TRINGULOS I

TALLER DE GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA SESION 3: ANGULOS Y RECTAS PARALELAS

zCA B

y

c

Regin Triangulara

x

b

Notacin: Tringulo ABC : ABC.

Elementos:

Vrtice :A, B, C

Lados: , , ngulos internos:, , ngulos externos:x, y, z Permetro :2p = a + b + c

CLASIFICACIN

A. Segn sus ngulos

1. Tringulo Oblicungulo

Tringulo AcutnguloA C B

0 < , , < 90

,

Tringulo ObtusnguloB C A

90 < < 180

,

2. Tringulo RectnguloBA C

+ = 90

B. Segn sus lados :

1. Tringulo EscalenoB

a c

a b c

b C A

2. Tringulo IsscelesA C B L L Base

3. Tringulo EquilteroA C B L L L 60 60 60

PROPIEDADES GENERALES

1. Suma de ngulos Internos B

+ + = 180

A C

2. Suma de ngulos Externos e2e1e3

e1 + e2 + e3 = 360

3. Calculo de un ngulo externo:yx

x = +

y = +

4. Desigualdad Triangular abc

Sea: a < b < c

1. b a < c < b + a 2. c a < b < c + a 3. c b < a < c + b

PROPIEDADES ADICIONALES

1. Propiedad Cuadriltero Cncavo.(La del Boumerang)x

x = + +

2. Propiedad Mariposa

yx

x + y = +

3. Propiedad Pescadito xyx + y = +

4. Propiedad de Existencia del tringulo b c < a < b + c a c < b < a + c ba

a b < c < a + b

c

5. y

m

x + y = m + n

n

x

6. x

180 + x = +

SEGMENTOS Y LNEAS NOTABLES EN EL TRINGULO

Ceviana Es aquel segmento que une un vrtice cualquiera con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongacin. En todo tringulo se pueden trazar infinitas cevianas.

2. Mediana:Es una ceviana que biseca al lado al cual es relativa. En todo tringulo se pueden trazar tres medianas.

Donde:

Si: CM es mediana relativa a AB M es punto medio de AB .

El punto donde se encuentran las tres alturas se llama Ortocentro , suele nombrarse con la letra(O).

4. Bisectriz:La bisectriz en un tringulo, es aquella ceviana inferior o exterior que biseca a un ngulo interior oexterior respectivamente. En todo tringulo se pueden trazar tres bisectrices interiores y seis exteriores.

las tres bisectrices se cortan en un punto llamado incentro.

5. Mediatriz:Es aquella recta perpendicular trazada a un lado y que lo biseca. En todo tringulo se puede trazar tres mediatrices. La mediatriz debe considerarse coplanal al tringulo

Las tres mediatrices siempre se encuentran en un punto llamado circuncentro, (K)

8. Teorema de la bissectriz de um ngulo

PROBLEMAS

1. Calcular x.

a) 3030

b) 40c) 50x

d) 6020

e) 70

2. Calcular x.

a) 100b) 80c) 12080120x

d) 140e) 180

3. Calcular x.x

a) 50b) 100c) 18040

d) 90150

e) 120

4. Calcular x.x

a) 60b) 135c) 45xxx

d) 30e) 10

5. Calcular x, si: + = 60

a) 150+3

b) 120c) 100x

d) 20 -

e) 10

6. Los lados de un tringulo miden 10, x-5 y 2x-3. Encontrar el valor entero de x. a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8 7. Hallar x.40

a) 30x

b) 40c) 20

d) 15

e) 60f) 8. Hallar x.80

a) 100b) 130c) 120d) 180x

e) 90

9. Hallar el mayor ngulo exterior del ABCSi: m A = m B = 2m C

a) 72b) 108c) 144d) 36e) 98

10. Calcular el menor ngulo agudo del ABC rectngulo. Si: m A = 2m B y m C = 90

a) 90b) 60c) 30d) 20e) 10

11. Determine el semipermetro del tringulo cuyos lados forman una serie de tres nmeros consecutivos. Si el mayor es 10m.

a) 27b) 27/2c) 13d) 28e) 14

12. Calcular x.60

a) 120b) 100x

c) 90

d) 75

e) 60

13. Determine ; si: los ngulos internos del ABC, forman una progresin aritmtica y aumentan de 20 en 20. a) 40b) 60c) 80d) 20e) 10

14. En la figura, calcule el valor de x

a) 40b) 45c) 50

d) 60e) 80

15. Calcular x.20

a) 10b) 85x

c) 95

d) 120150

e) 130

16. Calcular x.

a) 150x

b) 144c) 120d) 108

e) 100

17. Calcular x; mA = mB = 70C

a) 110

b) 100x

c) 40

d) 20 e) 15A

B

18. Del grfico: calcule x.a) 105030xx

b) 20c) 30d) 40e) 50

19. Del grfico: calcule x.307020xx

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

20. Del grfico: calcule .27012060

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

21. Del grfico: calcule x.601206060x

a) 50b) 60c) 70d) 80e) 4022. Del grfico: calcule + .

120

a) 200b) 210c) 215d) 220e) 230

23. Del grfico: calcule la medida de x.

x60L2L1

a) 100b) 120c) 130d) 140e) 150

24. Si: a + b + c = 130. Calcule 2x

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) 22