proyecto 1 - informe final

ESTÁTICA PROYECTO PRIMER CORTE

Ingeniería mecánica - Universidad centralAgosto, 2011, Bogotá, Colombia

PROYECTO DE ESTÁTICA DE PARTÍCULA

Camilo Pinilla Prieto, Luis Moscote Castro, John Henry Peña

Estudiantes de ingeniería mecánica,Universidad CentralBogotá, Colombia.

Angélica Ma. Ramírez M.Docente de ingeniería mecánica,

Universidad CentralBogotá, Colombia

RESUMEN

En este artículo se presenta el primer proyecto de estática. El Proyecto se realiza con la finalidad de aplicar los conceptos de estática de partículas en situaciones físicas presentes en 2 o 3 dimensiones, utilizando los resultados experimentales para hallar relaciones y ecuaciones matemáticas para realizar predicciones de un sistema estático mediante las hojas de cálculo del programa Microsoft Excel

INTRODUCCIÓN

1. Estática:

La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático [1].

2. Estática de partícula 2D y 3D:

La estática de partículas recibe su nombre debido a que se define bajo la primera ley de newton la cual dice: “una partícula sobre la cual actúa un sistema de fuerza y cuya resultante sea nula podemos afirmar que la partícula esta en reposo o se mueve con una velocidad constante”. Esto lo podemos definir mejor como:

∑ F⃗=0 Equilibrio de partícula.

2.1. Dos dimensiones:

Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas 2D que se encuentran en el plano x-y, figura 1, entonces cada fuerza puede ser resuelta en sus componentes (i) y (j). Por equilibrio, la ecuación 3-1 puede escribirse como:

∑ F⃗=0

∑ f⃗ x i+ f⃗ y j=0

Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes (x) y (y) deben ser iguales a cero [2].

∑ f⃗ x i=0

∑ f⃗ y j=0

Ilustración 1. Ejemplo de fuerzas ubicadas en un plano bidimensional.

Estas ecuaciones escalares de equilibrio requieren que la suma algebraica de las componentes (x) y (y) de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula sea igual a cero. En consecuencia, las ecuaciones puedenResolverse cuando mucho para dos incógnitas, represen-tadas generalmente como ángulos y magnitudes de fuer-zas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula [2].

2.2. Tres dimensiones:

Para el equilibrio de una partícula se requiere

∑ F⃗=0

1.1

Si las fuerzas son resueltas en sus respectivas componentes i, j, k, figura 2, tenemos entonces:

∑ f⃗ x i+ f⃗ y j+ f⃗ z k=0

Por consiguiente, para garantizar el equilibrio, es preciso que las siguientes tres ecuaciones de componentes sean satisfe-chas:

∑ f⃗ x i=0

∑ f⃗ y j=0

∑ f⃗ z k=0

Ilustración 2. Ejemplos de fuerzas ubicadas en un plano tridimensional.

3. Objetivo:

Este artículo tiene como fin presentar los resultados del pri-mer proyecto de estática. El cual pretende aplicar los concep-tos de estática de partículas en 2 y 3 dimensiones así como hacer observaciones a partir de los resultados experimentales recolectados.

MÉTODOS

Como primera instancia se fabricaron 2 bloques y una superficie de deslizamiento con las siguientes especificaciones:

Bloque No1:

Medidas: 10x8x8 [cm].Material base: roble (madera).No de caras de rozamiento: 3Material de rozamiento: roble (madera), Lamina (acero), vidrio.

Bloque No2:

Medidas: 5x4x4 [cm].Material base: roble (madera).No de caras de rozamiento: 1.Material de rozamiento: vidrio.

Superficie para deslizamientos:

Medidas: 24,5x13 [cm].

Material base: aglomerado fino (mdf, madera).

1. Fuerza de rozamiento:

En la primera parte del proyecto se basa en hallar los coeficientes de fricción entre la superficie para deslizamientos y los bloques de diferente material.

El procedimiento para la práctica es el siguiente:

A cada bloque se le coloco una armella en el centro de la cara delantera.

Se coloco el bloque en la superficie de deslizamientos.

se coloco en la armella un dinamómetro y se halara el bloque con este.

Se tomo la fuerza que arroja el dinamómetro cuando el movimiento del bloque es inminente.

Las ecuaciones base de donde podremos hallar el coeficiente de fricción son:

∑ F⃗=0→ F⃗s+ F⃗d=0F⃗d=fuerza hechacon eldinamometro

F⃗s=μs N

F⃗s=fuerza de rozamientoo friccion

2. Estática de partícula en 2D:

La segunda parte del proyecto consiste en elegir uno de los bloque al azar conociendo su coeficiente de fricción y realizar los siguientes procedimientos.

Procedimiento No. 1:

Se coloco 2 armellas amarradas a 2 cuerdas en la cara

delantera del bloque seleccionado a una altura de h2

como se muestra en la figura 3. Se amarro las 2 cuerdas a una tercera de tal manera que

se muestren de la siguiente forma:

Ilustración 3. Montaje del procedimiento 1

Se adapto el sistema de tal manera que Angulo β sea de 45°.

Se halo la cuerda de tal manera que la fuerza de la 3ra cuerda (F) es conocida y la tensión T bc no sea mayor a 0,5 veces la fuerza de (F).

1.2

Las ecuaciones base de donde podremos hallar el ángulo α la tensión T bc y T ac , la longitud de los segmentos de cuerda (ac) y (bc) son:

∑ F⃗=0→ T⃗ bc+T⃗ ac+ F⃗+ F⃗s=0

∑ f⃗ x i+ f⃗ y j=0

|T⃗|=√T x2+T y

2

F=FrT⃗ bc+T⃗ ac=F⃗


Se coloco 2 armellas amarradas a 2 cuerdas en la cara

delantera del bloque seleccionado a una altura de h2

como se muestra en la figura 4. Se amarro las 2 cuerdas a una tercera como se muestra en

la figura 4. Se coloco un resorte con una constante elástica conocida

en la cara posterior del bloque de tal manera que se muestra de la siguiente forma:

Ilustración 4. Montaje del procedimiento 2

Se adapto el sistema de tal manera que Angulo β sea de 45°.

Se halo la cuerda de tal manera que la fuerza de la 3ra cuerda (F) es conocida y la tensión T bc no sea mayor a 1,5 veces la fuerza de (F).

Las ecuaciones base de donde podremos hallar el ángulo α la tensión T bc y T ac , la longitud de los segmentos de cuerda (ac) y (bc) son:

∑ F⃗=0→ T⃗ bc+T⃗ ac+ F⃗+ F⃗r + F⃗s=0

∑ f⃗ x i+ f⃗ y j=0F⃗ r=fuerza realizada por el resorte


La tercera parte del proyecto consiste en elegir uno de los bloques al azar conociendo su coeficiente de fricción y realizar el siguiente procedimiento:

Se coloco 3 armellas amarradas a 2 cuerdas en la cara delantera del bloque seleccionado como se muestra en la figura 3.

Se amarro las 3cuerdas a una cuarta de tal manera que ve de la siguiente forma:

Ilustración 5. Montaje de Partícula 3D

Las ecuaciones base de donde podremos hallar las tensiones de las cuerdas sujetas al bloque son:

∑ F⃗=0→ T⃗ a+ T⃗b+T⃗ c+ F⃗ = 0

∑ f⃗ x i+ f⃗ y j+ f⃗ z k=0

|a⃗|=√ax2+a y

2+az2 → magnitud enuna fuerza a .

ᶙ⃗ a=ax i+a y j+az k

|⃗a|RESULTADOS

1. Fuerza de rozamiento:DCL:

Ilustración 6. Diagrama de cuerpo libre del bloque para medir el coeficiente de rozamiento

Fuerzas identificables: Normal, peso, fricción, hecha por el dinamómetro.

Ecuaciones de equilibrio:

F⃗s+ F⃗d=0

F⃗d=fuerza hecha por el dinamometroF⃗s=μs N

F⃗s=fuerza de rozamientoo friccion

μs N + F⃗d=0

Ecuación para hallar μs :

Despejando μs de μs N + F⃗d=0 queda

1.3

μs=Fd

N

Procedimiento para hallar μs :

Se realizo el siguiente montaje :

Ilustración 7. Montaje para hallar el coeficiente de fricción.

Se pesaron los bloques de 10x8x8 [cm] y obtuvimos que su masa es de (468,76 g)

Después se halo el dinámetro de tal manera que se pudo medir la fuerza necesaria para cuando el movimiento del bloque es inminente.

Se repitió el proceso con cada material una 10 veces y hallamos un promedio por medio de la siguientes tablas:Tabla 1. Promedio de fuerzas material A

vidrio 10x8x8[cm]Intentos fuerza (N)

1 2,52 2,23 2,14 2,45 2,26 2,47 2,68 2,39 2,4

10 2,5Promedio Fuerza 2,36Tabla 2. Promedio de fuerzas material B

madera 10x8x8[cm]Intentos fuerza (N)

1 1,522 1,483 1,444 1,55 1,4

6 1,57 1,68 1,49 1,64

10 1,56Promedio Fuerza 1,504

Tabla 3. Promedio de fuerzas material C

metal 10x8x8[cm]Intentos fuerza (N)

1 1,282 1,323 1,284 1,265 1,266 1,37 1,288 1,39 1,28


Tabla 4. Promedio de fuerzas material A (Dimensión diferente)


1 0,222 0,283 0,34 0,265 0,246 0,37 0,288 0,39 0,3


Tabla 5. Promedio de fuerzas material A (Dimensión diferente)


1 3,32 3,13 2,94 3,35 3,66 3,47 3,4

1.4

8 3,39 3,2


Con los promedios de fuerzas ( F⃗d) hallamos los

coeficientes de fricción de cada material. Después realizamos el anterior proceso pero con el

bloque de 5x4x4 [cm] con una masa de 64,29 g

Material A (vidrio): bloque de 10x8x8[cm]

Si m=468,76 g

Y F⃗d=2,36 [N ] iFd=2,36 [N ]

Entonces:

W⃗ =mg

W⃗ =(0,46876 kg )(9,8m

s2 )=−4,59 [ N ] j

W =4,59 [ N ]Po lo tanto la normal es:

N⃗=4,59[ N ] jN=4,59 N

Lo cual cumple

∑ f⃗ y j=0→ W⃗ + N⃗=0Después con

μs=Fd

N

μs=2,36[ N ]4,59[ N ]μs=0,51

Lo cual quiere decir que el coeficiente de rozamiento de vidrio-madera en el bloque de 10x8x8 [cm] es de 0,51.

Material A (vidrio): bloque de 5x4x4[cm]

Si m=64,29 g

Y F⃗d=0,276 [N ]iFd=0,276[ N ]

Entonces:

W⃗ =mg

W⃗ =(0,46876 kg )(9,8m

s2 )=−0,63 [ N ] j

W =4,59 [ N ]

Po lo tanto la normal es:

N⃗=0,63[ N ] jN=0,63 N

Lo cual cumple


μs=Fd

N

μs=0,276[ N ]0,63[N ]μs=0,43

Lo cual quiere decir que el coeficiente de rozamiento de vidrio-madera en el bloque de 5x4x4 [cm] es de 0,43.

Analizando este resultado con el coeficiente normal entre vidrio y madera (0,25) se pudo notar que el coeficiente se fricción vario en más o menos el doble debido a que el bloque no es enteramente de vidrio sino en su mayoría es roble con una incrustación de una superficie de vidrio y una de aluminio de lo cual podemos concluir que la masa del bloque afecta directamente el coeficiente de fricción de una material siempre y cuando el bloque este fabricado con más de un material de lo contrario la masa no afecta el coeficiente de fricción del material .

También podemos notar que el coeficiente del bloque de 5x4x4[cm] y el de 10x8x8[cm] son muy parecidos, su margen de error es debido a que el bloque más grande tiene más de un material. De esto podemos concluir que el coeficiente de fricción de 2 bloques de un mismo material no depende del tamaño del los bloques siempre y cuando los bloques en comparación estén una proporción una del otro. (En este caso la proporción de tamaño es 2:1)

Podemos observar que el coeficiente de fricción cambio también debido a que la proporción del las incrustaciones de vidrio porque las dimensiones de largo y ancho eran proporcionales en los bloques de 5x4x4[cm] y 10x8x8[cm] pero la dimensión de profundidad de la incrustación en ambos bloques son la misma (4mm) y esto puede influir en el peso del bloque lo cual influye en el coeficiente de fricción del material.

Material B (madera):

Si m=468,76 g

Y F⃗d=1,504 [N ]iFd=1,504 [ N ]

Entonces:

W⃗ =mg

W⃗ =(0,46876 kg )(9,8m

s2 )=−4,59 [ N ] j

1.5

W =4,59 [ N ]

Por lo tanto la normal es:

N⃗=4,59[ N ] jN=4,59 N

Lo cual cumple


μs=Fd

N

μs=1,504 [ N ]4,59[ N ]μs=0,32

Lo cual quiere decir que el coeficiente de rozamiento de madera-madera es de 0,32.

También se puede concluir que la rugosidad del material cambia directamente el coeficiente de fricción del mismo. Además podemos notar que al igual que el vidrio el coeficiente fue diferente al normal de madera- madera (0,7) porque el peso del bloque no corresponde al que realmente pesaría el bloque si estuviera fabricado solo con madera.

Material C (metal):

Si m=468,76 g

Y F⃗d=1,288[ N ] iFd=1,288 [N ]

Entonces:

W⃗ =mg

W⃗ =(0,46876 kg )(9,8m

s2 )=−4,59 [ N ] j

W =4,59 [ N ]Por lo tanto la normal es:

N⃗=4,59[ N ] jN=4,59 N

Lo cual cumple


μs=Fd

N

μs=1,288 [N ]4,59[N ]μs=0,28

Ilustración 8. Grafica de coeficiente de fricción Vs materia y dimensión (respectivamente)



DCL:

Ilustración 9. Diagrama de cuerpo libre 3D del procedimiento 1.

Como W⃗ + N⃗=0 entonces W =N podemos realizar otro DCL despreciando W y N.

1.6

Ilustración 10. Diagrama de cuerpo libre 2D del procedimiento 1


∑ f⃗ x i=0−Tbc sen β−Tac senα=−F

∑ f⃗ y j=0−Tbc cos β+Tac cosα= 0

Ecuaciones de Tensiones:

Si:Tbc=0,5 F

−Tbc cos β+Tac cosα= 0−0,5 F cos β+Tac cosα=0 Y F=X [N ] β=45°

Obtenemos que: Tac=0,5 F cos 45 °cosα

Reemplazando Tac en F−Tbc sen β−Tac senα= 0:

F−0,5 F sen45 °−( 0,5 F cos 45°cosα )senα= 0

F−0,5 F sen45 °−(0,5 F cos 45 °) tan α=0

Despejando α :

tan−1 F−0,5 F sen45 °0,5 F cos 45°

=α

Pero como se habla de que la fuerza (F) no puede ser mayor a la fuerza de fricción (Fr) para que el sistema este en equilibrio podemos hacer lo siguiente:

Si tenemos en cuenta que Tbc=0,5 F y queTbc+Tac=F

Reemplazando Tbc en la anterior tenemos que0,5 F+Tac=FTac=F−0,5 F

Tac=0,5 FDespués si:

∑ f⃗ x i=0Tbc cos β−Tac cosα= 0

0,5 F cos β−0,5 F cosα=0 Y F=X [N ] β=45° Obtenemos que 0,5 F cos 45−0,5 F cosα=0

Despejando α :

cos−1 0,5 F cos 450,5 F

=α

45 °=αMientras que β=45° y Tbc=0,5 F y la fuerza no puede ser mayor a la fuerza de fricción (F=Fr) el ángulo α debe ser 45°

Y por la tanto la fuerza de las tensiones seria:

T⃗ac=−0,5 F sen 45° i+0,5 F cos 45° jTac=√(−0,5 F)2+(0,5 F )2=0,5 F

T⃗bc=−0,5 F sen45 ° i−0,5 F cos 45° jTbc=√(−0,5 F )2+(0,5 F)2=0,5 F


DCL:

Ilustración 11. Diagrama de cuerpo libre 3D del procedimiento 2

Como W⃗ + N⃗=0 entonces W =N podemos realizar otro DCL despreciando W y N.

Ilustración 12. Diagrama de cuerpo libre 2D del procedimiento 2.


Para plantear las ecuaciones de equilibrio, fue necesario encontrar la respectiva constante del resorte, que se halló por medio de la realización de un montaje experimental, obteniendo una serie de datos que se consignaron en la tabla 3.

1.7

Tabla 3. Valores de fuerzas y distanciasF(N) x(m)

0,98 0,0311,176 0,0431,372 0,056

1,47 0,0621,66 0,075

Luego los datos de las tablas se ingresaron al programa EXCEL, para obtener el gráfico de F en función de Δx.

y = 15,454x + 0,5064

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

F(N

)

Δx

Fuerza en función de Δx

Ilustración 13. Fuerza en función de Δx.

Donde se le agregó a la función, una línea de tendencia para obtener una correspondiente ecuación.

Fg=15,454 x+0,5064

Donde 15,454 es la constante (k) del resorte en Nm

.

∑ f⃗ x i=0

Luego entonces tenemos para hallar la longitud final del resorte conociendo la fuerza (F)

F−F r−Fg= 0

F−F r−kx=0

x=F−Fr

k

Reemplazando valores conocidos:

x2=F−F r

15,454+x2


DCL:

Para hallar las ecuaciones de equilibrio halamos primeros los vectores unitarios de cada tensión.

Vectores unitarios y magnitudes de t⃗ 1:

t⃗ 1=0 i+ h2

j−d k [cm ]

|⃗t 1|=√02+( h2 )

2

+d2=√ h4

2

+d2=12√h2+4 d2

u⃗ t 1=0

12

√h2+4 d2i+

h2

12

√h2+4 d2j−

d12

√h2+4d2k


t⃗ 2=a2

i−h2

j−d k [ cm ]

|⃗t 2|=√( a2 )

2

+(−h2 )

2

+d2=√ a4

2

−h4

2

+d2

|⃗t 2|=12√a2−h2+4 d2

u⃗ t 2=

a2

12

√a2−h2+4 d2i+

h2

12√a2−h2+4 d2

j−d

12√a2−h2+4 d2

k


t⃗ 2=−a

2i−h

2j−dk [ cm ]

|⃗t 3|=√(−a2 )

2

+(−h2 )

2

−d2=√ a4

2

−h4

2

−d2

|⃗t 2|=12√a2−h2−4 d2

1.8

u⃗ t 3=

a2

12

√a2−h2+4 d2i+

h2

12

√a2−h2+4 d2j−

d12√a2−h2+4 d2

k


∑ f⃗ x=0 →−T⃗ 3x+T⃗2 x

=0

T 3(a2

12

√a2−h2+4 d2 )+T 2(a2

12√a2−h2+4 d2 )=0

∑ f⃗ y=0→−T⃗3 y−T⃗ 2 y

+T⃗ 1 y−W⃗=0

T 3(h2

12

√a2−h2+4 d2 )– T 2(h2

12√a2−h2+4 d2 )−T 1(

h2

12

√h2+4 d2 )−mg=0

∑ f⃗ z=0→−T⃗ 3z−T⃗ 2z

−T⃗1 z−F⃗r=0

T 3( d12√a2−h2+4 d2 )– T 2( d

12√a2−h2+4 d2 )−T 1( d

12√h2+4 d2 )−μs N=0

CONCLUSIONES Los diagramas de cuerpo libre son una forma grafica

útil de observar cómo descomponer los vectores que pueden representar fuerzas, distancias, velocidades, aceleraciones, etc. en un determinado sistema.

Mediante la descomposión de fuerzas podemos hallar ecuaciones de equilibrio y así poder emplear sistemas de solución para hallar las incógnitas de un sistema.

Pudimos comprobar que la fuerza de fricción mayor es la del vidrio que era contrario a lo que se esperaba esto fue debido a diferentes circunstancias como el peso del bloque, que el bloque no era enteramente de vidrio por lo que el coeficiente de fricción también fue el mayor.

La fuerza de fricción de un material es directamente proporcional al coeficiente de fricción del mismo.

Utilizar los vectores unitarios de un vector como método efectivo en la realización de problemas de equilibrio en 3 dimensiones.

REFERENCIAS [1] Mecánica vectorial para ingenieros (Estática), R. c. Hibbeler ,10ma edición, capitulo 3 “equilibrio de partícula”,

paginas 81-95[2] www.slideshare.net/JEzeqGG/estatica-de-particulas[3]es.wikibooks.org/wiki/Física/Estática/Equilibrio_y_reposo][4]www.dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index04.html[5]www.cidse.itcr.ac.cr/cursos.../aplicacionesintegral/.../aplicaciones-integral.pdf

1.9

proyecto 1 - informe final

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