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LOGICA Y

ALGEBRA

DISCRETA

Franco D. Menendez

LABIA

FACET - UNT

Universidad Nacional de Tucumán

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

2

Propiedad Conmutativa

(E1 E2) (E2 E1)

(E1 E2) (E2 E1)

Propiedad Distributiva

E1 (E2 E3) (E1 E2) (E1 E3)

E1 (E2 E3) (E1 E2) (E1 E3)

Propiedad Asociativa

E1 (E2 E3) (E1 E2) E3

E1 (E2 E3) (E1 E2) E3

Leyes de De Morgan

(E1 E2) ( E1) ( E2)

(E1 E2) ( E1) ( E2)

Doble Negación

( E1) (E1)

UT3: Lógica de Predicados



3

Cuantificadores Cuantificador Universal: Se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un

conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada.

x [Plumas (x) Pájaro (x)]

Cuantificador Existencial: se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

x [Pájaro (x)]

Fórmulas Atómicas son definidos como predicados individuales con sus correspondientes argumentos.

Literales son definidos como fórmulas atómicas y fórmulas atómicas negadas.

Fórmulas Bien Formadas, o bien FBF, son definidas recursivamente de la siguiente forma:

Los literales son fórmulas bien formadas (FBF).

Fórmulas Bien Formadas conectadas a través de conectivos son también FBF.

Fórmulas Bien Formadas afectadas por cuantificadores son también FBF.




4

Estructura Relacional

Definición: Sea D un conjunto de elementos. R es una relación n-aria en el Dominio D si R es una relación sobre Dn.

Sea R una relación n-aria sobre un dominio D. El predicado R asociado con la

relación R, está dado por la siguiente expresión:

R(d1, ......, dn) = T si y solo si {d1, ......, dn} R

Por ejemplo:

SQ(x, y) - el conjunto de pares ordenados (x, y), de forma tal que y es elcuadrado de x.

{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16), .....}

SQ(2, 1) = F; SQ(2, 2) = F; SQ(2, 3) = F; SQ(2, 4) = V




5

Sintaxis de la Lógica de Predicado

(a) Un conjunto de Símbolos de Predicados, expresados de la siguiente forma :

P = {p1, p2, p3, .... }

(b) Un conjunto de Variables Individuales, expresados de la siguiente forma :

Var = {v1, v2, v3, .... }

(c) Un conjunto de Constantes Individuales, expresadas de la siguiente forma :

Cons = {c1, c2, c3, .... }

(d) Un conjunto de Símbolos de Función, expresados de la siguiente forma :

F = {f1, f2, f3, .... }

(e) Un conjunto de conectivos lógicos que incluyen a la negación, conjunción,

disyunción, implicación o condicional y a la equivalencia o doble implicación,

representados a través del siguiente conjunto de símbolos:

S = { , , , , }

(f) Un conjunto de cuantificadores: Cuantificador Universal, , y el Cuantificador

Existencial, .

(g) Conjunto de Símbolos de puntuación: Paréntesis (, ) y otros.

UT3: Lógica de PredicadosUT3: Lógica de Predicados



6

EjemploComo ejemplo de un lenguaje en la lógica de predicados de primer orden,

consideremos la siguiente definición informal de la sintaxis de un lenguaje lógico denominado L1:

(a) Símbolos de Predicado = {Edad, Novios}, donde ambos son binarios.

(b) Variables = {x, y, z}(c) Constantes = {Susana, Roberto, Guillermo, 20, 30, 40, 50, 60}(d) Conectivos = {, , , , }(e) Cuantificador = {, }(f) Puntuación = {( , ) , [ , ] }(g) Símbolos de Función = {Doble}

El conjunto de términos del lenguaje L1 es el siguiente conjunto:{Susana, Roberto, Guillermo, 20, 30, 40, 50, 60, x, y, z, doble (0), doble Susana), doble (x), doble (doble (30)), etc.... }

UT3: Lógica de PredicadosUT3: Lógica de Predicados



7

Las fórmulas atómicas y las FBF de L1 están definidas de acuerdo a las reglas dadas anteriormente. Ejemplos de FBF de L1 son:

a) Novios (Susana, Roberto), y lo leemos de la siguiente forma : "Susana está de novia con Roberto".

b) Edad (Susana, 20), y se lee como "Susana tiene la edad de 20".

c) Edad (Guillermo, doble (20)), y se lee "Guillermo tiene una edad que es el doble de 20".

d) Novios (Susana, Guillermo), y lo leemos como "Susana no está de novia con Guillermo".

e) x y [Novios (x, y) Novios y, x)], y lo leemos de la siguiente forma : "Para todo x y para todo y, si x está de Novio con y, entonces y está de novio con x". Esto define la simetría del predicado Novios.

f) x Edad (x, 40), y lo leemos "Existe un x cuya edad es de 40 años".

g) Edad (x, y) , y lo leemos de la siguiente forma : "x tiene la edad y".




8

DEFINICIÓN: es el cuantificador universal y se lee de la siguiente forma: "para todo". es el cuantificador existencial y se lee de la siguiente forma: al menos existe un".

Para una fórmula Cuantificada, tal como (xA), x es denominada la variable cuantificada o la variable vinculada y A es denominado como la extensión (scope) de la variable cuantificada. Los cuantificadores (incluyendo la variable cuantificada) son operadores que tienen la misma precedencia que la negación. La siguiente fórmula:

(x(( (y p (x, y)) ( (y p (y, x)))))

y que puede ser escrita de la siguiente forma:

x(y p (x, y) y p (y, x))




9

Sustitución de Fórmula

DEFINICIÓN: Sea A una expresión, sea x una variable y sea t un término.

Entonces SxtA representa la expresión que se obtiene al sustituir todas las

apariciones de x en A por t. SxtA es denominada como una

particularización (un caso, un ejemplo) de A, y se dice que t es un caso

(instancia) de x.

Ejemplo: Syb (P(y) Q(y))




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Cuadro Semántico

Recordemos que:

Una fórmula A es satisfactoria, si su valor es verdadero para alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un Modelo de A. La notación empleada para un modelo es : = A

Una fórmula es Válida si su valor es verdadero para todas las interpretaciones.

Una fórmula lógica o proposición compuesta es Insatisfactoria o Contradictoria, si la misma no es satisfactoria, o sea que es FALSA (F) para todas sus interpretaciones.

Una fórmula lógica es Inválida o No Válida o Falsificable, si no es válida, o sea que su valor es FALSO (F) para alguna interpretación de sus valores de verdad.




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DEFINICIÓN: Un cuadro cuya construcción ha finalizado se lo denominaCuadro Completo. Un cuadro completo se dice que está Cerrado si todassus hojas están marcadas con la notación de cerrado, de otra forma omodo se dice que el cuadro está Abierto.

TEOREMA: Sea T un cuadro semántico completo para una fórmula A. Laexpresión A es No Satisfactoria si y solo si T es cerrado.

COROLARIO: La expresión A es una expresión lógica satisfactoria si y solo si Testá abierto.

COROLARIO: La expresión A es una expresión lógica válida si y solo si elcuadro semántico para A es cerrado.




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Particularización Universal: regla de inferencia que permite la eliminación del cuantificador universal en una expresión.

x A(x)Sx

t A(x)Ejemplo:

x (gato (X) tiene cola (x))gato (Tom) tiene cola (Tom)

Particularización Existencial: regla de inferencia que permite la eliminación del cuantificador existencial en una expresión.

x A(x)SX

t A (x)Ejemplo:

x (ganocienmillones(X) esrico(x))ganocienmillones(Patricio) esrico(Patricio)




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Grafo: Un grafo G = (V, A) es un conjunto no vacío V (de vértices) y un conjunto A (de aristas) extraído de la colección de subconjuntos de dos elementos de V. Una arista de G es pues, un subconjunto {a, b}, con a, b ∈ V, a b.

SubGrafo: Dado un grafo G = (V, A), formamos un grafo H = (V’, A’) de G seleccionando algunos de los vértices de G (esto es, V’ ⊆ V ). Y, de las aristas que unieran vértices del conjunto V’ en el grafo original G, nos quedamos con algunas de ellas (o todas).

Grafo Dirigido: Un grafo dirigido G = (V, A) consta de un conjunto no vacío V (devértices) y de un conjunto no vacío A (de aristas) que son pares ordenados de

elementos de V y de una función f definida de A en {(a, b), con a, b ∈ V}. Se dice que laarista e es un bucle o lazo si se cumple que f(e) = (a, a) = (a) para algún a ∈ V. Songrafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representadagráficamente por una flecha.

UT4: Teoría de Grafos y Árboles



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Tabla1: Terminología en la Teoría de Grafos

Tipos Aristas Arista Múltiples Bucles

Grafo Simple No dirigido No No

Multigrafo No dirigido Si No

Pseudografo No dirigido Si Si

Grafo Dirigido Dirigido No Si

Multigrafo Dirigido Dirigido Si Si

SubGrafo Recubridor: Dado un grafo conexo y no dirigido, un árbol recubridorde un grafo es un subgrafo que tiene que ser un árbol y contener todos los

vértices del grafo inicial.

SubGrafo Inducido: Dado un grafo conexo y no dirigido, un subgrafo inducidode un grafo G es un subgrafo que tiene como junto de vertices a un cierto

subconjunto de los vertices de G y como conjunto de aristas a todas aquellas

de G cuyos extremos sean dicho subconjunto de vertices.




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Vértice Adyacente: Dado un grafo G = (V, A), diremos que dos vértices v, w ∈ V sonadyacentes o vecinos si {v, w} ∈ A. Si e = {v, w}, se dice que la arista e es incidente conlos vértices v y w. También se dice que la arista e conecta v con w. Se dice que losvértices v y w son extremos de la arista e.

Grado de Vértice.- El grado de un vértice de un grafo es el número de aristas incidentesen el, exceptuando los bucles, cada uno de los cuales contribuye con dos unidades algrado de un vértice. El grado de un vértice v se denota por δ(v).

δ(v) = grado de v ≡ gr(v) = #{w ∈ V : {v, w} ∈ A(G)} .

Grafo complementario: el grafo complementario de G = (V, A) es el grafo G = (V, A), donde A = P2 (V ) − A representa el conjunto complementario de A; es decir, dos vertices diferentes u, v ∈ V son adyacentes en G si y solo si no lo son en G.




Grafo k-regular: Un grafo no dirigido es un grafo k-regular si todos los vértices del grafo tendrían grado

k.

En un grafo siempre hay un número par de vértices de grado impar.

No puede existir un grafo r-regular de s vertices si r y s son impares.

El número de aristas de un grafo k-regular es (n*k)/2, y por ende, el número de aristas de un grafo

completo de n vertices es (n*(n-1))/2

Grafo nulo: de orden n, que se denota por Nn, es un grafo que tiene n vertices y ninguna arista.

Grafo completo: de orden n, que se denota por Kn, es un grafo con n vertices, donde cada vertice es

adyacente a todos los demas.

Grado de Entrada: En un grafo dirigido, el grado de entrada o grado negativo de un vértice v, es

denotado por δ−-(v), es el número de aristas que tienen a v como vértice final.

Grado de Salida: El grado de salida o grado positivo de un vértice v, denotado por δ+(v), es el número

de aristas que tienen a v como vértice inicial. (nótese que un bucle contribuye con una unidad

tanto al grado de entrada como al grado de salida del vértice correspondiente).




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ISOMORFISMO: Sean G y G’ dos grafos, con conjuntos de vértices y aristas (V, A) y (V’, A’),

respectivamente. Decimos que una aplicación biyectiva φ: V →V’ es un isomorfismo de grafos si:

{v, w} ∈ A {φ(v), φ(w)} ∈ A’.

Es decir, si φ conserva las relaciones de vecindad entre vértices. Dos grafos se dicen isomorfos si existe

una aplicación biyectiva entre sus conjuntos de vértices (un cambio de nombres, de etiquetas)

que conserve las relaciones de vecindad: si dos vértices son adyacentes con el primer conjunto

de etiquetas, tendrían que seguir siéndolo con el segundo

En el caso de los dos grafos con los que abríamos esta subsección, el lector podría comprobar que la

aplicación

φ: {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}

dada por φ(1) = 1, φ(2) = 4, φ(3) = 2 y φ(4) = 3 es un isomorfismo entre los dos grafos




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Sin embargo, para decidir que dos grafos no son isomorfos contamos con ciertas propiedades de un

grafo que se han de conservar por isomorfismos:

1. Ambos grafos han de tener el mismo número de vértices (si no lo tienen, no podremos construir una

aplicación biyectiva entre los conjuntos de vértices).

2. Cada vértice ha de mantener sus relaciones de vecindad. En particular, si G = (V, A) y G´ = (V´, A´)son dos grafos isomorfos mediante φ, entonces, para cada v ∈ V :

δ (v) = δ (φ(v)).

3. Con más generalidad, si dos grafos son isomorfos, entonces han de tener la misma sucesión de

grados. Sin embargo, el que dos grafos tengan la misma sucesión de grados no garantiza que

sean isomorfos

4. La sucesión de grados ha de conservarse, y como sabemos que en todo grafo la suma de los

grados coincide con (dos veces) el número de arista, deducimos que dos grafos isomorfos han de

tener el mismo número de aristas.




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CLASES DE GRAFOSGRAFO LINEAL: Diremos que un grafo es un Ln, un grafo lineal con n vértices (n ≥ 2) si tiene

n vértices (dos de grado 1 y el resto, si los hay, de grado 2) y es isomorfo a:

GRAFO CIRCULAR: Otra clase de grafos muy relevante son los llamados grafos circularescon n vértices (todos de grado 2), para n ≥ 3, que denotaremos por Cn:

GRAFO COMPLETO: Si un grafo con n vértices tiene todas las (n ≥ 2) combinaciones deposibles aristas, diremos que estamos ante el grafo completo con n vértices, Kn:

Figura 11: Grafo Lineal




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CLASES DE GRAFOS

Bipartito: Un Grafo G = (V, A) es bipartito si V = V1 V2 y V1 V2 = y cada arista de Ges de la forma [a, b] con a ∈ V1 y con b ∈ V2. Si cada vértice de V1está unido con losvértices de V2 se tiene un grafo bipartito completo.




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CONEXIÓN DE GRAFOS

Camino: Sean x, y vértices (no necesariamente distintos) de un grafo G = (V, A). Uncamino x – y en G es una sucesión alternada finita (sin lazos):

La longitud de un camino es n, el número de aristas que hay en el camino. (Si n = 0, noexisten aristas, x = y, y el camino se denomina trivial.

DEFINICIÓN 17.- Consideremos un camino x – y en un grafo no dirigido G = (V, A):

Si no se repite ninguna arista en el camino x – y, entonces el camino es un recorrido x – y.Un recorrido cerrado es un circuito.

Cuando ningún vértice del camino x – y se presenta más de una vez,el camino es uncamino simple x – y. El término ciclo se usa para describir un camino simple cerrado x– y.




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CONEXIÓN DE GRAFOS

Los términos que utilizamos aquí, paseo, camino, etc., podrían no coincidir con los usados enotros textos. Para un grafo dirigido utilizaremos el adjetivo dirigido, como se usa, porejemplo, en caminos dirigidos, caminos simples dirigidos y ciclos dirigidos.

Cuello: Si G es un grafo, se llama cuello del grafo G al mínimo de las longitudes de los ciclos deG.

Tabla 2: Terminología de caminos en la Teoría de Grafos

Vértices Repetidos

Aristas Repetidas

Abierto Cerrado Nombres

Si Si Si Camino

Si Si Si Camino Cerrado

Si No Si Recorrido

Si No Si Circuito

No No Si Camino Simple

No No Si Ciclo




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CONEXIÓN DE GRAFOS

TEOREMA 3: Sea G = (V, A) un grafo no dirigido, con a, b ∈ V, con a b. Si existe unrecorrido (en G) de a a b, entonces existe un camino simple (en G) de a a b.

Conexo: Sea G = (V, A) un grafo no dirigido. Diremos que G es conexo si existe uncamino simple entre cualesquiera dos vértices distintos de G.

LEMA 1.- Si G es un grafo conexo y a es una arista puente de G, entonces G \ {a} tieneexactamente dos componentes conexas.

PROPOSICIÓN 1.- Si G es un grafo conexo, entonces

|A(G)| ≥ |V (G)| − 1.

PROPOSICIÓN 2.- Si G es un grafo con k componentes conexas, entonces |A| ≥ |V | − k.




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CAMINOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS

DEFINICIÓN: Sea G = (V, A), un grafo o multigrafo no dirigido sin vértices aislados. Entonces G tiene uncircuito euleriano si existe un circuito de G que recorra cada arista del grafo exactamente una vez.Si existe un recorrido abierto de x a y en G que recorra cada arista de G exactamente una vez, esterecorrido se denominara recorrido euleriano. Un camino euleriano es un camino simple quecontiene todas las aristas de G.

un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuitoeuleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez

DEFINICION: Un camino hamiltoniano, en el campo matemático de la teoría de grafos, es un camino deun grafo, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una sola vez. Siademás el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano.

Figura 22: Grafos no dirigidos G1, G2 y G3




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GRAFOS PLANOS

TEOREMA DE DIRAC: Sea G = (V, A) un grafo simple con n vértices para n 3, tal que todos los vértices de

G tienen grado mayor o igual a n/2. Entonces G contiene un circuito hamiltoniano.

TEOREMA DE ORE: Sea G = (V, A) un grafo simple con n vértices para n 3, tal que (u) + (v) n, para

cada par de vértices no adyacentes u y v de G. Entonces G tiene un circuito hamiltoniano..

Grafo Plano: Un grafo G = (V, A), es plano si podemos dibujar a G en el plano de modo que sus aristas seintersequen sólo en los vértices de G. Este dibujo de G se conoce como una inmersión (embebido oencaje) de G en el plano

Figura 24: Grafos Planos G1 y G2




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GRAFOS PLANOS

TEOREMA: Sea G = (V, A) un grafo o multigrafo plano conexo con V = y A = a. Sea r elnúmero de regiones en el plano determinadas por una inmersión (orepresentación) plana de G, una de estas regiones tiene un área infinita y se conocecomo región infinita. Entonces: – a + r = 2

COROLARIO: Sea G = (V, A) un grafo o multigrafo plano conexo sin lazos con los valoresV = y A = a > 2. y r regiones. Entonces se deben cumplir las siguientes condiciones3r 2a y a 3 - 6.

Ejemplo: El grafo K5 no tiene lazos y es conexo con 10 aristas y cinco vértices. Enconsecuencia: 3 - 6 = 15 – 6 = 9 < 10 = a. Por lo tanto por el Corolario 5.2, vemos queK5 no es plano.




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ARBOLES: DEFIINICION Y CARACTERISTICAS

DEFINICIÓN 1.- Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos. Un grafo G es un árbol (unconexo sin ciclos) Es conexo y tiene la propiedad de que al eliminar una aristacualquiera del grafo, éste deja de ser conexo.

PROPOSICIÓN 3.-Un grafo G es un árbol (un conexo sin ciclos) Es conexo y se cumpleque: |A(G)| = |V (G)| − 1.

TEOREMA 1: Todo árbol con |V | ≥ 2 tiene, al menos, dos vértices de grado 1.




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ARBOLES CON RAIZ

Todo árbol posee una altura. Recorriendo el mismo en forma de grafo dirigido yconsiderando que las áristas parten desde los vértices hacia algún otro vértice o haciaalguna hoja, de forma tal que todo camino inicia en la raíz y termina en una hoja,puede afirmarse que el árbol posee una altura h. Dicha altura será igual a la longituddel camino con más aristas.

DEFINICIÓN: Si G es un grafo no dirigido, entonces G es un árbol dirigido si el grafo nodirigido asociado con G es un árbol. Si G es un árbol dirigido, G es un árbol con raíz siexiste un único vértice r en G, llamado raíz, tal que el grado de entrada de r es igual a E (r) = 0 y para todos los demás vértices v, el grado de entrada es E (r) = 1

Los parámetros que manejaremos en un árbol con raíz serán

el número de vértices, n;

la altura del árbol, a;

el número de hojas, h;

y el tipo de árbol, definido por el entero positivo q (podría ser q-ario o casi q-ario).




29

ARBOLES RECUBRIDORES

DEFINICIÓN 3.- Consideremos un grafo G = (V, A). Diremos que un árbol H es árbol

recubridor o recubridor de G si cumple que:

V (H) = V (G) (tiene los mismos vértices que G).

A(H) A(G) (tiene algunas —o todas— las aristas de G).

Es decir, es un subgrafo recubridor del grafo inicial que, además, es un árbol.Asegurémonos primero de que tales árboles existen si, como es razonable, partimos deun grafo conexo.

TEOREMA 5.- Un grafo G es conexo si y sólo si tiene, al menos, un árbol recubridor.




30

ARBOL BINARIO

DEFINICIÓN: Un árbol con raíz es binario si para cada vértice v, el grado del mismo es (v)=0, 1 o 2; es decir, si v tiene cuando mucho dos hijos. Si (v)= 0 o 2 para todo v,entonces el árbol con raíz es un árbol binario completo.

Ejemplo 12: Ejemplo 13:

( )( ) ( )( )3ba5/a7 +−

*

/

- - 5 + 3

7 a a b

Figura 6.4.1

– a / 3 +

b 5 Figura 6.4.2

( )( )5b/3a +−




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OPERACION BINARIA

DEFINICIÓN: Una operación binaria * tiene tres formas de representación: 1. Notación infija: a * b 2. Notación prefija ( o polaca) : * a b 3. Notación postfija: a b *

DEFINICIÓN: Sea T = (V, A) un árbol con raíz r. Si T no tiene otros vértices, entonces lamisma raíz el recorrido en orden previo y posterior de T. Si |V| >1. Sean T1, T2, T3,. . .,Tn, los subárboles de T, de izquierda a derecha, entonces: 1. El recorrido de orden previo de T visita primero r y después recorre todos los

vértices de T1, en orden previo, después los vértices de T2 en orden previo y asísucesivamente hasta recorrer los vértices de TK en orden previo.

2. El recorrido de orden posterior de T recorre en orden posterior los vértices delos subárboles T1, T2, T3,. . ., TK para después llegar a la raíz.,




Definición

“Un Sistema Experto es un programa de computación inteligente que usaconocimiento y procesos de inteligencia para resolver problemas que sonlo suficientemente difíciles como para requerir significativa experienciahumana para su solución”.

(Feingenbaum, 1982).

El esquema muestra el funcionamiento de un Sistema Experto basado en el conocimiento, y en donde el Usuario aporta los hechos o información al sistema y recibe de este un consejo o experiencia como respuesta.

UT5: Sistemas Expertos



Los sistemas expertos se conforman por tres componentes principales: La Base de Conocimientos (Knowledge Database) almacena la totalidad de la

información específica relativa al campo del saber deseado. Esta escrita en unlenguaje específico de representación de los conocimientos que contiene, y en elcual el experto humano puede definir su propio vocabulario técnico. La informaciónse representa mediante reglas de producción o de redes semánticas, en donde lasemántica se la puede representar mediante Grafos.

La Base de Hechos (Fact Database) almacena los datos propios correspondientes a losproblemas que se desean tratar con la ayuda del sistema. Cumple con la misión dememorizar todos los resultados intermedios, permitiendo conservar el rastro de losrazonamientos llevados a cabo.

El Motor de Inferencias es un programa que, mediante el empleo de los conocimiento,puede resolver el problema que esta especificado. Lo resuelve gracias a los datos quecontiene la base de hechos del sistema experto. Su principal función es la deseleccionar, validar y activar algunas reglas que permiten obtener finalmente lasolución correspondiente al problema planteado.




Una Regla es una afirmación lógica que relaciona dos o más objetos eincluye dos partes, la premisa y la conclusión. Cada una de estas partesconsiste en una expresión lógica con una o más afirmaciones objeto-valorconectadas mediante los operadores lógicos «y», «o» o «no».

Forma de Representar el conocimiento de manera naturalSI premisa ENTONCES consecuente

Premisa: Conjunciones de atributos de un mismo dominio.Consecuente: Atributo que pasaran a ser conocidos para el sistema.




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