5/10/2018 Producto Cruz

1/7

174 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional7. Sear: 1.1 = = (5, -2, I), v == (1,6, 3) Yk = = -4. Cornprobar el teorema 3.3.2 para estascantidades.8 . a ) De rnos tr ar que v = = (a, b)y w = = (-b, a) son vectores ortogonales.

b) U~ el resul tado del inciso a) para encontrar dos vectores que sean ortogonales av - (2,-3).c) Encontrar dos vectores uni tarios que sean ortogonales a ( -3, 4).

9 . Sean u = = (3, 4), v = = (5, -1) y w == (7, 1).Evaluar las expresionesa) u (7v +w) b) lI(u v )wll c) IIIlIKv, d) (IIl.Illv)ow

10. Explicar por que cada una de las siguientes expresiones carece de sentidoa) II (v w) b) (u v) +w c) vII d) k. (II+ v) .11. Usar vectores para hal lar los cosenos de los angulos internes del t riangulo cuyos .bees son (0,-I), (I, -2) y (4,1). ver-12. Den;-ostrar que A(~, 0, ~), B(4, 3, 0) YC(8, 1, -I) son los vertices de un triangulorectangulo. lEn que vertice esta el angulo recto?1 3 . S u po n er que a b == a c y a ;f; O. l . ,S econ c lu y e que b = = c? Ex pl ic a r l a r es pu e st a,14. Sean p == (2, k) Yq == (3,5). Encontrar k tal quea) p y q sean paralelos.

b) P Y q sean ortogonales.c) el angulo entre p y q sea n:/3.d) e l angulo ent re p y q sea n:14.

15. Usar la formula (13) para calcular la distancia entre el punto y la rectaa) 4x+3y+4==O;(-3, 1) .b) y==-4x+ 2;(2, -5)c) 3x +Y == 5; (1, 8)

16. Establecer la identidad lI u + vlf +17. Establecer la identidad u v = = : l : + vll2 - :l : l I u - v l f18. Encontrar el angulo.entre una diagonal de un cubo y una de sus caras,19. Sean I, j Y k vectores unitarios a 10 largo de los ejes positives x, y y z de un sis tema de

coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional. Si v == (a b c) es un v tdiferente de cero, entonces los angulos a,fl, y y ent re v y los v~ct~res ij y k,eco~pectIvamente, se denominan directoree de v ( figura 9 ) y 1 .: ' resfl ' os numeros cos acos y cos y se dencminan cosenos directores de v 'a) Demostrar que cos a == aJ I I v l l . .b) Encontrar cos fl y cos y.c) Demostrar que v l ! l v l l = = (cos a , cos fl ,cos y).d) Demostrar que cos? a +eos2 j3 +cos- Y == L

y

x

3.4 Producto cruz20. Usar el resul tado del ejerc ic io 19 para calcular, has ta el grade mas proximo, los an -

gul os que f orma una d iagona l deuna caja ded imensi ones 10em x 15em x 25em conlas aristas de la caja, [Nota. Se requiere una calculadora 0 tablas trigonometricas.]

21. Con referencia a l e je rc ic io 1 9 , d emo st ra r que v I y V 2 son vectores perpendiculares en elespacio tridimensional si y solo si sus cosenos directores satisfacen

22. Demost ra r que s i v e so rt ogonal tanto a comoa w2, entonces v es ortogonal a kj WI +k2w2 para todos los escalares kj y k2.

23. Sean u y v vectores diferentes de cere en el espacio bidimensional 0 en el espaciotridimensional, y sean k == l Iu l i y I '" IIvll. Demostrar que el vector w == lu + le v biseca elangulo entre u y v.

En muchas aplicaciones de vectores aproblemas degeometria, flsica e ingen. es de interes construir en el espacio tridimensional un vector que sea pedicular ados vectores dados. En esta seccion se introducira un tipo de mucacion vectorial can que se obtiene ese vector.

PRODUCTO CRUZDEVECTORES Definic ion. Si u = (uj, u2' u3) y v = = (VI' v2' v3) son vectores en el esptridimensional, entonces elproducto cruz u X V es el vector definido por

0, en notacion de determinantes,

OBSERVACION. En vez de memoriza r (1) , las componentes de u x v sepobtener como sigue:

.. Se f orma la matriz 2 x 3

9cuyo renglon contiene las componentes de 1.1 y cuyo segundo

contiene las componentes dev,

5/10/2018 Producto Cruz

2/7

176 I Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional 3.4 Producto cru.. Para encontrarla componente de u x v, eliminar la primera co-

l umna y e val u ar e l de te rm i nan t e; para encontrar fa componente, eli-minar I a s e gu nd a columna y e va lu ar e l n eg at iv e d el determinante; p ar a e nc on ,trar la te rc er a c om p on en te , e li min ar l a t er ce ra c ol um n a y e v al ua r e l d et er -minante.

u-fu X v) = (UI' uz, U3):(U2V3 - u3V2, U3Vj - ujV3' ujV2 - U2Vj)= uj(u2V3 - u3vz) +.Uz(U3Vj - ujv3) + U3(ujV2 - UZvj)=0

Solucion. Demostracion de b).S em eja nt e a L a de mo str ac io n d e a).

- ~ J( I ~ - ~ I , - I ~2o Demostracion de c). Como

- 2 1 1 11 ' 3uXv= y(2, 7, - 6) I : ! .

Existe una entre el producto punto y el producto cruzd e d os v ec to re s: e l p ro du ct o p un to e s u n e sc ala r y el p ro du cto cru z e s u n v ecto r. E ls iguiente teorerna proporciona relaciones importantes entre el productopunto y e l p ro du c to c ru z , y t am bi en m ue st ra q ue u X v es ortogonal tanto a u com o a v .

l os m ie mbr os d er ec ho s

a) u- (u X v) = 0b) v.(uxv)=Oc) Il u X v l1 2 = I I u l 1 2 I I v l 1 2 - ( u - V)2d) u X (v X w) = (u-w)v (u-vjwe) (u X v) X w = (u- w)v - (v -

(u X v esortogonal a u)(u x v es ortogonal a v)*lentidad de Lagrange)trelacton entre los productos cruz y puntoi(reJacion entre los productos cruz y punta)

Demostracion de d)y e). V er l os e je rc ic io s 2 6 y 27 . 0Teorema 3.4.1. Si u, vY w son vectores en el espacio tridimensional, entonces

u = (1, 2, -2) Y v = (3, 0, 1)E n el ejem plo 1 se d ern ostro q ue

u x v (2, -7, -6)Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Matematico y astronorno frances-Italiano, Lagrange, hijode un funcionario publico, nacio en Turin, I talia, (En el registro bautismal su nornbre aparece comoGiuseppe Lodov ico Lag rang ia .) Aunque su pad re que ri a que fue se abogado , Lag range se s in tioa tr aido por l as materna ti ca s y la a st rono rn ia despues de lee r una memor ia del a st ronomo Hal ley, Alos 16a f io s de edad empezo a estud ia r materna ti ca s por su cuenta y a los 19 fue con tr at ado comoprofesor en Ia Royal Artil lery School enTurin. EI afiosiguiente resolvio algunos problemas famososaplicando nuevos metodos que T;",'"cieron en una rama de las matematicas denominada calculo devariaciones, Estes metodos y las aplicaciones que Lagrange hizo de estes a problemas de mecanicace les te er an ( an monu rn en tal es qu e ap ro ximad ar ne nte a J os 2 5 af ios d e ed ad Lagr an ge y a e raconsiderado por muchos de sus conternporaneos como eJ mas grande matematico existente. Uno delos trabajos mas farnosos de Lagrange es un documento denominado Mecanique Analytique, e n e lq ue re du ce l a t eor ia d e l a r nec an ica a u nas c ua nt as f ormu la s ge ne ra les a pa rti r de l as c ual es esposible derivar todas las demas ecuaciones necesarias,

E s hi sto ric amen te i nte res an te e l h ech o de qu e e l pa dre d e Lagr ang e in cur si on i nf ruc -tuosarnente e n var ia s empre sa s f inancier as , de modo que su famil ia e st aba obl igada a v iv ir conbastante modestia, Lagrange mismo afirmo que si su familia tuviera dinero, su vocacion nohubieransido las maternaticas.

Napoleon era un gran adrnirador de Lagrange y 10cubrio de honores: 10hizo conde, senador yl e ot org o l a o rd en d e l a Legi on de Hon or . A pe sar d e su f ama, Lagr ang e s ier npr e fu e un homb retirnido y modesto. A su fallecimiento, fue sepultado con honores enEI Panteon parisino.

Como

u X v)-, (1)(2)+ (2)( -7) + (-2)( -6) =0y

v -tu X v) = (3)(2) + (0)( -7) + (1)(-6) = = 0

5/10/2018 Producto Cruz

3/7

178 / Vectores en los espaeios bidimensional y tridimensional

Teorema 3.4.2. Sf 1.1, v y w son vectores cualesquiern en el espacio tridimen:sional y k es cualquier escalar; entonces .a) u X v = Xb) u X (v + X v) + Xc) (u + v) X w = (u X w ) + (v X w)d) X v) = X v = u X (kv)e) u X 0 = 0 X u = 0f)uxu=o

Las demostraciones se concluyen de inmediato a de Ia formula (1) y de laspropiedades de los determinantes; por a) puede demostrarse como:Demostracion de a). AI intercambiar II y V en (1) se intercambian los delos t re s determinan te s del miembro der echo de ( 1), y po r tant o se cambia el signode cada componente en e l p roducto c ruz. Asi, u X v = Xu) . 0

de l os demas i ncises se:3 Cons id e ra r l os v e ct or es

l = (1, 0,0) j =(0, 1, k= (0,0, 1)Cada uno de estos vectores tiene longitud a 1 y esta a 10 l ar go de un dec~o~dena~as (figura 1). Se denominan vectores unltarios normales en e l e spac iotridimensional. Todo vector v = (vJ , v2, v3) en el espacio puedeexpresar se en term inos de I,j, k,ya que es posible escribir

r0.0.1)k

(0.;/. (l.0.0)

1

Por ejemplo,

(2, - 3,4) =2i - 3j +4k

i

0,2DEL

DETERMINANTEPARAELPRODUCTOCRUZ

3.4 Producto cA de (1) se obtiene

l X j = ( I ~ ~ I , - I ~ ~ I , I ~ ~ I ) = (0, 0, 1)= k Ados:

iXi=jXj=kXk 0ix ]=k,jXi= -I

5/10/2018 Producto Cruz

4/7

180 / Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional

lNTERPRETA-TRICADELPRODUCTO

de 1. 1 X V se puede deterrninar aplicando Ia siguiente "regla de la mana dere-cha"" (figu ra 3): Sea 8 el angu lo entre IJ y V, Y suponer que u se hace girarpo r el angulo 8 has ta qu e co incid e co n v. S i lo s dedos de Ia mano derecha sedisponen de m odo qu e apunten en la direccion de rotacion, entonces el pulgarindica (aproximadarnente) la direccion de u X v.

3E l le ct or e nc on tr ar a in st ru ct iv e p ra ct ic ar e sta r eg la c on l os p ro du ct os

ix ] = = k jXk kX i= jSi u y v so n v ecto res en e! espacio trid im en sio nal, ento nces la n orm a d e u x vtiene una interpretacion util. La identidad de . proporcionadae n e l te or er na 3 .4 .1 , e st ab le ce q ue

Si e d en ota el an gu lo en tre u y v , e n tonc es u: v = = l I u l l l l v l l co s e , de m od o q ue (5)s e p ue de e sc rib ir d e n ue vo c om oli u X ' 1 ' 1 1 2 = = I I u l 1 21 1 v l 1 2 I I u l 1 21 1 v l 1 2 c o s / e

= = l I u l 1 21 1 v l 1 2 (I cos28)= = I I u l 1 21 1 v l 1 2s e n 2 e

Asi,1 1 1 . 1X v ii = = l I u l l l l v l \ s e n e

Pero I I v ! ! s en 8 es J a a ltu ra d el p ara le lo grarn o d eterm in ad o p or u Y v (fig ura 4 ). P ortanto,

4'Recordar que en estetexto seacordo considerar 5610 sistemas de coordenadas derechos, En caso de que 5