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José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .

Madrid 2014

1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales De Física

José Luis Hernández Pérez

Ricardo David Fernández Cruz

Jaime Solá de los Santos

Madrid 2014


Madrid 2014

2

XLV. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2014.

KAZAKHSTAN

PROBLEMA 1

Este problema consta de tres partes independientes

PARTE A. Mecánica

Sobre la parte interior de un cilindro hueco de masa M y radio R, con

un espesor de pared pequeño, se coloca un disco de masa m.

Inicialmente el cilindro está en reposo sobre un suelo horizontal y el

disco se encuentra localizado a una altura R por encima del suelo, tal

como puede observarse en la figura

Consideramos un sistema de referencia cartesiano ligado al suelo, dicho sistema de

referencia es inercial. Las fuerzas reales que actúan sobre el cilindro son: peso Mg,

fuerza de rozamiento del cilindro con el suelo FR, fuerza con que el disco empuja al

cilindro Nc, y la fuerza con que el suelo empuja al cilindro N1. Las fuerzas que actúan sobre el disco son: su peso mg y la fuerza con que el cilindro

empuja al disco, Nd. (ver la figura A1).

R

M

m

FR

N1

Mg mg

Nd

Nc

+

+

C C

Encontrar la fuerza de interacción entre el

disco y el cilindro justamente en el instante

en que el disco pasa por la parte inferior de

su trayectoria.

Suponer que entre el disco y la parte

interior del cilindro no existe rozamiento y

que el cilindro se desplaza por el suelo sin

deslizar.

Fig. A1

+ O


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3

Las fuerzas Nc y Nd son de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales:

Nc=Nd=N. La fuerza de rozamiento FR se dirige hacia la derecha, porque cuando el

disco se desplaza por el interior del cilindro, éste se mueve hacia la izquierda.

Al cilindro de la figura A1, le aplicamos las leyes de Newton, desde los ejes inerciales

en O, cuyos sentidos positivos se indican en la figura, (esta cuestión es convencional).

(1)aM2αsenNMaaMαsenNaMR

aRMF

RγacilindroelrodarPor

γRMR

γRM

R

γIF;γIRFM;MaFαsenNF

CCCC

C

R

C

2

RRCCRx

La aceleración del cilindro es un vector paralelo al suelo y dirigido de derecha a

izquierda

Procedemos igual con el disco

- (2)amαsenN X ; N cos α – m g = m ay

La aceleración del disco respecto de O, es un vector con dos componentes. Sin

embargo como en nuestro estudio consideramos el instante en el que el disco llega al

suelo y entonces su velocidad es solo según el eje X y dirigida de izquierda a derecha,

nos basta con tener solo en cuenta la componente según X de la aceleración, sin

necesidad de ocuparnos también de la otra.

Comparando (1) y (2)

CtevmvM2dt

dvm

dt

dvM2ama2M XC

XC

xc

En el instante inicial las velocidades del cilindro y del disco son cero, luego Cte=0

(3)vmvM2 XC

El vector velocidad del cilindro es paralelo al suelo y dirigido de derecha a izquierda

Ambos vectores se han determinado con respecto al sistema inercial ligado al suelo.

La fuerza de rozamiento actúa en el sentido de proporcionar un momento de fuerza para

que el cilindro gire, pero no es una fuerza disipativa por no haber deslizamiento.

La energía inicial del sistema es potencial mgR y cuando el disco pase por la parte

inferior de su trayectoria, la energía es: cinética de traslación del disco, cinética de

traslación del cilindro y cinética de rotación del cilindro. Como no hay rozamiento entre

el cilindro y el disco, éste desliza sin rotar.


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4

(4)vmvM2Rgm2

vm2

1vM

R

vMR

2

1vm

2

1vM

2

1Iω

2

1vm

2

1vM

2

1Rgm

2

X

2

C

2

X

2

C2

2

C22

X

2

C

22

X

2

C

Despajamos vX de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (4).

(5)

m2M

R gM

M

m

m2MM

Rgmv

m

2M1M

Rgmv

m

M2Mv

m

Mv2vMRgm

m

vM4vM2v

m

M2mvM2Rgm2v

m

M2v

2

C

C

22

C

22

C

2

C

2

C

2

2

C

2

C

2

CCX

Sustituyendo (5) en (3)

(6)m2M

gRM2vvm

m2M

gRM

M

mM2 XX

Vamos ahora a determinar la velocidad del disco respecto del cilindro cuando el disco

pase por la parte inferior, pero antes explicamos con un ejemplo el proceso.

Fig. A2

O

Y

Y´

H

X´

t = 0

C

X

vC

vH

O

Y

Y´

H

X´

t´= Δt

C

X

vC

vH xC xH


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5

En la figura A.2, y ligado al suelo se ha considerado un sistema de referencia inercial

OXY. C es un carrito que en el instante t=0 tiene una velocidad vC respecto de OXY y

ligado a él se considera un sistema de referencia O´X´Y´. H representa a un hombre que

se desplaza sobre el carrito con una velocidad vH respecto de OXY. Al cabo de un corto

tiempo las posiciones del H y del carrito C se indican en la segunda figura de A2.

La posición del hombre respecto del sistema ligado al carrito (O´X´Y´) es:

tvtvvtvtvXXX relHCHCHc

En el problema, el carrito es el cilindro hueco y el hombre el disco, por tanto, la

velocidad relativa del disco respecto del cilindro es la suma de vC y vH = vX

La fuerza que el cilindro ejerce sobre el disco en la parte inferior, es igual y contraria a

la suma del peso del disco más la fuerza centrípeta para girar alrededor del punto C,

Fig.A1.

M3

m1gm3

M

m3gm

M

gmg2mgm

M

mM2gR

R

mgmF

M

mM2

mM2

RgM

R

mgm2

M

m

mM2

RgM

R

mgmF

mM2

RgM2

mM2

RgM

M

m

R

mgm

R

vmgmF

2

22

22

rel

PARTE B. Física molecular

Una burbuja de radio r= 5,00 cm contiene un gas ideal diatómico, la

película jabonosa tiene un espesor h= 10,0 m, dicha burbuja está

situada en el vacío. La tensión superficial de la disolución jabonosa es

= 4,00.10-2 N/m y su densidad = 1,10 g/cm3. 1) Determinar la

capacidad molar del gas en el proceso de suministrarle calor de manera

muy lenta de modo que la burbuja permanece en equilibrio mecánico. 2)

Encontrar la expresión de la frecuencia angular de las pequeñas

oscilaciones radiales de la burbuja, en el supuesto de que la capacidad

calorífica de la película jabonosa es mucho mayor que la del gas.


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6

Suponer que el equilibrio térmico se alcanza mucho más rápidamente

que el periodo de las oscilaciones. Ayuda. Laplace demostró que existe una diferencia de presión dentro y fuera de una superficie curvada originada por la tensión superficial de la

interfase entre el líquido y el gas, siendo r

σ2Δp

1. La película jabonosa tiene dos superficies, debido a tener un cierto espesor h, sin

embargo éste lo vamos a considerar muy pequeño frente al radio, por lo que podemos

hacer una aproximación considerando a los dos radios, interior y exterior, iguales. En

consecuencia la presión capilar es: .r

σ4 Dado que la presión externa es nula y existe

equilibrio mecánico, esa es la presión del gas contenido en la burbuja.

Aplicamos el primer principio de la termodinámica

(1)dT

dV

n

pCCdVpdTCndTCndQ VV

Aplicamos la ecuación de los gases perfectos al gas que está contenido en la burbuja.

drrπ3

12dVrπ

3

4V

nR

drrπ3

32

dTdTnRdrrπ3

32TRnrπ

3

16nRTrπ

3

4

r

σ4

23

23

Sustituyendo en (1)

R4R2

3R

2

5R

2

3C

nR

drσrπ

3

32

drrπ3

12

rn

σ4CC V

2

V

2) En principio, al suministrar una cantidad de calor al gas contenido en la burbuja

aumentaría su temperatura y además intercambiaría energía calorífica con la solución

jabonosa

JJ

GG

JJGGcm

ΔtcmΔt´Δt´cmΔtcm

Teniendo en cuenta, según el enunciado, que cJ>>cG , t´ tiende a cero, esto significa

que la película jabonosa mantiene su temperatura y además el gas también la mantiene,

por tanto, consideramos el proceso isotérmico y a costa de la energía recibida, efectuará

trabajo contra la burbuja que aumenta de volumen, pero como es de comportamiento

elástico esta membrana efectuará oscilaciones entre dos posiciones de distintos radios.


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7

Imaginemos que la burbuja en un instante t, tiene un radio r+x, siendo x pequeño

comparado con r.

La diferencia entre la fuerza debida a la presión del gas (ahora designado con p´) y la

debida a la tensión superficial crea una fuerza resultante que tiende a llevar a la burbuja

a su radio primitivo. En esta situación se producirán un conjunto de oscilaciones

radiales de la burbuja. La ecuación diferencial.

(1)dt

xdmxr·4π4σxr·4πp;

dt

xdmxr·4π

xr

2σ2·xr·4πp

22

22

222

Veamos la relación entre p´ y la presión del gas p, cuando los radios son: r y r+x.

2233

3

3

3

xr3xr3xr

rp

xrπ3

4

rπ3

4

pV´

Vpp´p´V´pV

Puesto que x<< r , los términos de x al cubo y al cuadrado los despreciamos

r

3x1

r

σ4p´

r

3x1p

r

x91

r

x31

p

r

3x1

r

3x1

r

x31

p

r

3x1

1p

xr3r

rpp´

2

223

3

Considerando el espesor h de la burbuja. La masa m de la película jabonosa es:

·h·ρrπ4ρVm 2

Sustituyendo en (1)

2

222

dt

xd··h·r4xr4·4xr4

r

x31

r

4

2

22

22

dt

xdρhrx4σr4σ

r

xr2

r

x

r

r)·

r

3x(14σ

2

22

2

2

3

2

222

dt

xdhρrx4σr4σ

r

x6

r

x3

r

xr32x

r

x

r

r·4σ

2

22

dt

xdhρrx8σx4σr4σxr4σ ; ; )2(;

dt

xdx

hr

82

2

2

Como en un movimiento vibratorio armónico es x·dt

xd 2

2

2

; identificando:

h

2

r

2

hr

82

; 1

36

12

2108

·1100·10.10

·10.00,4·2

10.5

2

s

mkgm

mN

m


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La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple

PARTE C. Electricidad

En el instante inicial el interruptor S (ver figura) está abierto y el

condensador 1 de capacidad 2C posee una carga qo ; el condensador 2 de

capacidad C está descargado y por las bobinas, de coeficientes de

autoinducción L y 2L respectivamente, no pasa corriente.

Cuando S esté abierto el circuito de la figura superior es un circuito oscilante con

capacidad CE y autoinducción LE = L+ 2L =3L.

C3

2C

C

1

2C

1

C

1E

E

El periodo de dicho circuito es:

LC2

1ωLC2π2C

3

2L3π2CLπ2T EE

Designamos con t al tiempo transcurrido desde que se ha iniciado la descarga, con q1 la

carga eléctrica del condensador 1 y con q2 la del condensador 2 y con I la intensidad de

la corriente eléctrica que circula por las bobinas.

Según el principio de conservación de la carga eléctrica.

21o qqq

Dado que no existen resistencias en el circuito, aplicamos el principio de conservación

de la energía

1

2

L

2L

2C

C

S

El condensador 1 comienza

a descargarse y justamente

cuando la corriente que

circula por las bobinas es

máxima, se cierra de forma

instantánea el interruptor S.

Determinar la intensidad

máxima de corriente que

circula por S.


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9

)1(CL6

q4qq3qI

2

q4qq3q

C2

qq2qq2qq3LI

IL3C

qq

C2

q

C2

qI3L

2

1

C

q

2

1

C2

q

2

1

C2

q

2

1

1o

2

1

2

o

1o

2

1

2

o1o

2

1

2

o

2

1

2

o2

2

2

1O

2

1

2

o22

2

2

1

2

o

Para determinar la intensidad máxima de la corriente derivamos la ecuación (1)

respecto de q1 e igualamos a cero

ooo2

01o1

1o

2

1

2

o

o1

1

q3

1q

3

2qq

q3

2q0q4q60

qq4q3q2

q4q6

CL6

1

dq

dI

Sustituimos estos valores de las cargas en I.

CL18

q

LC6

q3

2q4q

9

43q

I ooo

2

o

2

o

max

(2)

Al cerrar instantáneamente el interruptor S, en el circuito superior el condensador tiene

una carga (2/3) qo , y la bobina almacena una energía 2

max LI2

1. La intensidad máxima

en el circuito superior IMS, se producirá cuando la energía almacenada en el

condensador pase a la bobina.

max

o

2

o

MS

2

o

2

o2

MS

2

MS

2

o

2

o2

MS

2

max

2

o

I5CL18

q5

CL18

q5I

CL18

q

CL18

q4I

ILCL18

qL

C18

q4IL

2

1IL

2

1

2C

q3

2

2

1

En el circuito inferior la intensidad máxima IMI


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10

max

o

2

o

MI

2

o

2

o2

MI

2

MI

2

o

2

o2

MI

2

max

2

o

I2CL18

q2

CL18

q2I

CL18

q

CL18

qI

IL2CL18

qL2

C9

qI2L

2

1IL2

2

1

C

q3

1

2

1

Las intensidades máximas anteriores no coinciden en el tiempo a través de S.

En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito superior la energía del

condensador supera a la energía almacenada en la bobina.

36C

q

18LC

qL

2

1LI

2

1E;

C9

q

C36

4q

2C

q3

2

2

1E

2

o

2

o2

maxL

2

o

2

o

2

o

C

Por consiguiente a partir del instante de cierre de S, el condensador 1 se sigue

descargando. La ecuación de la intensidad de la corriente en el circuito superior es:

θtωsenI5θtωsenIi maxMSS

En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:

5

52

25

51θcos

5

5

5

1θsenθsenI5Ii maxmaxS

En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito inferior la energía de la

bobina es igual que la del condensador

C18

q

18LC

qLI2L

2

1E;

C81

q

C

q3

1

2

1E

2

o

2

o2

max2L

2

o

2

o

C

El condensador sigue recibiendo carga.

tωsenI2tωsenIi maxMSI

En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:

2

2

4

21ψcos

2

2

2

1ψsenψsenI2Ii maxmaxI


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11

El diagrama rotatorio para las dos intensidades es:

C2L

q

CL18

q33II

02

22

5

55IψsenI2θsenI5(Y)I

3I2

22

5

525IψcosI2θcosI5(X)I

oo

maxS

maxmaxmaxS

maxmaxmaxmaxS

maxI5

maxI2


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12

PROBLEMA 2. Ecuación de estado de van der Waals

La conocida ecuación de estado de los gases ideales parte de la

suposición de que las moléculas ni tienen tamaño ni interactúan entre

sí. En realidad sí que tienen un tamaño finito e interaccionan entre

ellas.

Todas las partes de este problema se refieren a un mol de agua.

Parte A. Ecuación de estado de un gas no ideal

Teniendo en cuenta el tamaño finito de las moléculas la ecuación de

estado de un gas se escribe como RTbVP

P es la presión del gas, V el volumen ocupado por el gas y T la

temperatura, R es la constante de los gases, b representa una constante

extraída a partir del volumen de las moléculas.

El término b se introduce en la ecuación de los gases ideales restando del volumen V

medido del gas un volumen relacionado con el tamaño de las moléculas. A primera vista

se podría restar el volumen de las NA moléculas que existen en el mol de gas, pero esto

no es correcto porque las moléculas, consideradas como esferas rígidas, no pueden

aproximarse tanto como para tocarse entre sí, puesto que aparecen fuerzas eléctricas

repulsivas, esto conlleva a considerar a b mayor que el volumen de las moléculas. Las

estimaciones más sencillas suponen que b es cuatro veces el volumen de las

moléculas.(Puede consultarse el razonamiento en Química-Física de S.Glasstone,

página 270 .Editorial Aguilar).

3

AA

3

d2NN2

dπ

3

44b

Van der Waals propuso una ecuación, en la que se incluía un término en

la presión para considerar las fuerzas intermoleculares, que de forma

aproximada describen los estados gaseoso y líquido de la materia.

TRbV2V

aP

En dicha ecuación a es una constante.

A1. Estimar b y expresarla en función del diámetro d de las moléculas


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13

A una temperatura T inferior a la de un valor crítico TC la ecuación de

van der Waals, cundo se representa en un diagrama P-V, proporciona

una isoterma (curva 1 de la figura 1) denominada isoterma de van der

Waals, En la misma gráfica la curva 2 representa a un gas ideal para

esa misma temperatura.

La isoterma 1 de la figura 1 se separa de la isoterma real porque entre

B y A existe una línea recta trazada a una presión constante PLG Este

segmento recto se localiza entre los volúmenes VL (líquido) y VG (gas) y

Fig.1.- Isoterma de van der Waals de gas líquido (curva 1) y la isoterma de un gas ideal (curva 2 ).

Fig.2.- Diferentes isotermas de la ecuación de van der Waals


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14

representa que en esa zona coexisten en equilibrio las fases líquida y

gaseosa. A partir de la segunda ley de la termodinámica J. Maxwell

demostró que PLG debe escogerse cuando las áreas I y II (sombradas en

la figura 1) sean iguales.

Si se aumenta la temperatura, el segmento recto AB de la isoterma se

reduce a un punto en el que la temperatura y la presión son Tc y PGL=PC.

Los parámetros TC y PC se denominan críticos y por la vía experimental

se miden con gran precisión.

La isoterma TC presenta un punto de inflexión lo cual se traduce, desde el punto de

vista matemático, en dos ecuaciones:

0dV

Pdy0

dV

dP

T

2

C

C

2

TC

C

Despejamos PC de la ecuación de van der Waals y hallamos las derivadas

3C

4

C

C

4

C

3

C

C

4

C

4

C

CC

T

2

C

C

2

2

C

3

C

C

3

C

2

C

C

TC

C

2

CC

CC

bV

V

TR

a3

V

a6

bV

TR2

V

a6

bV

bV2TR

dV

Pd

bV

V

TR

a2:0

V

a2

bV

TR

dV

dP;

V

a

bV

TRP

Dividiendo miembro a miembro las dos últimas ecuaciones

b27

a8T R;b

4

27

T R

a2

bb3

b27

T R

a2

b3VbV

V

2

3

bV

V

bV

V

TR

2a

TR

3a

C

C

2

3

C

C

C

C

2

C

3

C

3

C

4

C

C

C

Sustituyendo en la ecuación de van der Waals

A2. Expresar las constantes a y b de la ecuación de van der Waals en función de TC y PC


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15

C

2

C

2

C

C

P

TR

64

27a

P8

TRb

2

C

C

C

C

CC

C

C

C

c

2

222C2C

C

2C

P8

TRP27a

b2

TRP3P

b2

TR

P27

a9

aP:ecuaciónprimeralaensusttyendo;

27P

ab

b27

a

b9

a

b27

a4P

2bb27

a8

b9

aP

b2

TR

b9

aP

mol

m3,1.10

m

N2,2.108

K647Kmol

mN8,31

b

mol

mPa0,55

mol

mN0,55

m

Nmol

mN

0,55

m

N2,2.10

K647Kmol

J8,31

64

27a

35

2

7

2

6

2

4

2

2

22

2

7

2

2

O2

H

O2

H

Según el apartado A1

m3,0.10mol6,02.102

mol

m3,1.10

2N

bd 103

123

35

3

A

Parte B. Propiedades de gas y líquido

Esta parte del problema se refiere a las propiedades del agua en los

estados gaseoso y líquido a la temperatura de T = 100ºC. La presión del

A3. Para el agua, TC=647 K y PC=2,2.107 Pa. Calcular las constantes a y

b del agua

A4. Estimar el diámetro de una molécula de agua


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16

vapor saturado a esa temperatura vale PGL= Po = 1,0.105 Pa y el volumen

molar del agua es = 1,8.10-2 kg/mol.

Estado gaseoso

Resulta razonable suponer que VG>>b es válida para la descripción de

las propiedades del agua en el estado gaseoso

A partir de la ecuación de van der Waals

TRbVV

ap G2

G

o

Teniendo en cuenta la suposición del enunciado GG VbV

o

o

22

GG

2

Go

G

Gop2

ap4TRRTV0aTVRVpRT

V

aVp

Para decidir entre el signo más o el menos, apliquemos la ecuación obtenida a un gas

ideal para el que a =0

RTRTVp2 Go

Si el signo fuese negativo VG =0, lo cual es imposible , por tanto, la solución es.

o

o

22

Gp2

ap4TRRTV

(1)

Sustituyendo valores en la ecuación anterior

3

5

52

G m0,03081,0.102

0,551,0.1043738,313738,31V

Si utilizamos la ecuación de los gases ideales

3

5

o

Go m0,03101,0.10

3738,31

p

RTV

Si empleamos la ecuación de los gasea ideales se obtiene prácticamente el

mismo volumen.

B1. Obtener la formula de VG expresándola en función de R, T , po y a

B2. Obtener el porcentaje de disminución del volumen debido a las

fuerzas intermoleculares.Go

GGo

Go

G

V

VV

V

ΔV


Madrid 2014

17

Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación (1), VG=0,0308 m3

Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación de los gases ideales,

VGo=0,0310 m3

% 0,651000,0310

0,0308-0,0310%

Si el volumen del sistema se reduce por debajo de VG el gas comienza a

condensase. No obstante un gas muy puro puede permanecer en ese

estado metaestable, llamado vapor subenfriado, hasta que el volumen

alcanza un cierto valor VG min

En la figura 1, la isoterma de van der Waals penetra en la región en que coexisten las

fases gas y líquido y esa isoterma adquiere un valor máximo. Admitimos que el gas se

puede mantener como tal hasta ese punto, en el que se cumple que 0dV

dP

T

.

Despejamos la presión de la ecuación de van der Waals y hacemos la derivada

0

V

2a

bV

TR

dV

dP

V

a

bV

TRP

3

min

2

minGT

2

G

Hacemos la aproximación GminGmin V bV

783,55.10

0,0308

V

V

mol

m.1054,3

K733Kmol

Nm8,31

mol

mN0,552

TR

a2V

V

2aRT

4

Gmin

G

34

2

4

Gmin

Gmin

Estado líquido

Para el estado líquido resulta razonable admitir que P<<a/V2

B3. Evaluar cuántas veces el volumen del vapor de agua se puede reducir para que el gas permanezca en ese estado metaestable. En otras palabras determine el cociente VG/VGmin

B4. Expresar el volumen del agua líquida VL en función de a , b , R y T


Madrid 2014

18

La ecuación de van der Waals aplicada con la condición del enunciado da lugar a:

TR2

a

TbR411a

TR2

a

TbR41aa

V

TR2

TbRa4aaV0abaVRTVRTbV

V

a

L

2

LL

2

LL2

L

Surge la duda sobre qué signo debe utilizarse en la ecuación anterior.

La densidad del agua a 100ºC es 0,958 g/cm3 Un mol de agua (0,018 kg) en estado

líquido ocupa un volumen a 100ºC de

35

33m1,72.10V

V

kg0,018

m0,958.10

aguadekg1

El cociente 5

3

5 10.72,1m

kg8,9.10

3738,312

0,55

T2R

a

, por consiguiente el

término incluido en el paréntesis debe ser menor que la unidad y eso conlleva utilizar el

signo menos.

Calculemos el volumen que ocupa un mol de agua a 100ºC proporcionado por la

ecuación deducida anteriormente, empleando el signo menos.

355

L m4,01.100,55

3738,313,1.10411

3738,312

0,55C)(100ºV

Como se observa un valor muy diferente del valor experimental, lo que en definitiva nos

dice que la ecuación de van der Waals no puede aplicarse en estado líquido si

queremos obtener valores que se acerquen razonablemente a los experimentales.

Suponiendo que bRT<< a encontrar las siguientes características del

agua. ¡ No se sorprenda si alguno de los datos obtenidos no coinciden con los valores

tabulados conocidos!

Hagamos un comentario sobre la suposición del enunciado

T 50 100 150 200 250 300

bRT= 0,012 0,026 0,039 0,051 0,064 0,077

B5. Expresar la densidad del agua líquida en función de , a , b y R y

calcular su valor


Madrid 2014

19

a/bRT 46 21 14 11 8,6 7,1

La suposición de que a>>bRT se cumple cuando T tiende a cero, si ponemos esta

condición en la ecuación de van der Waals, el segundo miembro tiende a cero y el

primero debe hacerlo para mantener la igualdad, luego VL-b tiende a cero, esto es, el

volumen tiende al valor de b

335l m

kg581

mol

m3,1.10

mol

kg0,018

b

μ

V

μρ

Calculamos la densidad del agua líquida a 100ºC

35C100ºm

kg944

10.01,4

0,018ρ

Un resultado que nada tiene que ver con la densidad del agua a 100º C que según las

tablas es 958 kg/m3

.Volvemos a lo comentado en el apartado anterior la ecuación de van der Waals no es

aplicable al estado líquido a 100ºC

Escogemos la ecuación

a

TRb411

2RT

aVL y representamos VL frente a T a

temperaturas bajas con lo que se obtiene prácticamente una línea recta de ecuación

B6. Expresar el coeficiente de expansión térmica ΔT

ΔV

V

1α L

L

en función

a,b, R y dar su valor.


Madrid 2014

20

y = 2E-08x + 3E-05

R2 = 0,9983

0,0000285

0,000029

0,0000295

0,00003

0,0000305

0,000031

0,0000315

0 50 100 150 200

temperatura en K

Vo

lum

en

en

m3

14

58

8

8

58

8

l

58

L

K6,3.103.10752.10

2.10α75KTpara

TT´

TT´2.10

3.10T2.10

1αTT´2.10ΔV3.10T2.10V

Para T =20 K ; = 6,6.10-4 K-1 ; Para T =293 K , = 5,6.10-4 K-1

El coeficiente del agua a 20 ºC es 2,1.10-4 K-1

.

El término de la ecuación de van der Waals que tiene en cuenta la interacción molecular

es: 2

La/V , término que tiene las dimensiones de una presión .Veamos la variación de ese

término al pasar del líquido a gas

B7. Expresar el calor de vaporización del agua en función de , a , b ,R y calcularlo.


Madrid 2014

21

kg

J.1067,0

mol

m4,01.10

mol

kg0,018

mol

mN0,55

L

a

TRb411

2RT

aμ

a

Vμ

aL

V

a

V

a

V

adV

V

aμLE

6

35

2

4

LLLG

2

GV

LV

El calor latente de vaporización del agua que se encuentra en las tablas es 2,26,106 J/kg,

como se observa valor muy discrepante de este cálculo.

Suponemos que las moléculas cuando forman una superficie molecular están en

contacto entre si. Si hay NA moléculas (imagínese que son cubos) ofrecen una superficie

OHA 2lN2 , siendo OH2

l la longitud de la arista y el 2 porque se forman dos superficies

una por arriba y otra por debajo.

La tensión superficial se define como la energía que hay que aportar por unidad de

superficie.

Si las NA moléculas pasan del estado gaseoso a formar la capa monomolecular la

energía el L (expresado en J/mol). Al suponer que las moléculas se tocan la longitud de

la arista coincide con OH2d , obtenido en el apartado A1.

2210123

6

2

OHA m

J0,12

m3.10mol6,02.102

mol

kg0,018

kg

J0,76.10

dN2

Lσ

2

La tensión superficial del agua en contacto con aire y a una temperatura de 20ºC es

0,073 J/m2 .

Nosotros opinamos que no deberían haberse incluido estos apartados en el

problema, dado que los valores obtenidos tan lejos de los reales pueden desorientar al

alumno.

Parte C. Sistema líquido –gas

La regla de Maxwell implica que sean iguales las áreas I y II en la

figura 1 determinadas por la recta AB que corta a la isoterma de van der

Waals junto con las aproximaciones realizadas en la parte B, conducen

B8. Considerar una capa monomolecular de agua, estimar la tensión superficial del agua.


Madrid 2014

22

a que la presión de vapor pLG dependa de la temperatura según la

ecuación

T

BApln

LG

en la que A y B son constantes que pueden expresarse en función de a y

b

Rb

aB;1

2b

alnA

Designamos con pV la presión del vapor saturado en la superficie libre del líquido y con ´

Vp , la presión del vapor justamente encima de la superficie del menisco de radio r.

Nos piden la diferencia entre estas presiones, que tiene que ser un valor muy pequeño.

El equilibrio de presiones medidas a la altura del menisco y a la misma altura en el

líquido nos conduce a:

C1. Encontrar el pequeño cambio de presión pT del vapor saturado sobre la superficie curvada del líquido, expresándolo en función de la

densidad del vapor, S, la densidad del líquido, L, la tensión

superficial, y el radio de la superficie ,r.

W.Thomson demostró que la presión

del vapor saturado depende de la

curvatura de la superficie del

líquido. Considérese un líquido que

no moja al capilar (ángulo de

contacto 180º), al sumergir el capilar

en el líquido el nivel disminuye

respecto de la superficie libre del

líquido debido a la tensión

superficial.(ver la figura 3). Fig.3.- Un tubo capilar está

sumergido en un líquido que no moja al material del capilar.


Madrid 2014

23

SL

S

SL

LSL

T

SL

L

SL

LLTV

´

V

SL

SVLV

´

VLV

ρρ

ρ

r

σ2

ρρ

ρρρ

r

σ2Δp

1ρρ

ρ

r

σ2

r

σ2-

ρρgr

σ2gρ

r

σ2-hgρΔppp

ρρgr

σ2h

r

σ2hgρphgρp

r

σ2phgρp

Los estados metaestables considerados en el apartado B3 se utilizan

ampliamente en experimentos reales como la cámara de niebla empleada

en el registro de partículas elementales. También ocurre en fenómenos

naturales, tales como la formación de rocío matinal en donde el vapor

subenfriado se condensa formando gotas. Las gotas muy pequeñas se

evaporan rápidamente pero las que tienen cierto tamaño pueden crecer

aún más. .

Calculamos las presiones del vapor saturado a 20º C y a 15º C.

Pa1,32.10C)p(15º11,79288

213519,2C)p(15ºLn

Pa1,49.10C)p(20º11,9293

213519,2C)p(20ºLn

21358,313,1.10

0,55B;19,21

3,1.10

0,55lnA

5

5

525

Si la presión de la gota es mayor que la exterior tenderá a evaporarse y si es menor

tenderá a crecer, en el límite

5

sL

s5

T 1,49.10ρρ

ρ

r

σ21,32.10C)p(20ºΔpC)p(15º

La densidad del vapor la calculamos suponiendo que el vapor se comporta como un gas

ideal

C2. Suponer que al anochecer y a la temperatura de te=20ºC, el aire se encuentra saturado de vapor de agua, pero al amanecer del día

siguiente la temperatura ha descendido en T=5,0º C. Suponiendo que la presión de vapor no ha cambiado estimar el radio mínimo de las gotas que todavía pueden crecer.

Utilizar la tensión del vapor del agua de las tablas, cuyo valor es = 0,073 N/m


Madrid 2014

24

m.105,89990,17.10

0,990,0732r0,17.10

0,991000

0,99

r

0,0732

m

kg0,99

288KKmol

mN8,31

mol

kg0,018

m

N1,32.10

TR

μC)p(15ºρ

9

5

5

3

2

5

S

Los valores de las tablas de la presión de vapor de agua saturado son: a 15ºC , 1,71 kPa

y a 20ºC , 2,34 kPa.

Aplicando estos datos:

m1,9.101000

0,0130,0732r

m

kg0,013

8,31.288

0,0181710ρ;630

ρρ

ρ

r

σ2 6

3S

sL

s


Madrid 2014

25

PROBLEMA 3. Un modelo simple de la descarga en un gas

Una corriente eléctrica que circula a través de un gas recibe el nombre de

descarga eléctrica en un gas. Existen diversos tipos de descargas, como

la de las lámparas incandescentes, la descarga en arco en la realización

de soldaduras y la conocida descarga eléctrica entre las nubes y la tierra

en forma de rayo.

Parte A. Descarga en un gas no automantenida

En esta parte del problema se estudia la descarga de un gas no

automantenida. Para mantener la descarga de forma permanente se

necesita que actúe un ionizador externo, Zext ,el cual crea por pares iones

y electrones libres por unidad de volumen y por unidad de tiempo de

forma uniforme en todo el volumen.

Cuando el ionizador externo está en funcionamiento, el número de

electrones e iones en el gas aumenta. El aumento de la densidad de

electrones y de iones en el gas se contrarresta debido a un proceso de

recombinación por el que se unen electrones con iones para formar

átomos neutros. El número de recombinaciones Zrec en el gas por unidad

de volumen y de tiempo esta dado por

inenrrecZ

En la anterior ecuación, r es una constante denominada coeficiente de

recombinación, ne y ni son las densidades de los electrones y los iones

respectivamente.

Suponer que el tiempo t=0, se conecta el ionizador externo y las

densidades de los electrones y de los iones son nulas. La densidad de

electrones ne(t) depende del tiempo según la ecuación:

bttaghαon(t)en

no, a y b son constantes y tagh es la tangente hiperbólica.

Al actuar el ionizador en el seno del gas aparecen iones al mismo tiempo una parte de

ellos desaparece por recombinación En un principio se producen más iones que

desaparecen, pero a medida que su número crece aumenta la recombinación por lo que

tras un tiempo grande, su número permanece constante.

La velocidad de variación de la densidad de los iones (o de los electrones) con respecto

del tiempo vale;

A1. Expresar no , a y b en función de Zext y de r.


Madrid 2014

26

ieextrecext nnrZZZdt

dn

Como se producen los mismos iones que electrones, ne=ni = n(t), al sustituir en la

ecuación anterior

2

oext

2

ext bt)taghar(nZnrZdt

dn

Según el enunciado en el tiempo t=0, no hay ni iones ni electrones, por tanto no =0.

Cuando transcurra un tiempo grande, t , y ya no varíe la densidad de electrones

sino que se mantiene constante 0dt

dn .

r

ZaarZ

0e

0earZ

ee

eearZbttagharZ0

ext2

ext

2

2

ext

2

2

ext

22

ext bt

bt

btbt

btbt

b?

Suponer que existen dos ionizadotes disponibles. Cuando el primero

funciona la densidad de electrones en el gas alcanza un valor de

equilibrio de ne1=12.1010 cm-3. Cuando lo hace el segundo el valor de

equilibrio para la densidad de electrones es ne2=16.1010 cm-3 .

Cuando funciona el primer ionizador y se alcanza el equilibrio.

: r

Zan;

r

Za

1

ext

e1

1

ext

Cuando funciona el segundo ionizador y se alcanza el equilibrio.

: r

Zan;

a

Za

2

ext

e2

2

ext

Cuando funcionan los dos ionizadotes simultáneamente

3112102102

e2

2

e1e

2

e2

2

e1

2

ext

1

ext2

e

2

ext

1

ext

e

2

ext

1

extext

cm2.1016.1012.10nnn

nnr

ZZn

r

ZZan;

r

ZZ

r

Za

A2. Encontrar la densidad de electrones ne en el equilibrio si los dos ionizadores externos funcionan simultáneamente.


Madrid 2014

27

¡Atención! A continuación se supone que el ionizador

externo está funcionando durante un largo periodo de

tiempo de modo que el proceso se encuentra en estado

estacionario , esto es, no depende del tiempo. No se considera

el campo eléctrico de los portadores de carga.

Se supone que el gas llena un cilindro que tiene dos platos conductores

en sus extremos de área S cada uno y separados entre sí una distancia

SL . Por medio de los platos se aplica al cilindro un voltaje U que

crea un campo eléctrico E entre los mencionados platos. Admitir que las

densidades de ambas clases de cargas permanecen prácticamente

constantes a lo largo del cilindro.

Debido al campo eléctrico E, ambos portadores de cargas (electrones, e,

e iones i) tienen la misma velocidad v proporcional al campo v= E,

expresión en la que es una constante llamada movilidad de la carga.

En el estado de equilibrio dentro del cilindro se están produciendo electrones por unidad

de tiempo: Zext LS. En esa unidad de tiempo desaparecen por recombinación Zrec LS, y

además existe una intensidad de corriente Ie. Si n representa los electrones que

desaparecen al llegar al ánodo (electrodo positivo) que forman parte de la intensidad de

la corriente, la carga es ne y por definición de intensidad

e

I

t

n

t

neI e

e

El balance por unidad de tiempo en el estado estacionario es:

e

ISLnnr

e

ISLZSLZ e

ie

e

recext

Como se producen los mismos iones que electrones, el argumento anterior sirve para los

iones

e

ISLnnr

e

ISLZSLZ i

iei

recext

La intensidad de la corriente electrónica es EβSe

InEβSenvSenI e

eeee y la

de la corriente iónicaEβSe

InEβSenvSenI i

iiii

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores y sumándolas

A3. Expresar la corriente eléctrica I en el cilindro en función de U, , L, S , Zext , r y e ( e = carga elemental de electricidad)


Madrid 2014

28

2e

II

EβSe

IISLrSLZ

e

II

EβSe

I

EβSe

ISLr2SL2Z ie

2

ie

ext

ieie

ext

Designamos con I a la intensidad total y como la contribución de la corriente electrónica

y la iónica son iguales, resulta que 2

IIIIII ieie . La relación entre el

campo E y el voltaje aplicado es U = E L, sustituyendo en la última ecuación

0SLZIe2

1I

SUβe4

Lr

2e

I

SUβe4

ILr

2e

I

UβeS

4

ILr

SLZ ext

2

222

3

222

23

2

2

ext

L

Resolviendo la ecuación de segundo grado

3

22

ext

4

22

22

3

ext22

3

222

3

ext22

3

222

3

ext222

3

2

Lr

Uβ

ZLr411-SUβe

SUβe

Lr

SLZSUβ

Lr411

I

SUβe2

Lr

SLZSUβ

Lr41

e2

1

e2

1

SUβe2

Lr

SLZSUβe4

Lr4

e4

1

e2

1

I

I tiene que ser positivo por ello se ha elegido el término positivo en la solución.

Si el voltaje aplicado U es suficientemente pequeño 1Uβ

ZLr422

ext

4

, aproximamos el

término de la raíz cuadrada de la ecuación anterior a:

A4. Encontrar la resistividad gas cuando el voltaje aplicado sea

suficientemente pequeño y expresarlo en función de , L , Zext , r y e.


Madrid 2014

29

ULr

ZrS βe2Zr

Uβ

L2

Lr

SUβeI

ZrUβ

L2asaproximamo

Uβ

ZLr41

ext

ext

2

3

22

ext

2

22

ext

4

La última ecuación es la ley de Ohm I=U/R, de donde deducimos R

extext

gas

ext

gasZ

r

βe2

1

rZβe2

rρ

ZrSβe2

Lr

S

Lρ

I

UR

Parte B. Descarga en un gas automantenida

En esta parte del problema se considera cómo la ignición de una

descarga del gas automantenida conduce a que la corriente eléctrica en

el cilindro sea automantenida.

¡Atención! En lo que sigue se supone que el ionizador

continua funcionando con la misma rapidez Zext , se desprecia

el campo eléctrico debido a los portadores de carga por lo

que el campo eléctrico a lo largo del cilindro es uniforme y

la recombinación no se tendrá en cuenta.

En la descarga del gas automantenida existen dos procesos importantes

que anteriormente no se habían considerado. El primero es la emisión

secundaria de electrones y el segundo la formación de una avalancha de

electrones.

La emisión secundaria

ocurre cuando los

iones chocan con el

electrodo negativo,

llamado cátodo, y los

electrones rebotan

hacia el electrodo

positivo, llamado

ánodo. El cociente

entre el número de


Madrid 2014

30

electrones que rebotan por unidad de tiempo Ne, y los que chocan contra

el cátodo Ni es el denominado coeficiente de emisión electrónica

secundaria

iN

eNγ .

La formación de la avalancha electrónica se explica a continuación. El

campo eléctrico acelera a los electrones libres, los cuales adquieren la

suficiente energía cinética para que al chocar contra los átomos del gas

los ionicen, y como resultado de este proceso, el número de electrones

que se desplazan hacia el ánodo aumenta considerablemente. Este

proceso se describe mediante el denominado coeficiente de Townsend ,

el cual caracteriza un incremento en el número de electrones dNe ,

debido a los electrones Ne que han atravesado la distancia dl

eNαdl

edN

La corriente total I en una sección normal del cilindro que contiene el

gas es la suma de dos corrientes: una iónica Ie(x) y una electrónica Ie(x).

En el estado estacionario esta última corriente depende de la coordenada

x, véase la figura superior.

La corriente electrónica Ie(x) varía a lo largo del eje X según la ecuación

2

x1

A

1AeC(x)eI

Siendo A1, A2 y C1 constantes.

Designamos con (x)Ie la intensidad eléctrica debida a los electrones a la altura x de la

sección del cilindro y dx)I(x la intensidad a una distancia dx de la anterior.

La intensidad dx)I(x > (x)Ie ya que por una parte se han producido nuevos

electrones debido al ionizador externo (Zext) y por otra a los que aparecen debido al

efecto de avalancha (efecto Townsend)..

Los electrones viajan a una velocidad v y emplean un tiempo dt en recorrer la distancia

dx.. El cociente I/e representa el número de electrones por unidad de tiempo, luego el

número de electrones en el tiempo dt es:

dtdxdx

(x)dI

e

1dt

e

I(x)dx)(xIdN ee

e

(1)

Zext representa el número de electrones (también de iones) que el ionizador externo

produce por unidad de tiempo y de volumen, por tanto, en el tiempo dt y en el volumen

Sdx, se producen :los siguientes electrones: dtSdxZdN ext

ext

e .

B1. Encontrar A1 y A2 y expresarlas en función de Zext , , e, L y S


Madrid 2014

31

Debido al efecto de avalancha y de acuerdo con la ecuación el enunciado:

dxNαdN e

α

e

Recordemos que la densidad electrónica es el número de electrones por unidad de

volumen, que dx= v dt y que I = ne e S v

dtdxe

(x)IαvdtdxSnαdN

dxS

Nn e

e

α

e

e

e

Llevando los resultados de los dos efectos a la ecuación (1) resulta:

(2) (x)IαSeZdx

(x)dI

e

(x)IαSZ

dx

(x)dI

e

1eext

ee

ext

e

Según el enunciado del apartado

x

1Ax

1A

eACdx

(x)dIAeC(x)I 11

e21e

Sustituyendo en la ecuación (2)

21ext11 AαeCαSeZeACx

1Ax

1A

Para que la igualdad se cumpla

α

SeZAAαSeZ

AαeC α eAC

ext22ext

1111

x1

Ax1

A

La corriente iónica Ii varía lo largo del eje X según la ecuación

2xB

1CeB(x)I 2

i

Siendo B1, B2 y C2 constantes.

La intensidad de corriente iónica Ii es, en valor absoluto, igual a la intensidad de

corriente electrónica Ie, ya que el ionizador externo produce los mismos electrones que

iones (véase la parte A del problema), la velocidad de los electrones y de los iones se

considera igual (véase el enunciado anterior a la pregunta A3), y en el fenómeno de la

avalancha, cada electrón al chocar con un átomo neutro da lugar a un electrón y a un

ión. La diferencia es que la corriente electrónica se desplaza en el sentido positivo del

eje X, y la iónica en sentido contrario. Este paralelismo nos permite escribir

(x)IαSeZdx

(x)dIeext

i

B2. Encontrar B1 y B2 y expresarlas en función de Zext , , e, L, S y C1


Madrid 2014

32

Hallamos la derivada de Ii(x) respecto de X y sustituimos en la ecuación del enunciado

21ext2121i AαeCαSeZeBBeBBdx

(x)dI x1

Ax2

Bx2

B

En la última ecuación sabemos que 2ext1 AαeSZyAα , luego.

111112

12121121

CBCααByαAB

xAxByCαBBeCαeBBx

1Ax

2B

1

Los iones se mueven hacia el electrodo negativo (cátodo) y son rechazados por el

electrodo positivo (ánodo), en consecuencia no puede haber corriente registrada en este

electrodo:

0(L)I i .

Cuando x=0 nos encontramos en el cátodo donde llegan los iones positivos que al

chocar contra el electrodo dan lugar a electrones que justamente lo abandonan. El

enunciado nos dice la relación γNNN

Nγ ie

i

e , como la intensidad es

proporcional al número de electrones por unidad de tiempo, podemos escribir la

ecuación

(x)Iγ(x)I ie

La intensidad total es la suma de las intensidades iónica y electrónica cuyas ecuaciones

están dadas en el enunciado

2121ei AeC CeB(x)I(x)IIx

1Ax

2B

Hemos visto que: αB,CB,α

SZeAα,A 211

ext

21

α

Sext

ZeC

α

Sext

ZexαeCC

xαeCI

2121

Cuando x =L , Ii(L)=0

B3. Encontrar el valor de Ii(x) cuando x= L

B4. Encontrar la relación de Ii(x) y Ie(x) cuando x= 0

B5. Encontrar la corriente total I y expresarla en función de Zext, , , e, L y S. Se supone que permanece finita.


Madrid 2014

33

(3)e

CCeCe-BCCeB0(L)I

αLαLL

2BL

2B

2111221i

Cuando x=0, (0)Iγ(0)I ie

)4(

γ1α

SeZ

1

CγC

α

SeZCγγ1CCCγACCBγAC

ext21

ext

2121212121

Igualando (3) y (4)

γγ1e

1

α

SZe

eγγ1

e

α

SZeC

eα

SZeeγγ1Ce

γ1α

SZe

γ1

eγ1C

γ1α

SZe

γ1

Cγ

e

C

Lα-Lα

Lα

LαLαLαLα

Lα

extext

2

ext

2

ext

2

ext22

Llevando el valor de C2 a la intensidad total, resulta:

)5(1γγ1

Lα-e

1

α

SextZe

α

SextZe

γγ1Lα-

e

1

α

SextZeI

Sea el coeficiente a de Townsend constante. Si la longitud del cilindro

crece y se alcanza un valor crítico LC>L , entonces el ionizador externo

puede desconectarse y la descarga es automantenida.

De la ecuación (5) se deduce que si la longitud del cilindro aumenta, el denominador de

la fracción que figura dentro del paréntesis cuadrado puede hacerse negativo lo cual

conlleva a valores de I negativos, lo cual carece de sentido para una descarga con el

ionizador externo funcionando.

Townsend propuso que el paso a la descarga automantenida se produce cuando

B6. Encontrar LC y expresar su valor en función de Zext, , , e , L y S


Madrid 2014

34

γ

11ln

α

1L

γ

γ1lnLα

γ

γ1Lαe

γ1

γ

Lαe

1

γ1

γLαe0γγ1

Lαe

CC

C

C

CC

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