Geometría

Definición 1

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos , y .

Definición 2

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección del semiplano de borde que contiene al punto C, el semiplano que contiene al punto A y el semiplano que contiene al punto B.

 

Según sus lados

Equilátero: tres lados iguales

Isósceles: dos lados iguales.

Escaleno: tres lados desiguales.

 

Según sus ángulos

Acutángulo: tres ángulos agudos

Rectángulo: un ángulo recto

Obtusángulo: un ángulo obtuso

 

Igualdad de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.

Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.

La igualdad de triángulos cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

 

Propiedades de la igualdad de triángulos

Carácter reflexivo: Todo triángulo es igual a si mismo.

Carácter simétrico: Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a primero.

Carácter transitivo: Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un

tercero, el primero es igual al tercero.

 

Criterios de igualdad de triángulos

Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.

 

Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales.

 

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.

 

Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

 

Criterios de igualdad de triángulos rectángulos

Primer criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen sus catetos respectivamente iguales, son iguales.

Segundo criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente iguales, son iguales.

 

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.

Cuarto criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.

Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

Teorema:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

Corolarios:

En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.

Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

 

Propiedad del ángulo exterior

Teorema:

Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Corolario:

En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores.

 

Teorema de los ángulos interiores

Hipótesis

Tesis

Demostración

Se traza por C una recta paralela al lado , quedando determinados los ángulos y .

De lo anterior:

= por ser alternos internos entre r // AB y secante

= por ser alternos internos entre r // AB y secante

Por lo tanto:

que es lo que se quería demostrar.

Cilindro: área y volumen Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado  por el  giro de una región rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría.

El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las

bases, se llaman generatrices.

Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto.

Para desarrollar o dibujar un cilindro, ver figura:

 

Perímetro: es la línea que limita una figura plana.

Área lateral: Superficie de un cuerpo geométrico excluyendo las bases.

Área total: Superficie completa de la figura, es decir, el área lateral más el área de las bases de la figura.

Área del cilindro

El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h.

Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:

Área lateral = perímetro de la base x altura

Alateral = 2 π r . h

Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro.

Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:

Área total = área lateral + 2 x área de la base

Atotal = Alateral + 2Abase

Entonces,

Atotal = 2 Π r h + 2 Π r2

Por lo tanto:

Atotal = 2 Π r ( h + r )

Volumen del cilindro

Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su altura (h).

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cilindro = área de la base x altura

Es decir, Vcilindro= Abase · h

  Vcilindro= Π r2 · hEjemplo:

¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20 cm?

Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm

2 Π · 10 cm (20 cm + 10 cm) = 20 Π cm (30 cm) = 600 Π cm2

Atotal = 600 Π cm2 = 600 x 3,14 = 1.884 cm2

¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?

Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm

Π (10 cm)2 20 cm = 2000 Π cm3 = 6.283 cm3

Vcilindro = 6.283 cm3

CIRCUNFERENCIA: CONCEPTO

¿Qué es una circunferencia?

Concepto: La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia:

Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.

Dimensión de la circunferencia:

Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.

Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.

Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.

Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias:

Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.

Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.

Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.

Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.

Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.

Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta puede estar respecto a una circunferencia:

Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.

Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común

Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .

Ángulos de la circunferencia:

Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.

-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.

-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.

-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.

-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.

Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.

-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

Dibujos de la Circunferencia

Longitud de la circunferencia: Longitud del arco de la circunferencia:

 Cuerda de la circunferencia: Circunferencias exteriores:

Circunferencias interiores: Circunferencias secantes:

Circunferencias tangentes exteriores: Circunferencias tangentes interiores:

Circunferencias concéntricas: