Probabilidad condicionada

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

Donde:

P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B ∩ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

En el ejemplo que hemos visto:

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B ∩ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto: P (B ∩ A) = 1/6P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).2º ejemplo:En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori).Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).P (B ∩ A) = 0,05 P (A) = 0,25

P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada a que haya salido un número impar.La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.

Experimentos compuestos

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

En los experimentos compuestos es conveniente usar el diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos, teniendo en cuenta el significado de sus ramas.

MÁS SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONADA.

ERRORES TÍPICOS. Probabilidad condicionada

-Asociar el mismo valor a P(A|B) y a P(B|A). -Calcular el valor de P(A|no B) a partir del de P(A|B) aplicando la regla del suceso complementario. Ésta se cumple en el caso de P(A|B) y P(no A|B).

Probabilidades condicionadas en árboles.

Además P(A|B) =p(A y B)/ (p(A y B) + P(no A y B))P(no A|B) =p(no A y B)/ (p(A y B) + P(no A y B))P(A|no B) =p(A y no B)/ (p(A y no B) + P(no A y no B))P(no A| no B) =p(no A y no B)/ (p(A y no B) + P(no A y noB))

EJERCICIOS.Tarea 1 : Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información:

Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.

De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).

P(noB|no A)

Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B). Solución 0,105.Tarea 2 Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información:

Un 50% de los alumnos hablan inglés.

De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado al suceso A).

Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (suceso intersección de A y B). Solución:0,10Probabilidad condicionada a partir de Tablas:Un problema resuelto. Consideremos la elección de un representante del alumnado teniendo en cuenta su procedencia y sexo. En la siguiente tabla se muestra la distribución del alumnado del centro de acuerdo a estas dos características.

Consideremos los sucesos A={ser de A}, B={ser de B}, C={ser chica}

a)Calcula P(A)

Solución:usando la regla de Laplace: casos posibles 100, casos favorables: 38. Valor de P(A)=38/100=0,38.

b) Calcula ahora la misma probabilidad pero conociendo el hecho de que la persona elegida ha sido una chica. Por tanto se pide P(A|C).

Solución:Los casos posibles se han reducido de 100 a 60 (dado que se conoce la circunstancia de que la elegida es una alumna), mientras que el número de casos favorables pasa a ser de 30 (chicas que provienen de A). La probabilidad pedida es 30/60=0,5. El hecho de saber que la elegida es una chica da más certidumbre al hecho de ser de A al ser P(A)<P(A|C).

c)Calcula P(C|A) (Probabilidad de elegir una chica conocido que el elegido proviene de C)para comprobar que no tiene nada que ver con P(A|C). Usando la Regla de Laplace los casos posibles son ahora 38 (habitantes de A) y los posibles son todas las chicas que residen en A (30). La probabilidad será igual a 30/38.

TAREA:Profundizando en el concepto de probabilidad condicionada.

Consideremos una nueva actividad que permite reflexionar en torno al concepto de probabilidad condicionada, así como sobre la forma de su cálculo a partir de una tabla:Una marca ofrece una garantía en sus vehículos de tres años.De 10000 coches vendidos hace tres años de una marca pertenecientes a los modelos A, By C se ha hecho un estudio acerca de sus problemas mecánicos durante el periodo de garantía. He aquí los resultados.

A B C TOTAL POR

Chico Chica TOTALPueblo

A8 30 38

Pueblo B

32 30 62

TOTAL 40 60 100

COLUMNAS

Problemas 650 200 150 1000Sin problemas 49350 19800 29850 99000TOTAL POR MODELOS

50000 20000 30000 100000

-Compara P(Problemas) , P(problemas|A), P(Problemas|B), P(problemas|C). Interpreta los resultados obtenidos.

-Compara P(problemas|A) con P(problemas|noA) y P(problemas|C) con P(problemas|no C) . Interpreta los resultados obtenidos.

-Compara P(A)con P(A|problemas) y P(A|no problemas). Interpreta los resultados obtenidos.

-Haz lo mismo con P(C con P(C|problemas) y P(C|no problemas).Interpreta los resultados obtenidos.