probabilidad y estadÍstica en hidrologÍa

Jesús Abel Mejía Marcacuzco

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAEN HIDROLOGÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

© Jesús Abel Mejía Marcacuzco © Universidad Nacional Agraria la Molina Av. La Molina s/n La Molina

Derechos reservados ISBN: 978-612-4147-91-3Hecho en el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro: Nº 2017-05059

Primera Edición: abril del 2017 - Tiraje 500 ejemplares Impreso en Perú - Printed in Peru

Coordinación editorial:José Carlos Vilcapoma

Diseño y diagramación de carátula:Roxana Perales Flores

Diseño, diagramación e impresión:Editora Gráfica Vega S.A.C. Jr. Juan Manuel del Mar y Bernedo 1218 - Cercado de Lima

Queda terminantemente prohibida por la ley del Perú la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea eléctronico, mecánico químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita de la Universidad Nacional Agraria La Molina y del autor.

Todos los conceptos expresados en la presente obra son responsabilidad del autor.

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

Ph. D. Enrique Ricardo Flores MariazzaRector

Ph. Dr. Jorge Alfonso Alarcón NovoaVicerrector Académico

Dra. Carmen Eloisa Velezmoro SánchezVicerrectora de Investigación

Dr. José Carlos VilcapomaJefe del Fondo Editorial

Jesús Abel Mejía Marcacuzco PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EN HIDROLOGÍA Lima: Fondo Editorial - UNALM 2017; 194 p.

Contenido

Presentación

1. Tabulación estadística descriptiva1.1. Definición de términos1.2. Recopilación de datos1.3. Distribución de frecuencias y representaciones gráficas1.4. Medidas de tendencia central, de dispersión y de forma

2. Fundamentos de probabilidad2.1. Definición y propiedades2.2. Probabilidad provisional2.3. Teorema de probabilidad total2.4. Teorema de Vayes2.5. Permutaciones2.6. Combinaciones

3. Variable aleatoria y distribución de probabilidades3.1. Variable aleatoria3.2. Tipos de variables aleatorias3.3. Función de densidad y función de distribución de variables aleatorias3.4. Momento de distribuciones3.5. Estimación de parámetros3.6. Distribuciones bidimensionales

4. Distribución de variables aleatorias discretas4.1. Distribución hipergeométrica4.2. Distribución binominal4.3. Distribución geométrica4.4. Distribución binominal negativa4.5. Distribución de Poisson4.6. Distribución exponencial4.7. Distribucón Gamma4.8. Distribución multinominal

5. Distribución de variables aleatorias continuas5.1. Distribución uniforme o rectangular5.2. Distribución normal5.3. Distribución exponencial5.4. Distribución Gamma

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111418181820212323272728283233364040414445454748495151525660

6. Distribución de probabilidades para valores extremos6.1. Distribución Log-normal de dos parámetros6.2. Distribución Log-normal de tres parámetros6.3. Distribución de valores extremos Tipo I-Gumbel6.4. Distribución de valores extremos Tipo III-Weibull6.5. Distribución de Pearson Tipo III6.6. Distribución Log-Pearson Tipo III

7. Intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y de ajuste7.1. Intervalos de confianza

7.1.1. Introducción7.1.2. Intervalos de confianza para la media de una distribución normal7.1.3. Intervalos de confianza para la diferencia de medias7.1.4. Intervalos de confianza para la varianza de una distribución normal7.1.5. Intervalos de confianza con un solo límite

7.2. Prueba de hipótesis7.2.1. Introducción7.2.2. Tipos de errores7.2.3. Nivel de significación7.2.4. Región de rechazo y región de aceptación7.2.5. Tipos de pruebas de hipótesis7.2.6. Pasos para la realización de una prueba de hipótesis7.2.7. Pruebas de hipótesis sobre la media de una distribución normal7.2.8. Pruebas de hipótesis sobre diferencia entre medias7.2.9. Pruebas de hipótesis relativa a la varianza de una población7.2.10. Pruebas de hipótesis relativa a las varianzas de dos poblaciones

7.3. Prueba de ajuste7.3.1. Ajuste gráfico7.3.2. Prueba de ajuste CHI-cuadrado (X2)7.3.3. Prueba de verificación de Kolmogorov7.3.4. Ventajas y limitaciones de las pruebas de ajustes

8. Análisis de frecuencias de eventos extremos8.1. Introducción8.2. Periodo de retorno y riesgo8.3. Fundamento de los métodos estadísticos8.4. Series parciales y anuales8.5. La curva de frecuencias8.6. Comentarios sobre el uso de las distribuciones estadísticas8.7. Factores de frecuencia en el análisis de máximas avenidas

8.7.1. Factor de frecuencia para la distribución normal y Log-normal8.7.2. Factor de frecuencia para la distribución Gumbel y Log-Gumbel8.7.3. Factor de frecuencia para la distribución Pearson III y Log-Pearson III

8.8. Límites de confianza para las distribuciones de valores extremos8.9. Aplicación al análisis de máximas avenidas para el rio Cañete

9. Regresión lineal simple9.1. Regresión simple9.2. Evaluación de la regresión

666669717376777979797982848585858586868687879092939494959596

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9.3. Intervalos de confianza y pruebas de hipótesis9.3.1. Prueba de normalidad de los residuos9.3.2. Inferencia acerca del coeficiente de regresión9.3.3. Intervalos de confianza para la línea de regresión9.3.4. Intervalos de confianza para el Error Estándar

10. Regresión lineal múltiple10.1. Modelo lineal general10.2. Intervalo de confianza para el Error Estándar10.3. Inferencia acerca de los coeficientes de regresión10.4. Intervalos de confianza para la línea de regresión10.5. Código MATLAB para regresión lineal múltiple

11. Correlación11.1. Coeficientes se correlación11.2. Inferencia acerca de los coeficientes de correlación11.3. Correlación serial11.4. Correlación y análisis regional11.5. Correlación de causa y efecto11.6. Falsa correlación o correlación spuria

12. Análisis de series de tiempo12.1. Recopilación de datos hidrológicos12.2. Series de tiempo hidrológicas12.3. Consistencia de datos12.4. Saltos12.5. Tendencia12.6. Periodicidad12.7. Representación de un proceso estocástico12.8. Propiedades de las series de tiempo12.9. Autocorrelación12.10. Análisis espectral

13. Modelos estocásticos en hidrología13.1. Introducción13.2. Modelo autorregresivo de primer orden13.3. Modelo autorregresivo de primer orden con periodicidad13.4. Modelo autorregresivo de orden superior13.5. Ejemplo de aplicación de un modelo autorregresivo de primer orden

14. Descripción de los modelos matemáticos en Hidrología14.1. Información requerida y razones para el modelamiento hidrológico14.2. Clasificación general de modelos matemáticos en Hidrología14.3. Clasificación funcional de modelos matemáticos en Hidrología14.4. Clasificación estructural de modelos matemáticos en Hidrología14.5. Clasificación de acuerdo al nivel de desagregación espacial14.6. Clasificación de acuerdo a la descripción del proceso hidrológico14.7. Clasificación de acuerdo al nivel tecnológico14.8. Selección de modelos

Bibliografía

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Presentación

El origen de la Estadística se remonta a épocas en las que los gobernantes requerían técnicas para controlar sus propiedades y a las personas. Posteriormente, el desarrollo de los juegos de azar propició el estudio de métodos matemáticos para su análisis los cuales con el tiempo dieron origen a la teoría de la probabilidad que es el soporte de la estadística en la actualidad. La estadística ha alcanzado un nivel de desarrollo muy alto y constituye actualmente el soporte necesario para todas las ciencias y para la investigación científica, como soporte para tomar decisiones en un entorno de incertidumbre.

En la gestión de recursos hídricos, la planeación y diseño de proyectos hidráulicos se necesitan información histórica de variables hidrológicas, provenientes de fenómenos complejos y de naturaleza aleatoria, que representan muestras de características desconocidas y que gracias al análisis de probabilidades es posible describir el comportamiento de las variables de la población.

Uno de los problemas más importantes en hidrología es la interpretación de registros de eventos pasados para inferir la ley de probabilidades de la variable hidrológica (población) de interés, procedimiento que en hidrología se conoce con el nombre de análisis de frecuencia. Por ejemplo al analizar la descarga de un río durante un periodo de cincuenta años; son factibles dos tipos de análisis: descriptivo y de inferencia. El primero consiste, básicamente, en calcular propiedades estadísticas, como media, varianza y otras, que implican poco riesgo. En el segundo caso, la muestra se analiza para inferir las propiedades de su población, lo cual ayuda a derivar las características probabilísticas del caudal, que involucra riesgos y requiere una total comprensión de los métodos empleados y el peligro involucrado en la predicción y estimación de las variables.

Los objetivos básicos de la estadística en la hidrología son entre otros:

• Interpretación de las observaciones y transformarlos en información útil para tomar decisiones

• Inferencia sobre el comportamiento de la variable • Extracción del máximo de información de los registros y análisis de la calidad de la

información • Presentación de la información en gráficas, tablas, ecuaciones, que básicamente ayudan a

la toma de decisiones en la gestión de los recursos hídricos.

La solución de muchos problemas de hidrología requiere del uso de la computadora digital, el cual simplifica los cálculos laboriosos en gran forma. Sin embargo para elaborar un programa

de computación se requiere un amplio conocimiento del fenómeno y de su correspondiente modelo matemático; por lo que este libro se propone no solo a ayudar a comprender los principios fundamentales de la probabilidad y estadística aplicada a la hidrología, sino también ilustra una gran variedad de casos en que se utilizan.

Esta obra es una contribución dedicada a los estudiantes de ingeniería de nivel de pregrado y posgrado con una cuidadosa selección de problemas resueltos que implican diverso grado de dificultad; muchos de los cálculos han sido realizados con Excel y otros con MATLAB que disponen de funciones especiales para el análisis estadístico de datos.

Jesús Abel Mejía MarcacuzcoDepartamento Académico de Recursos Hídricos

Facultad de Ingeniería AgrícolaUniversidad Nacional Agraria La Molina, UNALM

Lima, Perú

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EN HIDROLOGÍA

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1.1 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

Estadística: Ciencia inductiva que permite inferir características cualitativas y cuantitativas de un conjunto mediante los datos contenidos en un subconjunto del mismo.

Población: Conjunto total de individuos u objetos con alguna característica que es de interés estudiar.

Muestra: Subconjunto de la población cuya información es usada para estudiar a la población

Variable: Alguna característica observable de los elementos de una población y que puede tomar diferentes valores

Dato: Es cada valor incluido en la muestra. Se obtiene mediante observación o medición

Parámetro: Es alguna característica de la población en estudio y que es de interés conocer

Experimento Estadístico: Es un proceso que se diseña y realiza para obtener observaciones

Variable Aleatoria: Es una variable cuyo valor es el resultado de un experimento estadístico

Modelo: Descripción simbólica o física de una situación o sistema que se desea estudiar

Modelo Determinístico: Representación exacta de un sistema. Permite obtener respuestas precisas

Modelo Probabilístico: Representación de un sistema que incluye componentes aleatorios. Las respuestas obtenidas se expresan en términos de probabilidad

Estadística Descriptiva: Técnicas para recopilar, organizar, procesar y presentar datos obtenidos en muestrasEstadística Inferencial: Técnicas para obtención de resultados basados en la información contenida en muestras

Inferencia Estadística: Es la extensión a la población de los resultados obtenidos en una muestra

1.2 RECOPILACIÓN DE DATOS

Los datos hidrológicos son colectados primordialmente como información básica para el desarrollo, gestión e investigación de los recursos hídricos de una región, a través de una red de instrumentos de medición. Una red de medición de variables hidrológicas y meteorológicas es un conjunto de instrumentos o estaciones de medición de una o más variables, distribuido en una cuenca con el objeto de cuantificarlos adecuadamente y observar sus variaciones temporales y espaciales.

JESÚS ABEL MEJÍA MARCACUZCO

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Es de gran importancia que los diversos tipos de redes sean instalados como proyectos integrados, pero en la práctica casi siempre las redes son operadas por diversas entidades, siendo necesarias una buena cooperación en su desarrollo y exploración. La diversidad de características regionales en términos de topografía, uso del suelo, acceso, infraestructura y problemas hídricos, hace impracticable establecer normas satisfactorias para el proyecto de redes de medición de variables hidrológicas y meteorológicas. Una red mínima es aquella que evitará incurrir en serios errores o deficiencias en la gestión de los recursos hídricos, en una escala compatible con el desarrollo económico de la región.

A continuación se presenta datos de precipitación total mensual, descargas medias mensuales y descargas máximas diarias para la cuenca del río Cañete; que servirán como insumo para algunas aplicaciones estadísticas desarrolladas en el texto.

Tabla 1.1: Precipitación Total Mensual (mm) Cuenca Húmeda del Río Cañete

2 Probabilidad y Estadística en Hidrología

problemas hídricos, hace impracticable establecer normas satisfactorias para el proyecto de redes de medición de variables hidrológicas y meteorológicas. Una red mínima es aquella que evitará incurrir en serios errores o deficiencias en la gestión de los recursos hídricos, en una escala compatible con el desarrollo económico de la región. A continuación se presenta datos de precipitación total mensual, descargas medias mensuales y descargas máximas diarias para la cuenca del río Cañete; que servirán como insumo para algunas aplicaciones estadísticas desarrolladas en el texto.


Año ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL 1986 138.8 166.8 130.5 67.7 22.5 9.5 2.5 6.9 32.8 70.8 37.4 110.3 796.5 1987 199.3 88.3 55.3 23.0 7.2 9.1 18.0 9.8 6.9 21.6 45.3 64.6 548.4 1988 156.6 124.8 162.1 64.8 9.9 4.3 0.7 3.2 10.7 15.7 39.3 140.1 732.2 1989 159.9 117.7 176.1 37.3 8.8 7.0 2.3 18.1 18.5 27.6 53.7 66.5 693.5 1990 97.2 61.1 90.5 61.0 16.1 12.6 10.3 10.7 26.9 35.6 58.3 93.6 573.9 1991 106.2 112.5 132.2 62.4 19.8 9.5 4.1 9.0 9.6 37.7 35.1 49.2 587.3 1992 69.2 46.9 85.6 32.0 3.7 3.8 7.2 8.0 10.3 57.7 44.0 69.7 438.1 1993 114.6 141.3 151.4 70.7 15.3 3.3 7.5 10.3 16.0 44.2 70.5 110.8 755.9 1994 151.1 207.9 160.3 47.8 18.5 8.6 4.8 12.5 46.2 44.9 40.7 61.3 804.6 1995 99.8 76.0 120.1 93.2 8.0 0.8 5.8 1.1 19.5 33.6 36.5 70.0 564.4 1996 165.9 127.9 93.9 49.4 5.5 0.2 0.3 9.4 14.3 28.7 24.3 82.8 602.6 1997 120.2 123.9 54.2 47.7 7.6 1.2 0.8 13.1 25.9 35.0 68.2 168.4 666.2 1998 167.2 127.7 132.7 50.4 0.5 2.0 0.2 2.3 12.5 25.0 36.5 68.0 625.0 1999 99.8 196.1 112.8 70.6 28.3 1.5 2.0 1.6 12.9 52.5 47.8 175.8 801.7 2000 151.3 157.3 177.9 40.0 17.0 0.3 5.6 3.4 19.0 50.7 42.8 116.7 782.0 Media 133.14 125.08 122.37 54.53 12.58 4.91 4.81 7.96 18.80 38.75 45.36 96.52 664.82 D. St. 35.26 45.62 40.11 18.01 7.76 4.10 4.73 4.88 10.45 14.83 12.63 39.63 112.69 Min 69.20 46.90 54.20 23.00 0.50 0.20 0.20 1.10 6.90 15.70 24.30 49.20 438.10 Max 199.30 207.90 177.90 93.20 28.30 12.60 18.00 18.10 46.20 70.80 70.50 175.80 804.60

(Fuente: Evaluación y Ordenamiento de los Recursos Hídricos de la Cuenca del Río Cañete, INRENA-DGAS-ATDR-MOC)

Tabla 1.2: Descargas Medias Mensuales (m3/s) del Río Cañete

Estación Socsi – Altitud 350 msnm

Año ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC PROM 1986 177.12 209.28 232.48 183.16 70.73 32.79 23.25 19.08 14 12.38 18.77 49.8 86.90 1987 161.09 168.01 100.27 46.76 22.67 13.44 10.21 9.46 9.05 9.28 15.38 29.08 49.56 1988 83.96 135.32 105.2 82.91 34.89 19.56 12.71 11.73 11.69 11.27 10.76 27.06 45.59 1989 133.65 200.6 244.21 119.96 34.47 30.56 14.87 12.42 10.46 14.26 20.01 10.56 70.50 1990 34.63 27.13 78.23 28.02 18.57 14.97 11.1 8.78 7.63 12.58 36.23 42.61 26.71 1991 60.08 97.69 216.02 64.14 49.66 27.54 16.64 11.29 7.81 8.97 20.15 16.41 49.70 1992 38.83 32.28 82.04 36.16 21.21 12.15 8.32 6.94 5.94 7.81 8.72 10.17 22.55 1993 32.12 193.77 238.16 112.33 47.81 21.6 13.62 11.88 11.68 13.64 50.17 120.42 72.27 1994 160.65 332.68 257.69 123.95 59.65 28.17 20.87 17.1 13.48 13.01 19.42 39.7 90.53 1995 89.36 111.25 202.1 53.77 23.71 16.17 12.13 9.86 9.55 10.31 29.26 31.51 49.92 1996 137.25 201.69 190.23 125.32 43.23 21.73 14.14 11.81 10.46 9.49 12.12 21.86 66.61 1997 53.35 83.98 73.3 23.52 15.03 10.96 8.99 7.38 7.38 9.34 22.38 72.32 32.33 1998 165.54 181.12 216.49 99.61 33.67 19.2 12.74 12.55 9.91 11.22 15.3 20.53 66.49 1999 51.6 107.88 112.45 99.33 54.79 24.31 14.99 11.28 10.79 12.76 12.49 45.05 46.48 2000 117.47 146.03 177.27 101.46 55.18 23.46 16.58 11.54 9.99 11.17 20.8 38.36 60.78

Media 99.78 148.58 168.41 86.69 39.02 21.11 14.08 11.54 9.99 11.17 20.80 38.36 55.79 D.St 53.17 77.85 68.33 44.47 16.96 6.78 4.10 3.20 2.23 1.92 10.80 28.01 20.22 Min 32.12 27.13 73.30 23.52 15.03 10.96 8.32 6.94 5.94 7.81 8.72 10.17 22.55 Max 177.12 332.68 257.69 183.16 70.73 32.79 23.25 19.08 14.00 14.26 50.17 120.42 90.53

(Fuente: Propuesta de Asignaciones de Agua en Bloque para el Valle de Cañete – PROFODUA, 2006)

(Fuente: Evaluación y Ordenamiento de los Recursos Hídricos de la Cuenca del Río Ca-ñete, INRENA-DGAS-ATDR-MOC)


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Tabla 1.2: Descargas Medias Mensuales (m3/s) del Río CañeteEstación Socsi – Altitud 350 msnm


problemas hídricos, hace impracticable establecer normas satisfactorias para el proyecto de redes de medición de variables hidrológicas y meteorológicas. Una red mínima es aquella que evitará incurrir en serios errores o deficiencias en la gestión de los recursos hídricos, en una escala compatible con el desarrollo económico de la región. A continuación se presenta datos de precipitación total mensual, descargas medias mensuales y descargas máximas diarias para la cuenca del río Cañete; que servirán como insumo para algunas aplicaciones estadísticas desarrolladas en el texto.


Año ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL 1986 138.8 166.8 130.5 67.7 22.5 9.5 2.5 6.9 32.8 70.8 37.4 110.3 796.5 1987 199.3 88.3 55.3 23.0 7.2 9.1 18.0 9.8 6.9 21.6 45.3 64.6 548.4 1988 156.6 124.8 162.1 64.8 9.9 4.3 0.7 3.2 10.7 15.7 39.3 140.1 732.2 1989 159.9 117.7 176.1 37.3 8.8 7.0 2.3 18.1 18.5 27.6 53.7 66.5 693.5 1990 97.2 61.1 90.5 61.0 16.1 12.6 10.3 10.7 26.9 35.6 58.3 93.6 573.9 1991 106.2 112.5 132.2 62.4 19.8 9.5 4.1 9.0 9.6 37.7 35.1 49.2 587.3 1992 69.2 46.9 85.6 32.0 3.7 3.8 7.2 8.0 10.3 57.7 44.0 69.7 438.1 1993 114.6 141.3 151.4 70.7 15.3 3.3 7.5 10.3 16.0 44.2 70.5 110.8 755.9 1994 151.1 207.9 160.3 47.8 18.5 8.6 4.8 12.5 46.2 44.9 40.7 61.3 804.6 1995 99.8 76.0 120.1 93.2 8.0 0.8 5.8 1.1 19.5 33.6 36.5 70.0 564.4 1996 165.9 127.9 93.9 49.4 5.5 0.2 0.3 9.4 14.3 28.7 24.3 82.8 602.6 1997 120.2 123.9 54.2 47.7 7.6 1.2 0.8 13.1 25.9 35.0 68.2 168.4 666.2 1998 167.2 127.7 132.7 50.4 0.5 2.0 0.2 2.3 12.5 25.0 36.5 68.0 625.0 1999 99.8 196.1 112.8 70.6 28.3 1.5 2.0 1.6 12.9 52.5 47.8 175.8 801.7 2000 151.3 157.3 177.9 40.0 17.0 0.3 5.6 3.4 19.0 50.7 42.8 116.7 782.0 Media 133.14 125.08 122.37 54.53 12.58 4.91 4.81 7.96 18.80 38.75 45.36 96.52 664.82 D. St. 35.26 45.62 40.11 18.01 7.76 4.10 4.73 4.88 10.45 14.83 12.63 39.63 112.69 Min 69.20 46.90 54.20 23.00 0.50 0.20 0.20 1.10 6.90 15.70 24.30 49.20 438.10 Max 199.30 207.90 177.90 93.20 28.30 12.60 18.00 18.10 46.20 70.80 70.50 175.80 804.60

(Fuente: Evaluación y Ordenamiento de los Recursos Hídricos de la Cuenca del Río Cañete, INRENA-DGAS-ATDR-MOC)

Tabla 1.2: Descargas Medias Mensuales (m3/s) del Río Cañete

Estación Socsi – Altitud 350 msnm

Año ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC PROM 1986 177.12 209.28 232.48 183.16 70.73 32.79 23.25 19.08 14 12.38 18.77 49.8 86.90 1987 161.09 168.01 100.27 46.76 22.67 13.44 10.21 9.46 9.05 9.28 15.38 29.08 49.56 1988 83.96 135.32 105.2 82.91 34.89 19.56 12.71 11.73 11.69 11.27 10.76 27.06 45.59 1989 133.65 200.6 244.21 119.96 34.47 30.56 14.87 12.42 10.46 14.26 20.01 10.56 70.50 1990 34.63 27.13 78.23 28.02 18.57 14.97 11.1 8.78 7.63 12.58 36.23 42.61 26.71 1991 60.08 97.69 216.02 64.14 49.66 27.54 16.64 11.29 7.81 8.97 20.15 16.41 49.70 1992 38.83 32.28 82.04 36.16 21.21 12.15 8.32 6.94 5.94 7.81 8.72 10.17 22.55 1993 32.12 193.77 238.16 112.33 47.81 21.6 13.62 11.88 11.68 13.64 50.17 120.42 72.27 1994 160.65 332.68 257.69 123.95 59.65 28.17 20.87 17.1 13.48 13.01 19.42 39.7 90.53 1995 89.36 111.25 202.1 53.77 23.71 16.17 12.13 9.86 9.55 10.31 29.26 31.51 49.92 1996 137.25 201.69 190.23 125.32 43.23 21.73 14.14 11.81 10.46 9.49 12.12 21.86 66.61 1997 53.35 83.98 73.3 23.52 15.03 10.96 8.99 7.38 7.38 9.34 22.38 72.32 32.33 1998 165.54 181.12 216.49 99.61 33.67 19.2 12.74 12.55 9.91 11.22 15.3 20.53 66.49 1999 51.6 107.88 112.45 99.33 54.79 24.31 14.99 11.28 10.79 12.76 12.49 45.05 46.48 2000 117.47 146.03 177.27 101.46 55.18 23.46 16.58 11.54 9.99 11.17 20.8 38.36 60.78

Media 99.78 148.58 168.41 86.69 39.02 21.11 14.08 11.54 9.99 11.17 20.80 38.36 55.79 D.St 53.17 77.85 68.33 44.47 16.96 6.78 4.10 3.20 2.23 1.92 10.80 28.01 20.22 Min 32.12 27.13 73.30 23.52 15.03 10.96 8.32 6.94 5.94 7.81 8.72 10.17 22.55 Max 177.12 332.68 257.69 183.16 70.73 32.79 23.25 19.08 14.00 14.26 50.17 120.42 90.53



Tabla 1.3: Registro de Caudales Máximos Diarios (m3/s) del Río CañeteEstación Socsi – 60 años de registro


Tabla 1.3: Registro de Caudales Máximos Diarios (m3/s) del Río Cañete

Estación Socsi – 60 años de registro

Año Caudal Año Caudal Año Caudal Año Caudal 1941 301.1 1956 470.0 1971 430.0 1986 370.5 1942 319.2 1957 228.3 1972 700.0 1987 487.3 1943 324.1 1958 270.4 1973 484.2 1988 420.3 1944 396.6 1959 700.0 1974 326.0 1989 377.0 1945 350.0 1960 488.8 1975 298.0 1990 189.0 1946 354.0 1961 597.6 1976 332.0 1991 372.0 1947 353.0 1962 566.2 1977 249.0 1992 164.3 1948 279.0 1963 242.4 1978 216.0 1993 390.0 1949 198.0 1964 153.1 1979 182.8 1994 550.0 1950 244.7 1965 214.7 1980 100.1 1995 500.0 1951 485.0 1966 201.0 1981 257.1 1996 310.0 1952 360.0 1967 343.0 1982 172.0 1997 182.7 1953 555.0 1968 154.0 1983 228.0 1998 310.7 1954 657.0 1969 316.0 1984 425.5 1999 318.2 1955 700.0 1970 408.0 1985 165.6 2000 322.0

1.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Los registros hidrológicos, muestran por lo general una larga secuencia de datos que requieren un análisis cualitativo y cuantitativo para su empleo posterior. Uno de estos análisis consiste en la observación, clasificación y ordenamiento de repeticiones de ciertos valores de la variable. Cuando se dispone de un gran número de datos, es necesario distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de datos pertenecientes a cada clase. Una ordenación tabular de los datos en clases y con las frecuencias correspondientes, se conoce como una tabla de distribución de frecuencias. Se llama frecuencia absoluta al número de veces que se repite el valor de una variable en el intervalo de clase considerado y frecuencia relativa a la razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos analizados; f = n/N. Para determinar un número conveniente de intervalos de clase se tienen como referencia algunas consideraciones: SPIEGEL (1961), sugiere que un número de intervalos de clase conveniente es de 5 a 20. STEEL y TORRIE (1960), sugieren que el número de intervalos no debe ser menor de 1/4 ni mayor de ½ del valor de la desviación estándar. STURGES (1926) recomienda que el número de intervalos de clase puede ser estimado con: 1 + 3.3Log(N) ó 1+1.43Ln(N), siendo N el número de datos observados. Para cualquier criterio que se use, se debe tener en cuenta que la sensibilidad se pierde si muy pocos o muchos intervalos de clase son tomados. Pocos intervalos elimina detalles y obvia el patrón básico de distribución de los datos y muchos intervalos inducen un patrón erróneo, alterando altas y bajas frecuencias. La presentación de datos hidrológicos en tablas, por lo general, dificultan su interpretación que puede ser laboriosa, por lo que, a menudo se recurre a representaciones gráficas que proporciones de modo rápido y visual una idea aproximada del comportamiento de datos que se estudia. Entre las diversas formas de representación gráfica utilizados en el análisis de datos hidrológicos son los diagramas de líneas, barras, histogramas y polígonos de frecuencias.

1.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Los registros hidrológicos, muestran por lo general una larga secuencia de datos que requieren un análisis cualitativo y cuantitativo para su empleo posterior. Uno de estos análisis consiste en la observación, clasificación y ordenamiento de repeticiones de ciertos valores de la variable. Cuando se dispone de un gran número de datos, es necesario distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de datos pertenecientes a cada clase. Una ordenación tabular de los datos en clases y con las frecuencias correspondientes, se conoce como una tabla de distribución de frecuencias.


12

Se llama frecuencia absoluta al número de veces que se repite el valor de una variable en el intervalo de clase considerado y frecuencia relativa a la razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos analizados; f = n/N.

Para determinar un número conveniente de intervalos de clase se tienen como referencia algunas consideraciones: SPIEGEL (1961), sugiere que un número de intervalos de clase conveniente es de 5 a 20. STEEL y TORRIE (1960), sugieren que el número de intervalos no debe ser menor de 1/4 ni mayor de ½ del valor de la desviación estándar. STURGES (1926) recomienda que el número de intervalos de clase puede ser estimado con: 1 + 3.3Log(N) ó 1+1.43Ln(N), siendo N el número de datos observados.

Para cualquier criterio que se use, se debe tener en cuenta que la sensibilidad se pierde si muy pocos o muchos intervalos de clase son tomados. Pocos intervalos elimina detalles y obvia el patrón básico de distribución de los datos y muchos intervalos inducen un patrón erróneo, alternando altas y bajas frecuencias.

La presentación de datos hidrológicos en tablas, por lo general, dificultan su interpretación que puede ser laboriosa, por lo que, a menudo se recurre a representaciones gráficas que proporciones de modo rápido y visual una idea aproximada del comportamiento de datos que se estudia. Entre las diversas formas de representación gráfica utilizados en el análisis de datos hidrológicos son los diagramas de líneas, barras, histogramas y polígonos de frecuencias.

Ejemplo 1.1:

Tomando como base la información de caudales máximos diarios del río Cañete, tabla 1.3, elaborar la tabla de distribución de frecuencias y los gráficos de histograma y polígonos de frecuencia.

Solución:

Tabla 1.4: Tabla de Distribución de Frecuencias de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete con 10 intervalos según el criterio de Spiegel


Ejemplo 1.1: Tomando como base la información de caudales máximos diarios del río Cañete, tabla 1.3, elaborar la tabla de distribución de frecuencias y los gráficos de histograma y polígonos de frecuencia. Solución:


Límite inferior

Límite Superior (Q)

Marca de Clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa (f)

f acumulada P(Qi ≤ Q) P(Qi > Q)

100 160 130 3 0.050 0.050 0.950 160 220 190 10 0.167 0.217 0.783 220 280 250 8 0.133 0.350 0.650 280 340 310 11 0.183 0.533 0.467 340 400 370 10 0.167 0.700 0.300 400 460 430 4 0.067 0.767 0.233 460 520 490 6 0.100 0.867 0.133 520 580 550 3 0.050 0.917 0.083 580 640 610 1 0.017 0.933 0.067 640 700 670 4 0.067 1.000 0.000

Total 60 1.000

Figura 1.1: Histograma y Polígono de Frecuencias de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete con 10 intervalos de clase

0.050

0.167

0.133

0.1830.167

0.067

0.100

0.0500.017

0.067

0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.20

130 190 250 310 370 430 490 550 610 670

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Caudal (m3/s)

Polígono Histograma

Según el criterio de Sturges, el número de intervalos de clase es: 1+3.3Log(60) = 6 Tamaño de intervalo: (valor máximo – valor mínimo)/6 = 100


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Ejemplo 1.1: Tomando como base la información de caudales máximos diarios del río Cañete, tabla 1.3, elaborar la tabla de distribución de frecuencias y los gráficos de histograma y polígonos de frecuencia. Solución:


Límite inferior


Marca de Clase

Frecuencia absoluta



100 160 130 3 0.050 0.050 0.950 160 220 190 10 0.167 0.217 0.783 220 280 250 8 0.133 0.350 0.650 280 340 310 11 0.183 0.533 0.467 340 400 370 10 0.167 0.700 0.300 400 460 430 4 0.067 0.767 0.233 460 520 490 6 0.100 0.867 0.133 520 580 550 3 0.050 0.917 0.083 580 640 610 1 0.017 0.933 0.067 640 700 670 4 0.067 1.000 0.000

Total 60 1.000


0.050

0.167

0.133

0.1830.167

0.067

0.100

0.0500.017

0.067

0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.20

130 190 250 310 370 430 490 550 610 670

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Caudal (m3/s)


Según el criterio de Sturges, el número de intervalos de clase es: 1+3.3Log(60) = 6 Tamaño de intervalo: (valor máximo – valor mínimo)/6 = 100

Según el criterio de Sturges, el número de intervalos de clase es: 1+3.3Log(60) = 6

Tamaño de intervalo: (valor máximo – valor mínimo)/6 = 100

Tabla 1.5: Tabla de Distribución de Frecuencias de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete con 6 intervalos de clase según el criterio de Sturges



Límite inferior


Marca de Clase

Frecuencia absoluta



100 200 150 10 0.167 0.167 0.833 200 300 250 12 0.200 0.367 0.633 300 400 350 20 0.333 0.700 0.300 400 500 450 10 0.167 0.867 0.133 500 600 550 4 0.067 0.933 0.067 600 700 650 4 0.067 1.000 0.000

Total 60 1.000

Figura 1.2: Histograma y Polígono de Frecuencia de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete

con 6 intervalos de clase

0.167

0.200

0.333

0.167

0.067

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

150 250 350 450 550

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Caudal (m3/s)

Figura 1.3: Frecuencia Acumulada de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete


14

Figura 1.2: Histograma y Polígono de Frecuencia de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete con 6 intervalos de clase

0.1670.200

0.333

0.167

0.067 0.067

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

150 250 350 450 550 650

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Caudal (m3/s)





Límite inferior


Marca de Clase

Frecuencia absoluta



100 200 150 10 0.167 0.167 0.833 200 300 250 12 0.200 0.367 0.633 300 400 350 20 0.333 0.700 0.300 400 500 450 10 0.167 0.867 0.133 500 600 550 4 0.067 0.933 0.067 600 700 650 4 0.067 1.000 0.000

Total 60 1.000

Figura 1.2: Histograma y Polígono de Frecuencia de Caudales Máximos Diarios del Río Cañete

con 6 intervalos de clase

0.167

0.200

0.333

0.167

0.067

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

150 250 350 450 550

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Caudal (m3/s)


El histograma obtenido con 10 intervalos de clase es multimodal, mientras que el obtenido con

6 intervalos en unimodal. Esto indica que el número de crestas del histograma dependerá de la selección del número de intervalos de clase; generalmente mientras más grande es el número de intervalos de clase, es más probable que se manifieste bimodalidad o multimodalidad.

1.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE DISPERSIÓN Y DE FORMA

Media Aritmética: valor más representativo y el más usado para representar una muestra de datos, se calcula sumando todas las observaciones y dividiendo entre el número de datos:

N

X

NXXXX

X

N

ii

N∑

==++++

== 1321 ...µ


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Mediana: sinónimo de medio, es el valor medio una vez que se ordenan las observaciones de menor a mayor. El valor medio es único si n es impar y en caso que n fuera par se obtiene de la semisuma de los dos valores centrales de las observaciones ordenadas.

La varianza (que suele representarse como σ2) es una medida de dispersión definida como el valor esperado del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades que los datos de la muestra objeto de estudio. Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influenciada por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones tienen mucha asimetría.

Varianza poblacional: 2

22

2)(

XN

X

N

XXN

ii

N

ii

−=−

=∑∑

σ

Varianza muestral: 11

)( 222

2

−

−=

−

−=

∑∑N

XnX

N

XXS

N

ii

N

ii

Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica, considerando como eje de simetría una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo. Decimos que hay asimetría positiva (o a la derecha) si la “cola” a la derecha de la media es más larga que la de la izquierda, es decir, si hay valores más separados de la media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la “cola” a la izquierda de la media es más larga que la de la derecha, es decir, si hay valores más separados de la media a la izquierda.

Coeficiente de asimetría de Pearson: Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Si la distribución es simétrica la media es igual a la moda y g = 0. Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y por tanto g > 0.

SXCP

modamoda −≅

−=

σµ

Coeficiente de asimetría de Fisher:

Es la medida de asimetría más utilizada y parte del uso del tercer momento central. Si g > 0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha. Si g < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda. Si la distribución es simétrica, entonces sabemos que g = 0, sin embargo lo recíproco no es cierto o sea que no siempre la distribución es simétrica cuando g = 0.

N

XX

SN

Xg

N

ii

N

ii ∑∑ −

≅−

=

3

3

3

31

)(1

)(1

µ

σ


16

Coeficiente de apuntamiento de Fisher:

El apuntamiento o curtosis de una distribución de frecuencias se sustenta en la comparación respecto a una distribución de referencia como la distribución normal. En consecuencia, su obtención sólo tendrá sentido en variables cuya distribución sea similar a la curva normal, unimodal y más o menos simétrica. De forma análoga a la asimetría, se diferencian 3 grandes categorías de apuntamiento:

leptocúrtica

mesocúrticaa

platicúrticaa

Figura 1.4: Categorias de Apuntamiento de Fisher

Una distribución más apuntada que la normal es leptocúrtica. Una distribución similar que la normal es mesocúrtica. Una distribución menos apuntada que la normal es platicúrtica.

3)(

14

42 −−

=∑

N

XXg

k

ii

σ

Ejemplo 1.2

Para los datos de caudales máximos diarios del río Cañete, determinar la media, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría de Pearson, coeficiente de asimetría de Fisher y coeficiente de apuntamiento de Fisher para datos agrupados en tabla de distribución de frecuencia y para datos no agrupados en tabla de distribución de frecuencias.

Solución:

a) Para datos agrupados en tabla de distribución de frecuencias:

Tabla 1.6: Tabla de distribución de frecuencias para el cálculo de parámetros


Solución: a) Para datos agrupados en tabla de distribución de frecuencias:


Límite inferior

Límite Superior

Marca de Clase Qi

Frecuencia Absoluta fi fiQi fi(Qi – Qp)2 fi(Qi – Qp)3 fi(Qi – Qp)4

100 200 150 10 1500 386777.8 -76066296.3 14959704938.3 200 300 250 12 3000 112133.3 -10839555.6 1047823703.7 300 400 350 20 7000 222.2 740.7 2469.1 400 500 450 10 4500 106777.8 11033703.7 1140149382.7 500 600 550 4 2200 165377.8 33626814.8 6837452345.7 600 700 650 4 2600 368044.4 111640148.1 33864178271.6

Suma 60 20800 1139333.3 69395555.6 57849311111.1

Media: /sm 67.34660

20800 3

N

QfQQ

k

iii

p

Varianza muestral: 73.19310160

3.11393331

)( 2

2

N

QQfS

k

iii

Desviación estándar: /sm 96.13873.19310 32 SS

Coeficiente de variación: 401.067.34696.138

QScv

En la tabla 1.6, se observa que la moda es 350, ya que se repite 20 veces

Coeficiente de asimetría de Pearson: 024.096.138

35067.346moda

SQCp


431.060

6.6939555596.138

1)(

13

3

31

N

QQf

Sg

k

iii


414.0360

1.1578493111196.138

13)(

14

4

42

N

QQf

Sg

k

iii

b) Para datos no agrupados en tabla de distribución de frecuencias:

Para datos no agrupados en tabla de distribución de frecuencias, el cálculo se efectúa con los 60 datos de la tabla 1.3. Se deja, al lector, como ejercicio desarrollar esta parte del problema.


17

Media:

Varianza muestral:

Desviación estándar:

Coeficiente de variación:


Coeficiente de asimetría de Pearson:




Límite inferior

Límite Superior

Marca de Clase Qi


100 200 150 10 1500 386777.8 -76066296.3 14959704938.3 200 300 250 12 3000 112133.3 -10839555.6 1047823703.7 300 400 350 20 7000 222.2 740.7 2469.1 400 500 450 10 4500 106777.8 11033703.7 1140149382.7 500 600 550 4 2200 165377.8 33626814.8 6837452345.7 600 700 650 4 2600 368044.4 111640148.1 33864178271.6

Suma 60 20800 1139333.3 69395555.6 57849311111.1

Media: /sm 67.34660

20800 3

N

QfQQ

k

iii

p


3.11393331

)( 2

2

N

QQfS

k

iii



QScv



35067.346moda

SQCp


431.060

6.6939555596.138

1)(

13

3

31

N

QQf

Sg

k

iii


414.0360

1.1578493111196.138

13)(

14

4

42

N

QQf

Sg

k

iii







Límite inferior

Límite Superior

Marca de Clase Qi


100 200 150 10 1500 386777.8 -76066296.3 14959704938.3 200 300 250 12 3000 112133.3 -10839555.6 1047823703.7 300 400 350 20 7000 222.2 740.7 2469.1 400 500 450 10 4500 106777.8 11033703.7 1140149382.7 500 600 550 4 2200 165377.8 33626814.8 6837452345.7 600 700 650 4 2600 368044.4 111640148.1 33864178271.6

Suma 60 20800 1139333.3 69395555.6 57849311111.1

Media: /sm 67.34660

20800 3

N

QfQQ

k

iii

p


3.11393331

)( 2

2

N

QQfS

k

iii



QScv



35067.346moda

SQCp


431.060

6.6939555596.138

1)(

13

3

31

N

QQf

Sg

k

iii


414.0360

1.1578493111196.138

13)(

14

4

42

N

QQf

Sg

k

iii







Límite inferior

Límite Superior

Marca de Clase Qi


100 200 150 10 1500 386777.8 -76066296.3 14959704938.3 200 300 250 12 3000 112133.3 -10839555.6 1047823703.7 300 400 350 20 7000 222.2 740.7 2469.1 400 500 450 10 4500 106777.8 11033703.7 1140149382.7 500 600 550 4 2200 165377.8 33626814.8 6837452345.7 600 700 650 4 2600 368044.4 111640148.1 33864178271.6

Suma 60 20800 1139333.3 69395555.6 57849311111.1

Media: /sm 67.34660

20800 3

N

QfQQ

k

iii

p


3.11393331

)( 2

2

N

QQfS

k

iii



QScv



35067.346moda

SQCp


431.060

6.6939555596.138

1)(

13

3

31

N

QQf

Sg

k

iii


414.0360

1.1578493111196.138

13)(

14

4

42

N

QQf

Sg

k

iii








Límite inferior

Límite Superior

Marca de Clase Qi


100 200 150 10 1500 386777.8 -76066296.3 14959704938.3 200 300 250 12 3000 112133.3 -10839555.6 1047823703.7 300 400 350 20 7000 222.2 740.7 2469.1 400 500 450 10 4500 106777.8 11033703.7 1140149382.7 500 600 550 4 2200 165377.8 33626814.8 6837452345.7 600 700 650 4 2600 368044.4 111640148.1 33864178271.6

Suma 60 20800 1139333.3 69395555.6 57849311111.1

Media: /sm 67.34660

20800 3

N

QfQQ

k

iii

p


3.11393331

)( 2

2

N

QQfS

k

iii



QScv



35067.346moda

SQCp


431.060

6.6939555596.138

1)(

13

3

31

N

QQf

Sg

k

iii


414.0360

1.1578493111196.138

13)(

14

4

42

N

QQf

Sg

k

iii




18

2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

2.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable. Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

Usando el diagrama de Venn, diversas relaciones probabilísticas pueden ser ilustrados. Si se define A y B como eventos aleatorios en el espacio muestral S, donde la probabilidad de A y B son respectivamente P(A) y P(B) y E1, E2, E3, ...., En son resultados de experimentos, se tiene:

Figura 2.1: Diagrama de Venn mostrando espacios muestrales y sus relaciones

Probabilidad y Estadística en Hidrología 9



Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable. Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad. La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento. Usando el diagrama de Venn, diversas relaciones probabilísticas pueden ser ilustrados. Si se define A y B como eventos aleatorios en el espacio muestral S, donde la probabilidad de A y B son respectivamente P(A) y P(B) y E1, E2, E3, ...., En son resultados de experimentos, se tiene:


P(AUB) = P(A) + P(B) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AA') = P(A) + P(A') = 1

2.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL Si la probabilidad de un evento tal como A depende de la ocurrencia de otro evento B, se tiene una probabilidad condicional y se escribe como P(A/B) que significa que P(A) es condicionada por el hecho que B ha ocurrido. En relación a la figura anterior, la ocurrencia de A dado que B ha ocurrido es representado por (AB); así la P(A/B) está dado por:

)()()/(

BPBAPBAP

ó )/()()( BAPBPBAP

Para eventos independientes, P(A/B) = P(A), se tiene: )()()( BPAPBAP

A

S

A B

S

A B AB

S

A'

2.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si la probabilidad de un evento tal como A depende de la ocurrencia de otro evento B, se tiene una probabilidad condicional y se escribe como P(A/B) que significa que P(A) es condicionada por el hecho que B ha ocurrido. En relación a la figura anterior, la ocurrencia de A dado que B ha ocurrido es representado por (A ∩ B); así la P(A/B) está dado por:


19








)()()/(

BPBAPBAP

ó )/()()( BAPBPBAP


A

S

A B

S

A B AB

S

A'

Para eventos independientes, P(A/B) = P(A), se tiene:








)()()/(

BPBAPBAP

ó )/()()( BAPBPBAP


A

S

A B

S

A B AB

S

A'

Ejemplo 2.1:

Determinar la probabilidad de obtener un seis en el lanzamiento de un dado por 2 veces.

Solución:

Si A y B son dos eventos, la probabilidad P(B) de obtener un seis en el primer lanzamiento no está afectada por la probabilidad P(A/B) de obtener un seis en el segundo lanzamiento, debido a que son eventos independientes: P(B) = 1/6 y P(A/B) = P(B) = 1/6, entonces: P(A∩B) = (1/6)(1/6) = 1/36

Ejemplo 2.2:

Usando los datos del registro de caudales máximos diarios del río Cañete, estimar la probabilidad de que un caudal mayor de 600 m3/s, ocurra en dos sucesivos años.

Solución:

En el registro vemos que los caudales de 600 m3/s han sido excedidos 4 veces en 60 años. La probabilidad de que este caudal sea excedido en 1 año es 4/60 = 0.0667 y la probabilidad que sea excedido en 2 años consecutivos será: 0.0667 x 0.0667 = 0.0044

Se asume que los eventos son independientes lo cual se explica físicamente por la no dependencia de año a año en las descargas máximas

Ejemplo 2.3:

Un estudio de precipitación diaria, muestra que para el mes de Mayo la probabilidad de tener un día lluvioso seguido de otro día lluvioso es 0.444; la probabilidad de tener un día seco seguido de otro día seco es de 0.724; la probabilidad de tener un día lluvioso seguido de un día seco es 0.276 y la probabilidad de tener un día seco seguido de un día lluvioso es 0.556. Si se observa que un cierto día de Mayo es lluvioso; cuál es la probabilidad de que los siguientes dos días sean lluviosos?.Solución:

Definamos B como el evento referido al día 1 lluvioso y A como el evento referido a un día lluvioso seguido de otro día lluvioso; entonces: P(A ∩ B) = P(B) x P(A/B). Como P(B) = 0.444 y también P(A/B) = 0.444, siendo esta la probabilidad de un día lluvioso seguido de otro día lluvioso. Por lo tanto: P(A ∩ B) = 0.444 x 0.444 = 0.197


20

Ejemplo 2.4:

La probabilidad de ocurrencia de un caudal de avenida, en un cierto río, es 0.2. Sobre el río hay un puente cuya probabilidad de falla en los estribos es 0.3 y de acuerdo a experiencias estas probabilidades de falla suben a 0.5 cuando se presentan estos caudales. Determinar la probabilidad de falla del puente para estas condiciones:

P(avenida) = P(A) = 0.2P(falla) = P(F) = 0.3P(falla/avenida) = P(F/A) = 0.5 Solución:

El puente falla cuando falla en los estribos o cuando hay creciente; esto se puede denotar así:

1.05.02.0)/()()( =×=×=∩ AFPAPFAP 4.01.03.02.0)()()()( =−+=∩−+=∪ FAPFPAPFAP

2.3 TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Si B1, B2, B3, .........., Bn representan eventos mutuamente excluyentes y colectivamente eventos completos, se puede determinar la probabilidad de otro evento A del modo siguiente:

( ) ( ) ( )i

n

ii BPBAPAP ×= ∑

=1/

Figura 2.2: Diagrama de Venn para el teorema de probabilidad total

B1 A

S B2 B3

B4

B5 B6

Ejemplo 2.5:

Si la probabilidad de registrar intensidades de radiación solar mayores de 0.2 cal/cm²/min en un día lluvioso es 0.25 y 0.8 en un día no lluvioso y además la probabilidad de ocurrencia de un día lluvioso es 0.36. Determinar la probabilidad de encontrar valores de intensidad de radiación solar mayores de 0.2Solución:

Si A representa al evento de valores de intensidad altos, B1 representa un día lluvioso y B2 representa el evento de un día no lluvioso; se tiene entonces:

P(A) = P(A / B1) P(B1) + P(A / B2) P(B2)


21

P(A) = 0.25 x 0.36 + 0.80 (1 - 0.36) P(A) = 0.602 Ejemplo 2.6:

La producción total de mandarinas de la Universidad Agraria proviene de Chanchamayo (45%), Lima (30%) y Cañete (25%). Del total de las mandarinas, no cumplen con los estándares de calidad el 5% de los producidos en Chanchamayo, el 3% en Lima y el 4% en Cañete. Calcular:

a) Probabilidad de que una mandarina no cumpla con los estándares de calidad

b) Si una mandarina no cumple con los estándares de calidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido en Cañete?

Solución:

A1: Producido en ChanchamayoA2: Producido en LimaA3: Producido en CañeteB: no cumple con los estándares de calidad

P(A1) = 0.45 P(A2) = 0.35 P(A3) = 0.25 P(B/A1) = 0.05 P(B/A2) = 0.03 P(B/A3) = 0.04

P(B) = P(A1 ) P(B/A1 ) + P(A2 ) P(B/A2 ) + P(A3 ) P(B/A3 ) = 0.45 x 0.05 + 0.30 x 0.03 + 0.25 x 0.04 = 0.0415

3 33

( ) ( / ) 0.25 0.04( / ) 0.241( ) 0.0415

P A P B AP A BP B

×= = =

2.4 TEOREMA DE BAYES

De la definición de probabilidad condicional se sabe: )/()()( jjj BAPBPBAP ×=∩

De la definición de probabilidad total se sabe: ( ) ( ) ( )i

n

ii BPBAPAP ×= ∑

=1/

Dividiendo la probabilidad condicional entre la probabilidad total, se obtiene:

∑=

×= n

iii

JJJ

BPBAP

BAPBPABP

1)()/(

)/()()/(

El teorema de Bayes, permite estimar las probabilidades de un evento mediante la observación de un segundo evento.


22

Ejemplo 2.7

La probabilidad de que ocurra una precipitación mayor o igual a 50 mm en la ciudad de Lima, en el mes de julio, depende de la temperatura mínima para ese mes. Dado la tabla de rangos de temperatura (Tj), determinar la probabilidad de encontrar temperaturas óptimas que permitan la ocurrencia de precipitaciones mayores a 50 mm.


Calcular: a) Probabilidad de que una mandarina no cumpla con los estándares de calidad b) Si una mandarina no cumple con los estándares de calidad, ¿cuál es la probabilidad de

que haya sido producido en Cañete?

Solución: A1: Producido en Chanchamayo A2: Producido en Lima A3: Producido en Cañete B: no cumple con los estándares de calidad P(A1) = 0.45 P(A2) = 0.35 P(A3) = 0.25 P(B/A1) = 0.05 P(B/A2) = 0.03 P(B/A3) = 0.04

0415.004.025.003.030.005.045.0 )/()()/()()/()()( 332211

ABPAPABPAPABPAPBP

241.00415.0

04.025.0)(

)/()()/( 333

BPABPAPBAP

2.4 TEOREMA DE BAYES

De la definición de probabilidad condicional se sabe: )/()()( jjj BAPBPBAP

De la definición de probabilidad total se sabe: in

ii BPBAPAP

1/

Dividiendo la probabilidad condicional entre la probabilidad total, se obtiene:

n

iii

JJJ

BPBAP

BAPBPABP

1)()/(

)/()()/(

El teorema de Bayes, permite estimar las probabilidades de un evento mediante la observación de un segundo evento.

Ejemplo 2.7 La probabilidad de que ocurra una precipitación mayor o igual a 50 mm en la ciudad de Lima, en el mes de julio, depende de la temperatura mínima para ese mes. Dado la tabla de rangos de temperatura (Tj), determinar la probabilidad de encontrar temperaturas óptimas que permitan la ocurrencia de precipitaciones mayores a 50 mm.

Tj (°C) P(Ti) P ( 50/Ti) P (Tj/ 50)

< 10 10-12 12-14 > 14

0.05 0.35 0.45 0.15

0.50 0.30 0.20 0.10

0.135 0.243 0.378 0.243

Solución:

Si Tj representa los 4 intervalos de temperatura, donde: j = 1, 2, 3, 4. De la regla de Bayes se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

50 // 50

50 /

j jn

i ji

P T P TP T

P T P T=

≥≥ =

Σ ≥

Calculamos:


Solución: Si Tj representa los 4 intervalos de temperatura, donde: j = 1, 2, 3, 4. De la regla de Bayes se tiene:

ji

n

i

jj

TPTP

TPTPTP

/50

/5050/

1

Calculamos:

235.015.010.045.020.035.030.005.050.0/501

ji

n

iTPTP

106.0235.0025.0

235.005.050.0mm 50/ 10

PCTP

447.0235.0105.0

235.035.030.0mm 50/ 12 10

PCTCP

383.0235.0090.0

235.045.020.0mm 50/ 14 12

PCTCP

064.0235.0015.0

235.015.010.0mm 50/ 14

PCTP

Ejemplo 2.8: A continuación se presentan las causas principales para la ocurrencia de una inundación y sus respectivas probabilidades: Factores climáticos P(A) = 0.70 Factores humanos P(B) = 0.20 Factores tecnológicos P(C) = 0.10 Probabilidades de inundación dado cada uno de los factores: P(I/A) = 0.50 P(I/B) = 0.15 P(I/C) = 0.10 Determinar la probabilidad de cada factor que conlleva la inundación Solución:

897.0390.0350.0

)/()()/()()/()()/()()/(

CIPCPBIPBPAIPAP

AIPAPIAP

077.0390.0030.0

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CIPCPBIPBPAIPAP

BIPBPIBP

Ejemplo 2.8:

A continuación se presentan las causas principales para la ocurrencia de una inundación y sus respectivas probabilidades:

Factores climáticos P(A) = 0.70Factores humanos P(B) = 0.20Factores tecnológicos P(C) = 0.10

probabilidad y estadÍstica en hidrologÍa

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