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1
Problemas de Las Olimpiadas
Internacionales De Física
José Luis Hernández Pérez
Ricardo David Fernández Cruz
Jaime Solá de los Santos
Madrid 2018
XLIX. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2018.
PORTUGAL
2
1.-LIGO-GW150914
En 2015 el observatorio LIGO detectó por primera vez el paso de una
onda gravitacional (GW) a través de la Tierra. El suceso denominado
GW150914 fue ocasionado por ondas producidas por dos agujeros negros
que describen órbitas casi circulares. Este problema pretende que usted
estime algunos parámetros del sistema, a partir de las propiedades de la
señal detectada
Parte A: Órbitas newtonianas conservativas.
La masa M1 sufre una fuerza en la línea que une a las dos masas y dirigida hacia M2.
La masa M2 sufre una fuerza de igual modulo aplicada en esa masa pero dirigida hacia
M1.
Esta fuerza es la fuerza de atracción gravitatoria
ud
MMGF
2
21 =
La distancia entre las masas es d y u
es un vector unitario en la dirección de la línea
que une ambas masas y apuntando hacia M2.
A1. Considere un sistema formado por dos estrellas de masas M1 y M2
localizadas respectivamente por los vectores 21 ryr
referidos a un
sistema de referencia ligado al centro de masas
0rMrM 2211 =+
Las estrellas están aisladas del resto del Universo y se desplazan con velocidades no relativistas. A partir de las leyes de Newton, el vector aceleración de la masa M1 se puede expresar por
n
1
1
2
1
2
r
r
dt
rd
−=
Siendo, 2211 rryrr
== .
Encontrar y ; G es la constante de gravitación
universal G=6,67.10-1 1 N m2 kg-2
3
En la figura 1A, CM es el centro de masas del sistema formado por las dos estrellas. Se
han representado los vectores posición ( 2;1 r;r
), fuerza F
y unitario u
.La distancia
entre los centros de las estrellas es d y d
es un vector de módulo d, dirigido de M1 a M2,
De la figura 1A se deduce que
d
rr
d
durrdrrd 12
1221
−
==−==+
De acuerdo con la segunda ley de Newton
( )123
2
2
1
2
2
1
2
112
2
211 rr
d
MG
dt
rd
dt
rdM
d
rr·
d
MMGaMF
−==
−=
Según el enunciado 2
1122211
M
rMr0rMrM
−==+ . Sustituyendo esta relación en la
ecuación anterior
( )( )
2
1
2
213
21
1
2
2113
2
2
1
2
1
2
11
3
2
dt
rdMM
rr
rG
M
MMr
d
MG
dt
rdr
M
rM
d
MG
=++
−=
+−=
−−
Como 1
2
122211 r
M
MrrMrM == , sustituyendo en la ecuación anterior
( )
( )
( )2
21
3
2
3
1
1
2
21
3
2
2
1
2
3
1
1
3
2
21
2113
1
2
11
21
2
1
2
MM
MG;3n
r
r
MM
MG
dt
rd
r
r
M
MM
MMGr
rM
Mr
MMG
dt
rd
+==
+
−=
+
+−=
+
+−=
Fig. 1A
4
La energía del sistema se compone de dos términos la energía cinética y la potencial
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
2
11C rM2
1rM
2
1vM
2
1vM
2
1E +=+=
( ) 2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22112211 rrMM2rMrM0rMrMrMrM =+=−=
2
2
2
1
2
2121
2
2
2
1
2
21 rrLrr2rr2rrLrrL −−=++=+=
=+++−−==+ 23
2
21
2
2
2
22
1
21
2
1
2
12
2
2
1
2
21
21
2
2
2
2
21
2
1
2
1 LrMM
rMr
MM
rMrrLrr2
MM
rM
MM
rM
=
++
+=
++
+ 2
1
212
2
2
212
1
2
1
22
2
2
12
1 LM
MMr
M
MMrL
M
M1r
M
M1r
22
22
2
11
2
21
21
1
212
1
21
21
2
212
1
2
1
212
1
2
212
1
LrMrM
LMM
MM
M
MMr
MM
MM
M
MMr
LM
MMr
M
MMr
=+
=+
++
+
+
=
++
+
Sustituyendo en la ecuación de la energía cinética
( ) 222
22
2
11
2
C L2
1rMrM
2
1E =+=
La energía potencial del sistema la evaluamos. Supongamos que la masa M2 se
encuentra aislada, crea un potencial gravitatorio a una distancia L de valor
A2. La energía total del sistema de las dos masas, describiendo órbitas
circulares, se puede expresar por
( )L
MGL,,AE
−=
Siendo ;MM
MM
21
21
+= la masa reducida del sistema y 21 MM + su masa
total , es la velocidad angular de cada masa y L la separación entre
ellas, 21 rrL += . Obtenga la forma explicita de ( )L,,A
5
L
MGV 2−=
Transportamos la masa M1 desde el infinito hasta el punto L, el trabajo es el producto de
la masa transportada por el potencial de salida menos el de llegada
( )L
MG
L
MMG
L
MMGE
L
MG(0MEW 2121
P2
1P
−=
+−=−=
−−=−=
Aplicamos el teorema del virial. Este teorema establece que para un sistema de
partículas enlazadas por fuerzas conservativas
tUtK2
1−=
Donde tK es la energía cinética total promedio en el tiempo. , tU es la energía
potencial total promediada en el tiempo. Aplicándolo a este problema y teniendo en
cuenta que la velocidad es constante
2
1
L
MG
2
1
L
MG
L
MG
2
1E
L
MG
2
1L
2
1 22 −=
−=
−
=
−−=
Parte B: Introducción a la disipación relativista.
La teoría correcta de la gravitación (Relatividad General) la formuló
Einstein en 1915 y predijo que la gravedad se desplazaba a la velocidad
de la luz. Los mensajeros portadores de la información acerca de la
interacción se denominan GWs . Los GWs se emiten siempre que las
masas estén aceleradas, originando que el sistema de masas pierda
energía.
Considere un sistema de dos masas puntuales aislado del resto del
Universo Einstein demostró que para velocidades pequeñas los emisores
GWs: 1) tienen una frecuencia que es dos veces mayor que la frecuencia
A3. La ecuación ( )L
MGL,,AE
−= se puede simplificar a
L
MGE
= .Determine el número
6
orbital ; 2) se caracterizan por su luminosidad, esto es, el poder de
emisión P , el cual se define por la formula cuadripolo
=
= =3
ij
33
1i
3
1j3
ij
3
3 dt
Qd
dt
Qd
c5
GP
aquí c es la velocidad de la luz s
m10.3c 8 .
Para un sistema de dos partículas puntuales orbitando en el plano XY, Qij
Se corresponde a la siguiente tabla ( i j es el número de la fila/columna)
( ) ( ) ( )
;yxMQQ
yx3
MQ;xy2
3
MQ;yx2
3
MQ
AA
2
1A
A2112
2
A
2
A
2
1A
A
33
2
A
2
A
2
1A
A
22
2
A
2
A
2
1A
A
11
=
===
==
+−=−=−=
0Q ij = para las otras combinaciones..
( )A,A yx es la posición de la masa A respecto del sistema ligado al centro
de masas.
De la figura 1B se deduce:
B1.- Para las órbitas circulares descritas en A2 las componentes de Qij
se expresan en función del tiempo por
( ) ktsenc2
LQ;ktcosba
2
LQ ij
2
ijii
2
ii
ji =+
=
Determine k en función de y los valores numéricos de las
constantes ij;ii cb;a
Fig. 1B
7
( ) ( )
( ) ( )tsenry;tcosrx
tsenry;tcosrx
2222
1111
−=−=
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−−
+=
−
+=
−+
=−+−=
−−+−−=
=−+−=
=−−+−=−= =
3
11tcos2
2
rMrM
3
2tcos2
2
rMrMQ
1tcos33
rMrM1tcos3
3
rM1tcos3
3
rMQ
tcos1tcos23
rMtcos1tcos2
3
rM
tsentcos23
rMtsentcos2
3
rM
tsenrtcosr23
Mtsenrtcosr2
3
Myx2
3
MQ
22
22
2
1122
22
2
1111
22
22
2
1122
2222
1111
222
22222
11
222
22222
11
2
2
22
2122
1
22
112
A
2
A
2
1A
1A11
Aplicamos la relación trigonométrica ( )=− 2cos21cos2 2
( )
+
+= tΩ2cos
3
1
2
rMrMQ
2
22
2
11
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−−
+=
−
+=
−+
=−+−=
=−−+−−=
=−−−+−=−= =
3
11tsen2
2
rMrM
3
2tsen2
2
rMrMQ
1tsen33
rMrM1tsen3
3
rM1tsen3
3
rM
tsen1(tsen23
rMtsen1(tsen2
3
rM
tcosr(tsenr(23
Mtcosrtsenr2
3
Mxy2
3
MQ
22
22
2
1122
22
2
1122
22
22
2
1122
2222
11
222
22222
11
2
2
2
2222
1
22
112
a
2
A
2
1A
122
Aplicamos la relación trigonométrica ( )=− 2cossen21 2
( )
−
+= tΩ2cos
3
1
2
rMrMQ
2
22
2
1122
8
( )
( ) ( )
( )
)3
2(
2
rMrMQ
2
2
2
2
2
1
2
1
33 −+
=
−+=−−=+−−=
−+−−
−
+−=+−=
=
3
1rMrM
3
rM
3
rM)t(senr)t(cosr
3
M
3
rMQ
t(senr)tcos(r3
M
)t(senr)t(cosr(3
Myx
3
MQ
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
2
1122
2
22
22
2
1133
2
2
2
22
22
1
22
112
A
2
A
2
1A
A33
)tΩ(2·sen2
rMrMQQ
2
22
2
11
2112
+==
+
==
+=
=+=== =
)t(cos)t(sen2·2
rMrMQQ
)t(sen)t(cosrM)t(cos)t(senrM
yxMyxMyxMQQ
2
22
2
112112
2
22
2
11
222111AA
2
1A
A2112
Comparando
( )ktcosba2
LQ ii
2
ii +
= ( )
+
+= tΩ2cos
3
1
2
rMrMQ
2
22
2
1111
( )
−
+= tΩ2cos
3
1
2
rMrMQ
2
22
2
11
22
En A2 hemos deducido 2
22
2
11
2 rMrML +=
1b;3
1a;2k;1b;
3
1a 2211 −=====
( )
−
+= tΩ2cos
3
1
2
rMrMQ
2
22
2
1122 )
3
2(
2
rMrMQ
2
2
2
2
2
1
2
1
33 −+
=
3
2a 3 −=
9
ktsenc2
LQ ij
2
ij
ji =
)tΩ(2·sen
2
rMrMQQ
2
22
2
11
2112
+==
2112ij cc1c ==
Agrupamos los valores anteriores ( )
+= tΩ2cos3
1
2
μLQ
2
11 ;
( )
−= tΩ2cos3
1
2
μLQ
2
22 ; )tΩ(2sen2
μLQQ
2
2112 == ; )3
2(2
μLQ
2
33 −=
333231
232221
131211
QQQ
QQQ
QQQ
−
−
+
=
3
200
0t2cos3
1t2sen
0t2sent2cos3
1
2
LQ
2
ij
Hallamos las derivadas
( ) ( )
( ) )t2sen(L4t2sen2L2dt
Qd
;;t2cos·2Ldt
Qd;t2sen2
2
L
dt
dQ
3222
3
11
3
22
2
11
22
11
==
−=−
=
)t2sen(L4dt
Qd 322
3
22
3
−= Calculada la derivada anterior está es la misma salvo
la diferencia de signo.
B2.- Calcule la potencia P emitida en ondas gravitacionales por el
sistema, compruebe que obtiene
= 42
5L
c
GP
¿Cuál es el valor de ?
10
)t2cos(L4dt
Qd
dt
Qd
2·)t2(cosL2dt
Qd:2·t2(senL
dt
Qd;2)·t2(cos
2
L
dr
dQ
32
3
21
3
3
12
3
22
3
12
32
2
12
22
12
−==
−=−=
=
Desarrollamos los sumatorios que aparecen en la ecuación de la potencia.
= =3
ij
33
1i
3
1j3
ij
3
dt
Qd
dt
Qd=
3
33
3
3
33
3
3
32
3
3
32
3
3
31
3
3
31
3
3
23
3
3
23
3
3
22
3
3
22
3
3
21
3
3
21
3
3
13
3
3
13
3
3
12
3
3
12
3
3
11
3
3
11
3
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
dt
Qd
Los términos que llevan el subíndice tres son nulos. Hacemos la suma con el resto
)t2(senL16t2sen)L4·(t2sen)L4(dt
Qd
dt
Qd 26423232
3
11
3
3
11
3
==
)t2(cosL16)t2cos()L4)·(t2cos()L4(dt
Qd
dt
Qd 26423232
3
12
3
3
12
3
=−−=
)t2(cosL16)t2cos()L4)·(t2cos()L4(dt
Qd
dt
Qd 26423232
3
21
3
3
21
3
=−−=
t2(senL16)t2sen()L4)·(t2sen)(L4(dt
Qd
dt
Qd 26423232
3
22
3
3
22
3
=−−=
5
32L
c5
G32)t2cos2t2sen2()·L16·(
c5
G 642
5
22642
5==+=P
11
Dado que las dos masas describen órbitas circulares alrededor del centro de masas
igualamos la fuerza de gravitación entre ellas con la fuerza centrípeta
2
3
22
21
21
22
2121
2
2
2
2122
1
2
2112
2
22
211
2
12
21
MGL
L
MMG
M
1
M
1
L
MMGLrr
ML
MMGr;
ML
MMGrrM
L
MMG;rM
L
MMG
=
+=
+
==+
=
===
En A3 hemos visto L
MG
2
1E
−= y en B2 , 642
5L
c5
G32
dt
dE==P
642
522L
c5
G32
dt
dL
L
MG
2
1
dt
dL
L
MG
2
1
dt
dE−=
−
−=
Cuando se emite GWs , dL/dt es negativo, y por ello ponemos a la segunda expresión el
signo negativo. Tanto L como dependen del tiempo
dt
d
L
MG
3
2
dt
dL
dt
d2MG
dt
dLL3
MGL
234
2
2
3
−=
−=
=
Llevamos dL/dt a la ecuación anterior
B3.- Cuando no se emiten GWs las dos masas giran todo el tiempo en
una órbita circular, pero si hay emisión de GWs el sistema pierde gradualmente energía y de manera lenta las orbitas circulares son cada vez de menor tamaño.
Determine que el cambio dedt
d se expresa por
( ) 5
C15
113
3
)MG(c
3dt
d
=
MC se denomina masa chirp. Obtenga Mc en función de M y . Esta masa es la causa del aumento de la frecuencia durante la disminución de la órbita. El nombre chirp se inspira en el tono alto (aumento de la frecuencia) emitido por pájaros pequeños.
12
11253
3
5
3
6316
278833
5
3
16
8824
2
3
63
272433
5
3
2
98
5
64
534
2642
5232
MGc5
96
dt
d
MG
MG
c5
96
dt
d
MGL
GML;
MG
L
c5
96
dt
d
MG
L
c5
96
dt
d
Lc5
32
dt
d
L3
MGL
c5
G32
dt
d
L
MG
3
2
L
MG
2
1
=
=
=
=
=
=
=
−=
−
Comparando con la ecuación ( ) 5
C15
113
3
)MG(c
3dt
d
=
5
1
23
C
235
C )M(MMM ==
La frecuencia fGW es, según el enunciado, el doble de la frecuencia angular
=
=
22fGW
( )3
11·
c
)MG(3
dt
d)MG(
c3
dt
d3
11
3
11
5
3
5
C5
C15
113
3
==
=
=
B4.- Utilizando la información anterior, relacione la velocidad angular
orbital con la frecuencia GW, fGW. Para cualquier función suave F(t) y 1
)tt()1()t(F)t(Fdt
)t(dFo
1 −−== −
es una constante, to una constante de integración. A partir de la ecuación del apartado B3 debe llegar a
p2
o
p3
2
3
c3
8
3
8
GW )tt(c
MG)8(f −
+−
−
=
y calcular el valor de p.
13
Comparamos con F(t) del enunciado
)tt(3
8)t(
3
8)tt()
3
111( o
3
8
too3
111
−==−−=−
−
−
3
8
o5
3
5
C3
8
o5
3
5
C3
8
GW
3
8
o5
3
5
C
o
3
8
3
8
3
8
3
8
GW
)·tt(c
)MG(·
5
32·8)·tt(
c
)MG(3·
3
8f
)tt(c
)MG(3·
3
8
)tt(3
8f
−=−
=
−
=−=
=
=
−
−−
−−−
5
8
5
4·25,0·8
5
4·8·8
5
4·8
5
32·8 3
8
3
8
3
2
3
8
2
====
−
)tt(c
)MG(
5
)8(f o5
3
5
C3
8
3
8
GW −
=−
Comparando con la ecuación del enunciado p =1.
El 14 de setiembre del año 2015, GW 150914 se registró en los
detectores LIGO, los cuales consisten en dos brazos en forma de L de 4
km de longitud. Estos brazos cambian su longitud de acuerdo con la
figura 1. Los brazos del detector responden linealmente al paso de la
onda gravitatoria y la respuesta gráfica indica la onda. Esta onda se creó
por dos agujeros negros en órbitas cuasi circulares. La pérdida de
energía debida a la radiación originó que la órbita disminuyese de
tamaño y los agujeros negros podrían llegar a colisionar. El punto de la
colisión de forma aproximada es el pico de la señal después del punto D
en la figura1.
14
Figura1. La variación relativa del tamaño de cada brazo n el detector LOGO H1. El
eje horizontal es de tiempos y las posiciones A,B,C,D, corresponden a los tiempos
0,000 ; 0,009 ; 0,034 ; 0,040 segundos
Consideramos que en la figura 1 entre A y B transcurre la mitad de un periodo
Hz5,55009,0·2
1
T
1)AB(f009,0)tt(·2
2
TGWAB ====−=
Hacemos la misma suposición para el intervalo entre C y D
Hz3,83006,0·2
1
T
1)CD(f006,0037,0040,0·2
2
TGW ====−=
Aplicamos la ecuación a las dos frecuencias
B5.- A partir de la figura 1 estimar fGW(t)con
2
ttty
2
ttt CD
CDAB
AB
+=
+=
Suponiendo que la ecuación del apartado B4 es valida en todo el recorrido hasta la colisión (lo cual rigurosamente hablando no es cierto) y que los dos objetos tienen la misma masa, estimar la masa chirp MC y la masa total del sistema expresándola en masas solares
kg10.2Ms 30
15
s056,095,1
037,0·95,2t0045,0t037,0·95,2t95,2
037,0t
0045,0t
3,83
5,55
)037,0t(K)tt(K)3,83()tto(K)tt(c
)MG(
5
)8(f
)0045,0t(K)tt(K)5,55()tto(K)tt(c
)MG(
5
)8(f
ooo
o
03
8
0CDo3
8
o5
3
5
C3
8
3
8
GW
oAB03
8
o5
3
5
C3
8
3
8
GW
==−=−−
−=
−=−=−=−
=
−=−=−=−
=
−
−−
−−
( )S30
313131
11
384
C
3
C4
5
3
5
C7
5
3
5
C3
8
4
43
8
M3010.2
10,6kg10,6kg10.9,5
10.67,6
10.3·10.45,1M
c
MG10.45,1
c
)MG(10.99,3
c
)MG(
5
)8(10.33,4
10.33,4K)0045,0056,0(
)5,55(K
====
==
=
==−
=
−−
−
−
−−−
−
−
Designamos con M1 a la masa de cada objeto, así M= 2M1 y 2
M
M2
MM 1
1
11 ==
kg10.9,6M2MM2
1M4·
8
MM)M(M 31
C5
1
11
5
1
5
1
2
1
3
1C
5
1
23
C ==
=
==
s30
3131
1 M6910.2
10.8,13kg13,8.10M 2 totalMasa ====
Recopilamos algunas ecuaciones y datos que se han obtenido anteriormente
En B4
=GWf ; En B3
2
3 MGL
= ; En B5 Hz3,83)CD(fGW =
B6.- Estimar la separación mínima entre los dos objetos a tCD, y a
continuación el tamaño máximo de cada objeto Rmax. Obtener RS/Rmax y comparar con el radio del Sol, RS= 7.105 km. Estimar también su velocidad lineal orbital en el mismo instante y compárela con la velocidad de la luz Vcol/c
16
En B5 Masa total = 13,8.1031 kg
12
GW s10.6,2·3,83·)CD(f)CD( −===
m10.12,5
·3,83
10.8,13·10.67,6
)·CD(f
MGL
)·CD(f
MGMGL 5
3
1
22
31113
1
2
GW
2
GW
2
3 =
=
=
=
=
−
35
max
S 10.7,2
2
512
10.7
R
R== ;
s
m10.7,6
2
10.12,53,83
2
L·v 7
CD ===
22,010,3
10.7,6
c
v8
7
CD ==
17
2. ¿DÓNDE ESTÁ EL NEUTRINO?
Cuando dos protones de alta energía chocan en el LHC (Large Hadron
Collider) se producen nuevas partículas, electrones, muones, neutrinos,
quarks, y sus antipartículas. La mayoría de ellas se registran por el
detector de partículas que rodea el punto de colisión. Por ejemplo, los
quarks sufren un proceso denominado hadronización transformándose
en un chorro de partículas subatómicas denominado jet. Ademá los
intensos campos magnéticos presentes en los detectores obligan a las
partículas incluso a las más energéticas a describir curvas a partir de las
cuales se determina el momento de cada partícula.
El detector ATLAS utiliza un solenoide superconductor mediante el cual
se produce un campo magnético uniforme de intensidad dos teslas que
rodea al punto de colisión. Las partículas cargadas que tienen un
momento inferior a un determinado valor se curvan de tal forma que
describen varias vueltas completas y la mayoría de ellas no se miden.
Debido a su naturaleza el neutrino no se detecta ya que no interacciona
con el campo magnético. Datos: masa en reposo del electrón mo = 9,11.10-31 kg Carga elemental, e = 1,6.10-19C, Velocidad de la luz c= 3,00.108 m/s,
Permitividad del vacío, o =8,85.10-12 Fm-1
Parte A. ATLAS. Física del detector
La fuerza de interacción entre el campo magnético y el electrón proporciona a esta
partícula la fuerza centrípeta.
BveF
=
Como el campo y la velocidad son perpendiculares
Be
mK2
K2·Be
Km2r
r
K2B
m
K2e
m
K2vK2mv;
r
vm90sen·BveF
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
===
====
A1.Obtenga una expresión para el radio, r , de la trayectoria circular de un electrón que se desplaza bajo la acción de un campo magnético perpendicular a su velocidad y expréselo en función de su energía cinética K, su carga e, su masa m y el campo magnético B. Se admite que el electrón se comporta como una partícula no relativista.
18
Los electrones dentro del detector ATLAS obedecen a la mecánica
relativista. No obstante la formula para el radio (obtenida antes) es válida
para la mecánica relativista si se tiene en cuenta el momento relativista.
Designamos con R al radio del cilindro. El electrón se origina en el centro de ese
cilindro y la acción del campo magnético perpendicular a su velocidad le obliga a
describir una circunferencia de radio r. El radio r si es menor o igual a R/2 el electrón
queda confinado en el cilindro. Escogemos el caso límite
El módulo del momento lineal en la mecánica relativista es
2
2
oo
c
v1
vmvmvmp
−
===
s
mkg10.76,12·10.6,1·
2
1,1p
eB2
R
m
Bermp
eB
vm
Be
vmr
r
mvBve
1919
o
oo2
−− ==
=
=
===
El eV es la energía de un electrón sometido a la diferencia de potencial de un voltio
c
eVM10.3,3
10.3,5
10.76,1p
s
mkg10.3,5
10.3
10.6,1·10
c
eVM1J10.6,1eV1
2
22
19
22
8
19619
==
===
−
−
−−
−
Si una partícula de carga e está acelerada con velocidad relativista y
masa en reposo mo emite radiación denominada radiación sincrotón. La
potencia emitida está dada por la ecuación
3
o
422
c6
aeP
=
a es la aceleración
A2. Calcule el valor mínimo del momento de un electrón para que pueda escapar de la parte interna del detector en dirección radial. La parte interna del detector es un cilindro con un radio de 1,1 metros y el electrón se ha formado, como resultado de la colisión, justamente en el centro del cilindro. Dar la respuesta en MeV/c
19
En la ecuación de este enunciado no figura la aceleración y sí en la anterior, por ello,
eliminamos la aceleración de esa ecuación. En relatividad la fuerza normal Fn= mo an = mo a
74
oo
2224
2
o
3
o
42
o
2224
42
o
222
o
2
2
o
3
o
2224
3
o
4
2
o
2
o
qn
cm6
EvBe
mc6
cm
EvBe
P
cm
EcmcmE
mc6
vBe
c6
m
Bvee
P
m
vBeaamBveF
=
=
===
=
=
===
Al tratarse una partícula ultrarrelativistas, v es prácticamente igual a c
54
oo
224
74
oo
2224
cm6
EBe
cm6
EcBeP
=
=
Comparando con la ecuación del enunciado
5n;4k;6
1==
=
A3. Una partícula se denomina ultrarrelativista cuando su velocidad es muy próxima a la de la luz. Para una partícula ultrarrelativista la potencia emitida se expresa por
nk
oo
224
cm
BEeP
=
es un número real, n y k son enteros E es la energía de la partícula
cargada y B el campo magnético. Encontrar , n y k
20
En el apartado anterior tenemos la ecuación de la potencia
tEK1
EE
E
1tKE
E
1
E
1tK
E
1
E
1t
cm6
Be
E
1Cte
E
10tCuando
Ctetcm6
Be
E
1dt
cm6
Be
E
dE
cm6
EBe
dt
dEP
o
o
o
o
oo54
oo
24
o
54
oo
24
54
oo
24
254
oo
224
+=
+=
+=+
===
+
=
−=
=−=
Comparando con la ecuación del enunciado
54
oo
24
cm6
BeK
==
En el apartado A2 hemos calculado el radio de la trayectoria
eB
pr =
La relación entre la energía de una partícula y su momento es el invariante
( ) ( ) ( )m167
2·10.6,1·10.3
10.3·10.1,910.6,1·10.100r
eBc
cmEr
c
cmEpcpcmE
198
482312199
42
o
2
o
42
o
2
o2242
o
2
=−
=
−
=−
=+=
−
−−
A4. En el límite ultrarrelativistas la energía del electrón en función del tiempo es:
tE1
E)t(E
o
o
+=
Eo es la energía inicial del electrón. Encontrar a en función de e,c ,B, toy m
A5. Considerar un electrón formado en el punto de la colisión en dirección radial con una energía de 100 GeV. Calcular la energía que pierde debido a la radiación sincrotón hasta que el electrón escapa por la parte interna del detector.
21
El radio es muy grande comparándolo con las dimensiones del solenoide (radio 1,1 m),
por tanto, la trayectoria del electrón dentro del ATLAS es prácticamente una recta, esto
es, igual a 1,1 m
J10.6,1eV
J10.6,1·eV10eV1010.100E 8
1911119
0
−−
====
( ) ( ) ( )s
m·kg10.3,5
10.3
10.6,1
10.3
10.3·10.1,910..6,1
c
cmEp 17
8
8
8
482312842
o
2
o −−−−
=−
=−
=
Calculamos la velocidad de ese electrón
o
2
42
o
2
o
o
2
2
o
42
2242
o
42
222
o
222
222
o
2222
22
222
o2
2
2
o0
E
c·c
cmE
E
cpv
E
cp
cpcm
cp
pcm
cpv
cvmvpcpvc
cvmp
c
v1
vmvmp
−
===+
=+
=
=−−
=
−
==
Como sc
1,1tcvcmE 42
o
2
o =
( ) ( )
1220.8
401241276
54
24
5843112
2419
54
oo
24
10.46,910·10.46,9K
103·1,9·85,8·6
2·6,1
10.3·10.1,910.85,8·6
2·)10.6,1(
cm6
BeK
===
=
=
==
−
−++−
−−
−
( )
MeV56eV10.56,5J10.6,1
eV·J10.89,8
1
10.89,8E
10.67,3·10.6,1"10.46,91
10.67,3·10.46,9·10.6,1
tEK1
EtKEE
tEK1
EEE
tEK1
EE
7
19
1212
9812
91228
o
0
2
oo
o
oo
o
o
====
+=
+
−+=
+−=
+=
−
−−
−−
−−
A6. Encontrar la ecuación para la frecuencia ciclotrón del electrón en función del tiempo y del límite ultrarrelativistas.
22
)t(r
cf2)t(
)t(r2
c
T
1f
c
)t(r2T ==
==
=
En el apartado A5 hemos visto que eBc
cmEr
42
o
2
o −= , ; 2
o
2
o cmE
( )
+
+=
+
====
tEcm6
Be1
E
Bec
.tE1E
Bec
tE1
E
Bec
)t(E
Bec
)t(r
c)t(
Bec
)t(E)t(r
o54
oo
24
o
2
o
o
2
o
o
22
Parte B. ATLAS. ENCONTRANDO AL NEUTRINO La colisión entre los dos protones mostrados en la figura 1 da lugar a la
producción de un quark top (t) y un antiquark top ( t ) las partículas
elementales más pesadas jamás detectadas
El quark top decae en un bosón W+ y en un quark bottom (b), el
antiquark antitop decae en un bosón W- y un quark antibotton )b(
.
En el caso de la figura 1, el bosón W+ decae en un anti-muón (+) y un
neutrino () y el bosón W) lo hace en un quark y un antiquark.
El objetivo de este problema es determinar el momento total del neutrino
utilizando los momentos de algunas de las partículas detectadas.
Fig.1
23
Por sencillez todas las partículas y jets de este problema se consideran
carentes de masas, a excepción del quark top y los bosones W
El momento del quark top decae en productos que se caracterizan a
partir del experimento (ver la tabla) excepto la componente sobre el eje Z
del neutrino.
El momento lineal total de las partículas capturadas por el detector es
solamente cero en el plano transversal XY y no lo es a lo largo de la línea
del eje Z. Es posible determinar el momento transversal del neutrino a
partir de la pérdida del momento en el plano transversal
El 1 de Junio del año 2015 el detector ATLAS registró la colisión protón-
protón de la figura 1.
El momento lineal de las tres partículas finales procedentes del quark top
incluyendo la del neutrino se recogen en la tabla siguiente.
Partícula Px (GeV/c) Py (GeV/c) Pz (GeV/c)
Anti-muón(+) -24,7 -24,9 -12,4
Jet 1( j1) -14,2 +50,1 +94,1
Neutrino () -104,1 +5,3 -----
Aplicamos los principios de conservación del momento y de la energía
++
=+++
=+ EEWE;ppWp
Utilizamos la ecuación cpEcpcmE 22422 =+= ya que m=0 para el neutrino y
el antimuón según el enunciado de la cuestión.. El mesón mW+ tiene masa
2c
2W
p
4c
2EE
2c
2W
p
4c
2W
E2W
m2c
2W
p2W
m4c
2W
E+−
++
=+−+=+
+++
=+
B1. Encontrar la ecuación que relaciona el cuadrado de la masa del
bosón W+ )(m2
W + con los momentos del neutrino y anti-muón recogido
en la tabla superior. Dar el resultado en los términos de los momentos transversales
+
=+=
ypxpT
p;ypxpT
p
Y sus momentos sobre el eje Z , zp;zp
24
Sustituimos las energías en función de los momentos
2c
2W
p
2c
pp22
p2
p
2c
2W
p
c
2cpcp
2W
m4
+−
++
+
+
=+−
+
+
=+
( )
++
+
+=
+
++
=
++
+=
+
pp22
p2
p2W
p
2
pp2W
pppW
p
Sustituyendo en la masa del bosón
)1(2c
pp2pp22W
m
2c
pp22
p2
ppp22
p2
p
2W
m
+−+
=+
+
+
+
+−+
+
+
+
=+
A partir del enunciado
2y
p2x
p2
Tp
ypxp
Tp
2y
p2x
p2
Tp
ypxp
Tp
+
=
+=
++
+=
+
++
+=
+
( ) ( ) ( )
)2(2
zp
2
Tpup2pup2
2
zp
2
Tp
2zp
2yp
2xpp
+
+=+
+
=++=
25
( )
kzp·kuzp2
Tp·ku
zp2kZ
P·T
p2T
P·T
p2pup2
kz
pT
pkuz
p2T
p2pup2
kuz
pT
p2kuzpju
ypiuxp2up2
+++++++
=+
+
+++
=+
+++
=+++++=+
De esta ecuación los términos segundo y tercero son nulos tal como se demuestra a
continuación.
0kZ
p·juy
p2iux
p2kZ
p·uT
p2;0jpip·kuzp2
Tp·ku
zp2 =
+++=+=
++=+
Sustituyendo en la ecuación (1)
2c
zp·u
zp2
TP·
Tp2
2
zp
2
Tpup2
2c
pp2pp22W
m
+−+−
+
+
=+
−+
=+
Utilizamos la ecuación 2c
pp2pp22W
m+
−+
=+
( ) ( ) ( ) c/GeV4,744,129,247,242up2222
=−+−+−=+
( ) ( ) ( )2zp9,108642
zp23,52
1,104p +=++−=
−=−−=+
−+−+−−=+++++=+
zp8,246,4878
zp8,249,2635,5142pp2
zp)4,12·(23,5)·9,24·(2)1,104·()7,24(·2
zpu
zp2
ypu
yp2
xpu
xp2pp2
B2.- Suponiendo para la masa del bosón mW = 80,4 GeV/c2, calcular las dos posibles soluciones para el momento del neutrino según el eje Z, νxp .Dar la respuesta en GeV/c.
26
2
2
2
2 c
GeV2,6464c·
c
GeV4,802c·2
Wm
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 04,13925p34,114p079179685p9,602562p4,4920
)p(55358,60141132p9,602562p6158,111659128
p9,108644,74p8,248,11342
p9,108644,74p8,248,11342p8,246,4878p9,10864·4,742,6464
Z
2
ZZ
2
Z
2
ZZ
2
Z
2
Z
22
Z
2
ZZZ
2
z
=−+=−+
+=−+
+=−
+=−+−+=
Resolviendo la ecuación de segundo grado
c/GeV188)b;c/GeV74)a2
2,26234,114
2
4,13925·4,1307334,114pZ −=
−=
+−=
Aplicamos los principios de conservación del momento y de la energía, teniendo
presente que el quark t termina en el j1 , el muón y el neutrino
++
+=++
+=++
+= pp1j
p)t(p;pcpc1j
cpEE1j
E)t(E
Utilizamos la ecuación cpEcpcmE 22422 =+= ya que m=0 para el neutrino y
el antimuón y el jet.
2c
2)t(p
2c
2pp
1jp
)t(m
2c
2)t(p
4c
2EE
1jE
)t(m)t(m2c
2)t(p
4c
)t(2E
−
+
++
=
−
+
++
==−
2
pp1j
p2)t(ppp1j
p)t(p
++
+=++
+=
B3.-Calcular la masa del quark top para cada una de las masas encontradas en el apartado anterior. Dar el resultado en GeV/c2
27
( ) ( ) ( )
2
c
GeV8,456215,242423,930204492)t(p
2744,121,9423,59,241,502)1,1047,242,142)t(p
2
zpuzp
1jzp
2
ypuyp
1jyp2)xpu
xp1jxp(2)t(p
2)t(p
zpuzp
1jzpkypu
yp1jypj)xpu
xp1jxp(i)t(p
kzpj1jypixpp;k
juzpju
ypiuxpupk
1jzpj
1jypi
1jxp
1jp
=++=
+−++−+−−−=
++++
+++++++==
++++
+++++++=
++=+++++=+++=
( )
8,127743,5)1,104(p
2,37)4,12(9,24)7,24(p;5,1071,941,50)2,14(1j
p
222
222222
=++−=
=−+−+−=+
=++−=
( )
2c
GeV169)t(m
c
8,4562128,1272,375,107
2c
2)t(p
2c
2pp
1jp
)t(m
=
−++=−
+
++
=
Si p = -188 GeV/c
( ) ( ) ( )
2152)188(23,52)1,104(p
2
c
GeV3,32679113003,930204492)t(p
21884,121,9423,59,241,502)1,1047,242,142)t(p
=−++−=
=++=
=−−++−+−−−=
( )
2c
GeV311)t(m
c
3,3267922152,375,107
2c
2)t(p
2c
2pp
1jp
)t(m
=
−++=−
+
++
=
28
El número normalizado de colisiones para la medida de la masa del
quark top (determinado a partir de los experimentos) tiene dos
componentes: la denominada “signal”( correspondiente al decaimiento
del quark top) y “background”(correspondiente a los sucesos de otros
procesos que no incluyen al quark top). Los datos experimentales
incluyen ambos procesos en la figura 2. 00
Figura2.. Distribución de la masa del quark top determinada a partir de los
experimentos, estoes, el número normalizado de sucesos frente a la masa del quark. Los
puntos corresponden a los datos. La línea discontinua corresponde a la “ signal” y la
sombrada al “background
De la figura experimental de puntos se deduce que la probabilidad de la masa 169
GeV/c2 ex próxima a 0,1 y l de la masa 311 GeV/c2 es prácticamente cero. Es de forma
clara más probable la primera.
B4.-Según la distribución de masas del quark top cuál de las dos soluciones obtenidas en el apartada anterior es más probable que sea la correcta. Determinar la probabilidad de la solución más probable
29
c
GeVk7,155j5,30i143)t(p
)744,121,94(k)3,59,241,50(j)1,1047,242,14(i)t(p
zpuzp
1jzpkypu
yp1jypj)xpu
xp1jxp(i)t(p
++−=
+−++−+−−−=
++++
+++++++=
=== −
−
s
mkg10.33,5
10.3
J10.6,1·10
c
eV10
c
GeV1 19
8
1999
m1610.9,12510.5·810.8,3·)t(vd
s
m810.8,32
810.77,22
710.42.52
810.54,2)t(v
s
mk810.77,2j710.42,5i810.54,2
2510.00,3
1910.33,5.k7,155j5,30i143)t(v
kg25
10.00,32
810.3
1910.6,1·910169
2c
GeV169)t(m
)t(m
)t(pvvm
s
mkg1910.33,5.k7,155j5,30i143)t(p
−=−==
=
+
+
−=
++−=−
−++−=
−=
−==
==−++−=
B5.-Calcular la distancia recorrida por el quark top antes de desintegrase utilizando la solución más probable. Se supone que la vida media del quark en reposo es 5.10-25 s
30
3. FISICA DE SISTEMAS VIVOS
Dato. Presión atmosférica normal Po=1,013.105 Pa = 760 mmHg Parte A. LA FÍSICA DEL FLUJO SANGUÍNEO
En esta parte usted analizará dos modelos simplificados del flujo de la
sangre en vasos sanguíneos
Los vasos sanguíneos son de forma aproximadamente cilíndrica, y se
sabe que para estados estacionarios, flujo no turbulento y con un fluido
incompresible, en un cilindro rígido la diferencia de presión entre los
extremos de un cilindro viene expresado mediante la ecuación siguiente
Qr
8P
4
=
y r son la longitud y radio del cilindro es la viscosidad del líquido y Q
el flujo volumétrico, esto es, el volumen que pasa por la sección normal
del cilindro en la unidad de tiempo. Esta ecuación proporciona el orden
de la magnitud de la presión en un vaso, aun sin tener en cuenta el flujo
pulsante, la compresibilidad de los vasos y su forma irregular y el
hecho de que la sangre no es un fluido simple sino una mezcla de células
y plasma.
31
Por otra parte esta ecuación tiene la misma forma que la ley de Ohm si
se interpreta que el flujo volumétrico es como la intensidad de corriente,
la diferencia de presión el voltaje y el factor Rr
84
=
la resistencia.
Considerar por ejemplo la red simétrica de arteriolas (arterias pequeñas)
representada en la figura 1 que suministra sangre a los capilares de un
tejido. En esta red cada bifurcación de un vaso da origen a dos idénticos.
Los vasos de los niveles altos son cada vez más estrechos y más cortos.
Considerar que el radio y la longitud de los vasos de dos niveles
consecutivos i e i+1 guardan las relaciones
31
31
2
i1i
;
2
ir
1ir
=
+=
+
A1.-Obtener una ecuación para el flujo volumétrico Q en un vaso de cualquier nivel i, en función del número total de niveles, N, de la
viscosidad , del radio ro y longitud o del primer vaso y de la
diferencia de presión capo PPP −= entre la presión en la arteriola a nivel
O y la presión en el lecho capilar P cap.
32
Vamos a aplicarla ecuación Qr
8P
4
=
y las relaciones entre las longitudes y los
radios de los vasos, designando a k
2
1
3
1=
..
.......krkrr;;krkrr;krr
.......kk;;kk;k
3
o23
2
o12o1
3
o23
2
o12o1
=====
=====
3
o
43
o
3
oo
4
4
3
43
2
o
42
o
2
o
2
o
4
2
232
o
4
o
o0
4
1
121
04
0
o10
2
Q
)kr(
k8
16
Q
r
8PP
2
Q
)kr(
k8
2
Q
r
8PP
2
Q
)kr(
k8
2
Q
r
8PP
Qr
8PP
=
=−
=
=−
=
=−
=−
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones anteriores
4r
Q8)1111(
r
Q8PPP
2
12
1
2
12
1
2
12
11
r
Q8PPP
k2
1
k2
1
k2
11
r
Q8PPP
k2
k
k2
k
k2
k1
r
Q8PPP
4
o
oo
4
o
oo
4o
9
3
1
3
6
3
1
2
3
3
1
4
o
oo4o
936234
o
oo4o
123
3
82
2
44
o
oo4o
=+++
==−
+++
==−
+++
==−
+++
==−
33
Generalizando
N8
rPQN
r
Q8P
o
4
oo4
o
oo
=
=
Si nos fijamos en la figura 1 en el nivel 1 hay dos arteriolas, en el nivel 2 hay 22, en el
nivel 3 hay 23 y en el nivel 4 hay 24 ; en el nivel i hay 2i y el flujo es Qo/2i
i3
o
4
o
i
o
4
o
i
oi
2
1·
N
rP
2
1
N8
rP
2
+
=
==
Vamos a obtener el resultado de Qo de forma más rápida
Recordemos que i
3
1
o
i
oi
i3
1
o
i
o 2rkrr;2lki−−
====
i
o
i2
o12
o
12
QQ.....;
2
Q
2
QQ;
2
QQ ====
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
1
4
o
oo
1
i3
1
i3
1
4
o
oo1
i3
4
i
i3
1
4
o
oo1
4i
3
1
o
i3
1
o
i
o1
4
i
ii
N
0i
N
0i
N
0i
N
0i
N
0i
1r
8QP
2
2
r
8Q
2·2
2
r
8Q
2r
28
2
Q
r
8QP
El sumatorio de i=0 a i = N-1 es el mismo que el sumatorio de i=1 a i=N. Como el
sumando no depende del índice, la suma de los números es N.
Nr
Q8P
4
o
oo
=
Ponemos todos los términos de la ecuación en el sistema internacional
A2.- Calcular el valor numérico del flujo volumétrico Qo en la arteriola de nivel 0, siendo su radio 6,0,10-5 m , su longitud 2,0.10-3 m. La presión interna en la arteriola es 55 mm Hg . La red de vasos tiene N=6 niveles enlazando estas arteriola con el lecho capilar a la presión de 30 mmHg. La viscosidad de la sangre 3,5.10-3 kg m-1 s-1. Dar el resultado en mL/hora
34
( )
h
mL5,1
3600
1
1010.04,4
s
m10.04,4
6·10.5,3·10.0,2·8
10.296,1·10.332,3Q
m10.0,2;m10.296,110.0,6)r(
Pa10.332,310.013,1·760
3055P;
N8
rPQ
610
310
33
173
o
3
o
417454
o
35
o
4
o
o
===
=
===
=−
=
=
−−
−−
−
−−−
Un vaso sanguíneo como un circuito LCR
La aproximación de considerar vasos cilíndricos rígidos es muy
elemental por varias razones. Es importante incluir el flujo dependiente
del tiempo, así como tener en cuenta el cambio en el diámetro del vaso
que ocurre por los cambios de presión debidos a los ciclos de bombeo del
corazón. Además se conoce que en los vasos más largos la presión varía
significativamente durante un ciclo mientras que en los vasos más
pequeños las oscilaciones de la presión son mucho menores y el flujo es
prácticamente independiente del tiempo.
Cuando la presión aumente en un único vaso elástico se produce un
aumento de su diámetro, con lo que aumenta la cantidad de fluido que se
almacena en dicho vaso y que debe salir cuando la presión disminuye.
Por esta razón el comportamiento elástico de los vasos se puede simular
añadiendo un condensador a nuestra descripción inicial. Si se tiene
presente que el flujo depende del tiempo hay que considerar la inercia del
fluido que es proporcional a su densidad =1,05.103 kg/m3. Esta inercia
se describe mediante una inductancia que se añade al modelo. En la
figura 2 está representado el circuito eléctrico empleado en nuestro
modelo.
35
La capacidad e inducción están dadas por las siguientes ecuaciones
2
3
r4
9L;
hE2
r3C
=
=
h es el espesor de la pared del vaso y E es el módulo de Young de la
arteria, un coeficiente que describe la alteración del tamaño del vaso
cuando se le aplica una fuerza. El modulo de Young tiene dimensiones
de presión y su valor E=0,06 MPa para las arteriolas.
El circuito eléctrico está en serie y su impedancia es.
El circuito eléctrico está en serie y su impedancia es.
222
2
C
1LRZ
−+=
En el enunciado se identifica la diferencia de presión con el voltaje y la intensidad con
el flujo volumétrico
La intensidad de la corriente 2
2
inin
C
1LR
P
Z
PI
−+
==
La diferencia de potencial entre los extremos del condensador
( )22222
in
2
2
inout
1LCCR
P
C
1·
C
1LR
P
C
1·IP
−+
=
−+
=
=
A3.-Obtener, en régimen estacionario, la presión a la salida del vaso Pout en función de la presión de entrada Pin , la resistencia R, el
coeficiente L, y la capacidad C, para un flujo con frecuencia angular .
Establecer la relación entre , , E , h, r y para que a frecuencias
bajas la presión de salida sea menor que la de entrada Pin
36
Para que Pout sea inferior a Pin el denominador de la ecuación anterior debe ser mayor
que la unidad.
1CL21CLCR1CL21CLCR 24222222422222 −++−++
A frecuencias bajas despreciamos el término L2C2 4
1Ehr3
641
Ehr9
2·961
r2
9
Ehr
96
1
r4
92
hE2
r3·
r
8
1L2
CRL2CRCL211CR
3
22
3
22
2
5
23
2
32
4
222222
+−
De la inecuación anterior multiplicando por h resulta
hEr3
643
22
Aplicamos esta inecuación al vaso i
i3
i
22
i hEr3
64
Recordemos que
i
3
1oii
3
1oi2
3
1o
3
112
3
1o1
2
1rr
2
1l.......
2
1
2
1;
2
1
=
=
===
Sustituyendo en la ecuación anterior
A4.-Para la red de vasos interconectados en A2, estimar el espesor máximo de pared de la arteriola h, de modo que la condición establecida en A3 se cumpla (considerar que h es variable independiente)
37
i3
i
3
o
22
oi
i3
3
1
3
o
i2
3
1
2
o
2
h2·Er3
64h
2
1r
2
1
·E3
64
Cuando i=0 la condición es que su h está limitada a no alcanzar y menos a sobrepasar el
siguiente valor, luego el límite máximo es
( ) ( )( )
m10.7,710.06,0·10.6·10.05,1·3
10.5,3·10.2·64 5
6353
2323−
−
−−
=
Cuando i=1 la condición es que su h está limitada a no alcanzar y menos a sobrepasar el
siguiente valor, luego el límite máximo es
m10.7,92·10.7,7 53
1
5 −− =
Esta condición la cumple cualquier espesor que esté por debajo del anterior valor, luego la
cumple, por ejemplo, un valor como 9,10-5 m con lo que supone que al ser dos las arteriolas
estas podrían tener más espesor que la primera pero también la cumple una arteriola con
espesor de pared inferior a 7,7.10-5 m , Ahora sabemos que las arteriolas cuando mayor es su
número su espesor de pared es menor y no mayor, esto nos obliga a pensar que el mayor espesor
de pared lo tiene la primera arteriola y ese espesor puede estar cercano a 7,7.10-5 m pero no
alcanzarlo , en otras palabras ese es el espesor de pared máximo.
Parte B. CRECIMIENTO DE UN TUMOR
El crecimiento de un tumor es un proceso complejo donde mecanismos
biológicos tales como la proliferación de células y la natural selección
están entrelazados con física. En este problema consideramos un modelo
simplificado del crecimiento de un tumor que aborda el aumento de
presión que se observa generalmente en los tumores.
Considerar un grupo de células normales formando un tejido rodeado
por una membrana inextensible cuya fuerza obliga a mantener siempre
la misma forma: una esfera de radio R.(figura 3)
38
Inicialmente el tejido no tiene tensión residual, esto significa que la
presión en cada punto es igual a la atmosférica.
En el tiempo t=0 un tumor comienza a crecer por el centro de la esfera y
a consecuencia de ello la presión dentro del tejido aumenta. Considerar
que ambos tejidos (normal N y tumor T) son compresibles y sus
densidades N y T aumentan linealmente con la presión
+=
+=
T
oT
N
oNK
p1;
K
p1
Donde o es la densidad en reposo del tejido, p es la diferencia de presión
con la atmosférica y KN y KT son los módulos de compresibilidad (módulo
volumétrico) de los tejidos normal y tumor. En general los tumores son
duros y por ello tienen módulos volumétricos altos.
En el tiempo t=0 el volumen del tejido normal es V y la densidad o,, en ese instante el volumen
del tumor es nulo. La masa del tejido normal es: ON VM = . Cuando al cabo de un tiempo
el tumor haya crecido hasta ser una esfera de radio RT, el volumen del tejido normal es V-VT y
su densidad ha aumentado. Teniendo en cuenta que la masa de las células normales no se alteran
, luego:
+−==
N
oToNK
p1)VV(VM
B1.-La masa de las células normales no se altera mientras que el tumor esté creciendo. Obtener la relación entre el volumen del tumor y el volumen total del tejido v=VT/V en función de la relación entre la masa
del tumor (MT) y la masa normal del tejido (MN) , (=MT/MN) y la relación
entre los módulos =KN/KT
39
Para el tumor
T
oT
TT
ToT
T
T
0TTTT KV
KMp
K
p1
V
M
K
p1VVM −
==−
+==
Sustituyendo p en la ecuación de MN
+−
−=
+−−=
−
+−=
−
+−=
TNN
TT
N
TT
N
N
TNN
TT
N
TNTN
N
T
NT
TT
NT
N
T
NT
TT
NTN
VKM
VKM
K
K1
V
V1
M
M
VKM
VKM
K
K1
V
M)VV(M
K
KMV
VKM
1V
M)VV(
K
K
V
MV
KM
1V
M)VV(M
Sustituyendo por las relaciones del enunciado
0)1(v)1(vvvvvvv
v
vv)v1(1
v
1)v1(1
v
11)v1(1
222 =++−−−+−+−=
+−−=
+
−−=
+
−−=
Resolviendo la ecuación de segundo grado
)1(2
)1(4)1()1(v
2
−
−−++=
La hipertermia se utiliza algunas veces junto con la quimioterapia y la
radioterapia para el tratamiento del cáncer. En el tratamiento con
hipertermia las células cancerosas se calientan de modo selectivo a 43º C,
que es una temperatura superior a la normal del cuerpo que es 37º, de
este modo se induce la muerte de esas células
Se está investigando con nanotubos de carbono cubiertos con proteínas
especiales que tienen capacidad para unirse a las células cancerosas.
Cuando el tejido es irradiado con rayos infrarrojos cercanos los
nanotubos la absorben con mayor intensidad que el tejido circundante y
por consiguiente pueden ser calentados selectivament, así como a las
células tumorales que están conectadas.
Considerar que el tumor las células normales y el tejido circundante
tienen una conductividad térmica constante, esto significa, para este
problema, que la energía que atraviesa una superficie esférica de radio
r por unidad de área y unidad de tiempo es igual a k veces la derivada de
40
la temperatura respecto de r. Los nanotubos se distribuyen de forma
uniforme en todo el volumen del tumor y son capaces de entregar una
potencia P de energía térmica por unidad de volumen. Suponer que la
temperatura es igual a la humana normal pero muy lejos del tumor.
Consideramos una esfera de radio r<RT cuyo centro coincide con el centro del tejido
normal En el estado estacionario la potencia entregada en todo el volumen sale por la
superficie a través de la esfera de radio r y según la descripción anterior
CteTk6
rdTdr
k3
r
dr
dTr4kr
3
42
23 +−=−=
−= PPP
Si r =0 , la constante Cte = Tc , la temperatura del centro del tumor
Ahora consideramos una esfera de radio Rg> RT, como solo se entrega potencia en el
volumen del tumor toda ella atravesará la superficie de radio Rg
´CteTR
1
k3
RdTdR
Rk3
R
dR
dTR4kR
3
4
g
3
Tg2
g
3
T
g
2
g
3
T +−=
− −=
−=
PPP
Cuando la distancia Rg esté muy lejos del tumor la temperatura es Th= 37+273=310 K
y como Rg es muy grande el primer miembro es prácticamente cero y por tanto la
constante Cte´ = Th (temperatura normal del cuerpo humano). Aplicamos ambas ecuaciones al borde exterior del tumor r = RT y Rg = RT. Ambas
ecuaciones deben coincidir en la temperatura.
310k2
RT
k2
RTT
k6
R2RTCte
Tk3
R
k6
RCte.T
R
1
k3
R
k6
RCte
TTR
1
k3
R;CteT
k6
R
2
Th
2
Tch
2
T
2
Tc
h
2
T
2
Th
T
3
T
2
T
hRT
T
3
TRT
2
T
+=+=++
==
++=+
=−
+−=
−+−=
PPPP
PPPP
PP
B2.-Obtener para el estado estacionario la temperatura en el centro del tumor en función de P, k , la temperatura del cuerpo humano y el radio
del tumor RT.
41
Como las células tumorales están dentro del radio RT
Partimos de la ecuación ´CteTR
1
k3
R
g
3
T +−=
− P.
El límite de la temperatura corresponde al borde el tumor, allí Rg= RT si esas células del
borde se calientan a 43ºC el resto de ellas lo hace a mayor temperatura.
( ) 3
3
22min
2
T
hh
2
Th
2
T
m
W10.3,4
10.5
)310316(·6,0·3
R
)T-k(T3T-T
k3
RTT
k3
R
=−
=
==
+−=
−
−
P
PPP
Considerar que el tumor se está irrigando por una red de vasos cuyas
ramas son las mismas que la del apartado A1.
A medida que el tumor crece su presión p llega ser mayor que Pcap en los
vasos de radio más pequeño y esto da lugar a que el radio de ellos
disminuya en una cantidad pequeña r. Si la presión alcanza un valor
crítico pc (que podría corresponder a una disminución del radio r) los
vasos más delgados pueden estrecharse y como consecuencia
comprometer seriamente la irrigación del tumor. La presión y el cambio
de radio están relacionados por las siguientes relaciones
fenomenológicas
cccap
c
cap r
r
r
r21
p
p1
P
p
−
−=−
Considerar que justamente los vasos más pequeños (los de nivel N-1)
tienen su radio alterado cuando el tumor aumenta su presión.
B3.- Obtener la potencia mínima por unidad de volumen Pmin para
calentar todas las células tumorales de un tumor de radio 5,0 cm a una temperatura mayor de 43ºC. La conductividad térmica del tejido es k=0,60 WK-1m-1
42
Operando en la ecuación el enunciado
−
−=
−=
−
−=−
2
cccap
capc
cap
cap
cccap
c
cap r
r
r
r2
P
Pp
P
Pp
r
r
r
r21
P
p1
P
p
Según el enunciado p-Pcap es pequeño también lo será la variación del radio del capilar
y el término al cuadrado puede despreciarse
( ) c
capc
cap
c
capccap rPp2
Ppr
r
r2PpPp
−
−=
=−=−
La presión puede ser relacionada con el volumen, sabemos que la densidad del tejido
normal es N
N
NV
M= , por ser el tejido normal compresible oN VM = .Sustituyendo
esta última ecuación en la anterior
v1
V
V
V
VVV
V o
T
o
T
oN
−
=
−
=
−
=
Según el enunciado
+=
N
oNK
p1 (verlo al principio de la parte B)
N
NN
N
NN
o
o
Kv1
vp
p1v1
1KpK
v1
K
K
p1
v1
1
K
p1
v1
−=
=
−
−=−
−+=
−
+=
−
La variación de presión producida por el crecimiento del tumor afectará al flujo
volumétrico Qo en una cantidad Qo
En el apartado A1 se encontró la ecuación
−
=
−
=
=−
=
1
4
i
i
i
oio
1
4
i
ii
N
0i
N
0i r
8
2
QPP
r
8QP
B4.- En régimen lineal (esto es, considerar que p-Pcap es muy pequeño), determinar la caída relativa del flujo dQ N-1/Q N-1 en estos vasos más delgados en función del cociente v=VT/V , KN , N, pc, rc , r N-1 , P cap
43
Para una variación pequeña de r al crecer el tumor, ocasionará una variación pequeña
del flujo volumétrico y de la presión
−
=
+=
1
4
i
i
ioo
N
0i r2
8)QQ(P
Recordemos
3
io
i
oi
3
o23
2
o12o1
3
io
i
oi
3
o23
2
o12o1
2
1rkrr..........krkrr;;krkrr;krr
2
1k.......kk;;kk;k
=======
=======
Alteración )ificarmod(sinr;rrr;QQQ 1N1N1Nooo −−− −=−→
;
El paréntesis se ha puesto para distinguir el (rN-1) no modificado del que se modifica
+
++
+
+
+=
+=
−
−
−
−
−
−
−
=
4
1N
1N
1N
4
2N
2N
2N
4
2
2
2
4
1
1
1
4
o
0
o
oo
1
4
i
i
ioo
r2
8..
r2
8.......
r2
8
r2
8
r2
8)QQ(P
r2
8)QQ(PN
0i
+
++
+
+
+=
+
++
+
+
+=
−−
−
−−
−
−−
−−−−
4444
o
o
o
o
o
2
o
o
1
o
1
4o
o
4o
0
o
41N
4o
0
o
42N
4o
0
o
42
2
4o
0
o
41
1
4o
0
o
4o
0
o
4o
o
r
r2
r
r2
.........
r
r2
r
r2
1r
8)QQ(P
r2
8
r2
8
r2
8
r2
8
......
r2
8
r2
8
r2
8
r2
8
r2
8
r2
8
r
8)QQ(P
1N1N
1N
2N2N
2N
1N2N
2
2
1
oo
1N2N
21
oo
−
=−−
−
=
++
+
+2N
0i
o
ii
o
i
o
2N2N
o
2N
o
22
o
2
o
11
o
1
4444
r
r2
r
r2
.........
r
r2
r
r2
1
44
+
+=
−−
−
−
=
444
o
1N1N
o
1N
2N
0i
o
ii
o
i
o
ooo
r
r2
r
r2
r
8)QQ(P
Sustituimos en la ecuación anterior
3
ioi
3
ioi
2
1rr.y
2
1. ==
+
+=
+
+=
−−
−−
−−
−
−
=
=
4
o
1N1N
3
1N2N
i
i
3
i
o
ooo
4
o
1N1N
o
1N
2N
i4
o
3
io
3
i
o
o
o
ooo
r
r2
2
1
2
12
2
1
r
8)QQ(P
r
r2
r
2
1r
2
2
1
r
8)QQ(P
0
0
3
i4
4
i
4
1N
2
2
2·2
2
2
12
2
1
2N2N
0i 3
i
i
2N
0I
i
3
i
0i 3i4
3i4
3i4
3i4
−===
−−
=
−
= =
+−
+=
−−
−
44
o
1N1N
3
1N
o
ooo
r
r2
2
1
1Nr
8)QQ(P
45
−=
−=−=−=
−
−−
−
−−−
o
3
1N
3
1N
o3
1N
o
1N
3
1N
o1N1N
r
2·r1
2
1
r
r
2
1
r
rr
2
rrrr
Sustituyendo en la ecuación anterior
−
+−
+=
===
−
+−
+=
−
+−
+=
−
+−
+=
−
−
−−−
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
44
44
4
4
4
44
1N
o
ooo
3
1N
1No
3
1N
o
1N
3
i
o
i
o
3
1N
3
)1N(4
3
)1N(4
o
o
oo
o
3
1N
3
1N
1N
3
1N
o
ooo
o
3
1N
3
1N
1N
3
1N
o
ooo
r
r1
11N
r
8)QQ(P
2rr
2
rr
2
rr
·
r
2r12
21N
r
8)QQ(P
r
2·r1
2
2
2
1
1Nr
8)QQ(P
r
2·r1
2
12
2
1
1Nr
8)QQ(P
46
De la ecuación de A1
44o
o
oo
oo
r
8
NQ
PN
r
Q8P
=
=
Dado que el enunciado dice que r es pequeño despreciamos los términos elevados al
cuadrado
1N1N
2
1N1N1N
1N
2
1N1N
2
1N
2
1N
2
1N1N
r
r41
r
r4
r
r21
r
r21·
r
r21
r
r2
r
r1·
r
r2
r
r1
r
r1·
r
r1
r
r1
4
−−−−−
−−−−−−−
−
−
+=
−
−
−
+
−
+=
−
−=
−
Sustituyendo en P
1N0
o
1N0
o
2
1N
1N
0
o
1N1N
1N
0
o
1N
0
o
1N0
o
1No
oo
1No
oo
2
1N
1N
o
oo
1N1N
1N
o
oo
1N
o
oo
rN
r4
Q
Q
rN
r41
Q
Q1
rN
r41
rN
r41
Q
Q1
rN
r41·
rN
r41
rN
r41
Q
Q1
rN
r41
1
Q
Q1
rN
r41
Q
Q11
rN
r41
Q
QQ1
r
r4N
NQ
QQ1
r
r41
r
r41
1NNQ
QQ1
r
r41·
r
r41
r
r41
1NNQ
QQ1
r
r41
11N
NQ
P)QQ(P
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
−=
−=
+
−
−
=
+
−
+
−
=
+
+
=
+
+
+=
+
+=
+
+=
−
+
+−+
=
+
−
+
+−+
=
−
+−
+=
Sustituyendo en esta ecuación el valor de r deducido antes y el de p
47
1Ncapc
capN
1N
1N
c
1Ncapc
capN
1N
c
capc
cap
1N
1N
0
o
r)v1()Pp(
)v1(PvK
N
2
Q
Q
rr)Pp(2
PKv1
v
N
4
r
r)Pp(2
Pp
N
4
Q
Q
Q
Q
−−
−
−−−
−
−−
−−−=
−
−
−−=
−
−
−=
=
Agradecemos a Juan Francisco González Martínez investigador en la Universidad de
Malmö la ayuda que nos ha prestado para el desarrollo del apartado B4 de este
problema.