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1
Problemas de Las Olimpiadas
Internacionales De Física
José Luis Hernández Pérez
Ricardo David Fernández Cruz
Jaime Solá de los Santos
Madrid 2017
2
XLVIII. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2017.
INDONESIA
1.-LA MATERIA OSCURA
La primera deducción formal de la existencia de la materia oscura fue
proporcionada por Fritz Zwicky basándose en la dinámica del cúmulo de
galaxias Coma; este cúmulo consta de aproximadamente mil galaxias.
Zwicky aplicó el teorema del Virial para estimar la masa del cúmulo.
Para un sistema simple formado por un sol y un planeta que gira
alrededor de éste describiendo una órbita circular, el teorema del Virial
establece que la energía cinética del planeta es proporcional a su energía
potencial gravitatoria. En el caso general de un sistema formado por
muchas partículas enlazadas por algún tipo de interacción, el teorema del
Virial establece una relación entre la energía cinética promedio en el
tiempo con la energía potencial promedio en el tiempo.
En 1933, basándose en sus observaciones de la velocidad de las galaxias
situadas cerca del límite del cúmulo Coma, Zwicky estimó que dicho
cúmulo tenía más masa de la que se podía ver. La atracción gravitatoria
que ejerce el conjunto de galaxias observadas en dicho cúmulo era
menor que la necesaria para justificar la velocidad de las galaxias
situadas en las cercanías del límite del cúmulo. Por tanto, debe existir
una masa oculta que justifique la gran velocidad de estas galaxias. Esa
masa oculta es la denominada masa oscura.
En todo lo que sigue a continuación se supone que la masa de cada
galaxia es la suma de la masa visible y la masa oscura y que ésta última
se desplaza junto con la galaxia. La materia oscura interacciona con la
masa visible mediante fuerzas gravitatorias.
A. Cúmulo de galaxias
Considerar un cúmulo de galaxias compuesto por un número N grande
de galaxias y materia oscura, distribuidas de forma homogénea en una
esfera de radio R y con una masa M, que es la suma de las galaxias más
la materia oscura. Suponer que la suma de la masa promedio de una
galaxia más la masa oscura de la misma es m.
3
Esta cuestión se reduce a calcular la energía gravitacional de un cuerpo esférico de
radio R , masa M y densidad uniforme
En la figura A1 se representa la esfera de radio R y sobre ella se señala una capa
esférica a la distancia r del centro y de espesor dr. El trabajo para llevar esa capa al
infinito es igual a la energía potencial gravitatoria en el campo creado por la materia
que está dentro del radio r.
Masa de la esfera de radio r == 3
rr r3
4·VM
Masa de la capa esférica de radio dr
( ) ( ) ( )
==
+++−=+−==−= +
·drr4dVdM
drrdr3drr3rr3
4drrr
3
4·VVVM
2
CC
3223333
CdrrrC
Energía potencial gravitatoria
drr3
16G
r
drr4·r3
4
Gr
dMMGdE 422
23
cr
P −=
−=−=
Para determinar la energía potencial gravitatoria de la esfera debemos sumar las
contribuciones de las capas esféricas en que dividimos a la esfera entre el centro y la
periferia de Radio R.
5225
22422
P R15
16G
5
r
3
16Gdrr
3
16GE
R
0
R
0
−=−=−= (1)
La masa M de la esfera de radio R es
3
3
RR4
M3R
3
4·VM
===
Sustituyendo en la ecuación (1)
A1. Suponiendo una distribución continua de la materia del cúmulo,
encontrar su energía potencial gravitatoria en función de M y R
Fig. A1
4
)2(R
MG
5
3R·
R16
M9
15
16GE
25
62
22
p −=
−=
Debido a la expansión cosmológica, un objeto que se aleja respecto de un
observador situado en la Tierra lo hace con una velocidad que depende
de la distancia entre el observador y el objeto. En el espectro atómico del
hidrógeno aparece una serie de rayas que se denomina serie de Lyman.
Si en la galaxia i-ésima del cúmulo se produce una supernova del tipo
IA , su frecuencia de Lyman es fi (con i=1….N)mientras que en la Tierra
su frecuencia es fo.
La variación de la frecuencia de la luz recibida de un objeto que se aleja del observador
está determinada por el efecto Doppler. Para el caso de que la fuente de luz se aleje del
observador, si fo es la frecuencia percibida cuando la fuente estaba en reposo respecto
del observador, c la velocidad de la luz y Vril la velocidad de la galaxia i, a ecuación es:
−=−==+
+
= 1f
fcV)ff(cVfcfVfcf
c
V1
ff
i
o
riioriioriii
ri
o
i
Para el cúmulo
==
=
−=
−==
N
1i oi
oN
1i i
o
N
1i
ri
cr )3(f
1
f
1
N
fc1
f
f
N
c
N
V
V
La galaxia i-ésima posee una velocidad iV
cuyas componentes son (Vxi; Vyi ; Vzy), Con
cV
designamos a la velocidad del centro del cúmulo y cuyas componentes son (Vxc; Vyc
; Vzc),. La velocidad relativa de esa galaxia respecto del centro del cúmulo es )VV( Ci
− .
El cuadrado de esa velocidad extendida al conjunto de las N galaxias que forman el
cúmulo.
A2. Determine la velocidad promedio Vcr del cúmulo de galaxias que se
desplazan alejándose de la Tierra en función de fi (i=1 …..N) fo y N. Observe que la velocidad de una galaxia es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz.
A3. Si se supone que las velocidades de las galaxias respecto del
centro del cúmulo son isótropas (la misma en toda dirección), determine la velocidad cuadrática media vrms de las galaxias con respecto al centro del cúmulo en función de N, fi ( con i=1….N) y fo. A partir de este resultado determine la energía cinética media de una galaxia respecto del centro del cúmulo en función de vrms y m.
5
2
zczi
2
ycyi
2N
1i
xcxi
N
1i
2
Ci )VV()VV()VV(N
1)VV(
N
1−+−+−=−
==
La condición de que la velocidad es isótropa implica que es la misma en las tres
direcciones en promedio
2N
1i
rcri
N
1i
2
Ci )VV(N
3)VV(
N
1
==
−=−
Para calcular la velocidad cuadrática media de la galaxia respecto del centro, habremos
de tener en cuenta que Vcr no está afectada por el sumatorio
( )
( ) ( )
2
cr
N
1i
2
rirms
N
1i
crcr
2
cr
2
ri
N
1i
N
1i
N
1i
ricr
2
cr
2
ri
N
1i
crri
2
cr
2
ri
2N
1i
rcrirms
V3VN
3v
V·V·6NVN
3V
N
3V
N
1V·2·3V
N
3V
N
3
VV2VVN
3)VV(
N
3v
−
=
−+=−+=
=−+=−=
=
== = =
==
Sustituimos Vri y Vcr obtenidas en el apartado 2 en la ecuación anterior
= ===
−−
−=
−−
−=
N
1i
2N
1i i
o
2
i
0
2N
1i oi
oN
1i
2
1
02
rms 1f
f
N
11
f
f
N
13c
f
1
f
1
N
fc31
f
fc
N
3v
La energía cinética media de las galaxias respecto del centro del cúmulo es
( ) 2
rms
2
Cimed vm2
1VV
N
m
2
1K =−=
Para determinar la masa total de un cúmulo se puede utilizar el teorema
del virial. Este teorema establece la siguiente igualdad para un sistema
de partículas enlazadas por fuerzas conservativas
tUγtK −=
Donde tK es la energía cinética total promedio en el tiempo. , tU es la
energía potencial total promediada en el tiempo y es una constante
Este teorema se puede deducir suponiendo que para un sistema de
partículas enlazadas por su propia interacción, las magnitudes de la
6
posición y del momento de cada una de las partículas son finitas y por
ello la siguiente cantidad
=i i
r·i
p
Γ
es finita.
En la figura A4 se representa por círculos a una serie de galaxias numeradas 1 a N y
localizadas mediante los vectores de posición ;N1 r.......r
.N=5
Cada galaxia interacciona por fuerzas internas gravitatorias con el resto de las galaxias,
se excluye la interacción consigo misma de una galaxia que es nula.
Representamos la fuerza de interacción por j,iF
con los valores que le damos a i
representa la galaxia que ejerce la fuerza sobre las otras galaxias y j la galaxia que
recibe esa acción, por ejemplo 5,2F
representa la fuerza que la galaxia 2 ejerce sobre la
galaxia 5. Cuando i= j la fuerza es nula.
Ahora haremos una deducción del virial siguiendo un método que se encuentra en los
libros de texto
El momento de inercia de un sistema de N partículas es ==
==N
i
N
i 1
iii
1
2
ii r·rmrmI
A4. Si se utiliza el hecho de que el promedio para un tiempo muy largo
de dt
dΓtiende a ser nulo, esto es 0
dt
dΓ
t
= , calcular el valor de en el
teorema del virial aplicado al caso de la interacción gravitacional.
Ayuda: Intentar resolver el problema haciendo la suma de Γ para un número pequeño de galaxias.
Fig. A4
7
La derivada del momento de inercia respecto del tiempo
====
===
+=
N
1i
iii
N
1i
iii
N
1i
i
N
1i
iii
ii r·p
dt
dI
2
1r·vm
dt
dI
2
1r·
dt
rdm2
dt
rd·rr·
dt
rdm
dt
dI
Al sumatorio =
=N
1i
ii r·p
se denomina virial del sistema.
La derivada del virial con respecto al tiempo
====
+=+=+= N
1i
2
iii
N
1
i
N
1i
iiii
N
1
i
N
1i
iii
N
1i
i vmr·Fv·vmr·Fdt
rd·pr·
dt
pd
dt
d
Para un tiempo largo 0dt
d=
El segundo sumatorio representa el doble de la energía cinética del sistema
=
=N
1i
2
ii K2vm
)4(0K2r·Fvmr·F i
N
1
i
N
1i
2
iii
N
1
i =+=+ =
Para evaluar el primer sumando volvemos a la figura A4 en donde el sistema está
compuesto de cinco galaxias.
La fuerza que ejerce cada galaxia sobre el resto es:
01
r·11
F =
2
r·12
F
3
r·13
F
4
r·14
F
5
r·15
F
1r·
21F
0
2r·
22F =
3r·
23F
4r·
24F
5r·
25F
1r·
31F
2r·
32F
0
3r·
33F =
4r·
34F
5r·
35F
1r·
41F
2r·
42F
3r·
43F
0
4r·
44F =
5r·
45F
1r·
51F
2r·
52F
3r·
53F
4r·
54F
0
5r·
55F =
Ahora debemos sumar estas fuerzas
Tenemos en cuenta la ley de acción y reacción, se cumple que jiFijF
−= . Dejamos sin
modificar los productos que están por encima de la diagonal de ceros y cambiamos los
que están por debajo
0 2
r·12
F
3
r·13
F
4
r·14
F
5
r·15
F
1r·
12F-
0
3r·
23F
4r·
24F
5r·
25F
1r·
13F-
2r·
23F-
0
4r·
34F
5r·
35F
1r·
14F-
2r·
24F-
3r·
34F-
0
5r·
45F
1r·
15F-
2r·
25F-
3r·
35F-
4r·
45F-
0
8
Agrupamos los términos semejantes y así eliminamos los términos que están por
debajo de la diagonal de ceros.
0 ( )1
r2
r·12
F
−
( )1
r3
r·13
F
−
( )1
r4
r·14
F
−
( )1
r2
r·15
F
−
1r·
12F-
0 ( )
2r
3r·
23F
−
( )2
r4
r·24
F
−
( )2
r5
r·25
F
−
1r·
13F-
2r·
23F-
0 ( )
3r
4r·
34F
−
( )3
r5
r·35
F
−
1r·
14F-
2r·
24F-
3r·
34F-
0 ( )
4r
5r·
45F
−
1r·
15F-
2r·
25F-
3r·
35F-
4r·
45F-
0
La suma de los términos que están situados por encima de la diagonal de ceros
=
−
N
ij;1i ir
jr·
jiF
La fuerza ijF
es la fuerza de atracción gravitatoria directamente proporcional a las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
En la figura A4-1 se han representado los vectores posición y fuerza entre las partículas
1 y 2
Fig.A4-1
9
12F
es la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la 2, 12 rr
− es el vector de posición de 2
respecto de 1. Los dos vectores tienen la misma dirección y sentido contrario.
12F
es la fuerza gravitacional entre 1 y 2: cuyo módulo es:
2
12
2112
rr
mmGF
−=
El producto escalar
( )12
21122
12
2112121212
rr
mmGrr
rr
mmGº90cosrrFrr·F
−−=−
−−=−=−
El resultado es la energía potencial gravitatoria de las partículas 1 y 2. Hacemos
extensivo este resultado al conjunto de las galaxias
( ) −
−=−−
−=−=N
ijij
ji
ij
N
ij2
ij
jiN
ij
ijij
rr
mmGrr
rr
mmGrr·FU
Llevando este resultado a la ecuación (4)
2
1U
2
1K0=K2+U =−=
M designa la masa total del cúmulo que es suma de la masa visible más la masa oscura.
Según la ecuación (2) obtenida en el apartado A1
G3
vR5M
R
MG
5
3Mv
R
MG
5
3
2
1U
2
1K
2
rms
22
rms
2
==
−−=−=
La masa de la materia visible, esto es, la de las galaxias es: mgN.
La masa de la materia oscura
NmG3
vR5M g
2
mrs
osc −=
B. Materia oscura en una galaxia
A5. A partir de los resultados anteriores determine la masa total del
cúmulo en función de N, mg, R y vrms , siendo mg la masa promedio total y visible de una galaxia. Tenga en cuenta que la velocidad cuadrática media de la materia oscura es la misma que la de las galaxias.
10
La materia oscura está presente dentro y alrededor de la galaxia.
Considerar una galaxia esférica con un borde visible de radio Rg (una
distancia exterior donde un gran número de estrellas son visibles, aunque
un pequeño número de ellas pueden estar distribuidas más allá de Rg.).
Considerar a las estrellas de la galaxia como masas puntuales con una
masa promedio mS . Las estrellas de la galaxia están distribuidas
homogéneamente con una densidad numérica n y se supone que se
desplazan en órbitas circulares.
Si un planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita circular, la fuerza centrípeta
que necesita el planeta para girar es la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y el
planeta..
d
vm
d
mMG
2
p
2
PS =
En la ecuación el Sol es una esfera y su masa MS está en el centro lo mismo para la
masa mp del planeta; la distancia d es de centro a centro.
Ahora una estrella se encuentra a una distancia gRr del centro de la galaxia..La
atracción sobre esa estrella la ejerce el conjunto de las estrellas que se encuentran dentro
de una esfera de radio r, (se demuestra por aplicación del teorema de Gauss a los
campos gravitatorios) La masa de ese conjunto se considera aplicada en el centro de la
esfera y por lo tanto está a una distancia r de la estrella.
Masa del conjunto s
3 mnr3
4Mc = .
Igualamos la fuerza de atracción gravitatoria con la fuerza centrípeta de la estrella.
r.3
mnG4)r(v
r3
mnr4G)r(v
r
)r(vm
r
mMG ss
3
2
2
s
2
sC =
== (5)
Para una estrella que está a una distancia gRr
)6(r
1·
3
mnRG4)r(v
r
)r(vm
r3
mnR4G
r
)r(vm
r
mMG
S
3
g2
S
2
2
s
3
g2
s
2
sRg ==
=
Las dos ecuaciones (5) y (6) dan la misma velocidad cuando r = Rg
B1. Si la galaxia estuviese exclusivamente formada por estrellas,
encontrar la velocidad v(r) de una estrella en función de su distancia al centro de la galaxia y hacer un esquema de v(r) para r<Rg y r>Rg
11
Al representar v(r) frente a r, la ecuación (5) da lugar a una línea recta., la (6) una
curva. El punto común de ambas representaciones ocurre cuando r=Rg ., las ecuaciones
(5) y (6) dan el mismo valor de v(r) para el punto común. (figura B.1).
r
v(r
)
La existencia de la materia oscura se deduce de la curva de rotación de la
galaxia en la que v(r) se obtiene a partir de observaciones. La figura 1
representa una curva de rotación en la que, de forma simplificada,
puede admitirse que v(r) es una función lineal para gRr , y
constante para r> gR
Fig 1.- Curva de rotación de la galaxia
Fig B.1
12
Si solo hubiese materia visible la velocidad frente a r daría lugar a una gráfica de la
forma de la figura B.1, sin embargo las medidas deducidas de las observaciones dan una
gráfica como la fig. 1, es decir, la velocidad cuando r>Rg en lugar de disminuir se
mantiene constante y eso exige que la materia sea mayor que la de las estrellas visibles.
Todas las estrellas que están dentro de la esfera de radio Rg más la masa oscura actúan
sobre una estrella de masa promedio ms. situada en el borde de la galaxia, esto es, a una
distancia Rg.
Igualamos la fuerza centrípeta de la galaxia con la fuerza gravitatoria
G
R·vm
R
vm
R
m·mG
g
2
o
R
g
2
oS
2
g
SR == (7)
Consideremos una estrella de masa promedio ms situada fuera de la esfera de la galaxia
de modo que r>Rg. Basándonos en la curva experimental de la figura 1, cuando la
velocidad es constante, r>Rg
drA)r(dmrAr·G
Cte
G
rv)r(mrv)r(mG
r
vm
r
m·)r(mG
22
o2
o
2
oS
2
S ======
Como A es una constante, m´(r) es directamente proporcional a r.
Cuando r<Rg, la velocidad es directamente proporcional a r, pues como vimos
r.3
mnG4)r(v s
=
Operando se llega a
( ) drrB3)r(dmrBrG
Cte)r(mrrCte)r(mGrv)r(mG 233
222 =====
Cuando r<Rg, m´(r) es directamente proporcional a r3
B2. Encontrar la masa total mR de aquella parte de la galaxia que se
encuentra en el interior de una esfera de radio Rg en función de vo y Rg
B3. Determinar la densidad de masa de la materia oscura en función
de r, Rg , vo , n y mS para Rg r y gRr
13
Dentro de la esfera de radio Rg escogemos una capa esférica de espesor dr que dista r
del centro. La masa de esa capa es
====
4
B3)r(drrB3drr4·)r(dV)·r(´dm 22
Según el apartado B2 la masa total es:
2
g
2
o
3
g
g
2
o
3
g
g
2
o
RRG4
v3
R3
4G
R·v
)r(R3
4)r(V)r(
G
R·vm
=
====
Las unidades de (r) son kg/m3. y representa la densidad promedio total masa visible y
masa oscura. Teniendo en cuenta que n representa el número de galaxias por metro
cúbico n·ms es la densidad promedio de la materia visible, por lo que la densidad
promedio de la materia oscura cuando r<Rg es:
s2
g
2
o mnRG4
v3)os( −
=
Escogemos una capa esféríca de radio r>Rg y espesor dr, la masa es
)8(r4
A)r(Adrdrr4)r(dV)·r()r(dm
2
2
====
Cuando r=Rg
G
vARA
G
R·vm
·2
og
g
2
o
R ===
Sustituyendo A en la ecuación (8)
2
2
o
2
2
o
rG4
v
r4
G
v
)r(
=
= (9)
La densidad de la materia oscura se obtiene restando a (9) la de la materia visible, pero
como el número de estrellas cuando r>Rg es muy pequeño si se compara con las que hay
en r<Rg , aproximadamente (9) representa la densidad de la materia oscura.
C. Gas interestelar y materia oscura
Consideremos ahora una galaxia joven cuya masa es predominantemente
gas interestelar y materia oscura (se desprecia la masa de las estrellas).
Se parte de la suposición que el gas interestelar esta constituido por
partículas idénticas de masa mp. Su densidad numérica n(r) y
temperatura T(r) dependen de la distancia r al centro de la galaxia.
14
Aunque suceden muchos procesos físicos en el seno del gas supondremos
que el gas se encuentra en equilibrio estático debido a la presión y a la
atracción gravitacional de la galaxia.
A una distancia r del centro de la galaxia imaginamos una capa esférica de espesor dr, la
cual se encuentra en equilibrio estático. Este equilibrio se debe a dos fuerzas de la
misma dirección y sentido contrario. Una dirigida al centro de la galaxia que tiende a
comprimir el gas y otra que tiende a expansionarlo debido la diferencia de presión dP
entre la parte interna y externa de la capa considerada.
Fuerza gravitatoria de atracción: ( ) drr4)r(gr 2
Fuerza debida a la presión 2r4·dP
Tomamos como sentido positivo del centro de la galaxia al exterior
Equilibrio: 2
22
r
)r(mG)r()r(g)r(
dr
dP0r4·dPdrr4)r(g)r( −=−==+
La densidad (r) una distancia r es n(r)mp
2p
r
)r(mGm)r(n
dr
dP−=
El signo negativo nos indica que la presión disminuye a medida que nos alejamos del
centro de la galaxia.
La ecuación de los gases ideales es TRnVP m= , nm representa le número de moles
contenidos en el volumen V. Podemos poner la ecuación en función de la masa
RTM
gPV
m
= Mm es la masa de un mol de gas si el gas es único, si fuese una
mezcla de gases Mm es la masa molar promedio. Para el caso que nos ocupa la masa es
igual a n(r) · mp. La ecuación puede escribirse
C1. Determinar el gradiente de presión del gas dP/dr, en función de
m´(r), r y n(r). Aquí m´(r) es la masa total de gas y materia oscura dentro de una esfera de radio r contado desde el centro de la galaxia.
C2. Suponiendo que el gas interestelar es un gas ideal, expresar m´(r)
en función de n(r) , T(r) y sus derivadas con respecto a r.
15
)r(Tk)r(n)r(RTMV
m·)r(nP
m
P ==
k es una conste que engloba a mp, V y R
)r(Tdr
)r(ndk
dr
)r(dTk)r(n
dr
dP+=
Sustituyendo dP/dr del apartado C1
)10(dr
)r(nd
)r(n
r
dr
)r(dT
)r(T
r
mG
)r(kT)r(m
mG)r(n
r)·r(T
dr
)r(ndk
mG
r·
dr
)r(dTk)r(m
r
)r(mGm)r(n)r(T
dr
)r(ndk
dr
)r(dTk)r(n
22
p
p
2
p
2
2p
+−=
−−=
−=+
Con el fin de simplificar lo que sigue, se supone que el gas posee una
distribución isoterma a la temperatura To y que la densidad numérica del
gas está dada por
( )2rβr
αn(r)
+=
Siendo y constantes.
Por ser la distribución del gas isotérmica en la ecuación (10) resulta que dT(r)/ dr =0
−=
dr
)r(dn
)r(n
r
mG
kT)r(m
2
p
o
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )323242
2
rr
r3
rr
rr2
rr
rr2r
dr
)r(dn
+
+−=
+
++−=
+
+++−=
( )
( )( )
( )( )
( )r
r3r
mG
Tk)r(m
r
r3r
rr
r3·
rr
r
dr
)r(dn·
)r(n
r
p
o
32
2
22
+
+=
+
+−=
+
+−
+
=
C3. Encontrar la densidad de masa de materia oscura en función de r
dentro de la galaxia.
16
La densidad de masa del gas interestelar es la densidad numérica del gas n(r) por la
masa de cada partícula del gas mp.
( )2
p
grr
m)r(
+
=
La densidad de masa de la materia oscura la designamos por )r(mo
Consideramos una capa esférica de radio r´<r y espesor dr formada por gas interestelar
y por materia oscura, su masa es. ´dr)r(4)r()r()r(dm 2
mog += .La masa total de
la esfera de radio r, m´(r), se obtendrá integrando la expresión anterior entre cero y r.
( )( )
r
r3r
mG
Tk)r(m´dr´r4·
r
ó
)r()r(p
o2
mog+
+==+ (11)
Aplicamos el teorema fundamental
r,0x)x(F)x(f)x(Fdx)x(f
r
o
==
Apliquémoslo a un ejemplo sencillo
)r(F)r(f4
x3
3
x2
2
xdx)x3x2x(
432r
o
32 =++=++
Para la ecuación (11)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )2
22
p
o
2
222
p
o
2
2
p
o
2
p
o
r
r3r6
mG
kT
r
r3rr6rr6
mG
kT)r(F
r
r3rr6r
mG
kT
r
r3rr3r3.·r
mG
kT)r(F
+
++=
+
−−+++=
+
−−++=
+
+−+++=
( )
( ) ( )
( ) ( )2
p
22
22
p
o
mo
22
22
p
o
mo2
p
2
22
p
o2
mog
rr
m
rr4
r3r6
mG
kT)r(
rr4
r3r6
mG
kT)r(
rr
m
r
r3r6
mG
kTr4)r()r()r(f
+
−
+
++=
+
++=+
+
+
++=+=
17
2.-TERREMOTO, VOLCAN Y TSUNAMI
Indonesia es el supermercado de las catástrofes naturales pues ha
padecido erupciones volcánicas, terremotos y tsunami.
A. Erupción del volcán Merapi El volcán Merapi situado en Yogyakarta es uno de los más activos de
Java. Los flujos piroclásticos del volcán son bien conocidos.
El flujo piroclástico es una mezcla caliente de gas y rocas que se desplaza
alejándose del volcán. El 26 de Octubre de 2010 el Merapi mostró su
carácter explosivo arrojando una nube de cenizas que alcanzó una altura
de 12 km y provocó corrientes piroclásticas que obligaron al
desplazamiento de 20000 personas.
Intentamos buscar las causas de la gran erupción del Merari en el 2010.
La importancia del agua externa en el magma de las erupciones
explosivas denominadas erupciones hidromagmáticas es bien conocida
por los geofísicos. Suponemos que un volcán es un sistema que consiste
en una mezcla de partículas magmáticas y agua.
Las estructuras de salida del volcán y la atmosfera son los límites del
sistema.
Se considera que la erupción explosiva del volcán sucede en dos etapas.
(1) Una interacción instantánea magma-agua y (2) un sistema en
expansión. Durante la primera etapa una masa de magma ( mm) a una
temperatura absoluta (Tm) se mezcla con una masa externa de agua (mw)
a una temperatura absoluta (Tw). El equilibrio térmico se alcanza de
forma prácticamente instantánea Se considera que este proceso ocurre a
volumen constante. Se desprecian el calor latente de vaporización del
agua y el calor latente de fusión del magma.
La temperatura del magma es mayor que la del agua, por consiguiente el calor perdido
por el magma es igual al calor ganado por el agua. Te representa la temperatura de
equilibrio
A1. Encontrar la temperatura de equilibrio de la primera etapa en
función de las masas y capacidades calorífícas por unidad de masa del agua Cvw y del magma Cvm
18
WWmm
WWWmmm
e
WWmmeWWWmmmWeWWemmm
CvmCvm
TCvmTCvmT
)CvmCvm(TTcCvmTCvm)TT(Cvm)TT(Cvm
+
+=
+=+−=−
La ecuación de los gases perfectos es: TRnPV = ; n representa el numero de moles de
agua y magma
Como e es el volumen por unidad de mol: ee nVn
V==
Sustituyendo en la ecuación de los gases
WWmm
WWWmmm
ee
e
eCvmCvm
TCvmTCvmRTRPTRnnP
+
+
=
==
La expansión del sistema (la segunda etapa) puede ocurrir de diferentes
maneras, una de las cuales es la detonación térmica. Aunque este
proceso es muy complicado podemos medir empíricamente la velocidad
relativa de la mezcla expulsada. La velocidad del gas durante la erupción
depende de la presión P, de la masa total m y del volumen V de la mezcla
en la chimenea del volcán
Utilizamos el análisis dimensional = VmPkv
Dimensiones de 21
2
2
TLML
TLM
Superficie
FuerzaP −−
−
==
Dimensiones de m: M ; Dimensiones de V ; L3 , Dimensiones de v LT-1
−+−+== −−−− 2
T3
L3
MLTL·M·TMLLT 1211
12;13;0 −=−=+−=+
A2. Determinar la presión de equilibrio en la primera etapa suponiendo
que la mezcla se considere como un gas ideal. El volumen por unidad
de mol de la mezcla es e.
A3. Determinar la velocidad del gas durante la erupción en función de
P, m y V y una constante de proporcionalidad k.
19
2
1
2
1
2
1
VmPkv
2
1
3
2
11
2
1
2
1;13;
−
=
=
+
=−==+=−=
La presión observada es del orden de 100 MPa. Esto determina que la
velocidad de la erupción es similar a la de una bala.
B. El terremoto de Yogyakarta El terremoto de Yogyakarta del año 2006 fue de magnitud Mw=6,4 ,
destruyó muchos edificios en el área de Bantul y Yogyakarta y ocurrió a
las 05:54:00,00 hora local ó 22:54:00.00 UTC(tiempo universal
coordinado). El terremoto lo causó un desplazamiento repentino de la
falla Opak (ver figura 2). El hipocentro se localizó a 15 km bajo la
superficie.
La onda sísmica que se propaga sobre la corteza terrestre se registra
mediante un sismómetro. El diagrama de un sismómetro se denomina
sismograma. Los sismogramas representan la velocidad vertical terrestre
frente al tiempo registrados en la estación de Gamping Yogyakarta
(YOGY) ( Fig.2) y Denpasar, Bali(DNP) (fig.3)
En general las ondas sísmicas constan de tres tipos de onda: La
longitudinal o primaria (onda P) , la transversal o secundaria (onda S) y
la onda superficial. Las ondas P y S se desplazan bajo la superficie y la
onda superficial viaja a lo largo de la superficie terrestre.
Las ondas sísmicas que viajan bajo la superficie de las estaciones se
pueden dividir en aquellas que se propagan en línea recta, las que son
reflejadas por una capa límite y las que se refractan en la próxima capa.
La onda longitudinal de la primera onda es la de mayor velocidad
mientras que la onda superficial tiene la menor velocidad alrededor del
60% de la onda P.
Las distancias entre el epicentro (la proyección del hipocentro sobre la
superficie terrestre) y las estaciones YOGY y DNP son 22,5 km y 500 km
respectivamente. La profundidad de la corteza terrestre en Java
Indonesia es 30 km. Por debajo de la corteza terrestre en el manto
terrestre al igual que otras ondas las ondas sísmicas obedecen a la ley de
Snell. Las ondas sísmicas se pueden reflejar en el manto terrestre.
En este problema se desprecia la curvatura de la Tierra.
20
Fig.B1.Sismograma de la estación YOGY
El terremoto se inició a las 22.54.00 según indica el enunciado y del sismograma parece
deducirse que la onda llega un poco antes de las 22.54.05.. escogemos un ‘punto antes de
esa hora y medimos la distancia en el sismograma entre las horas 22.54.00 y 22.54.05 y la
distancia entre las 22. 54.00 y el punto elegido y plantemos la proporción
s8,4tt
cm5,3
s0,5
cm6,3== .
Se estima que la medida con su error es: s1,08,4t =
La onda P recorre una distancia km0,27155,22d 22 =+=
s
km6,5
8,4
0,27v ==
La velocidad lleva un error de %2100
48*1,0= , admitiendo que las distancias se dan sin
error. El 2% de 5,6 es 0,1 , luego la velocidad con su error es:
s
km1,06,5v =
hipocentro
epicentro YOGY
15 km
22,5 km
B1. La figura B1 muestra el sismograma registrado en la estación
YOGY. Utilícelo para medir la velocidad de las ondas P en la corteza terrestre.
21
En la figura B2 , H representa el hipocentro , E el epicentro , D la estación en Denpasar
Desde la superficie terrestre el espesor de la corteza es 30 km , dato que se indica en el
enunciado del problema. La onda P reflejada lo hace por el camino HO+OD y se
cumple la ley de Snell, por tanto, i = i´ y = ´
La onda P directa recorre el camino HD a la velocidad de 5,6 km/s
s8,13,891,06,5
50015
v
HDt
22
HD =
+==
El error de tHD se ha calculado suponiendo que las distancias no tienen error.
De la figura B2 se deduce:
HO2ODOD
30
HO
15
OD
30´sen;
HO
15sen ====
º857,84i45
500itag
500
45
itag
1tag;
500
45
3
500
15
MO
15tag
km500·3
2ON;km
3
500
45
15·500MOMO30MO1515·500
MO500
30
ON
30
MO
15500ONMO;
ON
30´tag:
MO
15tag
=======
====−
−
===+==
B2. Determinar los tiempos que tardan en llegar la onda P directa y la
onda P reflejada debido al terremoto de Yogyakarta a la estación DNP de Denpasar
Fig.B2
22
s8,16,891,06,5
68,33434,167t
km68,33434,167·2OD;km34,167857,84cos
15HO
HO
15icos
reflejada =
+=
=====
Suponiendo que la Tierra se compone solamente de dos capas: la corteza
y el manto; se constata que la onda primaria se propaga con velocidades
constantes diferentes en ambas capas. La velocidad en el manto es mayor
que en la corteza. Advierta que la onda P refractada en el manto con un
ángulo de 90º posteriormente es refractada de modo parcial de nuevo a la
corteza propagándose a lo largo del límite entre la corteza y el manto.
.
Antes de resolver la cuestión recordemos la marcha de la luz entre dos medios.
El medio superior de la figura B3.1 tiene un índice de refracción 1
1v
cn = . El medio inferior
tiene un índice de refracción 2
2v
cn = . Si v2 es mayor que v1 , entones n1>n2
Aplicamos la ley de Snell
e
2
121 rsenisen
n
nresennisenn ==
Dado que sen re no puede ser mayor que 1 y n1/n2>1, ocurrirá que si la onda se produce
en el medio 1 habrá onda refractada siempre que 1isenn
n
2
1 .
B3. Determinar la velocidad de las ondas P en el manto
Fig. B3.1
23
Según el enunciado anterior, del hipocentro saldrá una onda que al llegar al límite de la
corteza - manto se desplace en línea recta y luego al llegar a un lugar de ese límite se
mueva por la corteza hasta la estación de DNP de Denpasar. La figura B3.2 indica esta
situación.
De la figura B3.2 se deduce:
isenx3500x
500xisenx3500xisen)xx(500isenxxisenx
x2xx
30icos;
x
15icos
12
21231321
13
31
−=
=+=++=++
===
Designamos con tT el tiempo que la onda emplea en realizar el recorrido
21321 xx3xx x +=++
Ese tiempo lo podemos deducir a partir del sismograma de la estación DNP
Resulta difícil precisar el comienzo de la llegada de la onda, escogemos un punto algo
antes de las 22:55:15. La distancia en el sismograma entre 22:55:05 y 22:55:15 es 3,83
cm. El punto elegido dista de 22:55:05, 3,2 cm
.s4,8tcm2,3
t
cm8,3
s10=
=
La hora de ese punto es 22:55:8,9. El terremoto comenzó a las 22:54:00, luego el
tiempo de llegada es tT=68,9 s.,.Teniendo en cuenta la imprecisión en la toma del lugar
de llegada en el sismograma puede cometerse probablemente un error de un 5% o más.
Fig. B3.2
24
Si v1 representa la velocidad de la onda en la corteza y v2 en el manto y v2>v1
2
2
1
2
1
21
21v
v1icos
v
visen
v
1isen
v
1º90sennisenn
−====
2
1
1
1
2
2
1
1T
v
isenx3500
v
x3
v
x
v
x3t
−+=+=
Ponemos x1 en función del ángulo i: icos
15x
x
15icos 1
1
==
−=
−
−−
−+=
−
−+=
−
+=
−
+=
2
2
1
12
T
2
2
1
2
2
1
2
2
1
21
2
2
1T
221
T
2121
T
v
v
v
145
v
500t
v
v1
v
v45
v
v1·
v
500
v
45
v
v1t
v
isen45
v
icos500
v
45i·cost
icosv
isen45icos500
icosv
45
v
isenicos
45500
icosv
45t
Sustituyendo los valores numéricos
−=
−
−
2
22
2
2 v
6,51786,045
v
5009,68·
v
6,51
Esta ecuación se resuelve por tanteo
A B C D E F G H
v2 2
2v
6,51
−
2v
5009,68 −
C*B 2
2v
6,51786,0 −
45*E D-F
7,5 0,665 2,233 1,485 0,0706 3,177 -1,69
8,0 0,714 6,4 4,57 0,0911 4,10 0,47
7,7 0,686 3,96 2,716 0,084 3,78 -1,06
7,8 0,696 4,79 3,33 0,0866 3,90 -0,57
7,9 0,705 5,61 3,95 0,888 3,99 -0,04
La velocidad es 7,9 km/s. El error es del orden de un 10 %, por lo que
v2=s
km8,09,7
Un modelo más real de la estructura de la Tierra, consiste en dividir la
corteza en capas delgadas de manera que la velocidad de la onda sísmica
25
sea función de la profundidad z de acuerdo con la ecuación,
zao
vv(z) += siendo a una constante y el hipocentro se encuentra
aproximadamente en la superficie. En este modelo el rayo se curva.
La figura B 4 se ha hecho dividiendo la corteza en seis capas de igual espesor pero con
índices de refracción diferentes o lo que es lo mismo con velocidades de las ondas
diferentes.
Se parte de un punto superior el hipocentro (prácticamente en la superficie terrestre) y
se le da un valor inicial de 43º al rayo de la onda con la normal, se aplica la ley de Snell
º9,46r7307,04,1
43sen5,1rsenrsen4,143sen5,1 ====
El ángulo r es igual al ángulo de incidencia entre las capas de índices 1,4 y 1,3, por ser
alternos internos. Se vuelve a aplicar la ley de Snell 1,4 sen 46,9 = 1,3 sen r . El
proceso se repite y en la figura están indicados los ángulos y los correspondientes
desplazamientos x , z e s en dos de las capas.
B4. Definimos el rayo por el parámetro, v(z)
i(z)senp = , i representa el
ángulo entre el rayo y la normal. Suponer que una onda sísmica llega a la estación con el parámetro p; expresar la distancia al hipocentro en función de vo y a. Se supone que el hipocentro se encuentra muy cerca de la superficie terrestre
Fig. B.4
26
Como el número de capas es discreto la marcha del rayo es una poligonal cuyo valor de
x aumenta porque aumenta en cada capa la velocidad del rayo. Si el número de capas
aumenta la poligonal se va pareciendo más y más a una curva, y será una curva en un
medio en el que la velocidad varíe de forma continua con la profundidad.
De acuerdo con la figura B.4 escribimos
88,1sen 1,04 68,4sen1,1
68,4sen1,158,5sen1,2
58,5sen1,2 51,9sen 1,3
51,9sen 1,346,9sen 1,4
46,9sen 1,4 43sen 1,5
=
=
=
=
=
De las anteriores igualdades se deduce que isenn43sen5,1 = ; n toma los
valores 1,4 ; 1,3 ; 1,2 ….e i los ángulo 46,9 ; 51,9 , ……
En el caso de que la curva sea continua
)z(u
pisen
)z(u)z.(isenp)z(u)z.(isen)z(v
)z(isen
v
isenisennisenn
0
o
oo
=
====
Observando la figura B.4 se deduce que para cualquier capa s
xisen
= , Cuando la
curva sea continua el número de capas tiende a infinito, escribimos
)z(u
p)z(u
)z(u
p1
ds
dzicos;
)z(u
p
ds
dxisen
222−
=
−====
)1(dzp)z(u
pdx
p)z(u
p
p)z(u
)z(u·
)z(u
p
dz
ds·
ds
dx
dz
dx
22
2222
−
=
−
=−
==
Esta integral nos permite calcular la variación de x con la profundidad...
Habrá alguna onda que al moverse por la corteza forme un ángulo de 90º (en la figura
B,4 para un incidente de 68,4 da un ángulo de 88,1º ya próximo a los 90º)..El lugar
donde el ángulo refractado es 90º es el punto de retorno A partir de esa situación la-
onda se desplaza hacia la superficie. La figura B.4.1 nos da idea de cómo es el rayo de
la onda que llega a la estación.
27
Aplicamos el parámetro p en el punto de retorno. Es el punto correspondiente al ángulo
límite
ap
vp1z1zapvp
zav
1
v
1)z(up
)z(u
pº90sen o
iio
io
i
i
−==+
+====
La distancia de la estación al hipocentro es prácticamente igual a la distancia al
epicentro (2 x) ya que la distancia hipocentro-epicentro es pequeña comparada con 2 x.
Calculamos la distancia utilizando la integral (1)
( )( )
dz
0 azvp1
)azv(p2dz
0 pzav
1
p2dz
0 pu
p2D
111zzz
2
o
2
0
2
2
o
22 +−
+=
−+
=−
=
Para resolver la integral hacemos el cambio de variable
pa
dMdzdMdzpaM)azv(p o ===+
+−−−=
−−
+−−=
+−−=−−=
−=
22
1o
22
o
22
o
22
2
1o
2
1
zavp1vp1pa
2Dvp1zavp1
pa
2D
1z
oazv(p1
pa
2DM1
pa
2dM
0 M1
M
pa
2D 2
o
2
2
z
Fig.B4.1
28
De la figura B.4
−
==
=
)z(u
p)z(u
1
icos
1
z
s
s
zicos
22
22 p)z(u
)z(u
z
s
−=
La velocidad del rayo de la onda es
dzp)z(u
)z(u)z(udt
p)z(u
)z(u)z(u
dz
ds·
ds
dt
dz
dt
)z(u)z(v
1
ds
dt
dt
ds)z(v
2222 −
=−
==
===
En el apartado anterior
( )azv
1)z(u
o +=
( ) ( )dz
zavp1zav
1tz
2t
z
dz
pzav
1
zav
1
2dzt
z
p)z(u
)z(u2T
2
o
2
o2
2
o
2
o
22
2
000
11
+−+=
−
+
+=
−=
La Tierra consiste en una pila de capas homogéneas siendo vi la
velocidad de cada capa y zi el espesor de cada capa.
Modelo simplificado de las capas de la Tierra
B5. Encontrar el tiempo T empleado por la onda desde el hipocentro
hasta cualquier estación. Expresar el resultado en forma de una integral.
29
En ese caso, al tratare de elementos discontinuos, la integral la aproximamos por un
sumatorio de tres términos
s6,1518,114s0,3182,5)P(T
15·143,01431,0
1431,029·
143,01435,0
1435,026·
143,01504,0
1504,02)T(
;1431,099,6
1u
v
1;;1435,0
97,6
1u
v
1
;1504,065,6
1u
v
1;z
pu
u2z
pu
u2z
pu
u2)T(
22
2
22
2
22
2
3
3
2
2
1
322
3
2
3
222
2
2
21
22
1
2
1
=++=
−+
−+
−=
======
===−
+−
+−
=
El valor de (T) puede calcularse por otro camino basándonos en la figura B4.
A partir del parámetro iv
isenp = calculamos los ángulos de incidencia en cada capa
º32,88i99,6·143,0v·pisenv
isenp
º35,85i97,6·143,0v·pisenv
isenp
º98,71i65,6·143,0v·pisenv
isenp
333
3
33
222
2
22
1i1
1
1
====
====
====
El tiempo empleado en cada capa en la propagación hacia abajo (ver la figura B4), es:
v
icos
z
t
= y es el mismo en la propagación hacia arriba.
4,1468,3183,599,6
32,88cos
15
·297,6
35,85cos
9
·265,6
98,71cos
6
·2)T( ++=++=
B6. A partir del resultado del apartado anterior determine el tiempo (T)
que tarda la onda desde el hipocentro a la estación DNP, suponiendo que la corteza consiste en solamente tres capas (i=1, 2, 3) caracterizadas por las velocidades v1= 6,65 km/s , v2=6,97km/s y v3= 6,99 km/s siendo
p = 0,143 s/km, z1= 6,0 km , z2= 9,0 km , z3= 15 km.
30
Se observa que los dos primeros tiempos son comparables con los obtenidos con el
primer método, no así el tercer tiempo en el que existe una fuerte discrepancia,
probablemente debido a la operación 0,14312-0,1432 dado que en el primer término
solo son exactos los tres primeros decimales..
Si la velocidad de la tercera capa fuese 6,988 km/s el tiempo calculado sería 113,5 s, y
es que pequeñas variaciones en los ángulos próximos a 90º dan lugar a cambios bruscos
en el coseno.
C. El tsunami de Java El terremoto y tsunami del año 2006 en Pangandaran ocurrió el 17 de
Julio a las 15:19:27 hora local en la costa oeste y central de Java.
Durante el terremoto la falla estaba situada en el fondo del océano. El
desplazamiento de la falla produjo una gran onda de agua llamada
tsunami. En otras palabras un tsunami es una gran ola de agua que
inicialmente tiene una amplitud pequeña y una gran longitud de onda.
Considerar que una falla origina una elevación del suelo del océano
como indica la figura 2. Se supone que la energía del terremoto se
transforma en energía potencial del agua que se eleva sobre el océano.
Un modelo simple consiste en que el agua por encima del océano tiene
la forma de una caja rectangular de área L/2 ( L>> ) y una altura h.
Fig. 2. Ilustración de la onda tsunami, d, es la profundidad del océano
31
La masa del agua es
==2
hLVm
El centro de masa está a una altura h/2 respecto de la superficie
La energía potencial
4
ghL
2
h·
2hL
2
hgmE
2
p
=
==
La ecuación general de la velocidad de propagación de las ondas armónicas en un
líquido es
+
=
d2tagh
2
2
gv
Donde d es la profundidad del océano, es la tensión superficial que solamente es
importante para longitudes de onda muy pequeñas, por ello, se aproxima la ecuación
anterior a
=
d2tagh
2
gv
En la aplicación de esta ecuación se distingue entre aguas profundas y superficiales. Si d
es muy grande comparada con la longitud de onda la tangente hiperbólica es próxima a
la unidad y la ecuación se aproxima a
=
2
gv .
Si d es pequeña frente a la longitud de onda la tangente hiperbólica se puede sustituir
por
d2
dgd2
2
gv =
=
Esta ecuación aproximada se aplica a la velocidad del tsunami dado que la longitud de
onda es de varios kilómetros.
La velocidad de un tsunami en el océano alojado de la costa si d = 4000 m
h
km700
s
m19840008,9v == .
C1. Encontrar la energía potencial del agua situada por encima de la superficie del océano debida al terremoto. La densidad del agua de
mar es
C2. Encontrar la velocidad de la onda tsunami hasta el factor sin dimensiones.
32
La ecuación anterior se puede deducir igualando la energía potencial (deducida en C1)
con la energía cinética de la masa de agua de profundidad d puesto que el tsunami
obedece a ondas de agua superficiales
=
=== 22222
2
vdghvL2
d2
1vV
2
1mv
2
1
4
ghL
Al llegar a la costa con muy poca profundidad se puede aproximar dh y la ecuación
queda gdv =
La densidad de energía (energía por unidad de volumen) es proporcional al cuadrado de
la amplitud de la onda. 2kAE Si v es la velocidad de propagación de la onda vE es el
flujo de energía por unidad de área y de tiempo
sm
J
s
m·
m
Jvelocidad·
Volumen
Energía23
=
Para una sección S donde la profundidad es d y la velocidad gd , el producto
gdAkS 2 representa el flujo de energía por unidad de tiempo. Para una sección S en
donde la velocidad es odg el flujo de energía por unidad de tiempo es o
2
o dgAkS ,
si la perdida de energía es pequeña,la ley de la continuidad permite escribir
4
1
o
oo
4
o
4
o
2
o
2
d
dAAdAdAgdkASgdkAS
===
La amplitud de la onda del tsunami aumenta al llegar a la costa,yaque odd
En medio del océano una onda de tsunami tiene una altura que es inferior a 5 metros ,
por ejemplo si A = 1,5 m y la profundidad es 4000 m al llegar cerca de la costa donde
la profundidad es 10 m
m7,610
40005,1A
4
1
o =
=
C3. Utilizando argumentos de energía determinar la amplitud de la onda del tsunami en función de la profundidad, suponiendo que esta varía lentamente y sabiendo que a una profundidad do la amplitud es Ao
33
3.-INFLACIÓN CÓSMICA
Debido al movimiento relativo de las galaxias observado desde la Tierra,
la longitud de onda del espectro visible de una galaxia difiere del de la
propìa galaxia, fenómeno que se conoce con el nombre de efecto Doppler
Se espera que si se escogiese de forma aleatoria un grupo de galaxias , en
cada una de ellas debería de existir un desplazamiento de la longitud de
onda de tal modo que unas tenderían hacia el roj y otras al azul
(negativo).
Sin embargo las observaciones indican, salvo para un grupo cercano de
galaxias, que el desplazamiento es hacia el rojo. Esto es así aun cuando
las observaciones tengan lugar desde diferentes puntos del universo. La
conclusión es que nuestro universo debe estar expansionándose. En otro
aspecto las irregularidades locales del universo pueden despreciarse
cuando las escalas son mayores que 100 Mpc/ 1 pc= 3,26 años-luz).
Para grandes escalas la distribución de un grupo de galaxias es más y
más isotrópo (independiente de la dirección) y homogéneo
(independiente de la posición).
En definitiva consideramos al universo como una materia que tiene
densidad uniforme y que se encuentra en expansión.
A. Expansión del Universo
En un modelo sencillo de nuestro universo consideramos una esfera en
expansión y densidad uniforme, la cual se encuentra sumergida en otra
gran esfera de mucho mayor tamaño con la misma densidad. En un
determinado momento del tiempo el radio de la esfera más pequeña es Rs.
34
Una expresión para indicar la expansión de la esfera en el tiempo es la
ecuación
R(t) = a(t) Rs
a(t) es el factor de escala.
A partir de la ley de Newton de la gravedad puede evaluarse la velocidad
de una masa m que se encuentra en el borde de la esfera y de acuerdo
con el modelo del universo se puede obtener un conjunto de ecuaciones
de Friedmann
(t)2a2sR
2ckρ(t)
1A
2
a
a−=
(1)
Siendo k una constante sin dimensiones y c la velocidad de la luz.
Antes de empezar conviene aclarar qué se entiende por expansión del universo y qué
significa que las galaxias se alejan.
En la vida corriente dos coches en movimiento en una recta y en sentido contrario
decimos que se alejan entre sí. Si aplicamos esto a las galaxias decimos que se alejan
porque se mueven una respecto de la otra, sin embargo, esta interpretación no es
correcta. Las galaxias se alejan porque el espacio se expansiona. Una imagen sencilla
ayuda a entender este hecho
A1. Determine la constante A1 de la ecuación (1)
35
En las imágenes los puntos representan ambas galaxias ubicadas mediante dos
coordenadas ya que ese universo es plano. Al expandirse el espacio las galaxias tienen
las mismas coordenadas (llamadas comoviles), pero la distancia entre ellas ha
aumentado.
Otra imagen es la del globo que aparece en muchos textos, las manchas representan las
galaxias al inflarse el globo la posición de las galaxias es la misma (tienen las mismas
coordenadas comoviles) pero la distancia entre ellas ha aumentado.
La energía potencial de una masa m es: R
mMGE S
P −= .
La energía cinética 2
2
2
C Rm2
1
dt
dRm
2
1vm
2
1E =
==
La energía mecánica total es: 2ST Rm
2
1
R
mMGE +−=
)t(R3
4M 3
s = ; (t) es la densidad del Universo
22232ST Rm
2
1)t(RmG
3
4Rm
2
1)t(R
3
4·
R
mGRm
2
1
R
mMGE +−=+−=+−=
Sustituyendo en la ecuación anterior
SS R)t(aR;R)t(aR ==
36
( ) 2
S
2
T
2
22
2
S
T2
S
22
S
2
T
R)t(am
E2)t(G
3
8
ta
)t(a
)t(a)t(a)t(G3
8
Rm
E2R)t(am
2
1)t(R)t(amG
3
4E
+=
+−=+−=
Luego: 3
G8A1
=
Hasta ahora lo expuesto es no relativista. Sin embargo, se puede
extender a un sistema relativista reinterpretando que 2ρ(t)c es la
densidad total de energía (excluyendo la energía potencial gravitatoria).
En este sistema relativista se llega a la segunda ecuación de Friedmann a
partir de la primera ley de la termodinámica y considerando al universo
como un sistema adiabático
(2)0a
a
2c
pρ
2Aρ =++
En la ecuación p es la presión de la esfera.
Según el primer principio pdVdQdWdQdU −=+= , si el proceso es adiabático
dQ=0, luego 0pdVdU =+
Según la relatividad, Energía= m c2
+
=
===
dt
daa3·
dt
d·acR
3
4
dt
dU
cRa3
4cR
3
4cVU
2323
S
23
S
3232
dt
da·aR4
dt
da·a3R
3
4
dt
dVRa
3
4V 23
S
23
S
3
S
3 ===
A2. Determine la constante A2 de la ecuación (2)
37
( ) ( ) 0c
p
a
a30pc
a
a
3
c0pcaac
3
1
0apcaac3
10aapaa·cac
3
1
0dt
daaR4p
dt
daa3·
dt
d·acR
3
4
2
22
22
2222232
23
S
2323
S
=
++=++=++
=++=++
=+
+
Luego A2= 3
Para resolver las ecuaciones (1) y (2) debe suponerse una relación p=p()
tal que ρ(t)w2c
p(t)= siendo w una constante. Existe otro factor
a
aH
=
denominado parámetro de Hubble. Los valores actuales de los
parámetros se indican mediante un subíndice o, tal como to,o, Ho. Por
sencillez tomamos ao =1.
Se admite que el Universo comenzó con una gran explosión
denominada Big-Bang que produjo radiación de partículas relativistas.
En el transcurso de la expansión, el universo se enfrió y las partículas
pasaron a ser no relativistas. No obstante las observaciones recientes
indican que el universo actual está dominado por la constante
cosmológica densidad de energía. En el caso del fotón a medida que el
universo se expansiona la longitud de onda del fotón se expande
proporcionalmente a un factor de escala.
Sustituimos en la segunda ecuación de Friedmann 2c
)t(p por w (t)
( ) ( ) 0a
aw130w
a
a3 =++=++
La última ecuación la podemos escribir
( )( )
( ) ( )
( )
+−=
+
=−+
+++
=+++
−+
w13a0
w13a·
dt
d
01w13
a·aw13w13
a0a
a·aw13
w13
1w13
A3. Para cada uno de los siguientes tres casos determine el valor de w: (I) un universo lleno solamente de radiación, (II) un universo lleno solamente con materia no relativista, (III) un universo con densidad de energía constante
38
(I) Si el universo solamente tiene radiación o partículas que se mueven a la velocidad de
la luz (por tanto partículas sin masa), su energía cinética conlleva una cierta presión de
radiación de forma p= c2/3 .Sustituyendo en la ecuación de Friedmann
4aCtealn4lna
da4
d
a
4
da
d
a
4
dtda
dtd
a
4
aa
a40
a
a
33
−+−=−=
−=
−=
−=
−==
++
Comparando con
+−
w13a , resulta: ( )
3
1ww134 =+−=−
(II) Si el Universo está lleno de materia no relativista, este sería un universo con
galaxias que no interaccionan salvo por gravedad, entonces p=0
3aCtealn3ln
a
da3
d
a
3
aa
a30
a
a
2c
p3
−+−=
−=
−=
−==
++
Comparando con
+−
w13a , resulta: ( ) 0ww133 =+−=−
(III) En este caso la presión tendría signo opuesto al habitual 2cp −= La derivada de
la densidad de energía es nula 0= , luego la densidad de energía es constante, esto
supone que se está creando energía a medida que el espacio se expande. Esto supone
que w =-1 , para que 0aa)w1(3
=+−
(I) Si k=0 la ecuación primera de Friedmann es: )t(3
G8
a
a2
=
Hemos visto que 4a− y de ella se puede escribir ´Ctea·a.·Cte 44 == −
Aplicando la ecuación entre )o(a)·o()t(a·)t( 44 = , como a(o)=1
)t(a
)o()t(
4
=
Sustituyendo en al ecuación de Friedmann
A4. Si k=0 , encontrar a(t) para los casos (I) y (II) del apartado anterior. Utilice la condición inicial a t=0 =0 para los casos (I) y (II) y la condición ao=1 para (III).
39
t3
)o(G8Cte
2
)t(adt
3
)o(G8)t(da)t(a
3
)o(G8)t(aa
)t(a
1
3
)o(G8
)t(a
a·
)t(a
)o(
3
G8
)t(a
a
2
24
2
=+
=
=
=
=
Cuando t= 0 , a(t=0)=0 ,luego Cte=0.
La constante de Hubble (a
aH
= ) con k=0 vale )t(
3
G8H 2
=
El valor actual es 3
)o(G8Ho
=
tH2)t(atH2
)t(aoo
2
==
(II) Hemos visto que 3a− y de ella se puede escribir ´Ctea·a.·Cte 33 == −
Aplicando la ecuación entre )o(a)·o()t(a·)t( 33 = , como a(o)=1
)t(a
)o()t(
3
=
Sustituyendo en al ecuación de Friedmann
3
2
o
o2
3
2
1
2
1
2
33
2
tH2
3)t(a
0Cte;tHCte)t(a3
2dt
3
)o(G8)t(da)t(a
3
)o(G8)t(aa
)t(a
1
3
)o(G8
)t(a
a·
)t(a
)o(
3
G8
)t(a
a
=
==+
=
=
=
=
(III) CtetHalndtHa
da
a
aH ooo +===
40
Cuando t=to, ln a(t=to) = ln 1 =0 , luego: 0o tHCte −=
)ott(oHe)t(atHtHaln ooo
−=−=
La constante k que aparece en la ecuación (1) del enunciado nos da una
referencia sobre la geometría espacial del universo. Si k= +1 el universo
tiene curvatura positiva (cerrado), si k =0 universo plano (infinito), si
k =-1 curvatura negativa (abierto e infinito) Se define la densidad
como Cρ
ρΩ = , siendo la densidad crítica de energía
1A
2H2cρC
= , A1 se
ha determinado en el apartado A1.
La densidad crítica es . )t(
H
3
G8
G8
H3
A
H)t(
C
22
1
2
C
=
==
)t(a1)t()t(H·
c
R
c
)t(aR1)t()t(Hk
1)t()t(H)t(aR
ck
)t(aR
ck)t()t(H)t(H
)t(aR
ck
)t(
)t(H)t(H
)t(aR
ck
3
G8
a
a
22
2
o
2
2
o
2
2
2
o
2
22
o
222
22
o
2
C
22
22
o
22
−
=
−=
−=−=
−
=−
=
De la ecuación anterior escribimos:
)t(a)t(H·
c
R
1)t(
k 22
2
o
=
−
El término de la derecha es positivo. En el primer miembro si k=+1 el numerador es
positivo, el denominador tiene que ser positivo, luego 1
A5. Escribir la ecuación (1) en función de , H , a y Ro
A6. Encontrar los valores de que corresponden con k=+1,k=0 y k=-1
41
Si k=0 , 1)t()t(a1)t()t(H·
c
R0 22
2
o =−
=
,
Si k=-1 , para que el segundo miembro sea positivo, el denominador 1)t( = tiene que
ser negativo, luego 1)t(
B. Motivo para introducir la fase de inflación y sus Condiciones Generales
La observación de la radiación de fondo de las microondas (CMB)
sugiere que nuestro actual universo es aproximadamente plano. El
problema es que, si esto es cierto, entonces el universo actual debió
comenzar a partir de un universo primitivo plano, por otra parte
cualquier desviación de la forma plana crecería en el tiempo y destruiría
la forma plana actual.
Del apartado A.5
( )
2
22
o
22
2
2
o
222
2
o
a
1k1
a
1·
R
kc1a1
a
a·
R
kc)t(a1)t()t(H·
c
Rk
=−
=−−=
−
=
Ecuación de Freidmann con k=0 : )t(3
G8
a
a2
=
Apartado A3. Universo con radiación
1a;a
a)t(
a
1k;
a
1k)t(
a
1)t( o
4
oO4
o
1o414=
===
tk1t
t4·k1
tt4
1at
2
1·
t
aa
t
taat
t
aatk2a
tk2aka·aa
1·
3
G8a
a3
G8)t(
3
G8
a
a
1
o
1
o
22
1
2
1
o
o2
1
o
o
o
2
o2
oa
2
o
a
2
a2
o2
4
o
2
=−=−
==
===
==
=
=
=
−
−−
B1. Encontrar 1Ω(t)− en función del tiempo cuando el universo
estaba constituido por radiación o materia no relativista (ver cuestión A3.).
42
Apartado A3. Universo con materia no relativista
1a;a
a)t(
a
1k;
a
1k)t(
a
1)t( o
3
oO3
o
1o313=
===
3
2
3
2
3
4
03
2
3
4
0
23
1
3
2
o
o
3
2
o
o
o
2
3
o2
3
oa2
3
oa2
3
a
o2
3
o
2
tk1
t4
t9·k1t
t9
4at
3
2·
t
aa
t
taat
t
aatk
2
3atk
2
3a
kdtdaaka·aa
1·
3
G8a
a3
G8)t(
3
G8
a
a
=−
=−==
====
==
=
=
=
−
−−
Para resolver el problema del universo en un tiempo inicial de su
historia, éste debería tener un periodo de energía constante el cual
conduciría a una expansión exponencial denominado periodo de
inflación.
La teoría de la relatividad general establece dos ecuaciones: 3
G8H;
a
aH
==
Siendo la densidad de energía del universo. Si es constante resulta que H = Cte.
Ctea
a=
La función que al derivarla es igual a ella misma es la función exponencial, luego
tH2tH2tHtH
eH
Cte1e
H
1
a
1eHae)t(a
222
−−=−===
B2. Encontrar 1Ω(t)− para este periodo de energía constante en
función del tiempo. Se supone que 1Ω(t)− <<1
43
En el apartado A3 hemos visto que cuando la densidad de energías es constante w = -1 y
la presión negativa p= - c2 ya que p = w c2.
Derivamos la primera ecuación de Friedmann
( )aa2a3
G8aa2
R
cka
3
G8a
aR
ck
3
G8
a
a 2
2
o
222
22
o
22
+
=−
=−
=
De la segunda ecuación de Friedmann 0c
p
a
a3
2=
++
despejamos y lo
sustituimos en la ecuación superior.
( )
=
−
−=
−−
=
+
+−
=
+
+−
=
+
+−
=
3
G4
a
a
323
G4
c
p32
3
G4
a
a2
c
p3a
3
G4a
2c
p3aa
3
G8aa2aa2a
c
p
a
a3
3
G8aa2
22
2
2
2
El segundo miembro de la ecuación es positivo luego 0a
0aH
1
dt
d0)aH(
dt
d
dt
ada
==
De la ecuación ( )
01
0a
1
a
H
aHa
H
H
aH
HaaH0
aH
1
dt
d2
2
2
2
22
−
−
=
−−
=+−
B3. Mostrar que la inflación implica las siguientes condiciones: presión
negativa, expansión acelerada ( )0a y disminución del radio de
Hubble ( )
0dt
Had1
−
B4. Mostrar que la condición de disminución del radio de Hubble se
puede expresar en función del parámetro 2H
Hε
−= cuando <1
44
La inflación ocurre mientras <1 y luego finaliza cuando =1. Se puede
definir el término ”e-folding” N, tal que dN= d lna = H dt y N==0 al
final de la inflación
C. Inflación generada por la materia distribuida de forma homogénea.
Como ejemplo de un sistema físico sencillo que puede generar un periodo
de inflación es un universo regido por una materia distribuida de forma
homogénea. Esta clase de materia se denomina inflaton y se caracteriza
por una función Φ(t) .
La ecuación dinámica de la materia se expresa por
V´3H −=+ (3)
Siendo ( )= V V una función potencial y
=
V´V . El parámetro de Hubble
+= V
2
1
M3
1H 2
2
P l
2 (4)
MPl es una constante denominada masa reducida de Planck. La fase de
inflación ocurre cuando predomina la energía potencial V sobre la
energía cinética 2
2durante el tiempo suficiente para que el término en
la ecuación (3) se pueda despreciar. Esta condición se denomina
aproximación slow-roll ( desarrollo lento).
Las cantidades y nv= + donde
−=
Hδ se denominan parámetros
“slow-roll”.
A partir de la ecuación (4).diferenciando
( )+= ´VM3
1HH2
2
P l
De la ecuación (3) , −−= H3´V , sustituimos en la ecuación anterior
( ) ( )2
Pl
22
2
Pl
2
Pl M2HH3
M3
1HH2´VH3´V
M3
1HH2
−=−==+−−=
C1. Determinar los parámetros y nv y dN/d en función del potencial
V() y su primera y segunda derivada (V´y V´´).
45
Sustituyendo en la ecuación de
22
Pl
2
2 HM2H
H =−=
La aproximación slow-roll desprecia en la ecuación (3) el término y en la ecuación
(4) el primer término del paréntesis. Las ecuaciones son.
´VH3 −= (5) 2
P l
2
M3
VH = (6)
Diferenciamos la ecuación (6) = ´VM3
1HH2
2
P l
. Sustituimos en esta ecuación V´
de la ecuación (5)
22
Pl
2
22
Pl
22
2
Pl HM2H
H
M2H)H3(
M3
1HH2
=−=
−=−=
22
P l
4
P l
22
P l
´
42
P l
´
2
2
P l
2
2
P l
2 V
´V
2
M
M9
V·M18
V·V
H·M18
V·V
H
HM6
H3
´V·V
H
HM6
´V
H
H
===
−
−=
−=−=
Diferenciando la ecuación (5) H3
H3´V´VH3H3
+−=−=+
V
´VM
M3
V3
´V
H3
´V
H3
´V
H3
´V
H
H
H3
´V
H3
H3´V
H
H3
H3´V
H
2
P l
2
P l
22V
2222
===+−=+=
−=+=+
=
+
=
−=
´V
V
M
1
d
dNd
´V
V
M
1dN
´V
d
M3
V3
´V
dH3d·
H3
´V
HdN
dHdN
dt
d;dtHdN
2
P l
2
P l
2
P l
2
−=
−=
−=
−=
−
=
=
==
46
D. Inflación con un potencial sencillo
Las predicciones de cualquiera de los modelos de inflación se comparan
con las limitaciones observadas del CMB: 0,0060,968nS = y r<0,12,
siendo r=16 y ns= 1+2 nV-6 evaluadas a = inicial para un modelo
inflacionario generado por la materia dominante. Se supone que el
potencial de la materia tiene una forma sencilla n
lM
4ΛV(Φ(
P
Φ
=
Siendo n un entero cualquiera y una constante
En el apartado C1 hemos deducido:
22
P l
V
´V
2
M
= . Calculamos V´.
22
P l
2
n
n
P l
4
1n
n
P l
4
2
P l1n
n
P l
4 n
2
M
·M
n·M
2
Mn·
Md
dV´V
=
=
=
=
−
−
Al terminar la inflación =1
( )2
Mnn
2
Mn
2
M1 Pl
final
22
Pl2
final
2
final
2
Pl ==
=
En el apartado C1 se ha deducido la ecuación
22
P l
V
´V
2
M
=
En el apartado D1 aparece la ecuación
22
P l n
2
M
=
De estas dos ecuaciones se deduce que n´V
Vn
V
´V =
=
D1. Calcular finalΦ al terminar la inflación
D2. Expresar r y nS en función del número e-folding N y el entero n. Estimar el valor de n próximo a los valores observados r y nS. Tome N = 60 en sus cálculos.
47
Del apartado C1
Cten2M
1Nd
nM
1dN
nM
1
´V
V
M
1
d
dN 2
2
Pl
2
Pl
2
Pl
2
Pl
+
−=
−=
−=−=
Cuando 0Nfinal =→= . L a constante vale
( ) ( )2
final2
P l
2
final2
P l Mn2
1CteCte
Mn2
10 =+−=
En el apartado D1 se ha deducido 2
Mn P lfinal =
4
n
n2M
1N
4
n
2
Mn·
Mn2
1Cte
2
2
Pl
2
Pl
2
2
Pl
+
−===
A partir de las ecuaciones
22
P l n
2
M
= y
( )2
MN4nnn2·
4
N4nN
4
n
n2M
1
4
n
n2M
1N
2
Pl22
2
Pl
2
2
Pl
−=
−=−=
+
−=
Sustituyendo en la ecuación inmediata anterior
( ) N4n
n
2
MN4nn
n·
2
M2
P l
22
P l
−=
−=
Calculamos V´ y V´´ a partir de la ecuación del enunciado n
n
P l
4
MV
=
2n
n
Pl
41n
n
Pl
4
)1n(nM
´VnM
´V −− −
=
=
Sustituimos en 2
2
P l
n
n
P l
4
2n
n
P l
4
2
P l
2
P lV
)1n(nM
M
)1n(nM
MV
´VMn
−=
−
==
−
. Ponemos 2 en
función de n ,N y MPl
N4n
)1n(2
2
M)N4n(n
)1n(nMn
2
P l
2
P lV
−
−=
−
−=
48
N4n
)2n(21n
N4n
4n21
N4n
n6
N4n
)1n(416n21n;
N4n
n1616r
S
VS
−
+−=
−
−−+=
−−
−
−+=−+=
−==
Según las observaciones del CBM 698,0n s = , Con N= 60 calculamos n
93,5968,1
68,11n4n268,7n032,0
60·4n
)2n(21968,0 −=−=+=−
−
+−=
Con el valor de n obtenido calculamos r
386,024093,5
)93,5·(16r =
−−
−=
r no está de acuerdo con el valor observado r< 0,12
El modelo aunque es sencillo no está de acuerdo con los valores experimentales.