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MB0015_M4AA1L2_Booleana Versión: Septiembre 2012 Revisor: Leticia Pureco Reyes

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Álgebra Booleana

por Iván Cruz Aceves

El Álgebra de Boole o Álgebra Booleana, fue propuesta por George Boole en 1854, es un conjunto de reglas basadas en el sistema binario (0,1), la cual es una herramienta fundamental en el diseño de circuitos digitales (Johnsonbaugh, 1999). Algunas otras aplicaciones en las que se puede utilizar el algebra booleana es la lógica matemática, lógica digital, programación de computadoras y estadistica. El Álgebra de Boole cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad de conmutatividad Cuando el resultado de la operación es el mismo sin importar el orden de

los elementos

x + y = y + x xy = yx

Propiedad de neutralidad

Cuando se le suma 0 o se multiplica por 1 se obtiene como resultado el mismo valor.

x + 0 = x x . 1 = x



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Propiedad de asociatividad

No importa la manera en que se asocien los elementos ya que la suma

siempre dará el mismo resultado.

x + (y + z) = z + (x + y) x . (y . z) = z . (x . y)

Propiedad de distributividad

La suma de dos valores multiplicada por un tercer valor es igual a la suma del

producto de cada valor por ese número.

x + (yz) = (x+y).(x+z) x.(y+z) = (xy)+(xz)

Una manera de representar gráficamente los circuitos y otras aplicaciones del álgebra boolena es mediante el uso de las compuertas lógicas. Una compuerta consiste en un elemento que recibe una o varias entradas también conocidas como variables independientes y genera una sóla salida o variable dependiente. La principal ventaja de poder utilizar la símbología es que se puede observar de manera sencilla cómo interaccionan los sistemas, ya que la salida de un elemento puede ser la entrada de otro.

Por ejemplo: Las compuertas lógicas más utilizadas son: AND, OR y NOT las cuales se utilizan mediante la aplicación de las tablas de verdad que también son aplicadas en el análisis de proposiciones lógicas. A continuación presentamos las compuertas lógicas asociadas a las tablas de verdad.

Compuerta



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Las operaciones básicas del Álgebra booleana son las de AND, OR y NOT, las cuales presentan las siguientes tablas de identidad:

Tabla de verdad para AND

p Q p . q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Símbolo del operador AND o compuerta AND

Tabla de verdad para OR

P Q p + q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Símbolo del operador OR

o compuerta OR

Tabla de verdad para NOT

P p 0 1 1 0

Símbolo del operador NOT

o compuerta NOT



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Además de estas 3 compuertas simples, existen otras 3 un poco más complejas, debido a que son una combinación de las anteriores, las cuales se muestran a continuación:

Tabla de verdad para NAND

P Q (p.q)’ 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Símbolo del operador NAND

o compuerta NAND

Tabla de verdad para NOR

P Q (p+q)’ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Símbolo del operador NOR

o compuerta NOR

Tabla de verdad para XOR

P Q p*q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Símbolo del operador NOR

o compuerta NOR

Para una mejor interpretación y conceptualización de las compuertas anteriores, se presenta la



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siguiente tabla: X Y NOT OR NOR AND NAND XOR 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0

Tabla 1. Tablas de verdad para 6 operadores fundamentales. Ahora bien veamos cómo se utilizan las compuertas lógicas. Si tenemos dos entradas X,Y y deseamos tener como salida un 1 con sólo verificar las tablas de verdad podremos obtener la solución.

• En la tabla de verdad del AND cuando X=1 y Y=1 la salida es igual a 1.

• En la tabla del OR en cualquier combinación diferente de X=0 y Y= 0 la salida es igual a 1.

• En la tabla del NAND cualquier combinación diferente de X=1 y Y=1 la salida es igual a 1.

OR 1 X = 0

Y = 1 OR 1 X = 1

Y = 0 OR

1 X = 1 Y = 1

AND 1 X = 1

Y = 1



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• En la tabla del NOR cuando X=0 y Y=0 la salida es igual a 1. En el caso que se tuvieran tres entradas X, Y, Z y como salida se deseara obtener un 0 encontraríamos también varias alternativas. X Y Z Salida

? ? ? 0

Una de ellas podría ser utilizando la tabla de verdad de la compuerta AND, y tendríamos 8 (23) combinaciones, de las cuales únicamente que todos fueran 1 no se cumpliría nuestra condición, una de las 8 combinaciones podría ser la siguiente: Tabla de verdad para AND p Q p . q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

X Y Z Salida 0 0 0 0

1 Y = 1 NAND X = 0

Y = 0 NAND X = 1 1

Y = 0 X = 0

NAND

NOR 1 X = 0 Y = 0

TABLA PARA X,Y,Z

AND 0 X = 0

Y = 0 AND Z = 0 0

X = 0 Y = 0 0 Z = 0

AND

Representación del circuito.

Circuito simplificado.



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Como hemos visto en los ejemplos anteriores para solucionar un problema existen muchas opciones que pueden ser correctas siempre y cuando se obtenga el resultado esperado.

Un caso real de la aplicación del algebra boolena podría ser el siguiente: Se tiene un circuito electrónico que debe recibir dos señales eléctricas y de acuerdo a ellas encender o apagar una bomba automática.

¿Cómo sería el circuito electrónico para encender la bomba?

Dado que las señales únicamente pueden representar dos valores 1 presencia de corriente y 0 ausencia de

corriente. Si deseamos que la bomba se mantenga encendida deberemos revisar qué compuerta lógica nos permite tener como salida un 1 y los valores que tendríamos que tener como entrada.

Por lo tanto:

A B Salida ? ? 1

P Q P OR Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

P Q P AND Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1



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Si revisamos la tabla de la compuerta AND observaremos que si tenemos en las dos entradas 1 nuestro resultado será 1. Si revisamos la tabla de la compuerta OR observaremos que cualquier combinación diferente a 0,0 dará como resultado 1. De lo anterior podemos concluir que nuestro circuito puede representarse con las compuertas AND y OR de la siguiente manera:

Ahora veamos ¿Cómo sería uno de los circuitos para mantener la bomba apagada? Recordemos que la bomba se mantiene apagada si la salida del circuito es 0 por lo tanto debemos revisar con qué combinaciones y qué compuertas se obtiene como salida un 0.

A B Salida ? ? 0

Si revisamos la tabla de la compuerta AND observaremos que cualquier combinación diferente de 1,1 el resultado será 0.

AND 1 A = 1

B = 1 OR 1 A = 1

B = 1 OR 1 A = 0

B = 1 OR 1 A = 1

B = 0



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Si revisamos la tabla de la compuerta OR observaremos que únicamente cuando se presenta la combinación 0,0 dará como resultado 0. De lo anterior podemos concluir que nuestro circuito podría representarse de las siguientes maneras: Es muy importante recordar que una compuerta lógica puede tener varias entradas pero únicamente una salida y el circuito puede ser tan simple o complejo de acuerdo al número de variables que tiene el problema. En el caso de las computadoras, el hardware es capaz de producir salidas de información a partir de una o varias entradas, ya que el hardware utiliza exclusivamente código binario (1,0) las direcciones de memoria y demás información que se maneja en hexadecimal tiene que ser convertida primeramente a binario para poder ser procesada por los circuitos físicos, de ahí la utilidad del algebra de Boole en el ámbito computacional.

Ya para concluir veamos un ejemplo. Se tiene la dirección de memoria A5 hexadecimal y se desea acceder a ella para leer su contenido. El acceso a la memoria es representado por un 1. Los pasos a seguir podrían ser:

AND 0 A = 0

B = 1 AND 0 A = 1

B = 0 AND 0 A = 0

B = 0 OR 0 A = 0

B = 0



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1.- Conversión de hexadecimal a binario. A5 hexadecimal = 10100101 2.- Determinar el circuito lógico que con la dirección podría generar un 1.

a) Si agrupamos los elementos en grupos de 4 empezando de derecha a izquierda tal como se realiza para llevar a cabo la conversión tendríamos que se generarían 2 circuitos con cuatro variables cada uno:

H G F E D C B A Salida 1 0 1 0 0 1 0 1 1

b) Ahora procedemos a resolver cada uno de los dos circuitos por separado para facilitar la solución haciendo uso de las compuertas lógicas sin perder de vista que la salida entre los dos circuitos debe ser 1.

Dado que la compuerta OR arroja 1 siempre y cuando la combinación de las entradas no sea 0 por lo tanto definimos que es la compuerta más apropiada para realizar nuestro circuito.

Circuito 1 Circuito 2

Simplificando el circuito podría quedar:

OR 1 A = 1

B = 0 OR 1

D = 0 C = 1 OR 1 A =1

D = 0 OR

1 B =0 C = 1

Circuito 1



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Retomando el mismo ejemplo que en el circuito anterior procedemos a resolver el segundo circuito.

a) Ahora que hemos resuelto los dos circuitos podemos resolver el circuito en su totalidad y con eso estaríamos concluyendo la solución de nuestro problema:

A través de esta lectura se logró la conceptualización, análisis y aplicación del Álgebra booleana a los circuitos combinatorios, empleando las compuertas básicas, además de realizar ejercicios combinando compuertas para lograr incrementar nivel de comprensión sobre el tema, el cual es de suma importancia para comprender como trabajan las tecnologías de la información a nivel de hardware de una computadora.

OR 1 E = 0

F = 1 OR 1

H = 0 G = 0

OR 1

Simplificando el circuito podría quedar:

Circuito 2

E =0

H = 1 OR

1 F =1 G = 0

A =1

D = 0 OR

1 B =0 C = 1

E =0

H = 1 OR

1 F =1 G = 0

OR

1

Circuito Total



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Referencias

Gutiérrez, E. y Larios, R. (1998). Fundamentos de Matemáticas y Lógica. México: IPN. [Versión electrónica]. Recuperado el 18 de febrero de 2011 de la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG. Johnsonbaugh, R. (1999). Matemáticas discretas (4ª ed). México: Prentice Hall. [Versión electrónica]. Recuperado el 18 de febrero de 2011 de la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG.



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