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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
EN LA DIVERSIDAD CULTURAL
1. Resolución de triángulos rectángulos
Empezaremos nuestra clase con las siguientes actividades:
1. Salimos del aula para observar lo que sucede en nuestro alrededor y escribimos lo más
sobresaliente e impactante:
…………………………..
2. En grupos de tres personas mediremos las
siguientes longitudes:
Altura de la escalera
Longitud del resbalín
Distancia del punto B al punto C de la figura
Angulo que forma el resbalín con el piso
3. Escribe en tu cuaderno los datos encontrados y muéstranos el procedimiento que desarrollaste
para obtener esas respuestas.
4. Calcula en tu cuaderno la longitud del lado donde está el arco de la cancha de fútbol:
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Un triángulo rectángulo tiene en particular un ángulo interno recto (90°)
y para poder resolverlo, basta conocer dos de sus datos. En la figura
adjunta los lados “a y b” son llamados catetos y el lado “c” es conocido
como la hipotenusa. (Véase figura adjunta)
Para resolverlo pueden presentarse los siguientes casos:
Para resolver el triángulo rectángulo de la figura debemos considerar:
El Teorema de Pitágoras
2 2 + 2
La suma de los ángulos agudos
+ 90
Expresiones para calcular los catetos
Expresiones para calcular la hipotenusa
En los dos últimos recuadros estamos empleando las funciones trigonométricas Seno,
Coseno y Tangente para el ángulo agudo del triángulo rectángulo de la figura adjunta.
(Debe repasar las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo).
Sabías que:
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos.
Resolver un triángulo es hallar todos sus elementos conociendo tres de ellos,
de los cuales uno por lo menos debe ser un lado.
Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.
Se conoce la hipotenusa y un cateto.
Se conoce un cateto y un ángulo agudo.
Se conoce los dos catetos.
Recuerda:
Un ángulo agudo es
aquel cuya medida
es menor a 90°.
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1.2 Área de un triángulo rectángulo
El área S de un triángulo rectángulo adjunto en
la figura se puede calcular mediante las
siguientes fórmulas:
Los catetos
2
La hipotenusa y la altura
ℎ
2
La hipotenusa y un ángulo agudo
2 n 2
2
1.3 Ángulo de elevación y depresión
Como se ilustra en las figuras, si un observador en el punto “x” ve un objeto, entonces el ángulo que
la línea de vista forma con la horizontal l es el ángulo de elevación del objeto, si éste está sobre la
línea horizontal o el ángulo de depresión del objeto, si éste está debajo de la línea horizontal.
Sabías que: El considerado padre de la trigonometría: Hiparco de
Nicea.
Hiparco nació en Nicea de Bithynia lo que actualmente
corresponde a Iznik, al noroeste de Turquía; por lo que se
sabe, nació alrededor del año 190 a.c. Se calcula que
efectuó sus primeras observaciones astronómicas en su
ciudad natal y más tarde marchó a la isla de Rodas en la
zona suroeste del Mar Egeo, fue aquí donde realizó sus
principales trabajos, algunos historiadores lo sitúan como
un astrónomo visitante en Alejandría y también fue ahí
donde realizó otros importantes trabajos
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2. Resolver el triángulo rectángulo 𝑸𝑹𝑵 (𝑹 = 𝟗𝟎°) y, calcular
el perímetro y el área correspondiente.
1. Resolver el triángulo rectángulo 𝑨𝑩𝑪 (𝑪 = 𝟗𝟎°) y,
calcular el perímetro y área correspondiente.
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Ahora te toca a ti, practica un poco:
Considerando el siguiente triángulo rectángulo de la figura:
Resuelve en este recuadro los ejercicios pares y los impares lo realizas en tu cuaderno:
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3. (Usar un ángulo de elevación) Desde un punto al nivel del
suelo a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de
elevación de la cima de la torre es 57°20'. Calcula la altura
de la torre.
4. (Usar un ángulo de depresión) Desde lo alto de un edificio situado frente a un océano, un
observador ve un bote que navega directamente hacia el edificio. Si el observador está a
100 pies sobre el nivel del mar y si el ángulo de depresión del bote cambia de 25° a 40°
durante el periodo de observación, calcule la distancia que recorre el bote.
Solución. Si denotamos con la altura de la torre, entonces los datos dados están representados por el
triángulo rectángulo de la figura. Consultando la figura, obtenemos:
La torre mide aproximadamente 211 pies de altura.
Solución. Como en la figura, sean A y B las posiciones
del bote que corresponden a los ángulos de 25° y 40°,
respectivamente. Suponga que el observador está en el
punto D y C es el punto 100 pies directamente abajo.
Ahora, denote con d la distancia que recorre el bote y denote con k la distancia de B a C. Si α y β
denotan los ángulos DAC y DBC, respectivamente, entonces se deduce por geometría (ángulos
alternos internos) que a α =25° y β =40°.
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Despejando :
En consecuencia, el bote recorre aproximadamente 95 pies.
AHORA ES TU TURNO, A PRACTICAR UN POCO: (Resuelve en tu cuaderno)
Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación realizando un dibujo adecuado para obtener de
forma sencilla la solución a cada problema.
1. Una escalera de 6 metros de longitud está apoyada a un muro, y forma un ángulo de 72°
con la horizontal. Calcula la distancia que existe entre el pie de la escalera y el muro.
2. ¿Cuál es la altura de un árbol, que arroja una sombra de 20 metros de longitud, cuando el
sol está elevado a 37°30‟ sobre el horizonte?
3. Un poste de 10 metros de largo, proyecta una sombra de 8,4 metros. Halla el ángulo de
elevación del sol.
Ánimo, tú puedes resolver este ejercicio de aplicación:
4. Un topógrafo usa un instrumento llamado teodolito para
medir el ángulo de elevación entre el nivel del piso y la cumbre
de una montaña. En un punto, se mide un ángulo de elevación
de 41°. Medio kilómetro más lejos de la base de la montaña, el
ángulo de elevación medido es de 37°. ¿Qué altura tiene la
montaña? (Ver figura).
(a) 1.80 km (a) 2.70 km (c) 2.83 km (d) 2.90 km
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Triángulos oblicuángulos
OBJETIVOS
Resolver perfectamente un triángulo oblicuángulo a partir de un dibujo.
Resolver perfectamente un triángulo oblicuángulo a partir de los datos, asociando esos datos
(lados y ángulos) a la posición correcta en el correspondiente dibujo.
2. Resolución de triángulos oblicuángulos
2. Resolución de triángulos oblicuángulos
Si consideramos el siguiente triángulo oblicuángulo cuyos lados a, b y c y ángulos A, B y C
respectivamente están en la siguiente figura.
Para resolver triángulos oblicuángulos estudiaremos la:
Ley de los Senos
Ley de los Cosenos
Propiedad de ángulos
interiores
+ +
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos es recto. Para la resolución de
triángulos oblicuángulos vamos a estudiar la ley de Seno, ley de Coseno y la suma de los ángulos
interiores.
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1. Dados dos puntos B y C de una carretera situados a una
distancia de 250 m se observa un árbol A, sabiendo que el
ángulo C es 50° y el ángulo B es 60°. Calcular la distancia del
árbol al punto más cercano.
Solución. Para encontrar la distancia buscada empleamos la gráfica adjunta: y la ley de los senos:
Cálculo del ángulo A:
Cálculo del lado b:
Cálculo del lado c:
Por tanto, la distancia del árbol al punto más cercano es de 203,08 metros.
2. Resolver el triángulo ABC de la figura:
Datos Incógnitas
𝑨 𝟑𝟗
𝑩 𝟕𝟖
𝒂 𝟐𝟓 𝒎
𝑪 ?
𝒃 ?
𝒄 ?
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Ahora te toca a ti a practicar un poco:
Considerando el siguiente triángulo oblicuángulo de la figura:
Resuelve los ejercicios impares y los pares resuélvelos en tu cuaderno:
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2. Dos trenes parten de la misma estación en trayectorias rectilíneas que forman entre sí un ángulo
de 65°, con velocidades de 120 y 140 km/h. Calcular la distancia que separa los trenes al cabo de 2
horas de viaje.
Solución. Recuerde que , pues las trayectorias
son rectilíneas. Por tanto, las distancias entre el punto E a
los trenes A y B están dados por:
120 ℎ 2ℎ 240
140 ℎ 2ℎ 280
Luego, si denotamos con b y c las distancias de los trenes A y B al punto E respectivamente y, E es el
ángulo formado por estos, entonces la distancia entre los trenes A y B se obtiene a través de la:
3. Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con γ =90°, encuentre los valores exactos de las
partes restantes.
Ley de los Cosenos
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Ahora valoramos la aplicabilidad de triángulos rectángulos y oblicuángulos para resolver
diferentes problemas:
1.- Calcule el ángulo de elevación del Sol si una persona que mide 5.0 pies de estatura proyecta una
sombra de 4.0 pies de largo en el suelo (vea la figura).
¿Cuál es el resultado?
…………………………………………………………………………………………………….…
¿Si estuvieras en una situación similar te serviría la matemática para resolver ese problema?
…………………………………………………………………………………………………….…
En tu criterio, ¿es de utilidad estos contenidos?
…………………………………………………………………………………………………….…
Sabiendo tu estatura y la distancia a un punto del suelo, podrías calcular el ángulo de elevación de
este punto con respecto a la altura de tu persona. Cuéntanos, cómo lo realizaste y cuál es la
respuesta:
…………………………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………………………….…
5. (En el lago Titicaca) Dos barcos salen del puerto de Tiquina al mismo tiempo, en rutas diferentes,
formando entre si un ángulo de 60°. Uno de ellos va a una velocidad de 10 millas/hora, mientras que el
otro a una velocidad de 12,5 millas/hora. Hallar la distancia que separa a los dos barcos después de 2
horas de recorrido.
Las posibles respuestas son:
(a) 20,91 millas (b) 21,91 millas (c) 22,91 millas (d) Ninguna
Desarrolla el procedimiento en tu cuaderno, e indica si te parece interesante la aplicación de la
matemática a un problema de la vida real.
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Resolvemos los siguientes problemas de aplicación y realizamos maquetas trabajando en grupos
comunitarios:
2. Encontrar la altura a la que está volando el Globo
1. ¿Conoces la casa del pueblo?
Adjuntamos la figura de la casa del pueblo, la cual se
encuentra en inmediaciones de la plaza Murillo. Te
planteamos la siguiente pregunta:
1. Si te encuentras justamente donde está el poste verde,
aplicando los conocimientos adquiridos. ¿Cuál es la
altura de la casa del pueblo?, ¿Cuál es la distancia de
la base del poste a la casa del pueblo?, ¿Cuál es
ángulo de elevación desde la base tus pies hasta el
punto más alto de la casa del pueblo?, ¿fuiste a la
plaza Murillo para resolver el problema? ¿te fue
difícil resolver el problema?
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3. Una cometa queda atorada en las ramas de la copa de un árbol. Si el hilo de 90 pies de la
cometa forma un ángulo de 22° con el suelo, estime la altura del árbol, calculando la distancia
de la cometa al suelo.
4. Con los datos adjuntos en la imagen, calcular la distancia entre los barcos aplicando los
conocimientos adquiridos.
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IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA SU
APLICACIÓN EN LA TECNOLOGÍA
Empezaremos nuestra clase con las siguientes actividades:
1. Investigando con nuestros compañeros de curso o amigos, escribimos cuales son las funciones
trigonométricas, el teorema de Pitágoras y los ángulos notables:
…………………………..
2. En grupos de tres personas analizamos la siguiente tabla de ángulos notables y deducimos los valores
para las funciones trigonométricas:
Seno
Coseno
Tangente
Y las relaciones inversas de estas funciones
3. Escribe en el recuadro el procedimiento que desarrollaste para
obtener los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos
notables de la tabla anterior.
…………………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………………......
.....................................................................................................................................................................
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1. Identidades trigonométricas
A continuación se mostrarán como deducir algunas fórmulas que nos permitiran
A continucaiòn realizaremos la demostraciòn de nidentidades trigonometricas para su análisis y
comprensión.
Empleando procedimientos similares y análogos se obtienen un conjunto de fórmulas que nos servirán
para la demostración de identidades trigonométricas:
Una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los
valores que pueda tomar el ángulo, para el cual estén definidas las funciones, recibe el
nombre de Identidad trigonométrica.
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FÓRMULAS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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Para demostrar una identidad trigonométrica pueden seguir los
siguientes pasos:
Partir de un miembro de la igualdad y mediante operaciones e
identidades fundamentales llegar a ser igual al otro miembro.
Puede operarse en ambos miembros de la igualdad empleando
operaciones algebraicas e identidades fundamentales para
obtener una identidad.
2. Verificar la identidad trigonométrica
1. Demostrar la identidad trigonométrica
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4. Verificar la identidad trigonométrica:
3. Verificar la identidad trigonométrica:
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2. Resolución de ecuaciones trigonométricas
Para resolver una ecuación trigonométrica primero debemos repasar las inversas de
las funciones trigonométricas.
Una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que es válida sólo para
ciertos valores del ángulo desconocido, recibe el nombre de Ecuación trigonométrica.
AHORA TE TOCA PRACTICAR A TI:
A través de tus conocimientos y destreza demuestra las siguientes identidades trigonométricas:
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Con los procedimientos del análisis anterior obtenemos las soluciones de las siguientes ecuaciones
Por lo tanto, obtenemos todos los valores de las funciones trigonométricas a través de:
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Ahora con ayuda de los ejemplos anteriores podemos resolver ejercicios más complejos, los cuales nos
servirán para fortalecer nuestros conocimientos.
VALORAMOS LO APRENDIDO A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LOS SABERES Y
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AHORA TE TOCA PRACTICAR A TI:
1. A través de tus conocimientos y destreza resuelve las siguientes ecuaciones
trigonométricas:
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2. Valora tus conocimientos adquiridos y descubre tu talento y destreza, a través de la
demostración de identidades trigonométricas en colaboración y orientación de tu maestro.
Realiza esta actividad en tu cuaderno.
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Realiza un comentario y análisis de lo que más te gusto de “Identidades y ecuaciones
trigonométricas”:
¿En qué puedes aplicar las identidades trigonométricas?
………………………………………………………………………………………………
¿Las ecuaciones trigonométricas, que problemas nos pueden ayudar a resolver?
………………………………………………………………………………………………
¿Resolviste tus prácticas en colaboración comunitaria con tus compañeros?
………………………………………………………………………………………………
¿Tu maestro te apoyo y orientó en el desarrollo de los ejercicios?
………………………………………………………………………………………………
¿Crees qué es bueno trabajar en equipos comunitarios para resolver la práctica?
………………………………………………………………………………………………
¿Cuál sería tu sugerencia para obtener un aprendizaje realmente significativo?
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Realizamos fichas individuales con las tarjetas recicladas de recarga de crédito para
móvil, donde colocamos en una cara un miembro de la identidad trigonométrica y en el
reverso de la ficha colocamos su identidad equivalente.
El objetivo consiste en formar equipos de trabajo de 3 o 4 personas y entre los
representantes se puede competir para obtener un equipo ganador y así obtener un
aprendizaje significativo.
Producimos materiales educativos de los contenidos desarrollados, trabajando en grupos comunitarios para
fortalecer el proceso pedagógico.
Nota. El objetivo de esta actividad, aparte de la memorización, es que estudiante tenga la capacidad de
análisis y clasificación de las fórmulas de identidades trigonométricas, las cuales le serán de mucha
utilidad cuando desarrolle estudios superiores.
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DOMINO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
En grupos de cuatro personas, elaboramos nuestro Domino de Identidades Trigonométricas
con fichas regulares elaboradas de cartón o cartulinas reciclables para fortalecer mucho más
nuestro aprendizaje y conocimiento.
Dejamos a continuación una imagen para el formato de las fichas de Domino, para poder jugar
en grupos comunitarios y así aprender más y más la matemática a través de juegos
matemáticos.