Unidad:Unidad: Triángulos rectángulosTriángulos rectángulos

Tema:Tema:Triángulos rectángulos con Triángulos rectángulos con

medidas especialesmedidas especiales

Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2Prof. Diannette Molinary Massol – Matemática Integrada 2

TriángulosTriángulos rectángulosrectángulos especialesespeciales

• Los triángulos resultantes después de cortar a la mitad un triángulo equilátero. (30º- 60º- 90º)

Existen dos tipos:

• Los triángulos rectángulos isósceles. (45º- 45º- 90º)

45º

45º

30º

60º

Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)

4

b

b=4porque los catetos

contienen la misma medida

c

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)

4

4

b=4porque los catetos

contienen la misma medida

c

c

c

c

=

=

=+

=+

24

32

1616

44

2

2

222

c

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)Ejemplo 1 (45º - 45º - 90º)

4

4

b=4porque los catetos

contienen la misma medida

c

c

c

c

=

=

=+

=+

24

32

1616

44

2

2

222

24

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)

m

8

n

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)Ejemplo 2 (45º- 45º -90º)

m

8

n

8=mporque los catetos

contienen la misma medida.

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)

8

8

c

c

c

c

=

=

=+

=+

28

128

6464

88

2

2

222

n n

8=mporque los catetos

contienen la misma medida.

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 2 (45º- 45º- 90º)

8

8

28

c

c

c

c

=

=

=+

=+

28

128

6464

88

2

2

222

8=mporque los catetos

contienen la misma medida.

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)

x

y

25

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)

x

y

25

yx =porque los catetos contiene la misma

medida.

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)

x

y

25

yx =porque los catetos contiene la misma

medida.5

25

2

225

2

2

)25)(25(2

)25(

2

2

2

222

==

⋅=

=

=+

x

x

x

x

xx

Encuentra la medida de las variables.

Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)Ejemplo 3 (45º- 45º- 90º)

5

5

25

yx =porque los catetos contiene la misma

medida.

Encuentra la medida de las variables.

5

25

2

225

2

2

)25)(25(2

)25(

2

2

2

222

==

⋅=

=

=+

x

x

x

x

xx

Teorema del triángulo rectángulo Teorema del triángulo rectángulo isósceles (45º - 45º - 90º)isósceles (45º - 45º - 90º)

En los triángulos rectángulos isósceles, los catetos son de la misma medida (a) y su hipotenusa será

la medida del cateto multiplicada por .2

a 2a

a

Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)

b

2 4

30º

Encuentra la medida de la variable.

Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)

b

2 4

30º

4

__

2

===

c

b

a

Encuentra la medida de la variable.

Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)

b

2 4

30º

4

__

2

===

c

b

a

32

12

416

164

42

2

2

2

222

=

=

−==+=+

b

b

b

b

b

Encuentra la medida de la variable.

Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 1 (30º - 60º - 90º)

2 4

30º

4

32

2

==

=

c

b

a

32

12

416

164

42

2

2

2

222

=

=

−==+=+

b

b

b

b

b

Encuentra la medida de la variable.

32

Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)

60º

Encuentra la medida de las variables.

36

6

h

Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)

60º

Encuentra la medida de las variables.

hc

b

a

==

=

36

6

36

6

h

Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)

60º

Encuentra la medida de las variables.

hc

b

a

==

=

36

6

h

h

h

h

h

==

=+=⋅+=+

12

144

10836

33636

)36(6

2

2

2

222

36

6

h

Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 2 (30º - 60º - 90º)

60º

Encuentra la medida de las variables.

12

36

6

==

=

c

b

a

h

h

h

h

h

==

=+=⋅+=+

12

144

10836

33636

)36(6

2

2

2

222

36

6

12

Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)

30º

Encuentra la medida de las variables.

20310

p

Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)

30º

Encuentra la medida de las variables.

20

310

==

=

c

b

pa

20310

p

Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)

30º

Encuentra la medida de las variables.

10

100

300400

4003100

20)310(

2

2

2

222

==

−==⋅+=+

p

p

p

p

p

20

310

==

=

c

b

pa

20310

p

Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)Ejemplo 3 (30º - 60º - 90º)

30º

Encuentra la medida de las variables.

10

100

300400

4003100

20)310(

2

2

2

222

==

−==⋅+=+

p

p

p

p

p

20

310

10

==

=

c

b

a

20310

10

Teorema del triángulo especial Teorema del triángulo especial 30º - 60º - 90º30º - 60º - 90º

En un triángulos 30º - 60º - 90º, la medida de la hipotenusa es dos veces mayor que la medida del cateto de menor longitud, y la

longitud del cateto mayor es veces mayor que la longitud del cateto menor.

3

a 2a

30º

3a

60º

Ejercicios de prácticaEjercicios de práctica

1. 2.

3. 4. 30º

w38

v

4 r

s

60º

f

29

gkj

7

Ejercicios de prácticaEjercicios de práctica

1. 2.

3. 4. 30º

16=w38

8=v

4 r = 8

34=s

60º

7=f

29

27=g9=k9=j

7