Problemas

(2°) Si se sabe que a+b=√135 , ¿cuál es el área del triángulo?

(1° 2°) Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un número de 5 dígitos abcde. Tal número cumple que el número de 3 dígitos abc es divisible por 11, el número bcd es divisible por 3 y el número bde es divisible por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno, encuentra la descomposición en primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay uno, encuentra su descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.

(2°) Un número de 5 dígitos se dice doble capicúa si es un número capicúa y además es la suma de dos números capicúa de 4 dígitos. Encuentre todos los números doble capicúa.

(Prim) Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son usados una vez cada uno para formar el número abcdef . Si el número abc es divisible por 4, bcd es divisible por 5, cde es divisible por 3 y ¿ es divisible por 11, ¿cuál es el número abcdef ?

(2°, 3°) En el paralelogramo ABCD, DE corta a la diagonal AC en G y a BC en F. Si DG=6 y GF=4, ¿cuánto mide DE?

(prim, 1°) Si a y b son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia es la menor posible, ¿cuál es esa diferencia?

(prim, 1°) En la figura, ABCDEF es un hexágono regular, y los cuadrados BAXY y CBZT se trazan fuera del hexágono, mientras que los cuadrados DERS y DPQCse trazan en el interior. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de los segmentos PS y YZ?

(prim, 1°, 2°) En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados ABCDEF…, un cuadrado BCYZ y un pentágono regular DEVWX . Demuestra que el punto X se encuentra en la línea que une D con Y .

(prim, 1°) Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos números rodantes hay?

(2°) En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí, ambos de radio 4. Se trazó una línea desde el centro de uno de ellos y que es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?

(3°) Un círculo es tangente a tres de los lados de un rectángulo de medidas 2 y 4, como en la figura. ¿Cuánto mide el segmento AB?

(2°, 3°) En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se acomodan en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos casilleros grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y se numeran como en la figura:

a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10 grupos?

b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué números hay en ellos?

c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?

¿Y 2007?

(prim, 1°) Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:

a) El número está entre 1000 y 10000b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivosc) Es múltiplo de 3

(2° 3°) ¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?

(1°) Considera el número 2002! Claramente, 2001 lo divide. ¿Cuál es el número n más grande tal que 2001n divide a 2002! ?

(2° 3°) Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador y 2) Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad n≥1 de operaciones (en algún orden) a

la fracción 78 , y se obtuvo una fracción con el mismo valor. ¿Cuál es el mínimo valor para n?

(prim) Un triángulo equilátero gira alrededor de un cuadrado como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del camino que describe el punto negro hasta que regresa a su posición original?

(3°) Juana elige dos números a y b del conjunto {1 ,2 ,…,26 } (tales números son distintos). El producto ab es igual a la suma de los restantes 24 números. ¿Cuánto vale la diferencia entre a y b?

(2° 3°) Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P y a AC en Q. Demuestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

(prim 1° 2°) En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un triángulo de área 3 π, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

(prim) Gaby escribe 12 números elegidos del 1 al 9 en una cuadrícula de 4x3, de tal manera que la suma de los números en cada renglón y columna es la misma. ¿Qué número debe ir en la esquina sombreada?

(2° 3°) Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par de cartas tienen números distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los dígitos del número de cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que tiene 3 cartas con la misma suma?

(prim) Los puntos P y Q son vértices opuestos de un hexágono y R y S son puntos medios de segmentos opuestos, como se muestra. Si el área del hexágono es 138, ¿cuánto vale el producto entre las longitudes de PQ y RS?

(prim) En la figura, las áreas de los triángulos son 5 y 10 y las líneas a ,b y c son paralelas. Si la distancia entre las líneas a y c es 6, ¿cuánto mide PQ?

(1° 2°) Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice O en común. Cada triángulo comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en O de un triángulo es m, donde m es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida 2m,3m ,4m ,… y así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar m?

PRIMARIA EXAMEN

Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son usados una vez cada uno para formar el número abcdef . Si el número abc es divisible por 4, bcd es divisible por 5, cde es divisible por 3 y ¿ es divisible por 11, ¿cuál es el número abcdef ?

En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados ABCDEF…, un cuadrado BCYZ y un pentágono regular DEVWX . Demuestra que el punto X se encuentra en la línea que une D con Y .

Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos números rodantes hay?

Un triángulo equilátero gira alrededor de un cuadrado como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del camino que describe el punto negro hasta que regresa a su posición original?

Si a y b son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia es la menor posible, ¿cuál es esa diferencia?

PRIMARIA EJERCICIOS

En la figura, ABCDEF es un hexágono regular, y los cuadrados BAXY y CBZT se trazan fuera del hexágono, mientras que los cuadrados DERS y DPQCse trazan en el interior. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de los segmentos PS y YZ?

En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un triángulo de área 3 π, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:

a) El número está entre 1000 y 10000b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivosc) Es múltiplo de 3

Gaby escribe 12 números elegidos del 1 al 9 en una cuadrícula de 4x3, de tal manera que la suma de los números en cada renglón y columna es la misma. ¿Qué número debe ir en la esquina sombreada?

Los puntos P y Q son vértices opuestos de un hexágono y R y S son puntos medios de segmentos opuestos, como se muestra. Si el área del hexágono es 138, ¿cuánto vale el producto entre las longitudes de PQ y RS?

En la figura, las áreas de los triángulos son 5 y 10 y las líneas a ,b y c son paralelas. Si la distancia entre las líneas a y c es 6, ¿cuánto mide PQ?

1° SECUNDARIA EXAMEN

Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un número de 5 dígitos abcde. Tal número cumple que el número de 3 dígitos abc es divisible por 11, el número bcd es divisible por 3 y el número bde es divisible por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno, encuentra la descomposición en primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay uno, encuentra su descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.

Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos números rodantes hay?

Considera el número 2002! Claramente, 2001 lo divide. ¿Cuál es el número n más grande tal que 2001n divide a 2002! ?

En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un triángulo de área 3 π, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice O en común. Cada triángulo comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en O de un triángulo es m, donde m es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida 2m,3m,4m ,… y así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar m?

1° SECUNDARIA EJERCICIOS

Si a y b son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia es la menor posible, ¿cuál es esa diferencia?

Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:

a) El número está entre 1000 y 10000b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivosc) Es múltiplo de 3

En la figura, ABCDEF es un hexágono regular, y los cuadrados BAXY y CBZT se trazan fuera del hexágono, mientras que los cuadrados DERS y DPQCse trazan en el interior. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de los segmentos PS y YZ?

En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados ABCDEF…, un cuadrado BCYZ y un pentágono regular DEVWX . Demuestra que el punto X se encuentra en la línea que une D con Y .

2° SECUNDARIA EXAMEN

Si se sabe que a+b=√135 , ¿cuál es el área del triángulo?

Un número de 5 dígitos se dice doble capicúa si es un número capicúa y además es la suma de dos números capicúa de 4 dígitos. Encuentre todos los números doble capicúa.

En el paralelogramo ABCD, DE corta a la diagonal AC en G y a BC en F. Si DG=6 y GF=4, ¿cuánto mide DE ?

En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí, ambos de radio 4. Se trazó una línea desde el centro de uno de ellos y que es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?

Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par de cartas tienen números distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los dígitos del número de cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que tiene 3 cartas con la misma suma?

2° SECUNDARIA EJERCICIOS

En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se acomodan en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos casilleros grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y se numeran como en la figura:

a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10 grupos?

b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué números hay en ellos?

c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?

¿Y 2007?

En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados ABCDEF…, un cuadrado BCYZ y un pentágono regular DEVWX . Demuestra que el punto X se encuentra en la línea que une D con Y .

¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?

Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador y 2) Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad n≥1 de operaciones (en algún orden) a la

fracción 78 , y se obtuvo una fracción con el mismo valor. ¿Cuál es el mínimo valor para n?

Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P y a AC en Q. Demuestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un triángulo de área 3 π, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un número de 5 dígitos abcde. Tal número cumple que el número de 3 dígitos abc es divisible por 11, el número bcd es divisible por 3 y el número bde es divisible por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno, encuentra la descomposición en primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay uno, encuentra su descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.

Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice O en común. Cada triángulo comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en O de un triángulo es m, donde m es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida 2m,3m,4m ,… y así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar m?

3° SECUNDARIA

Un círculo es tangente a tres de los lados de un rectángulo de medidas 2 y 4, como en la figura. ¿Cuánto mide el segmento AB?

En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se acomodan en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos casilleros grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y se numeran como en la figura:

a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10 grupos?

b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué números hay en ellos?

c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?

¿Y 2007?

¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?

Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador y 2) Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad n≥1 de operaciones (en algún orden) a la

fracción 78 , y se obtuvo una fracción con el mismo valor. ¿Cuál es el mínimo valor para n?

Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P y a AC en Q. Demuestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

3° SECUNDARIA EJERCICIOS

Juana elige dos números a y b del conjunto {1 ,2 ,…,26 } (tales números son distintos). El producto ab es igual a la suma de los restantes 24 números. ¿Cuánto vale la diferencia entre a y b?

En el paralelogramo ABCD, DE corta a la diagonal AC en G y a BC en F. Si DG=6 y GF=4, ¿cuánto mide DE?

En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí, ambos de radio 4. Se trazó una línea desde el centro de uno de ellos y que es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?

Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par de cartas tienen números distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los dígitos del número de cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que tiene 3 cartas con la misma suma?