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CAPÍTULO 4.

Álgebra de Boole. Retículos.

Este capítulo introduce dos estructuras algebraicas muy importantes : la estructura de álgebra de Boole y la de retículo. Estas estructuras constituyen una parte fundamental en la creación de la tecnología actual. Además su estructura matemática es de una belleza y armonía digna de mención.

CONTENIDOS.

1. Álgebra de Boole de divisores Dn.

2. Funciones booleanas.

3. Circuitos lógicos y aplicaciones.

SECCIÓN 1

Álgebra de Boole. El álgebra de Boole constituye una estructura algebraica perfecta que tiene aplicaciones inmediatas e importantes a la ingeniería.

En este capítulo diagramamos un álgebra de Boole clásica y tratamos también funciones booleanas, particularmente formas normales disyuntivas y conjuntivas.

32

Problema 1.

Determinar si el conjunto de los divisores de 165 forma una estructura de álgebra de Boole. En caso afirmativo realizar el diagrama de Hasse de la misma e indicar el complemento de cada elemento.

Solución.

Recordemos que una condición necesaria y suficiente para que el conjunto Dn con las operaciones de m.c.d. y m.c.m. forme un álgebra de Boole es que n = p1 . p2 ......... . pk

con pi ≠ pj si i ≠ j.

Como 165 = 3 × 5 × 11 vemos que efectivamente el conjunto D165 forma un álgebra de Boole con las operaciones mencionadas.

Ahora bien, el conjunto D165 es

Dn = {1,3,5,11,15,33,55,165}.

Recordando que en esta álgebra de Boole

a + b = a ∨ b = [a, b]

y que

a . b = a ∧ b = (a, b)

obtenemos el siguiente diagrama de Hasse.

1

3 511

33 5515

165

Ahora bien, para indicar el complemento de cada elemento es preciso hallar para cada x ∈ D165 un elemento x′� ∈ D165 tal que

[x, x′�] = 165

y simultáneamente

(x, x′�) = 1.

33

De este diagrama de Hasse vemos claramente que

1

3 511

33 5515

165

1′� = 165 3′� = 55 5′� = 33 11′� = 15

y recordando que una de las propiedades del álgebra de Boole es que x′�′� = x tenemos “leyendo al revés” que

1 = 165′� 3 = 55′� 5 = 33′� 11 = 15′�.

Problema 2.

Dada el circuito lógico siguiente

se pide hallar una función booleana que lo represente y luego llevar dicha función booleana a la forma normal disyuntiva.

Solución.

Comencemos por hallar una función booleana que lo represente. De las compuertas básicas vemos, leyendo el circuito “hacia atrás” que este será un producto de dos factores es decir tendrá la forma

f (A, B, C ) = [ ] . [ ].

Ahora bien el primer corchete es la suma de A y B es decir que hasta ahora tenemos

f (A, B, C ) = [A + B] . [ ]34

mientras que vemos que el segundo es la suma de dos sumandos así que resulta una expresión de la forma

f (A, B, C ) = [A + B] . [( ) + ( )].

Observando cada sumando resulta finalmente que la función booleana que representa al circuito es

f (A, B, C ) = [A + B] . [(B . C ) + (B + C )].

Para llevarla a la f.n.d. tenemos dos formas de proceder. Comencemos por la primera, la cual es construyendo los minitérminos que deberán aparecer en la misma.

Operando resulta

f (A, B, C ) = [A + B] . [(B + C )] = (A + B) . (B + C )

con lo cual, sacando “sumando” común tenemos

f (A, B, C ) = B + (A . C ).

Agregando tantos “unos” en cada sumando como variables falten resulta

f (A, B, C ) = 1.B.1 + A.1.C

lo cual se puede cambiar por

f (A, B, C ) = (A + A) . B . (C + C ) + A . (B + B) . C

Aplicando la propiedad distributiva tenemos

f (A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

y finalmente eliminando los términos iguales

f (A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC.

La segunda forma consiste en hallar la imagen de cada terna (a, b, c) y luego observando donde están los “unos”, donde cambiamos a minúsculas para mayor claridad.

Mediante este procedimiento es fácil armar los minitérminos. Observando, por ejemplo el primer “uno” vemos que debe aparecer el minitérmino

m1 = abc.

De la misma manera se obtiene, observando el segundo “uno” que no debe faltar el minitérmino

m2 = abc.

Continuando de esta manera con los restantes tres unos y sumando llegamos a que la forma normal disyuntiva de la función f (a, b, c) es

f (a, b, c) = abc + abc + abc + abc + abc

35

la cual por supuesto es la misma que la que se obtiene por el método anterior.

36

Imagen de cada terna bajo la función booleana f(a,b,c).

a b c f(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

CONTENIDOS

1. Retículos no distributivos.

2. Grupo Z2 × Z4.

3. Relación entre subgrupos y retículos.

SECCIÓN 1

Retículos. Esta sección trata sobre retículos, que constituyen una generalización de la estructura de álgebra de Boole.

Se relaciona con otro tema importante de la materia : grupos, porque los subgrupos de un grupo forman con operaciones claramente definidas una estructura de retículo. En general, los subgrupos de un grupo no formarán un álgebra de Boole y por eso la estructura de retículo es la adecuada para tratar este asunto.

También prestamos especial atención a las redes no distributivas.

37

Problema 1.

Sea G = Z2 × Z4 el producto de los grupos (Z2, + ) y (Z4, + ).

a)Determinar si este grupo es cíclico y hallar la red de subgrupos de G.

b) Determinar si la red de dichos subgrupos forma una red distributiva.

Solución.

a) Recordemos como se definen los grupos Z2 y Z4.

Un subgrupo de Z4 es por ejemplo,

H = {0,2} = < 2 > .

Otro subgrupo de Z4 es el subgrupo generado por el 3 el cual resulta

K = < 3 > = {3,2,1,0}.

Con esto, el retículo de subgrupos de Z4 resulta el del diagrama siguiente.

Ahora bien, es un poco más difícil el retículo de subgrupos de G = Z2 × Z4 porque este grupo no es cíclico. Sin embargo, en virtud del teorema de Lagrange tenemos que si H ≤ G es un subgrupo de G entonces |H | |G | . Luego, como |G | = 8 sólo podemos

tener subgrupos de orden 1,2,4,8. Cada elemento de G = Z2 × Z4 generará un subgrupo cíclico, aunque varios de ellos pueden coincidir.

En efecto, tenemos

1) < (0,0) > = {(0,0)}

2) < (1,0) > = {(1,0), (0,0)}

3) < (0,2) > = {(0,2), (0,0)}

4) < (1,1) > = {(1,1), (0,2), (1,3), (0,0)} = < (1,3) >

5) < (0,1) > = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,0)} = < (0,3) >

6) < (1,2) > = {(1,2), (0,0)}

38

+ 0 1 2 3

0

1

2

3

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 2

+ 0 1

0

1

0 1

1 0

Con esto tenemos que todos los subgrupos cíclicos posibles de G = Z2 × Z4 ya están listados, que el grupo en cuestión G = Z2 × Z4 no es cíclico y que cualquier otro subgrupo debe tener orden 4 ya que si tuviera orden 2 debería ser cíclico y estar listado. Ahora bien, en el subgrupo posible de orden 4 todos sus elementos deben tener orden 2 (salvo el neutro) pues sino sería cíclico y a los cíclicos los hemos listado todos. Luego, el único subgrupo posible faltante es :

H = {(1,2), (0,2), (1,0), (0,0)}.

Como H es verdaderamente un subgrupo tenemos junto con todo el grupo G = Z2 × Z4 los ocho subgrupos de G = Z2 × Z4.

Estos subgrupos se pueden ordenar por la inclusión en el siguiente retículo.

b) Vista como red (o Lattice) esta red no es distributiva. En efecto contiene una subred isomorfa a N5 y como sabemos dicha red no es distributiva. Inclusive contiene dos subredes isomorfas a N5.

Enunciado.

Dado el retículo L = (D50, | ) realizar el diagrama de Hasse, hallar el complemento de cada elemento (si existe), determinar si es distributivo y finalmente determinar si es isomorfo al retículo R = (D12, | ).

Solución.

39

Comencemos por determinar cual es el conjunto sobre el cual se va a formar la estructura de retículo. El conjunto D50 es

D50 = {1,2,5,10,25,50}.

Si lo ordenamos parcialmente por la divisibilidad tenemos el diagrama de Hasse siguiente

Vemos a partir de este diagrama de Hasse que para cada par de elementos x, y ∈ D50 existen

sup{x, y} = x ∨ y inf{x, y} = x ∧ y

es decir el conjunto (D50, | ) es una red.

Como esta red NO contiene una subred isomorfa a M5 ni a N5 vemos que nuestra red es distributiva.

Para determinar el complemento de cada elemento debemos hallar para cada x ∈ D50 un elemento x′� ∈ D50 tal que

x ∨ x′� = 50 y x ∧ x′� = 1.

Con el diagrama de Hasse vemos fácilmente que tenemos la siguiente tabla.

40

El diagrama de Hasse de la red D50. A continuación el diagrama de Hasse de la red D12.

Galería 2 : Redes isomorfas.

X X’

1 50

2 25

5 No existe

10 No existe

25 2

50 1

Finalmente para determinar si es isomorfo al retículo R = (D12, | ) tenemos, pasando en la ventana a la siguiente figura que un posible isomorfismo es el siguiente

pues con esta función se verifica que

f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y)

f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y)

que es, junto con la biyectividad de f la definición de isomorfismo.

41

X F(X)

1 1

2 3

5 2

10 6

25 4

50 12

Álgebra de Boole

Una estructura A = (B, + , . ,′� ,0,1) es un álgebra de Boole si

+, . : B × B → B ′� : B → B

y si ∀x, y, z ∈ B tenemos

1. x + y = y + x x . y = y . x

2. (x + y) + z = x + (y + z) x . (y . z) = (x . y) . z

3. x . (y + z) = x . y + x . z x + (y . z) = (x + y) . (x + z)

4. x + 0 = x x.1 = x

5.∀x ∈ B, ∃x′� ∈ B : x + x′� = 1 x . x′� = 0.

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Capítulo 4 - Álgebra de Boole.

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Clase

Sea A ⊂ U y ∼ una relación de equivalencia en A. Sea a ∈ A.

Se define la clase de a, como el conjunto cl(a) = {x ∈ A : x ∼ a}.


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Capítulo 1 - Producto cartesiano.Capítulo 1 - Producto cartesiano.Capítulo 1 - Relaciones.Capítulo 1 - Relaciones.


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Congruencia

Sean a, b ∈ Z . Sea m ∈ N, m > 1. Decimos que

a ≡ b (m) ⟺ m |b − a.

Es equivalente esto a decir que

r(a, m) = r(b, m)

donde r(a, m) es el resto de dividir a por m.


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Capítulo 2 - Divisibilidad. Congruencia.Capítulo 2 - Teorema de Fermat.


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Conjunto cociente

Sea A ⊂ U y ∼ una relación de equivalencia en A. Se llama “conjunto cociente” de A bajo la relación ∼ al conjunto

A/∼= {cl(a) : a ∈ A}.


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Equivalencia

Sea A ⊂ U un conjunto. Se dice que una relación ∼ es de equivalencia en A si

1. ∼ es reflexiva en A.

2.∼ es simétrica en A.

3.∼ es transitiva en A.


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Capítulo 1 - Producto cartesiano.Capítulo 1 - Relaciones.


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Euler

La función ϕ de Euler es la función definida así :

ϕ : N → N

ϕ(n) = {a < n : (a, n) = 1} .


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Capítulo 2 - Teorema de Fermat.


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Forma normal disyuntiva

Sea f (x, y, z) : B3 → B una función booleana. Se llama forma normal disyuntiva de f a una suma de minitérminos distintos mi tal que

f (x, y, z) =n

∑i=1

mi.

Si f tiene n “unos” entonces la forma normal dusyuntiva tendrá n términos.


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Capítulo 4 - Álgebra de Boole.Capítulo 4 - Álgebra de Boole.


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Minitérminos

Sea n ∈ N. Un minitérmino a n variables es una expresión de la forma m = y1 . y2 . … . yn donde cada yi = xi o yi = xi.

Por ejemplo, un minitérmino a tres variables es m = x1 . x2 . x3.

Observemos que el valor de este minitérmino es siempre 0 salvo para la terna (1,0,1).


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Capítulo 4 - Álgebra de Boole.


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Recurrencia

En general una expresión de la forma

an+1 = f (an)

se llama una recurrencia de primer orden. Para las recurrencias de segundo orden la definición es la siguiente : una expresión de la forma

an+2 = f (an+1, an).

Resolver una recurrencia significa hallar la o las sucesiones xn que sustituidas en ella la convierten en igualdad.


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Capítulo 3 - Recurrencia.Capítulo 3 - Recurrencia.Capítulo 3 - Recurrencia.Capítulo 3 - Recurrencia.Capítulo 3 - Recurrencia.


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Red

Una red, retículo o lattice es un conjunto parcialmente ordenado (L, ⪯ ) en el cual

∀x, y ∈ L : ∃ sup{x, y}, in f{x, y} .

Una segunda definición de retículo es una terna (L, ∨ , ∧ ) donde

∨ , ∧ : L × L → L son operaciones binarias

1. Asociativas.

2.Conmutativas.

3. Idempotentes. ( ∀x ∈ L : x ∨ x = x , x ∨ x = x)

4.Ley de absorción. ( ∀x, y ∈ L : x ∧ (x ∨ y) = x , x ∨ (x ∧ y) = x)


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Capítulo 4 - Retículos.Capítulo 4 - Retículos.Capítulo 4 - Retículos.


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Relación de orden

Sea A ⊂ U. Sea ⪯ una relación en A . Se dice que ⪯ es de orden en A si ⪯ es

1. Reflexiva.

2.Antisimétrica.

3.Transitiva.


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Capítulo 1 - Relaciones.


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Teorema de Fermat

Sea p un número primo y a ∈ N tal que p /| a. Entonces ap−1 ≡ 1 (p).


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