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José Luis Hernández Pérez Ricardo David Fernández Cruz Jaime Solá de los Santos - Madrid 2013 - 1 Problemas de Las Olimpiadas Internacionales De Física José Luis Hernández Pérez Ricardo David Fernández Cruz Jaime Solá de los Santos Madrid 2013

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José Luis Hernández Pérez – Ricardo David Fernández Cruz – Jaime Solá de los Santos

- Madrid 2013 -

1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales De Física

José Luis Hernández Pérez

Ricardo David Fernández Cruz

Jaime Solá de los Santos

Madrid 2013

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XLIV.- OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. DINAMARCA.

2013

PROBLEMA 1

INTRODUCCIÓN

Un meteoroide es una partícula pequeña (en general inferior a 1 m)

procedente de un cometa o de un asteroide. Un meteoroide que impacta

en la Tierra se denomina meteorito.

En la noche del 17 de Enero de 2009 numerosas personas, situadas

cerca del mar Báltico, observaron una estela ardiente o bola de fuego

de un meteoroide cayendo a través de la atmosfera terrestre. En Suecia

una cámara de vigilancia registró este suceso en un video (ver figura 1.1

a). A partir de estas imágenes y de los testimonios de los testigos fue

posible acotar el área de impacto y seis semanas después se encontró, en

las proximidades de la ciudad de Maribo (en el sur de Dinamarca) un

meteorito con una masa de 0,025 kg . Las mediciones realizadas en el

meteorito, hoy denominado de Maribo, y su trayectoria durante la

entrada en la atmósfera dan lugar a resultados interesantes. Su

velocidad de entrada en la atmosfera terrestre fue excepcionalmente alta

y su edad 4,567.109 años, indica que se formó poco después del

nacimiento del sistema solar. El meteorito Maribo quizás proceda del

cometa Encke.

LA VELOCIDAD DE MARIBO.

La bola de fuego se desplazó en dirección Oeste, 285º respecto al Norte,

dirigiéndose hacia la localidad donde posteriormente fue encontrado.

Un esquema de la trayectoria del meteoroide se muestra en la figura 1.1.

El meteorito se encontró a una distancia de 195 km de la cámara de

vigilancia en la dirección 230º respecto al norte. 1.1.- Utilice este dato y los de la figura 1.1 para calcular la velocidad media de Maribo, entre los intervalos de tiempos correspondientes a los fotogramas 155 y 161. No considere ni la curvatura de la Tierra ni la fuerza de la gravedad sobre el meteorito .

Vamos a utilizar la figura 1.1.(c).del enunciado.

La línea CM con la CI forma un ángulo de 50 º, ya que CM con CN vale 360-230= 130º

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Y CM con Ci vale 180º-130º = 50º. El ángulo MIN vale 360-285= 75º, luego el ángulo

CMI vale 180-(75+50)= 55º. Todo aparece reflejado en la figura 1 S1.

Aplicamos el teorema de los senos en el triángulo CIM:

165,4kmCICI

55ºsen

195km

sen75º;154,6kmMI

MI

50ºsen

km 195

sen75º

Fig. 1S1

Escala: km50

cm1

195 km

N

C

M

I

50º

55º

75º

Fig. 1S2

Escala: km50

cm1

195 km

N

C

M

I

55º

75º

35º

70º 1

165,4 km

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La figura 1S2 contiene la información de la 1S1 y además la línea C1 la cual se ha

determinado a partir de los datos del problema 1.1 (b): 215-180 = 35º y de aquí el

ángulo C1I =180 - (75+35)= 70º.

Aplicamos el teorema de los senos en el triángulo CI1:

km 100,96I1I1

35ºsen

165,4km

sen70º;km 170C1

C1

75ºsen

165,4km

sen70º

Como la altitud es 19,2º: km59,2hC1

h19,2tag 1

1

La figura 1S3 contiene la información de la 1S1 y además la línea C2 la cual se ha

determinado a partir de los datos del problema 1.1 (b): 221-180 = 41º y de aquí el

ángulo C2I =180- (75+41)= 64º.

Aplicamos el teorema de los senos en el triángulo CI2:

km 120,73I2I2

41ºsen

165,4km

64ºsenkm; 177,8C2

C2

75ºsen

165,4km

64ºsen

Como la altitud es 14,7º: km46,6hC2

h14,7tag 2

2

La distancia 12 medida en tierra es: 120,73-100,96 = 19,77 km

La distancia medida en lo alto que es la distancia de la bola de fuego entre los

fotogramas 155 y 161

km23,419,7746,659,219,77hh 2222

12

Fig.1S3

Escala: km50

cm1

195 km

N

C

M

I

41º

64º

75º 2

165,4 km

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Como esa distancia la ha recorrido el meteorito en t = 2,28 -1,46 s = 0,82 s, La

velocidad media es:

s

km28,6

s0,82

km23,4vm

A TRAVÉS DE LA ATMOSFERA ¿ SE FUNDIRÁ?

La fuerza de rozamiento del meteoroide cuando se desplaza por las capas

altas de la atmósfera depende de una manera compleja de su forma, su

velocidad y también de la temperatura y densidad de la atmósfera.

Con una aproximación razonable, la fuerza de rozamiento en la parte

superior de la atmósfera puede expresarse mediante la ecuación 2AvρkF atm , en la que k es una constante, atmρ es la densidad de la

atmósfera, A, la sección del meteorito y v su velocidad.

Las siguientes simplificaciones se utilizan para analizar el meteoroide:

La masa al entrar en la atmósfera MN= 30 kg, Radio RM= 0,13 m,

temperatura To= 200 K, vM= 2,91.104 m/s. La densidad de la atmósfera se

considera constante, siendo su valor a 40 km por encima de la superficie

terrestre, 3m

kg34,1.10ρatm . El coeficiente de fricción k=0,60.

1.2a.- Estime cuánto tiempo transcurre desde su entrada en la atmósfera para que su velocidad se reduzca un 10%, desde vM a vM=0,90 vM . No tenga en cuenta la fuerza de la gravedad y suponga que su masa y su forma no se ven alteradas. Aplicamos la segunda ley de Newton

s0,880,13π4,1.100,62,91.10

3010,9

1

Akρ

mv

1

v0,9

1

Δt

v

1

v0,9

1Δt

m

Akρ

v

dvdt

Δt

0m

Akρ

dt

dvmvAkρ

234

atm

MM

MM

atm

2

atm2

atm

M

M

0,9v

v

1.2b.- Calcule cuántas veces es mayor su energía cinética Ekin al entrar en la atmósfera que su energía Emelt necesaria para fundirlo completamente. Datos: Calor específico, csm=1,2.103 Jkg -1 K-1 Temperatura de fusión Tsm=1,7.103 K Calor latente de fusión Lsm=2,6.105 Jkg-1

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2052,6.102001,7.101,2.102

2,91.10

E

E

LTTc

v2

1

E

EmLTTmcE;mv

2

1E

533

24

melt

kin

sm0smsm

2

M

melt

kinsm0smsmmelt

2

Mkin

b) Fotograma Tiempo Azimut Altitud

155 1,46 s 215º 19,2º

161 2,28 s 221º 14,7º

Maribo en tierra, M

230º 0,0º

a) Figura 1.1(a).- Azimut es la posición angular en el sentido

de las agujas de un reloj contado desde el Norte en un plano

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horizontal y altitud es la posición angular por encima del

horizonte. Una serie de fotogramas registrados por la cámara

de vigilancia en Suecia, muestran el desplazamiento de Maribo

como una bola de fuego en su recorrido por la atmósfera

b) Los datos correspondientes a los dos fotogramas indican el

tiempo, la dirección (azimut) en grados, vistos por la cámara

C, y la altura por encima del horizonte (altitud) en grados

c) Esquema de la dirección de Maribo relativa al Norte N

(flecha magenta) y su posición en tierra M en Dinamarca visto

por la cámara C.

CALENTAMIENTO DE MARIBO EN SU RECORRIDO POR LA ATMÓSFERA Cuando Maribo penetró en la atmósfera terrestre, a velocidad

supersónica, aparece como una bola de fuego debido a que el aire que lo

rodea estaba incandescente. No obstante, solamente la parte exterior se

calentaba. Se puede suponer a efectos del cálculo que Maribo es una

esfera homogénea de densidad smρ =3,3.103 kg/m3, calor específico

smc =1,2.103 J.kg-1 K-1, y conductividad térmica smk =2,0 Wm-1K-1. Su

temperatura al penetrar en la atmósfera fue To= 200 K y durante el

tiempo de caída en la atmósfera su temperatura superficial fue constante

Ts = 1000 K debido a su fricción con el aire y lo que se calentaba

gradualmente era su interior..

Después de un tiempo de caída t en la atmósfera, la capa más externa de

Maribo de espesor x se ha calentó a una temperatura notablemente

mayor que To. Este espesor se puede estimar, aplicando el análisis

dimensional, como producto de potencias de los parámetros

termodinámicos δsmk

γsmc

βsmραtx

1.3a.-Determinar mediante el análisis dimensional los valores de las

cuatro potencias , 1.3b.- Calcular el espesor x después de una caída de t = 5 s y determinar el cociente x/RM.

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11113 KmWγ

KkgJβ

mkgsm

2γ3δαs

δ2γ3βm

γβkg

δγKm

δKmsmkg

γKkgsmkg

βmkgαsm

smkgW;smkgJ

113211223

3222

Identificando exponentes, teniendo en cuenta que los exponentes a la izquierda de la

ecuación son, el de: [K]0; [kg]0 ; [m]1 y el de [s]0 resulta:

2

1δ;

2

1γ;

2

1β;

2

oResolviend02γ3δα;1δ2γ3β;0γβ;δγ

Por tanto:

0,012Cte0,13

31,58.10Cte

MR

x(t)m

31,58.10Ctex(t)

31,2.1033,3.10

2,05

Cte

smc

smρ

smkt

Ctex(t)21

sm21

sm21

sm21

kcρtCtex(t)

LA EDAD DEL METORITO

Las propiedades químicas de los elementos radiactivos pueden ser

distintas. Así en el proceso de cristalización de los minerales de un

meteorito, algunos de estos minerales poseerán una concentración alta

de un elemento radiactivo y otros baja. Esta diferencia puede servir

para determinar su edad mediante la datación radiactiva de sus

minerales.

Como ejemplo específico, estudiamos el isótopo Rb87 (elemento número

37) el cual decae en el isótopo estable rS87 (elemento número 38) con

una vida media 104,9.10T2

1 años, relativo al isótopo estable rS86 . En el

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momento de la cristalización el cociente

rS

rS

86

87

era el mismo para todos

los minerales, pero no así el cociente

rS

Rb

86

87

. A medida que transcurre el

tiempo la cantidad de Rb87 disminuye y como consecuencia aumenta la

cantidad de rS87 . El resultado es que el cociente

rS

rS

86

87

es diferente hoy

día. En la figura 1.2 (a), los puntos situados en la línea horizontal

indican el cociente

rS

Rb

86

87

de diferentes minerales cristalizados en

función del tiempo.

a) Figura 1.2(a).- El cociente Sr86

Sr87 en diferentes minerales en

el tiempo t=0 de la cristalización (círculos sin relleno) y en el

tiempo actual (círculos con relleno) (b). La línea isocrónica

para tres muestras tomadas de minerales diferentes de un

meteorito en el tiempo actual.

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1.4a.-Escribir el esquema del decaimiento para la transformación de

Rb8737

a rS8738

El proceso radiactivo consiste en la transformación de un neutrón en un protón

acompañado de la emisión de un electrón y un antineutrino. La llamada emisión β.

νeSrRb 187

38

87

37

1.4b Mostrar que en el tiempo presente la razón Sr

Sr86

87

dibujada frente

al tiempo actual Sr

R86

87 b , en diferentes muestras de mineral del mismo

meteorito, es una línea recta con pendiente 1eα(t) λt . Donde t es el

tiempo que ha transcurrido desde la formación de los minerales y es la

constante de desintegración radiactiva inversa de la vida media 2

1T .

Para cualquier mineral de los que pueda contener el meteorito la relación 87Sr/86Sr es la

misma, en cambio la relación 87Rb/86Sr es distinta; esto ocurre en el momento de la

cristalización, cuando t = 0. Dado que el rubidio 87 es radiactivo y su relación es

distinta para cada mineral, a medida que transcurre el tiempo disminuyen los átomos de

rubidio y aumentan los de 87Sr. Naturalmente la relación entre 87Rb/86Sr seguirá siendo

diferente para cada mineral. La desintegración del 87Rb se verifica por la misma ley

radiactiva en cada mineral. La figura 1.2(a) representa una línea horizontal la relación 87Sr/86Sr para cada mineral ya que esta relación es la misma en todos ellos. Pero la

situación de cada mineral es distinta en esa recta, ya que la relación 87Rb/86Sr es

diferente (círculos blancos). Ahora consideramos que ha transcurrido un tiempo t desde

la cristalización, la relación 87Rb/86Sr es menor, puesto que el Rb se ha desintegrado,

pero la ley de desintegración es la misma para todos los minerales, por ello al cabo de

ese tiempo la relación 87Sr/86Sr aumenta y la representación es una línea recta

inclinada (círculos negros).

Designamos con NRb (0) el número de átomos de Rb en cualquiera de los minerales en

el tiempo t = 0, NRb(t) al número de átomos de ese elemento cuando ha trascurrido un

tiempo t . La relación entre ambos números está dada por la ley de desintegración

radiactiva λte(0)N(t)N RbRb

En ese mineral y en el intervalo de tiempo t-0=t, han desparecido

λtλt e1(0)Ne(0)N(0)N(t)N(0)N RbRbRbRbRb

y es este número los que

han aparecido de 87Sr, por tanto, si en el tiempo t=0 había NSr 87(0), ahora en el tiempo t,

habrá:

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)1(1eN

(t)N

N

(0)N

N

(t)N1e(t)N(0)N(t)N

e1e

(t)N(0)Ne1(0)N(0)N(t)N

λtλt

λtλt

λt

Sr86

Rb

Sr86

87Sr

Sr86

87Sr

Rb87Sr87Sr

Rb

87SrRb87Sr87Sr

La ecuación (1) es la ecuación de la recta denominada isocrónica, cuya pendiente es:

)2(1e1e 21T

t

λt

1.4c.- Determinar la edad M del meteorito utilizando la línea isocrónica de la figura 1.2(b). La ordenada de la recta de la figura 1.2 (b) se calcula directamente, y = 0,712-0,700 =

0,012. La abscisa, medimos en la gráfica los centímetros del eje 0-0,3 y los centímetros

de 0,712 a la intersección de la recta.

0,08280,145

0,012

x

yα0,145x

2,9

x

cm6

0,3

De la ecuación (2) para t = τM

años93,9.1010,0828ln4,9.10τ

1αlnTτT

τ1αlne1α

10

M

21M

21

M21

TMτ

EL COMETA ENCKE DEL QUE PUEDE PROCEDER MARIBO

En su órbita alrededor del Sol, las distancias mínima y máxima entre el

cometa Encke y el Sol son respectivamente:

amin=4,95.1010 m y a max=6,16.1011 m Datos: G = 6,67.10-11 m3 kg-1 s-2 ; Masa del Sol , ms=1,99.1030 kg

1.5.- Calcular el periodo orbital t Enke del cometa Encke Vamos a realizar un cálculo sencillo: Supongamos un cuerpo celeste de masa m, que

describe una orbita circular alrededor del Sol. La fuerza centrípeta es proporcionada por

la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y el cuerpo

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S

2

3

2

S

2

22

2

S

2

mG

Rπ2T

R

mG

RT

Rπ4

T

Rπ2vademás;

R

mmG

R

vm

Cuando se quiere calcular el periodo de un cuerpo que describe una órbita elíptica

alrededor del Sol, basta cambiar en la formula anterior R por el semieje mayor de la

elipse, de acuerdo con las leyes de Kepler.

Calculamos el semieje mayor de la elipse

m3,33.102

4,95.106,16.10

2

aaa 11

1011

minmax

El periodo se calcula por la ecuación:

s terrestreaños3,32s1,05.10

1,99.106,67.10

3,33.10π2

mG

aπ2T 8

3011

2

311

S

2

3

CONSECUENCIAS DEL CHOQUE DE UN ASTEROIDE CON LA TIERRA.

Hace 65 millones de años chocó contra la Tierra un enorme asteroide

de densidadast= 3,0.103 kg/m3 , radio Rast=5,0 km y con velocidad final

v ast=2,5.104 m/s. El impacto resultante dio lugar a la extinción de gran

cantidad de especies y la formación de un enorme cráter llamado Cráter

de Chicxulub.

Suponer que hoy día ocurriese un choque elástico contra la Tierra de

un asteroide similar al anterior y utilizar el hecho de que la Tierra tiene,

un momento de inercia 0,83 veces del de una esfera homogénea de la

misma masa y radio. El momento de inercia de una esfera homogénea es

(2/5 )M R2. No considere ningún cambio en la órbita de la Tierra.

1.6a.- Si el asteroide choca en el Polo Norte, encontrar el cambio máximo en la orientación del eje de la Tierra después del impacto. Datos. Masa de la Tierra, mE =5,97.1024 kg ; Radio de la Tierra, RE =6,38.106 m

El momento angular de la Tierra es un vector que tiene la dirección del eje y el mismo

sentido que el vector velocidad angular de la Tierra alrededor de su eje. Su módulo vale:

1233

E

2624

E

2

EEeEE

smkg5,87.10L

360024

π26,38.105,97.10

5

20,85

T

π2Rm

5

20,83ωIL

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Para que el cambio de orientación del eje de la Tierra sea máximo, hemos de suponer

que el meteorito incidirá en el polo, perpendicularmente al eje terrestre. El momento

angular del asteroide es perpendicular al de la Tierra y su módulo respecto del centro de

la Tierra vale.

1226

ast

64333

Eastast

3

astEastastast

smkg2,51.10L

6,38.102,5.103,0.105.0.10π3

4RvρRπ

3

4RvmL

El momento angular resultante después del impacto tiene por módulo

2

ast

2

EF LLL

El nuevo eje de la Tierra tendrá la dirección del vector LF. Si representa el ángulo

entre los ejes de la Tierra antes y después del impacto

grados2,45.10θ5,87.10

2,51.10

L

Lθtag 6

33

26

E

ast

1.6b.- Si el asteroide golpea de forma radial en el Ecuador, calcular el

cambio vrt en la duración de una revolución de la Tierra después del

impacto. Dado que la cantidad de movimiento del asteroide apunta al centro de masas de la

Tierra, el resultado es que el momento angular del sistema Tierra-asteroide no varía,

aunque sí lo hará la velocidad de rotación de la Tierra, que disminuirá y su momento de

inercia que aumentará como consecuencia de la colisión.

Matemáticamente:

0ωdIdωI00ωId EEEEEE

Tomando incrementos los diferenciales por incrementos:

s

rad14105,76.245,97.100,83

33,0.10335,0.10

360072

2π20E

ωΔ

m5

20,83

astρ3astπR

3

4

360024

π2

Rm5

20,83

Rastm

360024

π2

I

IΔωωΔ

E2EE

2E

E

EEE

EL

ө

FL

astL

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14

s6,8.104,19.105,29.10

3,62.10Δτ

5,76.10360024

π2

360024

π2

5,76.10π2

Δωωω

Δωπ2

ω

π2

Δωω

π2Δτ

5

189

13

vrt

14

2

14

EE

2

E

E

EEE

vrt

1.6c.- Si el asteroide golpea de forma tangencial en el plano ecuatorial,

calcular el cambio tan en la duración de una revolución de la Tierra después del impacto.

Cuando el asteroide golpea de forma tangencial el vector cantidad de movimiento vale

eRvmLvmRL astastastastEast

El vector astL

tiene la misma dirección y sentido que EL

, luego el módulo del

momento angular resultante es: astEF LLL . En este caso el momento angular

aumenta y eso se traduce en que

astEastEEE LLLLΔLωId

Diferenciando y tomando incrementos.

E

EE

E

astEastEEEE

I

ωΔI

I

LΔωLωΔIΔωI

Calculamos los valores numéricos del segundo miembro:

12

E

ast

624

4333

EE

astast

3

ast

2

EE

Eastast

3

ast

2

EE

Eastast

E

ast

3,11.10I

L

6,38.105,97.10

2,5.103.0.105,0.10π4,016

Rm

vρπR4,016

Rm5

20,83

R vρR 3

4

Rm5

20,83

Rvm

I

L

14-

E

EE

24

3334

E

ast

3

ast

2

EE

2

East

E

EE

5,76.10I

ωΔI

5,97.10

3,0.105,0.109,18.10

m5

20,83

360024

π2ρπR

3

4

Rm5

20,83

360024

π2Rm

I

ωΔI

1121412

E s3,05.105,76.103,11.10Δω

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15

s3,62.10Δτ

360024

3,05.10·π2

ω

Δωπ2

Δωωω

Δωπ2

ω

1

Δωω

1π2Δτ

3

tan

2

12

2

E

E

EE

2

E

E

EEE

tan

LA VELOCIDAD MÁXIMA DE UN CHOQUE

Considerar un cuerpo celeste, en el límite del sistema solar, el cual choca

contra la Tierra con una velocidad v lmp. Inicialmente el efecto del campo

gravitatorio de la Tierra y del cuerpo se pueden despreciar. Ignore la

fricción con la atmósfera, la influencia de otros cuerpos y la rotación de

la Tierra. Datos. Masa del Sol ,mS=1,99.1030 kg ; Distancia media Sol-Tierra, aE=1,50.1011 m

1.7.- Calcular max

lmpv que es el valor mayor posible de la vimp

Admitimos que en el límite del sistema solar la energía potencial gravitatoria y también

la cinética del cuerpo celestial, es nula. Al acercarse a la Tierra su velocidad aumenta

por efecto de la atracción del Sol y de la Tierra. Dado que se pretende que la velocidad

del impacto sea máxima ambas contribuciones deben sumarse. Si mC representa la masa

del cuerpo celestial y vLL la velocidad de llegada a al Tierra. El principio de

conservación de la energía mecánica conduce a:

s

m4,35.10

6,38.10

5,97.10

1,50.10

1,99.106,67.102

R

m

a

m2Gv

vm2

1

R

mmG

a

mmG00EE

4

6

24

11

3011

E

E

E

s

LL

2

LLC

E

CE

E

Cs

KP

El cuerpo celestial va a chocar contra la Tierra con una velocidad respecto del Sol de

4,35.104 m/s.

Pero la Tierras se está moviéndose alrededor del Sol con una velocidad.

s

m2,94.10

360024365

aπ2v 4E

E

La velocidad relativa respecto de la Tierra se obtendrá de componer estas dos

velocidades y como se pide el impacto a la mayor velocidad, éste se produciría cuando

ambas velocidades respecto del Sol, fuesen de sentidos contrarios y entonces la

velocidad relativa del meteorito respecto de la Tierra, es en módulo, la suma de los

módulos de ambas velocidades.

En efecto:

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16

ELL

max

imp vvV

;

s

km9,72

s

m10.29,701.94,210.35,4vvV 444

ELL

max

imp

LLv

Ev

S

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17

PROBLEMA 2

INTRODUCCIÓN

En este problema se estudia un proceso eficaz de producción de vapor

cuyo funcionamiento empírico ha sido demostrado. Una disolución

acuosa de esferas de plata de tamaño del orden de los nanometros

(nanopartículas) con 1013 partículas por litro se ilumina con un haz

direccional de luz. Una fracción de la luz la absorben las

nanopartículas las cuales se calientan y generan vapor de forma local

alrededor de ellas sin que se caliente el resto de la disolución. El vapor se

extrae del sistema en forma de burbujas que abandonan la disolución. El

proceso no se conoce en todos sus detalles pero sí su fundamento que es

debido a la absorción de luz por medio de un proceso llamado

oscilaciones colectivas de los electrones de las nanopartículas metálicas.

Este dispositivo se conoce como generación de vapor plasmónico

a) Figura 2.1.- (a). Una nanopartícula de forma esférica y sin

carga de radio R está situada en el centro de un sistema de

coordenadas .b) Una esfera con densidad de carga uniforme

( rojo) contiene una esfera más pequeña sin carga (O ,

amarilla) de radio R1, con su centro desplazado por xex x dd

.(c).

La esfera con densidad de carga positiva de los iones de plata

de la nanopartícula está fija en el centro del sistema de

coordenadas . El centro de la región esférica con densidad de

carga negativa (azul) de la nube de electrones está

desplazada px , donde xp<<R. (d). Un campo eléctrico externo

ey

ex

ez

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18

homogéneo xoo eEE

Por la dependencia de Eo del tiempo la

nube de electrones se mueve con velocidad dt

xdv

p

e) El

recipiente rectangular ahh contiene la disolución acuosa de

las nanopartículas y está iluminada por luz monocromática

que se propaga a largo del eje z, siendo su frecuencia angular

p y su intensidad S.

Una única nanopartícula de forma esférica.

Consideramos una nanopartícula de forma esférica de plata de radio

R=10,0 nm con su centro fijo en el origen de coordenadas (ver figura

2.1(a)). Todos los movimientos, fuerza y campos son paralelos al eje

horizontal x( vector unitario xe

). La nanopartícula contiene electrones

libres (conducción) que se desplazan dentro de todo su volumen sin que

estén alrededor de un átomo concreto de la misma.. Cada átomo de plata

ha cedido un electrón convirtiéndose en un ión positivo.

Densidad e la plata =1,049.104 kgm-3

Masa molar de la plata MAg=1,079.10-1 kg mol-1

2.1.- Encontrar el volumen V y la masa M de la nanopartícula, el número N

y densidad de carga de los iones plata en la partícula, y para los electrones libres su concentración n , su carga total Q y su masa total mo.

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19

kg2,23.10kg9,109.102,45.10m

C3,92.101,602.102,45.10Q

m

Electrones5,85.10

4,19.10

2,45.10n

m

C.1037,9

m4,19.10

C1,602.10Nρ

2,45.10mol4,07.10mol6,022.10N

mol4,07.10

mol

kg1,079.10

kg4,39.10platadeMoles

kg4,39.10m

kg1,049.10m4,19.10VρM

;m4,19.1010,0.10π3

4Rπ

3

4V

25215

0

14195

3

28

24

5

3

9

324

19

519123

19

1

20

20

3

4324

324393

El campo eléctrico en una región de carga neutra dentro de una esfera cargada.

En el resto del problema se supone que la permitividad relativa de todos

los materiales es εr=1. En el interior de una esfera de radio R con

densidad de carga uniforme se crea otra pequeña esfera de carga

neutra y radio R1 por adición de una carga opuesta de densidad

– con su centro desplazado xed

xd

x

respecto al centro de la esfera

R (ver figura 2.1 (b).

2.2.- Mostrar que el campo eléctrico dentro de la región de carga neutra

es homogéneo de la forma d

xoε

ρAE

y determinar el factor A.

Vamos a calcular el campo en un punto A del interior de una esfera de radio R que tiene

una densidad de carga homogénea . Sea r el radio de una esfera concéntrica con R y

radio r<R (figura 1). Aplicamos el teorema de Gauss.

oo

3

2

3

33o

2

ε3

rρE

ε

ρrπ3

4

rπ4E

ρrπ3

4q

rπ3

4

q

Rπ3

4

ε

qrπ4E

R

r

A

Fig.1

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20

E es el módulo de un vector cuya dirección y sentido (por

ser ρ positiva saliente) lo indica el vector urr

siendo u

un vector unitario en la dirección radial, Fig.1

Podemos escribir el resultado anterior en forma vectorial:

uε3

rρE

o

En la figura 2 hemos representado una

esfera de radio R con densidad de carga

en rojo) y una esfera en su interior

con densidad de carga –(en amarillo).

El resultado es que en la esfera de radio

r<R la carga resultante es nula.

Consideramos un punto A interior a la

esfera de radio r. El campo en dicho

punto se obtiene aplicando el principio

de superposición, para los campos

creados en A por cada una de las esferas

cargadas, de modo independiente.

oooo

S

o

P

o ε3

aρSP

ε3

ρ

ε3

ε3

Pρu

ε3

sρu

ε3

PρE

Si aplicamos este resultado a la figura 2.1(b) del enunciado dxa

3

1Ax

ε

ρ

3

1E d

o

La fuerza recuperadora sobre la nube electrónica desplazada.

En lo que sigue estudiamos el movimiento colectivo de los electrones

libres, utilizando un modelo de una única esfera cargada negativamente

con densidad de carga homogénea – y con su centro localizado en

Px

, la cual se desplaza a lo largo del eje x con relación a la esfera

positivamente cargada ( iones plata) que está localizada en el origen de

coordenadas, figura 2.1 (c). Suponga que una fuerza externa

extF

desplaza la nube electrónica a una nueva posición de equilibrio

xepxP

x

con xP<<R. Excepto para pequeñas cargas, en el extremo

opuesto de la nanopartícula, la mayor parte de su interior permanece

neutra.

Fig.2

A

R

r

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21

2.3.- Expresar en términos de Px

y n las dos cantidades siguientes: La

fuerza de restauración ejercida sobre la nube electrónica y el trabajo realizado sobre la nube electrónica durante el desplazamiento.

Para que pueda considerarse una esfera cargada homogéneamente con densidad de

carga – es necesario que el desplazamiento xp sea muy pequeño comparado con el

radio, pues de no ser así la zona de densidad de carga nula ya no sería una esfera.

Designamos con N al número de electrones contenidos en la esfera de electrones de

radio R. La carga de esta esfera vale Q = -Ne y por tratarse de una esfera homogénea se

puede considerar toda la carga Q concentrada en su centro y de acuerdo con el

enunciado, éste se ha desplazado por acción de una fuerza externa hasta xp.

Supuesto el centro en esta posición xp , sobre esta esfera negativa ejercerá una fuerza

atractiva la otra esfera cargada positivamente de valor:

p

o

x3

QEQF

Si se mantiene el centro de la esfera negativa en xp; la fuerza externa aplicada será igual

y de sentido opuesto, FFext

xp

o

p

o

ext ex3

Qx3

QF

El valor de la densidad de carga de la esfera con carga positiva es:

P3

o

2

P3o

ext3

xRεπ4

Qx

πR3

4

Q

ε3

QF

πR3

4

Qρ (1)

Si n representa el número de cargas por unidad de volumen

eRπ3

4nQ

eRπ3

4

Q

Rπ3

4

Nn 3

33

(2)

Sustituyendo (2) en la ecuación (1)

P

o

322

P3

o

2

322

ext xε9

Renπ4x

Rεπ4

Rπ3

4en

F

(3)

El vector extF

tiene por módulo (3) y la dirección y sentido del unitario xe

xP

o

322

ext exε9

Renπ4F

La fuerza de restauración será un vector de módulo (3) pero dirigido en sentido

contrario del extF

.

El trabajo de desplazamiento desde O hasta xp requiere emplear una fuerza variable con

la posición x´, de modo que se determina el trabajo con el cálculo integral:

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22

2

x

ε9

Renπ4xdx

ε9

Renπ4W

2

P

0

322

0

322Px

0

(4)

La nanopartícula esférica de plata en un campo eléctrico externo constante.

Una nanopartícula se coloca en el vacío y se somete a la acción de una

fuerza externa, producida por un campo eléctrico homogéneo

xeoEoE

el cual desplaza la nube de electrones una pequeña distancia

xp siendo xp<<R.

2.4.- Encontrar el desplazamiento xp de la nube electrónica en función de

Eo y n y determinar la cantidad –Q de carga electrónica desplazada a través del plano y-z en el centro de la nanopartícula en función de n , R y xp. Si el centro de la nube electrónica esta en xp la fuerza que la mantiene en esta posición

tiene un valor dada por la ecuación (3) y la carga total, es el proporcionado por la

ecuación (2). De aquí se deduce xp

322

extop

3

P

o

322

extRenπ4

Fε9xeRπ

3

4nQ;x

ε9

Renπ4F

Por otra parte, la carga Q situada en un campo eléctrico oE

experimenta una fuerza

oE·QF

y si por acción de esta fuerza, se desplaza el centro de la citada esfera

electrónica hasta xp ; la fuerza electrostática valdrá igual valor, que el hallado para Fext.

eπR3

4nEQEFF 3

ooext , sustituyendo este valor de Fext en xp.

en

Eε3

Renπ4

eRπ3

4nEε9

x oo

322

3

oo

p (5)

Cuando el centro de la nanopartícula está en el

origen de coordenadas el círculo máximo de

radio R está situado en el plano YZ, cuando se

desplaza la nanopartícula ese circulo máximo

pasa a la posición x=xp, por tanto la carga

desplazada a través del plano YZ, es la

contenida en un cilindro de radio R y altura xp.

O xp X

Y

Z

R R

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23

epx2RπnΔQ (6)

La capacidad equivalente e inductancia de la nanopartícula de plata. Para un campo oE

, tanto si varía con el tiempo como si no, es posible

crear un modelo para la nanopartícula, equivalente a un circuito

eléctrico. La capacidad equivalente se puede obtener relacionando el

trabajo el

W necesario para la separación de las cargas Q con la energía

de un condensador portando cargas ΔQ . La separación de cargas

ocasionará un voltaje oV en el condensador equivalente.

Dato: 1m

1J

2C

128,854.10oε

2.5a.- Expresar la capacidad equivalente del sistema C en función de o y R, y determinar su valor.

La energía E, almacenada en un condensador es:

E2

ΔQC

C

ΔQC

2

1E

C

ΔQΔV

ΔV

ΔQC;ΔVC

2

1E

2

2

22 (7)

De acuerdo con el enunciado, la energía del condensador es equivalente a la energía

empleada en desplazar el centro de la nube electrónica una distancia xp; valor que fue

calculada previamente y que lo proporciona la ecuación (4).

En la ecuación (7), sustituimos (6) y (4)

F196,26.104

128,854.10910.10π9C

)8(;oεRπ4

9

2

2P

x

0ε9

3R2e2nπ4

2epx2Rπn

2

1

2

1C

W

Q

2.5b.- Para la capacidad anterior determinar en función de Eo y R el voltaje equivalente Vo que debería conectarse al condensador equivalente

con la finalidad de acumular la carga Q. De la definición de la capacidad de un condensador y empleando las ecuaciones (6) y

(8) resulta para Vo

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24

o

P

o

p

2

o

o ε

xRen

9

4

εRπ4

9

xeRπn

C

ΔQV

V

ΔQC

Sustituimos en la ecuación anterior la (5).

oER3

4

en

oEoε3

Ren

9

40

V

Para un campo oE

dependiente del tiempo, la nube de electrones se

desplaza con velocidad xevv

, figura 2.1(d) y posee una energía

cinética Wkin y forma una corriente eléctrica I fluyendo a través del

plano y-z. La energía cinética de la nube de electrones puede

considerarse como la energía de una bobina equivalente de coeficiente

de inducción L portando una corriente I.

2.6a.- Exprese la energía cinética Wkin y la intensidad I en función de la velocidad v. Dato: Masa del electrón, me=9,109.10-31 kg; carga del electrón e=1,602.10-19 C

La energía cinética de la nube electrónica es el producto de la energía cinética de cada

electrón por el número de electrones contenidos en la esfera de radio R.

nRvmπ3

2Rπ

3

4nvm

2

1W 32

e

32

ekin (9)

La carga desplazada a través del plano YZ, encontramos que está dada por la ecuación

(6). Después aplicamos que la intensidad de la corriente eléctrica es la derivada con

relación al tiempo de la carga desplazada I =dQ/dt y tenemos en cuenta según el

enunciado que v = dxp/dt.

vReπndt

dxReπxReπn

dt

dI 2p2

p

2 n (10)

2.6b.- Exprese el coeficiente L en función del radio de R , la carga del electrón e y su masa me, la concentración de carga n y determinar su valor. La energía almacenada por una bobina de coeficiente de autoinducción L, recorrida por

una corriente I es:

24222

222

vReπn

W2LvReπnL

2

1IL

2

1W

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25

La energía que puede almacenar la bobina es la de los electrones que la recorren, que

según el enunciado puede considerarse como la energía cinética de los electrones de la

nube de electrones. Sustituyendo (9) resulta:

H2,58.10

10.101,602.10π5,85.10

9,109.10

3

4L

)11(Reπn

m

3

4

vReπn

nRvmπ3

22

L

14

921928

31

2

e

24222

32

e

La resonancia plasmónica (plasmon resonance) de la nanopartícula de plata Es posible crear un modelo que explique el desplazamiento de la nube de

electrones desde su posición de equilibrio y su vuelta a ella. Dicho

modelo es el de un circuito ideal L-C oscilando en resonancia. Este

modelo dinámico se conoce con el nombre de resonancia plasmónica

(plasmon resonance), el cual se verifica con una frecuencia de

resonancia p. Dato: Velocidad de la luz , c=2,889.108 m/s.

2.7a.- Encuentre una expresión para la frecuencia plasmónica p de la nube de electrones en función de la carga del electrón e, de su masa me,

de la concentración de carga n y de la permitividad o. En un circuito resonante se cumple que las reactancias inductivas y capacitivas son

iguales.

CL

ωC

1ωL P

P

P

Hemos deducido el valor de L ecuación (11) y el de C ecuación (8). Sustituimos sus

expresiones en la anterior ecuación.

oe

2

oe02

e

P

εm3

ne

en

εm3

1

εRπ4

9

Reπn3

m4

2.7b Calcule p en rad/s y la longitud de onda p en nm de luz en el vacio

para una frecuencia angular = P.

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26

nm239m2,39.107,88.10

2,998.10π2λ

ω

cπ2λ

ω

π2

λ

T

λc;

s

rad7,88.10

8,854.109,109.103

5,85.101,602.10ω

7

15

8

P

15

1231

2819

p

La nanopartícula de plata iluminada con luz a la frecuencia plasmónica.

En el resto del problema, la nanopartícula está iluminada por luz

monocromática de frecuencia angular plasmónica p con una intensidad

incidente 2

m

MW1,00

2oEoεc

2

1S . Teniendo presente que p<<R, se

considera que la nanoparticula está situada en un campo armónico

homogéneo oscilante xetpωcosoEoE

. Por la acción de oE

el centro

(t)px

de la nube de electrones oscila a la misma frecuencia con

velocidad dt

Pxd

v

y amplitud constante xo. Este movimiento oscilatorio

de los electrones conlleva a la absorción de luz. La energía capturada

por las nanopartículas se convierte en calor (efecto Joule) o es reemitida

en forma de luz dispersa.

El calentamiento por efecto Joule se origina por las colisiones inelásticas

al azar en las que cualquier electrón al chocar con un ión plata pierde

toda su energía cinética, la cual se convierte en vibraciones del ión plata

(calor). El tiempo promedio entre colisiones es P

ω

1τ , y para la

nanopartícula de plata =5,24.10 -15 s. 2.8a Encuentre una expresión para la potencia del efecto Joule Pheat

producido en la nanopartícula, así como el cuadrado medio de la intensidad de la corriente (I2) de dicho efecto , lo que conlleva calcular explícitamente el cuadrado de la velocidad media (v2) de la nube de electrones.

Un electrón de la nube electrónica pierde su energía cinética al chocar con un ión

durante un tiempo promedio.

La potencia media debido a un solo electrón es : τ

vm2

1

P

2e

e . La potencia debida a

todos los electrones de la nube N es:

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27

2e

3

eheat

vm2

1Rπ

3

4n

PNP

Para el cálculo del cuadrado medio de la intensidad de la corriente 2I , hemos

deducido antes para la intensidad de la corriente la ecuación (10), en la que

I = vReπn 2

2v22Reπn2I

En la ecuación (2) es: 3

3

Reπ4

Q3neRnπ

3

4Q , combinándola con la ecuación

anterior.

2

2

2

2

2

3

2 vR4

Q3vReπ

Reπ4

Q3I

(12)

2.8b Suponiendo que es posible modelizar el comportamiento del efecto Joule de una nanopartícula como una resistencia óhmica que disipa una potencia Pheat, calcule el valor de R heat. La potencia está relacionada con la intensidad promedio

Ω2,46

5,24.1010.101,602.10π5,85.103

9,109.102R

τReπn3

m2

vReπn

τ

vm2

1Rπ

3

4n

I

PRRIP

15921928

31

heat

2

e

222

2

e

3

2

heat

heatheat

2

hat

La potencia del haz de la luz incidente Pscat disminuye a lo largo del

tiempo por dispersión de la nube oscilante de electrones (re-emisión).

Pscat depende de la amplitud de la fuente dispersante xo, de la carga Q, de

la frecuencia angular p y de las propiedades de la luz, su velocidad c y

la permitividad o en el vacío. Pscat se puede expresar en función de estas

cuatro variables con la siguiente fórmula.

3cεπ12

4P

ω2ox

2Q

scatP

o

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28

2.9a Utilizando la ecuación anterior, encuentre una expresión para la resistencia de dispersión Rscat (análoga a Rheat) en un modelo de resistencia equivalente, y calcule su valor numérico.

Usando para 2I la ecuación (12) y el valor dado en el enunciado para Pscat resulta:

23

o

4

P

2

o

2

23

o

4

P

2

o

2

2

2

3

o

4

P

2

o

2

2

scatscat

vcεπ27

ωxR4

vcεπ108

ωxR16

vR4

Q3

cεπ12

ωxQ

I

PR

Teniendo presente que la nube electrónica al estar sometida a un campo armónico

oscilante, tiene una velocidad máxima v = xowp y una velocidad nula, su valor medio.

Ω2,452,998.108,854.10π27

7,88.1010.108R

cεπ27

ωR8

ωx2

1cεπ27

ωxR4Rωx

2

1

2

0ωxv

3812

21529

scat

3

o

2

P

2

2

P

2

o

3

o

4

P

2

o

2

scat

2

P

2

o

2

P

2

o2

Un modelo para el circuito equivalente anteriormente mencionado es

una combinación en serie LCR, la cual está sometida a la acción de un

voltaje armónico oscilante tP

ωco soVV determinado por un campo

eléctrico oE

de la luz incidente.

2.10a Obtenga las ecuaciones para las potencias promedio Pheat y Pscat

en las que intervenga la amplitud Eo del campo eléctrico de la luz

incidente y la resonancia plasmónica Pωω

Al ser un circuito resonante las reactancias inductiva y capacitiva son iguales y de signo

contrario, por lo que solamente se debe tener en cuenta la parte real que es la de las

resistencias óhmicas. De acuerdo con los valores promedios

2

scatheat

2

222

scatheat

2

RR

VIIRRV

De acuerdo con lo explicado en el apartado 2.9a , escribimos que 2

VV

2

o2

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29

.

En el apartado 2.5b encontramos que oo ER

3

4V

2

scathat

2

o

2

scat

2

scathat

2

o

2

scat

hscat

2

scatscat

2

scathat

2

o

2

heat

2

scathat

2

o

2

heat

2

heatheat

2

scathat

2

o

2

2

scathat

2

o

2

2

scathat

2

o2

RR

ERR

9

8

RR

ER

9

8RIRP

RR

ERR

9

8

RR

ER

9

8RIRP

RR

ER

9

8

RR2

ER9

16

RR2

VI

2.10b Calcule los valores numéricos de Eo, Pheat y Pscat.

La intensidad de la luz incidente vale según el enunciado:

m

V42,74.10o

E

128,854.1082,998.10

610·12

oεc

S2

oE

2m

MW1,002

oEoεc2

1S

nW6,78W6,78.102,452,768.10P

nW6,81W6,81.10P

2,462,768.102,462,452,46

2,74.1010.10

9

8R

RR

ER

9

8P

99

scat

9

heat

9

2

2429

heat2

scathat

2

o

2

heat

Producción de vapor por acción de la luz. Se prepara una disolución de nanopartículas de plata con una

concentración 3m

partículas157,3.10npn , la cual se coloca dentro de

un recipiente transparente de forma rectangular y tamaño 3cm1,01010ahh , que se ilumina con luz de frecuencia

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30

plasmónica de intensidad 2m

MW1,00S e incidencia perpendicular al

recipiente (ver la figura 2.1(e)) . La temperatura del agua es C20ºwaT

y suponemos, basándonos en las observaciones, que en el estado

estacionario todo el calentamiento por efecto Joule sobre la

nanopartícula da lugar a la producción de vapor de agua a la

temperatura de C110ºstT sin que aumente la temperatura del agua.

La eficiencia termodinámica η del generador de vapor plasmónico se

define por el cocientetotPstP

η , donde Pst es la potencia dedicada a la

producción de vapor y Ptot es la potencia total de la luz que penetra en el

recipiente.

La mayor parte del tiempo las nanopartículas se encuentran rodeadas de

vapor en vez de agua por lo que se puede suponer que se encuentran

rodeadas de vacío.

2.11a Calcule la masa por segundo stμde vapor de agua producido por el

generador plasmónico durante la iluminación por luz de intensidad S a la frecuencia plasmónica.

Datos: Calor específico del agua líquida, cwa=4,181.103 J kg-1 K-1 Calor específico del agua vapor, cst=2,080.103 J kg-1 K-1 Calor latente de vaporización del agua, Lwa=2,260.106 J kg-1

Hallamos las nanopartículas que existen en el recipiente:

11615

recpnp 7,3.1010110107,3.10VnN partículas

En el apartado anterior hemos calculado Pheat=6,81 nW=6,81.10-9 W

La energía por unidad de tiempo que generan todas las nanopartículas es:

s

J4,98.106,81.107,3.10 3911

Esa energía se emplea en calentar el agua desde los 20º C iniciales a 100 ºC finales, en

pasar el agua del estado líquido a vapor y en calentar el vapor de agua desde 100ºC a

110ºC, siendo el consumo de energía:

s

kg1,90.10

2,62.10

4,98.10μ4,98.102,62.10μ

102,080.102,260.10804,181.10μ10cμLμ 80cμ

3

6

3

st

36

st

363

stststwastwast

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31

2.11 b Calcule el valor numérico de la eficacia termodinámica η del generador de vapor

0,498410

34,98.10η

W4102m

W61.102m4101010ShhIntensidad·ltransversaÁreatotP

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32

PROBLEMA 3

INTRODUCCIÓN

Este problema está relacionado con la capa de hielo de Groenlandia, el

segundo glaciar más grande del mundo, figura 3.1 (a). De forma ideal

Groenlandia se puede modelizar como una isla de forma rectangular de

ancho 2L y longitud 5L, estando la tierra al nivel del mar y cubierta

completamente por una capa incompresible de hielo de densidad ice

figura 3.1(b). El perfil en altura H(x) de la capa de hielo es independiente

de la coordenada y, y aumenta desde cero en la costa Lx hasta Hm a

lo largo del eje medio norte-sur (eje y) conocido como eje separación, ver

figura 3.1 (c).

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33

Figura 3.1(a).- Se muestra un mapa de Groenlandia en la que

la capa de hielo aparece en blanco, las regiones libres de

hielo (regiones costeras) en verde y toda la isla rodeada por el

mar en azul. (b). Un modelo elemental de la capa de hielo de

Groenlandia es un rectángulo situado en el plano x-y con

dimensiones 5L y 2L. La línea separación del hielo es la de

máxima altura Hm, la cual está situada a lo largo del eje y. (c).

Un corte vertical (plano x-z) a través de la capa de hielo

muestra el perfil de su altura H(x) (línea azul). H(x) es

independiente de la coordenada y para 0<y<5L mientras que

cae abruptamente hasta el valor cero cuando y=0 e y = 5L..

El eje z indica la posición de la línea de separación del hielo..

Para mayor claridad las dimensiones en sentido vertical están

aumentadas respecto de las horizontales. La densidad ice es

constante.

Ayuda. Estas dos fórmulas pueden ser de ayuda en este

problema.

1,11;3

21

01 axparaax

axdxx

El perfil de altura de la capa de hielo.

Con escalas de tiempo pequeñas es posible considerar el glaciar como

sistema hidrostático incompresible, que tiene un perfil de altura

determinado por la función H(x).

3.1 Escriba una expresión para la presión p(x,z) dentro de la capa de hielo, en función de la altura vertical z por encima de la tierra y a una distancia x de la linea de separación . Desestimar el efecto de la presión atmosférica.

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34

Consideremos un punto P que

está sobre la línea de altura H(x)

y que dista del suelo z. Este

punto dista H(x)-z respecto la

superficie del hielo. La presión

hidrostática en ese punto es:

zH(x)gρp ice

Considere un trozo (rebanada) vertical de la capa de hielo que se

encuentra en equilibrio abarcando (su base) un área x·y entre x, y

x+x, ver la línea de puntos de la figura 3.1 (c). El tamaño de y no tiene

influencia en la cuestión.

La componente resultante horizontal F de los dos lados verticales de la

rebanada, que es originada por la diferencia de alturas, está

contrarrestada por una fuerza de rozamiento F=Sb xy de la tierra

sobre la base x·y, siendo Sb = 100 kPa.

3.2a Para un determinado valor de x mostrar que en el límite

dx

dHkH

bS;0Δx

y determinar k. Datos: Densidad del hielo¸ ice=0,917.103 kg.m-3; aceleración de la gravedad, g = 9,82 m.s-2

En la figura 1.3 se hace un esquema de la rebanada considerada en la capa de hielo. Las

dos paredes verticales distan x y su altura desde el suelo a la superficie del hielo es

función de la coordenada x y se representa por H(x). Sobre la pared izquierda se ha

considerado un rectángulo de altura infinitesimal dz, donde la distancia del suelo a él es

z, esta variable tiene por límites z = 0 en el suelo y z = H(x) en la superficie del hielo.

2L

Y(línea de separación)

z 5L Fig.1.2. Modelo de la isla

de hielo (corte)

P

X

Z Hm

H(x)

x x+Δx

P z

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35

La presión en el rectángulo es zH(x)gρp ice y la fuerza que actúa sobre él resulta

perpendicular al elemento de pared, al ser considerado el glaciar como un sistema

hidrostático incomprensible:

dzΔyzH(x)gρdF ice

La fuerza sobre toda la pared vertical de la izquierda.

2

(x)HΔygρF

2

zH(x)zΔygρdzzH(x)ΔygρdzΔyzH(x)gρF

2

ice

)2

iceiceice

H(x

0

H(x)

0

H(x)

0

Sobre la pared vertical de la derecha actúa una fuerza que tiene la misma expresión pero

es menor ya que H(x) es algo más pequeña que en la pared de la izquierda, por

consiguiente, hay una diferencia de fuerzas dirigida hacia la derecha que es equilibrada

por la fuerza de rozamiento que actúa hacia la izquierda. Si admitimos que la distancia

entre las paredes es un infinitésimo, esto es, dx, y diferenciamos la ecuación anterior

teniendo presente que H es función de la coordenada x, resulta.

s2m

kg39,00.10s

m9,82

3m

kg30,917.10g·k

)1(dx

dHkH

dx

dHHg

iceρ

bSdxΔy

bSdx

dx

dH2H

2

Δygiceρ

dF

ice

3.2b Obtenga una expresión para la función que determina la altura del

glacial H(x) en función de ice, g, L , Sb y la distancia x al eje separación .

x

H(x+x)

H(x)

y

z

dz

Capa superficial

de hielo

Fig.1.3

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36

El resultado indicará que la máxima altura del glaciar Hm es proporcional a

21

m LH

En la ecuación (1) la variación de H con x es negativa ya que al crecer x, H disminuye,

véanse las figuras. Por consiguiente, para resolver (1) debemos incluir un signo menos y

separar variables.

Cte2

Hx

SdHHdx

S 2

ice

b

ice

b

Para hallar la constante utilizamos la condición de que cuando x =+L la altura de la

capa de hielo es cero, H = 0.

)2(x)Lgρ

S2HL

Sx

S

2

HL

SCte

ice

b

ice

b

ice

b

2

ice

b

Si en la ecuación (2) hacemos x = 0, estamos en el eje de separación, donde la altura de

la capa de hielo es máxima, Hm

21

Lg

iceρ

bS2

giceρ

Lb

S2

mH L

3.2c Determine el exponente de proporcionalidad entre el volumen de la

capa de hielo Vice y el área A de la superficie rectángular γ

AVice

Escogemos en la capa de hielo dos planos paralelos que distan

entre sí dx. La altura de esos planos es H(x) y su longitud 5 L. El

área vista de frente comprendida entre los dos planos es.

dxxLKdxxLgρ

S2dx·H(x)dS

ice

b

El volumen del hielo comprendido entre esos planos es:

dxxL5KL5LdSdV

El volumen total del hielo lo obtenemos integrando la ecuación anterior entre 0 y L y

multiplicando por 2, porque la línea de separación está sobre x = 0.

L

0

L

0

L

0

dxL

x110KLdx

L

x1L10KLdxxLKL01V 2

3

ice

H(x)

dx

5L

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37

En la integral anterior hacemos el cambio de variable

daaL2dx2adaL

dx-a

L

x1 2

L3

21L

3

2

L

0

L

x1L

3

2L

03

aL-2daaL2dx

L

x1 2

3

2

3L

0

L

0

32

25

25

23

LV3

2KL10L

3

2KL10V iceice

Para el área 2LA

Para el área 2LA

Del enunciado: 4

3γγ2

2

3LLAV 22

3

γ

ice

Una capa de hielo dinámica Para una escala de tiempos grande, el hielo se comporta como un fluido

viscoso incompresible, el cual por acción de la gravedad fluye desde el

centro hasta la costa. En este modelo, el hielo mantiene constante la

función H(x) que determina su altura, ya que la acumulación de nieve de

precipitación en la región central se equilibra con la que se funde en la

costa. En resumen la geometría de la capa de hielo es la de la figura

3.1(b) y (c) sigue las siguientes suposiciones:

1) El hielo fluye en el plano x-z desde el eje separación (eje y)

2) La tasa de acumulación c(m/año) en la región central es constante

3) El hielo solamente abandona el glaciar cuando se funde en la

costa Lx .

4) La componente horizontal de la velocidad vx(x) = dx/dt con que

fluye el hielo es independiente de z.

5) La componente vertical vz(z) = dz/dt con que fluye el hielo es

independiente de x.

Considerar únicamente la región central Lx , próxima al medio

de la capa de hielo, en donde las variaciones de altura de la capa de

hielo son muy pequeñas y se pueden despreciar totalmente, es decir,

H(x) Hm.

3.3 Utilice la conservación de la masa para encontrar una expresión de la velocidad de flujo horizontal vx(x) en función de c, x y Hm.

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38

La velocidad con que se desliza una rebanada de hielo del glaciar tiene dos

componentes uno positivo por el desplazamiento hacia el mar siguiendo el eje x y

otro en sentido negativo del eje z, ya que vamos desde alturas mayores a nulas en el

mar Fig.1.2.

La tasa de acumulación indica los metros de nieve que se cubre en el glaciar cada

año.

Supongamos una rebanada de altura Hm inicialmente en el eje y, que se desplaza

con velocidad horizontal

Δt

0x

Δt

Δx(x)vx

Cuando se ha deslizado hacia la derecha y hacia abajo, deja un hueco que debe ser

rellenado por la nieve ya que según el enunciado la tasa de acumulación c es

constante, y la densidad del hielo también, por tanto, en el tiempo t el hueco es

cubierto hasta la altura Hm.

mm

xm

mH

xc

c

H

x(x)v

c

HΔtHΔtc (3)

Al suponer que el hielo es incompresible (o lo que es lo mismo que su

densidad es constante), se deduce que la conservación de la masa

implica la siguiente restricción en las componentes de la velocidad del

flujo de hielo.

0dz

zdv

dxxdv

3.4 Escriba una expresión de la dependencia de z de la velocidad vz(z) .

)4(H

zcv(z)

dzH

cdv(z)

H

c

H

xc

dx

d

dx

dv(x)

dz

dv(z)

m

mmm

Una pequeña partícula de hielo situada en la superficie del glaciar, en la

posición inicial (xi, Hm), se desplazará, a medida que el tiempo

transcurre, a lo largo de una trayectoria z(x) en el plano vertical xz. 3.5 Obtenga una expresión para la citada trayectoria de flujo z(x).

A partir de la ecuación (3) separando variables:

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39

CteH

tcxlndt

H

c

x

dx

H

xc

dt

dx

mmm

Cuando t = 0, la partícula de hielo está en la posición xi

(5)H

tc

x

xlnxln

H

tcxln

mi

i

m

A partir de la ecuación (4) separando variables:

CteH

tczlndt

H

c

z

dz

H

zc

dt

dz

mmm

Cuando t = 0 , la partícula de hielo está en la posición z = Hm ⟹ Cte = ln Hm

(6)H

tc

H

zlnHln

H

tczln

mm

m

m

Dividimos la ecuación (5) entre la (6)

x

xHz

z

H

x

x

z

Hln

H

zln

x

xln1

H

tc

H

tc

H

zln

x

xln

imm

i

m

mi

m

m

m

i

Indicadores de la edad y clima De la capa de hielo dinámica. Basándose en las componentes de la velocidad vx(x) y vz(z) se puede

estimar la edad (z) del hielo para una determinada profundidad

Hm-z respecto de la superficie de la capa de hielo.

3.6 Obtenga una expresión para la edad t(z) en función de la altura z por encima de la tierra justamente en el eje de separación x = 0.

Hemos visto en 3.5 la ecuación CteH

tczln

m

y hemos hallado la Cte con la

condición t = 0, z = Hm, luego a una profundidad Hm-z respecto de la capa de hielo

o lo que es lo mismo a una altura z respecto del suelo, el tiempo t =.

z

Hln

c

Hττ

H

zln

c

HHln

H

τczln mm

m

m

m

m

(7)

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40

Si se analiza un testigo de hielo que se ha extraído por una perforadora

del interior de la capa de hielo de Groenlandia puede revelar cambios

climáticos ocurridos en el pasado. Uno de los mejores indicadores es

O18δ definido por la relación:

efR

refR

iceR

O18δ

Donde O16

O18R indica la relativa abundancia de los dos isótopos del

oxígeno. La referencia Rref se basa en la composición isotópica de los

océanos en las proximidades del Ecuador.

Figura 3.2(a).- Relación observada entre Oδ 18 en la nieve

frente a la temperatura media anual T. b) Medidas de

Oδ 18 frente a la profundidad Hm-z obtenidas de muestras de

hielo extraídas entre la superficie y la roca (tierra firme) en

un lugar determinado del hielo de Groenlandia, donde Hm=

3060m.

Las observaciones sobre el hielo de Groenlandia indican que O18δ

en la nieve varía aproximadamente de forma lineal con la

temperatura (fig.3.2 a) Admitiendo que esto siempre haya sido así,

O18δ , medido en el testigo de hielo extraído a una profundidad Hm-

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41

z, nos permite estimar la temperatura T en las proximidades de

Groenlandia en el tiempo (z).

Medidas realizadas a lo largo de los 3060 m de espesor en el hielo

de Groenlandia indican que existe un cambio brusco de temperatura a

la profundidad de 1492m (figura 3.2b), indicando el final de la última

era glacial. La edad del hielo comenzó hace 120000 años

correspondiente a una profundidad de 3040 m y la actual era

interglacial empezó hace 11700 años correspondiendo a una

profundidad de 1492 m.

Suponer que estos dos periodos se pueden describir mediante dos

tasas distintas de acumulación, cia (edad del hielo) y cig (edad

interglacial). Admitir que Hm es constante a lo largo de estos 120 000

años.

3.7a Determine las tasas de acumulación cia y cig

De la figura 3.2b se deduce que hay dos periodos perfectamente diferenciados. Los

testigos de hielo extraídos profundizando en la capa de hielo desde la superficie nos

indican que desde la altura cero (superficie del hielo) hasta una profundidad de 1492

m corresponde a un periodo denominado interglacial y de duración 11700 años el

valor de Oδ18 se ha mantenido por término medio constante (aunque haya

fluctuaciones) y ese valor llevado a la gráfica 3.2 a indica una temperatura

alrededor de -30ºC. El segundo periodo que abarca 120 000 años y denominado era

glacial el valor de Oδ18 se ha hecho más negativo y eso conlleva que la

temperatura es más baja que en el periodo interglacial.

Para calcular cig hacemos uso de la ecuación (7).

z

3060ln

años11700

3060

z

Hln

τ

Hc mm

ig

En la figura 32 b, Hm-z = 1492 luego z = Hm-1492

año

m0,1749

14923060

3060ln

11700

3060c ig

Si desde la capa superficial de hielo tomamos testigos en profundidad observamos

que existen dos periodos de tiempo, uno de 11700 años y otro de 120000 años, el

primero con tasa de acumulación ci g=0,1749 m/año y el segundo con tasa de

acumulación cia.

Recurrimos a la ecuación del apartado 3.5

dtcz

dzH

H

zc

dt

dzm

m

Los límites de la primera integral son desde z = Hm (capa de la superficie) hasta

z = Hm-3040 . La segunda integral tiene dos términos: el interglacial desde cero a

11700 años y el glacial desde 11700 hasta 120000 años.

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42

año

m0,1232

108300

117000174930403060

3060ln3060

c

11700120000c11700c3040H

HlnH

tctczlnH

ia

iaig

m

mm

ia

0

igm

12000011700

11700

3040mHHm

3.7b A partir de la figura 3.2 encuentre el cambio de temperatura en la transición de la edad del hielo a la edad interglacial.

De la figura 3.2 b , en la edad interglacial Oδ18 es aproximadamente -35 y en la

glacial aproximadamente -43. Llevados a la figura 3.2a se obtienen unas

temperaturas aproximadas de -30ºC y -40 ºC, luego al pasar de la edad glacial a la

interglacial la temperatura aumento en -30-(-40) , aproximadamente 10 ºC.

Elevación del nivel del mar por fusión de la capa de hielo de Groenlandia.

La completa fusión del hielo de Groenlandia daría lugar a una

elevación del nivel de los océanos. Una manera muy aproximada de

calcular esta elevación es suponer que la elevación sería global y

uniforme sobre una superficie de Ao=3,61.1014 m2.

3.8 Calcule la elevación global del nivel del mar si todo el hielo de Groenlandia se fundiese, siendo el área del rectángulo (según el modelo 3.1(b) ) AG=1,71.1012 m2. Datos: Densidad del hielo¸ice=0,917.103 kg.m-3 ; densidad del agua

wa=0,998.103 kg.m-3

En el apartado 3.2c hemos deducido que el volumen de la capa de hielo de

Groenlandia es:

3

2KL10V 2

5

ice

Siendo 10 L2 = AG y K=gρ

S2

ice

b , luego:

31512

3

3

G

ice

b

ice m3,45.1010

1,71.10

9,820,917.10

100.102

3

20

10

A

2S

3

20V

45

45

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43

Este hielo al convertirse en agua líquida disminuye su volumen.

315

3

315

wa

ice

icewaagwaiceice m3,17.100,998.10

0,917.103,45.10

ρ

ρVVρVρV

Este volumen de agua repartido de forma uniforme sobre el área Ao da lugar a una

elevación de:

m8,783,61.10

3,17.10h

14

15

La masa del hielo de Groenlandia ejerce un empuje gravitacional

sobre el océano que la rodea. Si la capa se fundiese, esta “marea”

local se perdería y el nivel del mar bajaría en las proximidades de

Groenlandia, un efecto que contrarrestaría parcialmente la elevación

del nivel del mar calculado anteriormente

Para estimar la magnitud de este empuje gravitacional sobre el agua,

se establece un modelo en el que la capa de hielo de Groenlandia se

considera como si fuese una masa puntual localizada en el nivel del

suelo. Copenhague se encuentra a una distancia de 3500 km medidos

a lo largo de la superficie de la Tierra respecto a la posición de esa

masa puntual. La Tierra se considera como una esfera, teniendo un

océano global ocupando una superficie AE= 5,10.10 14 m2. Los

posibles efectos de la rotación terrestre se desprecian.

3.9 Con este modelo determine la diferencia hCPH-hOPP entre el nivel del mar en Copenhague ( hCPH) y en un lugar diametralmente opuesto a Groenlandia ( hOPP)

En la figura 2.3 se representa por un círculo pequeño la masa del hielo en Groenlandia

(mG) y a una distancia r = 3500 km la ciudad de Copenhague. Representamos por hCPH

la altura de la capa de agua en Copenhague respecto de la superficie terrestre y por hOPP

en el punto opuesto a Groenlandia. Consideramos una masa en lo alto de ambas capas

de agua y evaluamos la energía potencial.

mE es la masa de la Tierra, mG la masa de la capa de

hielo en Groenlandia, r la distancia en línea recta

desde mG a m. La energía potencial gravitatoria de

una masa m, es respectivamente en Copenhague y en

las antípodas de Groenlandia, UC y UOG de valores:

Fig. 2.3

mG

hCPH

RE

O

hOPP

m

m

mE(masa de la Tierra)

θ

α β

r

RE

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OPPhE2R

mGmG

OPPhER

mEmGU

;r

mGmG

CPHhER

mEmGU

OG

C

El signo menos aparece porque se considera como

referencia la energía potencial nula en el infinito.

Aplicamos el teorema de los senos en el triángulo OmGm.

sen

θsenERr

ERsen

CPHhERsen

rθsen

Dado que hCPH es mucho menor que RE, se puede hacer la aproximación. Resulta que el

triángulo OmGm puede considerarse isósceles por ser como ya dijimos hCPH<<RE y en

consecuencia y de ello se deduce que: 2

θ

2

παπ2αθ

2

θcos

θsenE

R

2

θ

2

πsen

θsenE

Rr

La diferencia de energía potencial de la masa m, entre los puntos situados en

Copenhague y en las antípodas de Groenlandia es:

OPPhE2R

mGmG

OPPhER

mEmG

r

mGmG

CPHhER

mEmGUU OGC

Aproximando: RE+hCPH ≅RE+hOPP y RE+hOPP ≅ RE resulta:

)8(2

1

θsen

2

θcos

ER

mG

mG

E2R

mG

mG

θsenE

R

2

θcosm

GmG

UU

OPPh

ER

mE

mG

CPHh

ER

mE

mG

OGC

Tanto UC como UO son próximos a la superficie terrestre y por ello podemos escribir:

OPP

hCPH

hgmUU OGC (9)

Siendo g la intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre.

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2E

R

EmG

g

Ahora el criterio de medir es diferente al de antes ya que se mide con respecto a la

superficie terrestre, siendo la energía potencial cero en ella. Podemos igualar las

ecuaciones (8) y (9) con sus valores absolutos

2

1

θsen

2

θcos

m

Rmhh

2

1

θsen

2

θcos

R

mmGhh

R

mGm

E

EGOPPCPH

E

G

OPPCPH2

E

E

En el apartado 3.8 hemos calculado el volumen de hielo Vice = 6,29.109 m3 . El ángulo

que forma Copenhague con la masa de hielo es:

31,43ººπ

180

6,38.10

3500.10rad

6,38.10

3500.10θRθarco

6

3

6

3

E

m55,42

1

31,43ºsen

2

31,43ºcos

5,97.10

6.38.100,917.103,45.10hh

24

6315

OPPCPH