programacion de metas y objetivos

Investigación de Operaciones

Programación de Metas y Objetivos

Facilitador:Dr. Juan J. Lugo Marín.

La mayoría de las situaciones de decisión real, sean personales o profesionales, secaracterizan por metas (atributos) y objetivos múltiples más que por un simple objetivo.Estas metas pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas entreellas y también inconmensurables

La Programación meta es una técnica de resolución de problemas multicriterios, quepermite escoger las variables que ofrecen una mejor solución al problema planteado,teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidadese incluso contrapuestas.

La filosofía de los problemas de programación meta es muy similar a los deProgramación Lineal, sólo que ahora además de las restricciones estructurales, sepueden tener varios objetivos simultáneos, los cuales se desean alcanzar. Como laexistencia de un objetivo que puede ser alcanzado o no.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS

Programación de Metas: Planteamiento utilizado para resolver unproblema de optimización de objetivos múltiples como un programa linealque equilibre los pros y los contras de los objetivos en conflicto.

Meta: Valor objetivo numérico específico establecido para un fin en unprograma de metas.

Penalización: Valor relativo que se usa para representar insatisfacción concada unidad que un objetivo esté por debajo de su meta, si el objetivo esmaximizar, y por encima de la meta si lo que se busca es minimizar.


En los problemas de metas se tienen objetivos múltiples, en este caso seencontrarán problemas con múltiples metas sin prioridades y/o con prioridades, yen todos los casos se pudiesen tener problemas con ponderación y sinponderación.

Es importante recalcar que nunca se sacrificará una meta de mayor prioridad poruna de menor prioridad, pero dentro de una misma prioridad, la desviación conmayor ponderación puede ser desplazada por la de menor ponderación si estaúltima logra un valor que compense dicha ponderación.


Figura 1. Esquema básico de la programación meta.

En la figura 1, se puede observar que se presentan tres posibilidades, que lameta sea alcanzada, que se logre un valor mayor a la meta en cuyo caso seincurre en una desviación positiva, o que se quede por debajo de la meta, y enese caso se tendrá una desviación negativa. Dependiendo del problema y de lameta en sí, se podrá tener interés en minimizar la desviación positiva, lanegativa o ambas.

META: mi

di+

di-


La programación de metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial quecomprenden metas múltiples o ilimitadas, de acuerdo a la importancia que se le asigne aestas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos unaimportancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de laprogramación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador dedecisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y deprioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivosmúltiples.

La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación pormeta, es decir, también se tiene una función objetivo que se busca optimizar sujeta a unao más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dosconceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de lasrestricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango deprioridad entre las funciones de objetivo.

.


Las características que distinguen la programación de Meta son :

La Función Objetivo siempre busca minimizar.

Por cada meta existirá una restricción meta.

Que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, que las metas que debenclasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechassecuencialmente por el algoritmo de solución.

Las metas con prioridad baja se consideran solamente después de que las metas deprioridad alta se han cumplido.

La Programación de metas es un proceso de satisfacción, en el sentido de que eltomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultadoposible para un solo objetivo.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERÍSTICAS

La noción fundamental de la Programación Meta, comprende incorporar todas las metasgerenciales en la formulación del modelo del sistema.

En la programación Meta, en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivodirectamente, como en la programación lineal, se minimizan las desviaciones entre lasmetas y los límites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en losrecursos. Estas variables de desviación, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" enprogramación lineal, toman un nuevo significado en la Programación Meta. Ellas sedividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas. Elobjetivo se convierte entonces en la minimización de estas desviaciones, dentro de laestructura prioritaria asignada a estas desviaciones.

las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador dedecisiones.

Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERÍSTICAS

La programación meta también es aplicable en las siguientes áreas, entre otras:

MERCADEO: Donde las metas conflictivas podrían ser: maximizar laparticipación del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar elmargen de ganancia por artículo vendido.

CONTROL DE INVENTARIOS: Donde es necesario minimizar el número defaltantes y minimizar el costo de almacenaje.

PRODUCCION: Donde es necesario minimizar el costo defabricación, maximizar el control de calidad, y maximizar la utilización derecursos.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - APLICACIONES

La formulación de un modelo de Programación Meta es similar al modelo deProgramación Lineal (P.L). El Primer paso es definir las variables de decisión, despuésse deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Así, unacaracterística de la Programación de Meta es que proporciona solución para losproblemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurablesarregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración.

La formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar losatributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Unavez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración quecorresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor deseaalcanzar.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - FORMULACIÓN

Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de laintroducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente:

n: variable de desviación negativa, cuantifica la falta de logro de una meta

p: variable de desviación positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta

En general, la meta del atributo i-ésimo se escribe como:

Los valores de las variables de desviación son siempre positivas o cero, al menos una delas dos variables de desviación que definen la meta tendrá que ser cero.

Las dos variables de desviación tomarán el valor cero cuando la meta alcanceexactamente su nivel de aspiración, ti. Una variable de desviación se dice que es nodeseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valormás pequeño, es decir, cero.


En conclusión se puede decir que los pasos para la formulación de problemas de Programación de Metas son:

Identificación de las variables de decisión; en el cual se definen además 2 nuevas variables para cada objetivo; una para representar la cantidad en el cual el objetivo se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que está por debajo de la meta.Identificación de las restricciones.

Identificación de la Función Objetivo: en la programación de metas el objetivo es minimizar la penalización total por no haber logrado las dos metas. Aplicando la descomposición se tiene el siguiente resultado:

Penalización Total= (Penalización por no alcanzar la meta)+ (Penalización por exceder la meta)


Autor: Natasha Sánchez

Ejercicio de Metas Con Prioridad

Considera la situación de Schwim Manufacturing Company en donde la administracióndesea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administración desea ordenardichas metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridadabsoluta sobre la siguiente meta más importante y así sucesivamente.

Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente después de lograr lasmetas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviaciónasociadas con las metas, se les asigna un número prioritario Pj (j = 1,2,..., k). Los factoresde prioridad satisfacen

P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1.

Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tangrande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una metade alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1).

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS CON PRIORIDADES Y CON PONDERACIONES.


Ahora supongamos que la división de bicicletas de Schwim, además de lograr sus $600.00de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos deensamblaje y terminación durante la reorganización que se avecina. Esto es, como unameta secundaria, la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modeloes:

Minimizar Z = P1 (d1- + d1+) + P2(d2-+d3-)S.A.15x1+25x2 +d1- - d1+ = 600x1 +3x2 + d2- - d2+= 60x1 +x2 +d3- - d3+ = 40x1, x2, di-,di+ = 0

Donde:x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por díax2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por díad1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida



d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguidad2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensambled2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensambled3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminación.d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminación.

Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la función objetivo, el modelo intentará lograrexactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviacionespositivas como las negativas. Con d2+ d3+ y eliminados de la función objetivo, sin embargo, elmodelo no se preocupará del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminación eintentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que lameta de utilidad perseguida es más importante que la meta de minimización del tiempoocioso, a esta se le asigna prioridad P1. El modelo intentará lograr esta meta hasta donde másle sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso deproducción.



Método de Metas Con Ponderaciones

La ponderación de objetivos para la determinación de soluciones eficientes, es posiblementela primera técnica multiobjetivo considerada. El método se deduce directamente de lascondiciones necesarias de Kuhn.Tucker para soluciones eficientes y fue propuesto por Zadehen 1963, para con una adecuada variación paramétrica de los pesos, generar el conjuntoeficiente.

El método de las ponderaciones se puede utilizar para generar el conjunto eficiente, aunqueno resulta muy adecuado para obtener la representación completa del citado conjunto. Parallevarlo a cabo, hay que considerar de forma sistemática una serie de conjuntos de pesospositivos. Usualmente se empieza por la optimización individual de cada objetivo queequivale a tomar los pesos para después introducir una variación sistemática d estos con unatasa de aumento prefijado que hay que estimar como adecuada



Planteamiento del Método.Matemáticamente el método de las ponderaciones se formula mediante el problema

Max Z(x)= kZk(x) Sujeto a: x Є F

Con λk peso asociado al objetivo Zk denominamos a este problema p(λ) donde (λ1….λp)El problema multiobjetivo ha quedado transformado en un problema de optimización con unúnico objetivo. El peso λk para el objetivo Zk se interpreta como la importancia o peso relativodel k-ésimo objetivo en relación con el resto de los objetivos.De esta forma, si los pesos λ1…..λp expresan las referencias del decisor y este es capaz deasignarlos de una manera coherente, la solución optima de p(λ) es la solución de mejorcompromiso para él.Este método es válido para problemas lineales y no lineales, aunque nosotros nosrestringiremos aquí al primer caso. Es interesante notar, que la solución optima del problemap (λ) es eficiente si los pesos λk son positivos. Si se tomaran pesos negativos, ello esequivalente a transformar el problema p (λ) en uno de minimización para el que se tendría unconjunto eficiente distinto.



Método de Metas y Penalización

• Este método se aplica a problemas con dos o más objetivos contrapuestos.

• Para alcanzar una decisión optima, se procede a identificar:1. Una Meta: en la forma de un valor objetivo numérico especifico que se desee lograr.2. Una Penalización: en la forma de un valor para cada unidad que el objetivo se encuentre

por debajo (si es maximización) o por encima si es (minimización) de la meta.

• Una vez identificadas las metas y las penalizaciones, debe encontrarse una solución queminimice las penalizaciones totales asociadas a los objetivos.



Propiedades• Se utilizan metas y penalizaciones para permitir que las restricciones sean violadas, si hayuna mejora significativa en el logro de otras metas.• Los diferentes objetivos pueden combinarse en solo objetivo general.• Los objetivos pueden catalogarse en orden de importancia.• La obtención de las metas, las penalizaciones, las funciones de utilidad o clasificaciones delos objetivos está cargada de un alto grado de subjetividad.

Procedimiento:• Por cada objetivo, se identifica una meta.• Por cada meta identificada, se definen dos variables no negativas adicionales: la variable 1representa la cantidad en que el objetivo supera la meta y la variable 2 representa la cantidaden que la meta supera el objetivo.• Por cada objetivo, se formula una restricción de meta asociada.• Se establece una sola función objetivo de minimización de la penalización total por nocumplir con las metas.• Se resuelve el programa lineal con un solo objetivo.



EJERCICIOS.

1. MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos,respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado.Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere de 1 onza dematerial de soldar. El costo se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y Crespectivamente.Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes quetotalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. como solo sedisponen de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario5500 de onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfaceresta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas dematerial de soldar.

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS


TIPO

PRECIO DE

VENTA ($/ft))

DEMANDA(ft) TIEMPO DE

MAQUINA

(min/ft)

MATERIAL PARA

SOLDAR (oz/ft)

COSTO DE

PRODUCCION

($/ft)

COSTO DE

COMPRA ($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 3 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de

producción, la gerencia de MTV Steel esta considerando la compra de algunos de estos tubos a por-veedores de

Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Supóngase que

la compañía se ha establecido una meta de ganancia de $55.000 y desea que los costos de importación no superen

los $40.000. Formule este modelo como un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos veces

más importante que la meta de costos de importación.

Cantidad Disponible 40hr 5500 oz



• Identificación de las variables.AP = número de pies de Tubo A por producirBP = número de pies de Tubo B por producir.CP = número de pies de Tubo C por producir.AJ = número de pies de Tubo A por comprar a Japón.BJ = número de pies de Tubo B por comprar a Japón.CJ = número de pies de Tubo C por comprar a Japón.

• Variables de decisión.P+ = cantidad de dólares en que se excede la ganancia de la meta de $55000P- = cantidad de dólares que faltan para la ganancia meta de $55000I+ = cantidad de dólares en que las importaciones exceden la meta de $40000I - = cantidad de dólares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de $40000.



• Identificación de la Función Objetivo Minimizar 2P- + I+

• Identificación de las Restricciones Restricciones de Demanda

AP + AJ = 2000 (demanda Tipo A)BP + BJ = 4000 (demanda Tipo B)CP + CJ = 5000 (demanda Tipo C)

Restricciones de Recursos

0.5AP + 0.45BP + 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de maquina)AP + BP + CP ≤ 5500 (material de soldadura)



Restricciones de Metas

7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ – P+ + P- = 55000 (meta de ganancia)6AJ + 6BJ + 7CJ – I+ + I- = 40000 (meta de importación)

Restricciones Lógicas

AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ, P+, P-, I+, I- ≥ 0



2. El departamento de nutrición de Hospital General Mountain View estapreparando un menú de comida que será servido un día cada mes. Eldepartamento ha determinado que esta comida deberá proporcionar 63000miligramos (mg) de proteína, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg detiamina y 50 mg de vitamina C. Para lograr este objetivo, la comida debeconsistir en una cierta cantidad de espagueti, carne de pavo, papasgratinadas, espinaca y pastel de manzana. Cada 100 gramos de estosalimentos proporcionan la cantidad de cada nutriente que se indica en lasiguiente tabla:



PROTEINAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900

Espinaca 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de

Manzana

4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300

El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste alpaciente. Con este objetivo en mente, el departamento no servirá mas de 300 gramosde espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento denutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisfaga losrequerimientos nutricionales y proporciones la mínima cantidad de grasas.



• Variables de decisiónSPAG = el número de 100 gramos de espagueti que incluirPAVO = el número de 100 gramos de pavo que incluirPAPA = el número de 100 gramos de papa que incluirSPIN = el número de 100 gramos de espinacas que incluir

MANZ = el número de 100 gramos de pastel de manzana que incluir

• Identificación de la Función ObjetivoMinimizar 0.09F+ +0F- + C+ + 0C-

• Identificación de las restricciones

Restricciones de Metas5000SPAG + 5000PAVO + 7900PAPA + 300SPIN + 14300MANZ – F+ + F- = 55000 (grasa)0.15SPAG + 0.80PAVO + 0.12PAPA + 0.20SPIN + 0.51MANZ – C+ + C- = 2 (costo)



Restricciones de Nutrientes

5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ ≤ 100000 (máx. de proteínas)

5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ ≥ 80000 (mín. de proteínas)

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)

1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)

0.18SPAG + 0.06PAVO + 0.06PAPA + 0.07SPIN + 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)

10PAPA + 28SPIN + 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)



Restricciones de Limite

SPAG ≤ 3PAVO ≤ 3

PAPA ≤ 2SPIN ≤ 1

MANZ ≤ 1

Restricciones Lógicas

SPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ, F+, F-, C+, C- ≥ 0



EJERCICIOS.

3. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (1 y 2). Por cadahora que se realiza el proceso 1 este entrega 400kg de A. 100kg de B y 100kg de C. elproceso 2 entrega 100kg de A. 100kg de B y 100 kg de D por hora. El departamento demarketing de la compañía ha especificado que la producción diaria debe ser no más de500kg de B y 300kg de C y al menos 800kg de A y 100kg de D. una corrida del proceso 1tiene un costo de 500 bs/hr. Y una corrida del Proceso 2 tiene un costo de 100Bs/hr.Suponga que un kg de cada químico A, B, C se pueden vender en 1, 5, 5 y 4Bs, respectivamente y que las ventas del proceso 1 es de 1400Bsf/hr y 1000 Bs/hr, asícomo también las ganancias del proceso 1 son de 900 y del proceso 2 900bs. Formule unmodelo de Programación lineal para alcanzar las siguientes metas: Que los costos seencuentren por debajo de 30000Bs, que las ventas aumenten 100.000Bs y que lasganancias aumenten a 200.000Bs



Producto Proceso kg/hr

1 2 Producción kg/día Ventas Bsf/kg

A 400 100 800 1

B 100 100 500 5

C 100 300 5

D 100 100 4

Costo Bsf/hr 500 100

Ventas 1400 1000

Ganancias 900 900

Solución:• Primero se deben organizar los datos del ejercicio en una tabla para visualizarlosmejor.



• Luego se deben definir las variables a utilizar.

T1= Tiempo de producción del proceso 1 (hr)T2=Tiempo de producción del proceso 2 (hr)

• Se coloca la Función Objetivo (F.O):

Minimizar Z1=500 T1+100 T2 CostosMaximizar Z2=1400 T1+1000 T2 VentasMaximizar Z3=900 T1+900 T2 Ganancias



Sujeto a:

400 T1+100 T2>=800

100 T1+100 T2<=500RESTRICCIONES

100 T2<=300

100 T1 >=100

T1, T2>=0



F.O <+

>-

Meta

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4 100.000

Z3 X5 X6 200.000

• Seguidamente se realiza una tabla con las metas.



Después que se realiza la tabla se seleccionan las variables que sobrepasanla meta o las variables que representa la cantidad que falta para alcanzar lameta, para entonces penalizarlas. En este caso las variables son las queestán dentro del recuadro rojo, ya que X2 sobrepasa la meta de los costos,X3 está por debajo de la meta planteada de ventas al igual que X5 por laparte de ganancias.


F.O<+

>- Meta

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4 100.000

Z3 X5 X6 200.000


Razonamiento

500 T1+100 T2+ X1- X2= 30.000 Para los costos1400 T1+1000 T2 + X3- X4= 100.000 Para las Ventas900 T1+900 T2+ X5- X6= 200.000 Para las gananciasT1, T2 X1,X2 ,X3,X4 ,X5, X6>=0

• Se eliminan las funciones objetivos, pero debo tener 1, para eso necesito minimizar las violaciones por lo que penalizo las variables que no me convengan

• Finalmente consigo mi Función Objetivo:

Minimizar Z4= X2+ X3+ X5


4. En una planta se pueden fabricar dos productos diferentes (1 y 2). El tiempoque cada producto requiere en cada una de las dos maquinas es el mostradoen el cuadro anexo. Cada máquina está disponible 220min para cadaproducto. Formule un modelo de programación lineal para alcanzar lassiguientes metas:

Producción Total: 14 unidadesDel Producto 1: 8 unidades.Del Producto 2: 9 unidades


Maquina (minutos)

Producto 1 2

1 20 15

2 14 18

Tiempo Disponible

(min)

220 220

Nota: Por cada meta se identifica una función objetiva o viceversa.


• Variables:X1= Cantidad del producto 1. (Unidades)X2= Cantidad del producto 2. (Unidades).

• Metas.Producción Total: 14 unidadesProducto 1: 8 unidades.Producto 2: 9 unidades

• Funciones Objetivo por cada meta:Maximizar Z1= X1+ X2

Maximizar Z2= X2

Maximizar Z3= X1

Restricciones:20 X1+ 14 X2<=22015X1+ 18 X2<=220


F.O <+

>-

Meta

Z1 X3 X4 14

Z2 X5 X6 8

Z3 X7 X8 9

• Se penalizan las 6 variables ya que unas se sobrepasan la meta (X4 X6 X8) asícomo también hay variables que se encuentran por debajo de la meta(X3 X5 X7).


Razonamiento:

X1+X2+X3-X4=14X2+X5-X6 = 8X3+X7-X8 = 9

20 X1+ 14 X2<=22015X1+ 18 X2<=220X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8>=0

• Finalmente consigo la Función Objetivo General:

Minimizar Z4= X3+ X4,+X5+X6+X7+X8


5. Una compañía está considerando unos nuevos productos, se está buscandodeterminar la mezcla optima de los productos considerando 3 factores:

a) Mantener el nivel actual de empleo de 400 trabajadores.b) Sostener la inversión de capital a menos de 60 millones de bs.

Ante la duda de no poder alcanzar las metas se establecen las siguientespenalizaciones: 5 sino se llegan a la meta de utilidad (por millón de bs menos); 2por sobrepasar la meta de empleo (por cien trabajadores); 4 por quedar pordebajo de esa misma meta; 3 por exceder la meta de inversión de capital (pormillón de bs de mas). La contribución de cada producto de inversión y utilidad sepresenta en la siguiente tabla.


1 2 3

Utilidad a

largo plazo

12 bs 9bs 15bs Al menos

120.000.000

Nivel de

empleo

5 3 4 Mantener

4000

Inversión de

capital

5 7 8 Menos de

60.000.000


• Se definen las variables

X1=Cantidad de producto 1X2= Cantidad de producto 2X3= Cantidad de producto 3

Nota: si no hay restricciones, no hacen falta.

• Las Funciones Objetivos

Max Z1=12 X1+9 X2+12 X3

Z2=5X1+3X2+4 X3

Mini Z3=5X1+7X2+8X3


F.O <+

>-

Meta

Z1 X4 X5120.000.000

Z2 X6 X7 4000

Z3 X8 X960.000.000

• Se realiza la tabla de las metas.


En este caso se penaliza X4 ya que la meta es que al menos la utilidad sea120.000.000bs, ósea que puede ser más que eso y por tanto X4 seencuentra por debajo de la meta.

X6 y X7 se penaliza porque la meta es mantener a 4000 el nivel deempleo, y estas variables no cumplen con esto, sino que una está pordebajo de la meta y la otra por encima de la meta.

X9 se penaliza porque se encuentra por encima de la meta.


• Se coloca las funciones objetivos con sus nuevas variables de penalización y lasmetas.

12X1+9 X2+12 X3+ X4- X5=120.000.0005X1+3X2+4 X3+ X6- X7=40005X1+7X2+8X3+ X8- X9=60.000.000X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 >= 0

• Finalmente se coloca la función objetivo general con los valores depenalización que se le asignan a las variables por no cumplir con las metas.

Z4= 5 X4+4 X6+2 X7+3 X9


programacion de metas y objetivos

Education