INSTITUTO TECNOLGICO DE MRIDACmo describir la posicin de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadasUn sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:Un punto de referencia fijo, O, denominado origenUn conjunto de direcciones o ejes especificados, con una escala y unas etiquetas apropiadas sobre sus ejesInstrucciones que indican como etiquetar un punto en el espacio con respecto del origen y de los ejes.Sistema de coordenadas cartesiano (u ortogonal)Ejemplo en dos dimensiones:Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (x,y)y positivas hacia arribay negativas hacia abajox positivas hacia la derechax negativas hacia la izquierdaSistema de coordenadas polar Ejemplo en dos dimensiones:Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas polares planas (r, ) es el ngulo entre dicha lnea y un eje fijo (normalmente el x) r es la longitud de la lnea que une el origen con el puntoRelacin entre sistema de coordenas cartesianas y sistema de coordenadas polarEjemplo en dos dimensiones:De polares a cartesianas De cartesianas a polares, asumiendo que est medida en sentido contrario de las agujas del reloj con respecto al eje x positivoDos tipos de magnitudes fsicas importantes: escalares y vectorialesMagnitud escalar:aquella que queda completamente especificada mediante un nmero, con la unidad apropiadaNmero de patatas en un sacoTemperatura en un determinado punto del espacioVolumen de un objetoMasa y densidad de un objetoMagnitud vectorial:aquella que debe ser especificada mediante su mdulo, direccin y sentidoPosicin de una partculaDesplazamiento de un partcula (definido como la variacin de la posicin)Fuerza aplicada sobre un objetoRepresentacin tipogrfica de un vectorLetras en negrita: aFlecha encima del smbolo:Convenciones para representar una magnitud vectorial en un textoConvenciones para representar el mdulo de una magnitud vectorial en un textoLetras en formato normal: aDos barras rodeando a la magnitud vectorial:El mdulo de un vector siempre es positivo, y especifica las unidades de la magnitud que el vector representa (Cuntos metros me he desplazado)Base cartesiana para la representacin de vectores en 3D. En Fsica a un vector de mdulo uno se le denomina versorBase ortonormal en el espacio 3D: Tres vectores de mdulo unidad que, adems son perpendiculares entre s.La base formada por los vectores se le denomina base cannica. Es la ms utilizada usualmente, pero no la nicaComponentes cartesianas de un vectorProyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano : componentes cartesianas de un vector Cosenos directoresEn una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector a los cosenos de los ngulos que forma el vector con los vectores de la base lgebra vectorialAdicin de dos vectoresVectorComponentes en unsistema de coordenadas particularLa suma de dos vectores es otro vectorCuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por la suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadaslgebra vectorialAdicin de dos vectoresPropiedades de la adicin de dos vectoresPropiedad conmutativaPropiedad asociativaLas dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentesPodemos sumar los vectores en cualquier ordenSignificado geomtrico de la suma de vectoresSe disponen grficamente un vector a continuacin del otro, es decir, el origen de coincide con el extremo de El vector suma tiene como origen en el origen dey como extremo el extremo de Los vectores se pueden sumar de esta forma sin hacer referencia a los ejes de coordenadasSupongamos queypueden representarse como segmentos en el papel,Qu sera? lgebra vectorial Multiplicacin de un vector por un escalar VectorComponentes en unsistema de coordenadas particularEl resultado de multiplicar un vector por un escalar es otro vectorCuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por el producto de las componentes por el escalarlgebra vectorial Sustraccin de vectoresSe define de la misma manera que la adicin, pero en vez de sumar se restan las componentesGrficamente: dibujamos el vector desde hastapara obtener lgebra vectorial Multiplicacin de vectoresLos vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentesProducto escalar: el resultado es un escalarProducto vectorial: el resultado es un vectorProducto mixto: el resultado es un escalarlgebra vectorial Producto escalar de vectoresDados dos vectores cualesquiera ydefinimos el producto escalarEl producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto,,entre los dos vectoresEl resultado de esta operacin es un escalar, es decir una cantidad que no tiene direccin. La respuesta es la misma en todo conjunto de ejesAl producto escalar tambin se le conoce como producto interno, escalar o puntolgebra vectorial Propiedades del producto escalar de vectoresPropiedad distributivaPropiedad conmutativaPropiedad asociativaProducto escalar de los vectores de la base ortonormal cannicalgebra vectorial Definicin geomtrica del producto escalares el producto del mdulo depor el mdulo de por el coseno del ngulo que formanes el menor de los ngulos que forman los vectoresSignificado geomtrico del producto escalar. La proyeccin de un vector sobre el otro.es el producto del mdulo depor el mdulo de por el coseno del ngulo que formanes el menor de los ngulos que forman los vectoresUtilizacin del producto escalar para saber si dos vectores son ortogonales entre ses el producto del mdulo depor el mdulo de por el coseno del ngulo que formanSi el producto escalar de dos vectores es cero, y el mdulo de los dos vectores es distinto de cero, entonces los dos vectores son perpendiculares entre s.Magnitudes fsicas en las que interviene el producto escalar de dos vectoresTrabajoFlujo de un campo vectorialLey de Gauss para campos elctricosA students guide to Maxwells equations Daniel Fleisch Cambridge UniversityPress(New York, 2008)s ns lgebra vectorial Producto vectorial de vectoresDados dos vectores cualesquiera ydefinimos el producto vectorial como un nuevo vector Cuyas componentes vienen dadas porlgebra vectorial Producto vectorial de vectoresEl resultado de esta operacin es un vector, es decir una cantidad que s tiene direccin. Al producto vectorial tambin se le conoce como producto externo, o producto cruzDados dos vectores cualesquiera ydefinimos el producto vectorial como un nuevo vector Cuyas componentes vienen dadas porEl producto vectorial de dos vectores se representa poniendo una cruz,, o un ngulo,, entre los vectoresMdulo del vector producto vectorialDados dos vectores cualesquiera ydefinimos el producto vectorial como un nuevo vector Mdulo del vector producto vectorialEl mdulo dees el producto del mdulo depor el mdulo de por el seno del ngulo que formanEl mdulo del vector producto vectorial coincide con el rea del paralelogramo definido por los dos vectoresDireccin del vector producto vectorialDados dos vectores cualesquiera ydefinimos el producto vectorial como un nuevo vector Direccin del vector producto vectorialDireccin del vector producto vectorial: perpendicular a los vectoresy El sentido deviene determinado por la regla de la mano derechaCon los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar, ndice y, finalmente, el dedo medio, los cules se posicionan apuntando a tres diferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el pulgar determina la primera direccin vectorial, el ndice la segunda y el corazn nos indicar la direccin del tercero.Sentido del vector producto vectoriallgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectoresPropiedad anticonmutativaSi Propiedad distributiva con respecto a la sumaProducto de un escalar con respecto a un producto vectorialProductos vectoriales entre los vectores de la base cannicalgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectoresUtilizacin del producto vectorial para saber si dos vectores son paralelosReglas de la multiplicacin usando productos escalares y vectorialesMagnitudes fsicas que se pueden definir como el producto vectorial de dos vectoresMomento angularFuerza de LorentzProductos triples: Triple producto escalarEl resultado es un vector.Precaucin:Ejemplo:Productos triples: Triple producto vectorialSe define como el producto vectorial de un vector por el producto vectorial de otros dosEl resultado es un vector.El triple producto escalar cumple la frmula de LagrangePrecaucinProductos triples:Producto mixto de vectoresSe define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dosEl resultado es un escalarSi los tres vectores vienen dados en coordenadas cartesianas se calculaPropiedad geomtrica: el volumen del paraleleppedo definido por estos tres vectores es igual al valor absoluto de su producto mixtoDerivada de un vectorSeauna funcin vectorial que depende de un escalar tEjemplo:puede ser la posicin de un objetot puede ser el tiempoInstante PosicinttObjetivo: calcular la razn de cambio decomo funcin de tDerivada de un vectorEn el intervalo de tiempo El objeto se ha movido desdehastadesplazamientoDerivada de un vectorCuanto ms pequeo sea , ms parecidos sern y ms pequeo ser el desplazamientoDefinicin de derivada: divide entre y tomar el lmite cuando Sies la posicin, su derivada es la velocidad:Direccin: tangente a la trayectoriaMagnitud: depende de lo rpido que recorra la trayectoriaDerivada de un vectorTened cuidado al dibujar posicin y velocidad en la misma grfica: Los dos vectores no se pueden sumarCuidado con las escalasDerivada de un vector:componentes de la derivada de un vectorLa derivada puede contemplarse como una diferencia de vectores.Las componentes de una diferencia de vectores es igual a la diferencia de las componentesTomando lmitesSi la direccin a lo largo de la cul se calcula la componente se mantiene fija con el tiempoIntegral de un vector: la integral de lneaSea un campo vectorial, queremos calcular la integral a lo largo de una curva S desde un punto a hasta un punto zComo punto de partida, necesito conocer lo que vale el campoa lo largo de la curva S entre a y zIntegral de un vector: la integral de lneaCaso sencillo:el campo vectorial es constanteel camino en el que hay que integrar es una lnea rectaResultado: la distancia a lo largo de la lnea multiplicadapor la componentede la fuerza en esa direccinIntegral de un vector: la integral de lneaCaso generaldescomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeos fragmentosdescomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeos fragmentosLa integral a lo largo de S es la suma de las integrales a lo largo de cada uno de los fragmentosEn cada uno de los pequeos fragmentos, la fuerza puede considerarse como constanteIntegral de un vector: la integral de lneaCaso generaldescomponer la integral diviendo la trayectoria S entre a y z pequeos fragmentosCampos vectoriales y escalares: DefinicinEn una regin del espacio tenemos un campo vectorial (respectivamente escalar),cuando tenemos definida una magnitud vectorial (respectivamente escalar) para cada punto de esa regin como funcin de la posicin Ejemplo de campo escalar: la presin atmosfrica sobre la tierraPara cada punto geogrfico (identificado mediante una longitud, unalatitud y una altura) tenemos definido un valor de la presin(expresada en Pascales)Ejemplo de campo vectorial: la velocidad del viento en cada punto de la tierraPara cada punto geogrfico (identificado mediante una longitud, una latitud yuna altura) tenemos definido un valor de la velocidad. Dicha velocidad seexpresa no solo con su valor, sino con ladireccin en la que sopla el viento.http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7Campos escalares: Ejemplo fsicoFsica, Volumen II-Electromagnetismoy Materia, FeynmanPearson Education, Addison WesleyLongman, Mjico, 1998La temperatura, T, es un campo escalar A cada punto (x,y,z) del espacio se le asocia un nmero T(x,y,z).Todos los puntos de la superficie marcada por T = 20r(representada por una curva para z = 0) estn a la misma temperaturaCampos vectoriales en dos dimensiones: Ejemplohttp://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7A cada punto del espacio se le asocia un vector plano y se suele escribiro A cada punto x,y, asocio un vector cuya componente x mide sin(x) y la componente y, sin(y) Campos vectoriales en tres dimensiones: Ejemplohttp://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D y se suele escribir o Campos vectoriales en tres dimensiones: Ejemplo fsicoFsica, Volumen II-Electromagnetismoy Materia, FeynmanPearson Education, Addison WesleyLongman, Mjico, 1998La velocidad de los tomos en un cuerpo en rotacinDerivadas espaciales de los camposCuando los cambios cambian con el tiempo, es muy fcil describir la variacinAhora queremos describir de una manera similar variaciones con respecto a la posicin.Por ejemplo, Cul es la relacin entre la temperatura en un punto dado y la temperatura en otro punto suficientemente cercano?.En este caso, Cmo deberamos de tomar la derivada con respecto a la posicin?. Derivamos con respecto a x, y o z?Las leyes fsicas no deben depender de la orientacin del sistema de coordenadases un escalar o es un vector?Las leyes deben fsicas deben escribirse de una forma en la cual los dos lados de la ecuacin sean un escalar o sean un vector.Ni lo uno ni lo otro. Si rotamos el sistema de coordenadas y tomamos un eje xdiferente, el valor de la derivada ser diferente.El operador nablaEl smbolorepresenta un operador vectorial diferencial.Recibe el nombre de nabla o deltaNos indica que vamos a tomar derivadas en las tres direcciones espaciales sobre la magnitud en la cul est actuandoEn coordenadas cartesianasPor si mismo, no significa nada. Necesita una magnitud sobre la que actuar. hungry for something to differentiateCombinando el operador nablacon campos escalaresEl gradienteSupongamos que tenemos dos puntosyseparados por una pequea distanciaPunto TemperaturaNo depende del sistema de coordenadas escogido para medir las coordenadas de los puntosLa diferencia de temperaturas es un escalarDiferencia de temperaturas entre los dos puntos fsicos realesCombinando el operador nablacon campos escalaresEl gradienteSi ahora escogemos un sistema de referencia adecuado a nuestro problemaParte izquierda de la ecuacin es un escalarParte derecha de la ecuacin: producto de tres derivadas parciales por componenentes de vectorDiferencia de temperaturas entre los dos puntos fsicos realesPunto TemperaturaComponentes de Combinando el operador nablacon campos escalaresEl gradienteLa diferencia de temperaturas entre dos puntos cercanos es el producto escalar del gradiente de la temperatura multiplicado por el vector desplazamiento entre los dos puntos.Diferencia de temperaturas entre los dos puntos fsicos realesDefinicin de gradiente de un campo escalarEl gradiente transforma un campo escalar en un campo vectorial.En cada punto el vector gradiente apunta en la direccin de mxima variacinCombinando el operador nablacon vectores La divergenciaPodemos calcular el producto escalar del operadorcon un campo vectorial El resultado es un campo escalar(la suma es invariante ante una transformacin de coordenadas)La divergencia transforma un campo vectorial en un campo escalarEjemplos de campos vectoriales con distintos valores de la divergenciaPuntos 1, 2, y 3 son puntos con divergencia positiva.Punto 4 es un punto con diverencia negativa.En la Figura (c), la divergencia es nula en todos los puntos.Combinando el operador nablacon vectores El rotacionalPodemos calcular el producto vectorial del operadorcon un campo vectorial El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectorialesEn coordenadas cartesianasCombinando el operador nablacon vectores El rotacionalPodemos calcular el producto vectorial del operadorcon un campo vectorial El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectorialesEl producto vectorial se puede escribir en forma de determinanteCombinando el operador nablacon vectores El rotacionalPodemos calcular el producto vectorial del operadorcon un campo vectorial El resultado es un campo vectorial, cuyas componentes se pueden escribir siguiendo las reglas usuales de los productos vectorialesEl rotacional transforma un campo vectorial en un campo vectorialLas componentes del vector rotacional vienen dadas porEjemplos de campos vectoriales con distintos valores del rotacional.Puntos 1, 2, 3 (panel a) y 4, 5 (panel b) son puntos con rotacional grande.Punto 6 ( punto de flujo uniforme en el panel b), y el punto 7 (flujo divergente en el panel c) son puntos de bajo o nulo rotacional.Significado fsico del rotacional.El rotacional de un campo vectorial mide la tendencia del campo a rotar en torno a un determinado punto.Para encontrar las posiciones con un valor alto del rotacional:- Imaginar que las lneas de campo representan las lneas de flujo de un fludo. - Buscar puntos en los cuales los vectores de flujo en un lado del punto son significativamente diferentes (en magnitud, direccin o en ambos) a los vectores de fujo en el lado opuesto del punto.- Para ayudar en este experimento mental, imaginemos que somos capaces de colocar un diminuto molino de viento en cada punto del flujo. Si el flujo hace que el molinillo de viento rote, entonces el centro del mismo marca una posicin de rotacional no nulo. La direccin del rotacional estar dirigida siguiendo el eje del molinillo. Por convenio, el sentido positivo del rotacional viene determinado por la regla de la mano derecha: si uno enrosca los dedos de la mano derecha siguiendo la rotacin del flujo en ese punto, el pulgar seala en la direccin positiva del rotacional.El rotacional mide la rotacin de un campo vectorial Vamos a fijarnos en la componente x del rotacional de los campos vectoriales en las figurasEl rotacional mide la rotacin de un campo vectorial Vamos a fijarnos en la componente x del rotacional de los campos vectoriales en las figurasCombinando el operador nablacon vectores. El rotacional en varias coordenadasEn coordenadas cartesianasEn coordenadas cilndricasEn coordenadas esfricasResumen de las tres clases de combinaciones con el operador nabla Actuando sobre un campo escalarActuando sobre un campo vectorialMomento de un vectorEl momento de un vector aplicado en un punto P con respecto de un punto O viene dado el producto vectorial del vector por el vector Por la propia definicin del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano derterminado por los vectores yDonde es el vector que va desde O hasta PSistema de vectoresxyzOSupongamos un conjunto de vectores, Definimos la resultante del sistema de vectores como Definimos el momento resultante con respecto a un punto Campo de momentosxyzOSi la resultante de un sistema de vectores es nula, entonces el momento resultante es independiente del punto con respecto al que se tomaEl momento resultante genera un campo vectorial. Para cada punto en el espacio podemos definir un vector: el momento resultante con respecto a ese puntoSistema de vectores concurrentesUn sistema de vectores concurrentes es aquel para el cual existe un punto en comn para todas las rectas de accin de los vectores componentesxyzOINTEGRAL DE SUPERFICIExyzosen cos x r o =sen sen y r o =cos z r o =00 2o x x ( , ) sen cos sen sen cos r r r o o o o = + + r i j k2( , ) ( , )senr rro o oo - = 22 20 0sen 4SdS r d d rxxo o x = = El rea de la superficie de una esfera de radio r es...xyzcos x R =sen y R =z z =Rh( , ) cos sen z R R z = + + r i j k( , ) ( , ) z zRz - = r r0 20 z h x 20 02hSdS Rdz d Rhx x = = El rea de la superficie lateral de un cilindro de radio Ry altura h es...RhtanRh =xyzp2 2 2x y p + =tanpz =22 2 2 2 22tanRx y z zh + = =22 2 220Rz x yh=2 22 2;x yh x h yz zR z R z= =22 2 2 221 1x yS R Rxy xyhdS z z dx dy dx dy R R hRx = + + = + = Rxy es la circunferencia de radio REl rea de la superficie lateral del cono de radio Ry altura h es...RrR r cos proyectado en el eje X eso( cos ) cos R r o +proyectado en el eje Y es( cos )sen R r o +zsen z r = ... y la proyeccin sobre el eje Z es( , ) ( cos ) cos( cos ) sen senR rR r ro o o = + ++ +r ij k2( , ) ( , )cos r Rro o o - = + r r0 20 2 xo x )2 22 20 0cos 4SdS r Rr d d Rrx x o x = + = El rea de la superficie de un toro es ...xyz