical.7. Determina la forma punto pendiente y la forma general de la recta que:

a) Pasa por los puntos (2, −1), (−2, 1)b) Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (4, −3)c) Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4d) Pasa por el origen y por (−3, −3)e) Pasa por (−2, 4) y (−8, −9)f) Pasa por (−3, 1) y por (5, 4)g) Pasa por (−3, 5) y por (−3, 2)h) Pasa por (2, 5) y por (−2, 5)

8. Encuentra la forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es

a) Paralela al eje xb) Perpendicular al eje xc) Paralela a 3x − 7y = 21d) Perpendicular a 3x − 7y = 21e) Paralela a y = 2 − 3x

f) Perpendicular a y = 2 − 3x

g) Paralela a y = 4h) Perpendicular a y = 4i) Paralela a x = −5j) Perpendicular a x = −5

9. Bosqueja la gráfica de la recta que:

a) Pasa por (3, 2) y (1, −4)b) Cruza al eje x en 9 y es perpendicular a 3x + 6y = 7c) y = 3 − 4x

d) y = 4x − 3

3956.1 Recta

10. Determina si los puntos P y Q dados pertenecen o no la recta dada.

a) P(1, 7), Q(−3, 1), y = 2x + 5b) P(2, 1), Q(1, 2), y = 2c) P(2, 1), Q(1, 2), x = 2d) P(4, −1), Q(2, 2), x + y = 3e) P(1, −1), Q(0, 3), 3x − 2y = 1f) P(1, 5), Q(2, 3), x + 2y = 1

11. Determina si las rectas dadas son perpendiculares, paralelas u oblicuas.

a) y = 3x + 4, −3x + 9y = 18b) 4x − 3y = 2, 3x + 4y = 5c) 4x − 7y = 0, 2x − 14y = −2

12. Bosqueja la gráfica de la región dada:

a) y > 2x + 5, y < 3x + 1b) y ≥ 3x − 1, y < 3x + 2c) y < 2x + 7, y < 3 − x

d) x > 0, y > 0e) y < x/2 + 1, x ≥ 0, y ≥ 0

13. A Juan le toma 50 minutos podar 40 metros cuadrados de jardín, pero a su primo le toma hacerlo sólo40 minutos. Determina la relación existente entre el número de minutos que puede trabajar cada unopara podar 40 metros cuadrados.

14. La empresa “Productos Patito” produce artículos con un costo de $13 c/u. La empresa tiene costos dia-rios fijos (luz, renta, salarios, etcétera) que ascienden a $300 y planea vender cada artículo producidoa $19 c/u. a) Determina la relación lineal que existe entre la ganancia, I, de la empresa y el número, n,de artículos producidos diarios. b) Grafica esta relación. c) Describe el significado de la pendiente y laordenada al origen.

15. La longitud, L (en centímetros), de un feto de 12 semanas o más de edad, se puede establecer como L= 1.53 E − 6.7 aproximadamente, con E igual a la edad en semanas. Dibuja esta relación y describe elsignificado de la pendiente y de la ordenada al origen. Determina la longitud del feto a las 15 semanas.

16. Una máquina se deprecia linealmente. Si su valor hace cuatro años era de $ 180,000 y ahora vale$100,000.

a) Determina la ecuación que describe el valor V (en miles de pesos) de la máquina en términos deltiempo t (en años).

b) Calcula el valor de la máquina el año pasado.c) Calcula el valor de la máquina para el próximo año.


17. Calcula la distancia del punto P(3,−4) a la recta que

a) Pasa por los puntos A(4, −2) y B(1, 2)

b) Tiene pendiente m = −2/7 y pasa por (1, 1)

c) Es perpendicular a x = 2 y pasa por el origen.

18. Un avión está a 22 kilómetros de la pista en donde aterrizará y vuela a una altura de 3 kilómetros. De-termina la pendiente de su descenso.

19. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. Si es un triángulo rectángulo determina larelación que existe entre los valores en grados de los ángulos no rectos y grafica esta relación. ¿Por quésólo hay gráfica en el primer cuadrante?

20. En cierto curso se realizarán dos exámenes, el primero tiene un peso del 35% y el segundo del 65%.La escala de calificaciones en cada examen es de 1 a 100. Si x y y representan las calificaciones del pri-mero y segundo exámenes, respectivamente, y un alumno quiere obtener una calificación de 70, escri-be la relación lineal que hay entre x y y, luego dibuja esta relación.

21. Determina la ecuación de la recta en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

−2

24

2

2

3

(2, 4)2

5, −2

(2, 3)

3976.1 Recta

b)

23. Determina las desigualdades que representa el área sombreada en las gráficas.

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

22. Dada la gráfica de la región, determina la desigualdad que la representa:

a)

(−1, −2)

(3, 2)(6, 1)(

(− −2)

(3, 2)

(6, 1)

(− −2)

(3, 2)

(6, 1)

(−1, −2)

)(3, 2)))(6, 1)



2

3

2

3

2

3

(3, 2)


1. La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A”. Cada artículoA requiere de tres horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B ne-cesita de dos horas de mano de obra para fabricarse. a) Determina la relación entre las cantida-des de cada tipo de chunche que puede elaborar la empresa si cuenta esta semana con 60 horaspara mano de obra. b) Grafica la relación que encontraste en el inciso anterior. c) ¿Por qué lagráfica está sólo en el primer cuadrante? d) Encuentra la pendiente de esta recta y di cuál es susignificado.

2. Una avioneta está a cuatro kilómetros del aeropuerto y se encuentra a una altura de 500 me-tros sobre el suelo. Determina la pendiente de su trayectoria para que la avioneta pueda aterri-zar en el aeropuerto.

3. El valor de una máquina se deprecia linealmente. Hoy vale $45,000 y en 10 años valdrá$100, a) Expresa el valor de la máquina como función del número de años. b) Bosqueja la grá-fica. c) Determina su dominio.

4. El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pistaque está a 2 kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidadconstante de 50 metros sobre minuto. El señor Gómez L. comienza a caminar a las 6:00 horas.Determina la ecuación lineal que describe la distancia a su casa en términos del tiempo t des-de las 6:00 horas y hasta las 7:00 horas.

3996.1 Recta

1. Indica la opción que contiene una ecuación de la recta que pasa por los puntos P(4, −1) yQ(−2, 5).

a) x + y = 3

b) x + y = 5

c) x − y = 3

d) x − y = 5

2. Halla la opción que contiene la ecuación general de la recta que es perpendicular a 5x − 3y =15, y que pasa por el punto P(9, −2).

a) 3x + 57 = 37

b) −3x + 5y = 17

c) 3x + 5y = 17

d) −3x + 5y = 37

3. Calcula la distancia del punto P(2, 1) a la recta 6x + 8y = −5.

a) 2

b) 2.5

c) 3

d) 3.5

4. Elige cuál de las gráficas representa la región dada por y < 2x + 1, y > 1 − 0.8x.

a)

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x


b)

c)

d)

5. Encuentra en la columna B las pendientes de las rectas que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) 3x − 6y = 5 i. 4b) Pasa por P(−3, 1), Q(2, −2) ii. 1/2c) Perpendicular a 3x + 5y = 4 iii. −3/5d) Paralela a 4x + 2y = 0 iv. 0e) Perpendicular a x = 1 v. −2

vi. 3/5

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

0

2

−2

−4

0−2−4−6 2 4 6

y

x

Respuestas a los


4016.1 Recta

7. a) y = −x/2, x + 2y = 0; b) y = 2x/5 − 23/5, 2x − 5y = 23; c) y = −2x + 4, 2x + y = 4; d) y = x, x − y = 0;

e) y = 13x/6 + 25/3, 13x − 6y = 50; f) y = 3x/8 + 17/8, 3x − 8y = −17; g) x = −3, h) y = 5.

8. a) y = −3; b) x = 2; c) y = 3x/7 − 27/7; d) y = −7x/3 − 7/3; e) y = −3x + 3; f) y = −x/3 − 11/3;

g) y = −3; h) x = 2; i) x = 2; j) y = −3.

9. a) b)

c) d)

10. a) P b) Q c) P d) P e) ninguno f) ninguno

11. a) oblicuas b) perpendiculares c) oblicuas

2−2 4 65

−5

−15

−10

10

0

x

2 4 6 8 100

−1

1

2

3

4

5

x

2−4 −2 400

−10

20

10

x

2 4−4 −20

−20

−10

10

x


12. a)

b)

c)

d)

y

x0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

x0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

4036.1 Recta

0

20

−20

0−20−40−60 20 40 60

y

x

20 40 60 80100

200

−200

−300

−1000

n

e)

13. 4x/5 + y = 40, con x = número de minutos que trabaja Juan, y = números de minutos que traba-ja su primo.

14. a) I = 6n − 300; b)

c) m = ganancia neta por artículo producido y vendido, ordenada al origen = pérdida si no seproduce ningún artículo.

15.

m = cantidad de centímetros que creceel feto por semana, b = no tiene signifi-cado. En 15 semanas, el feto mide 16.25centímetros.

16. a) V = −20t + 180, con t = 0 hace cuatro años; b) 120,000; c) 80,000.

17. a) d = 2; b) d = 13/5; c) d = 4.

18. m = 3/22.

12 13 14 15 16 17 18

12

14

16

18

20

x


19. α + β = 90∞, con α y β los ángulos del triángulo diferentes a 90°.

20. 0.35x + 0.65y = 70

21. a) y = −2x/3 + 2; b) y = −2x + 4; c) y = x + 2; d) y = −4x/5 + 2; e) y = 3x/2; f) y = 4

22. a) y ≤ −6x/7 + 6; b) y ≥ −x /2 + 2

23. a) y ≥ x/3 + 3, y ≤ x − 1; b) y ≤ x/3 + 3, y ≥ x −1; c) y ≤ x/3 + 3, y ≤ x − 1; d) y ≥ x/3 + 3, y ≥ x − 1;e) y ≥ −2x/2 + 2; f) y < −2x/2 + 2; g) y ≤ −2x/2 + 2, x ≥ 0, y ≥ 0; h) x ≤ 3

50 100 150 200

20

40

60

80

100

x

y

0


1. a2. c3. b4. d5. (a, ii), (b, vi), (c, iii), (d, v) (e, iv)

4056.2 Circunferencia

6.2 Circunferencia

No entiendes realmente algo amenos que seas capaz de explicárselo

a tu abuela.

Albert Einstein

Introducciónn

2−4 −2 40

−2

−4

2

4

¿Cuántos puntos tiene una circunferencia?

Una circunferencia es la curva cuyos puntos están a la misma distancia de unpunto fijo que llamaremos centro de la circunferencia. A la distancia de cualquierpunto de la circunferencia al centro se le llama el radio de la circunferencia.

De acuerdo con la definición, una circunferencia es una curva que está for-mada por una infinidad de puntos, cada uno a un radio de distancia del centro.

Seguramente has visto artículos que utilizamos en la vida diaria con forma decírculo o de una circunferencia.

¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?La región encerrada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. Esta

región tiene la propiedad de que entre las figuras de igual perímetro, es la quetiene mayor área.

A pesar de que son conceptos distintos, algunos autores acostumbran llamarcírculo a la circunferencia; en general, el contexto en que se usa aclara si se tratadel borde del círculo (circunferencia) o si se trata del interior de la circunferen-cia (círculo).

Las circunferencia es la segunda curva cónica que estudiaremos; la primeracurva cónica fue la recta.


Ecuaciones de la circunferencia

Dado que la circunferencia consiste de puntos equidistantes del centro de la misma,podemos construir fácilmente su ecuación.

Sea C(h, k) el centro de una circunferencia de radio R, entonces si P(x, y) es un puntode la circunferencia, la distancia de C a P es R, es decir,

Si elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación, obtendremos lo que se conoce comola forma centro-radio o forma estándar de la ecuación de la circunferencia:

… (1)

Así, por ejemplo, (x − 2)2 + (y − 3)2 = 8, es la ecuación de la circunferencia con centroen C(2, 3) y de radio 8. Podemos desarrollar los paréntesis en la ecuación anterior;obtendremos:

óx y x y2 2 4 6 5 0+ − − + =

x x y y2 24 4 6 9 8− + + − + =

x h y k R−( ) + −( ) =2 2 2

x h y k R−( ) + −( ) =2 2

Objetivos


• Reconocer la ecuación de una circunferencia y podrás graficarla.• Determinar la ecuación de una circunferencia de acuerdo a distintos tipos

de datos.

RP(x, y)C(k, k)


Esta última ecuación es conocida como la forma general de la ecuación de la circun-ferencia.

Si procedemos de la misma forma, para la forma (1), encontraremos la forma gene-ral (2) de la ecuación de la circunferencia con C = −2h, D = −2k, y F = h2 + k2 − R2

… (2)

En los ejemplos desarrollaremos algunos casos para pasar de una a otra forma de laecuación. También veremos cómo encontrar la ecuación de una circunferencia a partir dealgunos datos conocidos, como son:

a) Centro y radio.

b) Tres puntos sobre la circunferencia.

c) Dos rectas tangentes a la circunferencia, con sus puntos de tangencia.

d) Una recta tangente con su punto de tangencia, otro punto sobre la circunferencia.

e) Una recta tangente, el punto de tangencia y el radio, etcétera.

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que tiene centro enC(4, −7) y radio 5.

De acuerdo con (1), la ecuación centro radio es:

ó

Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y simplificamos:

De esta forma obtenemos:

Ejemplo 2

Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x2 + y2 −10x + 2y + 17 = 0

x y x y2 2 8 14 40 0+ − + + =

x y x y2 2 8 14 16 49 25+ − + + + =

x y−( ) + +( ) =4 7 252 2x y−( ) + − −( ) =4 7 52 2 2( )

solución

solución


Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadrado para x y para y.

Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado:

Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, −1) y el radio es 3.

Ejemplo 3

Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia.Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,−1),

B(−4, −3) y C(0, 3).

Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que cada uno de los puntos satis-face la ecuación (2), por lo que al sustituir las coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamentelas ecuaciones

ó5 2 0

25 4 3 09 3 0

+ − + =− − + =

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

D E F

D E F

E F

2 1 2 1 04 3 4 3 0

0 3 0 3 0

2 2

2 2

2 2

( ) + −( ) + ( ) + −( ) + =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + =

( ) + ( ) + ( ) + ( ) + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

D E F

D E F

D E F

( ) ( )x y− + + =5 1 92 2

( ) ( )x y− + + + =5 1 17 262 2

( ) ( )x x y y2 210 25 2 1 17 25 1− + + + + + = +

( ) ( )x x y y2 210 2 17 0− + + + =

x y x y2 2 10 2 17 0+ − + + =

2 4 6 80

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y


Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3 × 3, obtenemos y , por loque la ecuación en su forma general es:

El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos mediatrices de dos cuerdasno paralelas se intersecan en el centro de la circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a laintersección de las rectas bisectrices de los segmentos de recta AB

–– y BC––, en tanto que el radio lo calcu-

lamos como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C.La bisectriz del segmento AB

–– la calculamos anteriormente: en el ejemplo 5 el punto 2 corres-pondiente a rectas paralelas y perpendiculares de la sección 6.1. La ecuación que encontramos ahí fuey = −3x − 5.

Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC––.

La pendiente de este segmento es:

por lo que la pendiente de la bisectriz es −2/3 (por ser perpendicular al segmento AC––).

El punto medio del segmento tiene coordenadas:

Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos:

Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones:

de donde obtenemos , que corresponden precisamente a las coordenadas del centro de

la circunferencia.El radio es entonces la distancia del centro al punto A:

Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es:

R = +⎛⎝

⎞⎠ + − +⎛

⎝⎞⎠ =2 11

71 2

765049

2 2

x y= − = −117

27

,

− − −3 5 = +x x23

43

y x y x= – ( + 2) ó = – +23

23

43

0 42

3 32

− −⎛⎝

⎞⎠, = (–2, 0)

m = 3 30 4

32

− −− −

=( )( )

x y x y2 2 227

47

757

0+ + + − =

F = − 757

D E= =227

47

,

solución


Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto P(2, 3) a la recta

L:

Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C(h, k).Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se encuentra sobre

la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia P, que llamaremos S. La recta Stiene pendiente m = −2, por lo que su ecuación es:

y − 3 = −2(x − 2)S: y = 7 − 2x

Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C(h, k), de tal forma que cumpla dos condiciones:a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la recta tangente, L, sea igual al radio.Cada condición nos da lugar a una ecuación:

k = 7 − 2h (a)

(b)

(para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es −x + 2y = 4). Sustituimos la ecuación (a) en la (b) y despejamos el valor de h:

− + −( ) −

− + ( )=

h h2 7 2 4

1 23

2 2( )

− + −

− + ( )=h k2 4

1 23

2 2( )

y x= +12

2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ =11

727

65049

2 2

1−1−2−3−4−5 21

−1

−2

−3

−4

3

2

0

x

y


Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto:

(10 − 5h)2 = 45

Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h:

y

Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k:

y

De esta forma, obtenemos dos soluciones:

y

Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3:

y

Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones.

x y− +⎛⎝

⎞⎠ + − −⎛

⎝⎞⎠ =2 3

55 3 6

55 9

2 2

x y− −⎛⎝

⎞⎠ + − +⎛

⎝⎞⎠ =2 3

55 3 6

55 9

2 2

C2 2 35

5 5 3+ 65

−⎛⎝

⎞⎠,C1 2 3

55 3 6

55 + −⎛

⎝⎞⎠,

k = +3 65

5k = −3 65

5

h = −2 35

5h = +2 35

5

10 5 3 5− =h

10 55

3−=

h

−2

2

4

6

8

−2−4 2 4 6 80x

y


Circunferencias, circunferencias degeneradasy circunferencias complejas

Establecimos en la parte anterior que la ecuación general de una circunferencia es laecuación (2):

Nos preguntamos si todas las ecuaciones de la forma (2) corresponden a una circunfe-rencia. La respuesta es no, depende de los valores de D, E y F. Para ver esto, completa-mos los cuadrados para tratar de recuperar la forma centro radio de la circunferencia:

(3)

Si el número D2 + E2 − 4F > 0, entonces tenemos una circunferencia de radio

Si el número D2 + E2 − 4F < 0, entonces no hay circunferencia, puesto que la cantidaddel lado izquierdo en (3) es positiva, mientras que la expresión del lado derecho es ne-gativa. Llamaremos a este caso, circunferencia compleja o circunferencia imaginaria.

Si la cantidad D2 + E2 − 4F = 0, entonces la ecuación (3) corresponde a un solo punto:

Este caso es conocido como la circunferencia degenerada.C − −⎛⎝

⎞⎠

D E

2 2,

D E F2 2 4+ −

xD

yE D E F+⎛

⎝⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ = + −

2 24

4

2 2 2 2

x DxD

y EyE D E

F22

22 2 2

2 2 2 2+ + ⎛

⎝⎞⎠ + + + ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ −

x y Dx Ey F2 2+ + + = −

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina si la ecuación x2 + y2 + 2x − 3y + 5 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferen-cia degenerada o una circunferencia imaginaria.

En este caso, D = 2, E = −3 y F = 5, por lo que D2 + E2 − 4F = (2)2 + (−3)2 − 4(5) = −7. Esto significaque la ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria.

Ejemplo 2

Determina si la ecuación corresponde a una circunferencia, una circunfe-

rencia degenerada o una circunferencia imaginaria.

x y x y2 2 4 3 214

0+ − + + =

solución

solución


Tenemos, . Así, D2 + E2 − 4F = 4. Esto nos indica que la ecuación correspon-

de a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se obtiene de completar los cuadrados (o dela fórmula (3)):

Ejemplo 3

Determina si la ecuación corresponde a una circunferencia, una circunferen-

cia degenerada o una circunferencia imaginaria.

Como D = 1, E = − 8 y F = 65/4, entonces D2 + E2 −4F = 0, por lo que este caso corresponde a una cir-

cunferencia degenerada, es decir, un solo punto, C −⎛⎝

⎞⎠

12

4,

x y x y2 2 8 654

0+ + − + =

x y−( ) + +⎛⎝

⎞⎠ =2 3

242

2

D 4, E = 3 y = − =F 214

1 2 3 40

−1

−2

−3

x

y

Ejercicios

y problemas


1. Describe con tus palabras qué es un círculo y qué es una circunferencia.

2. Describe qué significa que una recta sea tangente a una circunferencia.

3. Escribe cuál(es) es(son) la(s) diferencias entre la ecuación general y la ecuación centro radio de unacircunferencia.

4. Describe con tus palabras, cómo se pasa de la forma general a la forma centro radio de una circunfe-rencia.

5. Determina la ecuación, en su forma general, de la circunferencia con el centro y el radio dados.

a) C(2, −1), R = 3b) C(1/2, −3), R = 1/2

c) C(−3, 2), R = 1d) C(1/2, 1/2), R = 4e) C(0, 2), R = 4f) C(3, 0), R = 3

6. Determina la ecuación centro radio de la circunferencia dada.

a) x2 + y2 − 4x + 2y + 20 = 0b) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0c) x2 + y2 + 2x − y + 5 = 4d) x2 + y2 + 4x − 6y − 2 = 0e) 2x2 + 2y2 − 8x + 4y + 2 = 0f) −x2 − y2 − 4x − 6y + 3 = 0

7. Clasifica la circunferencia en real, degenerada o compleja.

a) −x2 − y2 − 4x + 6y + 1 = 0b) 4x2 + 4y2 − 4x + 8y + 4 = 0c) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0d) x2 + y2 + 4x − 6y + 13 = 0e) x2 + y2 + 6x − 4y + 14 = 0

8. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R dados.

a) P(0, 0), Q(1, −1) y R(2, 3)b) P(1, 1), Q(2, 2) y R(−2, 1)c) P(1, 0), Q(0, 1) y R(1, 1)d) P(0, −2), Q(−2, −1) y R(0, 0)



9. Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 4, que es tangente en el punto P(1, −1) a la rectaL: y = x − 2

10. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(2, 0) y B(0, 2)

11. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(−2, 0) y B(0, −2)

12. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(−2, 0) y B(0, 2)

13. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coor-denados en los puntos A(2, 0) y B(0, −2)

14. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 2) y que es tangente al eje x

15. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 3) y que es tangente a la recta 4x − 3y = 5

16. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(4, −2) y que pasa por el punto P(0, −1)

17. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 2) y que pasa por el punto P(2, −3)

18. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 0) y que pasa por el punto P(1, 4)

19. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 1) y que es tangente a la recta 3x + 4y = 0

20. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −2) y que es tangente a la recta x + 3y = −1

Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientessituaciones:

1. Encuentren un método para determinar las rectas tangentes a una circunferencia desde unpunto P. Por ejemplo, determina las rectas tangentes a la circunferencia (x − 3)3 + (y − 2)2 = 1que pasan por el punto (5, 6).

2. Determinen cómo encontrar la ecuación de una circunferencia que sea tangente a los ejescoordenados en el primer cuadrante, dado el radio R.

3. Determinen la ecuación de la recta tangente a la circunferencia con centro en C(0, 3) yradio 2, que tiene pendiente 2.


1. Indica la opción que contiene la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −3) yradio 4.

a) x2 + 4x + y2 − 6y + 9 = 0b) x2 − 6x + y2 + 4y − 9 = 0c) x2 − 4x + y2 + 6y − 3 = 0d) x2 + 6x + y2 − 4y + 3 = 0

2. Halla la opción que contiene la ecuación centro-radio de la circunferencia

a)

b)

c)

d)

3. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 que es tangente en el punto P(1, −1) a larecta L: 4x + 3y – 1 = 0

a)

b)

c)

d)

4. Clasifica la circunferencia como real, degenerada o compleja 2x2 + 2y2 − 8x + 12y + 26 = 0

a) realb) degeneradac) compleja

x y+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =19

172317

42 2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =65

171917

42 2

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =23

171917

42 2

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =19

176517

42 2

x y−( ) + −⎛⎝

⎞⎠ =3 1

293

2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + +( ) =3

21 9

4

32

x y−( ) + −⎛⎝

⎞⎠ =3 1

294

32

x y−⎛⎝

⎞⎠ + −( ) =3

21 9

32

x x y y2 26 14

0− + − + =


5. Encuentra en la columna B las clasificaciones de las ecuaciones que aparecen en la columnaA.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d) x y y2 2 634

0+ − − =

x x y y2 26 454

0− + − + =

x x y y2 2 4 174

0− + + + =

x x y y2 243

4736

0− + − + = i. Circunferencia de radio 4ii. Circunferencia compleja

iii. Un punto: C(1/2, −2)iv. Circunferencia de radio 2v. Un punto P(−2 ,1/2 )

Respuestas a los


5. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9; b) (x − 1/2)2 + (y + 3)2 = 1/4; c) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 1; d) (x − 1/2)2

+ (y − 1/2)2 = 16; e) x2 + (y − 2)2 = 16; f) (x − 3)2 + y2 = 9

6. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25; b) (x + 1/2)2 + (y − 1)2 = 1/4; c) (x + 1)2 + (y − 1/2)2 = 1/4;d) (x + 2)2 + (y − 3)2 = 15; e) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4; f) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16

7. a) real b) real; c) imaginaria d) degenerada e) imaginaria

8. a) 5x2 + 5y2 − 19x − 9y = 0; b) x2 + y2 + x − 7y + 4 = 0; c) x2 + y2 − x − y = 0; d) x2 + y2 +x − 7y + 4 = 0;

9. y

10. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4

11. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4

12. (x + 2)2 + (y − 2)2 = 4

13. (x − 2)2 + (y + 2)2 = 4

14. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4

15. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4

16. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 17

x y− +( ) + + −( ) =1 8 1 8 42 2

x y− −( ) + + +( ) =1 8 1 8 42 2


17. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

18. (x – 2)2 + y2 = 17

19. (x – 2)2 + (y − 1)2 = 4

20. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 9/10


1. c2. d3. a4. b5. (a, iv), (b, iii), (c, ii), (d, i)

4196.3 Parábola

6.3 Parábola

He fallado una y otra vez en mi vida,es por eso que he triunfado.

Michael Jordan

Introducción

¿Qué tienen en común los faros de los autos recientes y los proyectiles?¿Y los faros de autos recientes con las antenas parabólicas?

Quizás es más fácil contestar la segunda pregunta, pues los tres artículosmencionados tienen en común a las parábolas. Los faros y las antenas parabó-licas son esencialmente paraboloides de revolución o al menos una parte deparaboloides de revolución; esto es, la superficie que resulta de girar una pa-rábola sobre su eje de simetría, mientras que la trayectoria de un proyectil essiempre una parábola.

Las parábolas se pueden aplicar en problemas tan distintos como los si-guientes:

• Una empresa produce su artículo más vendido a $7 por pieza. Si ven-de cada artículo a x pesos, sabe que los consumidores comprarán 30−xartículos. ¿A qué precio debe vender cada artículo con la finalidad de ob-tener la mayor ganancia?

• Cuando una persona tose, el radio de la tráquea disminuye para aumentarla velocidad del aire que pasa por ella. La velocidad, V, del aire y radio,R, de la tráquea es V(R) = KR2 (R0 − R), con K, una constante positiva,y R0, el radio normal de la tráquea. ¿Para qué valor de R es mayor la ve-locidad del flujo de aire?

En esta sección estudiaremos la tercera curva cónica: la parábola.

2 4−2−4 0

5

10

15

20

25

x

0

50

−50

−100

100

−2 2 4−4


Parábola

La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma dis-tancia a una recta fija D, llamada directriz, y a un punto fijo F, llamado foco.

A la recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se le llama eje, entanto que al punto en donde corta el eje de simetría a la parábola se le llama vértice.

La cuerda que es paralela a la directriz, y que pasa por el foco, se le llama el lado recto(latus rectum).

Objetivos


• Reconocer las partes de una parábola y su definición.• Reconocer y manejar la ecuación de una parábola en sus diferentes formas.• Determinar la ecuación de una parábola dadas algunas condiciones.

DP

F

DirectrizP

F

Eje de simetría

Vértice

4216.3 Parábola

Por facilidad, sólo estudiaremos parábolas verticales y parábolas horizontales. Para encontrar la ecuación, considerando primero la parábola que tiene el vértice en

el origen y que su foco esté sobre el eje y, digamos que F(0, a) con a > 0. Entonces ladirectriz tiene ecuación y = −a, puesto que la distancia del vértice V(0, 0) a la directrizes igual que la distancia del vértice al foco.

De esta forma, si un punto P(x, y) está sobre la parábola, entonces su distancia a la di-

rectriz es y + a, mientras que su distancia al foco es , por lo que

Si elevamos al cuadrado y simplificamos, obtendremos:

…(1)

Debido a esta ecuación, vemos que la parábola es simétrica respecto de su eje, que abrehacia arriba, y que su lado recto mide 4a.

Si a es negativa, la ecuación es la misma, pero la parábola abre hacia abajo. El ladorecto mide en este caso 4a.

De la misma forma es posible encontrar la ecuación de la parábola con vértice en elorigen y foco en F(0, a):

… (2)

Para encontrar la ecuación de cualquier parábola vertical u horizontal, basta trasladar lasecuaciones que encontramos. Así, la parábola vertical con vértice en V(h, k) y foco enF(h, k + a) tiene ecuación:

…(3)

Para la parábola horizontal con vértice en V(h, k) y foco en F(h + a, k) con a > 0, su ecua-ción es:

( ) ( )x h a y k− = −2 4

y ax2 4=

x ay2 4=

x y ay a y a2 2 2 22 2+ − + = +

x y a y a2 2 2+ −( ) = +( )

x y a y a2 2+ −( ) = +

x y a2 2+ −( )

DirectrizP

FLado rectoVértice


…(4)

Las formas (3) y (4) de la ecuación de una parábola se conocen como formas estándar.Si se desarrollan los paréntesis y se escriben los términos de un solo lado se obtiene laforma general de la parábola.

Por ejemplo, para el caso de la parábola vertical (3), tenemos

…(5)

en donde D = –2h, E = –4a y F = h2 + 4akPara el caso de parábola horizontal, la ecuación en forma general es:

…(6)

Para obtener la forma estándar a partir de la ecuación general, se completa el cuadrado.Es importante observar que no toda ecuación de la forma (5) o (6) representa una pa-

rábola: si completamos el cuadrado en la ecuación (5), obtendremos:

Lo anterior requiere, desde luego, que E ≠ 0. En este caso, diremos que la ecuación (5)representa una parábola real.

Si E = 0, entonces la ecuación (5) puede representar dos rectas paralelas:

siempre y cuando D2 – 4F > 0. Si D2 – 4F = 0 (y E = 0), la ecuación (5) representa una

sola recta vertical: . Llamamos a estos casos de rectas parábolas degeneradas.

Finalmente, cuando D2 – 4F < 0, la ecuación (5) no representa ninguna figura en elplano. Decimos entonces que se trata de una parábola compleja o una parábola imagi-naria.

xD= −2

xD F D= ± − −

2 44 2

xD

E yD F

E+⎛

⎝⎞⎠ = − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

44

2 2

xD D

Ey F+⎛⎝

⎞⎠ = − −

2 4

2 2

xD D

Ey F+⎛⎝

⎞⎠ − + + =

2 40

2 2

x DxD D

Ey F22 2

2 20+ + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠ + + =

y Dy Ex F2 0+ + + =

x Dx Ey F2 0+ + + =

x hx h ay ak2 22 4 4 0− + − + =

x hx h ay ak2 22 4 4− + = −

( ) ( )y k a x h− = −2 4

solución

solución

Ejemplos

4236.3 Parábola

Ejemplo 1

Determina la ecuación, en su forma general, de la parábola con vértice en V(2, 3) y foco en F(2, 1)

Utilizamos la ecuación (3), donde h = 2, k = 3 y k + a = 1, es decir, a = –2. De esta forma, la ecuación es:

Al desarrollar y pasar todos los términos del lado izquierdo de la ecuación, obtenemos la forma general:

Ejemplo 2

Determina la longitud del lado recto de la parábola del ejercicio anterior.

El lado recto corresponde al segmento de línea paralelo a la directriz que pasa por el foco. En este ca-so, la directriz es horizontal. Por ello, los extremos del lado recto corresponden a las intersecciones dela recta horizontal y = 1 con la parábola. Tales intersecciones se obtienen sustituyendo y = 1 en la ecuación

x x+( ) −( ) =2 6 0

x x2 4 12 0− − =

x x2 4 8 1 20 0− + − =( )

x x y2 4 8 20 0− + − =

x x y2 4 4 8 24− + = − +

( ) ( )( )x y− = − −2 4 2 32

2−2−4 4 6 80

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

solución


El lado recto es el segmento de línea que une los puntos (–2, 1) con (6, 1), por lo que su longitud esde ocho unidades.

Una alternativa. Como mencionamos en la teoría, el lado recto mide |4a|, por lo que en este caso co-rresponde a |4(–2)| = 8 unidades.

Ejemplo 3

Encuentra la ecuación, en su forma estándar, así como el vértice y el foco de la parábola horizontalque pasa por los puntos P(3, 1), Q(0, 3) y R(8, 11)

Como la parábola es horizontal, sustituimos los puntos dados en la ecuación (5) y obtenemos un siste-ma de tres ecuaciones con tres incógnitas:

ó

Al resolver este sistema, obtenemos D = –10, E = –4, F = 21, por lo que la ecuación general de la pa-rábola es:

Para determinar el vértice y el foco, debemos encontrar la forma estándar de la ecuación. Para esto, bas-ta escribir los términos en y en el lado izquierdo y los demás en el lado derecho de la ecuación, así co-mo completar el cuadrado:

y x−( ) = +( )5 4 12

y y x2 10 25 4 21 25− + = − +

y y x2 10 4 21− = −

y y x2 10 4 21 0− − + =

D E F

D F

D E F

+ + = −+ = −

+ + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 13 9

11 8 121

1 1 3 03 3 0 0

11 11 8 0

2

2

2

( ) + ( ) + ( ) + =( ) + ( ) + ( ) + =

( ) + ( ) + ( ) + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

D E F

D E F

D E F

2−2−4 4 6 80

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

solución

4256.3 Parábola

Vemos que el vértice es V(–1, 5) y el foco es F(0, 5)

Ejemplo 4

Clasifica las ecuaciones como parábola real, degenerada o compleja:

a) x2 – 4x – 5 = 0 b) x2 – 4x + 9 = 0 c) x2 – 4x – 4y = 0

a) Al completar el cuadrado obtenemos:

Por lo que la ecuación representa dos rectas verticales, x = 5 y x = −1 (parábola degenerada).

b) Completamos el cuadrado:

Por lo que la ecuación no representa ninguna gráfica (parábola compleja).

c) Completamos el cuadrado:

Vemos que la ecuación representa una parábola real con vértice en V(2, −1) y que abre hacia arriba.

x y−( ) = +2 4 12 ( )

x x y2 4 4 4 4 0− + − − =

x −( ) = −2 52

x x2 4 4 5 0− + + =

x = ± +3 2

x −( ) =2 92

x x2 4 4 9 0− + − =

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

y

x


y

x22

−1

1

2

3

4

5

64− 2 0

Ejercicios

y problemas

1. Describe qué es una parábola.

2. ¿Por qué es una curva cónica?

3. Describe qué son el foco y la directriz de una parábola.

4. Describe qué es un paraboloide.

5. Describe por qué se utilizan los paraboloides.

6. ¿Qué propiedad importante tienen las parábolas?

7. Determina el foco, la directriz y el vértice de la parábola:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) y x+( ) = +( )8 12

72

x y−( ) = +( )5 2 22

x y−( ) = −( )4 4 12

x y−( ) = − +( )2 8 42

y x−( ) = +( )7 22

y x+( ) = − +( )5 16 22

y x−( ) = −( )4 6 32

y x+( ) = −( )2 8 42

4276.3 Parábola

8. Determina el vértice, el foco y la directriz de la parábola.

a)

b)

c)

d)

9. Determina la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos P, Q y R.

a) P(1, −2), Q(2, −3), R(3,−4)b) P(0, −2), Q(1, −1), R(–1, −1)c) P(−3, 2), Q(−2, 1), R(−1, 2)d) P(1, 2), Q(2, 3), R(3, 2)

10. Determina una ecuación de la parábola que interseca al eje y en 4, y al eje x en −2 y en 1

11. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz y = −7

12. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz y = 1

13. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz x = 0

14. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz x = 8

15. Determina una ecuación de todos los puntos en el plano que equidistan del punto P(−3, 4) y de la rec-ta y = 8

16. Determina una ecuación de todos los puntos en el plano que equidistan del punto P(2, −1) y de la rec-ta x = 6

17. Una empresa produce su artículo más vendido a $7 por pieza. Si puede vender cada artículo a x pesos,sabe que los consumidores comprarán 30−x artículos. ¿A qué precio debe vender cada artículo con lafinalidad de obtener la mayor ganancia?

18. Una empresa de TV por cable tiene actualmente 3,000 suscriptores que pagan al mes $50. La empresasabe que por cada $0.5 que disminuya la cuota mensual, tendrá 60 nuevos suscriptores. Determina lacuota mensual que se requiere para que la empresa tenga el mayor ingreso posible.

19. Cuando una persona tose, el radio de la tráquea disminuye para aumentar la velocidad del aire que pa-sa por ella. La velocidad, V, del aire y radio, R, de la tráquea es V(R) = KR(R0 − R), con K, una cons-tante positiva, y R0, el radio normal de la tráquea. ¿Para qué valor de R es mayor la velocidad del flu-jo de aire?

20. El administrador de una empresa sabe que el costo de producir q unidades de su producto es:

Determina qué cantidad debe producir con la finalidad de obtener el menor costo y cuál es este costomenor.

C q q= − +2 200 9600

x x y2 6 4 3 0− + − =

y y x2 2 6 2 0− − − =

x x y2 4 20 10 0− + + =

y y x2 8 16 3 0− − + =



21. Se va a cercar un área rectangular de descanso para automovilistas en cierta carretera. Se tienen 10,000metros de cerca para vallar el área y sólo se pondrá valla en tres lados (no hay cerca en la parte que daa la carretera). Determina las dimensiones del terreno de mayor área que se puede cercar.

22. Determina la trayectoria de un proyectil que se dispara desde el suelo y recorre 2 kilómetros horizon-talmente antes de llegar de nuevo al suelo. La mayor altura del proyectil es de 500 metros.

23. Determina el foco de un espejo parabólico para telescopio que mide 6 metros de diámetro y tiene unaprofundidad de 0.5 metros.

Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguien-tes situaciones:

1. Newton fue quien encontró la propiedad de las parábolas de que los rayos paralelos al ejede simetría se reflejan en el foco. La idea de este ejercicio es que pruebes lo anterior para laparábola y = x2. ¿Cómo lograrlo? Primero, dada la ley física que afirma que “el ángulo de in-cidencia es igual al ángulo de refracción” para un haz luminoso, basta ver que el ángulo deuna recta vertical (haz paralelo al eje de simetría) es igual al ángulo de la recta que pasa porel foco y por el punto de incidencia. Así que lo que debes hacer en equipo es:

a) Determina las coordenadas del foco F de la parábola y = x2.b) Para el punto P(a, b) sobre la parábola, determina la ecuación de la recta tangente, T, a la

misma en P.c) Calcula el ángulo entre la T y la recta vertical que pasa por P.d) Determina una ecuación de la recta, L, que pasa por P y F.e) Calcula el ángulo entre L y T.

2. ¿Cómo determinarías la ecuación de una parábola si conoces las coordenadas del vértice yel lado recto?

3. Supón que tienes una antena parabólica o un faro de automóvil. Determina el foco del para-boloide, es decir, determina el foco de la parábola que la genera.

4. Encuentra las ecuaciones de la rectas que pasan por P(2, 1) y que intersecan a la parábolay – 4x = y2 en exactamente un punto

Carretera

4296.3 Parábola

1. Indica la opción que contiene la ecuación de la parábola con vértice en V(2, –5) y focoF(0, –5)

a)

b)

c)

d)

2. Halla la opción que contiene la forma estándar de la ecuación de la parábola

a)

b)

c)

d)

3. Encuentra el lado recto de la parábola que pasa por los puntos P(2, 19), Q(1, 12) y R(–1, 4).

a) 2

b) 1

c)

d)

4. Encuentra en la columna B la ecuación de la parábola dada en la columna A:

Columna A Columna B

a) y = x2 + 4x + 7 i.

b) ii. y y x2 23

4 199

0− − + =y x−⎛⎝

⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠

13

4 12

2

x y−⎛⎝

⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠

12

2 13

2

14

12

x y−⎛⎝

⎞⎠ = − −( )1

214

42

x y−⎛⎝

⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠

12

4 14

2

x y−⎛⎝

⎞⎠ = −( )1

214

42

x y−⎛⎝

⎞⎠ = − +⎛

⎝⎞⎠

12

4 14

2

x x y2 4 54

0− − + =

y x+( ) = − −( )5 8 22

y x−( ) = +( )5 8 22

y x−( ) = − +( )5 4 22

y x+( ) = −( )5 4 22


c) iii. (y + 1)2 = x + 3

d) iv. (x + 2)2 = y − 3

v.

vi. y x x= − +13

2 72

2

x y y= − +12

12

y x−( ) = −⎛⎝

⎞⎠1 1 1

22

x x y2 2 1124

0− − − =

Respuestas a los


7. a) V(4, −2), F(6, −2), x = 2; b) V(3, 4), F(9/2, 4), x = 3/2; c) V(−2, −5), F(−6, −5), x = 2;d) V(−2, 7), F(−7/4, 7), x = −9/4; e) V(2, −4), F(2, −6), y = −2; f)) V(4, 1), F(4, 2), y =0;g) V(5, −2), F(5, −7/4), y = −9/4; h) V(−7, −8), F(−57/8, −8), x = −55/8

8. a) V(−13/16, 4), F(77/16, 4), x = 51/16; b) V(2, −3/10), F(2, −53/10), y = 47/10; c) V(11/9,3), F(5/18, 3), x = 49/18; d) V(3, 3), F(3, 2), y = 4

9. a) No hay parábola, los puntos están alineados; b) x2 –y −2 = 0; c) x2 + 4x – y – 5 = 0; d) x2 −4x +y + 1 = 0

10. x2 + x + y/2 – 2 = 0

11. (y + 5)2 = 8(x − 4)

12. (y + 1)2 = −8(x − 4)

13. (x − 2)2 = 8(y + 3)

14. (x − 6)2 = −8(y + 3)

15. (x + 3)2 = −8(y − 6)

16. (y + 1)2 = −8(x − 4)

17. 37/2, es decir, 18 o 19 artículos

18. 75

19. Ro/2

4316.3 Parábola

20. 100

21. 2,500 por 5,000 metros

22. Si el origen está en el punto donde se dispara y el disparo es en el primer cuadrante, la alturadel proyectil es y = K x(x − 2) kilómetros, para una constante positiva K que depende de la fuer-za del disparo.

23. Si se coloca el espejo de forma vertical abriendo hacia arriba con el vértice en el origen, su ecua-ción es y = x2/18. Su foco está nueve metros arriba del origen.


1. d2. c3. b4. (a, iv), (b, ii), (c, i), (d, v)


6.4 Elipse

The best way to learn mathematicsis to do mathematics.

Paul Halmos

Introducción

La órbita de la Tierra alrededor del Sol no es una circunferencia, por lo quela distancia que tenemos al Sol cambia diariamente. ¿Cuál es la mayor dis-tancia y cuál es la menor distancia de la Tierra al Sol?

¿Te imaginas una mesa de billar en la cual al tirar desde cierta posicióninicial siempre aciertas un punto dado, sin importar hacia dónde dirijas tutiro? (véase el problema de equipo 3).

Las preguntas anteriores tienen que ver con el tema de esta sección:elipses.

1 22 33−−−33 −−2

33

22

−1

−−33

−−22

x

y

Objetivos


• Reconocer la definición de elipse.• Reconocer las diferentes partes de una elipse.• Graficar una elipse con centro en el origen dada su ecuación.• Obtener la ecuación de una elipse dados datos suficientes.

4336.4 Elipse

Elipse

La elipse se define como el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cartesianoque tienen la propiedad de que la suma de las distancias de P a dos puntos fijos, F1 y F2,llamados focos, es una constante.

La recta que pasa por los focos se conoce como eje principal de la elipse y a la rectaperpendicular al eje principal que pasa por el punto medio de los focos se le llama ejesecundario.

El centro de la elipse es la intersección de los ejes principal y secundario.

CentroEje principalp

Eje secundario

Eje principal

Lado rectot Lado rectoL

F1 FF2

F1 F2

Eje mayor

Eje menor

F1

F2

Las intersecciones de los ejes principal y secundario con la elipse se conocen como losvértices de la elipse.

El segmento de recta que va de un vértice al otro sobre el eje principal se llama ejemayor, en tanto que al segmento de recta que va de un vértice al otro sobre el eje secun-dario se le conoce como eje menor.

A la cuerda que pasa por un foco, y es perpendicular al eje mayor, se le llama lado recto(latus rectum). Una elipse tiene dos lados rectos.


A la distancia entre los focos se le llama distancia focal.Para obtener la ecuación de la elipse, primero consideramos el caso cuando el centro

de la elipse está en el origen y los focos están sobre el eje x: F1(−c, 0), F2(c, 0) con c > 0.Entonces, si P(x, y) es cualquier punto de la elipse, la suma de las distancias de P a F1 y deP a F2 es una constante que, por conveniencia, llamaremos 2a. De esta forma, tenemos:

Para obtener una manera más manejable de la ecuación, vamos a eliminar los radicales.Primero despejamos un radical y elevamos al cuadrado cada lado:

Despejamos el radical para elevar nuevamente al cuadrado:

Escribimos las variables en el lado izquierdo de la igualdad:

Ahora dividimos cada lado de la ecuación entre a2 − c2:

Puesto que 2a > 2c, entonces a2 − c2 > 0, que se acostumbra denotar como b2 = a2 − c2.Así, obtenemos lo que se conoce como la forma estándar de la ecuación de la elipse ho-rizontal con centro en el origen y focos F1(−c, 0), F2(c, 0) sobre el eje x:

… (1)

Los vértices de la elipse son los puntos (±a, 0) y (0, ± b). El eje mayor mide 2a, mien-tras que el eje menor mide 2b. El lado recto mide (ejercicio 16). La distancia fo-cal es 2c (recuerda que b2 = a2 − c2).

2 2b

a

x

a

y

b

2

2

2

2 1+ =

x

a

y

a c

2

2

2

2 2 1+−

=

a c x

ay a c

2 2 2

22 2 2−( )

+ = −

xc x

ay a c2

2 2

22 2 2− + = −

x cx c y a cxc x

a2 2 2 2

2 2

22 2+ + + = + +

x c y acx

a+( ) +⎛

⎝⎞⎠ = +⎛

⎝⎞⎠

2 22 2

x c y acx

a+( ) + = +2 2

x c y a a x c y x c y−( ) + = − +( ) + + +( ) +2 2 2 2 2 2 24 4

x c y a x c y−( ) +⎛⎝

⎞⎠ = − +( ) +⎛

⎝⎞⎠

2 22

2 22

2

x c y a x c y−( ) + = − +( ) +2 2 2 22

x c y x c y a+( ) + + −( ) + =2 2 2 2 2

4356.4 Elipse

Análogamente, para la elipse (vertical) con centro en el origen y focos F1(0, −c), F2(0, c)sobre el eje y, la forma estándar de su ecuación es:

… (2)

Los vértices de la elipse son los puntos (0, ± a) y (±b, 0). El eje mayor mide 2a, mien-tras que el eje menor mide 2b. El lado recto mide (ejercicio 16). La distancia focales 2c (recuerda que b2 = a2 − c2).

Si la elipse tiene centro en C(h, k) simplemente trasladamos los ejes para encontrarsu ecuación. Así, para la elipse horizontal con centro en C(h, k), su ecuación en formaestándar es:

… (3)

Los vértices son (h ± a, k) y (h, k ± b).De la misma forma, la elipse vertical con centro en C(h, k) tiene ecuación (en forma

estándar):

… (4)

Los vértices son, en este caso, (h ± b, k) y (h, k ± a)

x h

b

y k

a

−( ) +−( ) =

2

2

2

2 1

x h

a

y k

b

−( ) +−( ) =

2

2

2

2 1

2 2b

a

x

b

y

a

2

2

2

2 1+ =

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina los vértices, los focos y la longitud de los lados rectos; luego, dibuja la elipse dada por9x2 + 16y2 = 144

Dividimos cada lado de la ecuación por 144 para encontrar la forma estándar de la ecuación:

Como a = 4 y b = 3, la elipse es horizontal con centro en el origen. Sus vértices son (4, 0), (−4, 0), (0, 3)y (0, −3)

Para determinar los focos, recuerda que b2 = a2 − c2 o por lo que en este caso,De esta forma, los focos son F1(– , 0) y F2( , 0)7 7c = − =4 3 72 3 ,

c a b= −2 2 ,

x y2

2

2

24 31+ =

9144

16144

144144

2 2x y+ =

solución


El lado recto =mide

Ejemplo 2

Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse que tiene focos en F1(0, −4) y F2(0, 4), así co-mo vértices en V1(0, 5) y V2(0, −5). Bosqueja su gráfica.

Se trata de una elipse vertical puesto que los focos están sobre el eje y. En este caso, la distancia focal es ocho unidades, por lo que c = 4, en tanto que el eje mayor mide

10 unidades, a = 5. Así, tenemos que Por lo tanto, la ecuación es

x y2

2

2

23 51+ =

b a c= − = − =2 2 25 16 3.

2 2 94

92

2b

a= =( )

1− 2 33

−2

4

−4

x

y

2−2−4 0 4

1

−1

−2

−3

2

3

x

y

solución

solución

4376.4 Elipse

Ejemplo 3

Determina la ecuación de la elipse que tiene centro en C(3, −2), focos F1(−2, −2) y F2(8, −2) y vérticesen V1(−3, −2) y V2(9, −2). Bosqueja su gráfica.

Esta elipse es horizontal con distancia focal de 10 unidades y eje mayor de 12 unidades, por lo que c = 5y a = 6. En este caso, Utilizamos la ecuación (3):

Ejemplo 4

Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse dada por 49x2 + 24y2 − 98x − 96y − 1031 = 0 ygrafícala.

Primero completamos los cuadrados en las variables x y y:

49 1 24 2 11762 2x y−( ) + −( ) =

49 1 1 24 2 4 1031 02 2x y−( ) −[ ] + −( ) −[ ] − =

49 2 1 1 24 4 4 4 1031 02 2x x y y− + −[ ] + − + −[ ] − =

49 2 24 4 1031 02 2x x y y−[ ] + −[ ] − =

49 98 24 96 1031 02 2x x y y− + − − =

x y−( ) ++( ) =3

362

111

2 2

b = − =36 25 11.

20

−2 4 6 8

−5

−4

−3

−2

−1

1x

y

solución


Al dividir cada lado de la ecuación por 1176, obtenemos la forma estándar:

Vemos que se trata de una elipse vertical con centro en C(1, 2) y con

Ejemplo 5

Encuentra una ecuación del lugar geométrico de todos los puntos medios de las ordenadas de la circun-ferencia x2 + y2 = 64

Las ordenadas de la circunferencia tienen ecuación por lo que los puntos medios tienen

ecuación Al despejar, obtenemos:

x y2 2

64 161+ =

y x y x= − = −12

64 642 2 o 2 .

y x= −64 2 ,

a b= y = 724

x y−( ) +−( ) =1

242

491

2 2

−4 −2 2 4 6

−4

−20

2

4

6

8

x

y

0−2 2 4 6 8−4−6−8

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

4396.4 Elipse

Más sobre elipses

En la sección anterior vimos la forma estándar de una elipse. Si multiplicamos cada la-do de la ecuación por el producto de los denominadores y desarrollamos los paréntesis,obtendremos la forma general de la ecuación.

Así, por ejemplo, en el caso de una elipse horizontal con centro en C(h, k) (fórmula(3)) obtenemos:

De esta forma, llegamos a la ecuación general.

… (5)

con A = b2, B = a2, C = −2b2h, D = −2a2k, y F = b2h2 + a2k2 − a2b2

Para regresar de la ecuación general (5) a la forma estándar, basta completar los cuadra-dos (tal como lo hicimos en el ejemplo 4 anterior):

Es importante resaltar que no toda ecuación de la forma (5) corresponde a una elipse.

La ecuación (5) corresponde a una elipse solamente si la cantidad

Decimos, entonces, que la ecuación (5) representa en este caso una elipse real.

Si la ecuación (5) representa un punto:

En este caso, decimos que la ecuación representa una elipse degenerada.

− −⎛⎝

⎞⎠

C

A

D

B2 2,A

C

AB

D

BF

2 20

2 2⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ − = ,

A xC

AB y

D

BA

C

AB

D

BF+⎛

⎝⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ −

2 2 2 2

2 2 2 2

A xC

AB y

D

BA

C

AB

D

BF+⎛

⎝⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ −

2 2 2 2

2 2 2 2

A xC

A

C

AB y

D

B

D

BF+⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

2 2 2 20

2 2 2 2

A xC

Ax

C

A

C

AB y

D

By

D

B

D

BF2

2 22

2 2

2 2 2 20+ + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + + + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

A xC

Ax B y

D

By F2 2 0+⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ =

Ax Cx By Dy F2 2 0+ + + + =

Ax By Cx Dy F2 2 0+ + + + =

b x b hx b h a y a ky a k a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0− + + − + − = .

b x h a y k a b2 2 2 2 2 2−( ) + −( ) =

a bx h

a

y k

ba b2 2

2

2

2

22 2−( ) +

−( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

AC

AB

D

BF

2 20

2 2⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ − > .


Si la ecuación no representa nada en el plano. Decimos

en este caso que se trata de una elipse compleja o una elipse imaginaria.Cerramos esta sección mencionando, sin demostración, dos propiedades importantes

de las elipses.

1. La elipse también se puede definir en términos de una directriz y un foco:

AC

AB

D

BF

2 20

2 2⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ − < ,

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que tiene la propie-dad de que la distancia de cualquier punto a un punto fijo F, llamado foco, esigual a una constante, entre 0 y 1, multiplicada por su distancia a una rectafija, L, llamada directriz.

A la constante entre 0 y 1 se le llama excentricidad de la elipse y se le denota conla letra e. Una elipse tiene dos directrices: para la elipse de ecuación,

las rectas son las directrices de la elipse y la excentricidad es

2. Las elipses tienen la propiedad, para cualquier punto P en la elipse, de que el ángu-lo entre la recta que pasa por P y el foco F1 y la recta tangente a la elipse en P, esigual al ángulo que forman la recta tangente con la recta que pasa por P y el foco F2.

ec

a= .

xa

cy x

a

c= = −

2 2

x

a

y

b

2

2

2

2 1+ = ;

F 1 F 2

Pα

α

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina qué tipo de elipse representa la ecuación 3x2 + 4y2 − 6x + 4y + 4 = 0

solución

solución

4416.4 Elipse

Podemos utilizar el signo de pero preferimos completar los cuadrados en ca-

da variable:

Vemos así que la ecuación representa una elipse degenerada; esto es, representa solamente un punto:

Ejemplo 2

Clasifica la elipse dada por la ecuación 14x2 + 2y2 + 7x − 6y + 6 = 0

Completamos el cuadrado en cada variable:

Vemos de esta forma que se trata de una elipse compleja.

Ejemplo 3

Determina la excentricidad y las ecuaciones de las directrices de la elipse:

7x2 + 3y2 + 28x − 6y + 10 = 0

14 14

2 32

58

2 2

x y+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ = −

14 14

116

2 32

94

6 02 2

x y+⎛⎝

⎞⎠ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −⎛

⎝⎞⎠ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

14 12

2 3 6 02 2x x y y+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ −[ ] + =

1 12

, .−⎛⎝

⎞⎠

3 1 4 12

022

x y−( ) + +⎛⎝

⎞⎠ =

3 1 1 4 12

14

4 022

x y−( ) −[ ] + +⎛⎝

⎞⎠ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

3 2 1 1 4 14

14

4 02 2x x y y− + −[ ] + + + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ =

3 2 4 4 02 2x x y y−[ ] + −[ ] + =

AC

AB

D

BF

2 2

2 2⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ − ,

solución


Completamos los cuadrados para determinar la ecuación en forma estándar:

7(x + 2)2 + 3(y − 1)2 = 21

Al dividir cada lado por 21, obtenemos:

Es decir, se trata de la elipse vertical con centro en

De esta forma, la excentricidad es Las directrices se deben trasladar de acuerdo con el

centro de la elipse: en este caso, y y = − = −1 72

52

y = + =1 72

92

y ka

c= ±

2

;

ec

a= = 2

7.

C , y ( 2, 1) y − = = =a b c7 3 2

x y+( ) +−( ) =2

31

71

2 2

7 2 4 3 1 1 10 02 2( ) ( )x y+ −[ ] + − −[ ] + =

7 4 3 2 10 02 2x x y y+[ ] + −[ ] + =

−3

−2

1

1

2

3

4

5

y

−4 −3x

Ejercicios

y problemas

4436.4 Elipse

1. Describe con tus palabras qué es una elipse.

2. Describe qué es el lado recto de una parábola y de una elipse.

3. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación (5) si A = 0 o si B = 0?

4. Describe qué son los vértices de una elipse.

5. Describe qué es la excentricidad de una elipse.

6. ¿Qué son el eje mayor y el eje menor de una elipse?

7. Escribe con tus palabras que es una directriz

8. Qué propiedad consideras más importante para una: a) parábola, b) elipse.

9. Determina la ecuación estándar de la elipse.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

10. Bosqueja la gráfica de la elipse y encuentra focos, vértices y lados rectos:

a)

b)

c)

d)

e)

f) 2 4 10 1 402 2x y−( ) + +( ) =

x y+( ) ++( ) =3

105

251

2 2

x y−( ) +−( ) =1

92

161

2 2

x y2 2

20 101+ =

x y2 2

81 491+ =

x y2 2

4 91+ =

2 12 12 2x x y+ + =

4 9 4 6 34 02 2x y x y+ + − − =

14

19

23

1 02 2x y x y+ + + + =

2 3 2 2 316

02 2x y x y+ + − − =

2 3 4 12 8 02 2x y x y+ + + + =

x y x y2 29 6 198 1089 0+ − + + =

9 16 36 32 92 02 2x y x y+ + − − =


g)

h)

11. Encuentra la ecuación general de la elipse dada.

a)

b)

c)

d)

e)

12. Clasifica si la ecuación dada representa una elipse real, degenerada o compleja.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

13. Determina las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse.

a)

b)

c)

d)

e)

f) 4 3 6 9 02 2x y y+ − − =

4 2 24 8 24 02 2x y x y+ − + + =

2 3 2 2 316

02 2x y x y+ + − − =

x y+( ) +−( ) =2

101

201

2 2

2 3 4 12 8 02 2x y x y+ + + + =

x y−( ) ++( ) =1

93

161

2 2

4 2 24 8 46 02 2x y x y+ − + + =

4 2 4 2 32

02 2x y x y+ + − − =

4 2 4 2 32

02 2x y x y+ + − + =

2 3 4 12 8 02 2x y x y+ + + + =

x y x y2 29 6 18 18 0+ + + + =

4 9 4 6 22 02 2x y x y+ − − + =

2 3 402 2x y+( ) + =

2 4 10 1 402 2x y−( ) + +( ) =

x y+( ) ++( ) =3

105

251

2 2

x y−( ) +−( ) =1

92

161

2 2

x y2 2

4 91+ =

2 3 402 2x y+( ) + =

5 1 3 2 602 2x y+( ) + −( ) =

4456.4 Elipse

14. Determina la ecuación en forma estándar de la elipse que

a) Tiene focos F1(0, 3)y F2(0, −3) y vértices (0, −4) y (0, 4)b) Tiene vértices (−4 ,0 ), (4, 0), (0, −2), (0, 2)

c) Tiene vértices (1 ,5 ), (7, 5), (4, 3), (4, 7)

d) Tiene vértices (−4 , −3 ), (0, −3), (−2, 1), (−2, −7)

e) Tiene centro en C(3, −7) y tiene lado mayor de 12 unidades y lado menor de ocho unidades

f) Tiene focos F1(−7, 0) y F2(7, 0) y vértices (9, 0) y (−9, 0)

g) 4x2 + 2y2 −24x + 8y + 24 = 0

h) 4x2 + 3y2 − 6y − 9 = 0

15. Encuentra los extremos de los lados rectos de una elipse horizontal con centro en el origen.

16. Determina la longitud de los lados rectos de una elipse horizontal con centro en el origen.

17. Encuentra los extremos de los lados rectos de una elipse vertical con centro en el origen.

18. Determina la longitud de los lados rectos de una elipse vertical con centro en el origen.

19. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos (1, 0) y (5, 0) es siem-pre igual a 8. Determina la ecuación de la curva que describe el punto.

20. Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (0, −2) y (0, 4) es siempreigual a 10. Determina la ecuación de la curva que describe el punto.

21. Prueba que las elipses tienen los mismos focos para cualquier número d > 0

22. Prueba que las elipses tienen los mismos focos para cualquier número d > 0

23. La elipse tiene eje mayor de longitud 18 y pasa por el punto Encuentra laecuación.

24. Una elipse vertical pasa por el punto y tiene eje mayor de longitud 10. Determina su

ecuación si su centro es C(3, 2)

25. Determina la ecuación de la elipse que tiene radio menor 6 y focos F1(3, 2) y F2(3, −1)

26. Un segmento de recta se mueve en el primer cuadrante de tal manera que sus extremos siempre estánsobre los ejes coordenados. Si el segmento mide 10 centímetros, determina la ecuación de la gráfica quedescribe el punto del segmento que está a dos unidades del extremo que tiene contacto con el eje y.

P 1 2 5 32

, +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

P 1 4 23

, .⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

a

y

b

2

2

2

2 1+ =

x h

a d

y k

b d

−( )+

+−( )+

=2

2

2

2 1

x

d

y

d

−( )+

+−( )+

=29

525

12 2



1. Indica la opción que contiene la ecuación de la elipse con focos F1(3, −1) y F2(−5, −1), así comoeje mayor de 16 unidades.

a)

b)

c)

d) x y+( ) ++( ) =1

641

481

2 2

x y+( ) ++( ) =1

481

641

2 2

x y+( ) +−( ) =1

481

641

2 2

x y+( ) +−( ) =1

641

481

2 2

Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientessituaciones:

1. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse en la cual el Sol está situado en uno delos focos. Es por esto que la distancia de la Tierra al Sol varía a lo largo del año.

Si la distancia máxima al Sol es de 152,100,000 kilómetros, y la distancia mínima es de147,100,000 kilómetros, determina la ecuación de la elipse que describe la rotación de la Tierra.

2. Dada la elipse , determina la pendiente de la recta tangente en el punto P(4,

12/5). Para esto, primero sustituye la forma punto pendiente de la recta en la ecuación 16x2

+ 25y2 = 400. Después, utiliza el discriminante de la ecuación cuadrática en x que te queda.

3. Las elipses tienen la propiedad de que para cualquier punto P en la elipse, las rectas que pa-

san por P y algunos de los focos, forman el mismo ángulo con la recta tangente en P. Prue-

ba que esto es cierto para la elipse en el punto P(4, 12/5).

Por esto, si tuvieras una mesa de billar con forma de elipse, al tirar desde un foco haciacualquier lugar, la pelota rebotaría siempre en dirección al otro foco.)

x y2 2

25 161+ =

x y2 2

25 161+ =

4476.4 Elipse

2. Halla la opción que contiene la ecuación de la elipse que tiene vértices (−3, −3), (−7, −3),(−5, −2) y (−5, −4)

a)

b)

c)

d)

3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que tienen ordenada un terciode la ordenada de x2 + y2 = 144

a)

b)

c)

d)

4. Encuentra la ecuación de la elipse con lado mayor de 10, lado menor de 8 y centro en C(1, 2).

a)

b)

c)

d)x y−( ) +

−( ) =225

116

12 2

x y−( ) +−( ) =1

252

161

2 2

x y−( ) +−( ) =1

162

251

2 2

x y−( ) +−( ) =2

161

251

2 2

x y2 2

144 161+ =

x y2 2

9 161+ =

x y2 2

16 91+ =

x y2 2

16 1441+ =

xy

−( ) +−( ) =5

32

122

xy

−( ) + −( ) =52

3 12

2

xy

+( ) + +( ) =52

3 12

2

xy

+( ) ++( ) =5

32

122


5. Encuentra en la columna B la ecuación equivalente que aparece en la columna A.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d)x y+( ) +

−( ) =316

29

12 2

x y+( ) +−( ) =3

162

91

2 2

36 4 72 40 8 02 2x y x y+ + − − =

9 4 36 24 36 02 2x y x y+ − + + = i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.x y+( ) +

−( ) =316

29

12 2

4 9 24 36 36 02 2x y x y+ + − + =

9 4 18 24 25 02 2x y x y+ − + + =

x y+( ) +−( ) =1

45

361

2 2

9 16 54 64 289 02 2x y x y+ + − + =

x y−( ) ++( ) =2

43

91

2 2

x y+( ) +−( ) =2

91

361

2 2

Respuestas a los


9. a) b) c)

d) e) f)

g)

10. a) Vértices: (±2, 0), (0, ±3), focos: LR = 8/3( , ),0 5 ±

x y+( ) + =319 2 19

12 2

/

x y+⎛⎝

⎞⎠

+−⎛

⎝⎞⎠

=

12

9

13

41

2 2

x y+( ) ++( ) =2

43

91

2 2x y+⎛⎝

⎞⎠

+−⎛

⎝⎞⎠

=

12

3

13

21

2 2

x y+( ) ++( ) =1

32

21

2 2x

y−( ) + −( ) =39

11 12

2x y−( ) +−( ) =2

161

91

2 2

0 1−2 −1 2

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

4496.4 Elipse

b) Vértices: (±9, 0), (0, ±7), focos: LR=98/9

c) Vértices focos

d) Vértices : (−2, 2), (4, 2), (1, −2), (1, 6)

focos : (1, LR = 9 / 2± 7),

( ,± 10 20 0), LR =( , ), ,± ±20 0 10 (0 ),

( , ),± 32 0

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

1

2

x

y

3

−2

0

2

4

6

y

−2 −1 1 2 3 4x


e) Vértices : (−3, 0), (−3, −10), focos :

f) Vértices: (4, −3), (4, 1), focos : (0, −1), (8, −1),

g) Vértices: focos : ( ),− ±1, 2 8 5 LR = 4 /( , ),− ±1 212( ),− ±1, 2 20

LR = 4 / 15(4 , 1),+ −20(4 , 1),− −20

( 3, 5 , 0), LR = 4− ± 15( 3+ , 5)− −15( 3 , 5),− − −15

10

−8

−6

−4

−2

0

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1

x

−3

−2

−1

1

y

2 4 6 8x

0

−2

0

2

4

6

y

−4 −3 −2 −1 1 2x

4516.4 Elipse

h) Vértices: focos:

11. a) 9x2 + 4y2 −36 = 0 b) 16x2 + 9y2 − 32x − 36y − 92 = 0 c) 25x2 + 10y2 −150x + 100y + 225 = 0d) 2x2 + 10y2 −16x + 20y + 2 = 0 e) 2x2 + y2 +12x − 22 = 0

12. a) Imaginaria b) Degenerada c) Real d) Degenerada e) Real f) Imaginaria

13. a) b) c) d) e) f).

14. a) b) c) d)

e) y f) g)

h)

15.

16.

17.

18.

19.x y−( ) + =3

16 121

2 2

22b

a

xb

a= ±

2

22b

a

yb

a= ±

2

x y2 2

31

41+

−( ) =

x y−( ) ++( ) =3

52

101

2 2x y2 2

3 21+ =

x y−( ) ++( ) =3

647

1441

2 2x y−( ) +

+( ) =3144

764

12 2

x y+( ) ++( ) =2

43

161

2 2x y−( ) +

−( ) =49

54

12 2

x y2 2

16 41+ =x y2 2

7 161+ =

x = ±1 4x = − ±2 2 2x = − ±12

3y = ±1 40x = ±1 3y = ±3 167

(− ± =3, 20 40), LR( ),− ±3, 40( , ),− ±3 020

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1x


20.

21. Focos F(2, 5±4)

22. Focos F(h ± c2, k) o F(h, k ± c2) con c2 = a2 − b2

23.

24.

25.

26.x y2 2

4 641+ =

xy−( ) +

−⎛⎝

⎞⎠

=39

12

45 41

2

2

/

x y−( ) +−( ) =3

162

251

2 2

x y2 2

9 81+ =

x y2 2

251

161+

−( ) =


1. d2. b3. d4. c5. (a, ii), (b, iv), (c, iii), (d, vi)

4536.5 Hiperbóla

6.5 Hipérbola

No entre aquí quien no sepa geometría.

Máxima escrita en la entradaa la escuela de Pitágoras

Introducción

¿Qué tienen en común algunos telescopios con algunos cometas y con el sis-tema de radionavegación Loran? Acertaste: las hipérbolas. Algunos cometassólo se acercan al Sol una vez en su existencia, tienen órbitas hiperbólicas,con el Sol como uno de sus focos. En una hipérbola, si se dirige un haz de luzen dirección de un foco, éste se reflejará antes de llegar a él en dirección delotro foco. Tal propiedad se utiliza en algunos telescopios (como los del tipoCassegrain).

El sistema de radionavegación Loran (Long Range Navigation) se basatambién en propiedades de las hipérbolas, que es nuestro tema en esta sección.

Objetivos


• Reconocer la definición de hipérbola.• Identificar las diferentes partes de una hipérbola, así como su gráfica.• Conocer y determinar la ecuación de una hipérbola, dados suficientes datos.

−6

−4

−2

0

2

4

6

y

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8x


Hipérbola

Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya dife-rencia de distancias a dos puntos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante.

A la recta que pasa por los focos se le llama eje real de la hipérbola y a la mediatrizde este eje que pasa por el punto medio entre los focos se le conoce como eje imagina-rio. La intersección del eje real con el eje imaginario se llama el centro de la hipérbola.

F2F1

F2

F1

Eje real

Eje imaginario

Eje imaginario

Eje real

Las intersecciones del eje real con la hipérbola son los vértices de la hipérbola. Observaque el eje imaginario no tiene ningún punto en común con la hipérbola.

La semirrecta que va de un vértice al otro se conoce como eje transverso. La distan-cia entre los dos focos se llama distancia focal y la denotaremos, al igual que en la elip-se, como 2c.

Si P es cualquier punto sobre la hipérbola, las longitudes de los segmentos de rectaque van de los focos a P se llaman radios vectores.

Para determinar la ecuación estándar de la hipérbola, consideremos el caso en que losfocos son F1(–c, 0) y F2(c, 0) con c > 0, es decir, los focos están sobre el eje x y el cen-tro de la hipérbola está en el origen. Análogamente al caso de la elipse, llamaremos 2a ala diferencia de la distancias de un punto P(x, y) a los focos. Nota que de acuerdo con ladefinición de hipérbola, 2a < 2c (distancia interfocal), es decir, a < c.

Tenemos, de esta forma:

Para eliminar los radicales primero despejamos uno y elevamos al cuadrado. En seguidasimplificamos y despejamos el radical restante para elevar nuevamente al cuadrado:

x c y a x c y+( ) +⎛⎝

⎞⎠ = ± + −( ) +⎛

⎝⎞⎠

2 22

2 22

2

x c y a x c y+( ) + = ± + −( ) +2 2 2 22

x c y x c y a+( ) + − −( ) + = ±2 2 2 2 2 .

4556.5 Hipérbola

Ahora, dividimos entre 4 cada lado de la ecuación, elevamos al cuadrado y simplifica-mos:

Reacomodamos tales términos escribiendo los que tienen a las variables del lado izquierdo:

Dividimos entre a2(c2 – a2) cada lado:

Como c > a, entonces c2 – a2 > 0; llamaremos b2 a esta cantidad. Tenemos así que laecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es:

… (1)

Los lados rectos de la hipérbola se obtienen al sustituir x = ± c y al despejar y en esta

ecuación (1). Obtenemos, de esta forma, que los lados rectos tienen longitud así

como extremos y para el lado recto izquierdo, y y

para el lado recto derecho.

Los vértices de esta hipérbola son V1(−a, 0) y V2(a, 0), el eje transverso tiene longi-tud 2a y su eje conjugado (perpendicular al eje transverso) tiene longitud 2b.

De la misma forma, para una hipérbola con centro en el origen y focos sobre el eje y,la ecuación estándar es:

… (2)

En esta ecuación, F1(0, –c) y F2(0, c) con c > 0 son los focos y b2 = c2 – a2. Los lados

rectos tienen longitud , en tanto que los vértices son V1(0, −a) y V1(0, a), su eje

transverso tiene longitud 2a y su eje transverso 2b.

2 2b

a

y

a

x

b

2

2

2

2 1− =

cb

a, 2 2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cb

a,−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cb

a, 2 2

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cb

a, 2 2

2 2b

a,

x

a

y

b

2

2

2

2 1− =

x

a

y

c a

2

2

2

2 2 1−−

=

c a x a y a c a2 2 2 2 2 2 2 2−( ) − = −( )c x a x a y a c a2 2 2 2 2 2 2 2 4− − = −

c x a a x a c a y2 2 4 2 2 2 2 2 2+ = + +c x a cx a a x a cx a c a y2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 2− + = − + +

cx a a x c y−( ) = ± −( ) +⎛⎝

⎞⎠

2 2 2 22

4 4 42 2 2cx a a x c y− = ± −( ) +

x cx c y a x a x c y cx c y2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2+ + + = + ± −( ) + − + +


Si el centro de la hipérbola no está en el origen, simplemente trasladamos los ejes pa-ra obtener la nueva ecuación.

Así, en forma estándar, la ecuación de la hipérbola (horizontal) con centro en C(h, k)y focos en F1(h–c, k) y F2(h + c, k) con c > 0, es:

… (3)

La ecuación en forma estándar de la hipérbola (vertical) con centro en C(h, k) y fo-cos en F1(h, k – c) y F2(h, k + c) con c > 0, es:

… (4)y k

a

x h

b

−( ) − −( ) =2

2

2

2 1

x h

a

y k

b

−( ) −−( ) =

2

2

2

2 1

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos F1(0, –3) yF2(0, 3), con un vértice en V1(−2, 0).

Se trata de una hipérbola vertical, por lo que utilizaremos la fórmula (2), con b2 = c2 – a2 = 9 – 4 = 5:

y x2 2

9 41− =

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−10

−5

5

10

x

y

solución

4576.5: Hipérbola

Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas

Cuando desarrollamos los cuadrados en la forma estándar de la ecuación de una hipér-bola, obtenemos la forma general de la ecuación de la hipérbola. Podemos evitar lasfracciones si multiplicamos toda la ecuación por a2b2. Por ejemplo, para la ecuación (3),al multiplicar y desarrollar, obtendremos:

Si llamamos A = b2, B = a2, C = −2b2h, D = 2a2k, y E = b2h2 – a2k2 − a2b2, obtenemos laforma general:

b x a y b hx a ky b h a k a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0− − + + − − =

b x h a y k a b2 2 2 2 2 2−( ) − −( ) =

x h

a

y k

b

−( ) −−( ) =

2

2

2

2 1

Ejemplo 2

Determina una ecuación de la hipérbola con centro en C(2, 3), distancia focal 8 y vértice en V2(2, 4)

Se trata de una hipérbola horizontal con c =8/2 = 4, a = 1 y b2 = 16 – 1 = 15, por lo que al aplicar lafórmula (3), obtendremos:

xy

−( ) −−( ) =2

315

122

−2 0

2

10

8

6

4

4 6

−4

−22

x

y


Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0… (5)

Observa que A y B son positivos.Al igual que en la elipse, para obtener la forma estándar, a partir de la forma general,

completamos los cuadrados. Por ejemplo, para la forma general dada por (5), obtendre-mos:

… (6)

Como A y B son positivos, (6) representa la ecuación de un hipérbola horizontal si

y representa la ecuación de una hipérbola vertical si

(ambos casos se conocen como hipérbolas reales).

¿Qué sucede si ? De ocurrir lo anterior, no tendremos una hipérbo-

la sino dos rectas. Decimos, en este caso, que la ecuación (5), o la (6), representa una hi-pérbola degenerada. Así, una hipérbola degenerada representa dos rectas que pasan porel centro de la hipérbola.

Estas rectas, que son importantes para graficar una hipérbola, se conocen como lasasíntotas de la hipérbola.

Por ejemplo, para la hipérbola dada por la ecuación (3), las asíntotas se obtienen igua-lando a 0 y factorizando:

De esta forma, las asíntotas son las rectas simplifican-do, las rectas:

… (7)yb

ax k

bh

ay

b

ax k

bh

a= + − = − + + y

x h

a

y k

b

x h

a

y k

b

− = − − = − − y ;

x h

a

y k

b

x h

a

y k

b

− − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 0

x h

a

y k

b

−( ) −−( ) =

2

2

2

2 0

D

B

C

AE

2 2

4 4− − = 0

D

B

C

AE

2 2

4 4− − < 0D

B

C

AE

2 2

4 4− − > 0,

A xC

AB y

D

B

D

B

C

AE+⎛

⎝⎞⎠ − −⎛

⎝⎞⎠ = − + −

2 2 4 4

2 2 2 2

A xC

A

C

AB y

D

B

D

BE+⎛

⎝⎞⎠ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − −⎛

⎝⎞⎠ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

2 4 2 40

2 2

2

2 2

2

A xC

Ax

C

A

C

AB y

D

By

D

B

D

BE2

2 22

2 2

2 2 2 20+ + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + =

A xC

Ax B y

D

By E2 2 0+⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ =

Ax Cx By Dy E2 2 0+ − + + =

4596.5 Hipérbola

Para la hipérbola horizontal dada por (1), tenemos que las asíntotas son:

…(8)

Observa que las pendientes de las rectas asíntotas en ambos casos son: Es

decir, para trazarlas, podemos dibujar el rectángulo con centro en el centro de la hipér-bola horizontal, así como de largo 2a y altura 2b. Las diagonales de este rectángulo sonlas asíntotas.

b

a

b

a y − .

yb

ax y

b

ax= = − y

2

Asíntotasde una hipérbolahorizontal

2a

C2b

Asíntotas

hipérbolavertical

2aC

2b

Para el caso de una hipérbola vertical, trazamos el rectángulo de largo 2b y altura 2a, concentro en el centro C de la hipérbola. Las rectas que contienen a las diagonales corres-ponden a las asíntotas.

El nombre de asíntota es porque estas rectas tienen la propiedad de que la hipérbola y lasrectas están cada vez más cercanas (sin coincidir nunca) a medida que nos alejamos delcentro de la hipérbola, es decir, casi no hay diferencia entre las rectas y las ramas de lashipérbola cuando consideramos valores de x muy grandes en valor absoluto.

Para trazar la gráfica de una hipérbola, nos ayudamos con las asíntotas y algunos pun-tos que tabulamos. Una hipérbola horizontal y una vertical, se dice que son conjugadassi tienen las mismas asíntotas.

solución

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

Dibuja la hipérbola

Las asíntotas son que podemos trazar al dibujar el rectángulo con centro en el ori-

gen de largo 6 y altura 4, así como alargar sus diagonales.

Los vértices de esta hipérbola son V1(−3, 0) y V2(3, 0) y sus focos son

Ejemplo 2

Dibuja la hipérbola

Se trata de la hipérbola conjugada de la hipérbola del ejemplo anterior. Sus asíntotas son, por lo tanto,las mismas, pero sus vértices son V1(0, −3) y V2(0, 3) y sus focos son F F1 20 13 0 13, ,( ) −( ) y

y x2 2

4 91− =

F F1 213 0 13 0, ,( ) −( ) y

y x y x= = −23

23

y ,

x y2 2

9 41− =

0

−4

−6

−2

2

6

4

−10 −5 5 10x

y

solución

4616.5 Hiperbóla

0

−4

−6

−2

2

6

4

−10 −5 5 10x

y

Ejemplo 3

Traza juntas la hipérbola y su conjugada.

La ecuación de la hipérbola conjugada es ambas tienen su centro en C(−1, 2),

en tanto que las rectas asíntotas tienen ecuaciones, de acuerdo con (7), y x y x= + = − +54

134

54

34

y

x y+( ) − − =116

225

12 2( ) ;

( )y x− − +( ) =225

116

12 2

0

−10

−5

5

10

15

−10 −5 5 10x

y

solución


Ejemplo 4

Determina los focos, los vértices y el lado recto de la hipérbola 9x2 – 16y2 – 36x – 96y – 252 = 0. Di-buja su gráfica.

Completamos los cuadrados para encontrar forma estándar de la ecuación:

Dividiendo cada lado entre 144, obtenemos:

Se trata entonces de la hipérbola horizontal con centro en C(2, −3) y vértices en V1(−2, −3) y V1(6, −3).

Los focos son F1(−3, −3) y F2(7, −3). Sabemos, de la primera sección, que el lado recto mide 2 92

2b

a=

x y−( ) −+( ) =2

163

91

2 2

9 2 16 3 1442 2x y−( ) − +( ) =

9 2 4 16 3 9 252 02 2x y−( ) −[ ] − +( ) −[ ] − =

9 4 16 6 252 02 2x x y y−[ ] − +[ ] − =

9 36 16 96 252 02 2x x y y− − − − =

x

−10

−

−8

−6

−4

2

4

y

−6 −−44−8 −2 4 62 88 10 12

4636.5 Hipérbola

Ejercicios

y problemas

1. Describe con tus palabras qué es una hipérbola.

2. Describe qué es el lado recto de una hipérbola

3. ¿Qué son los radios vectores de una hipérbola?

4. ¿Qué es una asíntota? ¿Qué propiedad tiene?

5. Describe con tus palabras el método para trazar la gráfica de una hipérbola.

6. ¿Qué es una hipérbola conjugada?

7. Determina la ecuación de la hipérbola que

a) Tiene distancia focal 6, centro en el origen y un vértice en V(0, 2)b) Tiene un vértice en V1(4, 0), un foco en F1(−7, 0) y centro en el origenc) Tiene centro en C(−2, 4), un vértice en V(0, 4) y un foco en F(2, 4)d) Tiene centro en C(3, 4), a = 3 y b = 2

e) Tiene asíntotas y centro en el origen.

f) Tiene centro en C(1, −3) y a = 4, c = 5

8. Determina las asíntotas de la hipérbola dada y traza su gráfica

a)

b)

c)

d)

e)

f) yx

+( ) − +( ) =1

42 1

22

xy

−( ) − +( ) =34

2 12

2

x y+( ) −+( ) =3

251

41

2 2

y x+( ) − −( ) =2

91

161

2 2

x y−( ) −+( ) =1

162

91

2 2

x y2 2

16 91− =

y x= ± 34

.



9. Determina la hipérbola conjugada de la hipérbola dada y dibuja su gráfica.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

10. Determina la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene centro en C(3, 0), eje transverso de cuatrounidades y eje conjugado de seis unidades.

11. Determina la ecuación de la hipérbola vertical que tiene centro en C(−2, 2), eje transverso de dos uni-dades y eje conjugado de ocho unidades.

xy

+( ) −+( ) =2

14

122

xy

−( ) − +( ) =34

2 12

2

y x+( ) − +( ) =1

43

251

2 2

y x+( ) − −( ) =2

91

161

2 2

x y−( ) −+( ) =1

162

91

2 2

x y2 2

16 91− =

En equipo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones:

1. Investiguen en qué consiste el sistema de radionavegación Loran y qué propiedades de lashipérbolas son utilizadas. Actualmente se utiliza el sistema Loran−C. Determinen qué sonlas líneas Loran y cuál es el número mínimo de estaciones necesario para determinar la po-sición.

2. Para la hipérbola prueben la propiedad de reflexión de un haz luminoso. Ne-

cesitarán saber que si el punto P(x, y) está sobre la rama derecha de la hipérbola, la recta tan-

gente en P tiene pendiente y si P(x, y) está sobre la rama izquierda de la hi-

pérbola, la pendiente de la recta tangente en P es mx

x= −

−2

3 92

mx

x=

−2

3 92

x y2 2

9 41− = ,

4656.5 Hipérbola

3. Realicen lo mismo que en el ejercicio anterior para la hipérbola Esto es, prue-

ben la propiedad de reflexión de un haz luminoso. Necesitarán conocer la pendiente de estahipérbola en cualquier punto. Consigan el dato con tu profesor o con alguno de tus compa-ñeros de semestres superiores.

x

a

y

b

2

2

2

2 1− = .

1. Indica la opción que contiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos en el plano cuyadiferencia de su distancia a los puntos P(−3 , 0) y Q (3, 0 ) es 4

a)

b)

c)

d)

2. Halla la opción que contiene la ecuación de la elipse que tiene vértices V1(3, 0) y V2(3, 2) yfocos F1(3, −2) y F2(3, 4).

a)

b)

c)

d)

3. Cuál de las siguientes opciones contienen una asíntota de la hipérbola

a) y x= +2 34

x y+( ) −−( ) =2

44

161

2 2

yx−( ) − −( ) =1 3

812

2

yx+( ) − +( ) =3 1

812

2

yx−( ) − −( ) =3 1

812

2

yx+( ) − +( ) =1 3

812

2

x y2 2

4 51− =

y x2 2

4 51− =

x y2 2

5 41− =

y x2 2

5 41− =


b) y = 2x + 8

c)

d)

4. Determina la longitud del lado recto de la hipérbola

a) 2b) 3c) 4d) 5

5. Encuentra en la columna B la ecuación equivalente a la ecuación dada en la columna A.

Columna A Columna B

a)

b)

c)

d) 3 4 12 8 4 02 2x y x y− − − − =

3 4 6 16 25 02 2x y x y− + + − =

x y+( ) −+( ) =2

43

91

2 2

x y+( ) −−( ) =2

42

41

2 2

x y−( ) −−( ) =3

162

81

2 2

y x= −12

34

y x= +12

8

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi. x y−( ) −+( ) =1

42

31

2 2

x y+( ) −−( ) =1

42

31

2 2

x y−( ) −+( ) =2

41

31

2 2

9 4 36 24 36 02 2x y x y− + + − =

9 4 24 36 36 02 2x y x y− + + + =

x y x y2 2 4 4 4 0− + + − =

Respuestas a los


7. a) b) c) d) óx y−( ) −

−( ) =39

24

12 2

x y+( ) −−( ) =2

44

121

2 2x y2 2

16 331− =y x2 2

4 51− =

4676.5 Hipérbola

e) ó f) ó

8. a)

b) y x= − ± −2 34

1( )

y x= ± 34

y x+( ) − −( ) =3

91

161

2 2

x y−( ) −+( ) =1

163

91

2 2

,y

a

x

a

2

2

2

234

1⎛⎝

⎞⎠

− =x

a

y

a

2

2

2

234

1−⎛⎝

⎞⎠

=y x−( ) − −( ) =

24

39

12 2

y

−10 −5 0 5 10x

−6

−4

−2

6

4

2

y

x

0

−6−4

−2

−12

−10

−8

6

8

4

2−10 −5 5 10


c) y

d)

e) y x= −12

72

y x= − −12

12

,

y x= +25

15

y x= − −25

115

,

y x= −34

114

y x= − −34

54

,

0

−6

−4

−2

−10

−8

6

4

2

y

x−10 −5 5 10

0

−6

−4

−2

4

2

x−10−15 −5 5 10

y

y

x−4 −2 2 864 10

−6

−4

−2

2

4696.5 Hipérbola

f)

9. a)

b) y x+( ) − −( ) =

29

116

12 2

y x2 2

9 161− =

y x= − −2 5y x= +2 3,

−66

−8

−4

−2

6

2−4−6 −22 2x

y

y

0

−6

−

−

−8

6

8

4

x−10 −5 5 10

x−10 −55 5 10

y −6

−4

−8

−10

6

4

2


c)

d)

e) yx+( ) − −( ) =2 3

412

2

x y+( ) −+( ) =3

251

41

2 2

x y−( ) −+( ) =1

162

91

2 2

x

y

−8 −2−−44−6 22 8664 10

−

−8

−10

6

4

2

0

x−10−15 −5 5 10

−6

−44

−2

4

2y

x−−22−4−6 2 8864 10 12

yy

00

−6

−−44

−2

2

4716.5 Hipérbola

f)

10.

11. ( ) ( )y

x− − − =2 216

122

x y−( ) − =34 9

12 2

yx

+( ) − +( ) =1

42 1

22

0

−66

−4

−2

4

2

2−2−−3−5 −4 −11x

y


1. d2. d3. b4. c5. (a, i), (b, iii), (c, v), (d, iv)

Unidad

Funciones


7.1 Conceptos básicos de funciones7.2 Modelación7.3 La función lineal7.4 La función cuadrática7.5 Funciones que forman parte de una cónica7.6 Funciones polinomiales7.7 Funciones racionales7.8 Funciones trigonométricas


7

En las unidades anteriores de este libro, has estudiado aplicaciones de la teoría de conjuntos, álgebra, trigonometríay geometría analítica, en áreas tan diversas como los negocios, la ingeniería, la política y muchas otras, sin exagerarla importancia de las matemáticas en el mundo moderno. En tales aplicaciones siempre hay relaciones de depen-dencia. Por ejemplo, la ganancia de un negocio depende del precio del producto, la velocidad de un automóvil de lapotencia del motor y el precio de un terreno de sus dimensiones. Por eso, es importante describir en forma precisalas dependencias.

El concepto de función indica ese tipo de relación, una correspondencia que describe cómo una cantidaddepende de otra. Dichas correspondencias pueden ser descritas por medio de un modelo matemático que es muyútil para resolver de manera precisa el problema específico o inclusive para efectuar predicciones. Hay ocasionescuando el modelo corresponde en forma exacta a la situación, como cuando se relaciona el área de un terreno consus dimensiones. En otras ocasiones, como cuando se interpretan datos de mediciones en los laboratorios o de lasencuestas, hay que recurrir a técnicas de regresión para lograr generar un modelo aproximado. En esta unidad vasa estudiar ambos tipos de modelos. Los conceptos de función y modelación que aprenderás son importantes porsus aplicaciones y también porque son la conexión con las matemáticas avanzadas que estudiarás en tu carrera pro-fesional: el cálculo diferencial e integral.

474 Unidad 7: Funciones

7.1 Conceptos básicos

de funciones

No puede haber un lenguaje másuniversal y más simple,

más libre de errores y oscuridades…más digno de expresar las

relaciones invariables de las cosasnaturales que las matemáticas.

Joseph Fourier

Introducción

Si eres de quienes gustan de las bebidas gaseo-sas, seguramente te disgustaría que tu refrescofavorito tuviera menor cantidad de gas o simple-mente no tuviera, como cuando se deja destapa-do el envase durante un tiempo. Alguna vez tehas preguntado cómo hacen los productores derefrescos para obtener ese efecto gaseoso.

Este tipo de bebidas, además de contener unjarabe, traen disuelta una determinada cantidaddel gas dióxido de carbono (CO2), responsable

del gustado efecto gaseoso. Como dicho gas no es soluble en agua en condi-ciones normales, el proceso de fabricación exige aumentar la presión a la cualel gas es inyectado en el jarabe, así como disminuir la temperatura. Sólo conestas medidas es posible disolver la cantidad necesaria del CO2, en virtud deque la solubilidad de cualquier gas depende de ambos factores. Así que parala industria refresquera es indispensable conocer la manera precisa en que es-tá relacionada la solubilidad del CO2 con la presión y la temperatura.

La relación entre la solubilidad y la presión de este gas a una determinadatemperatura es un ejemplo de función, que, como tal, puede ser descrita contoda precisión por medio de un planteamiento matemático, que servirá paramanipular adecuadamente las variables con la finalidad de obtener las carac-terísticas que requiere un refresco en particular.

Es posible enumerar muchos ejemplos más, aplicables también a cienciascomo la física, la biología, la economía, la administración, la sociología y,por supuesto, las matemáticas. Así que sea cual sea la profesión que te inte-rese, el concepto de función será muy valioso.

En esta unidad revisaremos los aspectos fundamentales de las funciones,sus gráficas y sus aplicaciones. Asimismo, estudiaremos funciones más impor-tantes como la función lineal, la función cuadrática, las funciones que formanparte de una cónica, las funciones polinomiales, las funciones racionales, lasfunciones radicales, las funciones seccionadas y con valor absoluto, así comolas funciones trigonométricas.

4757.1 Conceptos básicos de funciones

El concepto de función es uno de los más importantes y fundamentales pa-ra las matemáticas; éste se basa en la idea de la correspondencia. En muchassituaciones, observamos que hay una correspondencia entre una cantidad yotra, es decir, una depende de la otra; por ejemplo:

• A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento.• A cada platillo del menú de un restaurante le corresponde un precio.• A cada libro en una biblioteca le corresponde una clave.• A cada teléfono le corresponde un número telefónico.• A cada producto farmacéutico le corresponde una formulación.• A cada triángulo le corresponde un área.• A cada número entero le corresponde su inverso aditivo.

De manera similar al ejemplo de los refrescos, todas estas correspondenciasreúnen una serie de características propias de una función. El concepto defunción indica una relación, una conexión, una asociación entre dos cantida-des o una correspondencia que describe cómo una variable cambia con res-pecto a otra. Como función, dichas correspondencias pueden describirseusando un modelo matemático que sería muy útil para resolver de maneraprecisa un problema específico o inclusive para realizar predicciones, comoveremos en esta sección y en la siguiente.

Objetivos


• Definir el concepto de función.• Definir e identificar la variable dependiente, la variable independiente, el

dominio y la imagen de diversas funciones.• Identificar las diferentes representaciones y notaciones de una función.• Identificar, aplicar y realizar efectos geométricos a la gráfica de una función.

Concepto de función

Una función (f) es una regla que produce una correspondencia entre los elemen-tos de dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le correspon-de un elemento y sólo uno del segundo.

Por ejemplo, para calcular el área (A) de un cuadrado de longitud (x), hay que aplicar lafórmula:

A = x2


Aquí la función es la regla “elevar la longitud x al cuadrado”, dado que produce una co-rrespondencia tal que a cada valor de longitud x le corresponde un solo valor de A. (véa-se tabla 7.1). En esta tabla se muestran algunos cálculos de área, donde apreciamos queno hay un valor de x que no tenga un valor de A asociado.

Figura 7.1

xA = x2

x

x (cm) A (cm2)1 12 43 94 16

Tabla 7.1

Variable dependiente, variable independiente,dominio e imagen de una función

En general, para cualquier función se llama dominio (D) al primer conjunto, el cual es-tá definido en el campo de los números reales. A cada elemento asociado con un elemen-to del dominio en el segundo conjunto se le conoce como imagen, dada su dependenciacon el elemento del dominio según la regla de correspondencia, por lo que al conjuntode imágenes se le conoce como conjunto imagen (I).

Ningún elemento del dominio puede quedarse sin su asociado en el conjuntoimagen y no puede tener más de uno

En el ejemplo anterior, el dominio corresponde al conjunto de todos los valores posiblesde la longitud. Como no hay unidades de longitud negativas, los valores del dominio só-lo pueden ser los números reales no negativos, lo que representamos así:

D = [0, + ∞)


Para la imagen, consideramos los valores de A obtenidos al sustituir en la fórmula delárea los valores del dominio; como tampoco hay unidades de área negativa, la imagenqueda así:

I = [0, + ∞)

Ya que la función relaciona a cada elemento del dominio con un solo elemento del con-junto imagen, representaríamos a la función como un conjunto de pares ordenados (x, y),en donde no puede haber dos parejas distintas que tengan el mismo primer elemento. Ax y y se les llama variables de la función; específicamente a x, variable independiente ya la y, variable dependiente. La razón es que x llega a tomar un valor arbitrario (siemprey cuando pertenezca al dominio de la función); mientras que la y está definida en térmi-nos de x, mediante la regla de correspondencia explícita, que en la mayoría de las oca-siones es una expresión matemática.

La notación utilizada para indicar que y es una función (f) de x es f(x), que se lee f dex o f en x.

Otra notación adecuada para establecer el conjunto de pares ordenados de una fun-ción es:

f = {(x, y) | y = f(x)}

Formas de representación para una función

Para comprender su comportamiento, las funciones pueden ser representadas en cuatroformas. Cada representación describe de una manera particular a la función, por lo quea menudo es conveniente pasar de una forma de representación a otra, mismas que son:

1. Verbal. Consiste en una descripción de la función con palabras, para denotar larelación entre la variable dependiente e independiente. Por ejemplo:

a) La cantidad de pintura empleada para pintar una cerca depende del área de ésta.b) La estatura de un niño depende de su edad.

En teoría, cualquier función puede ser expresada de forma verbal; sin embargo,en algunos casos este tipo de descripción resulta inoperante.

2. Algebraica. Hace uso de una expresión algebraica, para describir con precisión lamanera en que están relacionadas las variables. Permite calcular el valor de y pa-ra un valor determinado de x; a tal proceso se le conoce como evaluación de fun-ciones. Ejemplo de funciones representadas algebraicamente:

a) f(x) = x + 2

b)

c)

d) i(x) = 2x

3. Numérica. Se obtiene por medio de una tabla de valores. Esta representación esmuy útil cuando el dominio y la imagen de la función son conjuntos discretos.

h xx

x( ) = + 1

g x x( ) =


La siguiente tabla es un ejemplo de representación numérica muy práctica , dadoque las variables dependiente e independiente de la función toman valores discre-tos y no continuos:

Número de habitantes en 2004 en millonesPaís

Tabla 7.2

China 1,300

India 1,087

Estados Unidos 294

Japón 128

México 106.2

Alemania 82.4

Reino Unido 59.3

4. Visual. Mediante una gráfica observamos el comportamiento de una función,principalmente cuando no se tiene la expresión algebraica. Con esta representa-ción se puede emplear la curva para hacer predicciones, o bien, es posible encon-trar la ecuación que satisface la gráfica o por lo menos a parte de ella.

A continuación se da la definición de gráfica de una función:

Datos tomados de 2004 World Population Data Sheet of the referencepopulation of bureau

Definición

“Sea f una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos(x , y) en el plano cartesiano para los cuales y = f(x)”.

La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de función. Cabeagregar que en algunos casos es útil hacer una tabla de valores donde estén representa-dos los valores de x y los correspondientes de y.

En caso de tener una gráfica, es posible determinar si corresponde o no a la gráfica deuna función; para ello, empleamos la prueba de la recta vertical. Esta prueba consiste entrazar rectas verticales sobre la gráfica y observar su intersección con el gráfico; si una delas rectas corta al gráfico en más de un punto, éste no corresponde a la gráfica de unafunción (véase la figura 7.2).


Este criterio se sustenta en la idea de que cada intersección de la recta vertical con elgráfico representa el valor de y para un valor de x; al haber más de una intersección haymás de un valor de y para x, lo cual no corresponde al concepto de función.

Figura 7.2

Prueba de la recta vertical. En a), la gráfica no corresponde a una función, dado que unarecta vertical corta en dos puntos al gráfico; en b), el gráfico sí corresponde a una fun-ción, ya que cualquier recta vertical corta en un solo punto al gráfico

Efectos geométricos en la gráfica de una función

Modificaciones en la regla de correspondencia de una función producen efectos geomé-tricos importantes en su gráfica. A tales efectos se les conoce como transformacionesgráficas. Para comprender el comportamiento de algunas funciones resulta muy útil es-tar familiarizados con dichas transformaciones.

Consideremos que la función corresponde a f(x). Las principales transformaciones,denotadas como g(x), son:

1. Desplazamientos verticales (sólo afecta a los valores de y):

g x f x cc la gráfica de f x se desplaza c unidades hacia arribac la gráfica de f x se desplaza c unidades hacia abajo

( ) ( ) ; ( ); ( )= + >

<⎧⎨⎩

00

x

y

g(x)

f(x)

x

y

g(x)

f(x)

a) b)

a) b)

Figura 7.3


a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(x) + 2 sobre f(x). Observa que cadapunto de la gráfica f(x) ha sido desplazado dos unidades hacia arriba para obtener lagráfica de g(x). En b) la transformación g(x) = f(x) − 2 produjo el efecto de despla-zar cada punto de f(x) dos unidades hacia abajo.

2. Desplazamientos horizontales (sólo afecta a los valores de x):

.g x f x cc la gráfica de f x se desplaza c unidades hacia la izquierdac la gráfica de f x se desplaza c unidades hacia la derecha

( ) ( ) ; ( ); ( )= + >

<⎧⎨⎩

00

a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(x + 2) sobre f(x); observa que cadapunto de la gráfica de f(x) ha sido desplazado dos unidades hacia la izquierda paraobtener la gráfica de g(x). En b), la transformación g(x) = f(x − 2) hace que cada pun-to de f(x) sea desplazado dos unidades hacia la derecha.

3. Expansiones y contracciones verticales (sólo afectan a los valores de y): g(x) = cf(x)Para c > 1, la gráfica se expande en y y no se “refleja” respecto del eje x; si 0 < c < 1,la gráfica se contrae en y y no se refleja en x. Si −1 < c < 0, la gráfica se contrae en eleje y y se refleja con respecto al eje x. Finalmente, si c < −1 la gráfica se expande en el ejey y se refleja con respecto al eje x.

g(x)f(x)

g(x) f(x)

a) b)

f(x)

g(ggx(( )x

x

f(x)

g(x)

x

y y

Figura 7.4

Figura 7.5a) b)


a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = 2f (x) sobre la gráfica de f(x); ob-serva que para obtener la gráfica de g(x) cada valor de y se ha duplicado, mien-tras los de x no han sido afectados; en b), cada valor de y se ha dividido a lamitad, de acuerdo con la regla de correspondencia g(x) = (1/2) f(x).

4. Expansiones y contracciones horizontales (sólo afecta a los valores de x):

g x f cxc la gráfica se contrae sobre el ejex x y no se refleja en el eje y

c bre el ejex x y no se refleja en el eje y( ) ( ) ;

;= >< <

⎧⎨⎩

10 1

la gráfica se expande so

f(x)

x

y

g(x)

f(x)

x

y

g(x)

a) b)

Figura 7.6

a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(2x) sobre la gráfica de f(x).Observa que la gráfica de f(x) se contrajo a la mitad en la gráfica g(x). Enb), la transformación g(x) = f(x/2) se ha expandido sobre el eje x por un fac-tor de 2.

5. Reflexiones:

g xf x la gráfica de f x es reflejada sobre el eje x cada valor de y cambia de signo

f x la gráfica de f x es reflejada sobre el eje y cada valor de x cambia de signo( ) ( ); ( ) ;

( ); ( ) ;= −−

⎧⎨⎩

g(x)

f(x)

x

y

g(x)

g(x) f(x)

x

y

a) b)

Figura 7.7


a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = −f(x). La gráfica de f(x) ha sidoreflejada sobre el eje x, dado que cada valor de y de la gráfica f(x) ha cambia-do de signo para obtener la gráfica de g(x). En b), cada valor de x ha cambiado designo haciendo que la gráfica de f(x) se refleje sobre el eje y.

solución

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a una función? En caso de ser función, indica cuáles la variable dependiente y cuál la independiente.

a) El auto de cada persona en una ciudad.b) La madre biológica de cada ser humanoc) La cantidad de agua de una piscinad) El número de bacterias en un momento determinadoe) La carrera estudiada por un alumno

La descripción a) no corresponde a una función, dado que cada persona puede tener más de un auto. Ladescripción b) sí es función, pues cada ser humano sólo puede tener una madre biológica y sólo una. Nohay ningún humano que no haya tenido una madre biológica. La variable independiente es cada individuoy la dependiente es la madre biológica. La descripción c) también es ejemplo de función, puesto que paracada piscina se requerirá un volumen de agua y sólo uno. La variable independiente es la piscina y la de-pendiente es el volumen de agua. La descripción d) también es función, ya que para un tiempo determinadohay un número de bacterias y sólo uno. El tiempo es la variable independiente y la dependiente es el nú-mero de bacterias. La descripción e) no es función, pues cada alumno puede estudiar más de una carrera.

Ejemplo 2

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

a) {(−2, 3), (−2, 4), (−1, 0), (0, 0), (2, 8), (5, 3)}b) {(−10, 10), (−9; 9), (−8, 8),(−7, 7), (−6, 6)}c) {(4, −3), (6, −12), (8, −3), (10, 3)}d) {(−11, 2), (−7, 3), (−9, 0),(−9, 2), (−7, 2),(−11, 4)}

Las relaciones a) y d) no son funciones, dado que tienen elementos del dominio asociados con más deun elemento del conjunto imagen; por ejemplo, en a) el −2 tiene asociados al 3 y al 4. Las relacionesen los incisos b) y c) sí corresponden a funciones.

solución

solución


Ejemplo 3

Identifica, para la función expresada algebraicamente, la variable dependiente y la variable indepen-diente, así como su dominio e imagen.

f(x) = 3x + 2

La expresión de la función indica que para hallar la imagen de un valor particular de x, debemos mul-tiplicarlo por 3 y al resultado sumarle dos unidades.

La variable independiente es x y la dependiente es f(x). El dominio de una función se encuentra, por lo general, de forma analítica. Considerando que el do-

minio de la función corresponde a los valores posibles de x, evaluamos valores posibles de x en la ex-presión; además, observamos que ésta queda definida en los reales para cualquier valor de x. Recuerdaque en caso de que al evaluar un valor determinado de x, en la expresión algebraica de la función co-rrespondiente, se obtenga división entre 0, o bien, la raíz de índice par de números negativos; el valorde x no puede ser incluido en el dominio de la función, ya que tales situaciones no están definidas enel campo de los números reales. Por lo anterior el dominio es el conjunto de los números reales (R), de-notado por D = R.

Para hallar la imagen de una función es aconsejable deducir, a través de la observación de la gráficade dicha función, si se cuenta con los elementos para graficarla. También resulta útil aplicar la prue-ba de la recta horizontal, que consiste en trazar una recta horizontal a lo largo de la gráfica e identificarel mínimo o máximo valor de la variable independiente. Otro método para identificar la imagen dela función, consiste en analizar los valores de y generados al evaluar algunos valores de x del dominio;al emplear este método, valores de x negativos o positivos generan valores de la variable dependiente,que de igual forma son números reales positivos o negativos. Se deduce entonces que la imagen es elconjunto de los números reales, denotado por I = R.

Ejemplo 4

Dada la función f(x) = 3x + 2, evalúa:

a) f (0)b) f(1/2)c) f(−2)d) f(a)e) f(a + h)

a) Evaluar f(0) significa aplicar la regla f con x = 0; en otras palabras, calcular el valor de y para x iguala 0. Así, para evaluar f(0), se debe sustituir x en la expresión por 0, como muestra la siguiente ex-presión:

f(0) = 3(0) + 2 = 0 + 2 = 2

solución


De esta forma, la función evaluada en 0 es igual a 2, que debe interpretarse como el valor de y es 2,cuando x es igual a 0.

Para las evaluaciones restantes, se procede de forma similar:

b)

c) f (−2) = 3(−2) + 2 = −6 + 2 = −4d) f (a) = 3(a) + 2 = 3a + 2e) f (a + h) = 3(a + h) + 2 = 3a + 3h + 2

Ejemplo 5

Emplea la prueba de la recta vertical para identificar cuál(es) de la(s) siguiente(s) gráfica(s) correspon-de(n) a la gráfica de una función:

Las gráficas a) y b) son gráficas de una función, dado que ninguna recta vertical intercepta a la gráficaen más de un punto.

Las gráficas c) y d) no corresponden a la gráfica de una función, dado que una recta vertical inter-cepta a las gráficas en más de un punto; en el caso de c), en dos, y en b) en una infinidad de puntos.

f ( / ) ( )1 2 3 12

2 32

2 32

42

74

= + = + = + =

−5 5

5

−5

y

x

10

−10

10−10

y

x

10

−10

10−10

y

x

10

−10

10−10

y

x

a) b)

c) d)

Figura 7.8

solución


Ejemplo 6

Dada la gráfica f(x), traza las transformaciones indicadas por la regla de correspondencia:

a) g(x) = f (x − 2)

b) h(x) = 2f (x)

c) i(x) = f (2x)

d) j(x) = f (x) + 3

e) k(x) = f (−x)

f) m(x) = (1/2) f (x + 1) − 2

a) La regla de correspondencia g(x) = f (x – 2) corresponde a undesplazamiento horizontal hacia la derecha en dos unidades,lo cual significa que cada punto deberá ser desplazado a laderecha. Por ejemplo, el punto (0,0) de f (x) corresponde alpunto (2,0) de g(x), lo cual hace que la gráfica de f (x) se des-place dos unidades a la derecha. Observa que sólo los valoresde x son modificados. La gráfica correspondiente es:

b) La regla de correspondencia h(x) = 2f (x) indica una expansiónvertical, lo cual significa que cada valor de y deberá ser mul-tiplicado por 2. Por ejemplo, el punto (5/2,4) de f (x) corres-ponde al punto (5/2,8) de h(x), lo que hace que la gráfica def (x) se alargue al doble verticalmente, como se muestra en lagráfica:

f(x)

Figura 7.9

g(x)f(x)

f(x) g(x)

Figura 7.10

Figura 7.11


c) La regla de correspondencia i(x) = f (2x) representa una con-tracción horizontal a la mitad, lo cual significa que cada va-lor de x deberá ser dividido entre 2. Por ejemplo, el punto(2,0) de f (x) corresponde al punto (1,0) de i(x), lo que haceque la gráfica de f (x) se contraiga horizontalmente a la mi-tad. La gráfica correspondiente es:

d) La regla de correspondencia j(x) = f (x) + 3 indica un des-plazamiento vertical hacia arriba en tres unidades, lo cualsignifica que cada valor de y será aumentado en tres unida-des, haciendo que la gráfica de f (x) sea desplazada haciaarriba. Por ejemplo, el punto (0,0) de f (x) corresponde alpunto (0,3) de j(x). La gráfica de dicha transformación es:

e) La regla de correspondencia k(x) = −f (x) representa una re-flexión sobre el eje x, lo cual significa que cada valor de ycambia de signo. Por ejemplo, el punto (5/2,−4) de f (x) co-rresponde al punto (5/2,4) de k(x); la gráfica es:

f(x) g(x)

Figura 7.12

g(x)

f(x)

Figura 7.13

f(x)

g(x)

Figura 7.14

Ejercicios

y problemas


f ) La regla de correspondencia m(x) = (1/2) f (x + 1) − 2 represen-ta varias modificaciones, tanto un desplazamiento horizontalhacia la izquierda en una unidad como una contracción verti-cal y un desplazamiento vertical hacia abajo. Por ejemplo, elpunto (0,0) de f (x) corresponde al punto (−1, −2) de m(x), co-mo se aprecia en la siguiente gráfica:

m(x) f (x)

Figura 7.15

1. Identifica cuáles de las siguientes correspondencias son ejemplos de funciones:

a) El peso de una persona.b) El número de hijos de un matrimonio.c) La matrícula de un auto.d) La empresa para la cual trabaja un individuo.e) El deporte que practica un atleta.

2. Identifica las variables dependiente (VD), independiente (VI), dominio (D) e imagen (I) de las siguien-tes funciones expresadas con palabras, en forma numérica, algebraica o gráfica:

a) La cantidad de pintura para pintar una superficie.b) La estatura de las mujeres en función de la edad.c) El volumen de un cubo como función de su lado.d) {(−10, 10), (−9; 9), (−8, 8), (−7, 7), (−6, 6)}.e) {(4, −3), (6, −12), (8, −3), (10, 3)}.f)

altura sobre el nivel 0 5 10 20 30 40del mar en km

Temperatura de 20 −55 −57 −50 −45 −20la atmósfera °C


g)

h)

i)

j)

k)

3. Identifica el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

a) f(x) = −2x + 4

b) g(x) = x2 − x + 3

c)

d) i(x) = −4

e)

f ) k(x) = x4 − 1

j x x( ) = − 1

h xx

x( ) = −

−14

g xx

( ) =−1

1

f x x( ) = + 1

x

y

x

y

Figura 7.16

Figura 7.17

Figura 7.18


4. Dadas las siguientes funciones, evalúa f (0), f (−3), f (−x), f (x + 1), f (a), f (h), f (a + h), 2f (a)

a) f(x) = x − 2

b)

c)

d) f(x) = 2x2 + 1

5. Dadas las funciones f(x) = x − 2; h(x) = x2 − 4, encuentra:

a) f (x)b) h(−x)c) 2f (−x) + 1d) h(x + 1) −2e) f (a) - 2h(a)

6. Si A(x) = 2x + 3 y B(x) = 3x − 2, encuentra

7. a) Dada la gráfica de la función f (x).

i. Determina dominio e imagen de f (x)ii Determina f (0)

iii. Encuentra f (−1)iv. Encuentra f (4)v. toda x tal que f (x) < 0

vi. Encuentra

b) Dada la gráfica de la función g(x).

i. Determina dominio e imagen de g(x)ii. Evalúa g(3)

iii. Encuentra g(−1)iv. Evalúa g(8)v. toda x tal que g(x) < 0

vi. Encuentra g(6)/g (1)

2 91

f

f

( )( )

At

Bt−⎛

⎝⎞⎠ × +⎛

⎝⎞⎠

12

21

f x x( ) = + 1

f xx

( ) = 1

Figura 7.19

x

y

Figura 7.20


8. Dada la gráfica de f (x), dibuja las transformaciones indicadas:

a) g(x) = −2f (x + 1)b) h(x) = f (2x) −3c) i(x) = (1/2) f (−x)d) j(x) = −f (x/2) + 2

9. Identifica la regla de correspondencia para las gráficas indicadas con respecto a f (x), empleando los des-plazamientos horizontales y verticales, así como las expansiones, contracciones y reflexiones.

10. Encuentra el dominio y la imagen de la función g(x) = 2f (x) + 1, sabiendo que el dominio de f(x) es[−2, 5] y la imagen es [−5, 5].

11. Encuentra el dominio e imagen de la función g(x) = −3f (x/2), sabiendo que el dominio de f (x) es [−2, 5]y la imagen es [−5, 5].

f(x)

Figura 7.21

h(x)

g(x)

f(x)

f(x)

g(x)

h(x)

Figura 7.22

a) b)




1. Realiza un resumen de todas las características para identificar una función y las diferentesformas de representarlas, destacando las ventajas de cada una de ellas; luego, busca dosejemplos de funciones en tu área de interés profesional. Identifica la variable dependiente eindependiente, así como el dominio y la imagen de las funciones.

2. Realiza en casa el siguiente experimento y lleva los datos obtenidos para contestar las pre-guntas en equipo:

i. Coloca dos tazas de agua del grifo (a temperatura ambiente) en un recipiente.

ii. Utiliza un termómetro para medir la temperatura del agua (tiempo cero).

iii. Empieza a calentar el agua con flama baja de una estufa (precaución, dado que puede es-tar muy caliente) y registra en una tabla la temperatura que alcanza después de 2, 4, 8,10 y 15 minutos.

iv. Con los datos obtenidos responde con tu equipo las preguntas:

a) ¿La relación entre la temperatura y el tiempo de calentamiento corresponde a unafunción?

b) Si es función, identifica la variable dependiente e independiente, dominio e imagen.

c) ¿De qué manera podrías emplear esta información para predecir el tiempo que lleva-rá calentar el agua hasta que hierva?

d) Compara los resultados de tu equipo con los de otros y de manera grupal discute lascoincidencias o discrepancias.

3. Para la siguiente descripción identifica la variable dependiente e independiente, la mane-ra en que están relacionadas las variables para representar correctamente la función en lascuatro formas (algebraica, numérica, visual y verbal). Utiliza una notación adecuada parala función y define el dominio y la imagen de la función. Discute las características des-tacables al usar cada uno de los cuatro tipos de representación de funciones.

La solubilidad del CO2 a una determinada presión a la temperatura de 20°C se muestra en la si-guiente tabla:


P (atm) S (g/100 mL) a 20°C

1.0 0.161

1.5 0.242

2.0 0.322

2.5 0.403

3.0 0.483

3.5 0.564

4.0 0.644

4.5 0.725

5.0 0.805

5.5 0.886

6.0 0.966

1. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es función?a) {(1, −2), (2, 2), (3, 5/2), (4, 12)}b) {(1, 3), (2, 3), (3, 10), (4, 10)}c) {(1, −3), (1, 2), (3, 5/2), (4, 12)}d) {(−15, −2), (−3, 0), (2, −15), (6, −8)}

2. ¿Cuál de las siguientes gráficas no corresponde a la gráfica de una función?

a) b) c) d)

Figura 7.23


3. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al dominio de la función cuya gráfica se muestraen la figura?:

a) [3, + ∞)b) [4, + ∞)c) (−∞, + ∞)d) (−∞, 3]

4. Si f (s) = s2 + 6s, f (x + 4) es:

a) x2 + 14x + 44b) x2 + 16x + 40c) x2 + 16x + 44d) x2 + 14x + 40

5. ¿Cuál es la opción que contiene el dominio y la imagen de la función que se muestra a con-tinuación?:

a) Dom: R, imagen: (−2, + ∞)b) Dom: R, imagen: R

c) Dom: (−2, ∞], imagen: (−2, ∞)d) Dom: R, imagen: [−2, + ∞)

6. Un punto P(−2, 1) pertenece a la función f (x). ¿Qué opción contiene el punto Q(−2, ?) de lafunción g(x) = f (x) − 5?:

a) (−7, 1)b) (−2, 6)c) (−2, −4)d) (3, 1)

y

x

−5

5

5−5

Figura 7.24

Figura 7.25


7. Si f (x) = x2, ¿cuál de las siguientes gráficas corresponde a g(x) = −f (x − 3) − 1?

8. Dada la gráfica de f (x), encuentra en la columna B la gráfica de las transformaciones gráficasde f (x) que aparecen en la columna A:

y

x

−10

10

10−10

y

−10

10

10−10

y

x

−10

10

10−10

y

−10

10

10−10

a) b)

c) d)

Figura 7.26

f(x)

Figura 7.27

Columna A Columna B

a) g(x) = 2f (x/ 2)

b) h(x) = (−1/2) f (x + 1)

c) i(x) = f (−x) − 2

d) j (x) = f (x − 2) + 2


i.

ii.

iii.

iv.

v.

Respuestas a los



1.a) Es función.

b) Es función.

c) Es función.

d) No es función.

e) No es función.

2.a) VI = superficie, VD = cantidad de pintura, D = [0, + ∞), I = [0, + ∞)

b) VI = edad, VD = estatura en m, D = [0, 18], I = [0, 2.2]. Nota que el 18 corresponde a la edadpromedio máxima en la que se detiene el crecimiento longitudinal de las mujeres y 2.2 la al-tura en metros registrada a la fecha para la mujer más alta

c) VI = longitud de la arista, VD = volumen del cubo, D = [0, + ∞), I = [0, + ∞)

d) D = {−10, −9, −8, −7, −6}, I = {10, 9, 8, 7, 6}

e) D = {4, 6, 8, 10}, I = {−3, −12, −3,3}

f) D = {0, 5, 10, 20, 30, 40}, I = {−57, −55, −50, −45, −20, 20}

g) VI = x, VD = f(x), D = [−1, + ∞); I = [0, + ∞)

h) VI = x, VD = g(x), D = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞); I = (−∞, 0) ∪ (0, + ∞)

i) VI = x, VD = h(x), D = (−∞, + ∞); I = (−∞, + ∞)

j) D = (−∞, + ∞); I = [−2, + ∞)

k) D = (−∞, −1) ∪ (−1, + ∞); I = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞)

3.a) D = R; I = R

b) D = R; I = [9/4, + ∞)

c) D = (−∞, 4) ∪ (4, + ∞); I = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞)

d) D = R; I = {−4}

e) D = [1, + ∞); I = [0, + ∞)

f ) D = R; I = [0, + ∞)

4.a) f(0) = −2, f(−3) = −5, f(−x) = −(x + 2), f(x + 1) = x − 1, f(a) = a − 2, f(h) = h − 2, f(a + h) = a

+ h − 2, 2 f(a) = 2(a − 2)

b) f(0) = IND, f(−3) = −1/3, f(−x) = −1/x, f(x + 1) = 1/(x + 1), f(a) = 1/a, f(h) = 1/h, f(a + h) = 1/(a+ h), 2 f(a) = 2/a


c) f(0) = 1, f(−3) = IND, , , , ,

,

d) f(0) = 1, f(−3) = 19, f(−x) = 2x2 + 1, f(x + 1) = 2(x + 1)2 + 1, f(a) = 2a2 + 1, f(h) = 2h2 + 1, f(a+ h) = 2(a + h)2 + 1, 2 f(a = 2(2a2 + 1)

5. Dadas las funciones, f(x) = x − 2; h(x) = x2 − 4, encuentra:

a) f(x) = x − 2

b) h(−x) = x2 − 4

c) 2f(−x) + 1 = −(2x + 3)

d) h(x + 1) −2 = x2 + 2x − 5

e) f(a) − 2h(a) = 6 + a − 2a2

6. 3t2 + 10t + 8

7.a)

i. D = [0, + ∞), I = [0, + ∞)

ii. f(0) = 0

iii. f(−1): No existe

iv. f(4) = 2

v. No existe un valor de x, tal que f(x) < 0

vi. 2 f(−2)/f(1) = 2(3)/1 = 6b)

i. D = (− ∞, 2] ∪ [4, + ∞), I = (− ∞, 0] ∪ {3}

ii. g(3): No existe

iii. g(−1) = −3

iv. g(8) = 3

v. (−∞, 2)

vi. g(6)/g(1) = 3/(−1) = −3

8.

2 2 1f a a( ) = +f a h a h( )+ = + + 1

f h h( ) = + 1f a a( ) = + 1f x x( )+ = +1 2f x x( )− = − + 1

f(x)f(x)

g(x)

h(x)

a) b)Figura 7.28


f(x)h(x)

f(x)

g(x)

c) d)

9.a) g(x) = −f(x); h(x) = f(x + 4) + 2

b) g(x) = −f(x) − 3; h(x) = f(x + 3)

10. D = [−2, 5]; I = [−9, 11]

11. D = [−4, 10]; I = [−15, 15]


1. c2. b3. c4. d5. d6. c7. a8. (a, v), (b, i), (c, ii), (d, iii)

4997.2 Modelación

7.2 Modelación

No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse.

Ludwing Wittgenstein

Introducciónn

La representación matemática de una función describe con precisión la ma-nera en que las variables están relacionadas en una situación o un fenómenoparticular. Resulta muy útil aislar aspectos esenciales de lo que estudiamospara después predecir su comportamiento, resolver un problema particular oanalizar situaciones análogas. El siguiente ejemplo ilustra la importancia deplantear matemáticamente la función en la resolución de un problema o de unasituación.

Fabricación de una caja de cartón

Supón que se va a construir una caja abierta a partir de una pieza rectangular decartón que mide 20 por 30 cm, cortando cuadros idénticos en cada esquina (cuyolado es x) y doblando los lados como se muestra en la figura 7.29.

¿Cuáles serán las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede cons-truir?

¿De qué tamaño debiera ser el cuadro recortado para obtener la caja de mayorvolumen?

20 −

2x

30 − 2x

x

x

x

x

x

x

x

x

Figura 7.29


¿Qué relación hay entre el volumen de la caja y la longitud del cuadro re-cortado?

Para contestar las preguntas, se podrían realizar recortes de piezas de cartónhasta obtener la caja de mayor volumen, o bien, encontrar la relación entre el vo-lumen de la caja y la longitud del cuadro recortado, y luego expresarla con unafórmula matemática. En principio, parecería menos complicado realizar los recor-tes, pero con seguridad después de muchos intentos y piezas de cartón, desearía-mos encontrar una fórmula en donde un simple cálculo minimizara los esfuerzosy el tiempo invertido. De hecho, la mejor manera de resolver dichas preguntas esrealizar un planteamiento matemático, ya que no sólo se resolverían las pregun-tas en el menor tiempo y con la mínima cantidad de material, sino que además lafórmula sería aplicable a una pieza de cartón de dimensiones distintas a la plan-teada inicialmente.

El reto es realizar el planteamiento matemático de la relación entre las varia-bles. En esta sección revisaremos algunos ejemplos de funciones simples, dondese realizarán planteamientos mediante una serie de pasos sugeridos y aplicandolos conceptos de función revisados en la sección anterior.

Objetivos


• Plantear diferentes situaciones en las que se perciba la relación funcionalentre dos variables.

• Identificar en este proceso la variable independiente, la dependiente, lomismo que conceptos tales como dominio e imagen de la función.

Planteamiento matemático de relaciones funcionales

Un modelo o planteamiento matemático de una situación donde se percibe una relaciónfuncional entre dos variables se conoce también como modelación. El proceso consisteen encontrar una función o fórmula que exprese la manera en que se relacionan las va-riables.

En la sección siguiente se ejemplifica la modelación de una función a partir deuna colección de datos.

Cuando desees modelar una función a partir de una colección de datos, debes dibujar unagráfica de dispersión (para mostrar la colección de puntos) y después trazar la curva deajuste (elegir una curva que quede lo más cerca posible de los puntos). Sin embargo, sila relación entre las variables está expresada en el enunciado y no tienes mucha expe-riencia, te resultará útil seguir los pasos que a continuación te describimos, aunque elproceso puede resultar complejo si la relación entre las variables no es sencilla.

5017.2 Modelación

1. Identifica las variables: Lee y analiza la situación para identificar a la variabledependiente, a la independiente y a las cantidades constantes.

2. Introduce una notación: Asigna una letra o un símbolo a la cantidad buscada ya las demás variables.

3. Relaciona cantidades: Emplea la información proporcionada para obtener ecua-ciones que las relacionen. En ocasiones es muy valioso emplear un diagrama.

4. Elimina variables innecesarias: Utiliza las relaciones existentes entre las varia-bles y manipúlalas, con la finalidad de eliminar varias de ellas; deberás conservara aquellas que deseas relacionar.

Una vez encontrada la relación funcional entre las variables, determinarás su do-minio y su imagen de manera análoga a como se indicó en la sección 7.1; no olvides queestamos revisando funciones y que ahora buscamos contestar preguntas relativas a pre-dicciones.

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Expresa el radio de un círculo como función de su área. Identifica la variable dependiente y la variableindependiente, así como el dominio y la imagen de la función.

Siguiendo los pasos sugeridos antes:

1. Dado que la situación requiere expresar el radio en función del área, la variable independiente es elárea; por lo tanto, la dependiente es el radio.

2. La notación sería: para el radio r y para el área A, pero puede emplearse cualquiera otra.3. La relación entre ambas cantidades está dada por la fórmula del área de una circunferencia, la cual

es A = πr2. En esta ocasión no es necesario el diagrama.4. Como se desea que el radio esté en función del área, sólo se requiere despejar a r; de esta manera,

la fórmula que expresa a r como función de A es:

Este modelo de la relación entre el área y el radio permite encontrar el radio para un valor del área es-pecífico, basta sustituir dicho valor en la regla de correspondencia o fórmula. Como los valores del áreay del radio son no negativos, sus valores numéricos están restringidos; encontrando las restricciones, eldominio y la imagen de la función quedan definidos.

El dominio de la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles del área. Como nohay unidades de área negativas, ni la raíz par de números negativos está definida en el campo de los nú-meros reales, el dominio está restringido a los números no negativos; lo anterior se expresa así:

D = [0, + ∞)

r AA( ) =π

solución


La imagen de la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles del radio, definidas porla función r(A); como no hay unidades de longitud negativas, la imagen es I = [0, + ∞).

Ejemplo 2

Un rectángulo tiene un área de 16 m2.

a) Expresa el perímetro P del rectángulo como una función de la longitud x de uno de sus lados.b) Define el dominio e imagen de la función.c) Encuentra el perímetro del rectángulo cuando la longitud del lado x es igual a 3 m.

a) La variable independiente es la longitud x, dado que la situación requiere expresar el perímetro enfunción del lado. Por lo tanto, la dependiente corresponde al perímetro, mientras que 16 es una cons-tante.

Aunque la notación ya está indicada en la descripción, existe otra variable que resulta útil identi-ficar: el otro lado del rectángulo, al cual denotaremos con la letra y.

En este caso es conveniente el diagrama para visualizar a cada una de las variables y la maneraen que se relacionan.

La relación entre todas las variables está dada por las fórmulas del perímetro y del área de un rec-tángulo:

P = 2x + 2y (1)A = xy (2)

Como se desea encontrar la relación entre el perímetro y el lado x, debemos manipular las fórmulaspara eliminar la variable y, lo cual sólo es posible al despejar y de (2) y sustituir el valor de A por16, de manera que:

Al sustituir y en (1), obtenemos la expresión:

P xx

= +2 2 16( )

yx

= 16

x

y

Figura 7.30

solución

5037.2 Modelación

Simplificando la expresión, obtenemos:

b) La fórmula obtenida corresponde a la modelación de la relación funcional entre la variable depen-diente y la independiente, a la vez que expresa al perímetro en función de la longitud de uno de suslados, de manera que con dicha fórmula es posible encontrar el valor del perímetro para un valor es-pecífico de la longitud x. Dada la naturaleza de la regla de correspondencia obtenida, hay que tomaren consideración que un valor de 0, de la longitud x, no puede ser incluido, por lo que el dominiode la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles de x; como no hay unidades delongitud negativas, el dominio es D = (0, + ∞); en las secciones siguientes daremos un método quenos permitirá concluir que I = [16, + ∞).

c) Para encontrar el valor del perímetro cuando el lado es igual a 3 m, sustituimos en la fórmula en-contrada:

P(3) = 16.6 m

Ejemplo 3

El costo de impresión de una revista es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al núme-ro de ejemplares impresos.

a) Escribe la relación funcional si el costo de impresión es de $60,000 para 4,000 copias de una revis-ta de 120 páginas.

b) ¿Cuál es el costo de impresión para 5,000 copias de una revista de 92 páginas?

a) Siguiendo los pasos recomendados para encontrar la fórmula que modela esta relación: El costodepende del número de páginas y del número de revistas, por lo que es la variable dependiente. Eneste caso, hay dos variables independientes, el número de páginas y las copias impresas.

La notación que emplearíamos para costos es C, para el número de páginas P y para el númerode revistas impresas R.

De acuerdo con los datos, C varía proporcionalmente a P y a R, lo que significa que hay una cons-tante, k, multiplicada por el producto de P y R; esto es:

C = kPR

Sustituyendo los datos conocidos, encontraremos k:

k = =60 0004 000 120

18

,( , )( )

kC

PR=

P( ) ( )3 2 3 323

= +

P x xx

( ) = +2 32

solución


Sustituyendo k en la ecuación de costo:

b) Para conocer el costo de la impresión de 5,000 revistas con 92 páginas, basta con sustituir los datosen la fórmula encontrada, de manera que el costo es:

Ejemplo 4

Un granjero tiene 2,400 pies de cerca y desea rodear un campo rectangular limitado por un río recto sobrecuya frontera no se pondrá cerca. Expresa el área A como función del ancho x del terreno rectangular.

a) Dado que la situación requiere expresar el área en función del ancho x, la variable independiente esel ancho; por lo tanto, la dependiente es el área.

b) La notación ya está indicada, aunque puede emplearse cualquiera otra.c) Considera el siguiente diagrama:

La relación entre ambas cantidades está dada por la fórmula del área y el perímetro de un rectángu-lo; para el área la fórmula es:

A = xy (1)

Para el perímetro, hay que tomar en cuenta que no requiere cerca del lado del río; por lo tanto:

P = 2x + y (2)

Como se desea expresar el área en función del ancho x, se requiere manipular las ecuaciones paraeliminar a la variable y, lo cual es posible sustituyendo el valor del perímetro, que es un dato cono-cido en la ecuación (2), y despejar a la y:

2400 = 2x + yy = 2400 − 2x

C = =18

92 5 000 57 500( )( , ) $ ,

C PR= 18

x xy

Figura 7.31

solución

5057.2 Modelación

Para obtener A (x) basta con sustituir y en la ecuación (1) y simplificar:

A = x(2400 − 2x)A(x) = 2x(1200 − x)

Esta fórmula representa al área como función de x. Nota que por el contexto del problema:

A(x) = 2x(1200 − x) ≥ 0, con x > 0

Resolviendo tal desigualdad, concluimos que D = [0, 1200]. A partir de nuestro estudio de cónicas(en particular de la parábola), deducimos que I = [0, 720,000].

Ejemplo 5

Dos barcos zarpan simultáneamente de un puerto. Uno navega hacia el sur a una velocidad de 15 mi-llas/hora y el otro navega hacia el norte a 20 millas/ hora.

a) Expresa la distancia d entre los barcos como función del tiempo t de salida transcurrido desde la sa-lida.

b) Calcula la distancia entre ambos barcos después de las primeras dos horas.

a) Dado que la situación requiere expresar a d como función de t, la variable independiente es el tiem-po y la dependiente es la distancia ente los barcos.

La notación ya está indicada, aunque puede emplearse cualquiera otra.Es conveniente el empleo de un diagrama como el de la figura 7.32 para identificar claramente

las relaciones entre las variables.

Figura 7.32

puertod

d 1

d 2

Barco 2

Barco 1

Ejercicios

y problemas


La distancia entre ambos barcos, después de zarpar simultáneamente, es igual a la suma de las dis-tancias recorridas por cada barco en un tiempo determinado. Por esa razón, es necesario encontrarla ecuación de la distancia de cada barco en función del tiempo.

d = d1 + d2 (1)

d1 = 20t

d2 = 15t

Sustituyendo en la ecuación (1) la distancia de cada barco, encontramos la relación entre d y t:

d = 20t + 15t = 35t

b) Para encontrar la distancia entre ambos barcos después de las primeras dos horas, basta con susti-tuir el tiempo:

d = 35(2)

d = 70 millas

1. Expresa el volumen (V) de un cubo, como función de su área (A). Identifica a la variable independien-te y a la dependiente; a la vez, determina el dominio y la imagen de la función.

2. Expresa el área (A) de un triángulo equilátero como una función de la longitud (x) de uno de sus lados.

3. Una caja rectangular abierta con un volumen (V) de 12 m3 tiene una base cuadrada. Expresa el área (A)de la superficie de la caja como una función de la longitud (l) de un lado de la base. ¿Cuál es la super-ficie de la caja si el lado de la base fuera de 1 m?

4. La altura de un triángulo rectángulo es de 5 metros. Encuentra la hipotenusa (h), como una función dela base (b). Establece el dominio y la imagen de la función.

5. El área (A) de un rectángulo es de 64 pulgadas cuadradas. Expresa el perímetro (P) como una funcióndel ancho (x). Encuentra el dominio de la función.

6. La presión (P) de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura (T) e inversamen-te proporcional a su volumen (V).

5077.2 Modelación

a) Escribe una expresión para la relación anterior, si 100 L de gas ejercen una presión de 1 atmósferaa una temperatura de 400 K (temperatura absoluta en la escala Kelvin).

b) Si la temperatura incrementa a 500 K y se reduce el volumen a 80 L, ¿cuál es la presión del gas?

7. A veces, en fisiología humana se utiliza un cilindro circular como representación sencilla de una ex-tremidad humana.

a) Expresa el volumen v del cilindro en términos de su longitud l y el cuadrado de su circunferencia C.

b) Supón que la circunferencia promedio de un brazo humano es de 22 cm y la longitud promedio esde 27 cm. Calcula el volumen del brazo.

8. El dueño de una clínica veterinaria quiere construir una perrera con cuatro corrales individuales e igua-les. La ley establece que cada corral debe tener una puerta de 3 pies de ancho y un área de 50 piescuadrados.

a) Si x es el ancho de corral, expresa la cantidad total de malla (m) (excluyendo puertas) requerida paraconstruir la perrera como función de x.

b) ¿Cuál es la cantidad de malla que requerirá si el ancho de cada corral es de 6 pies?

9. El costo que un tren gasta de combustible por hora en su recorrido es de pesos; en donde v

corresponde a la velocidad en kilómetros/hora. Otros costos fijos son de $400 por hora. Escribe el costo

(C) total de un viaje de 500 kilómetros como una función de la velocidad v.

10. La población de salmón que sobrevive hasta llegar a su edad adulta, como función del número de sal-mones ponedores de huevos, está dada por la regla de correspondencia:

a) ¿Cuál debe ser el número de salmones ponedores que se requieren para que la población sobrevi-viente sea de 3,000 salmones?

b) ¿Cuál será la expresión de S como función de R?

11. La densidad D de la capa de ozono a altitudes “x” entre tres y 15 kilómetros durante el invierno en Ed-monton, Canadá, se determinó, a nivel experimental, por medio de la regla de correspondencia:

D(x) = 0.0833x2 − 0.4996x + 3.5491

a) ¿Cuál es densidad de la capa de ozono a una altura de ocho kilómetros?

b) ¿Cuál es la expresión de x como función de D?

R SS

S( ) =

+4500

500

v2

5




1. Realiza una lista de todas las características necesarias para modelar una función a partir delos datos de un enunciado. Busca un ejemplo de función en tu área de interés y encuentra sumodelo matemático. Elabora preguntas relacionadas con la situación: Luego, determina eldominio y la imagen de la función hallada.

2. Revisa el problema Fabricación de una caja de cartón, que se describe en la introducción deesta sección. Escribe la regla de correspondencia para el volumen V, como una función delcuadro de lado x.

1. La fórmula K = C + 273 expresa la relación funcional entre los grados centígrados (°C) y losgrados kelvin (°K). Para cada inciso, determina la opción que contiene la afirmación correcta.

a) La variable dependiente es:

i. K ii. C iii. 273

b) El dominio de la función es:

i. [0, + ∞) ii. [−273, + ∞) iii. (− ∞, + ∞)

b) La imagen de la función corresponde a:

i. [0, + ∞) ii. [−273, + ∞) iii. (− ∞, + ∞)

2. Un automóvil parte del reposo y viaja por una carretera recta nivelada. La distancia en metrosrecorrida está dada por la fórmula d(t) = 10t2, donde t es el tiempo en segundos. En cada unode los siguientes incisos, determina la afirmación correcta:

a) La distancia recorrida por el automóvil a los 11 segundos.

i. 10 m ii. 1210 m iii. 40 m

5097.2 Modelación

b) La expresión del tiempo en función de la distancia corresponde a:

i. ii. iii. iv.

c) El dominio de la función es:

i. [0, + ∞) ii. [1, + ∞) iii. (− ∞, + ∞)

3. La fórmula que expresa el área “A” de un círculo como función de su perímetro “P” es:

i. A(P) = 2πr2 ii. iii. iv.

4. El perímetro de un rectángulo es de 150 pulgadas. La diagonal mayor del rectángulo “D” co-mo una función de su ancho “w” corresponde a:

i. w2 + 5625 ii. iii. i v .

5. La presión de un gas ideal es directamente proporcional a la cantidad de gas “n” e inversamen-te proporcional al producto del volumen “V”, así como la temperatura absoluta “T ”, siendo“R” la constante de proporcionalidad; en consecuencia:

a) ¿Cuáles son las variables independientes?

b) ¿Cuál es la imagen de la función?

c) ¿Qué le pasará a la presión al aumentar la cantidad de gas, si permanecen constantes las de-más variables?

6. Un acuario de base rectangular mide 1.5 pies de altura y ha de contener un volumen de 6 pies3.La expresión de la superficie “S” del acuario como función de la longitud de uno de los ladosde la base “x” del acuario corresponde a:

a) b)

c) d) S xx

x( ) = + +4 3 12S x xx

( ) = +4 15

S xx

x( ) = + +4 12 3S x xx

( ) = +7 12

pnR

VT=

2 5625 1502w w+ −2 56252w +5625 150− w

A PP( ) =

2

4πA P

P( ) = π 2

4A P

P( ) =2

2

t dd( ) =

10t d

d

t( ) =t d

d( ) = 10

t dd( ) =

10

Respuestas a los



1. . La variable independiente es A, la dependiente V. D = [0, + ∞), I = [0, + ∞)

2.

3. ; A(1) = 49

4. , D = (0, + ∞), I = (5, + ∞)

5. . D = (0, + ∞)

6. a) ; b) 1.56 atmósferas

7. a) ; b) 1039. 92 cm3

8. a) ; b) 102.66 pies

9.

10. a) 1000; b)

11. a) 4.88, b) x D D( ) . . .= + −2 9988 3 46479 2 8

s RR

R( ) =

−500

4500

C v vv

( ) = +100 20000

m x xx

( ) = + −8 400 12

vc l=

2

4π

PT

V=

4

P xx

x( ) ( )= +2 642

h b b( ) = +25 2

A l ll

( ) = +2 48

A xx( ) = 3

4

2

V AA( )

/

= ⎛⎝

⎞⎠6

3 2


1.a) ib) iic) i

5117.2 Modelación

2.a) iib) ivc) i3. d4. d5.a) n, V y T

b) [0, + ∞)c) aumenta6. b


7.3 La función lineal

¡Cómo es posible que la matemática,un producto del pensamiento humano

independiente de la experiencia,se adapte tan admirablemente

a los objetos de la realidad!

Albert Einstein

Introducciónn

En muchas situaciones, la relación funcional entre las variables es tal que amedida que la variable independiente aumenta, la dependiente aumenta o dis-minuye de manera “proporcional” a aquélla. Cuando esto ocurre, la funcióncorrespondiente puede ser modelada de manera muy simple a través de unafunción conocida como función lineal. La siguiente situación ilustra la im-portancia de este tipo de funciones:

El negocio de la telefonía móvil

A partir de 1990, los teléfonos móviles se convirtieron en un significativo mediode comunicación. Se reportó que en 1994 el uso mundial de teléfonos fue de 37.5millones y de 70 millones en 1998, así como que en el 2002 alcanzó los 102.5 mi-llones. Podemos decir que cada año hay mayor demanda de teléfonos. Para lasempresas de telefonía, esta tendencia se traduce en un gran negocio y en una granestrategia de operación, así que recurren a analistas que emplean datos como losanteriores para estimar el número de usuarios para el futuro, sus producciones,sus campañas de ventas y, por supuesto, sus ganancias. ¿Cómo hacen las empre-sas de telefonía móvil para predecir, a partir de los datos anteriores, el número deusuarios que habrá para el 2005?

Las empresas recurren a la modelación matemática, ya que contar con unaecuación que describa con precisión el comportamiento de las variables haceposible realizar estimaciones, predicciones y planeaciones como las del casocitado.

En esta sección definiremos la función lineal; asimismo, analizaremos si-tuaciones de crecimiento y decrecimiento, pero también realizaremos el plan-teamiento matemático de situaciones donde la relación entre las variables sealineal.


La función lineal

Una función f es una función lineal si es de la forma:

f(x) = mx + b

donde m y b son números reales y m ≠ 0.El nombre que recibe esta función se debe a que su gráfica es una línea recta. Obte-

ner la gráfica de una función lineal es equivalente a graficar la ecuación lineal:

y = mx + b

que es la ecuación de una recta con pendiente m e intersección con el eje y igual a b(ordenada al origen).

El dominio de una función lineal es el conjunto de todos los números reales, debidoa que la ecuación de la recta representa un número real para todo número real x. Comola definición de la función exige que m≠ 0, la gráfica no puede corresponder a una fun-ción horizontal de ecuación f(x)=b, lo que implica que la imagen de la función linealtambién es el conjunto de los reales.

Hay dos tipos de rectas que no son gráficas de funciones lineales: la recta vertical deecuación x = a, que ni siquiera corresponde a una función, y la recta horizontal f(x)= b,que aunque sí pasa la “prueba de la recta vertical” y es función, no es una función lineal;nos referiremos a ella con el nombre de función constante.

Crecimiento y decrecimiento

Cuando la variable dependiente aumenta a medida que la variable independiente lo hace,decimos que hay un crecimiento. Tal situación de crecimiento está indicada en la ecua-ción de una recta, cuando el signo de la pendiente es positivo. Además, el valor numéri-co de la pendiente indica cuánto crece la variable dependiente por incremento unitariode la variable independiente.

Por ejemplo, el perímetro (P) de un cuadrado es un ejemplo de crecimiento, dado quea medida que el lado (l) aumenta, el perímetro también lo hace de manera lineal, comose aprecia en la ecuación del perímetro de un cuadrado P = 4l (observa su similitud conla ecuación lineal de una recta). El signo positivo de la pendiente es congruente con lasituación de crecimiento y su valor de 4 indica que el perímetro aumenta cuatro vecespor cada unidad que la longitud aumente.

En caso de que la variable dependiente disminuya cuando la variable independienteaumente, hablaremos de decrecimiento. El decrecimiento está indicado por el signo ne-gativo de la pendiente, en tanto que su valor numérico representa la disminución de lavariable dependiente por incremento unitario de la variable independiente.

Un ejemplo ilustrativo es la construcción de una barda. Si un albañil levanta una bar-da en un día y dos albañiles (con capacidad de trabajo equiparable) emplean medio día,

Objetivos


• Definir y reconocer las características de una función lineal.• Analizar el crecimiento y decrecimiento de una función lineal.• Modelar situaciones que den lugar a una función lineal.

Ejemplos


observamos que el tiempo (t) de construcción disminuye linealmente a medida que el

número de albañiles (a) aumenta. El modelado de esta función es: (co-rresponde a una ecuación lineal). Observa el signo negativo de la pendiente y su valor1/2 en esta situación de tiempo decreciente.

Modelación de funciones lineales

La modelación de una situación donde se obtiene una función lineal se realiza de mane-ra similar a lo que vimos en la sección anterior. Un método para crear un modelo mate-mático a partir de una colección de datos en situaciones donde la relación de entre lasvariables sea lineal, consiste en construir una gráfica con los datos, ubicando a la varia-ble dependiente en el eje de las abscisas y la dependiente en el eje de las ordenadas, paradespués encontrar una línea de ajuste que se aproxime lo mejor posible a la mayor can-tidad de puntos. Una vez conocida la línea de ajuste, es posible hallar la fórmula o reglade correspondencia, emplearla para resolver un problema y realizar predicciones.

En cambio, cuando la relación de las variables está denotada por los datos de un enun-ciado, y no se tiene mucha experiencia, puede simplificarse el modelado empleando lospasos que a continuación se recomiendan:

t aa( ) = − +2

32

1. Identifica las variables dependiente y la independiente, así como las cantida-des constantes.

2. Asigna una notación adecuada a las variables.3. Escribe la función lineal de la forma f(x) = mx + b en términos de la nota-

ción elegida para las variables.4. Plantea las ecuaciones lineales necesarias para encontrar las cantidades des-

conocidas a partir de los datos del problema.5. Resuelve la ecuación lineal o el sistema de ecuaciones lineales resultante,

mediante el método de tu elección para encontrar las cantidades constantes.6. Sustituye las cantidades constantes para obtener la regla de correspondencia

buscada.

Ejemplo 1

Para los datos que a continuación se muestran, emplea una gráfica para calcular la pendiente y la orde-nada al origen. Encuentra la función lineal correspondiente:

X 1 2 6 8 10 12Y 2 6 4 8 7 9

solución


Para encontrar la gráfica de la función, ubicamos en un sistema cartesiano a cada par ordenado (x, y),ya sea en una hoja cuadriculada o bien en una hoja de aplicación de Excel. Empleando esta herramien-ta, obtenemos la gráfica de la figura 7.33:

0123456789

10

0 2 4 6 8 10 12 14

1,2

2,3 6,4

8,8

10,7

12,9

Figura 7.33 Representación de los pares ordenados (x, y) para la colección de datos del problema.

0123456789

10

0 2 4 6 8 10 12 14

1,2

2,3 6,4

8,8

10,7

12,9

Figura 7.34 Línea de ajuste para los datos graficados

Una vez obtenida la gráfica anterior, encontraremos la línea de ajuste, la que está más cerca del mayornúmero posible de la colección de puntos. Ésta puede trazarse manualmente o bien empleando las herra-mientas estadísticas del software. Una posible línea de ajuste se muestra en la figura 7.34. Esta línea fuetrazada uniendo el punto inicial con el final. Otra posible línea se muestra en la figura 7.35. Observa queesa otra línea no toca a ninguno de los puntos, pero representa adecuadamente su comportamiento.


Observa que la situación corresponde a una función creciente, dado que la pendiente es positiva. Paraencontrar la ordenada al origen (intersección con y), basta con extrapolar la gráfica hasta hacer que cru-ce al eje y, como se muestra en la gráfica de la figura 7.35.

0

2

4

6

8

10

12

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Figura 7.35 Extrapolación para encontrar la intersección con y

Para encontrar el valor de la pendiente, tomamos dos puntos cualesquiera de la línea de ajuste, para apli-carlos en la fórmula de la pendiente. En la figura 7.35, elegimos los puntos P1 (0,0) y el punto P2 (5,8),luego sustituimos para obtener el valor de la pendiente:

Sustituyendo en la definición de función lineal el valor de la pendiente y de la ordenada al origen, en-contraremos que la regla de correspondencia que modela los datos corresponde a:

Ejemplo 2

Las dos escalas de temperatura Celsius (C) y Fahrenheit (F) se relacionan linealmente. Se sabe que elagua se congela a 0°C o 32° F, mientras que hierve a 100°C o 212°F.

f x x( ) = 85

my y

x x= −

−= −

−=2 1

2 1

8 05 0

85

Recuerda que para obtener la ecuación de una línea recta se requiere conocer lapendiente m, y la ordenada al origen, o bien, conocer dos puntos por donde pasela recta.

solución


a) Indica si la situación lleva a una función creciente o decreciente.b) Expresa a F en función de C. c) Encuentra el valor de la temperatura en F cuando el agua está a 58°C

a) La situación corresponde a un crecimiento, dado que a medida que aumentan los grados centígradosde temperatura, también lo hacen los grados Fahrenheit.

b) Para plantear dicha función lineal procedemos a seguir los pasos recomendados:

i. La variable dependiente es F y la independiente es la C.

ii. La notación ya está asignada en el enunciado.iii. La función lineal f(x) = mx + b, en términos de la notación de las variables de este ejemplo, co-

rresponde a:F (C) = mC + b

iv. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un siste-ma de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

32 = m(0) + b (1)212 = m(100) + b (2)

v. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, obtenemos el valor de m y el valor de b.

vi. Sustituyendo los valores de m y de b en la función F(C) obtenemos la regla de correspondenciaque modela la situación planteada:

c) Sustituyendo 58°C en la ecuación obtenida, los grados Fahrenheit equivalentes son:

F = 136.4

Ejemplo 3

Una compañía compró una computadora en $20,000 y supuso que su valor de recuperación sería de$2,000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente de $20,000 hasta $2,000 en 10 años, en-cuentra:

F = +95

58 32( )

F C C( ) = +95

32

m y b= =95

32

solución


a) La función lineal de la depreciación D como una función lineal del tiempo t.b) El valor de la computadora después de cuatro añosc) ¿Cuál es la disminución del valor de la computadora por año?

a)i. La variable dependiente es D y la independiente es t.

ii. La notación ya está asignada en el enunciado.iii. La función lineal f (x) = m x + b, en términos de la notación de las variables de este ejemplo co-

rresponde a:

D(t) = mt + b

iv. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un siste-ma de dos ecuaciones lineales:

20000 = m(0) + b (1)2000 = m(10) + b (2)

v. Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos el valor de m y el valor de b.

m = −1800 y b = 20000

vi. Si sustituimos los valores de m y b en la función D (t) tenemos:

D(t) = −1800t + 20000

b) El valor de la computadora, después de cuatro años, se obtiene al sustituir ese valor de tiempo en laecuación anterior:

D(4) = −1800(4) + 20000D(4) = $12,800

c) El valor numérico de la pendiente representa la disminución del valor de la computadora por año yes de $1800 por año.

Ejemplo 4

A menudo, la estatura E (en pulgadas) es una función lineal de la edad t (en años) para los niños entreseis y 10 años. Si un menor mide 48 pulgadas a los seis años y 50.5 pulgadas a los siete,

a) Expresa la estatura como una función lineal de la edad.b) Interpreta el valor de la pendiente.c) Pronostica la estatura del niño a los 10 años.

solución

solución


a) i. La notación ya está asignada en el enunciado.

ii. La función lineal f (x) = m x + b en términos de la notación de las variables de este ejemplo co-rresponde a:

E(t) = mt + b

iii. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un siste-ma de dos ecuaciones lineales:

48 = m(6) + b (1)50.5 = m(7) + b (2)

iv. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales y obtenemos el valor de m y el valor de b.

m = 2.5 y b = 33

v. Sustituyendo los valores de m y b en la función E (t) obtenemos la regla de correspondencia quemodela la situación planteada:

a) E( t ) = 2.5t + 33b) El valor de la pendiente denota que la edad aumenta 2.5 pulgadas por cada año de edad.c) La estatura del niño a los 10 años se calcula sustituyendo en la regla de correspondencia

obtenida:

E(10) = 2.5(10) + 33E(t) = 58 pulgadas

Ejemplo 5

A partir de las marcas olímpicas, la distancia ganadora en el lanzamiento de disco puede calcularse me-diante la ecuación d = 1.065t + 181, donde d está en pies y t = 0 corresponde a 1948.

a) Pronostica la distancia ganadora para los Juegos Olímpicos del verano del 2008.b) Calcula el año en que la distancia ganadora será de 235 pies.

a) Para obtener la distancia ganadora en los Juegos Olímpicos del verano 2008, calculamos el númerode años de 1948 a 2008:

t = 60

Sustituimos en la regla de correspondencia dada en el enunciado:

d= 1.065(60) + 181 = 244.9 pies

Ejercicios

y problemas


b) Para determinar el año en que la distancia ganadora será de 250 pies, debemos despejar de la reglade correspondencia el tiempo y sustituir el valor de 250:

t = 64.78 años

Considerando que el tiempo t = 0 equivale a 1948, debemos sumar 64.78 años a 1948 para encontrar elaño en que será alcanzada esta distancia; esto es el año:

1948 + 64.7 ≈ 2012

td= − 1811 065.

1. Para la función lineal f(x) = − 2x + 2 ¿cuál es la pendiente?

2. Para una determinada temporada se sabe que la temperatura exterior es función lineal del tiempo. ¿Có-mo cambia la temperatura si la pendiente es negativa? ¿Cómo si la pendiente es positiva?

3. El impuesto predial de una casa habitación en la ciudad de Querétaro fue de $198.5 en el 2001, de$232.63 en el 2002, de $324.5 en el 2003, de $434.8 en el 2004, ¿cuál será el impuesto predial de lacasa para el 2005?

4. Una compañía de teléfonos calcula los cargos por instalación de teléfono con la ecuación c = 15 + 0.7x,donde c es el cargo por instalación en dólares y x es el tiempo gastado en minutos al realizar la insta-lación. ¿Cuál es el cargo de instalación si el tiempo empleado fue de 65 minutos?

5. A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. La temperatura del aire A, engrados Celsius a una altitud x kilómetros, está dada por la ecuación A = 25 – 9x. ¿A qué altura la tem-peratura del aire es de −10°C?

6. Un modelo matemático para las ventas y de una empresa farmacéutica está dado por y = 5.74 + 0.97xmillones, donde x = 0 corresponde a 1988. ¿Cuáles serán las ventas en el 2005?

7. Durante un viento tranquilo, la altura de las olas en el océano está relacionada aproximadamente de ma-nera lineal con el tiempo en que el viento ha estado soplando. Durante una tormenta con vientos de 50nudos, la altura de las olas después de nueve horas era de 23 pies y después de 24 horas de 40 pies.

a) Si t = 0 es la hora en que comenzaron a soplar vientos de 50 nudos y h es la altura de la ola en pies,escribe una ecuación lineal que exprese la altura h en términos del tiempo t.

b) ¿Cuánto tiempo tendrá que estar soplando el viento para que las olas alcancen una altura de 50 pies?



8. Un almacén de ropa vende una camisa que cuesta $20 en $33 y una chamarra que cuesta $60 en $93.

a) Si se supone que la política de aumento de precios del almacén para el aumento de artículos quecuestan más de $10 es lineal, encuentra la función que exprese el precio de venta al menudeo R, entérminos de C (precio de venta al mayoreo).

b) ¿Cuánto paga el almacén por un traje que vende al menudeo a $240?

9. Conforme un buzo desciende en el océano, la presión aumenta linealmente con la profundidad. La pre-sión es de 15 libras por pulgada cuadrada en la superficie y de 30 libras por pulgada cuadrada a 33 piesdebajo de la superficie. ¿Hasta qué profundidad puede descender un buzo si, dado su grado de expe-riencia, puede tolerar 40 libras por pulgada cuadrada?

10. El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta $220,000 fabricar 100 sillas por día y$480,000 fabricar 300 sillas también por día.

a) Asumiendo que la relación entre el costo (C), y el número de sillas (s) es lineal, encuentra la ecua-ción que exprese esta relación.

b) ¿Cuál es el número de sillas que se fabricarían con un costo de $150,000?


1. Escribe todas las características de una función lineal y todos aquellos elementos necesariospara modelar una función lineal. Planteen un ejemplo de función lineal en su área de interésprofesional y realicen el modelado de la misma. ¿Qué significado tiene el valor de la pen-diente? ¿Para qué puedes emplear la regla de correspondencia obtenida?

2. Discutan la situación planteada en la introducción de esta sección: El negocio de la telefo-nía móvil.


1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función decreciente?

2. El peso de la materia que hay en el Universo depende de la atracción gravitacional, si en laTierra el peso de un objeto es p y en la luna es p/6, la situación corresponde a una función:

a) Creciente b) Decreciente

3. En 1980 el precio promedio de una casa en México era de $97,000. En 1986, el precio aumentóa $121,000. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representan el modelo lineal del precio P de lacasa como función del tiempo t en años? Considera que 1980 corresponde al tiempo t = 0.

a) P = 121,000 – 24000 t

b) P = 24,000 t + 97,000

c) P = 121,000 t + 97,000

d) P = 4000 t + 97,000

4. Identifica en cuál de las siguientes gráficas la relación entre las variables se comporta lineal-mente:

a) b) c) d)

Figura 7.36

a) b) c) d)


5. El dueño de la zapatería “La Zapatilla de Cristal” compró una camioneta de carga en el 2002a un precio de $ 210,000, actualmente (2005) la agencia le ofrece por su camioneta $160,000.Asumiendo que la depreciación de la camioneta es lineal en los primeros cinco años, ¿cuál seráel precio de la camioneta para el año entrante?

a) $ 123,000 b) $143,333 c) $152,667 d) $83,330

6. En el estado de Hidalgo existe un poblado llamado Mineral del Chico, especialmente pintores-co en época invernal dado que nieva. En el invierno del 2002, en uno de los días más fríos, lanieve alcanzó los 35 cm a las 18:00 horas y a las 23:00 horas los 50 cm. En promedio, ¿cuán-to aumentó el nivel de nieve por hora?

a) 2 cm / hora b) 2.5 cm / hora c) 3 cm / hora d) 5 cm / hora

Respuestas a los


1. −2

2. Para una pendiente negativa la temperatura disminuye, para una pendiente positiva aumenta.

3. Aproximadamente $450.50

4. $60.5

5. 3.88 km

6. 22.33 millones

7. a) b) 32.82 h

8. a) b) $158

9. 103 pies de profundidad.

10. a) C(s) = 1300s + 90,000; b) Aproximadamente 46 sillas.

R C C( ) = +32

3

h t t( ) .= +1715

12 8



1. c2. a3. d4. a5. b6. c

5257.4 La función cuadrática


El progreso y el perfeccionamientode la matemática

están íntimamente ligadosa la prosperidad del Estado.

Napoleón I

Introducciónn

Uno de los grandes retos de la humanidad es realizar construcciones grandiosascon el propósito de facilitar la vida diaria de un pueblo o una nación; este esel caso del puente colgante Akashi-Kaikyo, que se construyó en Japón.

Los puentes colgantes

El puente colgante Akashi-Kaikyo recibe tal nombre porque la palabra kaikyosignifica estrecho; el puente está sobre el Estrecho de Akashi, ubicado entre Awajiy Honshu. La construcción del Puente Akashi comenzó en mayo de 1988 y con-cluyó en 1998. Es un puente colgante de tres tramos de longitud 960 m,1990 m,960 m, lo que da un total de 3910 metros. Por otro lado, las torres del puente,hechas de acero, tienen una altura de 283 m por encima de los pilares y de 297 m,medidos desde el nivel del agua. Por la curvatura de la superficie terrestre, ladistancia entre las torres es de 93 mm más larga en lo alto que en la base. El pesode cada sección del puente colgante se distribuye de manera uniforme entre lastorres gemelas; de igual manera, el cable sujeto entre los extremos de las torrestiene la forma de una parábola y su punto centralestá a 3 m sobre la autopista. Supongamos que seintroducen ejes coordenados, ¿qué ecuación re-presentará a la gráfica que describen los cablescolgantes, si cada uno de los 127 alambres de altaresistencia consta de 290 cordones de alambresparalelos para sostener el puente? ¿Cuál es la lon-gitud total de tales soportes?

El Akashi-Kaikyo es el puente de tramo más largodel mundo. (Fotografía tomada desde la Torre

Maiko, cerca del anclaje norte del lado de Kobe,por Leena Virola.)


Análisis de la gráfica de una función cuadrática

Objetivos


• Analizar crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática.• Modelar situaciones que den lugar a una función cuadrática

Definición

Una función f es una función cuadrática si y sólo si f(x) puede escribirse en laforma f (x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

La gráfica de función cuadrática tiene una forma parecida a las curvas:

−2 −1 0 1 2−4 −2 0 2

−7.5

−5

−2.5

0

2.5

5

7.5

10

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

x

Gráfica de y = –3 + 2x + 3x2 Gráfica de y = 6 − 5x − 2x2

x

La función cuadrática suele expresarse en la forma estándar vista en la sección 6.3 de launidad anterior y = a(x − h)2 + k; entonces, completando el cuadrado tenemos:

A partir de las gráficas y de lo anterior concluiríamos lo siguiente:

f x ax bx c ax bx c ax bxb

ac

b

a

a xb

ax

b

ac

b

aa x

b

ac

b

a

( ) = + + = +( ) + = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − =

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − = +⎛⎝

⎞⎠ + −

2 2 22 2

22

2

2 2 2

4 4

4 4 2 4


a) El vértice de la parábola es o bien

Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida; entonces,decimos que la parábola abre hacia arriba.

b) f(x) es decreciente si o bien f(x) decrece en el intervalo

c) f(x) es creciente si o bien f(x) crece en el intervalo

d) En el vértice f(x) tiene un mínimo: es el valor más

pequeño que toma la función.

Si a < 0, entonces la parábola abre hacia abajo.

e) f(x) es creciente si o bien f(x) crece en el intervalo

d) f(x) es decreciente si o bien f(x) decrece en el intervalo

f) En el vértice f(x) tiene un máximo; entonces, es el

valor más grande que toma la función.

fb

a−⎛

⎝⎞⎠2

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

ac

b

ac2 4

2

, ,

xb

a∈ − ∞⎛

⎝⎞⎠2

, xb

a> −

2,

xb

a∈ − ∞ −⎛

⎝⎞⎠ ,

2x

b

a< −

2,

fb

a−⎛

⎝⎞⎠2

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

ac

b

ac2 4

2

, ;

xb

a∈ − ∞⎛

⎝⎞⎠2

,xb

a> −

2

xb

a∈ − ∞ −⎛

⎝⎞⎠ ,

2

xb

a< −

2,

− −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

af

b

a2 2,− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

ac

b

a2 4

2

,

Ejemplos

Realiza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, indica el vértice, intervalos de crecimiento yde decrecimiento.

Ejemplo 1

y = 3x2 – 6x + 1

solución

solución


Primer método

Completamos cuadrados y = 3(x2 – 2x + 1 − 1) + 1 = 3(x2 – 2x + 1) + 1 – 3 = 3(x − 1)2 − 2, de aquí con-cluimos que a = 3 > 0; por lo tanto, la parábola abre hacia arriba y el vértice es (1, −2); luego, la pará-bola decrece en el intervalo x∈ (− ∞, 1) y crece en x∈ (1, ∞).

Segundo método

Identificamos a = 3 > 0, por lo que la parábola abre hacia arriba b = −6, c = 1; luego, el vértice se en-

cuentra en por lo tanto, la parábola decrece en el interva-

lo x∈ (− ∞, 1) y crece en x∈ (1, ∞).La gráfica es:

Ejemplo 2y = −4x2 + 2x + 3

Primer método

Completamos cuadrados de

aquí concluimos que a = −4 < 0; por lo tanto, la parábola abre hacia abajo y el vértice es luego,

la parábola crece en el intervalo y decrece para

Segundo método

Identificamos a = −4 < 0, por lo que la parábola abre hacia abajo b = 2, c = 3; luego, el vértice se en-

cuentra en por lo tanto, la parábola crece en el in-

tervalo y decrece para x ∈ ∞⎛⎝

⎞⎠

14

,x ∈ − ∞⎛⎝

⎞⎠ , 1

4

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −−

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝

⎞⎠

b

ac

b

a2 42

2 43 2

4 414

134

2 2

,( )

, ( )( )

, ;

x ∈ ∞⎛⎝

⎞⎠

14

,x ∈ − ∞⎛⎝

⎞⎠ , 1

4

14

134

, ;⎛⎝

⎞⎠

y x x x x x= − −⎛⎝

⎞⎠ + = − − +⎛

⎝⎞⎠ + + = − −⎛

⎝⎞⎠ +4 2

43 4 1

21

163 1

44 1

4134

2 2 2 ;

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −( )b

ac

b

a2 46

2 31 6

4 31 2

2 2

,( )

, ( )( )

, ;

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−6

−4

−2

0

2

4

6

x

Gráfica de y = 1 − 6x + 3x2

solución


La gráfica es:

−1 0 1 2 3

Κ−8

Κ−6

Κ−4

Κ−2

0

2

4

6

x

Gráfica de y = −4x2 + 2x + 3

Ejemplo 3y = x2 + x.

Resolveremos usando el segundo método. Identificamos a = 1 > 0; por lo tanto, la parábola abre hacia arriba b = 1, c = 0; luego, el vértice se en-

cuentra en por lo que la parábola decrece en el in-

tervalo y crece para

La gráfica es:

x ∈ − ∞⎛⎝

⎞⎠

12

,x ∈ − ∞ −⎛⎝

⎞⎠ , 1

2

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −⎛⎝

⎞⎠

b

ac

b

a2 41

2 10 1

4 112

14

2 2

,( )

, ( )( )

, ,

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

2

4

6

8

10

x

Gráfica de y = x2 + x


Modelación de problemas que dan lugara una función cuadrática

En esta sección trabajaremos modelando problemas que nos llevarán a una función cua-drática; para ello, recordaremos lo visto en la sección 2 de este capítulo. Resumimos elproceso para modelar problemas en los pasos siguientes:

a) Identifica las variables. Reconoce la cantidad que se te pide determinar. General-mente, se identifica mediante una lectura cuidadosa del problema. Introduce unanotación para la variable y denótala con x o cualquier otra letra. Asegúrate de es-cribir claramente lo que representa la variable.

b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable. Lee cada una de lasfrases del problema y expresa todas las cantidades mediante la variable definida.Para organizar tal información, algunas veces resulta útil dibujar un diagrama oelaborar una tabla.

c) Relaciona las cantidades. Identifica la condición del problema que relaciona doso más de las expresiones establecidas en el paso anterior.

d) Establece una función. Plantea una función que exprese la condición del proble-ma identificada en el paso c).

e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta. Resuelve el problema, verifica quela solución satisface el problema original y expresa la respuesta en la forma de unenunciado, que responda a la pregunta planteada.

Ejemplos

Ejemplo 1

La fábrica de textiles “Ilasol” produce toallas de medio baño a un costo de $20 por unidad. Las toallasse venden a $50 cada una; por este precio, el gerente de ventas, Carlos Sotomayor, se dio cuenta quelos consumidores han comprado 4000 toallas al mes. El gerente planea aumentar el precio de las toa-llas y estima que por cada $5 de incremento en el precio se venderán 400 toallas menos cada mes. So-tomayor necesita conocer el precio de las toallas que le generará mayor utilidad mensual.

a) Identifica las variables: La variable es el precio de venta nuevo de las toallas = x. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla).

Analizamos para aumentos de $5 el número de toallas que se vende.

Precio Número de toallas vendidas

50 4000 – 400(0) = 4000

55 4000 – 400(1) = 3600

60 4000 – 400(2) = 3200

65 4000 – 400(3) = 2800


Por lo anterior inferimos que:Cantidad de toallas vendidas = 4000 – 400 (número de aumentos de $5).

Número de aumentos de

Por lo tanto: cantidad de toallas vendidas

De los datos del problema obtenemos::

Utilidad por toalla = precio de venta nuevo – precio de fabricación = x – 20.

c) Relaciona las cantidades:

Con todo el análisis anterior, concluimos que:

Utilidad = (cantidad de toallas vendidas) (utilidad por toalla).

d) Establece una función

Nuestra función que modela la situación es:

e) Resuelve el problema y verifica tu respuestaAl igual que en la sección anterior, analizamos la función U(x) = −80x2 + 9600x − 160000

Identificamos a = − 80 > 0, por lo que la parábola abre hacia abajo b = 9600, c = −160000; lue-

go, el vértice se encuentra en

por lo tanto, la parábola tiene un máximo en x = 60, por lo que el precio de las toallas que generará

la mayor utilidad es de $60 y la utilidad máxima será de U(60) = 128000. Verificamos nuestra respuesta, haciendo la gráfica de la función utilidad:

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −−

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ( )b

ac

b

a2 49600

2 80160000 9600

4 8060 128000

2 2

,( )

, ( )( )

, ;

U x x x x x( ) = − −( )( ) −( ) = − + −4000 80 50 20 160000 9600 80 2

U xx

x( ) .= − −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−( )4000 400 505

20

= − −⎛⎝

⎞⎠4000 400 50

5x

$ ( ) ( )55

505

= − = −precio venta nuevo precio antiguo x

0 20 40 60 80 100 120

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

precio

Utilidad U(x) = −80x2 + 9600x − 160000

solución


Ejemplo 2

Carlos Sánchez Márquez, dueño del taller “Herrería Veloz”, que se dedica a elaborar puertas y venta-nas de aluminio, ha recibido como pedido hacer una ventana normanda que deje pasar la mayor canti-dad de luz posible, para lo que desea que se utilicen 2 metros de perfil blanco de aluminio; para ello, elcliente le entregó la figura siguiente (un rectángulo coronado por un semicírculo de diámetro igual alancho del rectángulo) al señor Sánchez:

El dueño del taller necesita conocer las dimensiones que debe tener la ventana para elaborarla según lasindicaciones de su cliente.

a) Identifica las variables

ancho de la ventana = x; largo del rectángulo = y; diámetro del semicírculo = x .

b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla)

La ventana que deje pasar mayor luz = ventana de mayor área .Área de la ventana = (área del rectángulo) + (área del semicírculo).

Área del rectángulo = ancho x alto = x y.

Área del semicírculo = π(radio)2.Radio del semicírculo = (1/2)(diámetro).

Luego, área de la ventana

c) Relaciona las cantidades

El cliente desea que se usen 2 metros de perfil de aluminio para la fabricación de la ventana, por locual el perímetro de la ventana debe ser de 2 metros.

Perímetro de la ventana = (ancho) + 2(largo del rectángulo) + (perímetro del semicírculo):

2 22

= + +x yxπ

= x y +

⎛⎝

⎞⎠

= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +π π

πx

xy

x

xyx2

24

2 8

2 2

2


de esta ecuación despejamos y; entonces,

tenemos que

Ahora escribamos el área de la ventana en términos sólo de su ancho:

Área de la ventana



e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta

Analizamos la función

Identificamos por lo que la parábola abre hacia abajo b = 1, c = 0; luego, el

vértice se encuentra en:

por

lo tanto, la parábola tiene un máximo en y el valor del área en ese punto es:

Las dimensiones de la ventana deben ser:

y

Verificamos nuestra respuesta haciendo la gráfica de la función área:

l o x marg .= − +⎛⎝

⎞⎠ = − +⎛

⎝⎞⎠ +⎛⎝

⎞⎠ = − +⎛

⎝⎞⎠ +⎛⎝

⎞⎠ =1 1

2 41 1

2 44

41 2

44

40 28π π

ππ

π

ancho m=+

≈44

0 56π

.

A m=+

≈24

0 28 2

π.

x m=+

≈44

0 56π

.

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −− +⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−− +⎛

⎝⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+ +

⎛⎝

⎞⎠

b

ac

b

a2 41

2 12 8

0 1

4 12 8

1

14

1

22

44

24

2 2

, , ( ) , , ;π π π π π π

a = − +⎛⎝

⎞⎠ <1

2 80π ,

A x x x( ) = − +⎛⎝

⎞⎠

12 8

2π

A x x xx

x x x x x x( ) = − +⎛⎝

⎞⎠ + = + − − +⎛

⎝⎞⎠ = + − −⎛

⎝⎞⎠ = − +⎛

⎝⎞⎠

12 4 8

12 4 8

12 8

12 8

22

2 2 2π π π π π π

= − +⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = − +⎛⎝

⎞⎠ +x x

xx x

x1 12 4 8

12 4 8

22

2π π π π

yx

xx x

x=− −

= − − = − +⎛⎝

⎞⎠

22

21

2 41 1

2 4

ππ π

solución


Ejemplo 3

Luis Ramos Vázquez, director del Departamento de Obras Públicas del Municipio de Cuautitlán, esta-do de México, desea construir un parque deportivo al lado del Río San Javier, pero sólo cuenta con 600metros de malla ciclónica. Se le ha sugerido cercar sólo los tres lados no adyacentes al río, pero deseacercar el terreno de mayor área posible. Ayuda al licenciado Ramos a buscar las dimensiones del parquedeportivo:

a) Identifica las variables

ancho del parque = x; largo del parque = y


Área del parque deportivo = área del rectángulo.Área del rectángulo = ancho x alto = x y. Luego, el área del parque es = x y .

c) Relaciona las cantidadesEl Departamento de Obras Públicas tiene 600 metros de maya ciclónica para cercar el parque de-portivo, por lo cual los tres lados que se van a cercar deben sumar 600 metros.

Suma de los tres lados = (ancho) + 2 (largo del rectángulo) :

600 = x + 2y

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ancho

Área A x x x( ) = − +⎛⎝

⎞⎠

1

2 8

2π

Río San Javier

ParqueDeportivo


de esta ecuación despejamos y:

tenemos que

Ahora escribamos el área del parque deportivo en términos sólo de su ancho:

Área del parque



e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta

Analizamos la función

Identificamos por lo que la parábola abre hacia abajo b = 300, c = 0; luego, el vértice

se encuentra en por lo

tanto, la parábola tiene un máximo en x = 300 m y el valor del área en ese punto es A = 45000 m2.Las dimensiones del parque deportivo deben ser:

Verificamos nuestra respuesta haciendo la gráfica de la función área:

ancho mx

m= = −⎛⎝

⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠ =300 600

2600 300

2150, . largo

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −−⎛

⎝⎞⎠

− ( )−⎛

⎝⎞⎠

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= ⎛⎝

⎞⎠ = ( )b

ac

b

a2 4300

2 12

0 300

4 12

3001

900002

300 450002 2

, , , , ;

a = − <12

0,

A xx= −3002

2

A xx

xx= −⎛

⎝⎞⎠ = −300

2300

2

2

= = −⎛⎝

⎞⎠xy x

x3002

yx x= − = −600

2300

2

0 200 400 600

−10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

Ancho

Área A xx

= −3002

2


Ejercicios

y problemas


1. Dada una función cuadrática, explica la manera de obtener el vértice, los intervalos en los cuales cre-ce y en los que decrece, el valor máximo o mínimo.

2. Realiza un esbozo gráfico de las funciones cuadráticas siguientes, indicando su vértice, hacia dóndeabre, y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

a) f(x) = −3x2 – 5x − 2b) f(x) = x2 – 4x + 8c) f(x) = −4x2 – 8x + 1d) f(x) = 2x2 + 3x − 1

3. Resuelve los problemas siguientes:

a) Un fabricante de dulces típicos vende un cierto tipo de dulce a $6 cada uno, a cuyo precio los con-sumidores han comprado 3000 dulces por mes. El fabricante desea aumentar el precio de los dulcesy estima que por cada incremento de $1 en el precio se venderán 1000 dulces menos cada mes. Losdulces pueden producirse a un costo de $4 cada uno. Expresa la utilidad mensual del fabricante co-mo una función del precio al que se venden los dulces, dibuja la gráfica y calcula el precio óptimode venta.

b) En el rancho “Loma Bonita”, en Veracruz, el administrador Juan Martínez Navarro estima que sise plantan 60 árboles de mango cada árbol producirá en promedio 400 mangos. La producciónmedia disminuirá en cuatro mangos por cada árbol adicional plantado en la misma área. El señorMartínez necesita conocer la cantidad total de árboles que debe plantar para obtener la máximaproducción.

c) Ramón Fernández López es agricultor y desea cercar un campo rectangular, al lado del campo pa-so un arroyo (y no requiere cerca ); el señor Fernández sólo tiene 1000 metros de malla ciclónicapara cercar el terreno, por lo que, antes de hacerlo, desea saber las dimensiones del ancho y lo largodel terreno que le proporcionen el área más grande.

d) Fernando Granados López, gerente de la compañía de autobuses “Turismo México”, desea aumen-tar el número de clientes de su empresa; un estudio de mercado le indica que si renta sus autobusesa grupos de 30 personas la tarifa diaria que deben pagar es de $600 cada una, pero en grupos ma-yores si reduce la tarifa diaria de todas las personas en $5 por cada una adicional sus ingresos diariosaumentarán. Antes de poner en funcionamiento esta medida, Granados desea saber el tamaño delgrupo que maximizará los ingresos.


1. El puente colgante Akashi-Kaikyo recibe su nombre porque la palabra kaikyo significa es-trecho y el puente está sobre el Estrecho de Akashi ubicado entre Awaji y Honshu. La cons-


trucción del Puente Akashi se comenzó en mayo de 1988 y terminó en 1998; es un puentecolgante de tres tramos de longitud 960 m, 1990 m, 960 m, lo que hace un total de 3910 me-tros; las torres del puente fueron hechas de acero, tienen una altura de 283 m por encima delos pilares y de 297 m medidos desde el nivel del agua. Por la curvatura de la superficie te-rrestre, la distancia entre las torres es 93 mm más larga en lo alto que en la base. El peso decada sección del puente se distribuye de manera uniforme entre las torres gemelas, en tantoque el cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su pun-to central está a 3m sobre la autopista. Supongamos que se introducen ejes coordenados,¿qué ecuación representará a la gráfica que describen los cables colgantes, si cada cableconsta de 290 cordones de alambres paralelos, cada uno con 127 alambres de alta resisten-cia, para sostener el puente? Indica la longitud total de tales soportes.

2. Aselín y Promotores, S. A., es una inmobiliaria que posee 180 departamentos en una zonaresidencial del Distrito Federal; el gerente de la compañía, Manuel Reyes, se dio cuenta quetodos los departamentos se mantienen ocupados cuando la renta es de $8000 al mes. Re-yes también observó que por cada $100 de aumento en la renta, se desocupan tres departa-mentos. El gerente desea saber cuál debe ser el monto de la renta de los departamentos deforma que la compañía reciba el máximo ingreso mensual

3. La compañía de televisión de paga “TV Cable Digital” da servicio a 5000 usuarios y cobra $20por mes. Fernando Montes Roca ha hecho un estudio de mercado, el cual le indica que por ca-da dólar menos en la tarifa mensual se suscribirán 500 nuevos clientes. Antes de poner en fun-cionamiento la medida, Montes desea saber con cuál tarifa obtendrá un ingreso máximo.

1. Indica la opción que contiene el vértice, los intervalos de crecimiento y el decrecimiento def (x) = −4x2 + 8x + 1

a) Vértice = (1,5), decrece para x∈ (− ∞, 1), crece para x∈ (1, ∞)b) Vértice = (2,8), crece para x∈ (− ∞, 2), decrece para x∈ (2, ∞)c) Vértice = (1,5), crece para x∈ (− ∞, 1), decrece para x∈ (1, ∞)d) Vértice = (−2,8), decrece para x∈ (− ∞, −2), decrece para x∈ (−2, ∞)

2. Halla la opción que contiene la solución de Un granjero tiene ocho árboles de manza-nas en 10 m2 de terreno, que producen un total de 1600 manzanas al día. Por cada árbolnuevo que se planta, la producción media por árbol disminuye en 10 manzanas diarias.¿Cuántos árboles adicionales se deben plantar para obtener la mayor producción de man-zanas diaria?a) 10 árbolesb) 14 árbolesc) 20 árbolesd) 15 árboles


3. Halla la opción que contiene la solución de La distribuidora de artículos de papelería“Haro” vende pedidos de 100 cuadernos profesionales de 200 hojas a $55 cada cuader-no. Por cada cuaderno más que tenga el pedido, la distribuidora ofrece disminuir el preciode cada cuaderno en 30 centavos. ¿Cuál es la cantidad de cuadernos que da un precio de ventatotal mayor?

a) 109 cuadernosb) 140 cuadernosc) 150 cuadernosd) 125 cuadernos

4. Encuentra la opción que contiene la solución de El propietario de un huerto de cocos calcu-la que si siembra 24 palmeras por hectárea, entonces cada palmera adulto dará 600 cocosal año. Por cada tres palmeras más que se planten por hectárea, el número de cocos que pro-duce cada palmera disminuye en 12 al año ¿Cuántas palmeras se deben de plantar por hectá-rea para obtener al mayor número posible de cocos al año?

a) 70b) 90c) 87d) 100

5. Encuentra la opción que contiene la solución de El departamento de carreteras planeaconstruir un área de picnic para automovilistas al lado de una carretera principal. Se-rá rectangular, se cuenta con 600 metros de malla ciclónica y estará cercada en los tres ladosno adyacentes a la carretera. Determina las dimensiones del terreno de mayor área que puedecercarse.

a) 5000 metros x 500 metrosb) 4000 metros x 1000 metrosc) 2000 metros x 2000 metrosd) 3000 metros x 1500 metros

Respuestas a los


1. Leer la primera parte de esta sección.


2.

0 0.5 1 1.5

−0.4

−0.2

0

0.2x

−4 −2 0 2 4

–40

–30

–20

–10

0

10

x

−4 −2 0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

50

x

−4 −2 0 2 4

0

10

20

30

40

50

x

a) b)

c) d)

3. a) $6.50b) 80c) largo = 500m, ancho = 250md) 75 personas


1. c2. b3. d4. c5. d


7.5 Funciones que forman

parte de una cónica

No hay ninguna rama de la matemática,por abstracta que sea, que no pueda

aplicarse algún día a los fenómenos delmundo real.

Lobachevsky

Introducción

Quizás el más impresionante resultado obtenido por el cálculo en el sigloXVII fue la resolución de cuestiones teóricas muy antiguas relacionadas confenómenos naturales. Algunas de tales cuestiones suponen profundos conoci-mientos de física para su comprensión, pero otras pueden ser rápidamente ex-plicadas con un mínimo de antecedentes científicos. Una de las más simplesse relaciona con el comportamiento de la luz.

Cuando la luz incide en un espejo o en cualquier otra superficie, siempresus rayos se reflejan de manera tal que su ángulo de incidencia es igual a suángulo de reflexión. Esta ley de reflexión fue descubierta por Euclides mu-cho antes del siglo XVII.

Más tarde, el matemático griego Herón de Alejandría, quien vivió alrededorde siglo I, probó que esta ley se sigue lógicamente de la hipótesis de que losrayos de la luz viajan de un punto a otro tomando la trayectoria más corta po-sible, Herón efectúo la demostración usando los principios de la geometríaeuclidiana.

Cuando un rayo de luz pega en una superficie curva, se aplica la mismaley de reflexión. La superficie actúa como si fuera plana en ese punto, en tan-to que su tangente determina la dirección en que se refleja el rayo.

Este principio físico se usa comúnmente en el diseño de los reflectores pa-rabólicos para lámparas fotográficas y para los faros de los autos. La super-ficie interior de uno de estos reflectores es un paraboloide, tal como se ejem-plificó en la sección anterior

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión

5417.5 Funciones que forman parte de una cónica

Graficación de funciones

Análisis de crecimiento y decrecimiento

En la sección 7.1 definimos qué es una función y aprendiste a diferenciar las relacio-nes de las funciones utilizando la prueba de la recta vertical. En general, si tomas cual-quier ecuación de las cónicas vistas en la unidad anterior no todas son funciones; porejemplo: la elipse, la parábola horizontal, las hipérbolas con eje focal sobre el eje y osobre el eje x.

f x ax bx c( ) = ± + +2

Otra aplicación de la ley de reflexión ocurre en el diseño de “galerías mur-murantes”, cuyos techos y paredes están construidos en la forma de un elip-soide. Un elipsoide es una superficie oval, generada por la revolución de unaelipse alrededor de su eje mayor. En una galería murmurante, cuando una per-sona se encuentra de pie en un foco de las paredes y el techo, dirigida hacia elotro foco de la elipsoide, otra persona que se encuentre ahí podrá oír el murmu-llo con claridad.

La ley de refracción correcta fue descubierta en 1621 por un matemático ho-landés llamado Wilebrod Snell, por lo que esta ley es conocida como la leyde Snell. Originalmente Snell justificó su ley basándose en experimentos fí-sicos, pero más tarde Fermat demostró que la ley podía ser probada sólo conrazonamientos matemáticos. Parte de la demostración de Fermat descansa enel uso del cálculo, mientras que su deducción matemática de la ley de la re-fracción está basada en la hipótesis del “tiempo mínimo”.

Una galería murmurante

Objetivos


1. Graficar las funciones

2. Analizar crecimiento y decrecimiento.

3. Modelar situaciones que den lugar a funciones

4. Graficar funciones seccionadas.

5. Modelar situaciones que den lugar a funciones seccionadas.

f x ax bx c( ) = ± + +2

f x ax bx c( ) = ± + +2


Es posible definir las funciones radicales al despejar y en la ecuación de la forma están-dar y tomar sólo la parte positiva o bien la parte negativa; por ejemplo:

1. En la ecuación de la parábola horizontal y2 = ax + b, despejamos ;

de aquí obtenemos: o bien . Sus gráficas son dela forma:

f x ax b( ) = − +f x ax b( ) = +

y ax b= ± +

a > 0 a > 0

a < 0a < 0

y ax b= +

− b

a

y ax b= +

−b

a

−b

a

− b

a

y ax b= − +

y ax b= − +

De las figuras, concluimos que:


2. La ecuación del círculo de radio a es x2 + y2 = a2; despejamos , de

donde obtenemos: o bien . Sus gráficas son

de la forma:

f x a x( ) = − −2 2f x a x( ) = −2 2

y a x= ± −2 2

Para a > 0, las semiparábolas horizontales abren hacia la derecha. Además,

es creciente en su dominio, el intervalo y es decreciente en el mismo intervalo.

Para a < 0, las semiparábolas horizontales abren hacia la izquierda. Además,

es decreciente en su dominio, el intervalo y

es creciente en el mismo intervalo.f x ax b( ) = − +

xb

a≤ −f x ax b( ) = +

f x ax b( ) = − +xb

a≥ −f x ax b( ) = +


y a x= −2 2a

a−a−a a

−a

y a x= − −2 2

El semicírculo es creciente en el intervalo −a ≤ x ≤ 0 y es decre-ciente en el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Su dominio es el intervalo −a ≤ x ≤ a; tiene un máxi-mo en x = 0.

El semicírculo es decreciente en el intervalo −a ≤ x ≤ 0 yes creciente en el intervalo 0 ≤ x ≤ a.Su dominio es el intervalo −a ≤ x ≤ a; tie-ne un mínimo en x = 0.

f x a x( ) = − −2 2

f x a x( ) = −2 2

3. En la ecuación de la hipérbola con eje focal el eje x: , despejamos

; haciendo , obtenemos: , o bien,

Sus gráficas son:x a .− −2 2

f x( ) =f x x a( ) = −2 2b

a= 1y

b

ax a= ± −2 2

x

a

y

b

2

2

2

2 1− =



y x b= +2 2

y x b= − +2 2

a−a

a−a

La semihipérbola es decreciente en el intervalo − ∞ < x ≤ −ay es creciente en el intervalo a ≤ x < ∞. Su dominio es x ∈ (− ∞, a] ∪ [a, ∞).

La semihipérbola es creciente en el intervalo − ∞ < x ≤ −a yes decreciente en el intervalo a ≤ x < ∞. Su dominio es x ∈ (− ∞, −a] ∪ [a, ∞).

f x x a( ) = − −2 2

f x x a( ) = −2 2

4. En la ecuación de la hipérbola con eje focal el eje y: , despejamos

; haciendo , obtenemos: o bien

f x x b( ) = − +2 2

f x x b( ) = +2 2a

b= 1y

a

bx b= ± +2 2

y

a

x

b

2

2

2

2 1− =

y x b= +2 2

y x b= − +2 2

a −a

solución

Ejemplos



La semihipérbola es decreciente en el intervalo − ∞ < x ≤ 0 yes creciente en el intervalo 0 ≤ x < ∞. Su dominio son todas las x ∈ � y tieneun mínimo en (0, a).

La semihipérbola es creciente en el intervalo −∞ < x ≤ 0y es decreciente en el intervalo 0 ≤ x < ∞. Su dominio son todas las x ∈ � y tie-ne un máximo en (0, −a).

f x x b( ) = − +2 2

f x x b( ) = +2 2

Grafica las funciones siguientes; indica dominio, así como los intervalos de crecimiento y de decreci-miento

Ejemplo 1

El dominio de la función es ; como a = 3 > 0, la parábola abre a la derecha; luego, es crecien-

te en todo su dominio y su gráfica es:

x ≥ − 32

f x x( ) = +2 3

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

x

y

solución

solución


Ejemplo 2

El dominio de la función es ; como a = −2 < 0, la parábola abre a la izquierda; luego, es decre-

ciente en todo su dominio y su gráfica es:

Ejemplo 3

El dominio de la función es ; como a = −3 < 0, la parábola abre a la izquierda; luego, es decre-

ciente en todo su dominio y su gráfica es:

x ≤ −13

f x x( ) = − −3 1

x ≤ 52

f x x( ) = − +2 5

y

x

-8 -6 -4 -2 0 2

-2

0

2

4

8

6

y8

6

4

2

0

-2

-8 -6 -4 -2 0 2

x

solución

solución


Ejemplo 4

El dominio de la función es −5 ≤ x ≤ 5; el semicírculo es creciente en −5 ≤ x ≤ 0 y decreciente en0 ≤ x ≤ 5, y su gráfica es:

Ejemplo 5

El dominio de la función es ; el semicírculo es decreciente en y creciente

en , y su gráfica es:0 8≤ ≤x

− ≤ ≤8 0x− ≤ ≤8 8x

f x x( ) = − −8 2

f x x( ) = −25 2

y

x

-4 -2 0 2 4 6

6

4

2

0

-2

y21

0

-1

-2

-3

-4-5

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

solución

solución


Ejemplo 6

La función no tiene la forma estándar vista en el apartado anterior, pero podemos llevarla a esa formacompletando cuadrados dentro del radical, es decir:

que representa una semicircunferencia con radio y centro (3, 0).

El dominio de la función es ; el semicírculo es creciente en y

decreciente en , y su gráfica es:

Ejemplo 7

El dominio de la función es x ∈ (− ∞, −3] ∪ [3, ∞); la semihipérbola es decreciente − ∞ < x ≤ −3 y escreciente en 3 ≤ x < ∞, y su gráfica es:

f x x( ) = −2 9

0 8 3≤ ≤ +x

− + ≤ ≤8 3 0x− + ≤ ≤ +8 3 8 3x

8

f x x x x x x x x

x x

( ) = − + − = − −( ) − = − − + −( ) − = − −( ) −[ ] − =

= − −( ) − = − −( )

2 2 2 2

2 2

6 1 6 1 6 9 9 1 3 9 1

9 3 1 8 3

f x x x( ) = − + −2 6 1

y

x

0 1 2 3 4 5 6

32.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

solución

solución


Ejemplo 8

El dominio de la función es ; la semihipérbola es creciente y

decreciente en , y su gráfica es:

Ejemplo 9

La función no tiene la forma estándar vista en el apartado anterior, pero podemos llevarla a esa formacompletando cuadrados dentro del radical, es decir:

f x x x( ) = − −2 2 24

7 ≤ < ∞x

−∞ < ≤ −x 7x ∈ − ∞ −( ]∪ ∞[ ) , ,7 7

f x x( ) = − −2 7

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10

y

x

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5y

x

solución


que representa una semihipérbola horizontal con centro (1, 0), así como vértices en (6, 0) y (−4, 0).El dominio de la función es x ∈ (− ∞, −4] ∪ [6, ∞); la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ −4,y creciente en 6 ≤ x < ∞, y su gráfica es:

Ejemplo 10

El dominio de la función es x ∈ �; la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ 0 y creciente en 0 ≤ x< ∞, y su gráfica es:

Ejemplo 11

f x x( ) = − +2 25

f x x( ) = +2 9

f x x x x x x( ) = − − = − +( ) − − = −( ) −2 2 22 24 2 1 1 24 1 25

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10

-5

0

5

10

15

20y

x

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10-2.5

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

x

y

solución

solución


El dominio de la función es x ∈ �; la semihipérbola es creciente en − ∞ < x ≤ 0 y decreciente en 0 ≤ x< ∞, y su gráfica es:

Ejemplo 12

La función no tiene la forma estándar, pero podemos llevarla a esa forma completando cuadrados den-tro del radical, es decir:

que representa una semihipérbola vertical con centro (5, 0) y vértice en (5, 2).El dominio de la función es x ∈ �; la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ 5 y creciente en 5 ≤ x < ∞,y su gráfica es:

f x x x x x x( ) = − + = − +( ) − + = −( ) +2 2 210 29 10 25 25 29 5 4

f x x x( ) = − +2 10 29

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

x

y

-5 0 5 10 15 20

-5

0

5

10

15

20

x

y


Modelación de problemas

Desde problemas muy simples de situaciones cotidianas hasta situaciones más comple-jas como la teoría de la relatividad es posible modelarlas con funciones radicales; losejemplos siguientes muestran algunos de ellos:

solución

Ejemplos

Resuelve los problemas siguientes

Ejemplo 1

Un avión sale del aeropuerto de la ciudad de México y vuela a una altura de 3700 pies. El piloto debecomunicarse a la torre de control hasta que la distancia en diagonal del avión al aeropuerto sea de 7000pies. El piloto necesita conocer la distancia horizontal que habrá recorrido el avión en ese momento yla gráfica de la distancia.

a) Identifica las variablesSea x la distancia en diagonal del aeropuerto al avión y sea d la distancia horizontal recorrida por elavión.


Usando el teorema de Pitágoras, la distancia horizontal es de

c) Establece una función La función que modela la distancia horizontal recorrida por el avión es:

d) Resuelve el problema y verifica tu respuestaHay que encontrar el valor de la distancia horizontal cuando x = 7000 pies; evaluando, tenemos:

La representación gráfica es la semihipérbola horizontal:

d ft= − =( ) ( ) .7000 3700 5942 222 2

d x x( ) ( )= −2 23700

d x x( ) ( )= −2 23700

3700 ft

x

Aeropuerto

Avión

Distancia horizontal = d

solución


Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con el resultado que obtuvimos y observa-mos que los valores de la función distancia son iguales.

Ejemplo 2

La población de San Juan desea construir un puente de un arco de piedra sobre el río del mismo nom-bre que vaya de orilla a orilla. El río mide 10 metros de ancho y desean que bajo el puente pasen bo-tes de 2 metros de alto; por ello, le han sugerido al arquitecto Luis Fuentes que deje un espacio libre de1 metro hacia arriba. El arquitecto desea graficar la función que represente el arco del puente, pero ade-más se ha enterado de que las embarcaciones miden cuatro metros de ancho y desea saber si la alturadel arco es suficiente para librar un bote que pase exactamente por el centro del río.

a) Identifica las variables Si tomamos el centro del río como el origen de coordenadas, tenemos que el puente debe tener eldiagrama siguiente:

b) Expresa todas las cantidades en términos de la variableDe los datos, suponemos que el puente tomará la forma de una semielipse horizontal; recordando lasección 6.4, la forma estándar de la ecuación de la elipse es:

x

a

y

b

2

2

2

2 1+ =

4000 5000 6000 7000 8000

0

2000

4000

6000

8000

10000

x

10 metros

3 metros

d x x( ) ( )= −2 23700

solución


c) Relaciona las cantidades

De los datos, concluimos que el semieje mayor es de cinco metros y el semieje menor es de tres pul-

gadas, por lo que la ecuación queda como:


Luego, la función que representa la semielipse es

La gráfica que representa esta función es:

e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta.Cuando el bote pase exactamente por el centro del río es cuando x = 2; la altura del arco será:

luego, el barco tendrá suficiente espacio para cruzar debajo del puente, lo cual comprobaremos al com-parar nuestro resultado con la gráfica obtenida.

Ejemplo 3

Un barco parte de un muelle a las 2:00 de la tarde y se dirige hacia el sur a una velocidad de 20 kiló-metros/hora. Otro barco ha estado dirigiéndose al este a 15 kilómetros/hora y llega al mismo muelle alas 3:00 de la tarde, ¿en qué momento estuvieron los barcos más cercanos entre sí?

a) Identifica las variables Sea t el tiempo en horas, después de las 2:00 de la tarde; realizamos un diagrama para ayudarnos aestablecer la función y colocamos el muelle como el origen de coordenadas:

y m= − = ≈35

25 2 35

21 2 752 .

yx

x= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −125

9 35

252

2

x y2 2

25 91+ =

-4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

6

x


b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable Utilizando: distancia recorrida = velocidad × tiempo. La posición del bote que se dirige al sur es(0, − 20t). La posición del bote que se dirige al este es (−15 + 15t, 0) puesto que llega al muelle unahora más tarde.

c) Relaciona las cantidades y establece una función Sea D la distancia entre los botes en el tiempo t, podemos representar la distancia entre los barcoscomo la distancia entre los puntos anteriores:

Al simplificar, la podemos escribir como:

O bien, como:

d) Resuelve el problema y verifica tu respuesta

Cuya gráfica representa una semihipérbola vertical con centro en , por lo cual la función

tendrá un mínimo en ; luego, el tiempo en el cual los barcos están más cerca es:

.t horas= ≈925

0 36.

t = ≈925

0 36.

925

0,⎛⎝

⎞⎠

D t t t t t t( ) = − + ⎛⎝

⎞⎠ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + ⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = −⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠25 18

25925

144625

25 1825

925

144625

25 925

1225

22

22 2 2

D t t t t t t t( ) = − + = − +⎛⎝

⎞⎠ = − + ⎛

⎝⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

625 450 225 625 450625

225625

625 1825

925

925

925

2 2 22 2

D t t t( ) ( ) ( ( ))= + −20 15 12 2

E

N

W

S

D

muelle

15 km/h

20 km/h

solución

Ejemplos


La gráfica que representa la distancia es la siguiente:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

50

100

150

200

250

300

t

Graficación de funciones seccionadas

Algunas funciones se definen por secciones usando distintas fórmulas para diferentespartes del dominio; a estas funciones se les llama funciones seccionadas.

Grafica las funciones siguientes:

Ejemplo 1

La función valor absoluto

Dividimos en dos partes la recta real, para x ∈ (− ∞, 0); luego, graficamos la recta y = −x de pendiente −1,por lo cual f (x) decrece en este intervalo, y para x ∈ [0, ∞) graficamos la recta y = x de pendiente 1; porello, f (x) crece en este intervalo, como se muestra en la figura siguiente:

xx si x

x si x=

− <≥

⎧⎨⎩

00

solución


Ejemplo 2

Dividimos en tres partes la recta real, para x ∈ (− ∞, −1); luego, graficamos la recta y = 3, que es la fun-ción constante; para x ∈ [−1, 2], graficamos la recta y = 1 − x, que tiene pendiente −1 y corta al eje yen 1; finalmente, para x ∈ (2, ∞), graficamos la parte de la parábola y = 6 − x2, como se muestra en lafigura siguiente:

Ejemplo 3

f xx si x

x si x( ) =

− <− ≥

⎧⎨⎩

1 11 1

f x

si x

x si x

x si x

( ) =< −

− − ≤ ≤− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 11 1 26 22

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

-4 -2 0 2 4

-8-6-4-2

024

y

x

solución

solución


Dividimos en dos partes la recta real; para x ∈ (− ∞, 1), graficamos la recta y = 1 − x, que tiene pendien-te −1 y corta al eje y en 1; para x ∈ (1, ∞), graficamos la semiparábola horizontal , como semuestra en la figura siguiente:

Ejemplo 4

Dividimos en tres partes la recta real; para x ∈ (− ∞, −1), graficamos la mitad de la hipérbola

; para x ∈ [−1, 1], graficamos la semicircunferencia , finalmente, para x ∈

(1, ∞), graficamos la mitad de la hipérbola , como se muestra en la figura siguiente:y x= −2 1

y x= −1 2y x= − −2 1

f x

x si x

x si x

x si x

( ) =− − < −

− − ≤ ≤− >

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

2

2

1 11 1 1

1 1

y x= − 1

−4 −2 0 2 4

0

1

2

3

4

5

6

x

y

−4 −2 0 2 4

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

solución


Modelación de problemas

Diferentes situaciones de la vida diaria pueden representarse mediante funciones seccio-nadas; en los ejemplos siguientes, se analizarán diversos tipos. Usaremos el método se-guido en la sección anterior.

Ejemplo 5

La función mayor entero

f(x) = [[x]] = n; si n ≤ x < n + 1; o bien,

Graficando la función constante correspondiente en cada intervalo, obtenemos:

f x x

si x

si x

si x

si x

si x

( ) = [ ][ ] =

− − ≤ <≤ <≤ <≤ <≤ <

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

1 1 00 0 11 1 22 2 33 3 4

−4 −2 0 2 4

−1

0

1

2

3

4

5y

x

solución

Ejemplos


Resuelve los problemas siguientes:

Ejemplo 1

Teléfonos de México, S.A. de C.V. (Telmex), cobra $36.97 los primeros tres minutos y $12.92 cadaminuto o fracción adicional por una conferencia telefónica de larga distancia internacional de Méxicoa Arizona.

Determina la función que especifique el costo total de una llamada de larga distancia internacionala Arizona de x minutos y encuentra cuánto costarían los primeros cinco minutos de una conferencia te-lefónica.

a) Identifica las variablesLa variable es el número de minutos que dura la conferencia telefónica = x.

b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla):Analizamos el costo para algunas llamadas:

CostoMinutos

De 0 a 3 minutos $36.97

De 3 minutos y fracción a 4 minutos $36.97 + 1(12.92)



Inferimos que el costo de una llamada es una función seccionada; debemos considerar los primerostres minutos como una parte de la función y otra definición para los minutos posteriores.

c) Relaciona las cantidadesCon todo el análisis anterior es posible concluir que la función que representa el costo de una con-ferencia telefónica es:

Costo = (costo de primeros 3 minutos) + (minutos adicionales)(costo por minuto adicional o fracción).

Lo cual escribiremos como:

C x

si x

si x

si x

n si n x n n

( )

.. ( . ). ( . )

. ( )( . ) ;

=

≤ ≤+ < ≤+ < ≤

+ − < ≤ + ≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

36 97 0 336 97 1 12 92 3 436 97 2 12 92 4 5

36 97 2 12 92 1 3

solución


d) Establece una función Nuestra función que modela la situación es:

e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta.Graficamos la función:

Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con la tabla que obtuvimos al inicio, mien-tras observamos que los valores de la función costo son iguales en intervalos de tiempo similares.

Ejemplo 2

La compañía “Poder y Energía, S. A.”, generadora de energía eléctrica, cobra a sus clientes 0.0511 dó-lares por kilowat-hora (kWh) por los primeros 1000 kWh, 0.0532 dólares por los siguientes 4000 kWhy 0.0577 por cualquier kWh que pase de 5000. Encuentra una función definida que represente para lacuenta de x kWh de un cliente.

a) Identifica las variablesLa variable es el número de kWh consumidos = x.

b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla)Analizamos el costo para diferentes valores de x:

C x

si x

si x

si x

n si n x n n

( )

.

.

.

. ( )( . ) ;

=

≤ ≤< ≤< ≤

+ − < ≤ + ≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

36 97 0 349 89 3 462 81 6 5

36 97 2 12 92 1 3

-1 0 1 2 3 4 5

0

10

20

30

40

5060

70

minutos

costo


Inferimos que el costo del consumo de energía eléctrica es una función seccionada; debemos consi-derar los primeros 1000 kWh como una parte de la función, de 1000 a 5000 kWh otra parte de lafunción y otra definición para más de 5000 kWh.

c) Relaciona las cantidadesCon todo el análisis anterior, concluimos que la función que representa el costo del consumo de elec-tricidad es:

d) Establece una función Nuestra función que modela la situación después de simplificar es:

e) Resuelve el problema y verifica tu respuestaGraficamos la función:

Ejemplo 3

En México, el quinto párrafo del artículo 177 de la Ley del Impuesto sobre la Renta establece que lastarifas que se utilizan para el cálculo de impuestos y retenciones se modificarán hasta que haya una in-

C x

x si x

x si x

x si x

( )( . )

( . ) .( . ) .

=≤ ≤

− < ≤− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 0511 0 10000 0532 2 1 1000 5000

0 0577 24 6 5000

C x

x si x

x si x

x si x

( )( . )

( )( . ) ( )( . )( )( . ) ( )( . ) ( )( . )

=≤ ≤

+ − < ≤+ + − >

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 0511 0 10001000 0 0511 1000 0 0532 1000 5000

1000 0 0511 4000 0 0532 5000 0 0577 5000

CostoMinutos

De 0 a 1000 kilowats (número de kWh)(0.0511)

Más de 1000 kWh hasta 5000 (0.0511)(1000) + (número de kWh − 1000)(0.0532)

Más de 5000 kWh (0.0511)(1000) + (4000)(0.0532) + (número de kWh-5000)(0.0577)

0 2000 4000 6000 8000

0

100

200

300

400

500

600

kwh

costo


flación acumulada superior al 10%, desde la fecha en la que se actualizaron por última vez. Debido aello, durante 2004 se utilizaron las mismas tarifas que estuvieron vigentes en 2003, puesto que en di-cho año la inflación acumulada sólo fue del 3.98%. La tabla de impuestos para el primer semestre de2003 y 2004 es la que se muestra en seguida:

a) Determina y dibuja la gráfica de la tasa de impuesto en función del ingreso.

b) Dibuja la gráfica del total de impuesto a pagar en función del ingreso.

Límite deingresosinferior $

Límite deingresos

superior $Tasa %

Tabla para el primer pago semestral por los meses deenero a junio de 2003 –Precalculada–

0.01 69, 231.37 0.50

69,231.38 160,854.58 0.75

160,854.59 225,196.41 1.00

225,196.42 En adelante 2.00

La función que representa el % de impuesto a pagar según el ingreso está dada por:

cuya gráfica es:

I x

si x

si x

si x

si x

( )

. . .. . .

. ..

=

≤ ≤≤ ≤≤ ≤

≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0 5 0 01 69231 370 75 69231 38 160854 58

1 160854 59 225198 412 225196 42

0 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000

0

0.5

1

1.5

2

2.5

ingreso

% impuesto

Ejercicios

y problemas


La función que representa la cantidad en pesos a pagar de impuesto según el ingreso está dada por:

Simplificando:

Su gráfica es:

P x

x si x

x si x

x si x

x si x

( )

. . .. ( . ) . .

. ( . ) . .. (. ) .

=

≤ ≤− + ≤ ≤

− + ≤ ≤− + ≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0 005 0 01 69231 37173 078 0 0075 69231 38 180854 58

625 215 0 01 180854 59 225196 412877 18 02 225196 42

P x

x si x

x si x

x si x( )

. . .( . )( . ) ( . )( . ) . .

( . )( . ) ( . . )( . ) ( . )( . ) . .( . )( . ) ( .

=

≤ ≤+ − ≤ ≤

+ − + − ≤ ≤+ −

0 005 0 01 69231 370 005 69231 37 0 0075 69231 37 69231 38 180854 58

0 005 69231 37 160854 59 69231 37 0 0075 0 01 160854 59 180854 59 225196 410 005 69231 37 160854 59 69231.. )( . ) ( . . )( . ) (. )( . ) .37 0 0075 225196 41 16854 59 0 01 02 225196 41 225196 42+ − + − ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪ x si x

0 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000

-1000

0

1,000

2,000

3,000

4,000

ingreso

impuesto

20

1. Realiza un resumen de las gráficas de funciones de la forma y ,

indicando dominio, gráficas e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f x a x( ) = ± ±2 2f x ax b( ) = ± +


2. Realiza un esbozo gráfico de las funciones siguientes, indicando dominio e intervalos de crecimientoy de decrecimiento:

a)

b)

c)

d)

3. Resuelve los problemas siguientes:

a) La velocidad v del sonido en el aire varía con la temperatura. Se puede calcular en pies por segun-

do con la ecuación , donde T es la temperatura (en °C). Grafica la función, cal-

cula v cuando T = 20°C y determina la temperatura al grado más cercano, tanto en forma algebrai-

ca como gráfica, cuando la velocidad del sonido sea 1000 pies/segundo.

b) Un barco sale a mediodía del Puerto de Veracruz y navega hacia el norte a una velocidad de 10 nu-dos. Otro barco se ha estado dirigiendo al Oeste a una velocidad de 15 nudos y llega al mismo puer-to a las 3:00 de la tarde. ¿En qué momento estuvieron los barcos más cercanos entre sí? (1 nudo =1 milla marítima/hora.)

c) Una puerta normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por una semielipse. El rectángulomide 90 cm de ancho por 200 cm de largo. La semielipse tiene 30 cm de alto en el centro. Determinala función y la gráfica que representa la semielipse, luego encuentra la altura de la puerta a 40 cmpulgadas del centro a uno de los extremos.

d) Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista siete millas dela población y tres millas en línea recta de la playa (véase figura). El transbordador navega a lo lar-go de la playa hasta algún punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador na-vega a 12 mi/h a lo largo de la playa y a 10 mi/h cuando avanza hacia el mar, determina las rutasque tengan un tiempo de recorrido de 45 minutos.

vT= +1087 273

273

f x x( ) = −150 20

f x x x( ) = − −2 20 150

f x x x( ) = − +2 8 41

f x x x( ) = − + +2 2 15



e) Cierto país latinoamericano grava con 15% los primeros $200,000 de ingreso personal anual, con20% todo ingreso que esté entre $200,000 y $400,000 y con 30% todo ingreso que rebase dicha ci-fra. Encuentra una función que especifique el impuesto total sobre ingresos y realiza su gráfica.

f ) Una compañía de taxis cobra $70 por los primeros 15 kilómetros (o fracción) y $10 por cada kiló-metro siguiente (o fracción). Expresa el costo de un recorrido en función de la distancia x recorrida(en kilómetros) para los primeros 50 kilómetros y dibuja la gráfica de la función.

7 m ill as

Isla

3 millas

Población7 millas


1. La ley de refracción correcta fue descubierta en 1621 por Wilebrod Snell; esta ley es cono-cida como la ley de Snell. Originalmente, Snell justificó su ley basándose en experimentosfísicos, pero más tarde Fermat demostró que la ley podía ser probada sólo con razonamientosmatemáticos. Parte de la demostración de Fermat descansa en el uso del cálculo; su deduc-ción matemática de la ley de la refracción está basada en la hipótesis del “tiempo mínimo”.Realiza la demostración de la ley de refracción siguiendo el desarrollo que hizo Fermat; paraello, sigue los pasos siguientes:

a) Investiga los conocimientos en física sobre la luz que se tenían hasta el momento en queFermat hizo la demostración (por ejemplo: cómo viaja la luz y velocidad de la luz en di-ferentes medios).

b) Determina cómo es la velocidad del rayo de luz durante la reflexión.c) Determina la relación que existe entre la trayectoria de la distancia mínima y la trayec-

toria del tiempo mínimo de un rayo de luz al viajar de un punto a otro.d) Deduce la ley de Snell de la refracción. Supón que tienes dos medios, cada uno de den-

sidad uniforme; por ejemplo, aire y agua. Ayúdate con la figura siguiente, que es la usóFermat.


e) Determina el principio que explica ambos fenómenos ópticos: reflexión y refracción

2. Teléfonos de México, S.A. de C.V., necesita colocar un poste en la calle de Insurgentes dela población de San Pedro (véase la figura), para tender cables a dos casas vecinas. Los téc-nicos de la compañía desean conocer el lugar en el cual deben colocar el poste, de tal mane-ra que se use la menor cantidad de cable.

3. En Estados Unidos fue publicada la siguiente tabla que se utilizará para el cálculo del im-puesto federal de 2005, para una pareja casada que presenta una declaración conjunta. De-termina una función que represente el pago de impuesto y grafícala. (El impuesto está basadoen varios rangos de ingreso gravable) de acuerdo con la tabla Y-1 del Servicio de Recau-dación (IRS, por sus siglas en inglés; véase la figura).

x

PP

R

b

c

Q

Medio 1

Medio 2

ϕ2

a x

ϕ1

50 m

30 m.20 m.

Calle Insurgentes

50 m


4. En décadas recientes, los cambios en la tecnología han transformado la industria de la co-municación. Los cambios han tenido sus pros y sus contras. Por ejemplo, considera el pro-blema de elegir un plan de telefonía celular. En la mayoría de las áreas urbanas, los usuariosde teléfonos celulares literalmente tienen docenas de planes para elegir. Los planes incluyentarifas de accesos mensuales, minutos libres, cobros por tiempo aire adicional, tarifas porroaming regional yroaming nacional, tarifas por horas pico y horas no pico, así como tarifaspor larga distancia (sin mencionar costos por activación, gastos por cancelación y cuestio-nes por el estilo). Dados todos estos factores, ¿cómo puede un consumidor hacer una eleccióninteligente? Toma en cuenta los planes ofrecidos por una sola compañía de telecomunica-ciones, Iusacel, y supón que la mayor parte de las llamadas son locales, hechas (o recibidas)en la ciudad durante las horas pico. En diciembre de 2004, esta compañía ofreció los planessiguientes:

a) Básico: $19.99 mensual compra 60 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.4 por minuto.

b) Advantage I: $29.99 mensual compra 120 minutos tiempo aire. El tiempo adicional cues-ta $0.30 por minuto.

c) Advantage II: $39.99 mensual compra 200 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.30por minuto.

d) Advantage III: $49.99 mensual compra 400 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.30por minuto.

e) Premier; $59.99 mensual compra 450 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.35 por mi-nuto.

Representa en forma matemática estos planes, haz tus gráficas en un solo sistema de coor-denadas e indica cuál es el mejor plan para consumos de 0 a 85 minutos y para 550 minu-tos o más.

Si el monto de laforma 1040, línea 38 Pero no Ingrese en la forma 1040, del monto que

es mayor a- mayor a- línea 39 excede a-

0$ $43,850 ——— 15% 0$

43,850 105,950 $6,577.50 28% 43,850

105,950 161,450 23,965.50 31% 105,950

161,450 288,350 41,170.50 36% 161,450

288,450 ———- 86,854.50 39.60% 288,450


1. Indica la opción que representa la función cuya gráfica es:

a)

b)

c)

d)

2. Halla la opción que contiene la solución del problema: Se piensa instalar una línea eléctrica dela planta eléctrica “El Caracol” a través del Río Balsas de una milla de ancho, hasta la pobla-ción de San Pedro, que está a cinco millas corriente abajo. El tendido de un cable bajo el aguacuesta $7,500 por km y en tierra, $6,000 por km. Determina cómo debe instalarse el cable sise dispone de $35,000 para este proyecto.

y x x= − + − + +2 2 32

y x x= − + − + +2 2 32

y x x= − + +2 2 5

y x x= − − +2 2 4

-1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

x

y

5 m ill as

San Pedro

1 milla

Planta 5 millas


a) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 1.8 millas en línea recta dela planta a la otra orilla del río y 3.2 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro.

b) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 2 millas en línea recta de laplanta a la otra orilla del río y 3 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro.

c) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 1.25 millas en línea recta dela planta a la otra orilla del río y 2.75 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro.

d) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 2.28 millas en línea recta de laplanta a la otra orilla del río y 2.72 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro.

3. Resuelve el siguiente problema: Durante una sequía, los residentes de Santa Ana, Califor-nia, tuvieron que hacer frente a una severa escasez de agua. Para impedir el consumo excesivode agua, las autoridades del distrito de agua del condado fijarón drásticos aumentos de tarifas.La tarifa mensual para una familia de cuatro miembros fue de 1.22 dólares por 100 pies3 deagua para los primeros 1200 pies3, 10 dólares por cada 100 pies3 de agua para los 1200 pies3

siguientes y 50 dólares por cada 100 de allí en adelante. Expresa la factura mensual del aguapara una familia de cuatro miembros como una función de la cantidad del agua consumida.

a)

b)

c)

d)

4. Indica la opción que representa la solución del problema: “Discolandia”, un almacén de dis-cos que ofrece la siguiente venta especial: si se compran cinco discos compactos, a $100 ca-da uno, pueden obtenerse discos adicionales a mitad de precio. Hay un límite de nueve discospor cliente. Indica la función que representa el costo de los discos en términos de la cantidadcomprada

C x

x si x

x si x

x si x

( ).

. .. .

=≤ ≤

− < ≤− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 22 0 12000 1 14 64 1200 2400

0 5 134 64 2400

C x

x si x

x si x

x si x

( )...

=≤ ≤

< ≤>

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 22 0 12000 1 1200 24000 5 2400

C x

x si x

x si x

x si x

( ).

=≤ ≤

< ≤>

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 22 0 120010 1200 240050 2400

C x

x si x

x si x

x si x

( ) . .. .

=≤ ≤

− < ≤− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

122 0 12000 1 105 36 1200 2400

0 5 1094 64 2400


a)

b)

c)

d) C xx si x

x si x( )

( )=

< ≤+ − < ≤

⎧⎨⎩

100 0 5500 5 5 9

C xx si x

x si x( )

( )=

< ≤− < ≤

⎧⎨⎩

100 0 550 5 5 9

C xx si x

x si x( )

( )=

< ≤+ − < ≤

⎧⎨⎩

100 0 5500 50 5 5 9

C xx si x

x si x( ) =

< ≤< ≤

⎧⎨⎩

100 0 550 5 9

Respuestas a los


1. Revisa la sección.

2.

-4 -2 0 2 4 6

-2

-1

0

1

2

3

45

x

-40 -20 0 20 40 60 80

0

20

40

60

80

x

-40 -20 0 20 40 60

0

10

20

30

40

50

x

-80 -60 -40 -20 0 20

0

20

40

60

80

x

a) b)

c) d)



1. c2. d3. a4. b

3.

a) 1126.11 pies/segundo − 41.95°C

b)

c) ;

d) Una ruta es navegar 249.263 millas a lo largo de la playa y luego avanzar hacia la isla.

e)

f) C xsi x

x si x( ) =

≤ ≤− >

⎧⎨⎩

70 0 1510 80 15

C x

x si x

x si x

x si x

( ).

.

.=

< ≤− < ≤− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 15 0 200 0000 2 10 000 200 000 400 0000 3 50 000 400 000

,, , ,, ,

f cm( ) .40 10 173

13 74= ≈f x x( ) ( )= −23

45 2 2

t horas= ≈2713

2 07692.

-250 -200 -150 -100 -50 0 50

-500

0

500

1000

1500

2000

T

5737.6 Funciones polinomiales


Cualquier polinomio de grado n tiene nraíces reales o complejas.

Enunciado por primera vez por:

Jean Le Rond d’Alembert en 1746.

Introducciónn

En secciones pasadas estudiamos el concepto de función mediante los acerca-mientos numérico, gráfico y algebraico. Asimismo, usamos las funciones linea-les y cuadráticas para modelar diversas situaciones económicas y físicas. Toca elturno a las funciones polinomiales que generalizan a las anteriores y que tienenmúltiples usos en la física, la economía y las matemáticas. Primero analizaremoslas funciones potenciales, luego usaremos métodos gráficos para construirgraficas de funciones polinomiales. Finalizaremos presentando un métodoalgebraico para determinar las regiones de crecimiento y de decrecimiento. Lautilidad de las funciones polinomiales se ilustra en la siguiente situación:

Cajas y más cajas

La empresa “Cajas y Envases, S. A.”, tiene un contrato para construir cajas contapas para esferas navideñas. Para construir las cajas se utilizarán hojas de cartóncon las siguientes dimensiones: 30 centímetros por 80 centímetros. En cada ho-ja se cortarán cuadrados en las esquinas y en la parte central, como se muestraen la figura 7.37. Posteriormente se doblarán los lados y se obtendrá la caja. La

80 cms

30 cms

x

x

Figura 7.37 Diseño deuna caja cerrada paraesferas de Navidad.


pregunta clave que habrán de responder los diseñadores de la empresa es: ¿quédimensiones debe tener la caja para encerrar el mayor volumen posible?

Objetivos


• Definir y graficar funciones potenciales y polinomiales.• Analizar crecimiento y decrecimiento de funciones polinomiales.• Analizar el comportamiento de estas funciones cuando x S ±∞.• Determinar las curvas asintóticas de las funciones polinomiales.• Modelar situaciones que den lugar a funciones polinomiales.

Funciones potenciales

Antes de iniciar el estudio de las funciones polinomiales, definamos sus componentesbásicos: las funciones potenciales.

Definición

Se define la función potencial de grado n por medio de la regla de correspon-dencia f(x) = xn. El dominio de cualquier función de este tipo es Dom(f ) = R. Laimagen depende del valor de n. Para el caso de que n sea impar, la imagen esImg(f ) = R. En caso de que n sea par, la imagen es Imag(f ) = [0, ∞).

Para graficar tales funciones, haremos una tabulación. En la tabla siguiente mostramoslo que resulta de aplicar diferentes funciones potenciales a puntos dentro del intervalo(−3, 3).

x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5

−3 9 −27 81 −243

−2 4 −8 16 −32

−1 1 −1 1 −1

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 4 8 16 32

3 9 27 81 243


Las gráficas correspondientes a las anteriores funciones potenciales se muestran en la fi-gura 7.38. De la tabla y de las gráficas se pueden sacar algunas conclusiones acerca dela variación (regiones de crecimiento y de decrecimiento) de las funciones potenciales.Por ejemplo, cuando el exponente es impar, la función es creciente en (− ∞, ∞) en tantoque cuando es par la función decrece de (− ∞, 0) y crece de (0, ∞). También es posibleobservar que cerca del 0 las funciones se achatan más y más, a medida que aumentamosel valor de n.

−20

−15

−10

−50

5

10

15

20

−1−3 −2 1 32

f(x) = x2

−20

−15

−10

−50

5

10

15

20

−1−3 −2 1 32

f(x) = x3

−20

−15

−10

−50

5

10

15

20

−1−3 −2 1 32

f(x) = x3

−20

−15

−10

−50

5

10

15

20

−1−3 −2 1 32

f(x) = x5

Figura 7.38 Gráficas de funciones potenciales

A partir de las funciones potenciales podremos construir la gráfica de una amplia gamade funciones aplicando sólo operaciones de traslación y escala. Por ejemplo, en la fun-ción F(x) = A(x − B)n + C, el parámetro C sube o baja la gráfica, el parámetro B la muevehacia la derecha o a la izquierda y el parámetro A reescala los ejes y/o invierte la grá-fica de la función potencial original. En las figuras 7.39, 7.40 y 7.41 se muestran losefectos de los parámetros A, B y C sobre las curvas y = x3 y y = x4.


−10

−5

0

5

10

−1−3 −2 1 32

Efecto del parámetro A en y = Ax2 Efecto del parámetro A en y = Ax4

−10

−5

0

5

10

−1−3 −2 1 32

y

x

y

x

Figura 7.39 Efectosdel parámetro A enfunciones potenciales.Las curvas punteadastienen parámetro A enel intervalo (0,1). Lascurvas o trozos tienenparámetro A mayorque 1

0 1 2 3 4−4 −3 −2 −1

−2.5

−5

2.5

5

Efecto del parámetro B en y = (x−B)2 Efecto del parámetro B en y = (x−B)4

0 1 2 3 4−4 −3 −2 −1

−2.5

−5

2.5

5 y

x

y

xFigura 7.40 Efectosdel parámetro B enfunciones potenciales.Las curvas punteadastienen parámetro Bnegativo. Las curvas atrozos tienen parámetroB positivo

−15

−2.5

2.5

1512.5

107.5

5

−5−7.5−10

−12.5

0 4321−4 −3 −2 −1

Efecto del parámetro C en y = x3 + C

−2.5

2.5

15

12.5

10

7.5

5

−5

−7.5

−10

04321−4 −3 −2 −1

Efecto del parámetro C en y = x4 + C

y

x

y

xFigura 7.41 Efectos delparámetro C en funcionespotenciales. Las curvaspunteadas tienen parámetroC negativo. Las curvas atrozos tienen parámetroC positivo

Sin embargo, dichas transformaciones no producen todas las formas posibles de cúbicasy cuárticas, por lo que tendremos que esperar a la siguiente subsección para estudiar fun-ciones más generales.


solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Elabora un bosquejo de la gráfica de la función f (x) = 0.3(x + 4)3 + 8

Primero, observemos que el coeficiente 0.3 produce un reescalamiento del eje y. La gráfica así obteni-da se traslada cuatro unidades hacia la izquierda y ocho unidades hacia arriba. En la ilustración siguien-te se muestran los efectos sobre la gráfica original.

Figura 7.42 Proceso para construir la gráfica de y = 0.3 (x + 4)3 + 8

Ejemplo 2

Propón expresiones algebraicas para las gráficas siguientes:

−20

0

10

40

30

20

−101 65432−1−6 −5−8 −7 −4 −3−2

Las funciones y = x; e y = 0.3x3

y

x

−20

0

10

40

30

20

−101 65432−1−6 −5−8 −7 −4 −3−2

Las funciones y = x3; y = 0.3x3 ey = 0.3 (x + 4)3 + 8

y

x

Gráfica 1

−10

−5

0

5

10

20

−2 −1 1 32

y

x

Gráfica 2

−10

−5

−20

−5

0

5

10

15

20

−1 1 32

y

x

Figura 7.43 ¿Qué funciones tienen las gráficas de las figuras?

solución


La gráfica 1 de la figura 7.43 corresponde a una cúbica invertida que ha sido trasladada cinco unidadeshacia arriba y dos hacia la derecha. Una expresión que cumple con estas condiciones es:

f(x) = −A(x − 2)3 + 5

Para determinar el valor de A, consideremos que la curva pasa por el punto con coordenadas (0,20). Te-nemos entonces que:

La expresión algebraica pedida es

En el caso de la gráfica 2, se tiene una función cúbica recorrida una unidad hacia la derecha y cincounidades hacia abajo. La función que cumple tales características tiene la forma:

f (x) = A(x − 1)3 − 5

Como la curva pasa por el punto (2,0):

0 = A(2 − 1)3 − 50 = A − 5A = 5

La expresión algebraica pedida es f (x) = 5(x − 1)3 − 5

f x x( ) ( )= − − +158

2 53

20 0 2 520 8 58 20 5 15

158

3= − − += += − =

=

A

A

A

A

( )

Funciones polinomiales

Pasemos a estudiar funciones más complejas, las funciones polinomiales. Iniciemos conla siguiente definición:

Definición

La función polinomial (o polinómica) de grado n se define por medio de la reglade correspondencia P(x) = a0 + a1x + a2x

2 … + anxn con an ≠ 0. El dominio de cual-

quier función polinomial es: Dom(P) = R, en tanto que la imagen depende del va-lor de n. En el caso de n, impar la imagen es Imag(P) = R.


Determinar la imagen, para el caso de que n sea impar, o construir la gráfica de funcio-nes polinomiales no son problemas sencillos. Para responder a estos problemas necesi-tamos construir argumentos matemáticos que nos ayuden.

Método numérico

Una primera estrategia se basa simplemente en hacer una tabla de puntos (x,P(x)). Este método es una excelente herramienta para plantear conjeturas y ela-borar esbozos de gráficas de funciones polinomiales.

Método gráfico de suma de funciones

El método permite elaborar la gráfica de una función polinomial a partir delconocimiento de las gráficas de las funciones potenciales que la forman y del co-nocimiento de los puntos donde cada función potencial cruza el eje de las x. Contales puntos obtendremos una idea cualitativa de la gráfica de la función.

Por ejemplo, para esbozar la gráfica de la función P(x) = x5 − 3x4 + x3 +3x2 − 2x en el in-tervalo (−1.5, 2.5), construimos la tabla de valores siguiente:

x −1.50 −1.25 −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50

P(x) −16.41 −5.14 0.00 1.58 1.41 0.66 0.00 −0.31 -0.28 −0.10 0.00 −0.13 −0.47 −0.68 0.00 2.86 9.84

La gráfica que obtenemos es la siguiente:

−2

2

1

0

−1

−2 −1 21

y

x

Gráfica de P(x) = x5 − 3x4 + x3 + 3x2 − 2x

Figura 7.44 Método numéricopara graficar funciones polino-miales


Por ejemplo, para graficar la función f(x) = x3 + x2 habrá que construir primero las gráficasde h(x) = x3 y g(x) = x2. Estas gráficas son casos particulares de las gráficas de funciones po-tenciales y se muestran en la figura 7.45. Algunas observaciones que haremos son:

1. En el punto x = 0 las dos funciones cortan el eje de las x. Por esa razón, la fun-ción suma también corta el eje horizontal en x = 0.

2. Las dos funciones componentes son crecientes en el intervalo (0, ∞); en conse-cuencia, la función suma también es creciente en ese intervalo.

3. En el intervalo (− ∞, 0) la función h(x) crece, mientras que la función g(x) decrece. 4. En x = −1, las dos funciones componentes tienen el mismo valor en magnitud, pe-

ro de signo contrario. En ese punto: f (−1) = 0.5. Para valores de x en el intervalo (−1, 0), se cumple que |x3| < x2, así que f (x) > 0

en ese intervalo.6. Para el caso en el cual los valores de x se encuentren en el intervalo (− ∞, −1) se

tiene que |x3| > x2, así que f(x) < 0 en ese intervalo.7. Observa también que f(1) = 2.La gráfica de la función f(x) se muestra abajo.

−4

0−1

1

43

2

−2

−3

−1−2 1 2

Gráfica de g(x) = x2

y

x

−4

0−1

1

43

2

−2

−3

−1−2 1 2

Gráfica de g(x) = x3

y

x

−4

0−1

1

43

2

−2

−3

−1−2 1 2

Gráfica de g(x)3 + x3

y

x

Figura 7.45 El método de la suma gráfica en la construcción de gráficas de funciones polinomiales

Método gráfico de multiplicación de funciones

Este método se basa en el comportamiento asintótico de la función y en el co-nocimiento de las raíces de una función polinomial. Con las raíces, ordenadasde menor a mayor, se divide el eje real en regiones o intervalos que no se tras-lapan. Si evaluamos la función en todos los puntos pertenecientes a una regiónobtendremos el mismo signo. Por esa razón, basta con evaluar en un punto prue-ba de cada región para ubicar si la gráfica está arriba o abajo del eje x en todaesa región. ¿Por qué crees que esta última afirmación es correcta?

IntervaloPunto prueba

P(punto prueba) Signo Conclusión


Por ejemplo, consideremos la función P(x) = 4(x − 1)3 (x − 2)(x − 3)2. Cuando |x| es gran-de, la función se comporta como la función potencial y = 4x6. Además, P(x) tiene las raí-ces x = 1, con multiplicidad 3; x = 2, con multiplicidad 1, y x = 3, con multiplicidad 2.Estos puntos dividen el eje real en cuatro regiones. En la tabla siguiente se muestran lasregiones, los puntos prueba en cada región y el signo de la función en ese intervalo. Apartir de ahí construimos la gráfica de la función (véase la figura 7.46).

(−∞, 1) 0 72 + La función decrece en el intervalo porque se com-porta como y = 4x6. En x = 1, la curva cruza el ejede las x porque la multiplicidad de la raíz es impar.En el cruce la curva tiende a achatarse.

(1, 2) 1.5 −0.5625 − La gráfica de la función está bajo el eje x. En x = 2,la curva cruza el eje porque la multiplicidad de laraíz es impar.

(2, 3) 2.5 1.6875 + La gráfica de la función está sobre el eje x. En x = 3,la curva no cruza el eje, porque la multiplicidadde la raíz es par.

(3, ∞) 4 216 + La función crece en el intervalo, porque se compor-ta como y = 4x6.

La gráfica entonces es:

−1

0

1

2

0 1 2 3

y

x

Gráfica de P(x) = 4(x − 1)3(x − 2)(x − 3)2

Figura 7.46 El método gráfico de la multiplicación en la construcción de gráficas de funciones polinomiales

solución

Ejemplos


Ejemplo 1

A partir de la gráfica de las funciones g(x) = x3/2 y h(x) = −(x − 2)2, construye la gráfica de la función

En la ilustración 1 de la figura 7.47 se muestran las gráficas de las dos funciones g(x) y h(x). Para gra-ficar la función f (x), utilizamos el procedimiento siguiente:

1. Observemos que para valores grandes de |x| la gráfica de f (x) se comporta como la gráfica de g(x).Es decir, la curva g(x) es curva asintótica de f (x).

2. Determinamos los puntos donde g(x) y h(x) tienen la misma magnitud absoluta, pero con signos contrarios.En este ejemplo encontramos tres puntos; uno de ellos se encuentra en el intervalo (−2, −1), otro en (1, 2)y el último está en (2, 3). Es claro que al sumar g(x) más h(x) en estos puntos el resultado es 0. Es decir, enlos puntos encontrados hay una raíz para la función f(x). Estos puntos se muestran en la ilustración 2.

f xx

x( ) ( )= − −3

2

22

−8

−6

−4

�2

02

4

68

�1�3 �2 1 2 30

y

x

Ilustración 1: suma de una funciónpotencial cúbica y una parábola

−8

−6

−4

−2

02

4

68

−1−3 −2 1 2 30

y

x

Ilustración 2: raíces de la función f(x)

−8

−6

−4

−2

02

4

68

−1−3 − 1 2 30

y

x

Ilustración 3: puntos adicionales pordonde cruza la gráfica de f(x)

−8

−6

−4

−2

02

4

68

−1�− −2 1 2 30

y

x

Ilustración 4: la gráfica de f(x)

Figura 7.47 El método de la suma gráfica en la construcción de gráficas de funciones polinomiales

solución


3. Determinamos ahora los puntos donde la cúbica y la parábola cortan al eje horizontal. Estos puntosson x = 0 y x = 1. En la ilustración 3 mostramos los puntos por donde debe pasar la curva. Agrega-mos el punto donde la parábola alcanza su máximo; como la cúbica está bajo el eje x, el resultadode la suma será menor al máximo de la parábola. También agregamos el punto con abscisa x = 2. Enese caso, la curva está levemente abajo del eje x.

4. La gráfica de la función pasa por todos esos puntos; la gráfica obtenida se muestra en la Ilustración 4.

Ejemplo 2

Grafica la función f (x) = x3 − 2x + 5.

La función f (x) se puede expresar como la suma de las dos funciones g(x) = x3 y h(x) = −2x + 5. Lasgráficas de estas dos últimas funciones se muestran en la ilustración 1 de la figura 7.48. Sigamos aho-ra el procedimiento del ejemplo anterior:

1. Para valores de |x| grandes la función dominante será g(x).

2. La función h(x) es el término dominante cuando x toma valores cercanos al 0. En la ilustración 2, semuestran las gráficas en el intervalo (−1, 1). Claramente la función suma se comportará como la rec-ta definida por h(x) para valores pequeños de |x|. El término cúbico adquiere mayor importancia pa-ra valores de x que cumplan |x| > 0.5.

3. En la ilustración 3 se muestran algunos puntos importantes para la construcción de la gráfica. La su-ma de las dos funciones es casi igual a 0 en x ≈ −2. La cúbica corta el eje horizontal en el punto x = 0.En ese punto la función suma toma el valor de la función lineal. La cúbica y la recta cortan al ejehorizontal en x = 2.5. En los puntos x = 0, −2.5, ocurre algo similar. Los otros dos puntos que apa-recen se obtienen al sustituir los valores x = −1, 1 en la función suma.

4. Unimos los puntos para construir la gráfica que se muestra en la ilustración 4.

−20

−5

−10

−15

0

510

1520

−4 −1−2−3 1 2 3 4

y

x

Ilustración 1: las gráficas de lasfunciones y = g(x) e y = h(x)

0

−20

−5−10

−15

0

510

1520

−1 10.5

y

x

Ilustración 2: las gráficas deg(x) y h(x) en el intervalo (−1, 1)

0−0.5

Figura 7.48 La suma gráfica de dos funciones potenciales (continúa)

solución


Ejemplo 3

Grafica la función f(x) = x(x − 1)(x + 1)

Las tres raíces x = −1, 0, 1 son de multiplicidad 1; por lo tanto, la curva cruzará el eje x tres veces. Ade-más, la función se comporta como y = x3 para valores grandes de |x|. En la tabla siguiente mostramoslas cuatro regiones que determinan las raíces del polinomio:


P(punto prueba) Signo Conclusión

(− ∞, −1) −2 −6 − La curva está abajo del eje horizontal.

(−1, 0) −0.5 0.375 + La curva está arriba del eje horizontal.

(0, 1) 0.5 −0.375 − La curva está abajo del eje horizontal.

(1, ∞) 2 6 + La curva está arriba del eje horizontal.

−20

−5

−10

−15

0

5

10

1520

−4 −1−2−3 1 2 3 4

y

x

Ilustración 3: Puntos importantes de la curva y = f(x)

0

−20

−5

−10

−15

0

5

10

1520

−4 −1−2−3 1 2 3 4

y

x

Ilustración 4: La gráfica de y = f(x)

0

Figura 7.48 Continuación

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la función y las rectas y = x, y = x − 1 e y = x + 1, queson los factores de la función f (x). Observa que cuando las tres rectas están arriba del eje x, la curvatambién, y cuando dos rectas están arriba y otra abajo entonces la curva está abajo del eje.


Máximos y mínimos de funciones polinomiales

En la sección anterior construimos la gráfica de la función P(x) = 4(x − 1)3 (x − 2)(x − 3)2. En la siguiente ilustración se señalan las regiones donde la función crece odecrece. También se indican los puntos donde ocurren valores máximos y mínimos dela función. Intuitivamente, la función crece si al movernos hacia la derecha los valo-res de la función son mayores y es decreciente cuando los valores disminuyen. Elpunto donde ocurre el máximo de la función es el punto donde la función pasa de sercreciente a decreciente. Para un mínimo, la situación es similar: la función pasa deser decreciente a creciente.

−3

0

3

2

1

−1

−2

−1−2 1 20

Rectas y = x, y = x + 1, y = x − 1 y la curvay = x (x − 1)(x + 1)

y

x

Figura 7.49 La gráfica de la función y = x(x + 1) (x − 1) por el método gráfico de la multiplicación

−1

0

1

2

0 1 2 3

y

x

Gráfica de P(x) = 4(x − 1)2(x − 2)(x − 3)2

P(x) es creciente en

P(x) es decreciente en

Máximo local de P(x)

Mínimos locales de P(x)

Figura 7.50 Extremos locales y regiones de crecimiento y decrecimiento de una función polinomial


Estos conceptos se definen formalmente como sigue:

Definición

1. Una función polinomial y = P(x) es creciente en el punto x1 si existe un in-tervalo (x1, x1 + h) con h > 0, donde f (x1 + h) − f (x1) > 0. De manera análo-ga, y = P(x) es decreciente en el punto x1, si existe un intervalo (x1, x1 + h),con h > 0, donde f (x1 + h) − f (x1) < 0.

2. La función polinomial y = P(x) tiene un máximo local en x = a si la funcióncambia de creciente a decreciente en x = a. Análogamente, y = P(x) tiene unmínimo local en x = a si la función cambia de decreciente a creciente.

La primera definición sugiere calcular la expresión f (x1 + h) − f (x1) y simplificar al má-ximo hasta obtener una expresión que indique dónde crece o decrece la función. En elproceso será necesario considerar que h es pequeña. Con tales definiciones y con losejemplos ilustrativos de esta sección, se justifica el siguiente criterio sobre la variaciónde una función:

Criterio para crecimiento y decrecimiento de una función polinomial

La función polinomial con P(x) = a0 + a1x + a2x2 … + anx

n con an ≠ 0 es cre-ciente en el intervalo donde se cumple que a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanx

n −1 > 0y decreciente cuando a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanx

n −1 < 0. Los puntos donde sesatisface a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanx

n −1 = 0 son puntos donde posiblementeocurrirán los valores máximos y mínimos de la función polinomial.

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina las regiones de crecimiento y de decrecimiento de la función f (x) = x3 − 3x

Recordemos que una función es creciente si f (x1) > f (x) cuando x1 > x. Para nuestro ejemplo, conside-remos que h > 0 y que x1 = x + h. Nuestro problema se reduce a buscar los puntos x que satisfacenf (x + h) − f (x) > 0.

solución


En este caso tenemos:

Para valores de h suficientemente pequeños, los términos 3xh2 y h3 son despreciables respecto de3h(x2 −1). Como además supusimos que h > 0, entonces f (x + h) − f (x) > 0 cuando x2 − 1 > 0. Esdecir, la función será creciente en el intervalo (− ∞, −1) ∪ (1, ∞) y decreciente en el intervalo (−1, 1). Enx = −1 la función tiene el valor máximo local f (−1) = 2. En x = 1, la función tiene un valor mínimolocal f (1) = −2. Resumimos estos resultados en la tabla siguiente:

f x h f x x h x h x x

x x h xh h x h x x

x h xh h h

h x xh h

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

,

,

( )

+ − = + − + − −

= + + + − − − +

= + + −

= − + +

3 3

3 2 2 3 3

2 2 3

2 2 3

3 3

3 3 3 3 3

3 3 3

3 1 3

desarrollando;

simplificando;

factorizando h;

(− ∞, −1) x = −1 (−1, 1) x = 1 (1, ∞)

La función crece. La función tiene La función La función tiene La función crece.un máximo local. decrece. un mínimo local.

Ejemplo 2

Construye la gráfica de la función g(x) = 3x5 − 5x3

Determinamos primero las raíces del polinomio. De la expresión

g(x) = 3x5 − 5x3

= x3 (3x2 − 5)

obtenemos que x = 0 es una raíz triple y que son raíces simples, para las regio-

nes de crecimiento y decrecimiento. Consideremos h > 0 y calculemos g(x + h) − g(x):

En la expresión O(h2), hemos colocado todos los términos que contienen factores con h2 o con poten-cias superiores de h. Estos términos son despreciables para h suficientemente pequeños. Los mínimosy máximos se encuentran, posiblemente, en los puntos que satisfacen

0 = 15x4 − 15x2

= 15x2(x2 − 1)

g x h g x x h x h x x

x x h x h x h xh h x x h xh h x x

h x x O h

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

+ − = + − + − −

= + + + + +( ) − + + +( ) − −

= − +

3 5 3 5

3 5 10 10 5 5 3 3 3 5

15 15

5 3 5 3

5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3 5 3

4 2 2

x = ± ≈5 3 1 29099/ .


Los tales son x = 0, ±1. En la tabla siguiente presentamos algunas conclusiones sobre la variación de lafunción. Posteriormente mostramos su gráfica:

Ejemplo 3

El Servicio Postal Mexicano tiene por norma limitar el tamaño de los paquetes que se envían por co-rreo. La regulación indica que “sólo se podrán enviar los paquetes que cumplan que la suma de su al-tura y el perímetro de su base no sea mayor a 2.75 metros”. ¿Qué dimensiones debe tener el paquete demayor volumen posible?


Valor de 15x2(x2 - 1)

Signo de 15x2(x2 - 1) Conclusión

(− ∞, −1) −2 180 + La función crece

(−1, 0) −0.5 −2.8125 − La función decrece y tiene máximo enx = −1. El valor máximo es g(−1) = 2

(0, 1) 0.5 −2.8125 − La función decrece

(1, ∞) 2 180 + La función crece y tiene mínimo enx = 1.El valor mínimo es g(1) = −2

−3

0

−1.5

3

1.5

0 1−2 −1 2

Gráfica de g(x) = 3x5 − 5x3

y

x

Figura 7.51 La gráfica de la función y = 3x5 − 5x3 y sus extremos locales


Consideremos sólo el caso del paquete de base cuadrada que cumple que la suma de su altura y el períme-tro de la base es de 2.75 metros. En la figura 7.52 se muestra un paquete de altura igual a “x” y con ladosde la base iguales a “y”. El perímetro de la base es P = 4y, en tanto que la restricción postal es:

x + 4y = x + P = 2.75de donde se obtiene:

P = 2.75 − x

x

y

y

x

Figura 7.52 Paquete para enviarse por correo

El volumen de la caja es:

Las raíces de la función son x = 0 y x = 2.75. Desarrollando la expresión del volumen tenemos:

Para determinar las regiones de crecimiento y decrecimiento elegimos h > 0 y calculamos

V x h V x x h x h x h x x xx h x xh h x hx h x h

( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) . .. . . .

+ − = + − + + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − − +

+ + + + + +

116

7 5625 5 5 116

7 5625 5 57 5625 7 5625

2

5 5 11 5 5

3

3 3

2

2 2 3 2 2 3

33

2 2 2 3

22 3

2

116

7 5625 11 5 5 3 3

7 5625 11 316

3 5 516

116

7 5625 11 316

( )

= − − + + +

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠

≈ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( . . )

. .

.

h hx h hx h x h

hx x

hx

h

hx x

V xx

x x x

= −⎛⎝

⎞⎠

= − +( )

2 754

116

7 5625 5 5

2

2 3

.

. .

V x y xP

xx= = ⎛

⎝⎞⎠ = −⎛

⎝⎞⎠

22 2

42 75

4.


Donde, sobre todo en la última expresión, hemos despreciado la contribución de los términos cuadráti-cos y cúbicos en h, de forma que la función será creciente cuando 7.5625 − 11x + 3x2 > 0. Para re-solver la desigualdad, encontremos primero las raíces de la ecuación cuadrática 7.5625 − 11x + 3x2 = 0.Estas raíces son x = 0.916667, x = 2.75. En la tabla siguiente mostramos algunas conclusiones de lafunción:


Valor de 7.5625 – 11x + 3x2

Signo de 7.5625 – 11x + 3x2 Conclusión

(− ∞, 0.916667) 0 7.5625 + La función crece

(0.916667, 2.75 1 −0.4375 − La función decrece ytiene máximo en x =0.916667. El valor má-ximo es V (0.916667)= 0.192564

(2.75, ∞) 3 1.5625 + La función crece y tie-ne mínimo en x = 2.75.El valor mínimo esV(2.75) = 0

En conclusión, el valor máximo del volumen es 0.192564 m3 en tanto que las dimensiones de la cajacon la que se obtiene este volumen son:

altura = 0.916667 mlado de la base = 0.45833325 m

Ejercicios

y problemas

1. Si f (x) = x3 + x, calcula:

a) f (w + h) − f (h)

b)

c)

d) f w h f w

h

( ) ( )+ −

f w f w+( ) − ( )33

f w f

w

( ) ( )+ −1 1


2. Propón funciones para las siguientes gráficas:

−1

−0.5

.5

1

0−1 21−2 0

a) c)b)

d) f)e)

0

−2

−1

1

2

4

3

0 1 2−1−3 −2

y

x 0

−2

−1

1

2

4

3

0 1 2 3−2 −1

y

x

−2

−1

1

2

0−1 21−2 0

y

x

−2

−5−4−3

−1−2−3 −1

1

5432

0

y

x

0

−2

−4

−3

−1

1

2

0 1 2 3 4

y

x−3 −1−2

1 32

3. Construye gráficas de las siguientes funciones en las regiones indicadas, elaborando una tabla de valo-res adecuada:

a) y = x3 + 5x2 + 4x − 2 en (−5, 2)b) y = 2x4 − 3x2 + x + 1 en (−2, 2)c) y = −x4 − x3 + x + 1 en (−2, 2)d) y = x5 − x4 − 5x3 − x2 + x + 2 en (−2, 2)e) y = −x3 − x2 + x + 1 en (−2, 2)f) y = x4 − 5x2 − 2x − 1 en (−3, −3)

4. Realiza la suma gráfica de las siguientes funciones:

a) g(x) = x3 y h(x) = x2 − 4x + 4b) g(x) = −x3 y h(x) = x2 − 4x + 4c) g(x) = 2x3 y h(x) = −x2 + 4x − 4d) g(x) = −2x3 y h(x) = −x2 + 4x − 4e) g(x) = x4 y h(x) = x2 − 4x + 4f) g(x) = x4 y h(x) = −x2 + 4x − 4


5. Construye las gráficas de las siguientes funciones: y = f (x); utilizando el método de operaciones (mul-tiplicación):

a) y = 2x(x − 2)(x + 3)b) y = 2x2(x − 2)(x + 3)c) y = 2x(x − 2)2(x + 3)

d)

e)

f ) y = (x − 1)4 (x − 2)2 (x + 2)3 (x + 1)

6. Determina regiones de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

a) f (x) = −24x + 3x2 + x3

b) f (x) = −15x + 6x2 + x3

c) f (x) = −30x − 33x2 − 4x3

e) f (x) = 12x − 3x2 − 2x3

f ) f (x) = 12x2 − 4x3 − 3x4

g) f (x) = −48x2 − 8x3 + 3x4

7. Determina los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

a) f (x) = 12x − 9x2 + 2x3

b) f (x) = −48x − 6x2 + 2x3

c) f (x) = 48x + 18x2 + 2x3

d) f (x) = 6x2 + 2x3

e) f (x) = 6x2 − 2x3

8. Determina las curvas asintóticas, las raíces, las regiones de crecimiento y decrecimiento, así como los má-ximos y mínimos locales de las siguientes funciones. Utiliza esta información para construir la gráfica:

a) f (x) = 2x3 − 3x2

b) f (x) = 3x4 − 4x3

c) f (x) = x4 − 8x2

9. Estudios médicos indican que la velocidad del aire en la tráquea en un estornudo V(r) depende del ra-dio r de la misma tráquea. Si V(r) = ar2(r0 − r), con a una constante positiva, encuentra el valor de rque maximiza la velocidad V(r).

10. El Canal 4 de televisión abierta realizó un estudio sobre el número de televidentes N(t) (en miles) quesintonizan el canal después de las 12 del día. El resultado mostró que N(t) = 25.3 + 3.6t − 1.425t2 +0.1t3. Elabora una gráfica de la función indicando a que hora se tiene el mayor número de televidentesy el menor número.

y x x x x= −⎛⎝

⎞⎠ + − +3 1

24 3 7

32( ) ( )( )

y x x x x= −⎛⎝

⎞⎠ + − +3 3

24 3 7( )( )( )




1. Para la situación Cajas y más cajas, que aparece en la introducción de esta sección, respon-de el cuestionario siguiente.

a) Determina una fórmula para relacionar el volumen de la caja con la longitud x.b) Elabora una tabla que contenga x, la longitud del lado cuadrado recortado, y el volumen.c) Elabora una gráfica del volumen contra x.d) ¿En cuáles valores de x crece el volumen? ¿En cuáles decrece?e) ¿En qué valor de x se obtiene el volumen máximo? ¿Cuál es este volumen máximo?f) Al elaborar cuatro cajas de este tipo se obtienen 24 cuadrados de lado . Si juntamos cua-

tro cuadrados para formar un lado, entonces podemos, con los 24 cuadrados, formar unacaja cúbica cerrada. Suma el volumen de las seis cajas originales más el de esta última ca-ja, ¿cuál es el volumen máximo que puedes obtener? ¿Cambia en algo la respuesta al in-ciso anterior?

g) Reflexiona sobre las estrategias o los caminos que seguiste para resolver el problema.¿Por qué fueron buenas? ¿Por qué no?

2. Sobre movimiento

a) Carlos ha sido comisionado por su empresa para llevar urgentemente varios paquetes a unasucursal que se encuentra fuera de la ciudad. Él viaja inicialmente con velocidad de 50 kilóme-tros/hora, después de t = 0.4 horas se da cuenta que no llegará a tiempo y sube su velocidad a80 kilómetros/hora, velocidad con la que viaja durante una hora, y llega a su destino. El re-greso lo hace a velocidad constante, de tal manera que hace dos horas de viaje redondo.

i.Elabora una gráfica de la velocidad de Carlos en el tiempo.ii.¿A qué distancia de la empresa está la sucursal?

iii.¿A qué velocidad regresó Carlos?iv.¿Qué distancia total recorrió en el viaje?v.¿Qué distancia había recorrido después de una hora?, ¿de hora y media?, ¿de hora 3/4?

vi.¿Qué tan lejos estaba de su lugar de origen una hora después de su salida?, ¿y a la horay media?, ¿y a la hora 3/4?

vii.Elabora una gráfica de la posición de Carlos en el tiempo.

b) Carlos tiene que regresar a la sucursal porque olvidó entregar dos paquetes. Su nuevo viajelo empieza con velocidad de 80 kilómetros/hora y la aumenta constantemente hasta alcan-zar los 90 kilómetros/hora a los 30 minutos. En ese momento acelera para llegar más rápi-do. A los 75 minutos de su salida, Carlos entrega los paquetes y se regresa con velocidad de100 kilómetrros/hora, aumentándola constantemente para hacer el viaje de ida y vuelta endos horas. Responde las preguntas i, iii, v, vi y vii del inciso a).


c) Una semana después Carlos lleva otros paquetes a la misma sucursal; con la experiencia desus viajes anteriores, decide ir con la velocidad cambiante en el tiempo

v(t) = 400t3 − 1200t2 + 800t con 0 ≤ t ≤ 2Responde las preguntas i., v., vi. y vii. del inciso a).

3. Curvas de BézierLos fundamentos teóricos de las curvas de Bézier fueron desarrolladas independientemente porlos diseñadores de automóviles Bézier (de Renault) y De Casteljau (de Citröen). Ellos pensa-ron en construir curvas suavizadas generadas por n + 1 puntos a partir de ecuaciones paramé-tricas polinomiales de grado n:

x = f(t)y = g(t)

En la actualidad, esta teoría es de suma utilidad para los diseñadores gráficos e industriales.Por ejemplo, la curva de Bézier generada por los puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3),

tiene ecuaciones paramétricas

x(t) = B0(t)x0 + B1(t)x1 + B2(t)x2 + B3(t)x3

y(t) = B0(t)y0 + B1(t)y1 + B2(t)y2 + B3(t)y3donde

B0(t) = (1 − t)3, B1(t) = 3(1 − t)2t, B2(t) = 3(1 − t)t2, y B3(t) = t3

Se conocen como polinomios de Berstein de grado 3.a) Construye las gráficas de los polinomios de Berstein de grado 3. ¿Qué observas?b) Determina los valores máximos de los polinomios de Berstein. ¿Encuentras alguna regula-

ridad?c) Calcula el valor de B(t) = B0(t) + B1(t) + B2(t) + B3(t). ¿Qué significado tiene el resultado?d) Demuestra que Bi(t) = B3 − i(1 − t).e) Construye los polinomios x(t) y y(t) generados por los puntos (−2, 5), (0, −10), (2, 12), (4, −2).f) Grafica los polinomios x(t) y y(t) en planos x, t y y, t, respectivamente. g) Elabora una tabla de valores t, x, y, usando incrementos en el tiempo de 0.1. Grafica ahora

la curva que pasa por los puntos x y y que obtuviste. ¿Pasan los puntos generadores por es-ta curva?

h) Repite los incisos e, f y g para los siguientes conjuntos de puntos:

i. (−3, 2), (0, 4), (2, −10), (5, 5)ii. (−5, 0), (0, 10), (5, −10), (10, 0)

iii. (0, 2), (2, 8), (5, −12), (6, −2)iv. (−2, 2), (1, −15), (−1, 12), (2, −2)v. (−2, 4), (0, −15), (2, 12), (−2, 4)

i) ¿Cómo construirías curvas de Bézier que pasarán por cinco puntos?j) Investiga la utilidad de estas curvas en el diseño automotriz.


1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la gráfica de la curva que se muestraabajo?:

a) y = x(x − 8)2

b) y = x(x − 8)(x + 8)c) y = x(x + 2)(x + 4)d) y = x(x + 8)2

2. Determina la región de decrecimiento de f (x) = x2(x + 8)

a) (− ∞, 0)b) (− ∞, 0) ∪ (6, ∞)c) (0, 6)d) (− ∞, 9)

3. ¿Qué expresión tiene como gráfica la curva que se muestra abajo?:

a) y = x(x + 3)(x − 2)b) y = 4x2(x − 3)(x − 2)c) y = x(x − 3)2(x − 2)d) y = x2(x + 3)(x + 2)

−200

−100

100

200

00−12 4−4−8

y

x

−2

0

2

6

4

0−4 1−2 −1−3

y

x


4. En la empresa “Cajas y Envases, S. A.”, tienen la estrategia siguiente para construir cajas decartón. En cinco piezas rectangulares de dimensiones de 2 metros de largo y 5 metros deancho se cortan cuadrados iguales en sus esquinas. Las cinco piezas resultantes se doblan yunen para formar cinco cajas sin tapas. Los 20 pequeños cuadrados restantes se agrupan decuatro en cuatro para formar cinco cuadrados grandes, los cuales se unen para formar otra cajacúbica sin tapa. ¿Cuál es el volumen total máximo posible de las seis cajas que se construyende esta forma?

a) 11.0091b) 10.1591c) 8.0000d) 10.239

5. Relaciona las funciones polinomiales que aparecen en la columna A con afirmaciones acercade sus características que parecen en la columna A:

Columna A

a) y = x3 − 3x

b) y = x4 − 2x2

c)

d) y = 4x5 − 5x4

Columna B

i. Su valor máximo es 35/6

ii. Decrece en (0, 1)

iii. Tiene mínimo en x = 3

iv. Tiene máximo en x = 3

v. Tiene máximo en x = 1

vi. Crece en (1, ∞)

vii Tiene máximo en x = 0

viii. Decrece en (1, 2)

yx

x x= − + +3

2

332

2 5

Respuestas a los


1.

a) f(w + h) − f(h) = w3 + 3w2h + 3wh2 + w

b)

c)

d) f w h f w

hw wh h

( ) ( )+ − = + + +3 3 12 2

f w f ww w

+( ) − ( ) = + +33

3 9 102

f w f

ww w

( ) ( )+ − = + +1 1 3 42


2.

a) y = x2 − x

b) y = x2(x + 2)

c) y = −x2(x − 2)

d) y = x4 − 2x2

f) y = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)

g) y = (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 2)/6

3.

a) b) c)

d) e) f )

−6

6

4

2

0

−2

−4

0−6 −2−4 2

Gráfica de y = x^3 + 5x^2 + 4x − 26

4

2

0

−2

0−2 −1

y

x

Gráfica de y = 2 x^4 − 3 x^2 + x + 1

21

4

2

0

−4

0−2 −1

y

x1 2

−2

Gráfica de y = − x^4 − x^3 + x + 1

4

2

0

−4

0−2 −1

y

x1 2

−2

Gráfica de y = x^5−x^4−5 x^3−x^2+x+2

4

2

0

−4

0−2 −1

y

x1 2

−2

Gráfica de y = −x^3 − x^2 + x + 15

0

−15

−5

0−3 −1.5 31.5

yx

−10

Gráfica de y = x^4 − 5 x^2 − 2 x − 1


4.

a) b) c)

d) e) f )

−10

0

15

10

5

−5−4 −1 1−2−3 0 2 3

y

x

y = x3 + x2 −4x + 4

−10

−15

0

10

5

5

−5−4 −1 1−2−3 0 2 3

y

x

y = −x^ 3 + x^ 2 −4x + 4

−10

−15

0

10

15

5

−5−1 1−2−3 0 2 3

y

x

y = 2x3 −x2 + 4x−4

20

4

−10

−15

0

10

15

5

−5−1 1−2−3 0 2 3

y

x

y = −2x3 −x2 + 4x−4

20

4

−10

0

10

15

5

−5−1 1−2 0 2

y

x

y = x4 + x2

−4x + 4

−10

−15

0

10

15

5

−5−1 1−2−3 0 2 3

y

x

y = x4 −x2 + 4x−4

20

4

a) b) c)

−50

0

100

50

−2 2−4 0 4

y

x

Gráf ica de y = 2*x*(x−2)*(x+3)

−50

0

100

50

−2 2−4 0 4

y

x

Gráf ica de y = 2*x^2*(x−2)*(x+3)

−100

0

200

300

100

−2 2−4 0 4

y

x

Gráfica de y = 2 x (x−2)^3 (x+3)

5.


6.a) Crece en (− ∞, −4) ∪ (2, ∞) y decrece en (−4, 2)b) Crece en (− ∞, −5) ∪ (1, ∞) y decrece en (−5, 1)d) Crece en (−5, −1/2) y decrece en (− ∞, −5) ∪ (−1/2, ∞)e) Crece en (−2, 1) y decrece en (− ∞, −2) ∪ (1, ∞)f) Crece en (− ∞, −2) ∪ (0, 1) y decrece en (−2, 0) ∪ (1, ∞)g) Crece en (−2, 0) ∪ (4, ∞) y decrece en (− ∞, −2) ∪ (0, 1)

7.

a) Máximo en x = 1, mínimo en x = 2b) Máximo en x = −2, mínimo en x = 4c) Máximo en x = −4, mínimo en x = −2d) Máximo en x = −2, mínimo en x = 0e) Máximo en x = 1, mínimo en x = −1

8.a) Curva asintótica y = 2x3. Crece en (− ∞, 0) ∪ (1, ∞), decrece en (0, 1). Máximo en x = 0, mínimo en x

= 1.b) Curva asintótica y = 3x4. Crece en (1, ∞), decrece en (− ∞, 0) ∪ (0, 1). Mínimo en x = 1.c) Curva asintótica y = x4. Crece en (−2, 0) ∪ (2, ∞), decrece en (− ∞, 2) ∪ (0, 2). Máximo en x = 0, mí-

nimo en x = −2, 2.

9. En se tiene el máximo. El valor máximo es

10. El mínimo se tiene a las 13:30 horas y el máximo a las 20:00 horas.

V armax = 427 0

3r

r= 23

0

d) e) f)−600

600

400

200

−200

−400

0−2 2−4−8 −6 0 4

y

x

Gráfica de y = 3 (x −0.5) (x + 4)^2 (x − 3) (x + 7)

Gráfica de y = 3 (x − 1.5) (x + 4) (x − 3) (x + 7)

−1600

1600

800

−800

0−2 2−4−8 −6 0 4

y

x

Gráfica de y = 3(x −0.5)^3(x − 4)^2(x − 3)(x + 7)

−10000

10000

40000

30000

20000

0−2 2−4−8 −6 0 4

y

x



1. a2. c3. d4. a5. [a) v., vi., ii.], [b) vii., ii., vi.], [c), v., viii., i.], [d), vi., ii., v.]

6017.7 Funciones racionales


Hemos superado la nociónde que las verdades matemáticas

poseen existencia independientey aparte de nuestras mentes. Hasta nos sorprende que talnoción haya podido existir.

Edward Kasner

Introducciónn

El concepto de función es extremadamente útil para describir el comporta-miento de una variable que depende de otra u otras variables; al mismo tiem-po, es una excelente herramienta que permite vincular el lenguaje coloquialcon el lenguaje simbólico. Son incontables los usos que una función tiene,más aún de aquellas funciones con nombre propio que componen el bagajeelemental que todo alumno universitario debe conocer; entre éstas, se en-cuentran las funciones racionales. Te presentamos una situación donde se re-quiere el uso de este tipo de funciones.

¿Cómo diseñar un espacio con el menor costo?

En una licitación para la construcción de una plaza comercial en la ciudad deLeón, Guanajuato, se coloca para concurso el anteproyecto que distribuya de lamanera más económica posible ocho locales comerciales sobre 1200 m2; confor-me al croquis que se muestra en la siguiente figura:

x metros

y metros

6 metros

A

H

G

F

E

D

C

B


Los locales A y B son del mismo tamaño entre sí; de igual manera, los locales C, D, E, F, Gy H son todos del mismo tamaño entre sí y hay un pasillo de seis metros en medio, como semuestra en el plano. Además, los locales A y B deberán tener el doble del largo que el localC y una altura de tres metros.

Los costos de construcción para la obra incluyen material y mano de obra, además de quese rigen de acuerdo con la siguiente tabla:

TipoCosto por metro cuadrado

(pesos)

Piso 350. 00

Divisiones de vidrio (representadas por líneas 150.00punteadas)

Paredes (marcadas en el plano con línea doble) 170.00

Techo 200.00

La gran pregunta es: ¿Qué dimensiones se deben proponer con la finalidad de “ganar” el de-recho de construir la plaza comercial?

El caso presentado es sólo uno de las muchas situaciones donde se presentan las funcio-nes racionales.

Objetivos


• Reconocer una función racional y sus elementos principales para graficarla.• Analizar el comportamiento de estas funciones cuando la variable toma va-

lores numéricos positivos o negativos muy grandes.• Determinar las líneas guía de una función racional; esto es, sus asíntotas.• Modelar situaciones que dan lugar a funciones racionales.

Funciones racionales

Las funciones racionales tienen la forma:

donde las funciones p y q son funciones polinomiales. Un rasgo distintivo de las funcio-nes racionales es que en muchos casos se presentan asíntotas. Intuitivamente, una asín-tota es una línea recta a la cual la curva que representa a la función se aproxima más ymás a medida que la curva se extiende más y más en el plano coordenado.

f xp x

q x( ) ( )

( )=

Ejemplos


Siendo la asíntota una línea recta, ésta puede tener una cualquiera de tres posicionesparticulares. Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal; si es pa-ralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; pero si no es paralela a ninguno de losejes coordenados, entonces será una asíntota oblicua.

Notas:1 Una función racional puede tener varias asíntotas verticales y no más de una asíntota

horizontal.2 Para hallar las asíntotas verticales de una función racional, debes factorizar los polino-

mios del numerador y el denominador, simplificar y posteriormente igualar con 0 eldenominador. Cabe añadir que una función racional cuyo denominador no pueda ser 0para ningún valor de x, no tiene asíntotas verticales.

3 Para determinar las asíntotas horizontales puedes recurrir a uno de los siguientes dosmétodos:

a) Para los casos más simples, resuelves la ecuación para x en función de

y; y después repites el procedimiento descrito en la nota 2.

b) Considera la función racional:

Entonces:

• Si n < m, la gráfica tiene una asíntota horizontal, concretamente y = 0

• Si n = m, la gráfica tiene una asíntota horizontal con ecuación:

• Si n > m, la gráfica no tiene asíntotas horizontales.

4 Se ha señalado que una asíntota es una recta; no obstante, la idea puede extendersepara hablar de curva asintótica. Si una función racional presenta una curva asintótica,resulta conveniente investigar el comportamiento de la función cuando la variable x to-ma valores cada vez más grandes en valor absoluto.

5 En general, las asíntotas actúan como rectas o curvas guía de la gráfica de una función.6 En el ejemplo 3, describiremos un método algebraico que te permitirá encontrar el má-

ximo o mínimo (extremo) de una función racional cuando éste exista.

ya

bn

m

=

f xa x a

b x ba bn

n

mm n m( ) ; ,= + +

+ +≠ ≠

0

0

0 0

yp x

q x= ( )

( ),

Ejemplo 1

Determina las raíces y las asíntotas horizontales y verticales de la función Obteni-da esta información, grafica la función.

y f xx

x= = −

−( ) .

2

241

solución


Un aspecto importante en la graficación de toda función es, sin duda, la determinación de su dominio.En este caso, el dominio de la función es Df = ℜ {−1, 1}, puesto que el denominador es 0 cuandox = −1 o x = 1

Raíces: recuerda que las raíces de una función se determinan localizando los puntos donde la gráficacorta al eje X; esto es, donde y = 0, es decir, hallado el dominio, determinamos las raíces resolviendola ecuación:

Es muy importante, en todo caso, que consideres como raíz sólo aquellos valores de x que pertenecenal dominio de la función. Al resolver la última ecuación, hallamos que tanto x = −2 como x = 2 perte-necen al dominio; luego, ambos valores son raíces de la función.

Observación: de manera práctica, las raíces de una función racional se obtienen simplemente igualan-do con 0 al numerador y determinando, de los valores resultantes, cuáles pertenecen al dominio de lafunción.

Asíntotas horizontales: ya que los grados de los polinomios del numerador y denominador son iguales,

concluimos que la función tiene una asíntota horizontal con ecuación

Asíntotas verticales: factorizamos el numerador y el denominador buscando simplificar factores comu-nes; tenemos:

Vemos que la función tiene dos asíntotas verticales: x = −1 y x = 1Para elaborar la gráfica de la función, es conveniente tabular valores que indiquen la ubicación de la

gráfica respecto de sus asíntotas.

f xx x

x x( ) ( )( )

( )( )= + −

+ −2 21 1

y = =11

1

x

x

2

241

0−−

=

−15

5

15

10

−5

−10

−4 −2 2 4

y

x

Ubicación de xe Ubicación de ye

x < −2 y > 0

x = −2 y = 0

−2 < x < −1 y < 0

−1 < x < 1; x = 0 y > 0; y = 4

1 < x < 2 y < 0

x > 2 y > 0

solución


Ejemplo 2

Si existen, determina las raíces, así como las asíntotas horizontales y verticales de cada una de las si-guientes funciones racionales:

a)

b)

c)

a) Si factorizamos resulta que Df = ℜ {−2, 1}; aquí mismo vemos

que la función tiene sólo una asíntota vertical, x = −2, y una asíntota horizontal, y = 0. De la expre-

sión simplificada para f; esto es, concluimos que la función no tiene raíces.

b) Si factorizamos la función f, encontraremos que: Aquí,

es fácil ver que el dominio de la función es Df = ℜ {−1, 2}. Ahora bien, si simplificamos:

Por lo tanto, f no tiene asíntotas horizontales, así como que x = −1 es su única asíntota vertical y notiene raíces, ya que (x − 2)2 = 0 implica que x = 2, pero 2 ∉ Df.

c) Nuevamente factorizamos la expresión para f: De aquí,

Df = ℜ − {−5/2, −1}. La función f tiene dos asíntotas verticales: x = −5/2 y x = −1, lo mismo que dos

raíces: x = −1/3 y x = −4, así como una asíntota horizontal: y = 3/2

Ejemplo 3

Determina el máximo o el mínimo (si existen) de cada una de las siguientes funciones:

a) la función del ejemplo 1.f xx

x( ) ,= −

−

2

241

f xx x

x x

x x

x x( ) ( )( )

( )( ).= − −

+ += + −

+ +3 11 42 7 5

3 1 42 5 1

2

2

f xx

x

x x

x( ) ( )= −

+= − +

+21

4 41

2 2

f xx x x

x x

x

x x( ) ( )

( )( ).= − + −

− −= −

− +

3 2

2

36 12 82

22 1

f xx

( ) =+1

2

f xx

x x

x

x x( )

( )( ),= −

+ −= −

+ −1

21

2 12

f xx x

x x( ) = − −

+ +3 11 42 7 5

2

2

f xx x x

x x( ) = − + −

− −

3 2

26 12 8

2

f xx

x x( ) = −

+ −1

22

solución


b)

c)

a)

f xx

x( ) = −

−2 1

1

f xx x

x x( ) = − +

− +

2

22 82 5

El método sobre el cual calcula-remos el máximo y/o el mínimo(extremo de una función), cuan-do exista, se intuye del com-portamiento numérico detectadoen la tercera columna de la tablaadjunta; a saber:

si la función racional tiene un ex-tremo en x = x0, entonces para h“suficientemente pequeño”, suvariación local:

Δ f (x0) = f (x0 + h) – f (x0)

es prácticamente nula.

Aplicamos esta idea para loca-lizar el mínimo que la gráficadelata para la función

f xx

x( ) = −

−

2

241

Consideramos,

Si h fuese pequeño, garantizaríamos que Δ f (x0) fuera prácticamente nulo, siempre y cuando:

3 21 1

3 21 1

00

02

02

0

02

02

( )[( ) ][ ]

( )[ ][ ]

h x

x h x

x

x x

++ − −

≈− −

=

= ++ − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥h

h x

x h x

3 21 1

0

02

02

( )[( ) ][ ]

= + −+ −

− −−

( )( )x h

x h

x

x0

2

02

02

02

41

41

Δ f x f x h f x( ) ( ) ( )0 0 0= + −

x (el incremento de x es de h = 0.02) f( x ) Diferencias f ( x + h ) - f ( x )-0.2 4.125 -0.024545267

-0.18 4.10045473 -0.021636999-0.16 4.07881773 -0.018842214-0.14 4.05997552 -0.016144351-0.12 4.04383117 -0.013528139

-0.1 4.03030303 -0.010979359-0.08 4.01932367 -0.008484651-0.06 4.01083902 -0.006031328-0.04 4.00480769 -0.003607212-0.02 4.00120048 -0.00120048

0 4 0.001200480.02 4.00120048 0.0036072120.04 4.00480769 0.0060313280.06 4.01083902 0.0084846510.08 4.01932367 0.010979359

0.1 4.03030303 0.0135281390.12 4.04383117 0.0161443510.14 4.05997552 0.0188422140.16 4.07881773 0.0216369990.18 4.10045473 0.024545267

0.2 4.125 -4.125


Resolviendo la ecuación anterior, deducimos que el mínimo de la función se alcanza para x0 = 0.

b) La gráfica de esta función aparece abajo:

−1 1 2 3x

0.250.5

0.751

1.251.5

1.75y

−10

10

5

−5

−2 −1 1 32

y

x

Tenemos:

Para hallar el máximo debe cumplirse que:

esto es, 6 – 6x0 = 0. De aquí resulta que el máximo de la función se alcanza para x0 = 1

c) La gráfica de la función es como se muestra en la siguiente figura:f xx

x( ) = −

−2 1

1

6 3 6 22 5 2 5

6 62 5 2 5

00 0

02

0 02

0

0

02

0 02

0

− − ++ − + + − +

≈ −− + − +

=h x hx

x h x h x x

x

x x x x[( ) ( ) ][ ] [ ][ ]

= − − ++ − + + − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥h

h x hx

x h x h x x

6 3 6 22 5 2 5

0 0

02

0 02

0[( ) ( ) ][ ]

= + − + ++ − + +

− − +− +

( ) ( )( ) ( )x h x h

x h x h

x x

x x0

20

02

0

02

0

02

0

2 82 5

2 82 5

Δ f x f x h f x( ) ( ) ( )0 0 0= + −

solución


La función tiene dos asíntotas: una horizontal, y = 2, y otra vertical, x = 1. En la gráfica se observa,además, que f no posee máximo ni mínimo. Por otro lado, si aplicamos el método utilizado en los dosincisos anteriores hallaremos que:

Resulta ahora que para cualquier x0, por lo tanto, con este método

también concluimos que no hay máximo ni mínimo para la función dada.

Ejemplo 4

Resuelve gráficamente las siguientes desigualdades:

a)

b)

a) Esto es, queremos determinar dónde la gráfica de la fun-

ción está por encima o toca al eje X. Ahora bien, la gráfica de esta función es:yx

x= −

−13 4

2

x

x

x

x

x

x

+−

≥ ⇔ +−

− ≥ −−

≥32

5 32

5 0 13 42

0 ó .

21

2x x

xx

−+

<

x

x

+−

≥32

5

−+ − −

≈ −−

≠11 1

11

00 0 0

2( )( ) ( );

x h x x

= −+ − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

hx h x

11 10 0( )( )

= + −+ −

− −−

2 11

2 11

0

0

0

0

( )x h

x h

x

x

Δ f x f x h f x( ) ( ) ( )0 0 0= + −

−20

5

−5

−10

15

10

−15

y

x−2 2 64

Observamos que la raíz es determinante para dar la respuesta; la raíz es: x = 13/4, así que el conjun-to solución de la desigualdad planteada es: S = (2, 13/4]


b) por lo tanto, buscamos el conjunto solución donde la gráfica de la fun-

ción quede estrictamente por debajo del eje X. La gráfica de la citada función es:yx x

x= −

+

2 21

21

21

02 2x x

xx

x x

x

−+

< ⇔ −+

< ;

.5−0.5−2 −1.5−3 −2.5 −1

10

−10

−20

−30

20

y

x

−0.4

0.2

0.6

0.4

−0.20.5 1 1.5 2 2.5 3

y

x

Gráfica completa Gráfica a la derecha de la asíntota vertical

Las raíces de la función son: x = 0 y x = 2. Concluimos que el conjunto solución es

S = − ∞ − ∪( , ) ( , )1 0 2

Ejercicios

y problemas

1. La gráfica de una función racional y = f (x) se ve en la siguiente figura:

−10 −5 5 10

0.5

1

1.5

2

y

x



Si f (x) = g(x)/h(x), y g ( x ) y h ( x ) son funciones cuadráticas, determina las fórmulas posibles para g (x)y h (x). (Hay muchas respuestas posibles.)

2. Determina el dominio, las raíces, así como las asíntotas horizontales y verticales (si existen) de cadauna de las siguientes funciones:

a)

b)

3. Utiliza el método gráfico descrito en los ejemplos para resolver las siguientes desigualdades:

a)

b) xx

> +1 2

x

xx

−+

≤13

f xx x

x x( ) = + −

− +2 4 6

3 2

2

2

f xx

x( ) = −3


1. ¿Cómo diseñar un espacio con el menor costo?Supongan que su equipo desea defender el anteproyecto de construcción propuesto en este pro-blema. Discutan y defiendan con argumentos las dimensiones que propondrían con la finalidadde “ganar” el derecho de construir la plaza comercial descrita.

2. Optimización de recursosLatas Metálicas, S. A., requiere fabricar un lote de 50,000 latas cilíndricas con una capacidadaproximada de 942.478 mililitros para envasar productos en conserva. Cada lata se fabrica con5 cm de radio y 12 cm de altura, con un costo por concepto de material de 0.5 centavos por cm2.

a) Determinen el costo por concepto de material que representa para la fábrica la manufacturade las 50,000 latas bajo las condiciones actuales.

b) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de las latas para usar la menor cantidad de material ensu fabricación?

c) ¿Cuál sería el costo de material si el lote de latas se fabricara de acuerdo con las dimensio-nes halladas en el inciso anterior?

d) Tomen una lata de algún producto en conserva y determinen sus dimensiones. Indiquen sise ha fabricado buscando minimizar el costo de la lata. Si no es el caso, discutan las razo-nes por las cuales creen que esto no es así.


1. Sea elige la opción que contiene la proposición verdadera.

a) Para c ≤ 0, la función tiene al menos una asíntota vertical.b) y = 0 es una asíntota horizontal para cualquier elección de los valores a, b y c.c) Para c ≤ 0, la función no tiene ninguna asíntota vertical.d) Para cualquier selección de las constantes a, b y c, x = −b/a es la única raíz de la función.

2. ¿Cuál(es) de las funciones (a) – (c) cumple(n) simultáneamente con las siguientes con-diciones?

i. Asíntota horizontal y = 1

ii. No tiene raíces.

iii. Asíntotas verticales x = ±1

a) b) c)

3. “Trajes Deportivos, S.A.”, fabrica chamarras para vender en librerías estudiantiles enlotes hasta de 500. El costo en pesos, para una corrida de x chamarras, es

¿Cuántas chamarras debe fabricar “Trajes Deportivos” por corrida, para minimizar el

costo promedio: ?

4. Encuentra en la columna B la respuesta que corresponda a la pregunta de la columna A.

CC x

x= ( )

C x x x( ) = + +20000 100 2 2

yx

x= +

−

2

211

yx

x= −

+

2

211

yx

x= −

+112

f xax b

cx( ) ;= +

+2 16

Columna A

a) Asíntotas verticales de la función

b) Asíntotas horizontales de la función

c) Raíces de la función

d) Para x > 0, mínimo de la función:

Columna B

i. y = 0

ii. x = 9

iii. No tiene

iv. x = −3, x = 9

v. y = 4

vi. x = 1, x = −6

vii. y = −4

viii. x = −6

yx

x= +2 22

f xx x

x x( ) = − −

+ +3 18 81

10 21

2

2

f xx x

x x( ) = − +

+ −

3

22 15 6

f xx x

x x( ) = − +

+ −

2

22 15 6


Respuestas a los


1. Una propuesta general es donde a , b > 0, y a es el doble de b. Un caso particu-

lar es:

2. a) Df = ℜ − {0}, raíces Asíntotas, vertical: x = 0; no tiene horizontal.

b) Df = ℜ − {1, 2}, raíces x = −3. Asíntotas, vertical: x = 2; horizontal: y = 2.

3. a)

b) S = − ∪ + ∞( , ) ( , )1 0 2

S = − + ∞( , )3

x = ± 3.

f xx

x( ) =

+2

4

2

2

f xax

bx c( ) ,=

+

2

2 2


1. a2. c3. 100 chamarras4. (a, viii), (b, iii), (c, ii), (d, v)



Si se propone una función f(x), cuyo valorestá representado en un intervalo determi-nado, desde x = 0 hasta x = X, por la or-denada de una curva trazada arbitraria-mente, se podrá desarrollar esta funciónen una serie que no contendrá más que lossenos y cosenos de los arcos múltiples...

Jean- Baptiste Joseph Fourier,en Théorie analytique de la chaleur,

1822.

Introducciónn

En la naturaleza hay gran diversidad de fenómenos que se caracterizan por superiodicidad. El ir y venir de las olas marinas, el movimiento de las ramas delos árboles debido al viento, el movimiento pendular, las pulsaciones del co-razón de cualquier mamífero, así como el crecimiento y decrecimiento depoblaciones en sistemas depredador-presa son ejemplos de fenómenos periódi-cos. Las funciones trigonométricas son las herramientas matemáticas básicaspara analizar y describir estos fenómenos. La siguiente situación relacionadacon ganancias por temporadas ilustra su uso.

Ganancias por exportaciones

Las ganancias por exportaciones mensuales de una empresa mexicana en losúltimos dos años muestran una tendencia creciente y oscilante. Los dueños de laempresa quieren invertir sus ganancias en tecnología los próximos tres años parahacer más competitiva la empresa. Si las tendencias de los últimos años conti-núan ¿cuánto debieran invertir mensualmente los dueños para no descapitalizar-se? En la tabla siguiente se muestran las ganancias en dólares obtenidas en losúltimos dos años.

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.Año 1 32090 31997 32080 32095 32005 31913 32099 31985 32096 31984 32067 32000

Año 2 32037 32069 32042 32066 32094 32056 31919 32058 31934 31984 32020 32023


Funciones trigonométricas

Recuerda que las funciones trigonométricas surgen del estudio de los cocientes de loslados del triángulo rectángulo. Por ejemplo, por medio del triángulo de la figura 7.53 sedefinen las funciones trigonométricas seno y coseno

Objetivos


• Definir las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotan-gente, secante y cosecante.

• Determinar la gráfica, dominio e imagen de cada una de ellas.• Analizar crecimiento y decrecimiento de las funciones trigonométricas• Determinar asíntotas verticales de las funciones trigonométricas• Definir y analizar las seis funciones trigonométricas inversas.• Modelar situaciones que den lugar a funciones de este tipo.

Definición

Considera un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa igual a c. Si xes el ángulo entre la hipotenusa y el lado b definimos los siguientes cocientescomo las funciones seno y coseno.

sen( )

cos( )

xa

xb

= =

= =

ccateto opuesto

hipotenusa

ccateto adyacente

hipotenusa

Construyamos ahora la gráfica de la función sen(x), para ello considera una circunferen-cia de radio igual a la unidad. Sobre el círculo coloca un triángulo rectángulo, como elmostrado en la figura 7.53, con hipotenusa igual a uno. En esta situación el cateto opues-

b

ac

x

Figura 7.53 El triángulo rectángulo de catetos a y b y con hipotenusa c


to al ángulo x es igual a sen(x) y el cateto adyacente a cos(x). Observa que si aumentasel valor del ángulo x de 0 a π/2 radianes entonces aumenta el valor de sen(x) de 0 hasta1. La longitud del cateto opuesto disminuye hasta llegar a 0 a medida que se avanza enel ángulo de π/2 a π radianes. Cuando el ángulo x está en el intervalo (π, 3π/2) la fun-ción sen(x) decrece, su mínimo valor es −1. En el intervalo (3π/2, 2π) la función crecehasta llegar nuevamente al 0. Si seguimos aumentando el ángulo observaremos quela gráfica se repite cada 2π radianes. En la figura 7.54 mostramos un esquema sobre laconstrucción de la función seno. Este método es muy antiguo, data del año 1525, y sedebe al alemán Alberto Durero, quien es célebre por sus grabados y por su trabajo engeometría.

1 2 3 4 5 6

−1.5

−0.5

−1

00.5

1

1.5

Construcción de la gráfica de la función y = sen(x)

0−2 −1

Figura 7.54 Construcción de la curva sen(x).

1 2 3 4 5 6

−1.5

−0.5

−1

00.5

1

1.5

Construcción de la gráfica de la función y = cos(x)

0−1−2

Figura 7.55 Construcción de la curva cos(x).

Ahora bien, de la misma forma en que se ha construido la función sen(x) se puede cons-truir la función cos(x). En la figura 7.55 se muestra un esquema de su construcción a par-tir de un círculo unitario.


A partir de las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x) se infieren las siguientes propie-dades:

Propiedades

Función sen(x) cos(x)

Dominio (− ∞, ∞) (− ∞, ∞)

Imagen [−1, 1] [−1, 1]

Paridad La función es impar, es decir La función es par, es decir sen(−x) = −sen(x) cos(−x) = cos(x)

Periodicidad La función tiene periodo igual a 2π, La función tiene periodoes decir: sen(x + 2π) = sen(x) igual a 2π, es decir:

cos(x + 2π) = cos(x).

El valor máximo de la función x = 0, ± 2π, ± 4π,…es 1 y se obtiene en:

El valor mínimo de la función x = ± 2π, ± 3π, ± 3π,…es −1 y se obtiene en:

x = − − , , , , , ,52 2

32

72

112

π π π π π

x = − −

72

32 2

52

92

π π π π π, , , , ,

Para construir funciones más generales necesitamos la siguiente definición.

Definición

La funciones sinusoidales se definen ya sea como:f (x) = A sen(w(x – x0)) + B

o como:f (x) = A cos(w(x – x0)) + B

Donde los parámetros A, w, x0, B se conocen con los siguientes nombres

• |A| es la amplitud.• w es la frecuencia. • x0 es el ángulo de fase o desfasamiento.• B es el valor promedio de f (x).

La gráfica de cualquiera de las funciones sinusoidales se construye aplicando las diver-sas operaciones de traslación y escala a las funciones básicas sen(x) y cos(x). En efecto,los parámetros w y A reescalan los ejes x e y respectivamente. La constante x0 indica unatraslación de x0 unidades hacia la derecha del origen si es positivo o hacia la izquierda si


es negativo. Mientras que el término B nos señala una traslación hacia arriba si es posi-tivo o hacia abajo en el caso negativo.

Para relacionar el periodo con la frecuencia, consideremos que un periodo de la grá-fica empieza cuando el argumento es cero y termina cuando el argumento es igual a 2π.En términos algebraicos, esto significa que el periodo empieza cuando:

w(x – x0) = 0

y termina cuando:

w(P + x – x0) = 2π

Restando estas dos últimas ecuaciones se obtiene que:

wP = 2π

Resumiendo, el periodo de cualquier función sinusoidal se determina por me-dio de la fórmula:

Pw

= 2π

En las figuras 7.56 y 7.57 se muestran gráficas sinusoidales típicas:

BA

x

y

x0

f(x) = A sen (w(x − x0)) + B

2π/w

B A

x

y

x0

f(x) = A sen (w(x − x0)) + B

2π/w

Caso A > 0 Caso A < 0

Figura 7.56 Tipos de gráficas de la función sinusoidal f (x) = A sen(w(x – x0)) + B


x

y

x 0

A

f(x) = A cos (w(x−x0)) + B

B

2π /w

BA

x

y

x0

f(x) = A cos (w(x − x0)) + B

2π/w

Caso A > 0 Caso A < 0

Figura 7.57 Tipos de gráficas de la función sinusoidal f (x) = A cos(w(x – x0)) + B

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y el valor promedio de la función f (x) = 4sen(3x –7) + 2. Posteriormente grafica la función.

Primero escribimos la ecuación en la forma general

Identificamos ahora los coeficientes.

• La amplitud es A = 4 > 0• La frecuencia es w = 3• El ángulo de fase es x0 = 7/3• El promedio es B = 2

De estos resultados deducimos que el periodo es Para construir la gráfica observamos que unperiodo inicia cuando:

P = 23π .

f x x( ) = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+4 3 73

2sen

solución


y termina cuando

Dividamos el intervalo que definen x0 y xf en cuatro subintervalos de longitud igual. Evaluando a con-tinuación la función sinusoidal en los puntos extremos de estos subintervalos obtenemos la tabla de va-lores adjunta. Reuniendo todos estos elementos construimos la gráfica de la función, ver figura 7.58.

3 7 22 7

34 42773

x

x

x

f

f

f

− =

= +

≈

ππ

.

3 7 0732 333

0

0

0

x

x

x

− =

=

≈ .

Ejemplo 2

La temperatura en el puerto de Acapulco varía aproximadamente de forma sinusoidal durante el año. Sila máxima temperatura es de 32°C el primero de agosto y la mínima de 27°C el primero de febrero de-termina una expresión para la temperatura en el puerto durante el año y después grafícala.

Con estos datos podemos determinar muchas fórmulas. Consideremos por ejemplo una función sinu-soidal del tipo

f (x) = A cos(w(x – x0)) + B

Como el periodo es de doce meses, se tiene que la frecuencia es:

wP

= = =2 212 6

π π π

x f(x)

2.33 2

2.86 6

3.38 2

3.90 −2

4.43 2

f(x) = 4 sen ( 3x − 7 ) + 2

−4

−2

0

2

4

6

8 y

x

0 2 4 6

Figura 7.58 La gráfica de la función sinusoidal f (x) = 4 sen (3x − 7) + 2.En la figura, la curva sólida corresponde a los datos de la tabla.


Como la unidad de tiempo es el mes, el primero de febrero corresponde a t = 2. Como además ese díase tiene la mínima temperatura podemos suponer que el coeficiente A es negativo. El valor mínimo dela función sinusoidal propuesta se obtiene cuando, (recuerda que A es negativa):

A + B = 27

y el valor máximo cuando:

−A + B = 32

Si sumamos estas dos ecuaciones se obtiene

2B = 59B = 59/2 = 29.5

De manera similar, si restamos la segunda ecuación de la primera resulta:

2A = 27 – 32 = −5A = −5/2 = −2.5

Por lo tanto, una función que cumple las condiciones del problema es:

Finalmente, la gráfica de temperaturas de Acapulco en el año es:

f x x( ) . cos ( ) .= − −⎛⎝

⎞⎠ +2 5

62 29 5π

25

27.5

30

32.5

35

0 3 6 9 12 15

x

y

Figura 7.59 Gráfica de las temperaturas en la ciudad de Acapulco en un año.

solución


Ejemplo 3

Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre 0.04 y 0.025 metrosdetermina:

• La frecuencia de oscilación,• una función que describa el movimiento y• la gráfica de esta función.

Proponemos que el movimiento se describa por la función:

f (t) = A cos(w(t – t0)) + B

Sin perder generalidad, podemos suponer que t0 = 0. En el enunciado del problema se dice que el pe-riodo es de 1.3 segundos, entonces la frecuencia es:

Como la función varía de 0.04 a 0.025 metros se tiene que:

A + B = 0.04−A + B = 0.025

Resolviendo este sistema de ecuaciones nos queda:

B = 0.0325A = 0.0075

Reuniendo todos estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa:

La gráfica de esta función es:

f tt

t( ) . cos.

. . cos( . ) .= ⎛⎝

⎞⎠ + ≈ +0 0075 2

1 30 0325 0 0075 4 8332 0 0325π

wP

= = ≈2 21 3

4 83322π π.

.

f(t) = 0.0075 cos( 4.8332 t ) + 0.0325

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4

t

Y

Figura 7.60 Gráfica del movimiento enun sistema masa resorte.

solución


Ejemplo 4

Usa el método de la suma gráfica para construir la gráfica de las funciones

• f (x) = x + 3 + 2sen(x)• g(x) = sen(x) + sen(2x)

En la ilustración (1) de la figura 7.61 se muestran las gráficas de la funciones y1 = x + 3 y y2 =2sen(x). La función y1 nos indica la tendencia de la gráfica mientras que la función y2 señala as-pectos periódicos. Para elaborar la gráfica de la suma en un periodo primero detectamos cuatropuntos básicos, a saber: los puntos donde la función seno alcanza sus valores máximo y mínimoy los puntos donde vale cero. Usamos esos valores para construir algunos puntos por donde pasala función. En la ilustración (2) mostramos los puntos usados y la gráfica de la suma en un perio-do de la función sinusoidal, finalmente en la ilustración (3) se muestra la función suma en un in-tervalo mayor.

lineal y una función sinusoidal.Ilustración 1: Suma de una función

−4−2

02468

1012

0 1 2 3 4 5 6 7

Ilustración 2: Puntos importantes para la construcción.

−4−2

02468

1012

0 1 2 3 4 5 6 7

Ilustración 3: La gráfica de la función suma en un intervalo mayor.

−5

0

5

10

15

20

0 3.5 7 10.5 14

x

y

x

y

x

y

Para construir la grafica de la función g(x), observemos primero que la funciones sen(x) y sen(2x)son periódicas de periodos 2π y π respectivamente. Además tenemos que considerar los puntosdonde las funciones alcanzan sus valores máximos y mínimos y donde cruzan el eje x. En la ilus-tración (1) de la figura 7.62 se muestran las dos gráficas por separado, en la ilustración (2) hemosagregado los puntos a considerar y en la ilustración (3) se muestra la figura obtenida.

Figura 7.61 Gráfica de la función f (x) = x + 3 + 2 sen(x).


Otras funciones trigonométricas

En el mismo triángulo de la figura 7.53 podemos considerar otros cuatro cocientes dife-rentes a los usados para definir las funciones sen(x) y cos(x). Recuerda:

Ilustración 1: Las funciones a sumar.

−2−1.5

−1−0.5

00.5

11.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7

Ilustración 2: Puntos importantes para la gráfica de la suma.

−2−1.5

−1−0.5

00.5

11.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7

Ilustración 3: Gráfica de la función.

−2−1.5

−1−0.5

00.5

11.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

x

y

x

y

Figura 7.62 Gráfica de la función f (x) = sen(x) + sen(2x).

Definición

Las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante se de-finen por los cocientes siguientes de los lados del triángulo de la figura 7.53.

sec( )

csc( )

xc

b

xc

a

= =

= =

hipotenusacateto adyacente

hipotenusacateto opuesto

tan( )

cot( )

xa

b

xb

a

= =

= =

cateto opuestocateto adyacentecateto adyacentecateto opuesto

En muchas ocasiones es más sencillo trabajar con las siguientes identidades que relacio-nan estas cuatro funciones con las funciones sen(x) y cos(x):

Identidades básicas

cot(x) 1sen

=( )x

sec(x) 1=cos( )x

cot(x) cossen

= ( )( )x

xtan(x) sen= ( )

cos( )x

x


La gráfica de la función tan(x) se construye a partir de las gráficas de las funciones sen(x)y cos(x) y de las observaciones siguientes:

• La función tangente no está definida en los puntos

porque allí la función cos(x) es igual a cero. Más aún, cerca de esos pun-

tos la función crece sin medida en magnitud, por eso se dice que la función tieneasíntotas verticales en esos puntos.

• La función tangente es cero en los puntos x = 0, ± π, ± 2π porque la función sen(x)es igual a cero en esos puntos.

• La función tangente es creciente en todo su dominio. En efecto en el intervalo(0, π/2) la función crece porque tanto sen(x) como 1/ cos(x) son positivas y cre-cientes. En el intervalo (−π/2, 0) la función crece porque sen(x) es creciente ynegativa y 1/cos(x) es decreciente y positiva.

Las gráficas de las otras tres funciones se construyen haciendo observaciones similaresy se muestran en la figura 7.63.

52π, ,

x = − − −

52

32 2 2

32

π π π π π, , , , ,

f(x) = tan(x)

−4

−2

0

2

4

−6 −3 0 3 6

f(x) = cot(x)

−4

−2

0

2

4

−6 −3 0 3 6

f(x) = csc(x)

−4

0

4

2

−2

0−6 −3 63

y

x

f(x) = sec(x)

−4

0

4

2

−2

0−6 −3 63

y

x

x

y

x

y

Figura 7.63 Las gráficas de las funciones trigonométricas tangente, cotangente,secante y cosecante.


Algunas propiedades que tienen estas funciones se presentan en la tabla siguiente.

Propiedades

Función Dominio Imagen Paridad Periodicidad

tan(x) ℜ tan(−x) = −tan(x) tan(x) = tan(x + π)

cot(x) ℜ cot(−x) = −cot(x) cot(x) = cot(x + π)

sec(x) sec(−x) = sec(x) sec(x) = sec(x + 2π)

csc(x) csc(−x) = −csc(x) csc(x) = csc(x + 2π)( , ] [ , )− ∞ − ∪ ∞ 1 1ℜ − ∈{ }n nπ ΖΖ

( , ] [ , )− ∞ − ∪ ∞ 1 1ℜ − + ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( )2 12

nn

π ΖΖ

ℜ − ∈{ }n nπ ΖΖ

ℜ − + ∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( )2 12

nn

π ΖΖ

Al igual que para las funciones sinusoidales, cuando necesitemos graficar funciones máscomplejas podemos aplicar operaciones de traslación y escala.

solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Determina las regiones de crecimiento y de decrecimiento y las ecuaciones de las asíntotas verticales.Con esa información construye la gráfica de la función.

La función es creciente en su dominio porque el coeficiente 2, que multiplica

a la tangente, es positivo. El dominio consta de todos los puntos donde el argumento es diferente de

Estos puntos satisfacen que:

π π π π( ) , , ,

, ,, ,

x

xx

− ≠ ± ± ±

− ≠ ± ±≠ ± ±

64 2

32

52

6 2 66 2 6 6

± ± ±π π π2

32

52

, , ,

f xx( ) tan ( )= −⎛

⎝⎞⎠2 6

4π

f xx( ) tan ( )= −⎛

⎝⎞⎠2 6

4π


Es decir:

La curva cruza el eje x cuando el argumento de la tangente es cero. Es decir, cuando:

Las asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a ± π/2. Es decir, cuando:

Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual al periodo tenemos que la función se repi-te cada cuatro unidades. En conclusión, las ecuaciones de las asíntotas son x = 4n con n ∈ Z.

Con esta información y tomando como base la gráfica de la función tan(x) se obtiene la gráfica pedida.

π π( )x

x

x

− = ±

− = ±

= ± = ⎧⎨⎩

64 2

6 2

6 284

π ( )x

xx

− =

− ==

64

0

6 06

Dom( ) , ,f R= − ± ±{ }6 2 6 6

f(x) = 2 tan (π(x − 6)/4)

−10

−5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

Figura 7.64 Gráfica de la función f (x) = 2 tan(π(x − 6)/4)

Ejemplo 2

Aplicando operaciones de traslación y escala construye la gráfica de la función

Determina también las ecuaciones de las asíntotas verticales.

g x x( ) sec= − +⎛⎝

⎞⎠ −3

42π π

solución


Para aplicar las operaciones de traslación y escala observemos que:

• El coeficiente −3 reescala el eje y e invierte la gráfica. • El término −2 baja la gráfica dos unidades. • El factor π reescala el eje x.

• Como el argumento de la función secante se puede escribir como sabemos que la gráfi-ca original se traslada 1/4 unidades hacia la izquierda.

• Con esta información construimos la gráfica de la función.

π x +⎛⎝

⎞⎠

14

g(x) = −3 sec(πx + π/4) − 2

−10

−5

0

5

10

0 1 2 3x

y

Figura 7.65 Gráfica de la función g(x) = −3 sec(πx + π/4) −2

Por otra parte, algunas asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a ±π/2. Es decir, cuando:

En general, las ecuaciones de las asíntotas son:

con n ∈ Z

Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual a la mitad del periodo tenemos que el pe-riodo de la función es 2.

x n= + 14

π πx

x

x

+⎛⎝

⎞⎠ = ±

+ = ±

= ± − =−

⎧⎨⎩

14 214

1212

14

1 43 4//


solución

Ejemplo 3

Las autoridades del Distrito Federal quieren construir un andador que una las calles de Thiers y Guten-berg, ver figura 7.66. En la esquina que forman las dos calles se encuentra un edificio que ocupa un áreade 9 por 16 metros. Escribe una ecuación de la longitud del andador como función del ángulo que ha-ce el mismo andador con la calle de Thiers.

θ

16 m

9m

d1

d2

Thiers

Gutenberg

Figura 7.66 El problema del andador

De la figura tenemos que:

de donde se tiene que:

La longitud del andador es entonces:

d = d1 + d2 = 16 csc(θ) + 9 sec(θ)

d y d2 19 9 16 16= = = =

cos( )sec( )

( )csc( )

θθ

θθ

sen

cos( ) ( )θ θ= =9 16

2 1d d y sen


Las funciones trigonométricas inversas

En la resolución de problemas prácticos muchas veces se requiere conocer no tanto elvalor de las funciones trigonométricas, sino el valor del ángulo. En esos casos se hace ne-cesario utilizar las que llamaremos funciones trigonométricas inversas y que definimosa continuación.

Definición

Para construir la gráfica de arcsen(x) considera nuevamente un triángulo rectángulo conhipotenusa uno dentro de un círculo unitario. Si x denota la longitud del lado opues-to al ángulo α entonces arcsen(x) es la longitud del arco tal y como se muestra en la fi-gura 7.67:

Definición

Si x = sen(y) entonces decimos que y es el arco seno de x y lo denotamos pory = arcsen(x).Si x = cos(y) entonces decimos que y es el arco coseno de x y lo denotamos pory = arccos(x).Si x = tan(y) entonces decimos que y es el arco tangente de x y lo denotamospor y = arctan(x).Si x = cot(y) entonces decimos que y es el arco cotangente de x y lo denotamospor y = arccot(x).Si x = sec(y) entonces decimos que y es el arco secante de x y lo denotamos pory = arcsec(x).Si x = csc(y) entonces decimos que y es el arco cosecante de x y lo denotamospor y = arccsc(x).

−1.6

−0.8

0

0.8

1.6

−1 −0.5 0 0.5 1x

y

x

arcsen (x)

α

f(x) = arcsen (x)

Figura 7.67 La definición y la gráfica de la función arco seno.


Claramente si x aumenta de 0 a 1 entonces el arcsen(x) aumenta de 0 a π/2. No podría-mos aumentar el valor de arcsen(x) porque entonces para un mismo valor de x tendría-mos que aceptar que arcsen(x) fuera multivaluada. Para conservar que arcsen(x) sea unafunción debemos restringir el dominio al intervalo [−1, 1] y la imagen a [−π/2, π/2]. Enla figura 7.67 se muestra la gráfica de la función.

En forma similar, si x es el cateto adyacente al ángulo α, entonces arccos(x) es la lon-gitud de arco sobre el círculo. Nuevamente se tiene que restringir el dominio a [−1, 1] yla imagen a [0, π], para que arccos(x) sea una función. Finalmente, si x mide el ladoopuesto a α, en un triángulo con cateto opuesto tangente al círculo unitario, entonces elarctan(x) es la longitud del arco, observa la figura 7.69. En este caso el dominio está for-mado por todos los números reales mientras que la imagen es el intervalo (−π/2, π/2).En las figuras 7.68 y 7.69 mostramos ilustraciones que muestren tanto las definicionescomo las gráficas de las funciones.

0

0.8

1.6

2.4

3.2

−1 −0.5 0 0.5 1x

y

x

c

α

arccos (x)

f(x) = arccos (x)

Figura 7.68 Definición y gráfica de la función arco coseno

−1.6

−0.8

0

0.8

1.6

−8 −4 0 4 8

x

y

xarctan (x) )

α

f(x) = arctan (x)

Figura 7.69 Definición y gráfica de la función arco tangente

solución

Ejemplos


Las gráficas de las funciones restantes se muestran en la figura 7.70 y su construcción essimilar a las presentadas aquí. En la tabla siguiente se resumen las propiedades de lasfunciones trigonométricas inversas.

Función arcsen(x) arccos(x) arctan(x) arccot(x) arcsec(x) arccsc(x)

Dominio [−1, 1] [−1, 1] ℜ ℜ (− ∞, −1] ∪ [1, ∞) (− ∞, −1] ∪ [1, ∞)

Imagen [0, π] (0, π) −⎡⎣⎢

⎞⎠ ∪ ⎛

⎝⎤⎦⎥

π π2

0 02

, ,02 2

, ,π π π⎡⎣⎢

⎞⎠ ∪ ⎛

⎝⎤⎦⎥

−⎛⎝

⎞⎠

π π2 2

,−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

π π2 2

,

0

1

2

3

4

−8 −4 0 4 8

0

0.875

1.75

2.625

3.5

−3 −1.5 0 1.5 3

−1.75

−0.875

0

0.875

1.75

−3 −1.5 0 1.5 3

y

x

y

x

y

x

f(x) = arccot (x) f(x) = arcsec (x) f(x) = arccsc (x)

Figura 7.70 Gráficas de las funciones arco cotangente, arco secante y arco cosecante.

Ejemplo 1

Construye la gráfica de la función f(x) = 5 arctan(x − 2) −3.

La gráfica se obtiene haciendo operaciones de traslación y escala en la gráfica de arctan(x). Observe-mos que:

• La función arctan(x – 2) corta el eje x en el punto x = 2.• El factor 5 reescala el eje y.

solución


• El término −3 baja la gráfica tres unidades, de manera que la imagen es:

En la figura 7.71 se muestra la gráfica de la función.

− − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

≈ [ ]52

3 52

3 10 854 4 85398π π, - . , .

−12

−8

−4

0

4

−8 −4 0 4 8

xy

f(x) = 5 arctan (x − 2) − 3

Figura 7.71 Gráfica de la función f(x) = 5 arctan (x − 2) −3

Ejemplo 2

Una cámara de televisión está filmando el lanzamiento de un cohete, cuando éste sale la cámara girapara seguir su movimiento. Si la velocidad inicial del cohete es 80 kilómetros por segundo y durante 3segundos viaja en línea recta, grafica el ángulo que hace la cámara de televisión con un eje horizontal.Supón que la distancia de la cámara al punto de lanzamiento es de 5 kilómetros.

En la figura 7.72 se muestra un triángulo con las variables del problema.

θ

5 (km)

h��80 t (km)

Figura 7.72 El problema de cámara de televisión y el cohete.


De allí podemos inferir que:

Despejando θ, usando la función arco tangente, se tiene:

θ = arctan (16t)

En el tiempo inicial t = 0 el ángulo es θ = 0, mientras que al tiempo t = 3 segundos el ángulo es:

θ = arctan(48) = 1.54997 rad = 88.8067°

La gráfica es entonces:

tan( )θ = = =h tt

5805

16

(t) = arctan (16t)

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2t

θ

Figura 7.73 La gráfica de movimientoangular de la cámara de televisión.

Figura 7.74 El problema del anuncioespectacular

Ejemplo 3

Un anuncio espectacular de 12 metros de altura, se encuentra montado 4 metros por encima del nivelvisual de un observador. Encuentra una ecuación para el ángulo subtendido por el observador comofunción de la distancia x al espectacular.

4 m

12

x

θα

β

solución


Observemos en la figura 7.74 que los ángulos α y β satisfacen:

Despejando de aquí los ángulos se tiene:

el ángulo que subtiende el observador es θ, de donde obtenemos:

En la figura 7.75 se muestra una tabla de valores del ángulo contra la distancia y la gráfica correspon-diente. De estos datos, podemos inferir que el observador verá mejor el espectacular si se encuentra auna distancia aproximada de 8 metros.

θ β α= − = ⎛⎝

⎞⎠ − ⎛

⎝⎞⎠arctan arctan16 4

x x

α β= ⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠arctan arctan4 16

xy

x

tan( ) tan( )α β= =4 16x

yx

x θ4.0 0.5405.0 0.5936.0 0.6247.0 0.6398.0 0.6449.0 0.640

10.0 0.63211.0 0.62012.0 0.60613.0 0.590

0.500

0.563

0.625

0.688

0.750

6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

x

y

Figura 7.75 Tabla de valores y la gráfica del ejemplo del anuncio espectacular

Ejercicios

y problemas


1. Usa operaciones de traslación y escala sobre la función f(x) = sen(x) para obtener las gráficas de las fun-ciones siguientes:

a) f (x) = sen(2x)b) f (x) = 2sen(2x)c) f (x) = 2sen(2x) + 4

d)

e)

f)

2. Construye la gráfica de las siguientes funciones sinusoidales, determina también la imagen de cadafunción.

a) f (x) = 3 sen(3x)b) f (x) = −2 cos(3x + 1)c) f (x) = 4 cos(2x + 1) − 5d) f (x) = −3 cos(4x + π) + 1e) f (x) = −3 cos(−2x + 1) + 2f) f (x) = 4 sen(5x − 2) − 4

3. Construye la gráfica de las siguientes funciones.

a) f (x) = −2 tan(4x) + 2b) f (x) = −3 cot(x + 2) + 1c) f (x) = 4 tan(2x + 1) − 2d) f (x) = 2 sec(−2x + 4) − 1e) f (x) = 4 csc(5x − 5) + 3f) f (x) = 3 csc(x + 2) − 3

4. La profundidad del agua en un tanque oscila de forma sinusoidal una vez cada 4 horas. Si la profundi-dad más pequeña es de 0.95 metros y la más grande es de 2.05 metros, halla una fórmula para la pro-fundidad en términos del tiempo.

5. Un sistema masa resorte colocado sobre una mesa sin fricción oscila de forma sinusoidal con periodode 0.5 segundos. El resorte está conectado en un extremo a la masa y en el otro a un punto fijo P sobrela mesa. Si la mayor distancia de la masa al punto P es de 12 centímetros y la menor de 8cm, determinauna expresión para la distancia de la masa al punto P como función del tiempo, medido en segundos.

f xx( ) = − +⎛

⎝⎞⎠ +3

25sen π

f xx( ) = ⎛

⎝⎞⎠ +3

25sen

f xx( ) = − ⎛

⎝⎞⎠sen

2


6. Una población de conejos en una granja varía de forma sinusoidal entre 800 el 1 de enero y 1500 el 1de julio. Encuentra una fórmula para la población como función del tiempo t, medido en meses desdeel inicio del año.

7. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica de funciones. De-termina después en que región crece y donde decrece.

a) f (x) = sen(x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)b) f (x) = 3sen(x) + 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)c) f (x) = sen(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)d) f (x) = 3sen(2x) + 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)e) f (x) = 3sen(2x) + 2sen(x) en el intervalo (−2π, 2π)f) f (x) = 3sen(2x) − 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)

8. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica.

a) f (x) = (x/3) + sen(x) en el intervalo (0, 4π)b) f (x) = 2x + 3sen(2x) en el intervalo (0, 2π)c) f (x) = x + 2 + 4 cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)d) f (x) = 4x − 2 + 5cos(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)e) f (x) = x + 2 + 3cos(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π)f) f (x) = 3x + 2 + 3sen(x) en el intervalo (−2π, 2π)

9. Construye la gráfica de las funciones trigonométricas inversas siguientes.

a) f (x) = 2 arccos(2x) + 3b) f (x) = 3 arctan(4x) − 2c) f (x) = −2arccos(x + 2) + 1d) f (x) = −3arccos(2x + 5) + 1e) f (x) = arccos(2x + 5) + 5f) f (x) = −arccos(x − 2) + 1

10. Sobre un edificio de 100 m, hay un anuncio de 12 m de altura. Desde la calle, una persona trata de ver,con los ojos a 1.6 m del suelo, lo mejor posible el anuncio.

a) Si la persona está separada 300 m del edificio, ¿bajo que ángulo ve el edificio, con todo y el anuncio?b) Si la persona está separada 50 m del edificio, ¿cuál es el ángulo bajo el que ve todo el anuncio? ¿y

si la persona está separada 150 m?c) Si sabemos que podrá ver mejor el anuncio si el ángulo bajo el que lo ve es mayor, ¿dónde debe co-

locarse la persona para leer mejor el anuncio?

11. Actualmente se presenta la pintura “El beso atrapado” en el Museo de Arte Moderno de la ciudad deMéxico. La pintura tiene una altura de 2 metros y está colgada de tal manera que su extremo inferior



se encuentra a una distancia 0.5 metros por encima del ojo de un observador. Supón que θ es el ánguloque subtiende el ojo (observa la figura).

a) Si el observador está a una distancia de 4 metros ¿cuál es el valor de θ?b) Si el observador está a una distancia de x metros, encuentra θ como función de x.c) Elabora una tabla de valores de θ contra x y después grafica la función.d) Estima el valor de x donde se encuentra el valor máximo de θ. ¿Qué interpretación tiene este ángulo?

0.5m

2m

x

θ

Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan todas las preguntas que se hacen en cada situa-ción.

1. Para la situación “Ganancias por exportaciones” presentada en la introducción respondelas siguientes preguntas:

a) Grafica los datos de la tabla de ganancias en los últimos dos años.

b) Observa que hay una tendencia a crecer en las ganancias, pero al mismo tiempo hay as-pectos oscilatorios que pudieran deberse a que el producto de la empresa se vende mejoren unos meses que en otros, a este fenómeno en las ventas se le llama estacionalidad.¿Cómo determinarías una ecuación para la tendencia? ¿Cómo determinarías una funciónque sólo considerara el efecto estacional?

c) Un buen modelo para ajustar los datos es f (x) = asen(x) + bx + c. Determina los valoresde a, b y c que mejor ajustan los datos.

d) ¿Cómo esperas sean las ganancias en los próximos tres años?

e) ¿Cómo sugerirías invertir las ganancias al dueño de la empresa para que pueda lograr suobjetivo?


2. El elevadorEn algunas plazas comerciales existen elevadores panorámicos que suelen estar a la vista de losvisitantes. Supón que en un centro comercial de 20 metros de altura se tiene uno de estos ele-vadores y que estás parado a una altura de 10 metros del suelo, a una distancia horizontal de 15metros del elevador y que el elevador desciende con una velocidad de 2 metros por segundo.

a) Elabora un dibujo que muestre la situación. Supón que θ es el ángulo entre tu línea horizon-tal y la línea con la que observas el elevador.

b) Encuentra la altura del elevador h(t) sobre el nivel del suelo a medida que baja desde lo al-to de la plaza.

c) Encuentra ahora una fórmula para calcular θ en cualquier tiempo.d) Construye una tabla con una columna para el tiempo y otra para los ángulos, considera in-

tervalos de tiempo de un segundoe) Elabora una gráfica del ángulo contra el tiempo.f) Estima la velocidad con la cambia el ángulo en los tiempos t = 1, 2, 3,…, 10 ¿A qué altura

estará el elevador cuando parezca moverse más rápidamente?

3. El clima de la ciudad de VeracruzLa siguiente tabla muestra la temperatura promedio mensual (más alta y mas baja) del puertode Veracruz durante dos años consecutivos (2001-2002). Este conocimiento permite a los hote-leros del lugar promoverse presentando las bondades del clima.

2001 Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 29.4 27.2 25.6

Baja 18.9 19.4 20.6 22.8 24.4 24.4 23.9 23.9 23.9 22.8 20.6 19.4

2002 Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 29.4 27.2 25.6

Baja 19.1 19.5 20.4 23.1 24.3 24.4 23.8 23.7 23.8 22.6 20.4 19.2

Cuestionarioa) Grafica los datos. A partir de la gráfica explica las características de la temperatura en el

puerto.b) Ajusta una función trigonométrica que se aproxime a los datos. La variable independiente

debe ser el tiempo en meses. Para hacer esto, será necesario que encuentres la amplitud, elperiodo de los datos y el momento en que ocurre el máximo.

c) Estima la temperatura que habrá los días 10 de mayo, 16 de septiembre y 25 de diciembre.d) En la tabla siguiente te presentamos las temperaturas promedio mensuales en el año 2002

en varios municipios del estado de Sonora. Cada miembro de tu equipo debe elegir dos ciu-dades y ajustar una función trigonométrica para la temperatura. ¿Qué temperatura esperanen cada ciudad el 2 de noviembre?


Temperatura media mensual (°C) en el estado de Sonora

Estación Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Agua Prieta 7.2 9.1 12.2 15.5 19.9 25.3 26.6 25.6 23.1 17.6 11.5 7.4

Arizpe 11.6 14.1 15.6 18.6 22.2 27.4 28.5 27.3 25.8 21.6 15.5 12.1

Bahía Kino 13.6 14.7 15.9 18.1 20.8 25.1 28.5 29.2 27.6 22.8 17.1 14.2

Cananea 7.8 9.2 10.9 14.2 18.1 23.7 23.4 22.4 20.7 17.4 12.1 8.3

Guaymas 18.0 19.2 20.8 23.3 26.2 29.3 31.0 30.9 30.2 27.0 22.5 19.2

Hermosillo 16.9 18.6 20.7 23.6 26.9 31.3 32.3 31.6 30.8 27.1 21.2 17.4

Huatabampo 16.5 17.0 18.4 21.1 23.6 27.8 30.2 30.1 29.6 26.0 21.0 17.3

Nacozari 11.1 13.3 16.3 20.6 25.6 30.1 28.8 27.8 26.8 22.0 15.7 11.8

Navojoa 17.7 18.7 20.6 23.3 27.2 30.4 31.8 31.4 30.8 27.6 22.6 19.0

Sonorita 11.5 13.4 15.8 19.6 23.4 28.5 31.9 31.2 28.6 23.0 16.1 12.0

1. Determina el periodo y la amplitud de la función sinusoidal siguiente

f(x) = 5sen (4x + 2)

a) π/2, 5

b) 8π, 5

c) π/2, 10

d) 8x, 10

2. Determina el dominio de la función y = 2 tan(3x + 4).

a)

b)

c)

d) ℜ − ± ± ±{ }π π π, , ,3 5

ℜ − ± ± ±⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

π π π6

36

56

, , ,

ℜ − ± ± ±⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

32

62

92

π π π, , ,

ℜ − ± ± ±⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

π π π2

32

52

, , ,


3. Determina la imagen de la función y = 2arctan(3x) + 2π

a) (−π, π)

b) [−π/2, π/2]

c) (π, 3π)

d) (−π/2, π/2)

4. Un sistema masa-resorte oscila entre 0.20 y 0.32 metros. Si el tiempo de una oscilaciónes de 2 segundos determina una ecuación que describa su movimiento.

a) y = 0.006 cos(t) + 0.26

b) y = 0.26 cos(πt) + 0.06

c) y = 0.26 cos(t) + 0.06

d) y = 0.06 cos(πt) + 0.26

5. Relaciona la afirmación de la columna B con la funciones que aparecen en la columna A.

Columna A Columna B

a) f (x) = 2sen(2πx) i. Periodo = 2

b) f (x) = 4sen(2πx) + 3 ii. Periodo = 1

c) f (x) = 5tan(2πx) iii. Amplitud = 1

d) f (x) = 4arctan(2x) iv. Amplitud = 2

v. Imagen = [−2, 2]

vi. Imagen = [−1, 7]

vii. Imagen = [−2π, 2π]

viii. Asíntota x = 1/4.


Respuestas a los


1.

y = sen(2x)

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−4 −2 0 2 4x

y

y = 2sen(2x)

−3−2�1

0123

−4 −2 0 2 4

x

y

y = 2sen(2x) + 4

1234567

−4 −2 0 2 4

x

y

y = − sen(x/2)

−1

−1..5

00.5

1

1.5

−8 −6 −4 −20

2 4 6 8

x

yy = 3 sen(x/2) + 5

1

3

5

7

9

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

x

y

y = 3 sen((x + π)/2) + 5

0

2.5

5

7.5

10

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

x

y

y = 3 sen(3x)

−4

−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4

x

y

y = − 2 cos(3x + 1)

−4

−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4

x

yy = 4 cos(2x + 3) − 5

−10

−8−6−4−2

02

−4 −2 0 2 4

xy

2.

a) b) c)

a) Imag(f)= [-3,3] b) Imag(f)= [-2,2] c) Imag(f)= [-9,-1]

d) e) f)


3.

y = −3 cos(4x + π) + 1

−4

02

4

6

−20

2 4−4

x

y

y = −3 cos(−2x + 1) + 2

−2

0

2

4

6

−4 −2 0 2 4

x

y

y = 4 sen(5x − 2) − 4

−10

−8

−6

−4

−2

02

−4 −20

2 4

xy

−2

d) Imag(f)= [-2,4] e) Imag(f)= [-1,5] f) Imag(f)= [-8,0]

y = − 2 tan(4 x) + 2

−8

−4

0

4

8

−1 −0.5 0 0.5 1x

y

y = 4 tan(2x + 1) − 2

−6−4−2

0246

−2 −1 0 1 2

x

y

y = 2 sec(− 2x + 4) − 1

−6−4−2

0246

−2 −1 0 1 2 3

x

yy = 4 csc(5x − 5) + 3

−4

0

4

8

12

−1.5 −0.75 0 0.75 1.5

x

y

y = 3 csc(x + 2) − 3

−16−12−8−4

048

−4 −2 0 2 4x

y

y = − 3 cot(x + 2) � 1

−8

−4

0

4

8

−4 −2 0 2 4x

y

a) b) c)

d) e) f)


4. x(t) = 0.55 cos(πt/2) + 1.5

5. x(t) = 2 cos(4πt) + 10

6. P(t) = 350 cos(πt/6) + 1150

7.

y = sen(x) + cos(x)

−2

−1

0

1

2

−7 −3.5 0 3.5 7x

yy = 3sen(x) + 2cos(x)

−4

−2

0

2

4

−7 −3.50

3.5 7x

yy = sen(2x) + cos(x)

−2

0

1

2

−7 −3.50

3.5 7

x

y

y = 3 sen(2x) + 2 cos(x)

−5

−2.5

0

2.5

5

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

y = 3 sen(2x) + 2 sen(x)

−5

−2.5

0

2.5

5

−7 −3.5 03.5 7

x

y = 3 sen(2x) − 2 sen(x)

−5

−2.5

0

2.5

5

−7−3.5

03.5 7

x

y

−1

8.

a) b) c)

d) e) f)

y = (x/3) + sen(x)

−5

−2.5

0

2.5

5

0 3.5 7 10.5 14

x

yy = x + 2 + 4cos(x)

0−5

15

10

5

−7 3.53.53.5−3.5 7

x

y

y = 2x + 3sen(2x)

−5

0

5

15

10

0x

y

3.5 70

a) b) c)


9.

y = 4x − 2 + 5cos(2x)

−15

−10

0

5

1015

−7 −3.5 0 3.5 7

x

y

y = x + 2 + 3cos(2x) y = 3x + 2 + 3sen(x)

−4

0

4

8

−7 −3.50

3.5 7

x

y

−20−16−12

−8�4

48

121620

x

y

00

−7 −3.5 3.5 7

d) e) f)

y = 2 arccos(2x) + 3

0

2.5

5

7.5

10

−0.5 −0.25 0 0.25 0.5

x

y

y = 3arctan(4x) − 2

−6

−3

0

3

6

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

x

y

y = −2arcsen(2x) + 3

−2

0

2

4

6

8

−0.5 −0.25 0 0.25 0.5

x

y

y = −3arccos(x + 2) + 1

−8

−6

−4

−2

0

2

−4 −3 −2 −1 0

x

y y = arccos(2x + 5) + 5

4

6

8

10

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5x

yy = − arctan(x − 2) + 1

−1

0

1

2

3

−10 −5 0 5 10

x

y

a) b) c)

d) e) f)

10.a) 24.88° = 0.434244rad

b) θ = arctan(2.5/x) - arctan(0.5/x)


c)

x q

0.25 0.364

0.50 0.588

0.75 0.691

1.00 0.727

1.25 0.727

1.50 0.709

1.75 0.682

2.00 0.651

2.25 0.619

2.50 0.588

y = arctan(2.5/x)-arctan(0.5/x)

0.000

0.250

0.500

0.750

1.000

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

x

y

d) Entre 1.0 y 1.25 metros, es donde se ve mejor.


1. a

2. c

3. c

4. d

5. [a) i., ii., v.], [b) vii.], [c) viii.], [d) ii., iv., vi.]

A

Álgebra, 166, 358-361definición de, 30, 31función del, 30principios de, 31

Ángulo 293, 294agudo 295, 336central 296, 302complementario, 295coterminal, 294cuadrangular, 335cuadrantal, 294, 335llano, 295negativo, 294obtuso, 295positivo, 294suplementario, 295

Ángulos especiales, 333manejo de, 334, 339

Arco circular, longitud de, 302,308-309

Área de sectores circulares, 303Asíntota, 457, 459

de hipérbola, 458Axioma de orden, 253

B

Binomio(s)al cuadrado, 32conjugado, 32

cubo de un, 32producto de dos, 32

C

Cardinalidad de conjunto, 14

y probabilidad de evento, 20Cateto

adyacente, 320opuesto, 320

Centro, 433Circunferencia(s), 405

complejas, 412degeneradas, 412ecuaciones de la, 406

Círculo, 405Conjugado de un número complejo, 134Conjunto(s)

cardinalidad de un, 14complemento, 4, 5de números complejos 131definición de, 2diferencia de, 4, 5finito, 14

definición de, 14propiedades del, 14

igualdad de, 4imagen de, 476inclusión de, 4intersección de, 4, 5lenguaje de, 3-12

Índice

648 Índice

no pertenencia en, 3pertenencia en, 3solución de, 256-258, 267teoría de, 1-2, 4, 13

demografía y, 13unión de, 4-5universal, 3vacío, 4

Convenio de notación, 212Conversión de grados a radianes, 298Cosecante, 319, 342, 623Coseno 319, 342, 623Cotangente, 319, 342, 623Coulomb, ley de, 83Cramer, regla de, 172, 180, 184-185Crecimiento, 513

análisis de, 541Cuadrado de un trinomio, 32Cuadrados, principio de complementa-

ción de, 203Cubos

diferencia de, 32suma de, 32

Curva plana 352

D

Decrecimiento, 513análisis de, 541

Desigualdades, 251 ejemplos sobre las definiciones de,

254notación de, 256, 257, 258problemas de, 267solución de, 260y valor absoluto, 281

Desplazamientohorizontal, 480vertical, 479

Diagramas de Venn, 5, 19Diferencia

de cubos, 32de potencias enésimas, 32

Directriz, 420, 440Distancia, 281

focal 434, 454División, 60

entre un monomio, 61

de fracciones algebraicas, 75multiplicación y, 75-82

de un polimonio, 60guía para la, 61

reglas de la, 60sintética, 64

Dominio 476

E

Ecuación, 373lineal, 374

forma punto pendiente de la, 375trigonométrica, 351

Ecuaciones, 147condicionales, 351con radicales, 212cuadráticas

definición de, 202raíces de una, 204

de la circunferencia, 406de primer grado

con dos incógnitas, 162de segundo grado, 203-204equivalentes, 174lineales, 148, 158

con varias variables, 162en forma general, 177representación gráfica de, 163sistema de, 159-162, 175-179

método, 166algebraico de, 166aritmético de, 166de eliminación, 176de determinantes, 170, 174-176,

182de igualación, 167-168, 174, 176de sustitución, 168gráfico, 166numérico y gráfico, 174-176por eliminación de, 169, 174, 180por suma o resta de, 169, 180

polinomiales, 224, 226resolución y factorización de, 227

tipo de solución de, 174valor absoluto en, 281

Eje, 420horizontal, 336

649Índice

imaginario, 454mayor, 433menor, 433principal, 433real, 454secundario, 433transverso, 454

Elegibilidad, ley de, 3-4Elipse, 432, 439

definición de, 440Espacio muestral, 20Evento, 20

probabilidad del, 20propiedades del, 20

Excentricidad, 440Expansiones y contracciones

horizontales, 480verticales, 480

Exponentesenteros, 98-111fraccionarios y radicales, 112-128leyes de, 32, 102, 358

Expresiones algebraicas, 29- 251división de, 59-60multiplicación de, 75-82trigonométricas, 352

F

Factoresdel coeficiente del término de mayor

grado, 234, 238de polinomio, 232

del término independiente, 233, 238de su término independiente, 234, 238

Factorización, 42, 359-361de productos notables, 47de trinomios cuadrados

de la forma ax2 + bx + c, 49método de, 49perfectos, 45

por agrupamiento, 43Foco, 420, 433Focos, 454Fracciones algebraicas

división de, 358-361dominio de, 73multiplicación y división de, 59, 60-82

simplificación de, 358suma y resta de, 83-97

Función, 477cuadrática, 525

análisis de la gráfica de una, 526modelación de problema de una, 530

definición de gráfica de una, 478efectos geométricos en la gráfica de

una, 479formas de representación de una

algebraica, 477numérica, 477verbal, 477visual, 478

lineal 512, 513modelación de, 514

valor absoluto de una, 556Funciones, 473

conceptos básicos de, 474evaluaciones de, 477gráficas de, 541método gráfico de, 579-580polinomiales, 226, 573, 578

criterio para crecimiento y decreci-miento de, 586

definición de, 586máximos y mínimos de, 585raíz o solución de, 226

potenciales, 574que forman parte de una cónica, 540racionales, 601-602seccionadas, graficación de, 556sinusoidales, 616trigonométricas, 316, 319, 613-614,

623de ángulos especiales, 333de triángulos rectangulares, 336,

355definición de, 317inversas, 629para cualquier ángulo, 355

G

Geometría analítica, 371Grados, 295

conversión de radianes a, 298relación de radianes a, 298

650 Índice

Gráfica, 352de sistemas de desigualdad lineal, 388

Gráficas de funciones, 575, 624Gnomon, 99

H

Hipérbola(s), 453degeneradas, 457-458forma general de la ecuación de la,

457horizontal, 457, 459vertical, 459y gráficas, 457

Hipotenusa, 320

I

Identidad, 351cociente de, 358-361fundamental, 352recíproca, 358

Identidades, 351demostración de, 357de paridad, 341fundamentales o básicas, 351, 354para el doble de un ángulo, 356para la mitad de un ángulo, 356pitagóricas, 355, 358-361recíprocas, 336, 359-361

Impedancia, 129de los elementos de un circuito, 130

Incógnitas, 162 Intersecciones, 373Intervalo, 255

cerrado, 256infinito, 256notación de, 256semiabierto, 256semicerrado, 256

Irreducibilidad, 206, 207criterios de, 207

para expresiones cuadráticas, 207

L

Lado, 293inicial, 294

recto, 420, 433terminal, 294

Lenguaje de conjuntos, 2-12Ley de Coulomb, 83Ley de elegibilidad, 3-4Leyes de exponentes, 32, 102, 358Línea(s)

paralelas, 383perpendiculares, 383recta, 163, 373

Longitud de un arco circular, 302,308-309

M

Magnitud de un número complejo, 134Manejo de ángulos especiales, 339Matrices, 171-173, 180-182, 185Máximo común divisor, 43-44Mayor que, menor que e igual que,

definición de las relaciones de, 253,254y notación de intervalos, 253

Método(s)de solución de ecuaciones, 166

algebraico, 166aritmético, 166de determinantes, 170, 176, 180,

185de eliminación, 176de igualación, 167, 176gráfico, 166numérico y gráfico, 176por reducción o eliminación, 169,

180por suma o resta, 169, 180por sustitución, 168

gráfico de multiplicación de funciones,580

gráfico de suma de funciones, 579numérico, 579

Mínimo común múltiplo, 84de una resta, 84de una suma, 84

Modelación, 499-500de funciones lineales, 514de problemas, 552, 559

Monomio, 43-44

651Índice

Multiplicación y división de expresionesalgebraicas, 75-82

Múltiplo común, 84

N

Notaciónde desigualdades, 256-258, 267de intervalos, 253, 256-258, 267

Número(s)complejo, 129

magnitud de, 134operaciones con, 132

cuadrado, 99, 100real, 278

conjugado de un, 134conjunto de, 131definición de, 131magnitud de, 134

P

Parábola, 419-420compleja, 422degenerada, 422forma general de la, 422horizontal, 421imaginaria, 422real, 422

Parámetro(s), 352efecto de los, 575-576uso de la trigonometría para eliminar

un, 352Pendiente, 373

de la recta, 375Polinomio, 44, 84, 207, 224

de segundo grado, 232Principio de complementación de cua-

drados, 203Probabilidad

del evento, 20y cardinalidad, 20

Problemas de conteo, 1, 13-27Productos notables

definición de, 31tabla de, 32

Propiedadaditiva, 259

de la tricotomía, 259del cuadrado, 259del recíproco, 259demostración de una, 260multiplicativa, 259transitiva, 259

Propiedades, 259del conjunto, 14del evento, 20del valor absoluto, 283

Punto crítico, 264

R

Radián, 297Radianes, 295-297

conversión de grados a, 298relaciones entre grados y, 298

Radicales, 113-128Radios vectores, 454Raíz cuadrada positiva, 212Raíces de la función, 230

polinomial, 233Recta

de los números reales, 255-258distancia de un punto a una, 392forma general de la, 375gráfica de, 256numérica, 255-258pendiente de la, 375

Reflexiones, 481Regla de Cramer, 172, 180, 184-185Regla de los signos, 31Relaciones

entre grados y radianes, 298<, >, <, >, 253

Restas, 83, 86

S

Secante, 319, 342, 623Sectores circulares, 302, 303Segundos, 296Semicírculo, 543Semiparábola, 543Seno, 319, 342Signos, regla de los, 31Símbolo, 3

652 Índice

Simplificaciónde expresiones racionales, 74de fracciones, 358

Sistema de ecuacionesdependientes, 174-179inconsistentes, 174-179independientes, 177-179lineales, 159-162

con tres incógnitas, 177-178método de solución de, 179

Suma(s), 83, 86de cubos, 32y restas de fracciones algebraicas 83,

86

T

Tangente, 319, 342, 623Teorema, 383

de la raíz racional, 231de las n raíces, 231de Pitágoras, 319del factor, 230-232

Teoría de conjuntos, 1-4, 13Triángulo

de referencia, 318

equilátero, 337rectángulo, 337-338, 614

funciones trigonométricas del,336

Trigonometría, 291uso de la, 352

para eliminar un parámetro,352

Trinomios cuadrados perfectos 45

V

Valorabsoluto, 278-279

aplicación de, 280en ecuaciones y desigualdades, 281,

285propiedades del, 283

crítico, 264-266de prueba, 265, 267extremo 266

Variabledependiente, 476-477independiente, 476-477

Vértice, 293-294, 420, 454

prado, c.d. (et al.) - precálculo. enfoque de resolución de problemas (pearson)

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