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Sintaxis Semantica Algoritmo de Quine

Logica Clasica Proposicional

Logica Computacional

Departamento de Matematica Aplicada

Universidad de Malaga

10 de enero de 2008


Contenido1 Sintaxis

Alfabeto

Formulas bien formadas

Funciones recursivas

2 Semantica

Interpretaciones y satisfacibilidad

Equivalencia logica y formas normales

Formas normales

Consideraciones semanticas y formalizacion

3 Algoritmo de Quine

Refutacion y deduccion automatica

Un ejemplo

El metodo


Sintaxis de la Logica ProposicionalAlfabeto

Definicion

El alfabeto esta formado por los siguientes conjuntos:

1 Un conjunto numerable de sımbolos de proposicion:

Π = p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . , pn, qn, rn, . . .

2 Conectivos u Operadores logicos: ¬, ∨, ∧,→ y↔.

3 Sımbolos de puntuacion: “(”, “)”.


Sintaxis de la Logica ProposicionalFormulas bien formadas (definicion “simple”)

Definicion

El conjunto de las formulas bien formadas (fbfs)esta determinado por las siguientes reglas de formacion:

1 Los elementos de Π son fbfs: las formulas atomicas.

2 Si A es una fbf , ¬A es una fbf .

3 Si A y B son fbfs entonces (A∧B), (A∨B), (A→ B)y (A↔ B) son fbfs.

Los sımbolos A y B usados en la definicion no sonsımbolos del lenguaje sino metasımbolos.

El unico convenio para la simplificacion de formulas queutilizaremos es la eliminacion de los parentesis inicial yfinal de una formula si los tuviera.


Sintaxis de la Logica ProposicionalFormulas bien formadas (definicion “mas formal”)

Definicion

El lenguaje de la logica proposicional L es la clausura inductivadel conjunto Π para los constructores C¬, C∨, C∧, C→ y C↔:

C¬(x) = ¬x

C∧(x, y) = (x ∧ y)

C∨(x, y) = (x ∨ y)

C→(x, y) = (x→ y)

C↔(x, y) = (x↔ y)

Importante

En clausuras inductivas, para demostrar una propiedad P , sepuede usar el principio de induccion estructural.


Clausuras inductivas libremente generadas

Es claro que, tal como se ha definido L, cada fbf se puedeconstruir de un modo unico a partir de los constructores.

Las clausuras inductivas que disfrutan de esta propiedadreciben el apelativo de libremente generadas.

Ejercicio

De ejemplos de clausuras inductivas que NO sean librementegeneradas.


Funciones recursivas

Sobre una clausura inductiva libremente generada, puedendefinirse funciones de forma recursiva, definiendolaexplıcitamente solo sobre los elementos primitivos.

Importante

Se necesita algo mas para definir una funcion de formarecursiva. ¿Que es?

Ejemplo

Funcion grado, gr : L→ N:

gr(p) = 0 para todo p ∈ Π

gr(¬A) = 1 + gr(A)

gr(A ∗ B) = 1 + gr(A) + gr(B)


Otra funcion recursiva sobre LArbol sintactico

El arbol sintactico para una formula A, denotado por TA, sedefine recursivamente como sigue:

1 TA es A para todo A ∈ Π

2 T¬A es¬|

TA

3 Para cada ∗ ∈ ∧,∨,→,↔, TA∗B es

∗

TA TB

AAA


Un Ejemplo de Arbol Sintactico(((p ∧ q)→ r) ∧ (p→ q))→ (p→ r)

∧

→

r

∧

p

→

q

→

p

→

r

p q


Semantica de la logica proposicional

Valores semanticos: BOOL= 0, 1Valor destacado: 1

Interpretaciones: son las aplicaciones I : L→ 0, 1definidas como extension unica de una aplicacionI : Π→ 0, 1 por las siguientes condiciones:

I(¬A) = 1 si y solo si I(A) = 0

I(A ∧ B) = 1 si y solo si I(A) = I(B) = 1

I(A ∨ B) = 0 si y solo si I(A) = I(B) = 0

I(A↔ B) = 1 si y solo si I(A) = I(B)

I(A→ B) = 0 si y solo si I(A) = 1 e I(B) = 0


Semantica de la logica proposicionalTablas de verdad

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p↔ q p→ q1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1

La tabla de verdad para (¬p ∨ q)→ (¬p ∧ q) es:

p q ¬p ¬p ∨ q ¬p ∧ q (¬p ∨ q)→ (¬p ∧ q)1 1 0 1 0 01 0 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 0 0


Semantica de la logica proposicional

Para saber el valor de I sobre una formula dada A, no esnecesario conocer los valores de I sobre todos los sımbolosproposicionales del lenguaje, basta con conocerlos paralos sımbolos proposicionales que aparecen en A.

Una interpretacion para una fbf A es una asignacion devalores de verdad a los sımbolos proposicionales queintervienen en A.

Si en la formula A intervienen n sımbolos proposicionales,el numero de interpretaciones para A es 2n. Estasinterpretaciones se representan con las tablas de verdad.


Satisfacibilidad y validez

Definiciones

Una fbf A es valida o tautologıa si I(A) = 1 para todainterpretacion I; se denota |= A.

Una fbf A es satisfacible si I(A) = 1 para algunainterpretacion I; decimos que I es un modelo para A.

Una fbf A satisfacible pero no valida se dice contingente.

Una fbf A es insatisfacible o contradiccion si se tiene queI(A) = 0 para toda interpretacion I

Un conjunto de fbfs Ω es satisfacible o consistente siexiste una interpretacion I tal que I(A) = 1 para todoA ∈ Ω. Se dice insatisfacible si no es satisfacible.


Consecuencia semantica y refutacion

Una formula A se dice que es consecuencia, se infiere o sederiva semanticamente de un conjunto Ω si todo modelo de Ωtambien es modelo de A. Lo denotamos Ω |= A.

Si Ω = A1, . . . , An se suele escribir A1, . . . , An |= A.

Teorema

Ω |= A si y solo si Ω ∪ ¬A es insatisfacible.

Corolario (Principio de refutacion)

A1, . . . , An |= A si y solo si A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬A esinsatisfacible.


Teorema de compacidad

Computacionalmente, resulta interesante considerar lacardinalidad del conjunto Ω.

El siguiente teorema asegura que es suficiente considerarconjuntos finitos de hipotesis.

Teorema (de Compacidad)

Un conjunto Ω de fbfs es satisfacible si y solo si todos sussubconjuntos finitos son satisfacibles.

Corolario

Ω |= A si y solo si existe Ω0 ⊆ Ω finito tal que Ω0 |= A.


Equivalencia logica

Definicion

Dos formulas A y B se dicen logicamente equivalentes y lodenotamos A ≡ B, si para toda interpretacion I se tiene queI(A) = I(B); es decir, si A↔ B es tautologıa.

Leyes de de Morgan: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Leyes Conmutativas: A ∧ B ≡ B ∧ AA ∨ B ≡ B ∨ A

Leyes Asociativas: (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

Leyes Distributivas: A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)


Otras leyes de equivalencia

Leyes de Absorcion: A ∧ (A ∨ B) ≡ AA ∨ (A ∧ B) ≡ A

Leyes de Idempotencia: A ≡ A ∧ AA ≡ A ∨ A

Ley de Transposicion: A→ B ≡ ¬B→ ¬A

Ley de Doble Negacion: ¬¬A ≡ A


Conjuncion y Disyuncion Generalizada

Las leyes asociativas permiten considerar las expresionessiguientes como fbfs

A1∨A2∨· · ·∨An =n∨

i=1

Ai A1∧A2∧· · ·∧An =n∧

i=1

Ai

Las leyes distributivas tambien se satisfacen con ellas:

A ∧n∨

i=1

Bi ≡n∨

i=1

(A ∧ Bi)

A ∨n∧

i=1

Bi ≡n∧

i=1

(A ∨ Bi)


Conjuntos adecuados de conectivas

El conjunto de conectivos del lenguaje no es minimal.

A ∨ B ≡ ¬A→ B

A ∧ B ≡ ¬(A→ ¬B)

A↔ B ≡ ¬((A→ B)→ ¬(B→ A))

Definicion

Un conjunto de conectivas se dice que es un sistema adecuadosi puede representar todas las demas conectivas mediante larelacion de equivalencia logica.

Por ejemplo, ¬,→ es un sistema adecuado de conectivas.

La no independencia de los conectivos podrıa haber sidorecogida en el alfabeto.


Extension del lenguaje

La relacion de equivalencia logica permite considerar laestructura cociente L/≡.

Introduciremos nuevos sımbolos como representantescanonicos para representar tautologıas y contradicciones.

Ampliamos el alfabeto con dos nuevos sımbolos: > y ⊥,que se leen verdad y falsedad (o verum y falsum).

Ambos sımbolos son considerados fbfs.

Los valores de verdad asignados a > y ⊥ por todainterpretacion I son: I(>) = 1 e I(⊥) = 0.

Leyes 0-1: Proporcionan informacion acerca delcomportamiento de las constantes logicas

A ∨ ⊥ ≡ A A ∨ > ≡ > A ∨ ¬A ≡ >A ∧ ⊥ ≡ ⊥ A ∧ > ≡ A A ∧ ¬A ≡ ⊥


Formas normalesRepresentantes canonicos para formulas contingentes

Los sımbolos proposicionales y sus negaciones sedenominan literales; p y ¬p son literales opuestos; si ` esun literal, ˆ denota su literal opuesto.

Un cubo es un literal o una conjuncion de literales. Unaclausula es un literal o una disyuncion de literales.

Definicion1 Una fbf se dice normal disyuntiva si es >, ⊥, un cubo o

disyuncion de cubos.

2 Una fbf se dice normal conjuntiva si es >, ⊥, unaclausula o conjuncion de clausulas.


Formas normalesRepresentantes canonicos para formulas contingentes

1 Una formula normal disyuntiva se dice restringida, fndr , siverifica:

Ningun cubo contiene un literal y su opuesto.Ningun cubo contiene literales repetidos.Ningun cubo contiene a otro.

2 Una formula normal conjuntiva se dice restringida, fncr ,si verifica:

Ninguna clausula contiene un literal y su opuesto.Ninguna clausula contiene literales repetidos.Ninguna clausula contiene a otra.


Formas normales

Teorema

Toda fbf tiene una forma normal disyuntiva restringida y unaforma normal conjuntiva restringida equivalente a ella.

1 Eliminacion de los conectivos↔ y→2 Transmision de las negaciones a las formulas atomicas

mediante las leyes de de Morgan y la ley de la doblenegacion (obteniendo una forma normal negativa).

3 Aplicacion de la ley distributiva generalizada de ∧respecto a ∨ (para fndr) o de ∨ respecto a ∧ (para fncr).

4 Aplicacion de la idempotencia, la complementacion, leyes0-1 y de absorcion para obtener las formas normalesrestringidas.


Consideraciones semanticasUn Ejemplo

Estos ninos estaban haciendo tonterıas aquı atras, y uno o mas de ellostiraron las sandıas. Ninguno reconoce haberlo hecho.

Richard—pregunto—¿quien tiro estas sandıas?

Lo hicieron Harry y Frank—replico.

¡Yo nos las tire!—dijo Frank.

¿Que dices tu, Tommy?—Solo uno de nosotros tiro las sandıas.

¿Y tu que dices, Harry?

Si Tommy dice la verdad, tambien es cierto lo que dice Frank.

No hacen mas que decir eso—dijo el frutero—. Ahora bien, conozco aestos chicos. Tommy es honrado y estoy seguro de que no mentirıa. Porotro lado, Harry es muy distinto y miente cada vez que sospechan quehizo algo malo. En cuanto a los otros, no se a quien creer y no puedosenalar a los culpables.


Formalizacion de enunciados

Si la funcion f no es continua, entonces la funcion f

no es diferenciable. Pero f es diferenciable; ası pues,

f es continua.

¬c→ ¬ddc

¬cN→ cIcI→ aP¬cN→ aP

Si no hay control de nacimientos, entonces la

poblacion crece ilimitadamente. Pero si la poblacion

crece ilimitadamente, aumentara el ındice de

pobreza. Por consiguiente, si no hay control de

nacimientos, aumentara el indice de pobreza


Refutacion y deduccion automatica

La mayorıa de los algoritmos de deduccion automaticahacen uso del principio de refutacion.

Para determinar la validez de una inferencia basta probarque NO es posible encontrar una interpretacion I tal que

I(A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬A) = 1

La forma mas simple de aplicar este metodo es intentarconstruir dicho contramodelo sobre la formula, aplicandola definicion recursiva de las interpretaciones.


Tablas de verdad y refutacionEjemplo: (((p ∧ q)→ r) ∧ (p→ q))→ (p→ r)

∧

→

r

∧

p

→

q

→

p

→

r

p q

0

0

0

11

1

1 1 1

1

1

1

1


Algoritmo de QuineUn Algoritmo de Deduccion Automatica

Evaluamos las interpretaciones sobre una formula A usandouna ordenacion [p1, p2, . . . , pn] de las proposiciones queintervienen en A, y construimos un arbol binario donde cadarama se etiqueta con un sımbolo proposicional o su negado.

1 Tomamos el primer sımbolo de la secuencia y construimosun arbol con dos ramas etiquetadas con p1 y ¬p1 y cuyashojas se etiquetan con los valores p1/1 y p1/0respectivamente. Si no es posible determinar algun valorpara la formula, la hoja se etiqueta con ?

2 Cada rama etiquetada con ? se extiende con dos ramas,correspondientes al siguiente sımbolo proposicional en lasecuencia, hasta lograr que todas las hojas se etiquetencon 0 o 1.


Una aplicacion del algoritmo de Quine((p ∧ q)→ r) ∧ (p→ q))→ (p→ r)

p

?1

¬p



q

p

?1

1

¬p

¬q



r

q

p

1

1

11

¬p

¬q

¬r


Algoritmo de QuineCorreccion y Completitud

Teorema

Una formula A es valida si y solo si el algoritmo de Quineetiqueta todas las hojas con 1.

Este algoritmo puede ser usado para estudiar tanto la validezcomo la insatisfacibilidad:

Tan pronto logremos una hoja etiquetada con 0 podemosconcluir que la formula es no valida; en este caso, los literalesde la rama cerrada con 0, definen un contramodelo para A.

De forma semejante, una hoja etiquetada con 1 define unmodelo para A.

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