EJERCICIOS PAG. 206 LIBRO: GEOM Y TRIGONOMETRIA

Teorema de Tales de Mileto “Proporcionalidad” y “Semejanzas”

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

Facilitador: Ing. Rossy Acosta Marzo 12, 2014.

Competencias El estudiante interpreta y cuantifica modelos

matemáticos relacionados con las funciones trigonométricas, y las aplica en la resolución de los modelos matemáticos, en los que se representan situaciones reales, hipotéticas o formales mediante triángulos rectángulos.

Rectas paralelas cortadas por una recta secante

Transversal o secante.- recta que corta dos o mas rectas.

Dadas las rectas R y R’ , T y T’ , y S y S’ es una recta secante, se forman los siguientes ángulos:

R R’

T T’

S

S’

1 234

5 6

8 7

ANGULOS ALTERNOS INTERNOSANGULOS INTERNOS, NO ADYACENTES, SITUADOS EN DISTINTO LADO DE LA SECANTE. LOS ANGULOS ALTERNOS INTERNOS SON IGUALES. 3 Y 5 4 Y 6

ANGULOS ALTERNOS EXTERNOSANGULOS EXTERNOS NO ADYACENTES, SITUADOS EN UN MISMO LADO DE LA SECANTELOS ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS SONIGUALES.

Indicadores de tú desempeñoIdentificas los problemas matemáticos en

los que se representan situaciones reales, hipotéticas o formales, mediante triángulos rectángulos.

Reconoces que un triangulo rectángulo se puede resolver cuando se conocen al menos un lado y uno se sus ángulos agudos , o dos de sus lados.

Utilizas las funciones trigonométricas para resolver problemas con triángulos rectángulos.

EJERCICIO 1) En una torre de 40 m que esta sobre un peñasco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿ A que distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco?

20°

40 m

65 m

d=?

EJERCICIO 2) A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcular la altura del árbol.

10 m

23°

h =

?

EJERCICIO 3): Una persona cuyos ojos están a 1.20 m del suelo, observa una pintura que se encuentra a 1 m del suelo y mide 1.50 m. Dicha persona se encuentra a 2 m de distancia de la pintura. ¿Cuál es el ángulo de visión?

1 m

1.50 m

2 m

1.20 m

EJERCICIO 3): Una persona cuyos ojos están a 1.20 m del suelo, observa una pintura que se encuentra a 1 m del suelo y mide 1.50 m. Dicha persona se encuentra a 2 m de distancia de la pintura. ¿A que distancia se debe parar la persona para que el ángulo de visión sea de 45°?

1 m

1.50 m

2 m

1.20 m

EJERCICIO 4) Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a 1 m del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45°, con respecto a la horizontal. Hallar la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 m de cuerda.

45°

20 m

EJERCICIO 5) Hallar el ángulo de elevación del sol, sabiendo que un poste de 2.56 m proyecta una sombre de 1.85 m

2.56 m

1.85 m

??

EJERCICIO 6) Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46°10’ . Hallar la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, sabiendo que la distancia de este al punto A, es de 50 m.

A46°10’P 50

m

h = ?

Conceptos nuevos importantesEl ángulo de elevación es el que se forma

por la horizontal y una línea que va desde el observador a una línea que se encuentra enfrente de éste.

Si el Angulo esta por debajo de la horizontal del observador , el Angulo formado por la horizontal y la línea que va del observador al objeto, se llama ángulo de depresión.

Dudas?TAREA: Para la próxima clase traer :Ley de senos Ley de cosenos

Escritas en su cuaderno y memorizadas.

Examen Oral de funciones trigonométricas y sus co-funciones.

TRIANGULOS OBLICUANGULOSUn triangulo es oblicuángulo cuando sus tres

ángulos son oblicuos, es decir no tiene un ángulo recto.

Se pueden resolver mediante las siguientes leyes:

LEY DE SENOSLEY DE COSENOSLEY DE TANGENTES

LEY DE SENOS

a b c------- = ------- = -------Sen A Sen B Sen C

LEY DE TANGENTES

Ley de senos se utiliza cuando:Los datos conocidos son los 2 lados y el

ángulo opuesto a uno de ellos.

Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

Ejemplo 1En el triangulo ABC, b = 15 cm, B= 42° y C

= 76°, hallar los lados y ángulos restantes:

Ejemplo 2El triangulo MNP, el ángulo P= 76°, p=12 cm

y m= 8cm

Ejemplo 3En el triangulo ABC, A= 46°, B=59° y a=12

cm. Determinar los elementos restantes del triangulo.

LEY DE COSENOS

a2 = b2 + c2 - 2 b c COS A

b2 = a2 + c2 - 2 a c COS B 

c2 = a2 + b2 - 2 a b COS C

Como se despeja??

b2 = a2 + c2 - 2 a c COS BPasos a seguir:

Ley de cosenosSe utiliza cuando se tiene el valor de 2 lados

y el angulo comprendido entre ellosSe tiene el valor de los tres lados

Ejemplo 1El triangulo KJL, el lado a= 15 cm, el lado c=

18 cm y el ángulo b = 70°. Resolver el triángulo.

Ejemplo 2El triángulo STU, posee las siguientes medidas s= 50 b= 45 y c = 32. Resolver el triángulo:

Tarea ejercicio 42 pag. 217Libro azulGeometría y TrigonometríaMatemáticas simplificadas volumen III