ley de senos y cosenos

1

INTRODUCCIÓN

LEY DE SENOS Y COSENOS

LEY DE SENOS LEY DE COSENOS

PROBLEMA 1b

PROBLEMA 1a

PROBLEMA 2a

PROBLEMA 2b PROBLEMA 4b

PROBLEMA 4a

PROBLEMA 3b

PROBLEMA 3a

RESUME L. SENOS RESUMEN L. COSENOS

Estándar 19

TERMINAR

PANTALLA

COMPLETA

PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

http://www.mrperezonlinemathtutor.com/

2

Estándar 19:

Los estudiantes usan funciones

trigonometricas para resolver un

triángulo rectángulo con un lado

desconocido dados un ángulo y la

longitud de un lado.



3

55°

64° 61°110°

21°

49°

Triángulo

Rectángulo

Triángulo

Acutángulo

Triángulo

Obtusángulo

Clasificación de triángulos por sus ángulos:



4

Estándar 19

o

u

i

C

B

A

Tan C=i

o

Tan C=Lado adyacente

Lado opuesto

TANGENTE

Sen C=i

u

Sen C=Hipotenusa

Lado opuesto

SENO

Cos C=o

u

Cos C=Hipotenusa

COSENOLado adyacente


Para triángulos

rectangulos

tenemos…


5

? ?

Estándar 19


¿Cómo resolver este tipo?

… con la Ley De Senos Y Ley De Cosenos.


6

=

C

B

Ab

ac

a b

Sen A Sen B

LEY DE SENOSEstándar 19



7

=

C

B

Ab

ac

a c

Sen A Sen C




8

=

C

B

Ab

ac

c b

Sen C Sen B




9

Sen A Sen B

a b=

C

B

Ab

ac

LEY DE SENOS

Sen C

c=

Estándar 19



10

m A = 67°, a=14, b=9

C

B

Ab=9

a=14c

67°

RESOLVER: Sen A

Sen 67°

Sen B

Sen B

a

14

b

9

=

= (9)(9)

Sen 67°

Sen B14

=(9)

.9205

Sen B14

=(9)

Sen B= .5917

m B = Sen( )-1

.5917

m B = 36.3°

36.3°

m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°

76.7°

Estándar 19



11

C

B

Ab=9

a=14c

67°

36.3°

76.7°

Sen 67° Sen76.7°

14 c=

Sen 67°c = Sen76.7°14

Sen 67° Sen76.7°14c=

Sen 67° Sen 67°

(.9731)

(.9205)

14c =

c = 14.79

14.79=

m A = 67°, a=14, b=9RESOLVER: Sen A

Sen 67°

Sen B

Sen B

14

b

9

=

= (9)(9)

Sen 67°

Sen B14

=(9)

.9205

Sen B14

=(9)

Sen B= .5918

m B = Sen( )-1

.5918

m B = 36.3°

m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°

a

Estándar 19



12

m A = 58°, a=11, b=8

C

B

Ab=8

a=11c

58°

RESOLVER: Sen A

Sen 58°

Sen B

Sen B

a

11

b

8

=

= (8)(8)

Sen 58°

Sen B11

=(8)

.8480

Sen B11

=(8)

Sen B= .6167

m B = Sen( )-1

.6167

m B = 38°

38°

m C = 180°-58°-38°= 84°

84°

Estándar 19



13

Sen A Sen B

a b=

C

B

Ab=8

a=11c

m A = 58°, a=11, b=8

58°

RESOLVER:

Sen 58° Sen B

11 8=

Sen 58°

Sen B11

=

(8)(8)

(8)

.8480

Sen B11

=(8)

Sen B= .6167

m B = Sen( )-1

.6167

m B = 38°

38°

m C = 180°-58°-38°= 84°

84°

Sen 58° Sen 84°

11 c=

Sen 58°c = Sen 84°11

Sen 58° Sen 84°11c=

Sen 58° Sen 58°

(.9945)

(.8480)

11c =

c= 12.9

12.9=

Estándar 19



14

79°

c

C

B

Ab

a=1563°

38°

Sen 79°c = Sen 38°15

Sen 79° Sen 38°15c=

Sen 79° Sen 79°

(.6157)

(.9816)c

15=

c = 9.40

9.40 =

a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:

Sen 79°

Sen A

Sen 38°

Sen C

c

c

15

a

m A = 180°-63°-38°= 79°

=

=

Estándar 19



15

C

B

Ab

a=15c

79°

63°

38°

9.4 =

a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:

=Sen 79°b Sen 63°15

Sen 79° Sen 63°15b=

Sen 79° Sen 79°

(.8910)

(.9816)

15b= b = 13.61

Sen 79°

Sen A

Sen 63°

Sen B

b

b

=

=

15

a

=13.61Sen 79°c = Sen 38°15

Sen 79° Sen 38°15c=

Sen 79° Sen 79°

(.6157)

(.9816)c

15=

c = 9.4

Sen 79°

Sen A

Sen 38°

Sen C

c

c

15

a

m A = 180°-63°-38°= 79°

=

=

Estándar 19



16

75°

c

C

B

Ab

a=1765°

40°

Sen 75°c = Sen 40°17

Sen 75° Sen 40°17c=

Sen 75° Sen 75°

(.6428)

(.9659)c

17=

c = 11.31

11.31 =

a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:

Sen 75°

Sen A

Sen 40°

Sen C

c

c

17

a

m A = 180°-65°-40°= 75°

=

=

Estándar 19



17

C

B

Ab

a=17c

75°

65°

40° Sen 75° Sen 40°

17 c=

Sen 75°c = Sen 40°17

Sen 75° Sen 40°17c=

Sen 75° Sen 75°

(.6428)

(.9659)

17c =

c = 11.31

11.31 =

a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:

Sen A Sen C

c=

a

m A = 180°-65°-40°= 75°

=Sen 75°b Sen 65°17

Sen 75° Sen 65°17b=

Sen 75° Sen 75°

(.9063)

(.9659)

17b= b = 15.95

Sen 75°

Sen A

Sen 65°

Sen B

b

b

=

=

17

a

=15.95

Estándar 19



18

LEY DE SENOS

1. Dos lados conocidos y un ángulo

opuesto a alguno de ellos.

2. Dos ángulos conocidos y un lado

cualquiera

Estándar 19



CASO AMBIGUO:

LA LEY DE SENOS para resolución de triángulos, tiene un caso ambiguo;

donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones

posibles para el triángulo).

Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan

cumplir para tener el caso ambiguo:

a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus

lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el

ángulo es opuesto a uno de los dos lados.

b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°.

c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b.

d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo

rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A.



Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:



A B

C

b

a

Solución 1 Solución 2

A B’

b a

C’




Aplicando Ley De Senos:

y

BCB’ es un triángulo isósceles con

bases congruentes

A B

C

b

a

A B’

b a

C’

Después conA y cada B y B’ encontrar C y C’ con la Suma De Los

Ángulos Interiores De Un Triángulo. Finalizar aplicando Ley De Senos para

encontrar AB y AB’

Si m B + m CBB’ = 180°

entonces m B + m B’ = 180°

y por ello


SinB

b

SinA

a

SinB bSinA

a

SenB

b

SenA

a

SenB bSenA

amB 180

o Sen

1 b SenA

a

mB Sen1 b SenA

a

mB 180o Sen

1 b SenA

a

mB Sen1 b SenA

a

‘

El siguiente es un ejemplo de la Ley De Senos con dos soluciones.

Los elementos de la figura en rojo son los datos de inicio.

Si a = b Sen A, entonces existe una solución. Un triángulo rectángulo.

Si a < b Sen A, entonces no hay solución.

Con A agudo: 0° < mA < 90°

A B

C

ba = b Sen A

A B

C

b

a < b Sen A

Si a > b, entonces hay una solución.

A B

C

ba

Con A obtuso o recto:

Si a = b o a < b, entonces no hay solución.

Si a > b, entonces existe una solución.

AB

C

b

a

A B

C

b

a



28

C

B

Ab

ac

LEY DE COSENOS

Cos Aa =2

+ - 2 bb2

cc2

Estándar 19



29

C

B

Ab

ac

LEY DE COSENOS

CosBb =2

a+ - 2a2

cc2

Estándar 19



30

C

B

Ab

ac

LEY DE COSENOS

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2

Estándar 19



31

bc+ - 2 Cos Aa =2

b2

c2

a c+ - 2 CosBb =2

a2

c2

a b+ - 2 Cos Cc =2

a2

b2

C

B

Ab

ac

LEY DE COSENOS Estándar 19



32

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2

a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER:

C

B

Ab=42

a=29c

65°

(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2

292

422

c =2

(841) + (1764) - (2436) (.423)

c =2

(2605) - (1030.43)

c =2

1574.57

c = 39.7

39.7=

c = 39.7 c = -39.7

Estándar 19



33

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2

C

B

Ab=42

a=29c

65°

39.7=

Sen C

Sen 65°

c

39.7

a

29

=

= (29)(29)

Sen 65°

Sen A39.7

=(29)

.9063

Sen A39.7

=(29)

Sen A= .662

m A = Sen( )-1

.662

m A = 41.5°

m B = 180°-65°- 41.5°= 73.5°

Sen A

Sen A

73.5°

41.5°

(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2

292

422

c =2

(841) + (1764) - (2436) (.423)

c =2

(2605) - (1030.43)

c =2

1574.57

c = 39.7 c = 39.7 c = -39.7

a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: Estándar 19



34

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2


C

B

Ab=40

a=30c

70°

(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2

302

402

c =2

(900) + (1600) - (2400) (.342)

c =2

(2500) - (820.85)

c =2

1679.15

c = 41

41=

c = 41 c = -41

Estándar 19



35

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2


(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2

302

402

c =2

(900) + (1600) - (2400) (.342)

c =2

(2500) - (820.85)

c =2

1679.15

c = 41

C

B

Ab=40

a=30c

70°

41=

c = c =41 -41

Sen C

Sen 70°

c

41

a

30

=

= (30)(30)

Sen 70°

Sen A41

=(30)

.94

Sen A41

=(30)

Sen A= .688

m A = Sen( )-1

.688

m A = 43.5°

m B = 180°-70°- 43.5°= 66.5°

Sen A

Sen A

66.5°

43.5°

Estándar 19



36

a=23, b=18, c = 35RESOLVER:

+ - 235 =2

(23)232

(18)182

C

B

Ab=18

a=23c35=

+ - 2c =2

aa2

bb2

Cos C

Cos C

1225 = 853 - Cos C(828)

-853 -853

372 = Cos C-828

-828 -828

Cos C= -.4493

m C = Cos( )-1

-.4493

m C = 116.7°

116.7°

C1225 = (529) + (324) - (828)Cos

Estándar 19


Siempre empezar

buscando el

ángulo opuesto al

lado más largo.


37

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2

C

B

Ab=18

a=23

c35=

116.7°

=

= (18)(18)

Sen 116.7°

Sen B35

=(18)

.8934

Sen B35

=(18)

Sen B= .4595

m B = Sen( )-1

.4595

m B = 27.4°

m A = 180°-116.7°-27.4°= 35.9°

Sen C

Sen 116.7°

Sen B

Sen B

b

1835

35

27.4°

35.9°


35 =2

(23)232

(18)182

Cos C+ - 2

1225 = 853 - Cos C(828)

-853 -853

372 = Cos C-828

-828 -828

Cos C= -.4493

m C = Cos( )-1

-.4493

m C = 116.7°

C1225 = (529) + (324) - (828)Cos

Estándar 19



38


+ - 230 =2

(21)212

(16)162

C

B

Ab=16

a=21c30=

+ - 2c =2

aa2

bb2

Cos C

Cos C

900 = 697 - Cos C(672)

-697 -697

203 = Cos C-672

-672 -672

Cos C= -.3020

m C = Cos( )-1

-.3020

m C = 107.6°

107.6°

C900 = (441) + (256) - (672)Cos

Estándar 19


Siempre empezar

buscando el

ángulo opuesto al

lado más largo.


39

Cos Cc =2

a+ - 2a2

bb2

C

B

Ab=16

a=21

(21) (16)+ - 2

Cos C

30 =2

212

162

900 = (441) + (256) - (672)

c30=

Cos C

900 = 697 - Cos C(672)

-697 -697

203 = Cos C-672

-672 -672

Cos C= -.3020

m C = Cos( )-1

-.3020

m C = 107.6°

107.6°

=

= (16)(16)

Sen 107.6°

Sen B30

=(16)

.9532

Sen B30

=(16)

Sen B= .5084

m B = Sen( )-1

.5084

m B = 30.6°

m A = 180°-107.6°-30.6°= 41.8°

Sen C

Sen 107.6°

Sen B

Sen B

b

1630

30

30.6°

41.8°

Estándar 19




40

LEY DE COSENOS

1. DOS LADOS CONOCIDOS Y EL

ÁNGULO ENTRE ELLOS

2. TRES LADOS CONOCIDOS. Siempre

tomar el lado más largo con el primer

ángulo a encontrar para evitar el caso

ambiguo descrito en la Ley De Senos.

Estándar 19



ley de senos y cosenos

Education