10 leyes de senos y cosenos
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Unidad IV. Construye e interpreta modelos en los que se identifica las relaciones trigonométricas en triángulos
oblicuángulos, cuantificando las magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de las leyes de senos y
cosenos, en la resolución de problemas.
Leyes de senos y cosenos
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANAS
Triángulos OblicuángulosTriangulo que NO contiene un ángulo de 90°
Triángulos OblicuángulosTriángulos Rectángulos
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
Ley de SenosUn globo aerostático es observado por dos personas, midiendo los ángulos de los observadores y conociendo que la distancia entre ellos es de 38 metros calcula la distancia de la persona A al globo.
53° 49°
A B
C
38mc
ab?? 78°
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de SenosPara evitar la caída de la estatua de la libertad se tendieron dos cables para sostenerla uno de 30 pies y otro de 18 pies, calcula el ángulo del cable de 18 pies con respecto al suelo.
18 pies
30 pies
A B
C
c
ab
36°
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
??
Ley de SenosLa famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura. Si nos alejamos 123 pies de la base de la torre, encontramos que el ángulo que completa a el ángulo de elevación en la parte superior de la torre es de 60º Calcula el ángulo de inclinación de la torre con respecto al suelo.
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
??
Ley de CosenosLa distancia de un granero a un castillo es de 20 kilómetros y a un barco es de 12 kilómetros desde el mismo. Calcula la distancia entre el castillo y el barco.
A30°
B
C20 kmc
a
b
??
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
12 km
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
Ley de CosenosEncuentra el valor de los ángulos de el siguiente triangulo.
A
B
C
38c
a
b
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
26
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
44
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
Ley de CosenosUn barco navega 15 km con dirección Norte y después navega 28 km girando 70° al Este. ¿Que distancia ha recorrido desde el punto de partida al punto final?
70°
15
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
28
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
EjerciciosLey de Senos y Ley de Cosenos
Ley de CosenosDesde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
Ley de CosenosTres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
Ley de CosenosEn un parque se requiere construir, además, una plataforma triangular para presentación de grupos musicales cuyos lados midan 34, 40 y 28 m. Para trazarlo los albañiles necesitan conocer los ángulos interiores, ¿cuáles son?
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
34 40
28
Ley de CosenosUn avión voló sobre un camino recto que une a dos ciudades pequeñas, los ángulos de depresión de ambas fueron de 10.2° y 8.7° y la separación entre ambas es de 8.45 Km.
Determine las distancias desde el avión a cada una de las ciudades.
𝑆𝑒𝑛 𝐴𝑎
=𝑆𝑒𝑛 𝐵𝑏
=𝑆𝑒𝑛𝐶𝑐
Ley de Senos
Ley de Cosenos
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝐶𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
8.7°8.4510.2°