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Sistemas Digitales, Clase N°7

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Postulados del álgebra de booleDefinición:

Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b K; a x b y a + b K.

Axiomas del algebra de Boole:Axioma 1:

Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a K :

• a + 0 = a (elemento neutro)• a x 1 = a (elemento identidad)


2

Axioma 2: Ley de Conmutatividad

Para a y b K :

a + b = b + a

a x b = b x a

Axioma3: Ley de Asociatividad, Para a, b y c K :

a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

Axiomas del álgebra de boole


3

Axioma 4: Ley de DistributividadPara a, b y c K :

a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c)a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)

Axioma 5: elemento inversoPara cada elemento a K existe su elemento

inverso tal que :

Postulados del álgebra de boole

0

1

aa

aa


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Establece que si una expresión es valida en el álgebra de Boole, entonces su expresión dual también lo es.

Determinamos la expresión dual remplazando los operadores “+” por “x” y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa.

Ejemplo:

a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0

Principio de Dualidad


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Teoremas

• Teorema 1: Operaciones con “0” y “1”

• Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”:

• Teorema 3:operaciones superfluas con una variable

aaa

aaa

001111

101000

0011 AA


6

Teoremas• Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de

A es igual a A).

• Teorema 5: teorema de Absorción:

• Teorema 6: t. de simplificación:

AA

abaa

abaa

)(

babaa

babaa

)(


7

Teoremas • Teorema 7:

• Teorema 8:

ababa

ababa

)()(

)()()()( cabacbaba

cabacbaba


8

Teoremas • Teorema 9: Teorema de Morgan

• En general:

baba

baba

zcbazcba

zcbazba

......

......


9

Teoremas • Teorema 10: Consenso

)()()()()( cabacbcaba

cabacbcaba


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Funciones de Conmutación

Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos:

• Función de conmutación: es una correspondencia que asocia un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, … , xn.

Ejemplos:

En general una función de conmutación queda definida por una tabla de verdad.

0000)1,1,0(

),,( 313211321

F

xxxxxxxxxF

n2


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Representación de una función de Conmutación

• Tabla de Verdad:

Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente.

Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b

a b a+b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b axb

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


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Tabla de Verdad

• Describa una función de conmutación con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1).

a b c f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1


13

cbcbacbacbaf ),,(

1

1

1

0

1

0

0

0

100111

001110

010101

000100

100011

000010

000001

000000

fcbcbacbaabc


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Formas Algebraicas• Suma de Productos: se construye al sumar (or)

términos productos (and).

Ejemplo:

• Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de términos suma (or).Ejemplo:

dcadbcbadcbaf ),,,(

)()(),,,( dacbadcbaf


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• Formas Canónicas:

Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación.

Mintérmino: término de una función de conmutación que corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejemplo:

Maxtérmino: término de una función de conmutación que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejemplo:

),,( cbaf cbacbacbam ;

),,( cbaf )(),( cbacbaM


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Formas Canónicas Suma de Productos

cbacbacbacbaf ),,(

a b c f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

cba

cba

cba

Relación con la tabla de verdad:

Cada mintérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que:

• Las variables no están complementadas si tienen el valor 1 para la combinación en la cual la función vale 1.

• Las variables están complementadas si tienen el valor 0 para la combinación en la cual la función vale 1.


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1100111

0000011

0000101

0000001

0000110

1010010

0000100

1001000

fcbacbacbacba

cbacbacbacbaf ),,(

Formas Canónicas Suma de Productos


18

Formas Canónicas Producto de Sumas

)()()(),,( cbacbacbacbaf a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Relación con la tabla de verdad:

Cada maxtérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que:

• Las variables no están complementadas si tienen el valor 0 para una combinación en que la función vale 0

• Las variables están complementadas si tienen el valor 1 para una combinación en que la función vale 0

cba

cba

cba


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Formas Canónicas Producto de Sumas

)()()(),,( cbacbacbacbaf

1111111

0110011

1111101

1111001

0101110

1111010

1111100

0011000

fcbacbacbacba


20


• Especificación decimal:– Suma de Productos:

– Producto de Sumas:

)7,5,3,1(),,(

),,(

)()()()(),,(

7531

Mcbaf

MMMMcbaf

cbacbacbacbacbaf

)7,6,3,1(),,(

),,(

),,(

7631

mcbaf

mmmmcbaf

cbacbacbacbacbaf


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Relación Mintérminos - Maxtérminos

)5,4,1,0()7,6,3,2(),,( Mmcbaf

mM

Mm

ii

ii


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Deducción de Formas Canónicas

• Teorema de expansión de Shannon:

• Ejemplo:

Si falta se multiplica por la suma es igual a 1

3213221321 ),,( xxxxxxxxxxf

),...,,1(),...,,0(),...,,(

),...,,0(),...,,1(),...,,(

212121

212121

nnn

nnn

xxfxxxfxxxxf

xxfxxxfxxxxf

ix )( ii xx )( ii xx

)7,2,6,4,5(),,(

),,(

)()(),,(

321

321321321321321321

32111323321321

xxxf

xxxxxxxxxxxxxxxxxxF

xxxxxxxxxxxxxxF


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Convertir a Suma de Productos Canónica

)7,6,4,3,1(

)()(

)0,,()1,,(

)()(

),0,(),1,(

)(

),,0(),,1(

),,(

m

cbacbacbacbacba

babacbababac

bacbafc

cbacbacbaba

cacabcaab

cabcafb

cacba

cbfacbfa

cacabacbaf a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1


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Convertir a Suma de Productos Canónica

)7,6,4,3,1(),,(

),,(

13

46

67

mcbaf

mmcbacbaca

mmcbacbaca

mmcbacbaba

cacabacbaf

ababa


25

Convertir a Producto de Sumas Canónica

)3,2,1,0(

)()())(()()(

)()()()(

))()(())()((

)()(

)(),,(

M

cbacbacbacbacbacba

cbacbaccbaccba

cbabaccbaba

cbbaccbba

caacbaf

sistemas digitales, clase n°7 1 postulados del álgebra de boole definición: algebra booleana es...

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