Razn de cambioEl movimiento de un automvil en una carretera est esencialmente determinado si conocemos su posicin s como funcin del tiempo:

s=S(t) (1)

El grfico que vemos representa la funcinS(t) como una curva en el planos-tllamada latrayectoriadel vehculo. Esta figura muestra la posicin de un auto que se aproxima y pasa un "cuello de botella" ubicada en la carretera. Esta trayectoria particular puede ser construida a partir de una serie de exposiciones fotogrficas. Por ejemplo, en este caso, el tiempo de cada exposicin est en segundos y la distancia en metros, los correspondientes valores desytpueden ser calculados en esta grfica. Los postes del alumbrado estn ubicados cada 50 metros.

El problema fundamental en el estudio del movimiento de un automvil (o de una partcula, aqu el punto del automvil se considera el punto medio ubicado en el parachoques frontal) es encontrar la velocidad como funcin del tiempo, a partir del conocimiento de la trayectoriaS(t).

Si la velocidad fuese constante, ella puede calcularse como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, esto es

de tal forma que la trayectoria de tal movimiento est modelada por la lnea rectas=vt. Y es evidente que no es el caso que se describe en la grfica anterior. Ms an si en algn momento el mvil sigue una trayectoria recta es porque toma una velocidad constante. Y como vemos aqu, en la grfica, en ningn intervalo de tiempo la trayectoria es un segmento de lnea recta. Aqu surge la dificultad para el clculo de la velocidad en cualquier instante de tiempo.

Vamos a calcularla pensando "en pequeo", en intervalos de tiempo pequesimo, por ejemplo el intervalo [t,t+t] cont muy pequeo,la velocidad es "casi" constante, o de otra forma si el intervalo [t,t+t] es pequeo la velocidad no vara mucho de una cantidad constante. De otra forma, segmentos pequeos de trayectorias se pueden considerar como una lnea recta, de tal forma que podemos calcular la velocidad en su forma ms simple (cuando es constante): la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido.

La distancia transcurrida en el intervalo de tiempo [t,t+t] esS(t+t) -S(t), de tal forma que la velocidad es

(2)

Volvemos a insistir, la igualdad en (2) es la velocidad que lleva el automvil (o la partcula) durante el intervalo de tiempo [t,t+t]. De modo que para pequeos valores detla velocidad en (2) puede ser computada, de hecho los radares-pistolas de la polica calculan as la velocidad del automvil que estn apuntando.

Cuandotse hace ms pequeo, y por endes, la expresin en (2) llega a ser cada vez ms precisa, y en un proceso de lmite cuandottiende a cero se tiene la velocidad instantnea del mvil en el instante t, esto es

(3)

La expresin en (3) es la que justifica la siguiente notacin para derivadas (debido al Leibnitz):

FUNCIONES IMPLCITASRecordando: Una funcin est escrita en forma explcita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) est despejada.Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explcita:

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no est despejada, se dice que est escrita en forma implcita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones escritas en forma implcita:

Una funcin escrita en forma implcita puede estar as por dos razones: una, porque la variabledependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuandoaparece como parte de algn argumento al mismo tiempo que no parte de algn argumento. Por ejemplo, en 4y =sen (2x y2 ) la variable dependiente y aparece como parte del argumento del seno y adems como no argumento en 4y. La otra razn es simplemente porque as convino escribirla, como en x2 + 3y + 5 = 0 (se podra despejar la y )Para obtener la derivada dy/dx de una funcin implcita se emplean las mismas frmulasy las mismas reglas de derivacin estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupar el lugar de la u en las frmulas.Por ejemplo, para derivar debe utilizarse la frmula (6) de la potencia vista en la pgina 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

Por lo tanto

Para derivar, por ejemplo, debe emplearse la frmula (7) del producto uv vista enla pgina 77, en donde,de la siguiente forma:

Para derivardebe seguirse el procedimiento visto en la pgina anterior. Por lo tanto,

En general, para obtener la derivadade cualquier funcin implcita deben derivarse ambos miembros de la igualdad aplicando las frmulas ya estudiadas y luego despejar , lo cual puede detallarse en la siguiente regla: