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Conceptos elementales de logicainformatica

Nelson Becerra Correa

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A los heroes del M-19

Andres Almarales Manga, William Arturo Almonacid Rodrıguez, FabioBecerra Correa, Carlos Eliecer Benavides Martinelly, Jesus AntonioCarvajal Barrera, Jimena Marcela Clavijo, Orlando Chaparro Velez,Alberto Nicolas Erazo, Clara Helena Enciso Hernandez, Irma FrancoPineda, Noralba Garcıa Trujillo, Cristina Garzon Reyes, EnriqueGiraldo Pineda, Olga Gracia, Alfonso Alberto Jacquin Gutierrez,Humberto Lozada Valderrama, Hector Arturo Lozano Riveros, JosueMarın Pena, Constanza Molina, Monica Molina Beltran, Nicolas OrtizFoglia, Luis Francisco Otero Cifuentes, Elkin de Jesus Quiceno Acevedo,Fernando Rodrıguez Sanchez, Jesus Antonio Rueda Velasco, GuillermoElvencio Ruiz Gomez, Ariel Sanchez Gomez, Amalia Sosa Sierra, DoraTorres Sanabria, Javier Ulpiano Varela Polanıa, Francisco Vargas Soto,Edison Zapata Vasquez, a Antonio, a Camilo y a Juan.

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Conceptos elementales de logicainformatica

Nelson Becerra Correa

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Becerra Correa, NelsonConceptos elementales de logica informatica / Nelson Becerra Correa.–

Bogota : Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, 2012. Ecoe EdicionesLtda.

200 p.; 17 × 24 cm. – (Libro universitario)ISBN: 978-958-8723-54-9

1. Electricidad 2. Magnetismo 3. Electronica 4. Ecuaciones de MaxwellI. Tıt.

621.38154 cd 21 ed. A1335042

CEP-Banco de la Republica-Biblioteca Luis Angel Arango

c© Universidad Distrital Francisco Jose de Caldasc© Ecoe Ediciones Ltda.c© Facultad Tecnologicac© Nelson Becerra Correa

ISBN: 978-958-8723-54-9

Primera edicion: Bogota D.C., octubre de 2012

Direccion Seccion de Publicaciones

Ruben Eliecer Carvajalino C.

Coordinacion editorial

Matilde Salazar Ospina

Irina Florian Ortiz

Correccion de estilo

Juan David Gonzalez Betancur

Montaje de cubierta

Ecoe Ediciones Ltda.

Direccion Ecoe Ediciones Ltda.

Alvaro Carvajal

Coordinacion editorial Ecoe Ediciones Ltda.

Alexander Acosta Quintero

Seccion de Publicaciones

Editorial UD Ecoe Ediciones Ltda.

Carrera 19 No. 33 -39. Carrera 19, num. 63C - 32

Telefono: 3239300 ext. 6203 Telefono: 2481449, Bogota, D. C.

Correo electronico: publicaciones@udistrital.edu.co www.ecoeediciones.com

Impreso y hecho en Colombia

Printed and made in Colombia

Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo por

escrito de la Editorial de la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

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Contenido

Conceptos generales de logica 19

Oraciones y proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Verdad y validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Formalizar proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Formalizar inferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ejemplos de inferencias ordenadas . . . . . . . . . . . . 28

Ejemplos de inferencias desordenadas . . . . . . . . . . 32

Sımbolos utilizados en este libro . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Logica proposicional 39

Logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Sintaxis de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . 40

Subformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Semantica de la logica proposicional . . . . . . . . . . . 44

Analisis de inferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Forma normal conjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Formas normal disyuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Metodo de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Tableaux semanticos representados como arboles . . . . 69

Logica predicados 85

Lenguaje de la logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Lenguaje del calculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . 86

Arbol de una formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Semantica de la logica de predicados . . . . . . . . . . 93

Equivalencias logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Indecibilidad del calculo de predicados . . . . . . . . . . . . 98

Ejercicios calculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Procedimiento de prueba de logica predicados 103

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Formas normales de la logica de predicados . . . . . . . . . . 103

Forma clausal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Forma normal de Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Teorema de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Tableaux semanticos de primer orden . . . . . . . . . . . . . 111

Unificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Resolucion de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Deduccion natural 119

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Reglas empleadas en la deduccion natural . . . . . . . 121

Prueba directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Prueba condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Pruebas por reduccion al absurdo . . . . . . . . . . . . 126

Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Las reglas de inferencia en terminos de la deduccionnatural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

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Tecnicas resolucion SAT 143El problema SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Que es SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Areas de investigacion de SAT . . . . . . . . . . . . . 145Casos de prueba SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Metodos de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Breve revision de las tecnicas para solucionar SAT . . 151Otros trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Que procesos son importantes en un resolvedor SAT . . . . 166Algoritmos Backtracking Search . . . . . . . . . . . . . 166Estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Heurısticas de seleccion de variable . . . . . . . . . . . 169Aprendizaje de clausulas dirigidas por conflictos . . . . 171Backtracking no-cronologico . . . . . . . . . . . . . . . 173Reinicios y aleatorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Busqueda local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Caracterısticas de algunos algoritmos SAT . . . . . . . . . . 175Algoritmos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Algoritmos incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Competiciones SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

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Indice de figuras

1. Clasificacion de las oraciones . . . . . . . . . . . . . . . 202. Arbol de la formula (((¬A3 −→ A5) ∨ A8)←→ A3) . . 423. Arbol de la formula ((¬A2 ∨ A5) −→ (A1 ∨ (¬A3 ∧ A6))) 434. Conjunto de formulas de la logica . . . . . . . . . . . . 515. Conflict Driven Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726. Procedimiento GSAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847. Procedimiento WalkSAT . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

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Indice de cuadros

1. Sımbolos utilizados en este libro . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Tabla de verdad de una proposicion cualquiera Q . . . . . . 453. Tabla de verdad de la negacion . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Distintas combinaciones de F, G . . . . . . . . . . . . . . . 455. Tabla de verdad para la conjuncion (Y) de P,Q . . . . . . . 466. Tabla de verdad para la disyuncion (o) de G,D . . . . . . . 467. Tabla de verdad para la implicacion(−→) de S,L . . . . . . 478. Tabla de verdad para la doble implicacion(−→) de H,P . . . 479. Tabla de verdad para Γ = (¬A3 −→ (A1 ∨A3)) . . . . . . . 4810. Tabla Γ = (A3 ∨ ¬A5)←→ (¬A2 ∧A5)) . . . . . . . . . . . 4811. Tiempos para SAT 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812. Tabla de verdad para Γ = ¬(F −→ G) −→ (F ∧ ¬G) . . . . 5013. Tabla de verdad para Γ = (F −→ G) −→ (F ∧G) . . . . . . 5014. Tabla de verdad para A1 −→ A2, A1 ∨ ¬A2, A2 . . . . . . . 5115. A1 ∨ ¬A1 es equivalente a A2 ∨ ¬A2 . . . . . . . . . . . . . 5216. Prueba de equivalencia ¬(F ∨G) ≡ (¬F ∧ ¬G) . . . . . . . 5317. Consecuencia logica de {(¬A1 ∨A2), (A1 ∨A3)} � (A2 ∨A3) 5518. Consecuencia de F = ¬A1 ∧A3,¬(A1 ←→ A2) � A1 ∨A2 . 5619. Metodo para hallar una formula en FND . . . . . . . . . . . 6023. Tiempos para SAT 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14924. Competicion ano 2004; SAT. Formulas industriales . . . . . 18725. Competicion ano 2004; SAT. Formulas hechas a mano . . . 18726. Competicion ano 2004; SAT. Formulas aleatorias . . . . . 188

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Prefacio

[. . .] Cuando conozco a alguien no me importa si es blanco, negro, judıo omusulman. Me basta con saber que es un ser humano. Peor cosa no puede

ser1 [. . .]

Walt Whitman

Maıtres anciens de Thomas Bernhard:2 La escuela es laescuela del Estado, donde se hace de los jovenes criaturas del Estado,es decir, ni mas ni menos que agentes del Estado. Cuando entrabaen la escuela, entraba en el Estado, y como el Estado destruye a losseres, entraba en el establecimiento de destruccion de seres. [. . .] ElEstado me ha hecho entrar en el por la fuerza, como por otra parte atodos los demas, y me ha vuelto docil a el [. . .] y ha hecho de mı unhombre estatizado, un hombre reglamentado y registrado y dirigido ydiplomado, y pervertido y deprimido, como todos los demas. Cuandovemos a los hombres, no vemos mas que hombres estatizados, servidoresdel Estado, quienes, durante toda su vida sirven al Estado y, por lotanto, durante toda su vida sirven a la contranatura [. . .]

Soy de la opinion que todos los paıses y todas las religiones, a losque se los conoce de cerca, son igual de horribles. Con el tiempo, se

1Segun Facundo Cabral, el ultimo fragmento del texto: [. . .] peor cosa no puedeser [. . .]; se lo adjudican a Mark Twain.

2Thomas Bernhard Ecrivain autrichien [Litterature etrangere] Ne a Herleen le09 fevrier 1931 Decede a Gmunden le 12 fevrier 1989.

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descubre que la estructura es en todas partes la misma, tanto en lasdictaduras como en las democracias; en el fondo, para el individuo sonigual de horribles.

¿Pero este fragmento que tiene que ver con un libro de logica y porque se incluye en el prologo?.

Veamos: Empezando a responder la ultima pregunta, simplementeporque me gusto.

Respecto al primer interrogante, pienso que todo depende del cristalcon que se mire. Este fragmento de Bernhard –en mi infinita ignorancia–resume nuestro comportamiento, describe el motor que nos impulsa ahacer cosas y ademas, de alguna manera, al que quiera permearse lohace analizar su esencia.

De otro lado, y para respetar las opiniones, un libro sobre el lenguajematematico –para los que saben matematicas y los ortodoxos– solodeberıa contener sımbolos y demostraciones complicadısimas. Y serel producto de gentes “iluminadas” que levitan y estan, como diceNietzsche, “Mas alla del bien y del mal”. Sobre este aspecto no discuto–porque no quiero, no puedo y me da miedo– y les presento mis disculpas.

El libro titulado Conceptos elementales de logica informatica,la utilizacion por parte de la ciencias de la computacion, de lasherramientas desarrolladas por la logica, es producto de un compromisoentre yo, Nelson Becerra Correa, mayor de edad –bastante mayor deedad– en uso de mis facultades –las pocas que tengo– fısicas y mentalesy, de otro lado, la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas. Comocompromiso para otorgar el disfrute –ası consta en el acta– del anosabatico.

Este libro esta dividido en seis capıtulos. El primero de ellos hablade los conceptos generales de la logica. Respecto al segundo se tocan losconceptos elementales de la logica de proposiciones. El tercer capıtulohabla sobre la logica de predicados. En el cuarto se desarrollan losprocedimientos de prueba de la logica de predicados. El quinto tratasobre la deduccion natural y el ultimo y sexto capıtulo trata el tema dela resolucion del problema SAT de una manera muy elemental. Estelibro esta disenado para abarcar el curso de logica informatica en unacarrera de Ingenierıa o Tecnologıa.

Aquı no se inventa nada, pero como dice Andre Guide “Todaslas cosas estan ya dichas; pero como nadie escucha, hay que volver

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a empezar siempre”. Algunos de los temas tratados son conocidosdesde hace miles de anos y han sido explicados por muchos autorescon la formacion adecuada para detallarlos y demostrarlos de maneraortodoxa con mayor claridad. Por tal razon, sugiero al amable lectorque se remita a ellos.

Si de alguna manera este libro contribuye a aclarar dudas o crearlas,me doy por bien servido. Si por el contrario, no ayuda a nadie, de igualmanera me siento satisfecho, pues disfrute el hacerlo.

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Conceptos generales de logica

[. . .] Colombia asesina, malapatria, ¡paıs hijo de puta engendro de Espana!¿A quien estas matando ahora, loca? [. . .]

El desbarrancadero, Fernando Vallejo

Introduccion

La logica simbolica es un modelo matematico del pensamientodeductivo; el formalismo logico es atractivo porque sugiere unaforma potente para derivar conocimiento nuevo a partir de hechoscomprobados: la deduccion matematica. Utilizando la logica podemosconcluir que una proposicion nueva es cierta demostrando que se deducede proposiciones conocidas. Esto nos permite usar la deduccion comouna forma de derivar respuestas a preguntas y solucionar problemas.

Oraciones y proposiciones

Vamos por partes, dijo el descuartizador. Primero, debemos recor-dar que es una oracion y cuales de ellas son: Segun la Real Academiade la Lengua:

“La oracion es la mınima unidad del habla con sentido completo,que posee un verbo. Esto significa que es el fragmento mas pequeno

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del enunciado que comunica una idea total, y posee independencia (esdecir, podrıa sacarse del contexto y seguir comunicando, no lo mismo,pero algo)”.

Clases de oraciones

Las oraciones pueden clasificarse de la siguiente manera:

Tipos de oraciones

Aseverativas o declarativas: las cuales afirman o niegan algo.

Desiderativas: expresan un deseo, ejemplo: te deseo Marıa.

Interrogativas: son las utilizadas para hacer preguntas.

Exclamativas o admirativas: expresan sorpresa o admiracion.

Exhortativas o imperativas: se utilizan para exhortar, dar un mandato

o hacer la prohibicion.

Figura 1. Clasificacion de las oraciones

Una proposicion debe cumplir cuatro condiciones. Estas son:

1. Debe ser una oracion.

2. Debe ser oracion aseverativa o declarativa.

3. La oracion debe tener sentido, decir de ella que sea verdadera ofalsa.

4. La oracion no debe cambiar con el tiempo.

A su vez, las proposiciones se pueden clasificar en dos:

1. Atomicas

Predicativas: estas son oraciones que tienen sujeto ypredicado.

Relacionales: este tipo de proposiciones relacionan dos omas sujetos y tienen un predicado.

2. Moleculares: son aquellas proposiciones que tienen como conecti-vas la conjuncion, disyuncion, implicacion, doble implicacion yla negacion.

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Verdad y validez

¿Que diferencia hay entre verdad y validez?Mucha gente las confunde, compadre, porque son nociones parecidas,

pero pueden distinguirse con claridad. ¿Como es eso, compadrito?Mira, te lo voy a explicar:Verdad: se define verdad como la adecuacion (la correspondencia) dela inteligencia y la realidad. Cuando lo que digo coincide con la realidad,hay verdad. Si digo “este perro tiene rabia”, y el perro tiene rabia, loque dije es verdadero. La verdad, entonces, es una caracterıstica de losenunciados (las oraciones enunciativas, que dicen algo). No se puededecir que “perro” es verdadero, porque al decir “perro” no estoy diciendonada sobre la realidad. Tampoco cuando digo: “multiplıcate por cero”porque, aun cuando es una oracion, no es enunciativa: no dice nadasobre el mundo, es imperativa: da una orden. Con que ese es el asunto,pero sigo sin entender. Te pongo otro ejemplo (lo que hay que hacerpor el compadre). Lo mismo sucede con las preguntas como: “¿lloveramanana?” no puede ser verdadera (aunque la respuesta puede serlo,pero porque la respuesta sı es enunciativa). En resumen: verdad se dicede los enunciados.Bueno, supongamos que entendı.Lo de la validez aquı va compadre:La validez, en cambio, se dice de los razonamientos, no de las proposi-ciones (otro nombre para enunciados). ¡Ay, ahora sı entendı compadre!“Un razonamiento es valido, y una proposicion es verdadera” Ası comouna manzana no puede ser generosa ni la generosidad puede ser jugosa.¡Ah! Eso hemos debido decırselo a los del Minuto de Dios.Muy bien compadre, te ganaste la cerveza.

Pero hay todavıa algo que no entiendo, ¡Ay! compadre, ¿o habraalgo que entiende? ¿Que es un razonamiento?: un conjuntode proposiciones ordenada de tal manera que de algunas de lasproposiciones (que llamamos premisas) se sigue otra (que llamamosconclusion). Ası: “todos los hombres son mortales, Socrates eshomosexual, entonces todos los hombres son homosexuales” Es unrazonamiento porque de las dos primeras enunciaciones se sigue laultima.

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Si el razonamiento es bueno, se lo llama valido (no verdadero).¿Cuando es bueno, compadrito? Mira te lo explico compadrito (quetodo sea por la comadre que esta muy buena). El razonamiento es comouna maquina de hacer caitoles: la maquina funciona bien si cuandole pones los ingredientes adecuados, te da el resultado adecuado: sial ponerle papa y harina, te da caitoles, funciona bien. Si te da otracosa, no funciona bien. Ahora, si vos le pones helado y manı, no te vaa dar caitoles, pero no porque la maquina funcione mal, sino porquelos ingredientes no son los adecuados. Ası, un razonamiento es comouna maquina: es bueno si te da el resultado correcto cuando le poneslos ingredientes correctos. Los ingredientes correctos son premisasverdaderas, y el resultado correcto una conclusion verdadera. Entonces,un razonamiento es valido cuando siempre que le pongas premisasverdaderas, la conclusion sera verdadera. La validez depende de laforma de los razonamientos, pero eso serıa mas largo de explicar.Bueno, compadre, te resumo lo que entendı sobre la verdad y la validez.La verdad es una propiedad de las proposiciones: cuando lo que dicecoincide con la realidad es verdadera; la validez es una propiedad de losrazonamientos: cuando siempre te da conclusiones verdaderas a partirde premisas verdaderas, es valido.

Sintaxis

La sintaxis, se ocupa del estudio de las relaciones entre las palabrasde la frase.

Un sistema logico se define desde dos puntos de vista diferentesque son equivalentes: punto de vista semantico y punto de vistasintactico. Las dos aproximaciones se fundamentan en la definicion deun lenguaje. Un lenguaje es una coleccion de sımbolos y de reglas parala construccion de formulas bien formadas (fbf).

Definicion 1. Un lenguaje proposicional esta basado en dos compo-nentes: un alfabeto y una gramatica:

1. El alfabeto consiste de tres conjuntos:

Un conjunto de sımbolos para conectivas −→,∧,¬,∨.

Un conjunto de sımbolos de puntuacion (, ).

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Un conjunto de variables proposicionales P.

2. La gramatica define cuales construcciones son validas comosentencias basadas en P:

Una formula bien formada conocida como (FBF). Es una formulalogica, que consiste en una cadena de simbolos construida segun;reglas establecidas por la sintaxis de la logica. Estas son:

Toda variable proposicional es una FBF. Ejm: P,Q,R,. . .R10,. . . etc.

Si P es una FBF entonces ¬P es una formula (FBF).

Si β y δ son formulas FBF, entonces tambien lo son (¬β),(β ∨ δ), (β ∧ δ), (β −→ δ) y (β ←→ δ).

Ninguna otra construccion es una sentencia basada en P.

Semantica

Aristoteles descubrio que habıan elementos de informacionindivisibles en nuestro razonamiento.

A estos elementos se les denomina informacion atomica o proporcion.Para facilitar el razonamiento, se le asigna a cada proposicion una letradel alfabeto (F,G,H, etc.). Ejm: el semaforo esta en rojo(F), los cochespueden avanzar (G), se te mete polen en el ojo (H).

Generalmente, nuestros razonamientos son mas complejos. Porlo tanto es necesario utilizar formulas compuestas que son formulasatomicas, agrupadas mediante conectores. Si F entonces G. Si no Fentonces no G. Si F y G entonces H.

La semantica concierne a la interpretacion, en otras palabras. Elproposito de la semantica es entender la frase o sea saber el sentido delas palabras y dar las interpretaciones a las relaciones.

Una interpretacion de un conjunto de formulas bien formadas (fbf)consiste en la especificacion de un conjunto no vacıo o dominio D, sobreel cual, constantes y variables toman valores.

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Formalizar

Se entiende por una expresion el escribirla de una manera quetodos la puedan entender, independientemente del idioma de origen(estandarizarla). Nosotros podemos pensar en oraciones de este tipo:si salgo de casa y no tengo papeles entonces la policıa me golpea. Escorrecta en idioma castellano, pero muy larga en el lenguaje de la logicay si alguien no habla castellano no la va a entender. Para solucionarlo,es mejor representarlo con letras y escribir la frase usando palabrassencillas como: y, o, no, entonces.

Ejemplo 1. Sea:S : salir de casaT : tener papelesG : golpear

La frase si salgo de casa y no tengo papeles entonces la policıa megolpea queda mejor representada como si S y no T, entonces G.

En terminos generales formalizar una proposicion equivale arepresentarla por medio de sımbolos.

Formalizar proposiciones

Toda proposicion tiene su forma logica y su formula. Su formalogica es otra expresion equivalente a la original con la diferencia quetoda su estructura sintactica esta completamente explıcita. Su formula,simplemente, se obtiene reemplazando cada proposicion atomica poruna variable proposicional y toda conjuncion gramatical por el operadorcorrespondiente.

El siguiente algoritmo muestra la tecnica de formalizacion:

Ejemplo 2. Ingmar Bergman es cineasta, pero Vallejo es escritor.

1. Forma logica: paso 1 del algoritmo 1. explicita su forma logica:Ingmar Bergman es cineasta y Vallejo es escritor.

2. Formula: Paso 2 del algoritmo 1.

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Algoritmo 1

1: Se explıcita su forma logica empleando y, o, si . . . entonces, si ysolo si, no en sustitucion de las expresiones equivalentes dentro dela oracion.

2: Se reemplaza cada proposicion atomica por una variable proposicio-nal, las conjunciones gramaticales (conectivas) por sus operadorescorrespondientes y el adverbio no por el operador de negacion.

3: Para evitar ambiguedades y establecer la jerarquıa, se utilizan lossignos de agrupacion.

B: Ingmar Bergman es cineasta.

V: Vallejo es escritor.

Formula: B ∧ V .

Ejemplo 3. No me duchare a menos que haya agua caliente.

1. Forma logica: paso 1 del algoritmo 1. explicita su forma logica:Si hay agua caliente, entonces me duchare.

2. Formula: Paso 2 del algoritmo 1.

A: Agua caliente.

D: Ducharse.

Formula: A −→ D

Ejemplo 4. Plazas no es persona, es un asesino.

1. Forma logica: paso 1 del algoritmo 1. explicita su forma logica:Plazas es un asesino y Plazas no es persona.

2. Formula: Paso 2 del algoritmo 1

A: Plazas es asesino.

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P: Plazas es persona.

Formula: A ∧ ¬P

Ejemplo 5. Tanto Alfonso como Arias son dementes porque sontorturadores.

1. Forma logica

Si Alfonso es torturador y Arias es torturador, entonces Alfonsoes demente y Arias es demente.

2. Formula

P: Alfonso es torturador.

C: Arias es torturador.

V: Alfonso es demente.

M: Arias es demente.

Formula : (P ∧ C) =⇒ (V ∧M)

En la deduccion natural se usa:

1. Las letras (llamadas letras proporcionales) van en mayusculas.

2. Con frecuencia se utilizan las letras P, Q, R, S. . ., pero se puedeutilizar cualquier letra.

3. Se utilizan los sımbolos especiales para los operadores y, o, no eimplicacion.

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Formalizar inferencias

Una inferencia tambien llamada razonamiento o argumentaciones una operacion logica que permite derivar proposiciones nuevas(llamadas conclusiones), a partir de la verdad de otras conocidas comopremisas.

Las premisas son las razones que nos permiten aceptar lasconclusiones. Las premisas pueden ser de dos tipos:

DesordenadasEn las cuales preceden a las premisas las palabras puesto que, yaque, pues, porque, siempre que, si.

Ordenadas

La conclusion de una inferencia es lo que se afirma en base a laspremisas. Preceden a la conclusion las palabras luego, por lo tanto, porconsiguiente, en consecuencia, entre otras.

En inferencias desordenadas la proposicion inmediatamente anteriora las palabras que preceden a las premisas es la conclusion:

Ejemplo 6. Federico Fellini es un gran director de cine, luego Fellinies un gran director europeo o americano.Premisa: Federico Fellini es un gran director de cine.Conclusion: luego Fellini es un gran director europeo o americano.

Ejemplo 7. Si esta figura tiene cuatro lados es un cuadrilatero. Siesta figura tiene tres lados es un triangulo. Esta figura tiene cuatrolados o tiene tres lados, por lo tanto, esta figura es un cuadrilatero oes un trilatero.Premisa:

Si esta figura tiene cuatro lados es un cuadrilatero.

Si esta figura tiene tres lados es un triangulo.

Esta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados.

Conclusion:Por lo tanto, esta figura es un cuadrilatero o es untrilatero.

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