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1Sist. Electrónicos Digitales J.F. Martín

Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole

• Álgebra de BooleDefiniciones y axiomasPropiedades

• Variables y funciones booleanasDefinicionesPropiedadesFormas de representaciónFunciones booleanas y circuitos combiancionales

• Puertas lógicasPuertas lógicas fundamentalesPuertas lógicas derivadas



Álgebra de Boole



• Definición de Álgebra de Boole

Un conjunto es un álgebra de Boole se verifica:

a) Es un conjunto finito B con al menos dos elementos, N (elemento nulo), U (elemento universal), y tres operaciones: dos binarias y una unaria

b) Cumple los 6 axiomas de HUNTINGTON

( B, *, +, )N BU B

∈∈



• Axiomas de HUNTINGTON

1. Las operaciones *, + ,⎯ , deben ser cerradas

2. Operaciones con N,U

x * N = N x + N = xx * U = x x + U = U

3. Conmutatividadx * y = y * xx + y = y + x

x*y Bx,y B x y B

x B

∈⎧⎪∀ ∈ + ∈⎨⎪ ∈⎩



4. Distributiva.x * (y + z) = (x * y) + (x * z )x + (y * z) = (x + y) * (x + z)

5. Complementatividad.

6. Hay por lo menos dos elementos distintos en B.

x * x Nx B, x B /

x x U=⎧

∀ ∈ ∃ ∈ ⎨ + =⎩



• Propiedades del Álgebra de Boole

1. Propiedad de Idempotencia

x * x = xx + x = x

2. Propiedad Asociativa

x * ( y * z ) = ( x * y ) * z x + ( y + z ) = ( x + y ) + z



3. Propiedad de Absorción

x + ( x * y ) = xx * ( x + y ) = x

4. Ley del consenso

5. Ley de involución

x + ( x * y ) = x + yx * ( x + y ) = x * y

(x) x=



Se puede demostrar que B={0,1}, N=0, U=1, junto con las operaciones * , + ,⎯ , definidas por las siguientes tablas de verdad, forman un álgebra de boole.

OR AND NOT

11110010+

10100010*

0110

⎯



Variables y funciones booleanas



• Definiciones

Definimos constante sobre B, a todo elemento de B

Definimos variable de B, todo símbolo x que representa a cualquier elemento de B

Definimos literal de B, a toda constante ó variable

Definimos función booleana a la aplicación:

n

n n1 2 n

f : B Bdonde: B = B B .... B / x = (x ,x , .... ,x ) B

→

× × × ∈



Definimos función constante a la función fa :

Definimos función proyección fp :

Definimos función degenerada a la función fd:

Definimos función parcialmente especificada a la aplicación:

n na 1 2 n a 1 2 nf : B B / (x ,x , .... ,x ) B , f (x ,x , .... ,x ) = a B→ ∀ ∈ ∈

n np 1 2 n p 1 2 n i

i

f : B B / (x ,x , .... ,x ) B , f (x ,x , .... ,x ) = x

donde x es una variable de B

→ ∀ ∈

n nd d df : B B / x,z B , f (x) = f (z)→ ∀ ∈

}{nd 3 3f : B B donde B = 0,1,#→



Definimos término producto a todo literal o producto de literales, en los que cada variable aparece como máximo una vez.

Definimos mintérmino o producto canónico al término producto de una función, que está formado por las n variables de dicha función, apareciendo éstas una sola vez de forma complementada o sin complementar.

Definimos forma normal disyuntiva de una función, a su representación algebraica, que consta de un sólo término producto o de la suma de varios de ellos.

Definimos término suma a todo literal o suma lógica de literales, en las que cada variable aparece como máximo una vez.

Definimos maxtérmino o suma canónica al término suma de una función, que estáformado por las n variables de dicha función, apareciendo éstas una sola vez de forma complementada o sin complementar.

Definimos forma normal conjuntiva de una función, a su representación algebraica, que consta de un sólo término suma o del producto de varios de ellos.


Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de BoolePara n variables podemos formar 2n mintérminos y 2n maxtérminos.

Notación para mintérminos y maxtérminos:

Definimos vector asociado a un mintérmino mi de n variables, al obtenido colocando 1 en las posiciones correspondientes a las variables NO complementadas, y colocando 0 en las posiciones correspondientes a las variables complementadas.Ejp:

Definimos vector asociado a un maxtérmino Mi de n variables, al obtenido colocando 0 en las posiciones correspondientes a las variables NO complementadas, y colocando 1 en las posiciones correspondientes a las variables complementadas.Ejp:

1 2 n-1 n 0 1 2 n-1 n 0

1 2 n-1 n 1 1 2 n-1 n 1

1 2 n-1 n 2 1 2 n-1 n 2

1 2 n-1

x * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x *

= + + + + == + + + + == + + + + =

n n

n 3 1 2 n-1 n 3

1 2 n-1 n 1 2 n-1 n2 1 2 1

x m x x .... x x M............................ ............................

x * x * .... * x * x m x x .... x x M− −

= + + + + =

= + + + + =

5 1 2 3 4m x * x * x * x = → 0101

10 1 2 3 4M x x x x 10= + + + → 10



• Propiedades

Dadas las funciones booleanas, f, g, las siguientes funciones f*g, f+g, , también son booleanas.

Teorema de Dualidad.

Si a una identidad o teorema de conmutación se sustituyen {+,*,0,1} por {*,+,1,0} respectivamente, se obtiene otra identidad o teorema dual al original.

Teorema de DeMORGAN.

n1 2 n

n1 2 n

n1 2 n

f*g(x) = f(x) * g(x) x = (x ,x , .... ,x ) Bf+g(x) = f(x) + g(x) x = (x ,x , .... ,x ) B

g(x) = g(x) x = (x ,x , .... ,x ) B

∀ ∈∀ ∈

∀ ∈

g

1 2 n 1 2 n

1 2 n 1 2 n

x x .... x x * x * .... * x

x * x * .... * x x x .... x

+ + + =

= + + +



Teorema de SHANON (Teorema generalizado de DeMorgan).

Teorema de los mintérminos para n variables.

Teorema de los maxtérminos para n variables.

1 2 n 1 2 nf(x ,x , .... , x ,*, ,0,1) f(x ,x , .... , x , ,*,1,0)+ = +

n2 1

i 1 2 ni 0

m (x ,x , .... ,x ) 1−

=

=∑

n2 1

i 1 2 ni 0

M (x ,x , .... ,x ) 0−

=

=∏



Teorema del desarrollo de Shanon, para mintérminos, para una función f(x) = f(x1,x2, .... ,xn), de n variables.

Teorema del desarrollo de Shanon, para maxtérminos, para una función f(x) = f(x1,x2, .... ,xn), de n variables.

[ ] [ ][ ]

[ ]

1 2 n 1 2 n

1 2 n

0 1

f(x) (x * x * ....* x ) * f(0,0, ... ,0) (x * x * ....* x ) * f(0,0, ... ,1) ............................................ (x * x * ....* x ) * f(1,1, ... ,1)

m * f(0,0, ... ,0) m * f(0,0,

= + ++ + =

= + [ ] n2 -1... ,1) ......... m * f(1,1, ... ,1)⎡ ⎤+ + ⎣ ⎦

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

1 2 n 1 2 n

1 2 n

0 1 2

f(x) (x x .... x ) f(0,0, ... ,0) * (x x .... x ) f(0,0, ... ,1) ** ............................................ * (x x .... x ) f(1,1, ... ,1)

M f(0,0, ... ,0) * M f(0,0, ... ,1) * ......... * M

= + + + + + + + ++ + + + =

= + + n -1f(1,1, ... ,1)⎡ ⎤+⎣ ⎦



Como consecuencia del teorema del desarrollo de Shanon para mintérminos, tenemos que toda función f(x), admite una representación, que denominaremos forma canónica disyuntiva, formada por la suma de los mintérminos cuyos vectores asociados VK verifican que f(VK)=1.

Como consecuencia del teorema del desarrollo de Shanon para maxtérminos, tenemos que toda función f(x), admite una representación, que denominaremos forma canónica conjuntiva, formada por el producto de los maxtérminos cuyos vectores asociados VK verifican que f(VK)=0.

k kf(x) m donde f(V ) 1= =∑

k kf(x) M donde f(V ) 0= =∏



Teorema para obtener la función complementada de una dada en forma canónica disyuntiva.

Dada una función g(x), expresada en forma canónica disyuntiva, su función complementada , estará dada por la suma de los mintérminos que no aparecen en g(x).

Teorema para obtener la función complementada de una dada en forma canónica conjuntiva.

Dada una función g(x), expresada en forma canónica conjuntiva, su función complementada , estará dada por el producto de los maxtérminos, que no aparecen en g(x).

g(x)

g(x)



• Formas de representación

a) Esquemas de Circuitos

Un circuito electrónico, descrito a nivel de dispositivos, puede ser considerado como una forma de representar a la función booleana que implementa

b) Diagrama de puertas lógicas

Consiste en representar una función, mediante su implementación utilizando puertas lógicas

c) Expresión algebraica

Permite una representación más compacta, pero la información se presenta más oculta



d) Métodos de enumeraciónd.1)Tabla de verdad. Listado que de forma explícita representa el

resultado de la función, para cada una y todas las combinaciones de las entradas

d.2) Vector de valores. Vector formado por el resultado de la función, en el orden creciente de las combinaciones en las variables de entrada

d.3) Mintérminos. La función en forma canónica disyuntiva

d.4) Maxtérminos. La función en forma canónica conjuntiva

e) Mapas de KarnaughEs una representación gráfica de la tabla de verdad mediante una matriz bidimensional, donde cada posible combinación de los valores binarios de las variables de entrada, está representada por una celda ó casilla. Las entradas están ordenadas en código Gray, de forma que dos casillas adyacentes (horizontal ó verticalmente), sólo tienen distinto valor en una de las entradas



• Mapas de Karnaugh de 3 variables y de 4 variables

57311

46200

10110100x1,x2x3

10146210

11157311

9135101

8124000

10110100x1,x2x3,x4



• Mapa de Karnaugh de 5 variables

x1= 0

10146210

11157311

9135101

8124000

10110100x2,x3x4,x5

x1= 1

2630221810

2731231911

2529211701

2428201600

10110100x2,x3x4,x5



• Mapa de Karnaugh de 6 variables

x1x2= 10

4246383410

4347393511

4145373301

4044363200

10110100x3,x4x5,x6

x1x2= 11

5862545010

5963555111

5761534901

5660524800

10110100x3,x4x5,x6

x1x2= 00

10146210

11157311

9135101

8124000

10110100x3,x4x5,x6

x1x2= 01

2630221810

2731231911

2529211701

2428201600

10110100x3,x4x5,x6


• Funciones booleanas y circuitos combinacionales

Para implementar un circuito digital combinacional de m entradas y n salidas, seránecesario implementar n funciones booleanas cada una de ellas dependiente de mvariables.


1 1 2 m

2 1 2 m

n 1 2 m

f (x , x , ..... , x )f (x , x , ..... , x )

.................f (x , x , ..... , x )

x1

x2

xm

z1

z2

zn



Puertas lógicas



• Puertas lógicas fundamentales

z = x y

0110

NOT

10100010AND

11110010OR

z = x

z = x + y

NOT

AND

OR

x

x

y

x

y

z

z

z



z = x y = x y + x y⊕

z = x y

z = x + y

01111010NAND

00101010NOR

10101010XNOR

01110010XOR

z = x y⊕

• Puertas lógicas derivadasXOR

NAND

NOR

XNOR

x

y

x

y

x

y

x

y

z

z

z

z



Ejemplo de función booleana



Diagrama de circuitos

vz

vx3

vx4vx1

vx2



Diagrama de puertas lógicas



Expresión algebraica

Tabla de verdad

1 2 3 4 1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) (x * x ) (x * x )= +

1110111011100000

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

zx1 x2 x3 x4



Vector de salida f(x1,x2,x3,x4) = (1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0)

Forma canónica disjuntiva

Forma canónica conjuntiva

Mapa de Karnaugh.

1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) = m(0,1,2,4,5,6,8,9,10)∑

1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) = M(3,7,11,12,13,14,15)∏

101110000011101101101100

10110100x1,x2x3,x4

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