1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales De Física

José Luis Hernández Pérez

Ricardo David Fernández Cruz

Jaime Solá de los Santos

Madrid 2016

2

XLVII. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2016. SUIZA

1.-DOS PROBLEMAS DE MECÁNICA.

Problema A. El disco oculto. Un cilindro sólido de madera tiene un radio r1 y una altura h1. Dentro de

ese cilindro se ha introducido un disco de metal de radio r2 y espesor h2.

El eje B del disco de metal es paralelo al de simetría S del cilindro

original de madera y está colocado de modo simétrico, esto es, dista igual

de la cara superior del disco de madera que de la cara inferior. La

distancia entre los ejes S y B se designa con d y con 1 la densidad de la

madera y 2 la del metal, siendo 2>1. M es la masa total del cilindro de

madera con el de metal en su interior.

Si colocamos el cilindro sobre un suelo horizontal podrá rodar

libremente hacia la derecha o hacia la izquierda.

La figura 1a es una vista superior y la 1b es una vista lateral del disco

de madera con el de metal.

El objetivo del problema es determinar el tamaño y la posición del disco

de metal.

En todo lo que sigue se ha de suponer que son conocidas las siguientes

magnitudes

r1 ; h1 ; 1 ; 2 ; M (1)

Figura 1. a) Vista superior b) Vista lateral

3

La distancia entre el centro de masas C de todo el sistema y el eje de

simetría S del cilindro se designa con b. Para determinar esta distancia

se realiza el siguiente experimento: Se coloca el cilindro sobre una base

horizontal y una vez que esté en equilibrio, se levanta la base de forma

que llegue a formar con la horizontal un ángulo (ver la figura 2),

debido a la fricción estática el cilindro rodará sin deslizamiento una

pequeña distancia hasta que alcance una posición estable después de

describir un ángulo que se puede medir.

Figura 2. El cilindro en equilibrio sobre la base inclinada

En lo que sigue se asume que el valor de b es conocido

A.1 Encontrar una ecuación de b en función de alguna de las

magnitudes (1), del ángulo y del ángulo de la inclinación de la base.

Figura A1a) Figura A1b)

4

La figura A1a) representa la posición de equilibrio estable del cilindro cuando está

apoyado sobre un suelo horizontal. La figura A1b) representa la posición estable del

cilindro cuando está apoyado sobre un suelo inclinado respecto de la horizontal un

ángulo El peso aplicado en el c.d.m. del sistema está en C y tiene que pasar por el

punto de contacto, cilindro-plano inclinado, por ser el equilibrio estable. Observando la

figura se deduce.

sen

senrbsenrsenb

r

Hsen;

b

Hsen 1

1

1

Figura 3. El sistema colgado por su eje S

A continuación deseamos medir el momento de inercia IS del sistema

respecto del eje de simetría S. Para ello colgamos el cilindro por su eje de

simetría mediante una barra rígida. Luego lo desplazamos un ángulo

pequeño de su posición de equilibrio y lo dejamos en libertad. Ver la

figura 3 del dispositivo. Encontramos que el sistema oscila con un

periodo T

A.2 Determinar la ecuación del movimiento de φ. Calcular el momento de inercia IS del sistema respecto al eje de simetría S en función de T, b y alguna de las cantidades de (1). Se admite que el desplazamiento del sistema es tal que el ángulo φ es pequeño.

S

barra

C.M.

Mg

5

A la distancia b de S actúa el peso del sistema Mg el cual crea un momento de módulo

senMg que tiende a volver al sistema a su posición de equilibrio. De acuerdo con la

ley de Newton para la rotación

SIsenbgM

Si el ángulo desplazado es pequeño el valor del seno es prácticamente igual al del

ángulo medido en radianes

2

22

2

2

S

2

2

Sdt

d;

dt

d

I

bgM;

dt

dIbgM

Esta es la ecuación de un movimiento armónico de rotación cuyo periodo es:

2

2

S

S

4

TbgMI

bgM

I2T

A partir de las medidas obtenidas en las preguntas A.1 y A.2 queremos

determinar la geometría y la posición del disco de metal ubicado dentro

del cilindro de madera.

Designamos con Mm a la masa del cilindro de metal incrustado en el cilindro de madera

22

2

2m hrM

Y con MRM a la masa del resto de la madera, cuya densidad es 1

mRM MMM

El disco completo de madera lo consideramos dividido en dos partes: Una es MRM y la

otra es un cilindro de la misma madera y de las mismas dimensiones que el de metal.

Designamos con MDM a la masa de ese disco

12

2

2DM hrM

La suma MDM +MRM es la masa del disco completo de madera.

Consideremos virtualmente al cilindro de madera, incluyendo al hueco que ocupa el

disco, como macizo y homogéneo, si tomamos unos ejes coordenados como indica la

figura A3 la coordenada x del centro de masas del cilindro es cero

A.3 Expresar la distancia d en función de b y alguna de las constantes (1). Se debe incluir r2 y h2 como variables en su ecuación, las cuales se calcularán en el apartado A5.

6

Si designamos con xRM a la abscisa del centro de masas de la parte del cilindro de masa

MRM podemos escribir

d·Mx·MMM

d·Mx·M0 DMRMRM

DMRM

DMRMRM

Volvamos a la figura A3, el disco pequeño de madera lo sustituimos por el de metal,

entonces la abscisa del sistema es b y escribimos

)1(hr

bMddhrhrdMb

M

d·Md·Mb

M

d·Mx·M

MM

d·Mx·Mb

122

2

2

22

2

212

2

2

MDMmRMRM

mRM

mRMRM

Momento de inercia del cilindro completo y macizo, de madera

4

111

2

111

2

11 r·h2

1r·hr

2

1I

Como el sistema no es un cilindro completo de madera, añadimos un momento de

inercia cuya densidad consideramos negativa, correspondiente a un espacio ficticio de

madera, que en realidad ocupa el metal. Aplicamos el teorema de Steiner.

2

12

2

2

2

212

2

2

2

12

2

2

2

212

2

22 d·hrr·hr2

1dhrrhr

2

1I

La contribución al m.d.i. del sistema, del cilindro de metal respecto del mismo eje, es

teniendo también en cuenta el teorema de Steiner.

2

22

2

2

2

222

2

23 d·hrr·hr2

1I

El momento de inercia del sistema IS es la suma algebraica de los tres términos

X

S

Fig. A3 madera

madera

A.4 Expresar IS en función de b y alguna de las constantes (1). Se debe incluir r2 y h2 como variables en su ecuación, las cuales se calcularán en el apartado A5.

7

2

122

2

212

4

22

4

111S

2

22

2

2

4

222

22

212

4

212

4

111S

dhrrh2

1r·h

2

1I

d·hrr·h2

1drhrh

2

1r·h

2

1I

Sustituyendo d de la ecuación (1)

122

2

2

22

12

4

22

4

111S

2

122

2

2

22

122

2

212

4

22

4

111S

hr

bMrh

2

1r·h

2

1I

hr

bMhrrh

2

1r·h

2

1I

La masa M del sistema es la suma de la masa de la madera más la del metal

)2(hrMhr

hrhrhrhrhrM

11

2

1122

2

2

122

2

211

2

122

2

212

2

211

2

1

Escribimos de nuevo la ecuación de IS pero separando el término: r4= r2·r2

122

2

2

22

12

2

2

2

22

4

111Shr

bMr·rh

2

1r·h

2

1I

Sustituyendo (2) y (1)

11

2

1

222

111

2

2

11

2

1

2

2

11

2

1

22

11

2

1

4

111

11

2

1

2

22

2

11

2

1

224

1112

2

11

2

1

2

2

2

2

11

2

1

22

11

2

1

2

2

4

111S

hrM

bM

2

rh

4

TbgM

hrM

2r

hrM

bM

hrM2

rh2

hrM4

TbgM2r

hrM

bMrh

2

1

4

TbgMhrMr

2

1

4

TbgM

hrM

bMhrMr

2

1rh

2

1I

A.5 Utilizando todos los resultados anteriores escriba una relación para h2 y r2 en función de b, T y las cantidades conocidas de (1). Debe relacionarse h2 en función de r2.

8

Esta ecuación permite calcular r2 en función de (1) , b y T. Calculado el valor de r2

basta sustituir en

12

2

2

11

2

1211

2

1122

2

2r

hrMhhrMhr

Para obtener el valor de h2.

Problema B. Una estación espacial rotatoria Alicia es una astronauta que vive en una estación espacial. Dicha

estación es una rueda gigantesca de radio R que está girando alrededor

de su eje, con lo que proporciona una gravedad artificial para los

astronautas. Estos viven en el borde de la rueda. La atracción

gravitatoria de la estación espacial y la curvatura no deben

considerarse.

Consideremos que los astronautas están en reposo en la estación espacial, que es un

sistema no inercial por estar girando, por tanto, desde ese punto de vista los astronautas

están sometidos a fuerzas de interacción y a fuerzas de inercia. La fuerza de interacción

es la reacción N

perpendicular al contacto con la estación espacial, que es

proporcionada por el borde y dirigida hacia el centro de la gigantesca rueda y la fuerza

de inercia, que en este caso es la fuerza centrífuga, de dirección radial y con sentido

saliente de O.

Para un observador inercial que está fuera de la rueda identifica a N

con la fuerza

centrípeta que actúa sobre el astronauta ya que para ese observador el astronauta esta

girando.

R

ggmRm E

SSE

2

SS

Alicia y su amigo el astronauta Bob están en desacuerdo, ya que Bob

piensa que en realidad no están viviendo en una estación espacial sino en

la Tierra .Alicia quiere, mediante argumentos físicos, demostrar a Bob

B1 Determinar la frecuencia angular SS de la estación si los astronautas experimentan una atracción gravitatoria artificial gE igual a

la de la superficie terrestre.

9

que ambos realmente están viviendo en una estación espacial. Para ello

coloca una masa m en el extremo de un muelle de constante k que puede

oscilar y lo hará solamente en dirección vertical y no lo hará en

dirección horizontal

Si el muelle con su masa m está en la Tierra, sobre la masa m actúan dos fuerzas: el

peso de la masa mgE y la fuerza elástica del muelle. La situación física es la de la figura

B2.

En (1) el muelle tiene su longitud natural sin masa colgada, su longitud es xo En (2) al

muelle se le ha colgado una masa m que pesa mgE y el muelle se estira y su longitud es

xe.de modo que (2) es una posición de equilibrio y por tanto

EeooeE gmxkxkxxkgm

En la posición (3) la longitud del muelle es x>xe y la fuerza elástica )xx(k o Aquí la

fuerza elástica es mayor que el peso y tenderá a llevar a la masa a la posición de

equilibrio. La ecuación del movimiento es:

B2 Suponiendo que la gravedad en la Tierra es constante con una

aceleración gE, ¿cuál debe ser el valor de la frecuencia E medida por una persona en la Tierra?

Fig.B2

10

)1(dt

xdmxxk

dt

xdmgmkxxkgm

dt

xdmkxxkgm

dt

xdmxxkgm

2

2

e2

2

EeE

2

2

oE2

2

oE

Hacemos x-xe =u , siendo u la distancia desde la posición de equilibrio (2) a la masa

2

2

2

2

edt

ud

dt

xd

dt

du

dt

dxuxx

Sustituyendo en la ecuación (1)

)2(dt

udu

m

k

dt

udmuk

2

2

2

2

La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es.

m

k (3)

Vamos a extendernos más en el argumento anterior. Hemos designado con xo la

longitud natural del muelle, posición (1); con xe la longitud del muelle en la posición de

equilibrio (2) ; y con x la longitud en una posición cualquiera siendo x variable., k es la

constante elástica del muelle, la fuerza elástica que tira de la masa en la posición (3) es

).xx(kF o

La energía potencial elástica almacenada por el muelle vale 2

oE xxk2

1U . Pero la

masa m tiene energía potencial gravitatoria respecto de la posición (1) de referencia con

energía potencial nula

)xx(gmU oEG

La energía potencial total es la suma de las dos

)xx(mg)xx(k2

1U oE

2

oT

La fuerza Fx actuando sobre la masa m vale

EoT

x mgxxkdx

dUF

Cuando x=xo, la fuerza Fx no es nula, luego xo no es una posición de equilibrio. La

posición de equilibrio se logra cuando

11

k

gmxxg

k

mxx0mgxxk E

oeEoeEoe

Naturalmente este resultado coincide con la posición de equilibrio que obtuvimos

mediante el equilibrio del peso con la fuerza elástica

Un movimiento vibratorio armónico tiene una posición de equilibrio donde la fuerza es

cero y a partir de esa posición es aplicable la ecuación (2).

.

El muelle tiene una longitud natural xo.(Fig.B3). Ese muelle lo coloca Alicia con una

masa m y el muelle se comprime por acción de la fuerza centrífuga, al irse

comprimiendo aparece una fuerza elástica en sentido contrario. Cuando ambas fuerzas

se igualen el muelle tiene una cierta longitud xe que es de equilibrio. En la tercera

posición la longitud del muelle es x y la fuerza elástica y la centrífuga tienden a llevarlo

hacia la posición de equilibrio

De la posición de equilibrio, se deduce que

e

2

sseoeoe

2

ss xRmxkxkxxkxRm

En la posición de la derecha la longitud del muelle es x>xe el muelle se moverá hacia la

posición de equilibrio, por la acción de las fuerzas centrifuga y elástica.

B3 ¿Qué frecuencia angular mide Alicia en la estación espacial?

Fig.B3

12

)4(dt

xdmxxkxxm

dt

xdmxmRmkxxkxmRm

dt

xdmxRmkxxkxmRm

dt

xdmkxxkxmRm

dt

xdmxxkxRm

2

2

ee

2

ss

2

2

e

2

ss

2

sse

2

ss

2

ss

2

2

e

2

sse

2

ss

2

ss

2

2

o

2

ss

2

ss2

2

o

2

ss

Hacemos x-xe = v , siendo v la distancia desde x a la posición de equilibrio

2

2

2

2

edt

vd

dt

xd

dt

dv

dt

dxvxx

Sustituyendo en la ecuación (4)

)5(dt

vdv

dt

vdv

m

k

dt

vdmvmvk

2

22

2

22

ss2

22

ss

La ecuación (5) es la de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es.

2

ssm

k (6)

Alicia está convencida de que su experimento prueba que están en una

plataforma rotatoria., sin embargo Bob es escéptico y

argumenta que cuando se tiene en cuenta el cambio de la gravedad por

encima de la superficie terrestre se encuentra un efecto similar. En las

siguientes preguntas investigamos si Bob tiene razón.

13

Figura 4. Estación espacial

Sea h la altura por encima de la superficie terrestre, ME la masa de la Tierra y g(h) la

intensidad del campo gravitatorio a esa altura

Rh2R

MG

hR

MG)h(g

2

E

2

E

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es

2

EE

R

MGg

Combinando las dos ecuaciones

)7(R

gh2ghg

R

h21g

R

h41

R

h21g

R

h21

R

h21

R

h21g

R

h21

g

h2R

Rg

Rh2R

Rg)h(g

E

EE

E

2

2

EE

EE

2

2

E

B4 Obtenga una expresión de la gravedad gE(h) , gravedad en función de la altura sobre la superficie terrestre, para alturas de h pequeñas y

calcule la frecuencia de oscilación E de la masa m, La aproximación

lineal es suficiente. El radio de la Tierra se designa RE y en el cálculo se desprecia la rotación terrestre

14

En la figura B4, CT indica el centro de la tierra .La longitud del muelle sin masa es xo y

h es la altura desde el centro de la tierra a la parte superior del muelle. En la posición de

equilibrio la fuerza peso de la masa m es (m g(h´), fuerza dirigida hacia el centro de la

tierra, que es igual a la fuerza elástica del muelle oe xxk . Igualando las fuerzas y

aplicando la ecuación (7) resulta

E

ËEeo

oe

E

ËEoe

R

g´h2gmkxkx

kxkxR

g´h2gm)xx(k´)h(gm

En la posición 3 de la fig, B4 la fuerza elástica es mayor que el peso de la masa m y por

consiguiente la masa m tiende a moverse hacia la posición de equilibrio

2

2

e

E

E

2

2

E

EEe

E

EE

2

2

o

E

EE2

2

o

dt

xdmxxk´´h´h

R

gm2

dt

xdm

R

g´h2gmkxkx

R

g´´h2gm

dt

xdmkxkx

R

g´´h2gm

dt

xdmxxk´´)h(gm

Fig. B4

15

De la figura B4 se deduce que

2

2

E

E

2

2

E

E

2

2

2

2

e

dt

udu

R

g2

m

k

dt

xdmkuu

R

gm2

dt

ud

dt

xd;

dt

du

dt

dxuxx;u´´h´h

Esta ecuación representa un movimiento vibratorio armónico siendo xe la posición

donde las fuerzas se equilibran y cuya frecuencia es:

E

EE

R

g2

m

k

En la estación espacial Alicia encuentra que el resorte oscila con la

frecuencia que Bob predijo.

Del apartado B3 2

SSm

k y del apartado B4

E

EE

R

g2

m

k

Igualando ,E 2

RR

R

g

R

g2

R

g2 EE

E

E2

SS

E

E

Alicia irritada con la terquedad de Bob propone un experimento para

probar su punto de vista. Se sube a una torre de altura H respecto del

suelo de la estación espacial y desde allí deja caer una masa.

Este experimento debe considerarse desde un sistema de referencia

rotatorio y uno inercial.

En un sistema de referencia en rotación, el astronauta percibe una

fuerza de inercia, CF

denominada fuerza de Coriolis. La fuerza CF

que

actúa sobre una masa m desplazándose con velocidad v

en un sistema en

rotación con velocidad angular constante Sω

está dada por la ecuación

SCωvm2F

B5 ¿Para qué radio R de la estación espacial es igual la frecuencia de

oscilación a la frecuencia de oscilación E sobre la tierra? Exprese

la respuesta en términos de RE.

16

Si se utiliza la ecuación anterior en forma escalar se escribe

senωvm2F

SC

Donde es el ángulo que forman la velocidad y el eje de rotación. La

fuerza es perpendicular a la velocidad y al eje de rotación. El signo de la

fuerza se puede determinar por la regla de la mano derecha pero en lo

que sigue usted puede escoger libremente el método que quiera.

Sobre la masa en la caída actúan dos fuerzas: una es la centrífuga radial y hacia fuera y

otra la fuerza de Coriolis siempre perpendicular al vector velocidad y a la velocidad

angular. En la figura B6 se representan la posición inmediatamente posterior a dejar

libre la masa m. Su trayectoria sería curva.

Utilizamos el hecho de considerar que hay dos movimientos producidos por dos fuerzas

independientes..La acción de la fuerza centrífuga influye en el recorrido en vertical de la

masa m; como H es pequeña respecto de R, la fuerza se considera constante en todo el

recorrido

R

H2t

tR2

1ta

2

1HtavaRamRm

2

SS

2

22

SS

2

vvvv

2

SSv

2

SS

B6 Calcule la velocidad horizontal vx y el desplazamiento horizontal dx (relativo a la base de la torre y en dirección perpendicular a la torre) en el instante en que la masa llega al suelo. Usted debe suponer que la altura H de la torre es pequeña y que la aceleración medida por los astronautas es constante durante la caída. También debe suponer que dx<<H

Fig.B6

17

El efecto de la fuerza de Coriolis.

xSSV amsenvm2

Dado que los dos movimientos son simultáneos el tiempo es el hallado antes. El ángulo

entre vs y vale 90º

Cte2

tR2v

dttR2dvdt

dvtR2amtam2

23

SSx

3

SSxx

SS

2

SSXSS V

Cuando t=0 la velocidad es nula, luego Cte=0

SS2

S

3

SS

23

SSX H2R

H2RtRv

A partir de la ecuación anterior

CtetR3

1dttR)d(d

dt

)d(dtRv 33

SS

23

SSxx23

SSX

Cuando t=0 , dx=0, luego Cte=0

R

H8

3

1

R

H8R

3

1

R

H2R

3

1tR

3

1d

3

33

SS

3

3

SS

2

3

2

SS

3

SS

33

SSx

A partir de un sistema inercial

Desde el sistema en rotación, la masa m en el tiempo cero está en reposo para Alicia y

situada en lo alto de la torre, pero para el observador del sistema inercial tiene un

velocidad horizontal

)HR(v SSX

Como el observador inercial ve que la torre gira para él un cierto ángulo , la

velocidad tiene un componente sobre el eje X (si la masa m siguiese en lo alto de la

torre) cuyo valor es

cosHRv SSx

La masa no permanece en lo alto de la torre sino que cae hacia la base de la rueda y

cuando llega al suelo su posición respecto a la t=0, ha descrito un ángulo

18

R

H21R

R

HRH2RRv

R

HRH2R

R

HRHRcosHRv

SS2

22

SSX

22

SSSSSSx

Esta es la velocidad medida por el observador inercial. Si le restamos la de la rueda

obtendremos la que mide Alicia

H2RR

H21Rv SSSX

En la figura B7, AT=H y representa a la torre, XY es un sistema inercial. Desde el

punto de vista de un observador ligado al sistema inercial si la posición inicial es t=0 al

cabo de un tiempo t la rueda ha girado un cierto ángulo y la torre ocupa la posición

A´T´. El cuerpo está inicialmente en lo alto de la torre y el módulo de su velocidad es

HRSS y se desplaza en línea recta AB hasta alcanzar el borde la estación espacial

siendo el ángulo descrito. Las coordenadas del cuerpo son:

HRy;tHRx SS

El cuerpo choca contra el bode de la estación cuando

Fig B7

19

R

H21t

R

RH21

HR

HR2H1t

HR

HR2H

HR

HRR1

HR

Rt

HR

Rt1

Rt1HRRHRtHRRyx

SS

22

SS

22

SS

2

2

2

2

22

2

222

SS2

222

SS

222

SS

2222

SS

222

Este tiempo es el mismo que el que se ha deducido desde el sistema no inercial

De la figura B7 se deduce

R

H2tagarco

R

H2

HR

R

H21HR

tagarcoR

H21

y

xtagarcot SS

SS

SS

SSSS

Utilizamos el desarrollo en serie de arco tangente 3

xxxtagarco

3

3

3

3

R

H8

3

1

3

R

H2

R

H2

R

H2

El arco BT´ es igual al ángulo por el radio

R

H8

3

1R·

R

H8

3

1R·d

3

3

3

x

Con la finalidad de mejorar el resultado Alicia decide realizar el

experimento desde una torre mucho más alta que la anterior. Para su

sorpresa la masa choca contra el suelo al pie de la base de la torre, esto

es , dx=0.

B7 Encontrar la mínima altura de la torre para que dx =0

20

Observemos la figura B7. Desde el punto de vista del observador situado en el sistema

inercial, la masa sigue la trayectoria AB y emplea un tiempo t en llegar al borde de la

estación espacial escribiendo un ángulo . Si en se mismo tiempo la estación describe

un ángulo 2 entonces coinciden la llegada de la masa y de la estación y por

consiguiente dx=0.

El tiempo que emplea la masa en recorrer la distancia AB o girar un ángulo es:

HR

senR

HR

ABt

SSSS

En ese mismo tiempo la estación espacial describe el ángulo 2

SS

2t

De ambas ecuaciones

2

sen1

R

H

2

sen

R

H1

R

H1

sen

HR

Rsen2

SSSS

En la ecuación anterior damos valores a y obtenemos los de H/R y hacemos la

representación gráfica de H/R frente a

´´angulo/rad 2pi+ángulo seno A H/R ángulo /º

0 6,28318531 0 1 0

0,1 6,38318531 0,09983342 0,98435994 5,72957795

0,2 6,48318531 0,19866933 0,96935622 11,4591559

0,3 6,58318531 0,29552021 0,95510985 17,1887339

0,4 6,68318531 0,38941834 0,94173163 22,9183118

0,5 6,78318531 0,47942554 0,92932147 28,6478898

0,6 6,88318531 0,56464247 0,91796785 34,3774677

0,7 6,98318531 0,64421769 0,9077473 40,1070457

0,8 7,08318531 0,71735609 0,89872408 45,8366236

0,9 7,18318531 0,78332691 0,89094992 51,5662016

1 7,28318531 0,84147098 0,88446388 57,2957795

1,1 7,38318531 0,89120736 0,87929229 63,0253575

1,2 7,48318531 0,93203909 0,87544888 68,7549354

1,3 7,58318531 0,96355819 0,8729349 74,4845134

1,4 7,68318531 0,98544973 0,87173943 80,2140913

1,5 7,78318531 0,99749499 0,87183975 85,9436693

1,6 7,88318531 0,9995736 0,87320181 91,6732472

1,7 7,98318531 0,99166481 0,87578081 97,4028252

1,8 8,08318531 0,97384763 0,8795218 103,132403

1,9 8,18318531 0,94630009 0,88436042 108,861981

2 8,28318531 0,90929743 0,8902237 114,591559

21

2,1 8,38318531 0,86320937 0,89703086 120,321137

2,2 8,48318531 0,8084964 0,90469424 126,050715

2,3 8,58318531 0,74570521 0,91312022 131,780293

2,4 8,68318531 0,67546318 0,92221021 137,509871

2,5 8,78318531 0,59847214 0,93186161 143,239449

2,6 8,88318531 0,51550137 0,94196886 148,969027

2,7 8,98318531 0,42737988 0,95242446 154,698605

2,8 9,08318531 0,33498815 0,96311997 160,428183

2,9 9,18318531 0,23924933 0,97394702 166,157761

3 9,28318531 0,14112001 0,98479832 171,887339

0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

ángulo /rad

H/R

El mínimo de H/R ocurre para un ángulo aproximado de 1,4 rad =80,2º y cuando la

relación H/R= 0,87.

Analíticamente

2tag2tag

0sencos202

sencos2

d

R

Hd

2

22

La solución de la ecuación por tanteo es rad442,1

87,0442,12

442,1sen1

R

H

Alicia intenta un último esfuerzo para convencer a Bob. Utiliza un

muelle como oscilador para comprobar el efecto de la fuerza de

Coriolis. Con esa finalidad modifica el dispositivo y así coloca en un

extremo del muelle un anillo que desliza sin fricción sobre una barra

horizontal en la dirección x. El muelle oscila en dirección y. La barra

está colocada paralela al suelo y perpendicular al eje de rotación de la

estación espacial. De esta manera el plano xy es perpendicular al eje de

rotación con el eje y apuntando directamente al centro de rotación de la

estación.

B8 Alicia tira del muelle y lo alarga una distancia d hacia abajo respecto al punto de equilibrio x=0 e y=0 y a continuación lo deja en libertad. Encuentre una expresión algebraica de x(t) e y(t). Debe suponer que

sd es pequeña y que la fuerza de Coriolis es despreciable a lo largo del eje y. Haga un boceto de la trayectoria x(t); y(t) indicando las características importantes tales como la amplitud.

23

Figura 5. Montaje

En el enunciado nos dicen que la fuerza de Coriolis solamente actúa en la dirección del

eje x. Según esto la ecuación del muelle respecto del eje y es un movimiento armónico

simple cuya amplitud es –d y que se rige por las ecuaciones

tsendv;tcosdy y

Respecto del eje x actúa la fuerza de Coriolis ya que aparece una velocidad vy que

depende del tiempo

Ctev1

·tcosd2dvdttsend2

dt

dvmtsendm2º90senovm2F

xSSxSSs

xSsyssCt

Cuando t =0 la velocidad del muelle es cero y por tanto vx=0,

d2Cte SS

Ctext·d21

·tsend2dxdtd2dttcosd2

dt

dxd2tcosd2vd2vtcosd2

SSSSSSSS

ssSSxssxSS

Cuando t = 0 , x=0 , la Cte =0 , luego la coordenada x es:

24

t·d2tsend

2x SS

SS

(1)

La amplitud del movimiento sobre el eje x es:

d2A SS

Representamos la ecuación (1) y por sencillez hacemos 1d;1;1SS con lo

que nos queda la ecuación

t2tsen2x

Con ella determinamos los valores de x y con la ecuación

tcostcosdy

Los de y.

La representación gráfica de los valores de x y de y es la siguiente

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-40 -30 -20 -10 0

x

y

AB

Los valores máximo y mínimo de y es d, que en el caso de la gráfica anterior hemos

particularizado a 1.

Volvemos a escribir las ecuaciones

t·d2tsend

2x SS

SS

tcosdy

25

Cuando t=0 , x=0 ; y =-d son las coordenadas del punto A( en general) ( en nuestro

ejemplo d=1)

Cuando

2t2t dy;

d42·d2x SS

SS

, son las

coordenadas del punto B (en general) ( en nuestra gráfica d=-1) luego la distancia en

general

d4AB SS . .En la gráfica AB = 6,124

Alicia y Bob siguen discutiendo.

26

2.-DINÁMICA NO LINEAL DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Introducción

Los elementos semiconductores bi-estables no lineales (ejemplo los

tiristores) se utilizan en electrónica como interruptores y generadores de

ondas electromagnéticas El primer campo de aplicación de los tiristores

es el control de corrientes alternas en electrónica de potencia, por

ejemplo en la rectificación de corriente alterna a continua en la escala de

los megavatios. Los elementos bi-estables se pueden aplicar como

sistemas modelo para fenómenos de autoorganización en física (este

aspecto se trata en el apartado B del problema), en biología (parte C) y

en otros campos de la ciencia moderna no lineal.

Objetivos Estudiar inestabilidades y dinámica no elemental de circuitos

incluyendo elementos con curvas I-V características

Descubrir posibles aplicaciones de tales circuitos en ingeniería y en la

modelización de sistemas biológicos.

Parte A. Estados estacionarios e inestabilidades La figura 1 es la denominada curva S ( I-V) característica de un

elemento no lineal X. En el intervalo entre Uh= 4,00 V (voltaje umbral

inferior) y Uth =10,0 V (voltaje umbral superior) la función es

multivaluada (a un valor X pueden corresponder distintos Y). El gráfico

de la figura 1 se aproximó de forma lineal en tres partes (la rama

superior pasa por el origen si se prolonga). Esta aproximación es

suficientemente buena como descripción de un tiristor real.

27

Fig.1.- Característica I-V del elemento no lineal X

De la pendiente de la recta de la rama superior:

00,1

410

410

I

UR on

De la pendiente de la recta de la rama inferior:

0,01

01

010R off

De la endiente de la recta de la rama central:

00,2

14

410R int

Elegimos el punto de la recta (10,1) y aplicamos la ecuación

A0,6I00,2

0,10I00,1

R

UII 0o

int

o

A1. A partir del gráfico I-V, determine la resistencia Ron del elemento X en la rama superior y la resistencia Roff de la rama inferior. La rama central está descrita por la ecuación

intR

UII o

Encontrar los parámetros Io y Rint

28

El elemento X se conecta en serie (ver la figura 2) con una resistencia R

y una bobina L y una fuente de fuerza electromotriz y resistencia

interna despreciable. Se dice que el circuito está en un estado

estacionario si la corriente es constante con el tiempo, I(t) = Cte

Fig.2- Circuito con elemento X, resistencia R, bobina L y fuente de voltaje

Se considera que la bobina no tiene resistencia óhmica.. La intensidad en el circuito de

la figura 2 es

3

U

R

UI

Un estado estacionario es la intersección de la línea definida por esta ecuación con la

gráfica del elemento no lineal I-V.

Cuando I=0 =U y cuando U=0 , 3

I

A2 ¿Cuál es el numero de estados estacionarios posibles en el circuito

de la figura 2 para un valor fijo de y una resistencia R= 3,00 ?

¿Cambia la respuesta si R= 1,00 ?

En la figura A2, se han

representado en función

de algunas

intersecciones; dos cuando

R = 1,00 y dos cuando

R=3,00 . Se observa

que cuando R= 3,

solamente hay una

intersección, pero cuando

R= 1,00 hay tres.

Fig.A2

29

Vamos primero a calcularlo gráficamente. En el eje U ponemos el voltaje = 15 V y

dado que R= 3,00 le corresponde en el eje I una intensidad de 5A.(ver figura A3)

Con esos dos valores representamos la resistencia de carga y la intersección con la

gráfica I-V del elemento no lineal X nos da la solución: Iestacionario=3,00A y

Uestacionari=6,00 V

Analíticamente

Ecuación de la recta de descarga ¸ pendiente 3

1 , ordenada en el origen +5

5U3

1Ibxmy

Ecuación del elemento X

2

U6

R

UII

int

o

Igualando las ecuaciones

A3 En el circuito de la figura 2, R = 3,00 , L = 1,00H y =15,0 V Determine los valores de la corriente estacionaria Iestacionaria y del voltaje estacionario sobre el elemento no lineal X.

Fig. A3

30

I

A00,32

66I

V00,6U13

1

2

1U

2

U65U

3

1

ioestacionar

ioestacionar

El circuito de la figura 2 está en estado estacionario i(t)= I estacionario. Este

estado estacionario es estable si después de un pequeño desplazamiento

(aumento o disminución de la corriente) la corriente vuelve a su estado

primitivo. Pero si el sistema se aleja del estado estacionario es que es

inestable.

Supongamos que hay una variación de corriente dI/dt ; en la bobina aparece una fuerza

electromotriz de valor.

dt

dIL

En el circuito se cumple que la suma de las intensidades por las resistencias es igual a la

suma de las fuerzas electromotrices.

dt

dILUIRIR

La relación entre I e Io es

)II(RUURIRIR

UII ointintoint

int

o

RI)II(Rdt

dIL

dt

dIL)II(RRI ointoint

Aplicamos a la ecuación anterior los valores encontrados en el apartado 3.

CteI

0dt

dI0

dt

dIL03·3)36(215

dt

dIL

ioestacionar

ioestacionarioestacionarioestacionar

Al ser constante y por tanto no dependiente del tiempo, el estado estacionario es estable.

A4. Utilice los valores numéricos de la cuestión A3 y determine si el estado estacionario es estable o inestable.

31

Parte B. Elementos no lineales bi-estables en física: el radiotransmisor. Ahora investigamos una configuración nueva del circuito (ver figura 3).

En este caso el elemento no lineal X está conectado en paralelo con un

condensador de capacidad C = 1F. Este conjunto está conectado en

serie con una resistencia R = 3,00 y una fuente de alimentación ideal

=15,0 V. Este circuito oscila con el elemento no lineal X saltando de

una rama a otra de la curva I-V a lo largo de cada ciclo.

Fig.3- Circuito con el elemento no lineal X, un condensador C, una

resistencia R y una fuente de voltaje .

B1 Dibuje el ciclo de oscilación en el gráfico I-V incluyendo su dirección (horaria o antihoraria), justifique su respuesta con ecuaciones y bocetos.

Fig B1

32

En A el condensador está cargado con una tensión Uh y se recarga hasta B donde su

voltaje es Uth. Al llegar a B salta bruscamente al punto C (ya que la rama BD es

estacionaria.) perteneciente a la otra rama del elemento X y comienza a descargarse

con lo que su voltaje disminuye de Uth a Uh en D .Desde D salta a la rama primera hasta

el punto A y se inicia de nuevo el ciclo. Luego el ciclo consiste en una carga del

condensador en el ramal AB y una descarga en el ramal CD. y dos pasos bruscos de

una a otra rama.

Previamente a lo que se demanda en este apartado, analizamos lo que ocurre con un

circuito eléctrico como el representado en la figura B2.

La resistencia R1 es menor que R2. El condensador C está inicialmente descargado y

una vez que se cierra el circuito el condensador comienza su carga hasta al alcanzar un

valor límite en su voltaje.VL. La ley que rige el fenómeno de carga es

CR

t

e1VV L (1)

El valor de R depende de las dos resistencias

21

21

RR

RRR

(2)

Cuando el condensador se cargue, el circuito consiste en dos resistencias en serie. Sea

VL la diferencia de potencial en los extremos del condensador que es también en la

resistencia R1. La diferencia de potencial entre los extremos de R2 es LV . Aplicamos

la ley de Ohm, designando con I a la intensidad de la corriente

C

R1

R2

Fig. B2

B2 Calcule los tiempos t1 y t2 que el sistema emplea en cada rama de la curva I-V durante un ciclo. Calcule el tiempo total T de un ciclo en el supuesto de que los tiempos de los saltos de una rama a otra son instantáneos

33

21

1L

1

L

211

L

21 RR

RV

R

V

RRR

VI;

RRI

El voltaje limite VL vale

21

1L

RR

RV (3)

Si en el circuito de la figura B1 intercambiamos las posiciones de las resistencias y el

condensador se carga, la ley de carga es la misma que (1), el valor de R es el mismo,

esto es, (2) y cambia VL que ahora vale

21

2L

RR

RV

Vayamos a la figura 3. El elemento no lineal X se comporta como una resistencia en el

tramo AB, cuyo valor se ha calculado en el apartado A1 , Roff =10

Para calcular el tiempo t1 que emplea el condensador en la rama AB de la figura B1, se

calcula el tiempo, mediante las ecuaciones (1) (2) (3), que el condensador emplea en

cargarse desde cero hasta el voltaje Uh.( tiempo ) Luego calculamos, por el mismo

procedimiento, el tiempo que el condensador emplea en cargarse desde cero al voltaje

Uth (tiempo ´)El tiempo pedido es

´t1

Cálculo del tiempo

Según la ecuación (2)

13

30

310

3·10

RR

RR´R

ff0

off

Según la ecuación (3) V13

15015·

13

10

RR

RV

off

off

L

Según la ecuación (1)

s10.823,998

150·ln10·

13

30

98

150lnCR

RC150

98lne

150

98

e1150

52e1

13

1504e1

RR

RU

76

off

off

h

RC

RCRCRC

Cálculo del tiempo ´

34

66

off

off

th

10..650,420

150ln·10·

13

30

20

150lnCR

RC150

20lne

150

20

e1150

130e1

13

15010e1

RR

RU

RC¨

RC´

RC¨

RC´

Tiempo t1 s610.67,3610.9823,0610.650,4t1

Cuando comienza la descarga en el tramo CD, la resistencia del elemento X ha

cambiado a 1 .

La descarga del condensador está dada por a ley RCt

eVV inicial

Ahora V10Vy4

3

31

3·1

RR

RRR inicial

on

on

Como la batería sigue en el circuito se produce un proceso simultáneo de carga, la

competencia de ambos procesos conduce a que el condensador pase de Uth=10 V a Uh =

4 V

s610.41,2610·4

3·2188,3CR·25lnt

CR

t

25

1ln

e25

1

4

15

4

25e

31

15·1

31

15·110e4

RR

R

RR

Re

RR

Re·UU

2

2

RC2

t

·RC2

t

RC2

t

on

onth

URC2

t

RC

2t

e1RC2

t

on

on

on

on

thh

Tiempo total s10.08,610.41,210.67,3T 666

Durante la carga del condensador el voltaje varía entre 4 V y 10V y la resistencia es Roff

= 10, aproximamos a que el voltaje sea la media aritmética entre los valores extremos

W9,410

49

R

2

UU

Poff

2

hth

off

B3 Estime la potencia promedio P, disipada por el elemento no lineal durante una oscilación. Dar el orden de magnitud es suficiente.

35

Si el condensador se hubiese descargado sin que estuviese la batería el tiempo de

descarga es:

s10.69,04

10ln10·

4

3

U

Uln10·

RR

RR

U

UlnRCteUU 66

h

th6

on

on

h

thRC

t

thh

Como ha estado la fuente de alimentación el tiempo ha aumentado a 2,41.10-6 s

Esto supone que ha pasado una corriente inferior lo que ha hecho disminuir la potencia

disipada

Sea q la carga perdida por el condensador e I la intensidad de la corriente cuando no

existe fuente de alimentación. Sea I´ la intensidad que ha pasado con la fuente de

alimentación

I29,0I41,2

69,0I

10.41,2

qI;

10.69,0

qI

66

La intensidad promedio I es el voltaje medio dividido por la resistencia

A71,2

4

3·2

14·29,0

RR

R·R2

UU·29,0I

RR

R2

UUI

on

on

hth

on

on

hth

La potencia en Ron es:

W3,71·71,2RIP 2

on

2

on

La potencia total

W2,123,79,4P

El circuito de la figura 3 se utiliza para construir un radiotransmisor.

Para esta finalidad el elemento X se conecta a un extremo de una antena

lineal (un alambre recto y largo) de longitud s, dejando el otro extremo

libre. En la antena se forma una onda electromagnética estacionaria. La

velocidad de la onda electromagnética en la antena es la misma que en

el vacío. El transmisor utiliza el armónico fundamental del sistema de

periodo T (valor calculado en el apartado B2)..0000

La antena citada en la pregunta es la antena denominada de Marconi y la longitud de la

varilla debe ser igual a un cuarto de la longitud de onda de la radiación

electromagnética. Dado que el periodo es T, la longitud de onda es

m182410.08,6·10.3Tc 68

B4 ¿Cuál es el valor óptimo de s suponiendo que no puede exceder de 1 km?

36

La longitud de la antena es

m4564

1824

4L

Parte C. Elementos no lineales bi-estables en biología: el neuristor. En esta parte del problema consideramos una aplicación de los

elementos no lineales bi-estables para la modelación de procesos

biológicos. Una neurona del cerebro humano tiene la siguiente

propiedad: cuando se excita por una señal externa realiza una única

oscilación y a continuación vuelve a su estado natural. Este hecho se

denomina excitabilidad. Debido a esta propiedad los pulsos se propagan

en una red de neuronas acopladas que es precisamente el sistema

nervioso.

Un chip semiconductor que está diseñado para reproducir excitabilidad

y propagar impulsos se llama neuristor (neurona y transmisor).

Intentamos modelar un simple neuristor utilizando para ello un circuito

con un elemento no lineal X como el estudiado anteriormente. Para ello

el voltaje del circuito de la figura 3 se disminuye a ´=12,0 V. Las

oscilaciones se detienen y el sistema alcanza el estado estacionario. A

continuación el voltaje se aumenta de forma súbita para hacerlo

regresar al valor V, transcurrido un periodo de tiempo el

voltaje regresa de nuevo al valor = 12,0 V (ver la figura 4). Existe un

valor críticocrítico) para el que el sistema muestra diferente

comportamiento según sea < crítico o > crítico

Fig.4- Voltaje de la fuente de alimentación frente al tiempo

37

Utilizamos las ecuaciones que hemos empleado en el apartado B2

CR

t

e1VV L (1) 21

21

RR

RRR

(2)

21

1L

RR

RV (3)

La ecuación de la rama off de la figura del enunciado es: offR

UI

La ecuación del circuito. R

UI

La solución ocurre cuando las intensidades sean iguales

V23,913

120

10

31

12U

R

R1

UR

R1UU

R

RU

R

U

R

U

off

offoffoff

En la figura C1a se representa la solución gráfica.

C1 Dibuje gráficos para la dependencia temporal de la corriente IX(t) en

el elemento no lineal X para<crítico y > crítico

Fig.C1a

38

Cuando en el tiempo to se sube la tensión de la fuente a 15 V el condensador empieza a

cargarse y la forma de ir aumentando su carga se rige por las ecuaciones (1), (2) (3). Es

el mismo procedimiento que se utilizó en el apartado B2.

13

30

RR

RR´R;V

13

15015·

310

10

RR

RV

off

off

off

off

L

Ahora mediante la ecuación (1) calculamos el tiempo que tarda en cargarse el

condensador desde el voltaje cero al voltaje 9,23 V

s713,3s10.713,310·13

30·609,1t

CR

t609,1

CR

t200,0ln

e200,0e1150

13·23,9e1

13

15023,9

66

CRt

CRt

CRt

El tiempo que tarda el condensador en cargarse desde el voltaje cero al voltaje umbral

Uth = 10 V , ya lo hemos hecho en el apartado B2 , ese tiempo es t=4,650 s.

Se deduce que el tiempo que emplearía el condensador en pasar desde el voltaje 9,23 V

a 10 V es:

4,650-3,713 = 0,937 s

Este tiempo es precisamente el tiempo crítico ya que si el tiempo de la figura 4 es

inferior a 0,937 s el condensador no alcanza los Uth=10 voltios y no puede pasar a la

rama superior y como el voltaje cae de nuevo a 12 V el sistema vuelve a la posición de

partida sin realizar una oscilación.

Vamos a construir la gráfica del proceso temporal de carga .Para ello aplicamos la

ecuación (1) para distintos voltajes, tal como se ha hecho para el voltaje 9,23 y como se

hizo en el apartado B2 para Uth= 10 V

.

Los resultados los presentamos en forma de tabla I

V/V 9,23 9,33 9,43 9,53 9,63 9,73 9,83 9,93

t/s 3,713 3,816 3,922 4,035 4,152 4,277 4,408 4,547

t-to 0 0,103 0,209 0,322 0,439 0,564 0,695 0,834

Los tiempos t que figuran en la tabla anterior corresponden al tiempo que emplea el

condensador desde el voltaje cero a los distintos voltajes: 9,23 ; 9,33 ;……….9,93. La

fila t-to se obtiene restando t del valor inicial. Por ejemplo cuando V es 9,73 , t es 4,277

y t-to =4,277-3,713=0,564 s , este es el tiempo que emplea el condensador para pasar

del voltaje 9,23 a 9,73.

Tabla I

39

La intensidad It(X) la calculamos dividiendo el voltaje por la resistencia Roff=10

TablaII

It(X)/A 0,923 0,933 0,943 0,953 0,963 0,973 0,983 0,993

t-to 0 0,103 0,209 0,322 0,439 0,564 0,695 0,834

Si no se produce la oscilación porque el tiempo (0,834 s<0,937s) es inferior al crítico

el condensador empieza a descargarse y como consecuencia disminuye su voltaje.

Descarga del condensador

Hacemos el cálculo de obtener el tiempo que transcurre desde que el voltaje es 9,93 V a

los distintos voltajes de la tabla anterior. Como ejemplo calculamos el tiempo que

transcurre desde que el voltaje es 9,93 V a 9,83 V. Utilizamos la misma ecuación que

explicamos y aplicamos en el apartado B2.

s356,0s610.356,0610·13

30·1543,0t

CR

t1543,0

CR

t857,0lne857,0

e70,060,023,9e70,0310

12·10

310

12·1093,9e83,9

Roff

R

offR

Vee1R

offR

offR

eVV

RCt

RCt

RCt

RCt

Roff

R

offR

LRC

tRC

t

RCt

L

Los resultados se muestran en la tabla III

Tabla III

V/V 9,93 9,83 9,73 9,63 9,56 9,50 9,48 9,45

t/s 0,834 0,577 0,999 1,515 2,031 2,425 2,602 10,26

t+to 0,834 1,190 1,612 2,126 2,569 3,032 3,210 3,505

It(X)/A 0,993 0,983 0,973 0,963 0,956 0,950 0,948 0,945

V/V 9,43 9,40 9,38 9,35 9,33 9,30

t/s 3,120 3,497 3,788 4,307 4,731 5,564

t+to 3,724 4,100 4,389 4,904 5,325 6,147

It(X)/A 0,943 0,940 0,938 0,935 0,933 0,930

40

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1

0 1 2 3 4 5 6 7

t/s

I /A

A la vista de la gráfica la variación de la intensidad es más lenta en el retorno que en la

aproximación

Esta es la gráfica cuando el tiempo es menor que el crítico y no hay oscilación

Cualquier valor dado a inferior al crítico describiría unas curvas parecidas a las

indicadas en la gráfica.

El boceto del proceso dado por la comisión oficial es:

1.- Aproximación al nuevo estado estacionario

2.- Retorno al estado estacionario inicial

41

Si el tiempo de la figura 4 es mayor que el crítico se producirá una oscilación con las

siguientes fases. Carga del condensador por la rama off, salto a la rama on y descarga

del condensador salto de nuevo a la rama off y carga del condensador para llegar al

estado estacionario de partida.

3.- Aproximación al nuevo estado

4.- Salto a la rama superior

5.-Evolución de la intensidad por la rama superior (descarga del condensador)

6.-Salto a la rama inferior

7.- Retorno al estado estacionario

Vamos a hacer un ejemplo numérico. Partimos inicialmente (t=0) con el condensador

cargado a 9,23 V. Al tiempo de duración del cambio de 12 V a 15 V le damos el valor

4,937 s. Este tiempo es mayor que el crítico (0,937 s) pero menor que el tiempo de

oscilación (T=6,08 s), calculado en el apartado B2.

De forma cualitativa el proceso consiste en que el condensador se carga desde 9,23 V a

10 V y para ello emplea un tiempo de 0,937 s. De forma instantánea salta a la rama

superior y comienza el proceso de descarga y el condensador pasa de 10 V a 4 V en un

tiempo de 2,41 s, .este tiempo se ha calculado en el apartado B2. En ese instante se

produce un salto a la rama inferior. El tiempo en que todavía el voltaje de la fuente es

15 V es

s59,1)41,2937,0(937,4

42

En ese tiempo el condensador se carga hasta un voltaje cuyo valor se calcula a

continuación

Para ello determinamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de cero voltios a

4 Voltios

s982,0s10.82,9e1310

15·10e1

RR

R4 7

off

off

610·13

30

.t

RC

El voltaje buscado lo llamamos Uh y lo calculamos teniendo en cuenta que el tiempo

de cero a ese voltaje es 1,59+0,982= 2,572 s

V75,7e1310

15·10e1

RR

RU

610·13

30

.610.572,2

RC

off

offh

Ahora el voltaje de la fuente cae a 12 V y el condensador se carga hasta el estado

estacionario de 9,23 V( fig. C1a) .En un diagrama como el de la figura 1 del enunciado

se resumen este proceso.(Fig. C2)

Fig.C2

43

El voltaje en I es 9,23 V y el tiempo t=0 . . En B el voltaje es 10 V y el tiempo entre I

y B es 0,937 s. El condensador se carga. de 9,23 V a 10 V.

De B a C el salto es instantáneo a la rama superior. De C a D el condensador se

descarga parcialmente de 10 V a 4 V y el tiempo de esa descarga es 2,41 s. En D se

produce el salto instantáneo a la rama inferior. Entre A y F el condensador se carga de 4

V a 7,75 V siendo el voltaje de la fuente 15 V, el tiempo de A a F es 1,59 s.

Al llegar a F el tiempo programado 4,937 s se ha agotado y de forma instantánea el

voltaje de la fuente se reduce a 12 V. A partir de ahí el condensador evoluciona al

estado estacionario inicial

Cálculo del voltaje y la intensidad de I a B.

Este cálculo ya ha sido hecho en las tablas I y II.. Ahora lo reproducimos con menos

valores, solo los necesarios para hacer la gráfica.

Tabla IB

V/V 9,23 9,43 9,73 10,0

It(X)/A 0,923 0,943 0,973 1,000

t/s 0 0,209 0,564 0,937

Cálculo del voltaje y la intensidad de C a D,

El punto C está en la rama superior y su voltaje es 10 V, su tiempo 0,937 s y su

intensidad

A10R

V10I

on

C

A partir de este instante el condensador se descarga; vamos a calcular los tiempos y los

voltajes e intensidades.

4

3

3Ron

3·RonR;

4

15

4

25e

31

15·1

31

15·110eU

RR

R

RR

Re

RR

Re·UU

·RC2

t

RC2

t

on

onth

URC2

t

RC

2t

e1RC2

t

h

on

on

on

on

thh

Ejemplo de cálculo

El condensador se descarga de 10 V a 9,5 V

A5,9

onR

5,9Ix;s000,1937,006255,0tiempos06255,0s810.255,6t

610·4

3

t0834,0e92,0e

25

155,9·4

4

15

4

25.e5,9 .....

CRt

CRt

CRt

Siguiendo el ejemplo anterior construimos la tabla siguiente

44

Tabla CD

t//s 1,00 1,07 1,14 1,23 1,32 1,43 1,55 1,70 1,89 2,14 2,35 2,53 2,84 3,1 3,35

V/V 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,7 4,5 4,3 4,1 4

Ix/A 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,7 4,5 4,3 4,1 4

El tiempo total de descarga es: 3,35-0,937=2,41 s

De forma instantánea se produce el salto a la rama inferior.

El punto A está en la rama inferior y su voltaje es 4 V, su tiempo 3,35 s y su

intensidad

A4,0R

V4I

fof

C

Calculamos el voltaje y la intensidad entre los puntos A(4V) y F ( 7,75 V). Primero

determinamos el tiempo que necesita el condensador para pasar de voltaje cero a cuatro

voltios cuando = 15 V. Este cálculo se ha hecho anteriormente y vale 0,982 s.

A continuación calculamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de cero

voltios a cinco voltios

s311,1s10.311,1e1310

15·10e1

RR

R5 6

off

off

610·13

30

.t

RC

El tiempo que el condensador emplea en cargarse de 4 V a 5 V es: 1,311-0,982= 0,329

s. El tiempo que el sistema ha empleado desde I hasta A ( fig C2) es 3,35 s, luego el

tiempo que adjudicamos a 5 V es: 3,35+0,329=3,679 s. Repitiendo este proceso para

otros voltajes obtenemos la tabla siguiente

Tabla AF

Tiempo/s 3,35 3,679 4,062 4,521 4,91 4,937

Voltaje /V 4,00 5,00 6,00 7,00 7,70 7,75

Intensidad

Ix/A

0,40 0,50 0,60 0,70 0,77 0,775

Al llegar a 7,75 V el tiempo programado inicial (4,937 s) se ha agotado y de forma

inmediata el voltaje de la fuente pasa de 15 V a 12 V y comienza el tramo FI de la

figura C2.. Ahora el condensador se carga de 7,75 V a 9,23 V pero con = 12 V

El procedimiento de cálculo es el mismo que el utilizado en el tramo AF solo que =

12 V en lugar de 15 V.

Calculamos el tiempo de carga de cero V a 7,75 V pero con e = 12 V

s223,4s10.223,4e1310

12·10e1

RR

R75,7 6

off

off

610·13

30

.t

RC

A continuación calculamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de 7,75 V

voltios a 8 voltios

45

s650,4s10.650,4e1310

12·10e1

RR

R8 6

off

off

610·13

30

.t

RC

El tiempo que el condensador emplea en cargarse de 7,75 V a 8 V es: 4,650-4,223=,

0,427 s. El tiempo que el sistema ha empleado desde I hasta F ( fig C2) es 4,937 s,

luego el tiempo que adjudicamos a 8 V es: 4,937+0,427=5,364 s. Repitiendo este

proceso para otros voltajes obtenemos la tabla siguiente:

Tabla FA

t/s 4,937 5,364 6,010 6,568 7,306 8,397 9,227 10,50

Voltaje/V 7,75 8,0 8,3 8,5 8,7 8,9 9,0 9,1

Ix/A 0,775 0,80 0,83 0,85 0,87 0,89 0,90 0,91

Reunidos en una tabla el conjunto de las tablas IB, CD, DF y FA, construimos las

gráficas siguientes

tiempo/ micros Voltaje IX/A

0 9,23 0,923

0,209 9,43 0,943

0,564 9,73 0,973

0,937 10 1

0,937 10 10

1 9,5 9,5

1,07 9 9

1,14 8,5 8,5

1,23 8 8

1,32 7,5 7,5

1,43 7 7

1,55 6,5 6,5

1,7 6 6

1,89 5,5 5,5

2,14 5 5

2,35 4,7 4,7

2,53 4,5 4,5

2,84 4,3 4,3

3,1 4,1 4,1

3,35 4 4

3,35 4 0,4

3,679 5 0,5

4,062 6 0,6

4,521 7 0,7

4,91 7,7 0,77

4,938 7,75 0,775

5,365 8 0,8

6,01 8,3 0,83

6,568 8,5 0,85

7,306 8,7 0,87

8,397 8,9 0,89

9,227 9 0,9

46

10,5 9,1 0,91

3

5

7

9

11

0 2 4 6 8 10 12

t/s

Vo

lta

je/V

B,C

F

4

I

D,A

-1

1

3

5

7

9

11

0 2 4 6 8 10 12

t/s

Ix/A

B

C

D

I

A

F

47

El tiempo crítico es la diferencia entre los tiempos de las siguientes ecuaciones

RC´

e1RR

RU

off

off

th (utilizada en el apartado B2)

RC´

e1RR

RU

off

off ecuación utilizada en el apartado C1 siendo U 9,23 V

Para manejar con más facilidad las ecuaciones designamos a V13

150U

RR

R

off

off

Uth

U

UlnRC´t

RC´

´t

U

Uth

Ulnee1

U

Ue1UU RC

´

U

Uth

URC

´RC

´th

th

Operando con la segunda ecuación de igual forma que anteriormente

Uth

U

UlnRC´´te1UU RC

´

s936,0s10.936,0

13

15010

13

15023,9

ln1013

30

UU

UUlnRC

UU

U

Uth

U

U

lnRCUU

Uln

Uth

U

UlnCR´´t´t

66

crítico

th

crítico

Este resultado ya lo habíamos calculado en el apartado anterior.

Como este es mayor que el crítico sí lo es.

C2 Encuentre la expresión y el valor numérico del tiempo crítico t crítico para el cual hay un cambio de comportamiento

C3 ¿ En el circuito con =1,00.10-6 es un neuristor?

48

EL GRAN COLISIONADOR DE HADRONES (LHC)

En este problema se discutirá sobre la física de las partículas en el LHC

(Large Hadron Collider) del CERN. El CERN es el laboratorio de

partículas más grande del mundo y su objetivo principal es estudiar las

leyes fundamentales de la naturaleza. En él se aceleran dos haces de

partículas hasta obtener altas energías, lo cual se logra acelerándolas en

un anillo gobernado por intensos campos magnéticos, finalmente a los

haces de partículas se les hace chocar entre sí. Los protones no se

dispersan por el anillo acelerador sino que están confinados en los

denominados paquetes. Las partículas generadas después del choque se

analizan empleando para ello grandes detectores. En la tabla 1 se

indican alguna de las características del LHC.

Anillo del LHC

Longitud del anillo 26659 m

Número de paquetes por cada haz de protones 2808

Número de protones por paquete 1,15.1011

Haz de protones

Energía de los protones 7,00 TeV

Energía del centro de masas 14,0 TeV

Tabla 1.- Valores numéricos relevantes del LHC

En la física de partículas se utilizan unidades adecuadas para la energía,

el momento y la masa. La energía se mide en eV (energía que adquiere

un electrón cuando se somete a la acción de una diferencia de potencial

de un voltio). 1 eV = 1,602.10-19 kg m2 s-2

El momento de mide en eV/c y la masa en eV/c2 siendo c la velocidad de

la luz en el vacío. Dado que el eV es una unidad pequeña se utilizan los

multiplos MeV ( 106 eV) , GeV( 109 eV y TeV ( 1012 eV).

La parte A trata sobre la aceleración de protones y electrones y la B

sobre las partículas que aparecen al colisionar los haces.

Parte A. El acelerador LHC Aceleración

Se supone que los protones se aceleran mediante un voltaje V, de modo

que su velocidad es próxima a la de la luz, se desprecia cualquier pérdida

de energía debida a la radiación o al choque con otras partículas

49

La energía del protón consta de dos términos. Una es la energía en reposo por tener

masa y otra la energía que adquiere al someterlo a una diferencia de potencial en un

campo eléctrico, la cual aparece en el protón en forma de energía cinética. Como la

velocidad es próxima a la de la luz, habrá que considerar la masa relativista

Energía en reposo: mo c

2

(mo es la masa del protón en reposo)

Energía debida a la diferencia de potencial: V·e = Energía cinética =

2

2

o

2

o

22

o

42

o

22

o

62

o22

22

o

42

o

2

2

2

22

o

2

o

2

o

2

o

2

o

2

oo

2

o

cmeV

cm1c

cmeV

cm1cv

cmeV

cmcv

cmeV

cm

c

v1

c

v1

1

cm

cmeV1

cm

eV

1cmeV1cmcmmcmmT

Un experimento futuro del CERN utilizará los protones del LHC para

colisionar con electrones de energía 60 GeV.

2

2

e

2

e

cmeV

cm11

c

v1

Teniendo en cuenta la aproximación 2

x1x1

22

A1 Encontrar la expresión exacta de la velocidad final v de los protones en función del voltaje acelerador V y de constantes físicas fundamentales.

A2 Para las partículas con energía alta y masa pequeña la desviación

relativa c

vcΔ

es muy pequeña. Encuentre una aproximación de

primer orden para y calcule para electrones con una energía de 60 GeV empleando el voltaje acelerador V y constantes físicas c=2,997.108 m/s ; masa del electrón , me= 0,511.10-31 kg

50

Volvemos ahora a los protones del LHC. Suponga que el túnel del

acelerador es de forma circular

Los protones están confinados en el anillo circular porque existe una fuerza centrípeta

que es proporcionada por la acción de un campo magnético.

RBevmBveR

vmo

2

o

mo masa del protón en reposo, e carga eléctrica del protón ,R , radio del anillo

La energía del protón

2

o

2

o

2

cm

EcmcmE

Sustituyendo en la primera ecuación y teniendo en cuenta que la velocidad v de los

protones es muy próxima al de la luz )cv

T50,5

m26659·C10.602,1·s

m10.997,2

Ve

J10.602,1eV10.00,7·2

B

Lec

E2

2

Lec

E

Rec

EBRBevm

cm

E

198

1912

o2

o

A3 Deduzca una expresión para la densidad de flujo magnético B, uniforme, necesaria para que los protones se mantengan en una trayectoria circular. La expresión solamente debe contener la energía E de los protones, la longitud del túnel L, constantes fundamentales y números. Se pueden utilizar aproximaciones si su efecto es menor que la precisión dada por el menor número de dígitos significativos. Calcule B para los protones de E=7,00 TeV, despreciando las interacciones entre ellos.

11

2

19

9

2

22831

22

e

2

2

e

2

e

2

2

e

2

e

10.62,3

eV

J10.602,1·eV10.60

s

m)10.997,2·(kg10.511,0

2

1

eV

cm

2

1

cmeV

cm

2

1

cmeV

cm

2

111

51

Potencia radiada

Una partícula con carga eléctrica y acelerada emite energía en forma de

radiación electromagnética. La potencia radiada Prad por una partícula

cargada que se desplaza con velocidad angular constante depende

solamente de su aceleración a, de su carga q, de la velocidad de la luz c y

de la permitividad del vacío o

ocqaP

3m·kg·4s·2Ao2m·

2s

m·kg

2sA

o2d

2q

o4

1F

smcs

mc

s·Aqsegundo·amperioq

2s·macuadradoalsegundo

metroa

3s·2m·kgs

m·s

m·kg

P

tiempo

ciatandis·naceleració·masaP

tiempo

ciatandis·fuerzaP

tiempo

trabajoP

2

Identificando kg 11

Identificando A 202

Identificando m 123

Identificando s 1212342

Resolviendo las dos ecuaciones 3:2

o3c

2q2aP

La fórmula real de la potencia radiada contiene el factor 1/6, además el

tratamiento relativista introduce un factor

2

2

c

v1

1γ

A4 Utilice el análisis dimensional para encontrar una expresión para la potencia radiada.

52

La potencia radiada por cada uno de los protones es:

4

o

3

22

c6

qaP

La aceleración del protón es la centrípeta

R

c

R

va

22

El radio del túnel es m9,42422

26659

2

LR

.

La energía del protón 2

o cmE

Sustituyendo en P

4

2

oo

2

24

2

oo

3

2

2

4

cm

E

R6

cq

cm

E

c

qR

c

6

1P

Esta es la potencia radiada por un solo protón, para calcular la potencia total hay que

multiplicar la de un protón por el número de protones de los dos haces. Según los datos

de la tabla 1:

1411 10.46,610.15,1.2808·2N

W10.14,5P

10.46,6·10.997,2·10.672,1

10.602,1·10.00,7

10.854,8·9,4242·6

10.997,2·10.602,1N·

cm

E

R6

cqP

3

tot

14

4

2827

1912

122

82194

2

oo

2

2

tot

Aceleración lineal

En el CERN los protones se aceleran a partir del reposo mediante un

acelerador lineal de longitud d= 30 m y diferencia de potencial V= 500

MW. Se supone que el campo eléctrico es homogéneo. Un acelerador

lineal consiste en dos platos como se esquematiza en la figura 1.

d

+

A5 Calcular la potencia total Ptot radiada por LHC para una energía del protón E = 7,00 TeV (Ver tabla 1). Puede usar aproximaciones apropiadas. Masa del protón mo=1,672.10-27 kg ,

Permitividad del vacío, o=8,854.10-12 N-1m-2C2

Fig.1- esquema del

acelerador lineal

53

El módulo del campo eléctrico en el interior del acelerador lo designamos con E, este

campo está relacionado con la diferencia de potencial, ya que el campo es menos el

gradiente de potencial . Escribimos el módulo de la fuerza que actúa sobre el protón

T

pp

T

pe·

d

Ve·EF IF

La cantidad de movimiento, en el tiempo cero, del protón es cero

e·V

d·pT F

Para relacionar la energía del protón con su cantidad de movimiento recurrimos al

invariable relativista

c

cmEpcmpcE

42

o

2

F

42

o

22

En el apartado 1 vimos que la energía del protón es la suma de la energía en reposo y la

energía cinética

e·VcmE 2

o

Sustituyendo en pF.

s

mkg10.76,5

10.997,2

10.997,2·(10.627,1·210.602,1·10.50010.602,1·10.500p

c

cm2e·Ve·V

c

cme·V·cm2e·Vcm

c

cme·Vcmp

19

8

2827196196

F

2

o

42

o

2

o

2242

o

42

o

22

o

F

Sustituyendo en T

ns216s10.16,210.602,1·10.500

30·10.76,5T 7

196

19

A6 Determine el tiempo que los protones emplean en recorrer el acelerador lineal

54

Parte B. Identificación de partículas. Tiempo de vuelo

Es importante identificar las partículas de alta energía que se generan

en la colisión con la finalidad de interpretar los procesos de interacción.

Un método simple consiste en medir el tiempo t, que una partícula de

momento conocido emplea en recorrer una longitud l en un denominado

detector del tiempo de vuelo (Time-of-Flight)(ToF). Algunas partículas

típicas que se identifican en el detector y sus masas están recogidas en la

tabla 2.

Partícula Masa en MeV/c2

Deuterón 1876

Protón 938

Kaón con carga 494

Pión con carga 140

Electrón 0,511

Tabla 2. Partículas con sus masas

Figura 2. Vista esquemática del detector ToF

La cantidad de movimiento según la teoría de la relatividad es:

222

2

2

0o tcc

p

c

v1

l

tp

t

p

v

pmvmp

B1 Exprese la masa en función del momento p, la longitud del vuelo l, y el tiempo de vuelo t, suponiendo que las partículas poseen la carga elemental e y viajan en línea recta con velocidad cercana a la de la luz por el detector ToF y que viajan en dirección perpendicular a los dos planos de detección (ver la figura 2)

55

A partir de la ecuación del apartado anterior despejamos t

2

2

02

2

22

2

0

2

22o

c

1

p

mtt

cp

m

ct

p

m

Aplicamos la ecuación anterior al kaón

115,1·cc

1

c

10.494

c

1

c

GeV00,1

c

GeV10.494

t22

62

2

2

2

3

K

4

Aplicamos la misma ecuación al pión

0098,1·cc

1

c

10.140

c

1

c

GeV00,1

c

GeV10.140

t22

62

2

2

2

3

m28,10098,11154,1

10.997,2·10.450

0098,11154,1c

tt10.4503·10.150t

812

K

1212

En lo siguiente, ciertas partículas producidas en el detector LHC se

identifican en un detector de dos etapas, una es el detector de

seguimiento y la otra el ToF. La figura 3 muestra el montaje en los

planos transversal y longitudinal de los haces de protones. Ambos

detectores son tubos que rodean la zona de interacción pasando el haz

por el medio de ellos.

El detector de seguimiento mide la trayectoria de una partícula cargada

que atraviesa un campo magnético cuya dirección es paralela a los haces

de protones. El radio r descrito por la partícula permite calcular su

momento transversal pl. Dado que se conoce el tiempo de colisión, el

detector ToF solamente es un tubo que mide el tiempo de vuelo entre el

B2 Calcular la longitud mínima del detector ToF que permite con seguridad distinguir a un kaón cargado de un pión cargado, siendo sus momentos medidos 1,00 GeV/c. Para una buena separación se requiere que la diferencia en el tiempo de vuelo sea mayor que tres veces el tiempo de resolución del detector. El tiempo de resolución del detector ToF es 150 ps (1ps=10-12 s).

56

lugar de la colisión y el tubo del detector. El ToF está situado justo

después de la cámara de seguimiento. Para las cuestiones siguientes

debe suponer que todas las partículas creadas en la colisión viajan

perpendicularmente al haz de protones, lo cual significa que las

partículas carecen de momento a lo largo de la dirección del haz de

protones.

1, Tubo ToF

2. Trayectoria

3. Punto de colisión

4. Detector de trayectoria

5. Haz de protones

Campo magnético

Figura 3. Dispositivo experimental para la identificación de partículas con

una cámara de seguimiento y un detector ToF. Ambos detectores son tubos

que rodean al punto de colisión situado en el centro. Izquierda: vista

transversal perpendicular al haz – Derecha: vista longitudinal paralela al

haz

Se han detectado cuatro partículas y se desea identificarlas. La densidad

de flujo magnético en el detector de seguimiento vale B= 0,500 T. El

B3 Exprese la masa de la partícula en función de B, del radio R del tubo del detector ToF, constantes fundamentales y las cantidades medidas: el radio r de la trayectoria y el tiempo de vuelo t.

57

radio R del detector Tof es R=3,70 m El tiempo de vuelo se expresa en

nanosegundos, siendo 1ns=10-9 s

Partícula Radio de la trayectoria

r/m

Tiempo de vuelo

t/ns

A 5,10 20

B 2,94 14

C 6,06 18

D 2,31 25

En la figura B3a hemos representado a escala el detector ToF (circunferencia en línea

continua) y la traza o recorrido de la partícula. En línea continua el registro de la

trayectoria dentro del ToF (línea OM) y en discontinua la trayectoria que seguiría la

partícula A, si el campo B se extendiese por todo el espacio exterior al detector. (línea

MS)

Fig.B3 a

La ecuación de la circunferencia respecto a unos ejes cartesianos en su centro es:

cuadradoalRadiobyax22

El punto M tiene de coordenadas (x,y) y pertenece al detector(circunferencia de línea

completa) y a la partícula ( circunferencia de línea discontinua).

La ecuación de la circunferencia del detector es: 222 Ryx

B4 Identifique las cuatro partículas calculando sus masas

58

La ecuación de la circunferencia de la partícula

222ryrx

Despejando y2 en las dos ecuaciones e igualando resulta:

2

2

2

222

2

422

2222222

r4

R1Ry

r4

R1Ry

r4

RRy

r2

Rxrx2Rrx2rxrxR

Observando la figura B3a se deduce que la longitud de la trayectoria OM en el ToF es.

r·r4

R1

r

Rsenoarcor·

r

r4

R1R

senoarcoradio·ánguloOM2

22

2

Cálculo de para la partícula A

m786,310,5·7424,010,5·6761,0senoarco10,5·10,5·4

70,31

10,5

70,3senoarco

2

2

Cálculo de la masa mA de la partícula A

En el apartado B1 hemos encontrado la siguiente ecuación

222

0 tcc

pm

La aplicamos a la partícula A

22

A

2AA tc

c

pm

En esta ecuación nos falta conocer pA

. Recurrimos a la ecuación que relaciona la fuerza

centrípeta en el ToF y el campo magnético que actúa

AA

2

A pBervmBver

vm

Sustituyendo en mA.

59

kg10.673,1m

786,3)10.20·()10.997,2(10.997,2·786,3

500,0·10.602,1·10,5tc

c

Berm

27

A

22928

8

19222

A

Expresamos la masa de la partícula A en las unidades de la tabla 2.

2

2

30

27

A

30

228

196

2

6

2

c

eVM938

kg

c

eVM

10.784,1

1kg10.673,1m

kg10.784,1sm10.997,2

J10.602,1·10

c

eV10

c

MeV1

La partícula A es un protón

Cálculo de para la partícula B

m002,494,2·3612,194,2·9781,0senoarco94,2·94,2·4

70,31

94,2

70,3senoarco

2

2

Cálculo de la masa mB de la partícula B

kg10.475,2m

002,4)10.14·()10.997,2(10.997,2·002,4

500,0·10.602,1·94,2tc

c

Berm

28

A

22928

8

19222

B

Expresamos la masa de la partícula B en las unidades de la tabla 2.

2

2

30

28

Bc

eVM139

kg

c

eVM

10.784,1

1kg10.475,2m

La partícula B es un pión con carga

Cálculo de para la partícula C

m760,306,6·6205,006,6·5814,0senoarco06,6·06,6·4

70,31

06,6

70,3senoarco

2

2

Cálculo de la masa mC de la partícula C

60

kg10.666,1m

760,3)10.18·()10.997,2(10.997,2·760,3

500,0·10.602,1·06,6tc

c

Berm

27

C

22928

8

19222

B

Expresamos la masa de la partícula C en las unidades de la tabla 2.

2

2

30

27

Cc

eVM935

kg

c

eVM

10.784,1

1kg10.666,1m

La partícula C es un protón

Para la partícula D hemos hecho una representación gráfica de la trayectoria en la

figura B3 b

Si se compara las figuras B3b y B3a y en particular las posiciones de los ángulos y las

trayectorias, se comprende que la formula empleada anteriormente en las otros tres

partículas ahora nos calcula la longitud MS. y no la longitud de la trayectoria OM

m006,332,2·2956,0132,2·9624,0senoarco32,2·32,2·4

70,31

32,2

70,3senoarcoMS

2

2

De la figura B3 b se deduce:

m283,4006,332,2·

Cálculo de la masa mD de la partícula D

Fig,B3 b

61

kg10.900,8m

283,4)10.25·()10.997,2(10.997,2·283,4

500,0·10.602,1·32,2tc

c

Berm

28

D

22928

8

19222

D

Expresamos la masa de la partícula D en las unidades de la tabla 2.

2

2

30

28

Bc

eVM499

kg

c

eVM

10.784,1

1kg10.900,8m

La partícula D es un kaón.