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PRIMER PARCIAL

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

FERNANDO BASURTO

INTORDUCCIÓN

Está estadísticamente demostrado que ese producto permite bajar de peso.

¿Es correcta la frase? O qué tal esta: El fraude ha quedado estadísticamente

demostrado.

La Estadística es una rama de las matemáticas usada para recoger, procesar e

interpretar grandes cantidades de datos. Sin embargo, la palabra “estadística”

tiene varios usos:

Disciplina usada en investigación basada en métodos matemáticos para

recoger, procesar e interpretar datos cuantitativos (rama de las

matemáticas).

Colecciones de datos recogidos mediante los métodos citados en el punto

anterior (INEGI).

Cifras calculadas mediante fórmulas matemáticas (por ejemplo, el

promedio) para caracterizar o describir las colecciones de datos

(parámetros).

La estadística tiene un modo particular para obtener información; para entender

esto veamos cuál es la diferencia entre el conocimiento deductivo y el inductivo.

Formas de obtener conocimiento:

Conocimiento deductivo. Es el proceso de usar teorías generales para llegar a conclusiones acerca de situaciones específicas (es propio de la física, la química o la biología). Va de lo general a lo particular. Aplica el método científico y consiste en observar un fenómeno (movimiento de Marte) y hacer todo tipo de observaciones que permitan deducir su movimiento a partir de las Leyes de Kepler o la Ley de la Gravitación Universal.

Conocimiento inductivo (un ejemplo de este tipo de conocimiento es aprender a maniobrar una bicicleta; es imposible aprender a partir de clases teóricas). En estadística es el proceso de sacar conclusiones generales a

2

partir de información específica. En este caso va de lo particular a lo general; es decir, de la muestra a la población: encuestas electorales, estudios de mercado para el lanzamiento de productos, o pruebas de una terapia grupal para tratar la depresión.

Tipos de estadística:

Descriptiva. Consiste en la organización de los datos.

Inferencial (matemática). Representa al conocimiento inductivo, pero tenemos que tener bien claro cuál es la población y cuál la muestra que representa a dicha población, para poder hacer inferencias.

No paramétrica. Los parámetros son las características o atributos de la población como el promedio o la desviación estándar. Por lo tanto, la estadística “no paramétrica” es menos matemática y es comúnmente usada por las ciencias sociales.

Razonamiento determinístico Razonamiento probabilístico

Calcular el tiempo que tardará un vehículo viajando a velocidad constante En cuánto tiempo llegará una taza al piso si la soltamos de 10 metros de altura La presión del agua a diferentes profundidades La densidad de diferentes materiales La superficie de los terrenos en una colonia

Estatura de hombres y mujeres Probabilidad de aprobar un examen dependiendo de las horas de estudio El tiempo en meteorología ¿Qué tan lleno estará el transporte público a medio día? El promedio de un grupo en matemáticas La probabilidad de encontrar trabajo La estatura promedio de los niños dependiendo de la edad

https://cdn.pixabay.com/photo/2012/10/26/03/38/depression-63213__340.jpg

3

1 TEORÍA DE CONJUNTOS

Definiciones

De acuerdo con la maestra María de los Ángeles Coronel, un conjunto es una

colección de objetos, personas, animales o ideas; por lo general se representa con

letras mayúsculas y sus elementos están encerrados entre paréntesis o llaves.

Por ejemplo: F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Elemento: es cada uno de los miembros de un conjunto.

Subconjunto: si todos los elementos de A están en B, pero al menos un elemento

de B no está en A, entonces A es un subconjunto de B, y se simboliza A ⊂ B.

B = {a,e,i,o,u}

A = {a,e,o}

Cardinalidad: Es el número de elementos que contiene un conjunto; se expresa

de esta forma: n(M). Por ejemplo, n(B) = 5, n(A) = 3.

Pertenencia: a ∈ S significa que a es elemento del conjunto S; en tanto que

a ∉ S significa que a no es elemento del conjunto S.

Conjunto universal (U): Es el conjunto que contiene todos los elementos con una

característica común.

Unión: Contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B, y se

representa como A Ս B.

Intersección: Contiene los elementos que A y B tienen en común, y se representa

como A Ո B.

Conjunto vacío: Es el conjunto que no contiene elementos, y se representa por ø,

o también por { }.

Complemento de un conjunto: Es el conjunto de los elementos que pertenecen

al conjunto universo pero que no forman parte del conjunto, y se representa por el

símbolo A’. Por ejemplo:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {1, 2, 3, 4}

A’ = {5, 6, 7, 8, 9}

4

Ejemplos:

1. Con los conjuntos realiza las operaciones.

A = {2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7}

a) A Ս B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} Todo A y todo B, pero no se repiten 4 y 5.

b) A Ո B = {4, 5} Los elementos en común entre A y B.

c) A – B = {2, 3} Todo A excepto B.

d) B – A = {6, 7} Todo B excepto A.

e) (A Ո B)’ = {2, 3, 6, 7}

f) B’ = {2, 3}

2. Considera el diagrama de Venn:

Calcula:

a) A Ո B = {3, 4, 5}

b) A Ս C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}

c) B’ = {1, 2, 7, 8, 11, 12, 13, 14}

d) A Ո B Ո C = {4, 5}

e) A – B = {2, 7}

f) B – C = {3, 6, 9, 15}

5

3. Una encuesta aplicada a 250 estudiantes arrojó los siguientes resultados: 125

prefieren el futbol, 180 basquetbol, 65 tenis, 100 futbol y basquetbol, 25 futbol y

tenis, 40 basquetbol y tenis, y 20 los tres.

Elabora el diagrama de Venn y responde las preguntas.

Cuántos alumnos:

a) Prefieren al menos un deporte

b) No prefieren ninguno

c) Prefieren solo uno

d) Los tres deportes

e) Exactamente dos

f) Por lo menos dos deportes

a) Prefieren al menos un deporte = 225

b) No prefieren ninguno = 25

c) Prefieren solo uno = 100

d) Los tres deportes = 20

e) Exactamente dos = 105

f) Por lo menos dos deportes = 125

U = 250

F B

T

20 60

20

80

20 5

20

25

6

TAREA No. 1

TEORÍA DE CONJUNTOS

I. Operaciones con conjuntos.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {1, 3, 5, 7, 9}

D = {7, 8, 9} E = {4, 5, 6, 7} F = {5} G = { }

Efectúa las operaciones.

1. A’ = 2. C’ =

3. A U D = 4. E ∩ F =

5. A’ ∩ F = 6. B’ U E =

7. (C ∩ E)’ = 8. (B’ U D)’ =

9. B – E = 10. C – F =

II. Ilumina el área indicada en los diagramas de Venn.

11. (A U B) U C = 12. (A U C) ∩ B =

13. (A ∩ B) U (B ∩ C) = 14. (A – B) U C =

A B

C

A B

C

A B C A B

C

7

15. (A U B) ∩ C = 16. (A U B) U C =

17. (A U B) ∩ (B U C) = 18. (A ∩ B) U (B ∩ C) =

III. Resuelve el siguiente problema.

19. Se entrevistaron a 500 alumnos sobre la reprobación de materias en

secundaria:

280 química

220 física

300 matemáticas

130 química y física

230 química y matemáticas

180 física y matemáticas

120 las tres

a) ¿Cuántos solamente reprueban matemáticas?

b) ¿Cuántos solamente tienen dos materias reprobadas?

c) ¿Cuántos tienen solamente una reprobada?

d) ¿Cuántos no reprobaron ninguna?

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

8

2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

2.1 Principio multiplicativo

En general, no es posible hacer predicciones razonables a menos de que

conozcamos lo que es posible. Una forma de analizar diferentes posibilidades es

el Diagrama de Árbol. Según María de los Ángeles Corona, un diagrama de árbol

es particularmente útil para analizar decisiones de negocios, donde existen varias

etapas para resolver un problema.

En un restaurante necesitan saber cuántos menús diferentes se pueden formar

con:

Tres sopas: lenteja, pasta y cebolla

Dos intermedios: arroz o espagueti

Cuatro guisados: carne roja, pollo, enchiladas y albóndigas

Usando el Principio Multiplicativo, podemos calcular cuántos menús diferentes se

pueden formar: 3 x 2 x 4 = 24. Tres opciones de sopa, dos intermedios y cuatro

opciones de guisado, para hacer un total de 24 menús diferentes.

Fuente: https://pixabay.com/es/photos/comer-restaurante-los-alimentos-601581/

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Lentejas

Arroz

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

Espagueti

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

Pasta

Arroz

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

Espagueti

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

Cebolla

Arroz

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

Espagueti

Carne roja Pollo Enchiladas Albóndigas

El diagrama de árbol es un apoyo para resolver este tipo de ejercicios.

Fuente: https://pixabay.com/es/photos/%C3%A1rbol-lago-reflexi%C3%B3n-el-agua-calma-

838667/

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TAREA No. 2

DIAGRAMA DE ÁRBOL

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Responde las siguientes preguntas con el principio multiplicativo en todos los

casos.

1. Con tela de cuatro colores: amarillo, blanco, rojo y verde, se quiere fabricar

banderas con franjas verticales de tres colores, ¿cuántas banderas diferentes se

pueden elaborar sin repetir colores? Elabora el diagrama de árbol.

2. Con cuatro letras (ABCD), se requiere elaborar códigos de tres letras (ABC,

ABD, etc.), ¿cuántos códigos diferentes se pueden formar sin repetir letras?

Elabora el diagrama de árbol con todos los resultados.

3. Un semáforo (Verde, Rojo, Amarillo) se ha descompuesto. Cuántas

combinaciones de luces son posibles bajo las siguientes condiciones (Elabora los

diagramas de árbol):

Si solo prende una luz.

Si prenden dos luces.

Si prenden las tres luces.

4. Se lanzan dos dados de seis puntos cada uno, determina el número de

maneras diferentes en que pueden caer simultáneamente ambos dados. Elabora

una lista con todos los resultados.

5. Tenemos tres dígitos para formar claves de acceso: 1, 4, 5. Si las claves

funcionan con sólo dos dígitos, cuántos códigos diferentes se pueden formar, si

los números no se pueden repetir. Ahora calcula con claves de tres dígitos.

Elabora los diagramas de árbol con los resultados.

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6. Volvamos a los dígitos para formar claves de acceso: 1, 4, 5. Si las claves de

acceso funcionan con tres dígitos, y además los números se pueden repetir,

¿cuántos códigos diferentes se pueden formar? Elabora el diagrama de árbol.

7. Un médico clasifica a sus pacientes por el tipo de sangre A, B, AB, O, y por su

presión: baja, normal, alta. ¿Cuántos tipos de pacientes tiene? Si tuviéramos que

clasificarlos por el factor Rh (+) y Rh (–), ¿cuántos pacientes serían? Elabora el

diagrama de árbol.

8. ¿Cuántos números de teléfono de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos

0 – 9?

9. Hay tres rutas obligatorias para llegar desde Aguascalientes hasta la isla

Tortuga en el Golfo de California. Para salir de Aguascalientes hay tres aerolíneas

para viajar a Mexicali: Interjet, Mexicana y Aerobús. De Mexicali al puerto Trujillo

hay dos opciones: autobús o tren. Del puerto a la isla Tortuga: lancha, canoa, ferri.

¿Cuántos viajes diferentes podemos realizar?

10. Las placas para automóvil en Querétaro están formadas por 6 caracteres: los

tres primeros son letras y los tres últimos son números. Supongamos que hay 26

letras del alfabeto.

a) ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar?

b) Si la primera letra debe ser Q y el primer número no puede ser cero,

¿cuántas placas diferentes se pueden formar?

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2.2 Permutaciones y Combinaciones

Otra serie de fórmulas que nos ofrece el principio fundamental del conteo son las

permutaciones y las combinaciones. Ambas usan un concepto llamado factorial de

un número. Estas fórmulas facilitan en gran medida el cálculo de los diferentes

ejercicios. Sin embargo, es importante leer detenidamente el problema para

identificar qué técnica de conteo se tiene que usar: diagrama de árbol,

permutación o combinación.

Factorial de un número: se representa por n! y se calcula multiplicando todos los

números consecutivos desde el número n hasta el 1.

Por ejemplo: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 ; 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Comprueba si 6! = 120. Es importante considerar que 0! = 1. Se pueden hacer

operaciones con los números factoriales: 7! / 3! = 840.

PERMUTACIONES COMBINACIONES

Un arreglo o listado en el que el orden

SÍ es importante.

Un arreglo en el que el orden NO es

importante.

Los números para abrir mi candado

son 472: sí importa el orden. El 724 no

funcionaría, ni el número 247. Tiene

que ser exactamente 4-7-2.

Los números se consideran diferentes

por el orden en que se colocan.

Mi ensalada de frutas es una

combinación de manzanas, uvas y

bananas: no importa en qué orden

pusimos las frutas, podría ser bananas,

uvas y manzanas, o uvas, manzanas y

bananas: es la misma ensalada.

P (n,r) = n x (n-1) x (n-2)…, r veces

Donde n es el número de cosas que se

pueden elegir y r las que se eligen: no

se puede repetir, el orden sí importa.

C (n,r) = P (n,r)

r!

Donde n es el número de cosas que se

pueden elegir y r las que se eligen: no

se puede repetir, el orden no importa.

Fórmula oficial:

nPr = ___n!__

(n – r)!

Fórmula oficial:

nCr = ___n!___

(n – r)! r!

13

EJEMPLOS

1. Tenemos tres letras: a, b, c, de las que escogemos dos; ¿cuántas

permutaciones y cuántas combinaciones son posibles?

PERMUTACIONES

n = 3 , r = 2

COMBINACIONES

n = 3 , r = 2

P (3,2) = 3 X 2 = 6 C (3,2) = P (3,2) = 3 X 2 = 3

2! 2

ab, ac, bc, ba, ca, cb ab, ac, bc

Sí importa el orden No importa el orden

2. Tenemos tres letras: a, b, c, de las que escogemos tres; ¿cuántas

permutaciones y cuántas combinaciones son posibles?

PERMUTACIONES

n = 3 , r = 3

COMBINACIONES

n = 3 , r = 3

P (3,3) = 3! = 3 X 2 X 1 = 6 C (3,3) = P (3,3) / 3! = 3! / 3! = 1

abc, acb, bac, bca, cab, cba abc

Sí importa el orden No importa el orden

3. En un librero tenemos 6 libros de matemáticas, 4 de química y 5 de física. ¿De

cuántas maneras diferentes se pueden acomodar los libros de cada materia en el

librero? Importa el orden, por lo tanto, son permutaciones.

Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar P (6,6) = 6! = 720 maneras.

Los 4 libros de química se pueden permutar P (4,4) = 4! = 24 maneras.

Los 5 libros de física se pueden permutar P (5,5) = 5! = 120 maneras.

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4. ¿Cuántos juegos de póker le pueden tocar a un jugador, si en cada turno le

tocas 5 cartas a cada jugador de un total de 52 cartas que tiene la baraja

completa? No importa el orden en el que se reciben las cartas, y desde luego no

se vale repetir por lo tanto, podemos calcular una combinación.

C (52,5) = P (52,5) / 5! = (52 x 51 x 50 x 49 x 48) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 2,598,960.

Fuente: https://pixabay.com/es/photos/juegos-de-azar-gewinnspiel-poker-4178466/

https://cdn.pixabay.com/photo/2019/07/23/13/51/schafer-dog-4357790__340.jpg

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TAREA No. 3

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Calcula:

a) P (6,3) = b) 5! =

c) C (5,4) = d) (7! 3!) / (5! 0!) =

2. Indica si las siguientes frases corresponden a permutación o combinación:

a) Seis personas de 8 quedan en el juego de sillas musicales.

b) Premiación de primero, segundo y tercer lugar de nueve alumnos

finalistas en un concurso de canto.

c) Elaboración de un coctel mezclando tres licores, agua y refresco.

d) Contrato por el que dos personas se obligan recíprocamente a dar una

cosa por otra.

3. Escribe una permutación y una combinación con cuatro letras ABCD tomando

tres a la vez; arma una tabla para ilustrar la diferencia.

4. De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de cada palabra:

a) YA b) TOMAR c) MATE

5. ¿Cuántas combinaciones diferentes de 6 flores se pueden seleccionar de una

docena de flores?

6. Una orquesta tocará tres piezas en un festival de ocho que puede tocar.

¿Cuántos programas diferentes pueden interpretar?

7. Hay 720 formas en que tres alumnos pueden terminar primero, segundo y

tercero, en un concurso, ¿cuántos alumnos están compitiendo?

8. Hay diez candidatos para cuatro puestos: presidente, vicepresidente, secretario

y tesorero. De cuántas formas pueden cubrirse estos puestos.

9. Se otorgan cinco becas diferentes a los cinco mejores estudiantes de una clase

que concluye estudios. ¿De cuántas formas se pueden otorgar las becas? Ahora

calcula si se otorgan cinco becas iguales a los cinco mejores estudiantes de una

clase que concluye estudios. ¿De cuántas formas se pueden otorgar estas becas?

10. En una clase de 30 estudiantes hay 20 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas

formas puede seleccionarse un comité de tres hombres y dos mujeres?

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3 ELEMENTOS DE PROBABILIDAD BÁSICA

Es importante recordar que la Estadística no es una ciencia exacta. Trabaja

conjuntamente con la Probabilidad, por lo que sus resultados contienen un

porcentaje de error asociado, mismo que se puede calcular matemáticamente.

La probabilidad es una manera científica de establecer el grado de confianza que

tenemos para predecir algo. Matemáticamente podemos decir que la probabilidad

se define como el número de casos favorables entre el número total de casos.

La probabilidad se mide con decimales que pueden tomar valores entre 0 y 1. Un

evento con probabilidad p = 0 nunca va a ocurrir. Un evento con probabilidad p = 1

siempre va a ocurrir. El número decimal se puede multiplicar por 100% para

expresar el resultado en porcentaje.

EJEMPLOS

1. Un dado posee un total de seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6). ¿Cuál es la

probabilidad de que si lanzo el dado salga un 4?

p (4) = 1 / 6 = 0.17 = 17%

Sólo hay 1 cara con cuatro, y tenemos 6 casos posibles. Esto significa que si

lanzáramos el dado 100 veces tendríamos aproximadamente 17 cuatros.

Si lanzamos dos dados ¿cuál es la probabilidad de obtener…? Usamos los

resultados de la Tarea 2:

Dos seises: p (6,6) = 1 / 36 = 0.03.

Que la suma sea 7: p (suma = 7) = 6 / 36 = 0.17:

o (1,6), (2,5), (3,4), (6,1), (5,2), (4,3).

17

2. En una bolsa con gomitas de colores, 16 son rojas, 17 azules, 9 amarillas y 12

verdes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que si saco una salga roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que si saco una salga amarilla o verde?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que si saco una salga cualquiera excepto azul?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que si saco una salga café?

COLOR Cantidad

Roja 16

Azul 17

Amarilla 9

Verde 12

TOTAL 54

a) p (roja) = 16 / 54 = 0.296 = 29.6%.

b) p (amarilla o verde) = (9 + 12) / 54 = 21 / 54 = 0.388 = 38.8%.

c) p (cualquiera – azul) = (54 – 17) / 54 = 37 / 54 = 0.685 = 68.5%.

d) p (café) = 0, no hay gomitas cafés.

Fuente: https://pixabay.com/es/photos/dulces-gominolas-gomitas-3422087/

3. Si el grupo es de 20 estudiantes, todas mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de

que un alumno sea hombre?: p (hombre) = 0 / 20 = 0 = 0%. ¿Cuál es la

probabilidad de que un alumno sea mujer?: p (mujer) = 20 / 20 = 1 = 100 %.

¿Cuál es la probabilidad de que una alumna en un grupo de 20 sea menor de

edad, si hay 8 alumnas que todavía no cumplen 18?:

p (edad < 18) = 8 / 20 = 0.4 = 40%

18

TAREA No. 4

PROBABILIDAD CLÁSICA

Resuelve los siguientes ejercicios calculando la probabilidad y el porcentaje.

1. Si lanzamos un dado, calcula cuál es la probabilidad de obtener:

a) Un seis. b) Un número impar.

c) Un número mayor que 4. d) Un número mayor o igual a 4.

2. En una bolsa gigante de chocolates M&M tenemos la siguiente distribución:

COLOR Cantidad

Café 91

Amarillo 112

Rojo 102

Azul 151

Naranja 137

Verde 99

TOTAL 692

Calcula ¿cuál es la probabilidad de obtener…?

a) Una café. b) Una roja o amarilla.

c) De cualquier color excepto verde. d) Una blanca.

3. Una pareja decidieron que tendrán dos bebés: uno el presente año y otro el año

siguiente. Calcula cuál es la probabilidad de que tengan:

a) Dos niñas b) Una pareja

c) Niño primero y niña después d) Al menos un niño

19

4. Una maestra encontró después de realizar una encuesta que sus alumnos ven

mucha televisión por las noches:

Horas de TV Número de

alumnos

Preguntas

a) ¿Qué porcentaje de alumnos no

miran la tele por la noche?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un

alumno mire cuando mucho 2 horas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un

alumno mire por lo menos 4 horas?

d) ¿Y cuál la probabilidad de que

miren la tele?

0

1

2

3

4

5

6

2

3

2

0

3

2

1

5. Un médico clasifica a sus pacientes por el tipo de sangre A, B, AB, O, por su

presión: baja, normal, alta y por el factor Rh (+) y Rh (–). ¿Cuál es la probabilidad

de que un paciente sea clasificado con la presión normal? ¿Cuál es la probabilidad

de que un paciente sea clasificado con el factor Rh (–)? ¿Cuál es la probabilidad

de que un paciente sea clasificado con el tipo de sangre A? ¿Cuál es la

probabilidad de que un paciente sea clasificado con el tipo de sangre O y la

presión alta? Usa los resultados de la Tarea 2

6. En una clínica los pacientes son clasificados por género y por tipo de diabetes

(tipo I y tipo II). La tabla presenta el número de pacientes de cada clasificación:

Tipo I Tipo II

Hombre 30 15

Mujer 35 20

a) Calcula cuál es la probabilidad de que un paciente sea clasificado como

mujer.

b) Cuál es la probabilidad de que un paciente sea clasificado como diabetes

Tipo I.

20

c) Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como hombre y diabetes

Tipo II.

d) Cuál es la probabilidad de que sea clasificado como mujer y diabetes

Tipo I.

7. Un grupo de estudiantes practica los siguientes deportes:

DEPORTE ESTUDIANTES Hombre Mujeres

Fútbol 9 5 4

Volibol 12 6 6

Natación 10 3 7

Básquet 15 7 8

Karate 13 10 3

Beisbol 19 19 0

TOTAL

a) Calcula cuál es la probabilidad de que un estudiante sea mujer y

practique Beisbol.

b) Calcula cuál es la probabilidad de que un estudiante practique Básquet.

c) Calcula cuál es la probabilidad de que un estudiante practique Volibol o

Fútbol.

d) Calcula cuál es la probabilidad de que un estudiante sea hombre.

8. Imagina que una caja contiene el mismo número de canicas blancas y azules,

pero el doble de canicas rojas que blancas. Calcula cuál es la probabilidad de que

una canica sacada de la caja sea blanca. Calcula cuál es la probabilidad de que

una canica sacada de la caja sea roja. Calcula cuál es la probabilidad de que una

canica sacada de la caja sea blanca o azul. Calcula cuál es la probabilidad de que

una canica sacada de la caja sea roja o azul.

21

9. Una empresa tiene 200 empleados: 110 hombres y 90 mujeres. En la fiesta de

fin de año deciden hacer una rifa para hombres y otra para mujeres, y un solo

premio para cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre cualquiera

obtenga el premio? ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer cualquiera obtenga

el premio? Después de entregados los premios, mezclan todos los boletos

(incluyendo a los ganadores) en una sola tómbola, para repartir tres premios:

primero, segundo y tercero. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre obtenga el

primer premio? ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer obtenga el primer

premio?

10. Elaboren un cono con cartón, el cual será lanzado al aire y aterrizará sobre la

superficie de la banca. ¿Cuál crees que es la probabilidad de que tu cono caiga

con la punta hacia arriba? Para estimar la probabilidad lánzalo 10 veces y registra

el número de aterrizajes con la punta hacia arriba. Elabora una tabla con la

frecuencia de caídas hacia arriba, con el porcentaje y el porcentaje acumulado,

hasta completar 100 lanzamientos. ¿Cómo se llama a este tipo de probabilidad?

Fuente: https://pixabay.com/es/vectors/hielo-helado-waffle-postre-verano-1432278/

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4 TIPOS DE VARIABLES

Los estudios y análisis que procesan información estadística trabajan con

conjuntos de números. Por ejemplo, el número de casados, solteros o divorciados,

en una muestra de personas adultas que trabajan en una ciudad; demás,

podemos pedirles número de hijos, su edad y nivel de ingresos. Una vez obtenidos

los datos, es decir, números en cada categoría, tendrán que ser ordenados para

poder interpretar los resultados. Por ejemplo: la mayoría son jóvenes solteros, o

más de la mitad son de ingresos bajos y tienen varios hijos, etc.

Los números obtenidos corresponden a características o elementos de la muestra

de personas seleccionada para el estudio. Ya que dichos elementos o

características varían en función de las diferentes personas, como la edad o el

número de hijos, es por eso que se conocen como VARIABLES.

Si quisiéramos comprar un vehículo usado para transportarnos a la escuela,

tendríamos que tomar en cuenta una serie de variables:

Precio

Marca

Color

Nuevo o usado

Tiempo de uso en años

Estado general

Número de puertas

Cada vehículo que sea analizado tendrá diferentes características. El número de

llantas no sería una variable, pues los vehículos para pasajeros normalmente

tienen 4 (y una de repuesto). Cada persona, con base en su presupuesto,

23

establecerá cuál es la principal variable a la hora de elegir entre una serie de

vehículos que estén a la venta.

Estas variables usadas para los vehículos las podemos clasificar en dos tipos

principales: cualitativas y cuantitativas. Las cualitativas establecen un nombre,

categoría o una calidad; en tanto que las cuantitativas se pueden medir para ser

reportadas por medio de números.

Recuerdas las variables usadas para diferenciar los vehículos anteriores,

clasifícalas y escríbelas a continuación:

Cualitativas:

Cuantitativas:

Efectivamente, debes haber seleccionado así: cualitativas (marca, color, nuevo o

usado y estado general); cuantitativas (precio, años de uso, número de puertas).

Las cualitativas se clasifican en dos: nominales y categóricas; las cuantitativas se

clasifican en: discretas y continuas.

Los tipos de variables más usados en estadística son los siguientes:

Cualitativas.

o Nominal (nombres): color, tipo, marca, etc.

o Categórica (categorías): bueno, regular o malo; marca 5 si es el que más te gusta y 1 si es el que menos te gusta, con valores intermedios.

Cuantitativas.

o Discreta: número de hijos, cantidad de vehículos, etc.

o Continua: estatura, peso, etc.

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En las variables cuantitativas, la diferencia entre “discreta” y “continua” es que la

primera corresponde a cantidades fijas, como el número de hijos; sería absurdo

decir tengo 1.5 hijos (o tengo uno o dos, pero no puedo tener uno y medio aunque

el segundo sea bebé).

Por su parte, las continuas pueden estar representadas por cantidades con

decimales, como el peso: los alumnos pesan 15.3 kilos (quince kilos con

trescientos gramos), 16.5 kilos (dieciséis kilos con quinientos gramos), 18.05 kilos

(dieciocho kilos con cinco gramos), etc.

Por último, toma en cuenta que la variable precio, que se clasifica como

“cuantitativa”, puede ser transformada en variable cualitativa categórica; ¿se te

ocurre cómo?

Si establecemos categorías como:

Precio bajo: menor a $20,000

Precio medio: entre 20,000 y 50,000

Precio alto: mayor a 50,000

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TAREA No. 5

TIPOS DE VARIABLES

Clasifica las variables de los siguientes ejercicios.

1. Un estudio clasificó una muestra de personas adultas que trabajan en una

ciudad como: casados, solteros, divorciados o viudos, número de hijos, su edad y

nivel de ingresos.

2. Para comprar un lote de bicicletas fue usado el siguiente criterio: marca de la

bicicleta, tipo (carreras, montaña, infantil), color, estado general (malo, regular,

excelente), tiempo de uso, precio y peso.

3. Los compañeros de la oficina realizaron encuestas. Clasifica las variables:

¿cuántos años tienes?, ¿tienes pareja?, ¿es seguro publicar en las redes

sociales?, ¿cuántas personas viven en tu casa?, ¿cuánto gastas en transporte?,

¿tienes teléfono celular?, ¿cuál es la compañía de tu cel?

4. Piensa en ejemplos de variables que pudieras usar con los alumnos de tu

escuela y clasifícalas:

Cualitativas.

o Nominal: o Categórica:

Cuantitativas.

o Discreta: o Continua:

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BIBLIOGRAFÍA

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Ed. Rod Pierce. 5 Oct 2011. 21 Oct 2013:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-

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