UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA- FIGMM DINMICA DE ROTACIN

Fsica IUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA- FIGMM DINMICA DE ROTACIN

INDICE

Resumen.pg.2Introduccinpg.3Fundamento terico..pg.4Materialespg.8Procedimientospg.10Clculos y resultados..pg.11Conclusiones y observaciones..pg.22Bibliografa y webgrafa..pg.23

ResumenEn el siguiente informe de laboratorio trataremos aspectos relevantes en el tema de Dinmica de rotacin, al analizar clculos experimentales de la rueda de maxwell en el laboratorio, seguido de un riguroso anlisis y buen concepto de lo que significa principio de conservacin de la energa y sobre todo del momento de inercia como aplicacin fundamental del presente informe; el claro concepto de lo que llamamos momento de inercia es determinante para distinguir diferentes aplicaciones; se mostrar que la energa cintica se divide en dos: energa cintica de traslacin y energa cintica de rotacin, siendo el momento de inercia influyente en esta; en el presente trabajo esperamos ser objetivos y concisos en el anlisis fsico de todo clculo inercial.

Introduccin

El aprendizaje de distintos mtodos y conceptos a lo largo del curso de fsica, nos sirven para verificar y relacionar lo experimental con lo real, en el siguiente trabajo aremos uso de mtodos aprendidos en laboratorios pasados como el mtodo de mnimos cuadrados, el uso de la rueda de maxwell, el principio de conservacin de la energa, velocidad instantnea, velocidad angular, clculo de errores e incertidumbre, entre otros, as llegando a la definicin y empleo de un nuevo tema el cual es momento de Inercia.

La terminologa momento de inercia como se usa aqu, es en realdad errnea; sin embargo, ha sido adoptada debido a la similitud con integrales de la misma forma relacionadas con la masa. Tengamos en cuenta que el momento de inercia, y la energa cintica de traslacin como rotacional son referidas a un cuerpo rgido, llamando cuerpo rgido a aquel cuerpo que no se deforma en presencia de fuerzas exteriores.

Daremos a conocer distintos objetivos en el presente como lo es observar un sistema mecnico donde se conjugan los movimientos de traslacin de una partcula y la rotacin del cuerpo rgido para luego analizar dicho sistema mecnico a partir de las leyes dinmicas de traslacin y rotacin o, alternativamente, del Principio de Conservacin de la Energa y as afianzar el concepto de inercia rotacional calculando el momento de inercia de diferentes cuerpos reconociendo el carcter aditivo del momento de inercia.

Finalmente lo que se realizar ser observar el movimiento de rotacin de la rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas, determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad. Adems, se debe considerar la conservacin de energa la cual nos ayudar a encontrar el valor de aquel momento de inercia experimentado.

Fundamento Terico

Las variables dinmicas que describen el proceso de rotacin de un objeto sometido a la accin de una fuerza externa son el torque que ejerce la fuerza externa y la aceleracin angular resultante de la aplicacin del torque.

El torque est dado por la expresin:

Donde F es la fuerza que acta sobre el objeto y r es el brazo de aplicacin de la fuerza, medido desde el eje de rotacin.

En estas condiciones, la Segunda Ley de Newton se escribe como

Donde es la aceleracin angular en torno al eje de rotacin e I es el momento de inercia del objeto respecto del eje de rotacin. La aceleracin angular est dada por la expresin

Donde q es el ngulo de rotacin, w es la velocidad angular y la direccin del vector es la de la normal al plano de rotacin.

En forma ms general, la Segunda Ley de Newton puede escribirse como

Donde L es el momento angular. En este caso tanto como L estn medidos respecto del mismo punto.

El momento angular de una masa puntual respecto de un cierto punto P est dado por la expresin

Donde p es el momentum lineal y r es el vector posicin de la masa respecto de P.

En el caso de un objeto slido que rota en torno a su eje de simetra con velocidad angular w, el momento angular est dado por

Donde I es el momento de inercia respecto del eje de rotacin y el vector apunta a lo largo del eje.

Un objeto puede experimentar rotacin en torno a su centro de masa en situacin que el centro de masa se encuentra en reposo. En este caso la rotacin tiene asociada energa cintica, que est dada por la expresin

La energa cintica de rotacin de los cuerpos rgidos se expresa por:

EC,R = I w2...(1)

La energa cintica de traslacin de las partculas y cuerpos rgidos est dada por:

EC,T = m vc2..(2)

Donde vc es la velocidad lineal del centro de masa.

En un sistema que incluya rotaciones, la ecuacin para la energa mecnica del sistema debe incluir tanto los trminos de energa potencial, como los de energa cintica de traslacin y rotacin.

En este laboratorio se estudiar la evolucin de las variables dinmicas en procesos de rotacin de objetos con simetra cilndrica, en que el eje de rotacin coincide con el eje de simetra.

Las variables expresadas anteriormente son vectoriales.

Determinacin Terica del Momento de Inercia:

El Momento de Inercia I de un cuerpo respecto a un eje de rotacin se define por:

I = r2 dm(3)

Donde r es la distancia de un diferencial de masa m al eje de rotacin.

Eje de rotacin m r

Momento de Inercia de Algunos Cuerpos

CuerpoEjeMomento de Inercia IDiscoMR2/2

Tubo CilndricoM(R22 + R12)/2

Materiales

El equipo usado en el experimento fue:

Un par de rieles paralelos (como plano inclinado) Una rueda de maxwell Un cronmetro digital Un pie de rey Una regla milimetrada Una balanza Un nivel

Rueda de MaxwellSoporte con dos varillas paralelas y Tablero

Regla graduada de 1 metro en milmetrosNivel

CronmetroPie de Rey

Balanza

Sistema

Procedimientos1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles.2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados unos 10 cm entre s.3. Se mide con el pie de rey el dimetro del eje cilndrico que se apoya sobre los rieles. 4. Fije la inclinacin de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura (sin patinaje).5. Colocar la rueda en reposo en la posicin A0, soltar y simultneamente medir el tiempo (es decir t0=0); medir los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4, correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente y promediar.6. Seguidamente medir la masa del volante y determinar la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4.7. Modificar la inclinacin de los rieles y medir nuevamente los tiempos respectivos a los tramos y la nueva diferencia entre G0 y G4.8. Medir los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje.

Clculos y Resultados1) Considerando los tiempos promedios para , , y , grafique los puntos y . Es el movimiento de traslacin uniformemente acelerado?Tenemos los siguientes datos experimentales para una inclinacin de 9.19Tramo

6.206.326.206.24

8.958.909.028.956

11.2410.9611.0411.08

12.9012.6812.6612.8812.9412.8712.6512.8212.4912.5312.693

Graficando los puntos anteriormente mencionados tenemos:

Para hallar la ecuacin mencionada en la grfica utilizamos el mtodo de los mnimos cuadrticos, resolviendo la siguiente ecuacin:

Dnde: Siendo: 2.- Grafique d vs

Tiempo2 (s2)Distancia (cm)

0.000

62.4110

121.8820

194.8830

250.5840

Tiempo2 (s2)Distancia (cm)

0.000

38.9310

80.220

122.7630

161.1140

La ecuacin de la recta hallada en la grfica resolvemos la siguiente ecuacin:

Dnde: Siendo:

2) Suponiendo que la aceleracin de traslacin es constante y aplicando la desviacin estndar y propagacin de errores, calcular:

a) La aceleracin del centro de masa .Para ello procederemos a derivar dos veces la ecuacin del movimiento vs tiempo hallada en la primera pregunta

Haciendo un cambio de unidades:

b) La velocidad de traslacin del centro de masa en la posicin .

ngulo variables x4 (m)t4(s)V4 (m/s)

= 6.91 0.415.8330.05052

= 9.190.412.6930.06302

Para ello pasaremos a evaluar en :

Haciendo un cambio de unidades:

c) La velocidad angular de la rueda en el instante :Tenemos la ecuacin: , siendo r el radio de la rueda: r= 6.25 cm=0.0625 m

d) El momento de inercia de la volante usando la ecuacin:

Siendo: M: masa de la volante. : Momento de inercia.Despejando y reemplazando los datos en la ecuacin, tenemos:

Lo hallado seria el momento de inercia de .

e) Cmo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?Para responder a esta pregunta compare el valor de I obtenido de las mediciones en los puntos : Ahora para ver cmo influye la longitud en el momento de inercia IG, hallaremos para cada punto, dicho momento mediante la frmula:

Por lo que para desarrollar dicha ecuacin necesitamos contar con los siguientes datos:

1. Para

Hallamos primero la velocidad de traslacin:

TABLA NMERO 1

PosicinPuntox (m)t (s)Vi (m/s)

A0 A1G10.17.9062.52x 10-2

A0 A2G20.211.043.62x 10-2

A0 A3G30.313.964.29x 10-2

A0 A4G40.415.835.05x 10-2

Ahora para hallar el momento de inercia para cada punto se toma en cuenta los dems datos:

TABLA NMERO 2

PosicinPuntoM (Kg)g (m/s2)r (m)h0 (m)hi (m)h (m)

A0 A1G10.3595x10-39.813.225x 10-38.1x 10-27.075x 10-21.025x 10-2

A0 A2G20.3595x10-39.813.225x 10-38.1x 10-26.05x 10-22.05x 10-2

A0 A3G30.3595x10-39.813.225x 10-38.1x 10-25.025x10-23.075x 10-2

A0 A4G40.3595x10-39.813.225x 10-38.1x 10-24x 10-25.1x 10-2

Calculando el momento de inercia para cada Gi: Haremos el clculo para y para el resto ser anlogo al primero.

= 1.18 x 10-3 kg . m2 = 1.14 x 10-3 kg . m2 = 1.22 x 10-3 kg . m2 = 1.46 x 10-3 kg . m2

Graficamos el momento de inercia versus la variacin de la longitud, para as ver cmo influye dicha variacin de longitud en momento de inercia.

GRFICA NMERO 3

1. Para Hallamos primero la velocidad de traslacin:

TABLA NMERO 3

PosicinPuntox (m)t (s)Vi (m/s)

A0 A1G10.16.243.20x 10-2

A0 A2G20.28.9564.46x 10-2

A0 A3G30.311.085.41x 10-2

A0 A4G40.412.6936.30x 10-2

Ahora para hallar el momento de inercia para cada punto se toma en cuenta los dems datos:

TABLA NMERO 4

PosicinPuntoM (Kg)g (m/s2)r (m)h0 (m)hi (m)h (m)

A0 A1G10.3595x10-39.813.225x 10-39.8 x 10-28.35x 10-21.45x 10-2

A0 A2G20.3595x10-39.813.225x 10-39.8 x 10-26.9 x 10-22.9 x 10-2

A0 A3G30.3595x10-39.813.225x 10-39.8 x 10-25.45x 10-24.35x 10-2

A0 A4G40.3595x10-39.813.225x 10-39.8 x 10-24. 10-25.8x 10-2

Calculando el momento de inercia para cada Gi:

= 1.035 x 10-3 kg . m2 = 1.065 x 10-3 kg . m2 = 1.086 x 10-3 kg . m2 = 1.171 x 10-3 kg . m2

Graficamos el momento de inercia versus la variacin de la longitud, para as ver cmo influye dicha variacin de longitud en momento de inercia.

GRFICA NMERO 4

Al querer determinar, como influye la variacin de la longitud en el momento de inercia; analizaremos cada una de las grficas, y nos daremos cuenta que al sacar la pendiente de cada recta que se obtuvo en los grficos 1,2,3 y 4 , (Ii/x ) , se aproxima a cero, lo que quiere decir que el momento de inercia no cambia para cualquier punto de su cuerpo.

Ahora la rectas en verdad, no es una recta puramente horizontal, sino que tiene imperfecciones, y eso es debido a la incertidumbre o error que se obtuvo.

f) Cmo influye la inclinacin de los rieles?Hallaremos el momento de inercia de la rueda a otra inclinacin en este caso 6.91.Primero hallaremos la velocidad con los siguientes datos experimentales:Tramo

7.867.848.027.906

11.0110.8711.2411.04

14.0813.8413.9613.96

16.0415.5315.9515.9215.6515.7316.1015.5615.9815.8715.833

Graficando y hallando la curva de tendencia utilizando el mtodo de los mnimos cuadrticos tenemos:

Ahora:

Hallaremos la velocidad para el instante

Ahora hallaremos el momento de inercia para

Notamos que vara un poco ms comparando con los momentos de inercia del caso anterior, entonces podemos concluir que el momento de inercia vara segn el ngulo de inclinacin del riel. Ya que al tener una menor inclinacin la aceleracin es menor, por ende la velocidad sera menor en un punto que a una inclinacin mayor. Por lo tanto el momento de inercia es menor.g) Calcule el momento de inercia a partir de la definicin y las mediciones geomtricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilndrico.

Para ello procederemos a hallar el momento de inercia de un cilindro hueco:Como se trata de una distribucin continua de masa, definimos: En este caso: Luego: Como: Por lo tanto:

Ahora hallaremos el momento de inercia de una barra:

Como se trata de una distribucin continua de masa, definimos: En este caso: Luego:

Como: , Por lo tanto: Ahora procederemos a reemplazar los datos de las mediciones hechas:

Al final tenemos:

Vamos a hallar el % error:

h) Cules son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el clculo del momento de inercia?Para responder a esa pregunta presentamos el siguiente grfico:Las reas que estn sombreadas son los que no se pudieron medir con el pie de rey, por lo tanto son las que ms error producen. Como pudimos notar al momento de hallar el porcentaje de error del momento de inercia.

Conclusiones y observaciones: Al momento de ajustar una curva, en la cual se encuentran los valores encontrados en las experiencias del laboratorio, es importante poder saber que estos ayudan a encontrar una uniformidad en los resultados que siempre puede variar debido a los errores existentes. Por este motivo, las curvas se ajustan a valores promedio que pueden dar un comportamiento aceptable de los hallazgos en el laboratorio. Una aplicacin efectiva en este trabajo es el uso de la teora del teorema de steiner, una forma de poder hallar los momentos de inercia de un nivel de referencia uniforme, mediante esa teora se puede hallar fcilmente los resultados porque se toma un eje de referencia y a partir de ese, se muestran los diferentes resultados. Se mostro algo complicado el determinar algunas dimensiones del volante, por la misma dificultad de la geometra del slido y el pie de rey. Sera recomendable pensar en formas de disminuir la cantidad de error en el trabajo por medio de mediciones ms exactas. Esto se puede lograr por medio de menores porcentajes de error al momento de medir las dimensiones de los aparatos. Adems de mayor exactitud en algunas medidas tomadas. Mejor calibracin de los instrumentos podra hacer que los resultados fuesen ms precisos. Como asegurarse que la rueda de Maxwell ruede sobre un mismo trayecto y no se desve a los lados. Estas cosas se deben considerar para hallar valores ms cercanos al momento de inercia terico.

Bibliografa: RUSSEL C. HIBBELER. ESTTICA, dcima edicin. Pearson Prentice Hall. Cap.10 pg499 HALLIDAY, D., RESNICK, R. y WALKER, J. (1993) Fundamentals of Physics Volume 1. United States of America, John Wiley & Sons, Inc. ALONSO, M. y FINN, E. (1986) FISICA Volumen 1: Mecnica. Ciudad de Mxico, Mxico, Addison-Wesley Iberoamericana GONI GALARZA, J. FISICA GENERAL. Lima, Per, Editorial Ingeniera

Webgrafa: http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html http://kwon3d.com/theory/moi/moi.html http://www.terra.es/personal/jdellund/ayuda/inercia.htm http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/thermo1f.html http://www.school-for-champions.com/science/motionlaws.htm

INFORME DE FSICA N522