Repaso de algebra lineal: Producto punto y producto cruz

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas en el planoCoordenadas cartesianas en el espacio (3D)

( , )a b (2,4,4)

nR

Suma en

Ejemplo

3R

(1,1,1) (2, 3,4) (3, 2,5)

( , , ) (0,0,0) ( , , )

(1,7,3) (2,0,6) (3,7,9)

x y z x y z

Multiplicacion por un escalar en

Ejemplo

3R

2(4,2,1) (8,4,2)

6(1,1,1) (6,6,6)

1( , , ) ( , , )

0( , , ) (0,0,0)

x y z x y z

x y z

( , , ) ( , , )x y z x y z

Suma y multiplicación por un escalar en

Ejemplo

2R

2(4,2) (8,4

6(1,1) (6,6)

1( , ) ( , )

0( , ) (0,0)

x y x y

x y

Vectores en

Un vector es un segmento de recta con magnitud y dirección especificados, con punto inicial en el origen.

Geométricamente, los vectores se pueden concebir como flechas saliendo del origen.

Vectores en

3R

3R

Suma de vectores

( , ) ( ', ') ( ', ')x y x y x x y y

Suma de vectores: método grafico

Suma de vectores: coordenadas cartesianas

Resta de vectores

( , ) ( , ) ( , )bx by ax ay bx ax by ay

Suma de vectores: método grafico (triangulo)

resta de vectores: coordenadas cartesianas

Ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector a v

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela a el vector (1,0,0) (0,1,0)

( ) (1,0,0) (0,1,0) (1, ,0)t t t l

Ecuación de la recta que pasa por el punto y el punto a b

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es el punto b( 1,1,0) (0,0,1)

( ) ( )t t l a b a

( ) ( ) ( 1,1,0) (1, 1,1) ( 1,1 , )t t t t t t l a b a

2 3 2 0

2(2 ) 3( 2 ) ( 1) 2 0

4 2 6 3 1 2 0

2 3 4 6 1 2 0

7 0

x y z

t t t

t t t

t t t

0( )

( ) (3,4,5) (400,500, 1)

23 3 400

29 4 500

t t

t t

t

t

p p v

p

El avión pasara sobre el aeropuerto 0.05 horas después, es decir 3 minutos después

La altura cuando esta pasando sobre el aeropuerto es 4.95 km

Producto internoOProducto punto

Producto interno o Producto punto

Sea y

Definimos el producto interno de y , que se denota como , como el número real

Si son vectores y son números reales, entonces

( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb

a b a b

x x y y z za b a b a b a b

, ya b c y

Producto interno o Producto punto

Sea y dos vectores, y sea , , el ángulo entre ellos

Despejando , obtenemos

( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb

cosa b a b

0

1cos

a b

a b

El producto interno entre dos vectores es 0, si y solo si los vectores son perpendiculares.

Producto interno o Producto punto

Hallar el ángulo entre los vectores a i j k b i j k

( ) ( ) 1 1 1 1 a b i j k i j k

2 2 21 1 1 3 a

2 2 21 1 1 3 b

1 1 11 1cos cos cos 71

33 3

a b

a b

Producto interno o Producto punto

Proyección de un vector sobre un vectorc a

2

( )

a

a cproy c a

a

Producto interno o Producto punto

2 2 2

2 2 2

(1 3 1 ) 11

(2 3 7 ) 62

u

v

( 1,3,1) ( 2, 3, 7) 2 9 7 14 u v

2

( )

u

u vproy v u

u

( 1,1,1) (2,1, 3) 2 2 3 3 u v

2 2 2(1 1 1 ) 3 u

3

3

uproy v u u i j k

Producto interno o Producto punto

6sin(45) 6cos(45) f i j

(a)

(b)

2 2

(3 2 3 2 ) (4 2 ) 12 2 6 2 18 2

6

4 2 20

f D i j i j

f

D

1 1 118 2 3 2cos cos cos 18.4

6 20 20

f D

f D

Productocruz

Producto cruz

Sea y dos vectores, el producto cruz de y denotado por , esta definido por

Ejemplo calcular el producto cruz

( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb a b a b

( ) ( ) ( )

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

y z z y x z z x x y y x

a a a aa aa a a

b b b bb bb b b

a b a b a b a b a b a b

i j k

a b i j k

i j k

3 2 i j k i j k

3 2 3 1 1 4 7

1 2 1

i j k

i j k i j k i j k

Producto cruz (propiedades)

Producto cruz

Sea y dos vectores, la norma del producto cruz , es simplemente el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores

La norma del producto cruz es igual a

EL producto cruz es normal al plano formado por los vectores

( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb a b ya b

a b sin( )a b

Regla de la mano derecha y el producto cruz

a b ya b

Producto cruz (ecuación del plano con normal )A B C n i j k

1

1

1

1 1 1

A

B

C

n i j k

0

0

0

1

0

0

x

y

z

1( 1) 1( 0) 1( 0) 0

1

x y z

x y z

Producto cruz (ecuación del plano con normal )A B C n i j k

( ) n b a c a

(1,1,1)

(2,0,0)

(1,1,0)

a

b

c

1 1 1 ( ) n i j k k i j

1

1

0

A

B

C

1( 2) 1( 0) 0

2 0

x y

x y

Producto cruz

Producto cruz

Producto cruz

Producto cruz

Producto cruz

Producto cruz