Universidad Autnoma del Estado de Mxico Facultad de Qumica Termodinmica Avanzada

RELACIONES DE MAXWELL

James Clerk Maxwell (Edimburgo, Escocia, 13 de junio de 1831 Cambridge, Inglaterra, 5 de noviembre de 1879) Fsico escocs considerado una de las mentes matemticas ms brillantes de su poca. Public artculos clsicos dentro del estudio del electromagnetismo, y desarroll una destacable labor tanto terica como experimental en termodinmica; las relaciones de igualdad entre las distintas derivadas parciales de las funciones termodinmicas, denominadas relaciones de Maxwell.

Las ecuaciones que relacionan las derivadas parciales de las propiedades , y de un sistema compresible simple entre s se conocen como relaciones de Maxwell.

Relaciones de Maxwell

Se obtienen a partir de las cuatro ecuaciones de Gibbs y se basan en las propiedades de la diferenciales exactas.Son de mucha utilidad ya que permiten obtener de manera indirecta, es decir sin la necesidad de medir experimentalmente, algunas propiedades termodinmicas.

Dichas expresiones relacionan, para un sistema en equilibrio, las variaciones de las magnitudes entropa o temperatura, con las variaciones de magnitudes mecnicas como la presin o el volumen.El conocimiento de la ecuacin trmica de estado del sistema va a permitir el clculo de variaciones de energa interna y entropa.

Diferenciales Exactas

Equivalente

Dado que F(x,y) es una funcin diferenciable, por derivadas cruzadas tenemos que :

Derivadas Parciales*Derivadas parciales de primer y segundo orden.

Teorema de Clairaut o de las Derivadas Cruzadas

Derivadas TotalesSe llama diferencial o derivada total de la funcin

a la siguiente expresin

Relaciones entre derivadas parciales(Regla Cclica)Supongamos que tenemos la funcin , podemos despejar una de las variables en funcin de las otras dos. Despejando x y y :

Por sustitucin de la segunda ecuacin en la primera:

Se cumplen las siguientes propiedades:

Y por lo tanto, tenemos:

Ecuaciones de Gibbs1 Ley

2 Ley

Para la energa interna S y V son sus variables naturales

Ecuaciones Fundamentales de la Termodinmica n = CONSTANTE

Relaciones de Maxwell

Relacin de reciprocidad de Euler Sea z una funcin de x e y z(x,y)

Diferencial Exacta

Ecuacin Diferencial Exacta

Y para qu sirve?

Ejemplo. Demostrar que el cambio de energa interna para un gas ideal slo depende de la temperatura.

Otro ejemplo. Demostrar que

Recuerde que:

Ejercicio. En la ecuacin de van der Waals

Es una funcin cbica para el volumen, por tanto no se puede resolver para V=f(T,p) Encuentre una expresin para la derivada parcial

Otro ejercicio. :P La energa potencial vibracional de una molcula diatmica se puede aproximar por la funcion de Morse.

Donde A, B y r0 son constantes. Encuentre el valor de r donde se minimice la energa del sistema.

Bibliografa [1] Barrante, JR (2004) Applied Mathematics for Physical Chemistry. 3rd Edition. Pearson. [2] Levine, IN. (2009) Physical Chemistry. 6th Edition. McGraw-Hill. [3] Stewart, J. (2007) Clculo. 6ta Edicin. Cengage Learning. [4] Zill, D. (2008) Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. 7 Edicin. Cengage Learning.