UNIVERSIDAD DE LAS REGIONES AUTONOMAS DE LA COSTA CARIBE NICARAGUENSE

URACCAN

TRABAJO DE HIDROLOGIA

DOCENTE: ING JOSUE ZELAYA NAAR

TEMA: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICAS EN HIDROLOGIA

INTEGRANTES:

STEYNER OCAMPO RIVERA SANTO LEONEL HERRERA RIOS

JUVER FELIPE JAMES

TURNO: VESPERTINO

FECHA DE ENTREGA

14/03/2016

Probabilidad y estadística en la hidrología

Introducción:

El objetivo básico de la aplicación de la estadística en Hidrología es el análisis de la información hidrológica en forma de muestras, a fin de inferir las características con que debe ser esperado en el futuro el fenómeno que se estudia. El avance en el campo de las computadoras y el desarrollo creciente de métodos numéricos han dado una importancia particular al uso de la estadística en todas las ciencias naturales, especialmente en Hidrología.

Existe en muchos la idea de que la estadística es usada sólo cuando no es posible dar una solución exacta a un problema hidrológico. En esta interpretación la solución exacta es una solución determinística' del problema. Sin embargo, se puede demostrar que la solución determinística constituye una solución particular de la solución estadística o probabilística.

En forma general, la mayoría de los problemas hidrológicos se agrupar en tres categorías principales de acuerdo al objetivo del proyecto:

Diseño de estructuras hidráulicas, siendo necesaria la evaluación y cuantificación de los valores extremos (máximos y mínimos) del escurrimiento superficial.

Satisfacción de demandas, siendo necesario evaluar y cuantificar las descargas disponibles en el punto de interés.

Diseño y operación de embalses, siendo necesario evaluar y cuantificar la variación del escurrimiento superficial en todas sus características estadísticas, como valores medios, máximos y mínimos.

En cada una de las tres categorías mencionadas se presentan diferentes tipos de problemas, dependiendo la simplicidad o complejidad de la solución del tipo, cantidad y calidad de la información disponible, así como de 1 a magnitud del

proyecto. Los casos más comunes que se presentan en cada una de las tres categorías mencionadas son:

Cuencas con suficiente información hidrológica. Este es el caso más optimista donde se pueden aplicar todo tipo de metodologías existentes.

Cuencas con escasa información hidrológica. En este caso se pueden desarrollar modelos <que relacionen las precipitaciones con las de cargas, mediante. El uso de la regresión simple o múltiple, lineal o no lineal.

Cuencas ‘sin información hidrológica. Este es el caso más crítico y el más común, el cual puede resolverse mediante un análisis regional.

Uso de Modelos Probabilísticos

Los fenómenos que se presentan en la ingeniería pueden clasificarse, desde el punto de vista de la certeza de su ocurrencia, en determinísticos y probabilísticos. Si la ocurrencia de las variables en un proceso es cierta, es decir si las variables siguen una ley determinada se habla de un proceso determinístico. En cambio, si se toma en cuenta la probabilidad de ocurrencia y la falta de certeza existente, entonces se habla de un proceso de naturaleza probabilística. Es conveniente hacer notar que la gran mayoría de los procesos que interesan al ingeniero, en especial en el campo de la Hidrología, pertenecen a la categoría de fenómenos probabilísticos.

Entre los procesos probabilísticos es necesario distinguir los probabilísticos a secas de los probabilísticos estocásticos o simplemente estocásticos. Se denomina proceso estocástico a aquél en el que las características de las variables aleatorias varían con el tiempo. En un 'proceso probabilístico, independiente de la variable tiempo, la secuencia de las variables no interesa y se supone que ellas siguen un determinado comportamiento dado por el modelo probabilístico o distribución de frecuencias.

Dada pues una variable aleatoria, interesará describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un modelo

matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribución probabilística permite calcular:

Las probabilidades de los distintos estados o valores que pueden tomar la variable aleatoria.

La probabilidad de tener valores mayores o menores que un determinado límite.

Los valores de probabilidad de ocurrencia asociados a cada valor de la variable aleatoria.

En resumen, puede decirse que el modelo probabilístico o distribución permite conocer y manejar fácilmente el comportamiento de la variable y sintetizar toda la información sobre probabilidades asociadas a cada estado.

Según se trate de variables discretas o continuas, se usarán modelos de distribución probabilísticos discretos o continuos. Serán modelos discretos aquéllos cuya función densidad de probabilidad y función de probabilidad acumulada se encuentran definidas para determinados valores que puede tomar la variable.

Definiciones

La estadística es el estudio de los mejores modos de acumular y analizar datos y de establecer conclusiones acerca del colectivo del que se han recogido tales datos.

La probabilidad es el estudio de la incertidumbre: es la parte de la matemática que trata de manejar con números al azar.

Para ello, y como sucede en la mayoría de las ciencias, con mucha frecuencia el estadístico es el camino obligado en la solución de los problemas. En particular la probabilidad y la estadística juegan un papel de primer orden en el análisis hidrológico.

FUNCIONES DE LA PROBABILIDAD

FUNCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD:

Cuando el número de valor x, que puede tomar una variable aleatoria X es finito, se dice que la variable aleatoria X es discreta. Por ejemplo si el experimento tiro de dos dado se define la variable aleatoria X como:

X=D1+ D2

Donde D1 y D2 son los puntos obtenidos del primero y segundo dado respectivamente.

FUNCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD.

Cuando el número n de valores que pude tomar una variable aleatoria X es infinita, como es el caso por ejemplo de los volúmenes de escurrimiento mensual de un rio se dice que dicha variable aleatoria es continua.

PERIODO DE RETORNO.

Cada espacio muestral tiene su propio función de distribución o densidad de probabilidad que normalmente se conoce como priori. Cuando de ese espacio se extrae un grupo de datos (muestra) alzar, es razonable esperar que su función de distribución de probabilidad sea similar a la de espacio completo, en particular si la muestra es grande. Además lo más razonable que puede suponer en cuanto a la frecuencia de cada dato de grupo es que esto sea dentro del espacio muestral igual a de observada.

T= n+1/m

T= periodo de retorno.

n= número total de datos.

m=número de orden.

Funciones de distribución de probabilidad usadas en la hidrología

Entre las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología son las siguientes:

Gumbel Pearson III Normal

Ley de Gumbel

De las varias distribuciones de valores extremos hay dos que tienen mayor aceptación, al haber demostrado que se ajustan bien al fenómeno de las crecida de los ríos: la distribución de valores extremos tipo I o ley de Gumbel y la distribución log-Pearson tipo III.

La ley de Gumbel I está dada por la expresión:

P=probabilidad de que un valor x sea igualado o excedido.

V=variable reducida, dada por la expresión:

Para una muestra de tamaño finito, Gumbel encontró que:

=valor medio esperado de la variable reducida.

=desviación estándar de la variable reducida.

Ejemplo 1

Hallar el valor de K para una probabilidad de 1% si se trabaja con una muestra de 40 años.

P = 0.01

y = 4.600 es una constante.

Distribucion normal:

La funcion de densidad de probabilidad normal se define como:

Donde µ y α son parámetros de la distribución. En estos parámetros determinan de la función f(x) y su posición en el eje x. Es posible es posible demostrar que µ y α son respectivamente la media y la desviación estándar de la población y puede estimarse como la media y la desviación estándar de los datos. La función de distribución de probabilidad normal es:

Hoy en día, no se conoce analíticamente la integral de la ecuación por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para evaluarla. Sin embargo, para esto se requeriría una tabla para cada valor de µ y α, por lo que se ha definido la variable estandarizada.

Que esta normalmente distribuida con media cero y desviación estándar unitaria. Así la función de distribución de probabilidad se puede escribir como:

Ejemplo

Los gastos máximos anuales en la estación hidrométrica las perlas en rio coatsacoalas se muestra.

Cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera el gasto sea mayor o igual a 7500 metros cúbicos sobre segundo.

Se planea cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?

Suponga que los datos de la tabla 9.5 siguen una distribución normal.

La media y la desviación es:

Para x=7500 metros sobre segundo la variable estandarizada z.

Por lo que la probabilidad de que el gasto máximo anual sea mayor o igual que 7500 metros sobre segundo resulta.

Entonces según la distribución normal el gasto de diseño para un periodo retorno de 60 años es de 7775.2 metros sobre segundo

Distribución Log-Pearson Tipo III

Para el uso de esta distribución se convierten los valores de la serie a sus logaritmos decimales y se hallan los siguientes parámetros:

Ejemplo:

Resolver el problema 9.2 usando la función de distribución del método de Log-Pearson Tipo III

.