Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos

Un ángulo agudo es un ángulo con una medida mayor que 0º y

menor que 90º.

Se utilizan letras griegas (alpha), (beta), (gamma),

(theta), and (phi) para nombrar ángulos, o letras mayúsculas

A, B, C, etc.

Lado opuesto

Lado adyacente a

Hypotenusa

Nombramos los lados conforme a su relación con los ángulos.

La hypotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Se

nombramos el ángulo de la base , uno de los lados es el lado

opuesto a y otro es el lado adyacente a .

Razones Trigonométricas

La longitud de los lados del triángulo recto se usan

para definir seis razones trigonométricas.

seno (sin)

coseno (cos)

tangente (tan)

cosecante (csc)

secante (sec)

cotangente (cot)

Lado opuesto

Lado adyacente a

Hypotenusa

Valores de las funciones trigonométricas

de un ángulo agudo

Sea un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6

funciones trigonométricas de se definen:

sin side opposite

hypotenuse

cos side adjacent to

hypotenuse

tan side opposite

side adjacent to

csc hypotenuse

side opposite

sec hypotenuse

side adjacent to

cot side adjacent to

side opposite

Ejemplo En el triángulo que se muestra, hallar los valores

de las 6 funciones trigonométricas de y .

Solución:

a) sin opp

hyp

5

13

13

5

12

cos adj

hyp

12

13

tan opp

adj

5

12

csc hyp

opp

13

5

sec hyp

adj

13

12

cot adj

opp

12

5

Funciones Recíprocas

Note que existe una relación recíproca entre parejas de

funciones trigonométricas.

csc 1

sin

1sec

cos

cot 1

tan

Ejemplo

Dado un triángulo recto, en el que

sin 4

5, cos

3

5, and tan

4

3,

Solución:

csc 1

sin

1

4

5

5

4

sec 1

cos

1

3

5

hallar csc , sec , y cot .

5

3

cot 1

tan

1

4

3

3

4

Ejemplo

Si sin 6

7

Solución:

5 valores trigonométricos de .

y es un ángulo agudo, determinar los

6

7

opp

hyp

Use la definición de la función del seno como una razón

y dibuje el triángulo recto.

7

a

6

Use la ecuación de Pitágora para hallar a.

a2 b2 c2

a2 62 72

a2 36 49

a2 49 36 13

a 13

Ejemplo

Use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.

sin 6

7

continuación:

cos 13

7

tan 6

13

6 13

13

csc 7

6

sec 7

13

7 13

13

cot 13

6

Ejemplos Hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas para

cada ángulo utilizando la calculadora. Redondee a 4

lugares decimales:

0.5703899297

Solución:

Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.

a) tan29.7º

a) tan29.7º 0.5704

b) sec48º

1

cos48ºb) sec48º 1.49447655 1.49445

0.9948409474 0.9948

Copyright © 2009 Pearson Education, Inc.

Resolver el triángulo

Resolver el triángulo rectángulo implica determinar las

longitudes de todos los lados y las medidas de todos

los ángulos.

Copyright © 2009 Pearson Education, Inc.

Ejemplo

En el triángulo rectángulo

ABC, determinar a, b, y B si el

triángulo se ha nombrado de

forma estándar como se

muestra en el diagrama.

B

b

106.2

C A

a

61.7º

Ejemplo (cont.)

Solución:

Como la suma de los ángulos

internos de un triángulo es 180o, la

suma de A y B debe ser 90o.

Por lo tanto, las medidas de los

ángulos son:

B 90º A 90º 61.7º 28.3º

B

b

106.2

C A

a

61.7º

A 61.7º

B 28.3º

C 90º

Ejemplo (cont.)

Solución (cont.):

sin61.7º hyp

opp

a

106.2

a 106.2sin61.7º

a 93.5

B

b

106.2

C A

a

61.7º

cos61.7º adj

hyp

b

106.2

b 106.2cos61.7º

b 50.3

a 93.5

b 50.3

c 106.2

Las longitudes de los

lados son:

Aplicaciones: Tipos de ángulos

Aplicaciones: Ejemplo1

A la misma vez que un globo de aire se calienta y comienza a subir, el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento.

Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación,

nombrando las partes y anotando la información que se

tiene.

Solución (cont.):

tan 30º opp

adjh

1.2

1.2 tan30º h

1.23

3h

0.7 h

El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.

Aplicaciones: Ejemplo 2

El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base se este a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo?

Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación,

nombrando las partes y anotando la información que se

tiene.

Solución (cont)

cos adj

hyp

6.5 ft

25 ft

0.26

74.92993786º

Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.

Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:

Aplicaciones: Ejemplo 3

Una palma de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

adyacente

opuesto)tan(

60

50)tan(

6

5)tan(

406

5tan 1

Aplicaciones: Ejemplo 3

El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 5 pies sobre el suelo. Si la escalera forma un ángulo 38º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

hipotenusa

opuesto)38sin(

x

5)38sin(

pies 8)38sin(

5

x

Aplicaciones: Ejemplo 3

Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida

tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un

ángulo de elevación de 50º?. Haz un dibujo del

problema

hipotenusa

adyacente)50cos(

75)50cos(

x

mx 48)50cos(75