trigonometría y triángulos rectángulos

8/19/2019 Trigonometría y Triángulos Rectángulos

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Trigonometría y Triángulos Rectángulos

Objetivos de Aprendizaje

• Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes desconocidas de los

lados de un triángulo rectángulo.

• Encontrar las longitudes y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo.

• Encontrar los valores exactos de una función trigonométrica para ángulos que miden

30! "#! y $0.

• %esolver pro&lemas de aplicación usando trigonometr'a de triángulos rectángulos.

Introducción

(upongamos que de&es construir una rampa y no sa&es qué tan larga de&e ser. )onocesciertas medidas de ángulos y longitudes de lados! pero necesitas encontrar la informaciónfaltante.

*ay seis funciones trigonométricas que puedes usar para calcular lo que no conoces.

+,ora aprenderás a usar dic,as funciones para resolver pro&lemas que involucrantriángulos rectángulos.

Por lo tanto, si te tienes un ángulo como 52 y te piden la cosecante, tienes que poner en tucalculadora: 1/(sin52).


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Usar el Teorema de Pitágoras en Problemas de Trigonometría

*ay varias formas de determinar la información desconocida en un triángulo rectángulo.

Una de estas formas es el Teorema de Pitágoras! que dice .

(upongamos que tienes un triángulo rectángulo en el que a y b son las longitudes de suscatetos y c es la longitud de la ,ipotenusa! como se muestra a&a-o.

(i conoces la longitud de dos de los lados! entonces puedes usar el Teorema de Pitágoras

/ para calcular la longitud del tercer lado. Una ve que conoces todos loslados! puedes usar todas las funciones trigonométricas.

jemplo

Pro&lema ncontrar los valores de y !

http://void%280%29/http://void%280%29/


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Puedesinmediatamentecalcular la tangentea partir de sudefinición y de la

información en eldiagrama.

Para encontrar elvalor de la secante!necesitarás lalongitud de la,ipotenusa. Usa elTeorema dePitágoras paraencontrar la longitud

de la ,ipotenusa.

+,ora calcula sec X usando la definiciónde secante.

Respuesta


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1)uál es el valor de 2

+/

/

)/

4/

Mostrar/Ocultar espuesta

+lgunos pro&lemas pueden proporcionar los valores de dos raones trigonométricas paraun ángulo y pedirte que encuentres el valor de otras raones. (in em&argo! realmente

sólo necesitas conocer el valor de una raón trigonométrica para encontrar el valor decualquier otra raón trigonométrica para el mismo ángulo.



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jemplo

Pro&lema

Para el ángulo agudo A" ! ncontrar los

valores de y !

Primero necesitasdi&u-ar un triángulorectángulo donde

.

5a tangente es laraón del ladoopuesto y del ladoadyacente. (emuestra el triángulomás simple quepuedes usar quetenga esa raón.Tiene una longituddel lado opuesto de6 y una longitud del

lado adyacente de #.Pudiste ,a&er usadoun triángulo cuyolado opuesto mida "y lado adyacentemida 70. (ólonecesitas la raón

para reducir a /.


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Puedes usar elTeorema dePitágoras paraencontrar la,ipotenusa.

5uego usas ladefinición de cosenopara encontrar cos A.

+,ora usas el ,ec,ode que sec A 879cos A paraencontrar sec A.

Respuesta

!

jemplo

Pro&lema

#i el ángulo X es un ángulo agudo con "

$cuál es el valor de %


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En éste triángulorectángulo! ya que

! la raón del

lado opuesto y la

,ipotenusa es . Eltriángulo más simpleque podemos usar quetenga esa raón ser'a eltriángulo que tiene unalongitud del ladoopuesto de 3 y unalongitud de ,ipotenusade ".

Podemos usar elTeorema de Pitágoraspara encontrar lalongitud del catetodesconocido.

Puedes calcular la

cotangente usando ladefinición.

: puedes encontrar lacotangente calculandoprimero la tangente yluego su rec'proco.

Respuesta


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Resolviendo Triángulos Rectángulos

+ determinar todas las longitudes de los lados y medidas de los ángulos de un triángulorectángulo se le llama resolver el triángulo rectángulo. ;eamos cómo ,acer esto cuandose nos da la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Una ve que aprendascómo resolver un triángulo rectángulo! podrás resolver muc,os pro&lemas del mundo real

< como el pro&lema de la rampa que vimos al inicio de la lección < y las =nicas,erramientas que necesitarás son las definiciones de las funciones trigonométricas! elTeorema de Pitágoras! y una calculadora.

jemplo

Pro&lema &ecesitas construir una rampa con las siguientesdimensiones! Resuelve el triángulo rectángulomostrado a continuación! Usa las apro'imaciones

y " y proporciona laslongitudes a la decena más cercana!

%ecuerda que losángulos agudos en untriángulo rectángulo soncomplementarios! lo quesignifica que suman >0.

)omo !quiere decir que

.


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Puedes usar ladefinición de lacosecante paraencontrar c . (ustituye lamedida del ángulo en ellado iquierdo de laecuación y usa eltriángulo para o&tener laraón en la derec,a. +lresolver la ecuación yredondear a la decenamás cercana o&tienes

.

4e manera similar!puedes usar ladefinición de la tangentey la medida del ángulopara encontrar b.%esolviendo la ecuacióny redondeando a ladecena más cercana

o&tienes .

Respuesta 5a rampa necesita medir 77.? pies de largo.

En el pro&lema anterior! te proporcionaron los valores de las funciones trigonométricas.En el pro&lema siguiente! necesitarás usar las teclas de las funciones trigonométricas detu calculadora para encontrar los valores.


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jemplo

Pro&lema Resolver el triángulo rectángulo mostrado! Redondea las longitudes ala decena más cercana!

5os ángulos agudos soncomplementarios! lo que significa que

su suma es >0. )omo !

entonces .

Puedes usar la definición de cosenopara calcular x . Usa tu calculadora

para encontrar el valor de y eltriángulo para preparar la raón de laderec,a. %esolviendo la ecuación yredondeando a la decena más

cercana! o&tienes .

Para encontrar y ! puedes usar otrafunción trigonométrica como elcoseno/ o puedes usar el Teorema dePitágoras. %esolviendo la ecuación yredondeando a la decena más

cercana! o&tienes .


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Respuest a

+,ora conocemos los tres lados y lostres ángulos. (us valores se muestran

en el di&u-o.

+lgunas veces podrás reci&ir suficiente información so&re el triángulo rectángulo pararesolverlo! pero esa información podr'a no incluir la medida de los ángulos agudos. Enesta situación! necesitas usar la inversa de las funciones trigonométricas en tucalculadora para resolver el triángulo.

jemplo

Pro&lema Resolver el triángulo rectángulo mostrado a

continuación" dado (ue ! ncontrar laslongitudes e'actas y los ángulos apro'imados al gradomás cercano!


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@o te proporcionanninguna medida deángulo! pero puedesusar la definición de lacotangente paraencontrar el valor de n.

Usa la raón que se teda a la iquierda y lainformación del triánguloa la derec,a. Aultiplica yresuelve n.

Usa el Teorema dePitágoras para encontrar el valor de p.

Podemos usar eltriángulo para encontrarel valor de la tangente yla tecla de la inversa dela tangente en tucalculadora para o&tener el ángulo. %edondeando

al grado más cercano! es

aproximadamente 3>!

. %esta 3>! de>0 para o&tener

.


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Respuesta

+,ora conocemos lostres lados y los tres

ángulos. (us valores semuestran en el di&u-o.

1)uál es el valor de x a la decena más cercana2

+/ ".#?

/ 7.>?

)/ 0.>0

4/ 0.66




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)ngulos speciales

)omo regla general! necesitas usar la calculadora para encontrar los valores de lasfunciones trigonométricas para cualquier medida particular. (in em&argo! ángulo quemiden 30! "#! y $0 B que encontrarás en muc,os pro&lemas y aplicaciones B sonespeciales. Puedes encontrar los valores exactos de estas funciones sin una calculadora.;eamos cómo..

(upongamos que tienes un triángulo rectángulo con un ángulo agudo que mide "#.

)omo los ángulos agudos son complementarios! el otro ángulo tam&ién de&e medir "#.Ca que los dos ángulos agudos son iguales! los catetos tam&ién de&en tener la mismalongitud! por e-emplo! 7 unidad.

Puedes determinar la ,ipotenusa usando el Teorema de Pitágoras.

+,ora tienes todos los lados y ángulos en el triángulo rectángulo.


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Puedes usar éste triángulo que a veces se llama triángulo "# D "# D >0/ para encontrartodas las funciones trigonométricas para "#. Una manera de recordar éste triángulo es

notar que la ,ipotenusa es veces la longitud de cualquiera de los catetos.

jemplo

Pro&lema ncontrar los valores de las seis *unciones trigonom+tricas para ,-.y racionalizar los denominadores si es necesario!

Usa lasdefiniciones deseno! coseno ytangente.:&serva quede&ido a quelos lados

opuesto yadyacente soniguales! el senoy el cosenotam&ién lo son.


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Usa lasidentidadesrec'procas.:&serva quede&ido a quelos ladosopuesto yadyacente soniguales! el senoy el cosenotam&ién lo son.

Respuest a

Puedes construir otro triángulo que puedes usar para encontrar todas las funcionestrigonométricas para 30 y $0. )omiena con un triángulo equilátero con los lados igualesmidiendo 6 unidades. (i divides el triángulo equilátero a la mitad! produces dos triángulos

de con ángulos de 30! $0 y >0. Estos dos triángulos rectángulos son congruentes. +m&os tienen una ,ipotenusa de longitud 6 y una &ase de longitud 7.

Puedes determinar la altura usando el Teorema de Pitágoras.


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+qu' vemos la mitad del triángulo equilátero di&u-ado ,oriontalmente.

Puedes usar este triángulo que a veces se llama triángulo 30 D $0 D >0/ para encontrartodas las funciones trigonométricas para 30 y $0. :&serva que la ,ipotenusa es dos

veces el cateto más corto que es opuesto al ángulo de 30! de manera que .

5a longitud de cateto más largo que es opuesto al ángulo de $0° es veces la longituddel cateto más corto.

jemplo

Pro&lema ncontrar los valores de !Racionalizar los denominadores si es necesario!

Usa las definiciones deseno! coseno ytangente. Para cadaángulo! aseg=rate de


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usar los catetos que sonopuestos y adyacentes aese ángulo. Por e-emplo!

es opuesto a $0!

pero adyacente a 30.

%ecuerda que la secantees el rec'proco delcoseno y que lacotangente es elrec'proco de la tangente.%acionalia losdenominadores.

Respuesta

Puedes usar la información de los triángulos 30 D $0 D >0 y "# D "# D >0 para resolvertriángulos similares sin usar una calculadora.

jemplo

Pro&lema $/uál es el valor de x en el triángulo siguiente%


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)omo am&os catetosmiden lo mismo! los dosángulos agudos de&en ser iguales! por lo que miden"# cada uno.

En un triángulo "# D "# D>0! la longitud de la

,ipotenusa es veces

la longitud de un cateto.Puedes usar ésta relaciónpara encontrar x. %ecuerda racionaliar eldenominador.

+qu' vemos otra manerade resolver el pro&lema.Puedes usar la definiciónde seno para encontrar x .

Respuesta


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Tam&ién pudiste ,a&er usado el Teorema de Pitágoras para resolver el pro&lema anterior!

el cual ,a&r'a producido la ecuación .

jemplo

Pro&lema Resolver el triángulo rectángulo mostrado a continuación!

5os ángulos agudos

son complementarios!entonces. Este es un triángulo30D $0D >0 . +,orapodemos usar lasfuncionestrigonométricas paraencontrar laslongitudes de loslados faltantes.

)omo conocemostodas las medidas delos ángulos! a,oranecesitamosencontrar laslongitudes de loslados faltantes. Paraencontrar c lalongitud de la,ipotenusa/! podemosusar la función seno

porque sa&emos que

yconocemos la longitud

del lado opuesto.


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Para encontrar a lalongitud del ladoopuesto al ángulo A/!podemos usar lafunción de la tangenteporque conocemos

y lalongitud del ladoadyacente.

Respuesta

+,ora conocemostodos los lados y

todos los ángulos.(us valores semuestran en el di&u-o.

(i ! 1cuál es el valor de 2

+/ 6

/

)/


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4/


Usando Trigonometría para Resolver Problemas Reales

*ay situaciones en el mundo real! como la construcción de una rampa o un muelle decarga! en los que tienes un triángulo rectángulo y cierta información so&re sus lados yángulos! y quieres encontrar las medidas desconocidas. Es aqu' donde sa&ertrigonometr'a te puede ayudar.

jemplo

Pro&lema 0en y mma salieron a volar una cometa! mma puedever (ue la cuerda de su cometa *orma un ángulo de 12.con respecto a la tierra! 3a cometa está directamentesobre 0en" (ue está parado a -2 pies de distancia!$cuántos pies de cuerda 4a soltado mma%Redondear al pie más cercano!



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ueremos encontrar lalongitud de la cuerdaque ,a soltado. Es la,ipotenusa del triángulorectángulo mostrado.

)omo la distancia de #0pies corresponde al ladoadyacente al ángulo de?0 ! puedes usar lafunción coseno paraencontrar x .

%esuelve la ecuaciónpara x . Usa unacalculadora para

encontrar el valornumérico. 5a respuestase redondea a 7"$.

Respuesta Emma ,a soltado aproximadamente 7"$ pies de cuerda.

En el e-emplo anterior! te dieron un lado y un ángulo agudo. En el siguiente! te dan doslados y te piden encontrar un ángulo. Encontrar un ángulo normalmente consiste en usarlas funciones trigonométricas inversas. 5a letra Friega teta! θ ! se usa com=nmente pararepresentar un ángulo desconocido. En este e-emplo! θ representa el ángulo de elevación.


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jemplo

Pro&lema Una rampa para sillas de ruedas se coloca sobre unasescaleras de manera (ue un e'tremo (ueda a 5 pies sobreel suelo! l otro e'tremo está en cierto punto y la distancia4orizontal es de 56 pies" como se muestra en el diagrama!$/uál es el ángulo de elevación redondeado a la decena degrado más cercana%

El ángulo de elevación está

marcado como en eldiagrama. 5as longitudesdadas son los ladosopuesto y adyacente a

dic,o ángulo! entoncespuedes usar la función

tangente para encontrar .

uieres encontrar lamedida de un ángulo quete da cierto valor detangente. Esto significa quenecesitas encontrar lainversa de la tangente.

%ecuerda que de&es usarlas teclas 6@4 y T+@ en tucalculadora. :&serva ellugar de las centenas pararedondear a la decena máscercana.


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Respuesta El ángulo de elevación es de aproximadamente ".7.

%ecuerda que los pro&lemas que involucran triángulos con ciertos ángulos especialespueden resolverse sin calculadora.

jemplo

Pro&lema #e usa una cerca para *ormar un corral triangular conel lado más largo de 72 pies" como se muestra abajo!$/uál es la medida e'acta del lado opuesto al ángulode 82.%

5lamemos x a la longituddesconocida. )omoconoces la longitud de la,ipotenusa! puedes usar la función seno.

Este es un triángulo 30D$0D >0. Entonces!puedes calcular el valor

exacto del a funcióntrigonométrica sin usaruna calculadora.

%esuelve la ecuaciónpara x .


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Respuesta 5a longitud exacta del lado opuesto al ángulo de $0es

pies.

+lgunas veces el triángulo rectángulo puede ser parte de un sistema más grande.

Una persona está su-eta a un poste telefónico a 3 pies de&a-o del extremo superior delposte! como se muestra a&a-o. 5a persona está enganc,ada a 7" pies del poste y formaun ángulo de $" con el suelo. 1)uál es la altura a la que está la persona su-eta2%edondea la respuesta a la decena de pie más cercana.


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+/

/

)/

4/


#umario

*ay muc,as maneras de encontrar los lados y los ángulos desconocidos en un triángulorectángulo. %esolver el triángulo rectángulo puede lograrse usando las definiciones de lasfunciones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. + este proceso se le llama resolverel triángulo rectángulo. (er capa de resolver un triángulo rectángulo es =til para resolveruna variedad de pro&lemas reales como la construcción de una rampa para sillas deruedas.

Puedes encontrar las cantidades exactas de las funciones trigonométricas para ángulosque midan 30! "#! y $0. Puedes encontrar valores exactos para los lados de triángulo

30°! "#°! y $0° si recuerdas que y . Para otras medidas deángulos! es necesario usar una calculadora para encontrar valores aproximados de lasfunciones trigonométricas.

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