La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios.

Empecemos por distinguir fenómeno: Para la Real Academia Española, un fenómeno es todo aquello que podemos percibir a través de los sentidos o de la conciencia; Por ejemplo, la gravedad, la temperatura o el placer.

Fenómenos deterministas y aleatorios

Cuando un fenómeno, bajo ciertas condiciones de observación, se presenta con regularidad determinista, es decir, cuando siempre se percibe de la misma manera, se dice que se trata de un fenómeno determinista; Por ejemplo, la aceleración de la gravedad en un punto de la superficie terrestre.

Un fenómeno aleatorio, en cambio, es aquel que al ser observado bajo las mismas condiciones, su percepción no es siempre la misma, es decir, se presenta con una regularidad de tipo estadístico; Por ejemplo, el peso de un recién nacido.

En general, la comunidad científica acepta la existencia de auténticos fenómenos aleatorios naturales, a nivel atómico. Los deterministas, sin embargo, consideran que tal aleatoriedad es aparente y lo que hay es un desconocimiento de las leyes físicas que los rigen, y definen un fenómeno aleatorio como aquel en el que un pequeño cambio en sus factores produce grandes diferencias en su resultado.

En contraparte, también se reconoce la existencia de algunos fenómenos deterministas, cuya evolución futura no es posible predecir, de manera que pareciera que se comportan aleatoriamente.

En los fenómenos aleatorios no se puede predecir el resultado de cada experiencia y observación particular. Tener incertidumbre es simplemente no poder asegurar lo que va a ocurrir y, en este sentido, existen muchísimas cosas inciertas para el hombre.

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Incertidumbre probabilística

La incertidumbre proviene de tres elementos fundamentales: En primera instancia, el fenómeno mismo es incierto; son demasiados los factores que influyen en la ocurrencia del fenómeno y en la forma en que puede ocurrir, de manera tal que éste no pude predecirse con certeza aún con un cúmulo de información disponible y un alto grado de conocimiento del propio fenómeno. Esta es una incertidumbre probabilística, natural, intrínseca al fenómeno y, por tanto, irreducible.

Incertidumbre estadísticaEl segundo elemento de incertidumbre es el proveniente de la falta de información, de la ignorancia parcial respecto al fenómeno o desconocimiento de cómo es que puede ocurrir. Esta incertidumbre puede reducirse en la medida en que se cuente con más información respecto del fenómeno y de la ocurrencia del mismo, por lo que se dice que éste es un tipo de incertidumbre estadística.

Incertidumbre del modeloFinalmente, la incertidumbre proveniente del modelo, cuyo creador, al abstraer la realidad, al tratar de representarla en forma simplificada, puede soslayar propiedades que son relevantes. Esta incertidumbre también es reducible, depende más que nada del analista, del modelador; mientras más apegado sea el modelo a la realidad, mientras más representativo de ésta, menor será la incertidumbre.

“Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza en un instante dado y las posiciones momentáneas de todas las cosas del universo, sería capaz de abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes y de los átomos más livianos del mundo, siempre que su intelecto fuera suficientemente poderoso como para someter a análisis todos los datos; para ella nada sería incierto, y tanto el futuro como el pasado estarían presentes a sus ojos” Laplace

“Azar es una palabra vacía de sentido, nada puede existir sin causa” Voltaire

Los deterministas sostienen que la incertidumbre no es sino una medida de nuestra ignorancia, que todos los fenómenos son perfectamente predecibles con exactitud, partiendo de las relaciones causa-efecto de todos los elementos que intervienen; por lo tanto, la probabilidad es, para ellos, un mero ejercicio matemático. Pero resulta que el conocimiento humano casi nunca permite establecer tales relaciones y que, en todo caso, sería demasiado tardado y costoso tratar de conocerlas con exactitud. Quizá se les dé la razón dentro de algunos milenios, cuando hasta los humanos dejemos de ser impredecibles; mientras tanto, la probabilidad parece indispensable.

Creer que nuestro mundo es no determinista no significa que sea un mundo libre de relaciones causa-efecto, o un mundo sobre el que no podamos tener certezas; existen muchísimas cosas sobre las que los humanos tenemos absoluta certeza. Si la física cuántica nos enseña que este nuestro

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mundo está totalmente gobernado por leyes probabilísticas, ello no impide que muchas probabilidades interesantes converjan a 1, lo cual nos lleva a un mundo que también es determinista.

La incertidumbre que enfrenta el jugador es principalmente de tipo probabilístico, porque los juegos de azar son intrínsecamente azarosos, la incertidumbre estadística para él no aplica y ocasionalmente puede llegar a tener incertidumbre atribuible al modelo, cuando el algoritmo de cálculo es complejo. En cambio, el estadístico, el experto y el neófito, normalmente tienen que desafiar los tres tipos de incertidumbre, con distintos niveles de participación.

Cuando un fenómeno es observado con la finalidad de conocer su comportamiento, se dice que se está experimentando y, en este sentido, un fenómeno puede ser provocado. Así, un experimento implica la observación del resultado de una acción; Por ejemplo, el aforo en un río o la medición del flujo en un pozo petrolero. En atención a la certidumbre o incertidumbre en los resultados de los experimentos, éstos se clasifican en dos tipos:

En los experimentos deterministas siempre se obtiene el mismo resultado y, por lo tanto, éste siempre puede ser predicho; Por ejemplo, la velocidad de la luz.

En los experimentos aleatorios, en los que el resultado no puede predecirse con certeza, pues éste no es el mismo en todos los casos; Por ejemplo, el aforo en un río.

Experimentos repetibles y no repetiblesAntes de intentar medir la posibilidad de ocurrencia de un resultado asociado a un experimento aleatorio, es menester saber en qué consiste tal experimento.

Existen experimentos que pueden ser repetidos una y otra vez, en condiciones aparentemente idénticas o muy similares y que, cada vez que se realizan, se tiene incertidumbre en cuanto a su resultado. Son experimentos aleatorios repetibles indefinidamente y cada realización de tales experimentos se le conoce como ensayo; Por ejemplo, la precipitación pluvial en un suburbio.

Hay también experimentos que no pueden repetirse, pues corresponden a situaciones muy particulares, cuyas condiciones nunca se han presentado y no volverán a presentarse; se trata de experimentos aleatorios no repetibles; Por ejemplo, el Big Bang.

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En ocasiones se puede tener un experimento determinista que, si se repitiera una y otra vez, se obtendría siempre el mismo resultado; sin embargo, si el experimento nunca se ha realizado, su resultado puede ser totalmente incierto. En este caso se trata de experimentos deterministas inciertos.

Experimentos simples y combinados

Los resultados de un experimento pueden tener una o varias componentes; conforme a esto, los experimentos se clasifican en dos tipos:

Un experimento simple es aquel cuyos posibles resultados tienen una sola componente. Un experimento combinado es aquel que considera simultáneamente dos o más experimentos simples, o que involucra realizaciones repetidas del mismo experimento. Los posibles resultados de un experimento combinado tienen dos o más componentes.

Ejemplo 1.1 MONEDA. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda y observar la cara que queda hacia arriba. Tal experimento es aleatorio, simple y repetible indefinidamente.Ahora considere el experimento consistente en repetir tres veces consecutivas el experimento simple descrito anteriormente, es decir, realizar tres ensayos del lanzamiento de una moneda y la observación de su resultado. El experimento es aleatorio, combinado y repetible.Otro experimento muy similar al anterior es el de lanzar tres monedas simultáneamente y observar las caras que quedan hacia arriba. El experimento también es aleatorio, combinado y repetible.

Ejemplo 1.2 POZOS PETROLEROS. Considere la perforación de n pozos petroleros; si un pozo resulta productor, en el tablero de control se enciende un foco verde y si no se enciende un foco rojo. Sea el experimento consistente en observar el tablero con n focos encendidos, unos verdes y otros rojos. Tal experimento es aleatorio y repetible indefinidamente, pues cada uno de los pozo puede resultar productor o no, y es posible observar otros n pozos de la misma cuenca, de una similar o de otra parcialmente distinta. El experimento es combinado, ya que considera n experimentos simples idénticos: observar el resultado de cada uno de los n pozos por separado.

Ahora considere otro experimento consistente en sumar los focos verdes sobre el tablero de control, es decir contar el número de pozos que resultaron productores. Este experimento también es

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aleatorio y repetible, sólo que ahora es un experimento simple, puesto que su resultado tiene una sola componente.

Ejemplo 1.3 AGUAS PROFUNDAS. El Activo Regional de Exploración Norte tiene el objetivo de explorar, en aguas profundas, el área de Alaminos, una estructura geológica totalmente nueva que, de resultar exitosa, significaría para Pemex la incorporación de reservas que posiblemente compensen, en el mediano plazo, el decaimiento de Cantarell, pero en caso contrario implicaría una cuantiosa pérdida. Sea el experimento consistente en explorar el área, considerando que la empresa jamás ha realizado algo similar. El experimento es aleatorio simple, puesto que la estructura puede resultar productora o no, pero es un experimento que, como tal, no se volverá a repetir.

En todo caso, para cada experimento es de interés conocer el conjunto de los posibles resultados y la medida numérica que refleja la posibilidad de ocurrencia de cada resultado.Ha de ser posible conocer de antemano todos los posibles resultados del experimento, lo cual no significa que éstos tengan que ser igualmente posibles.

Aunque no se puede predecir el resultado de cada experimento particular, ha de ser posible medir la posibilidad de ocurrencia de cada resultado básico o elemental. Los resultados elementales se definen de tal forma que no pueden ocurrir dos simultáneamente y debe ocurrir al menos uno de ellos, necesariamente.

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Una vez identificado el experimento, procede entonces determinar cuáles son los posibles resultados.El espacio muestral o espacio de eventos de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados que pueden ocurrir. Notación: Ω o SCabe hacer notar que, para el matemático, el experimento aleatorio termina con la observación del resultado, tal como ocurre; cualquier manipulación del resultado constituye una actividad posterior, que no se debe considerar parte del experimento; de manera que, Por ejemplo, un experimento combinado que tiene dos componentes, necesariamente tiene asociado un espacio muestral de dos dimensiones.Para el ingeniero, que no es tan estricto, el experimento aleatorio puede ser definido, de entrada, como la concatenación de dos actividades secuenciales: la observación del resultado y su manipulación aritmética posterior. Así que, Por ejemplo, un experimento combinado de tres componentes puede ser traducido a un espacio muestral unidimensional.

Por eso es tan importante que la descripción del experimento, pues es claro que una ligera variación modifica radicalmente el espacio muestral.

Un punto muestral es cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio. Notación:

Y el cardinal de un espacio muestral es el número de posibles resultados. Notación: nMuestral es lo perteneciente o relativo a una muestra o porción de un conjunto, que puede ser considerada como representativa de éste; de modo que el espacio muestral es el conjunto del cual se pueden obtener muestras.

Muestral es lo perteneciente o relativo a una muestra o porción de un conjunto, que puede ser considerada como representativa de éste; de modo que el espacio muestral es el conjunto del cual se pueden obtener muestras.

Espacios muéstrales finitos e infinitosUn espacio muestral finito es aquel que consta exactamente de n puntos muéstrales; es decir, aquel que está asociado a un experimento con n posibles resultados. Entonces, el cardinal de

donde es el conjunto de los números naturales. Notación:

Un espacio muestral infinito es aquel asociado a un experimento cuyo número total de posibles resultados es infinito, esto es, está constituido por un número infinito de puntos muéstrales.

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Un espacio muestral infinito numerable es aquel constituido por un número infinito de puntos

muéstrales, que pueden ser ordenados en forma se sucesión. En tal caso, el cardinal de es el

número transfinito alef sub cero, .

Notación:

Espacios muéstrales discretos y continuos.Un espacio muestral es discreto si es fi nito o infinito numerable. Las sucesiones de un espacio muestral discreto son:

Un espacio muestral continuo es aquel constituido por un número infinito de puntos muestrales

pertenecientes a un continuo, es decir, es un intervalo del eje real. El cardinal de es el número

transfinito alef sub uno, Notación:

Los intervalos pueden ser de varios tipos:

Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus valores extremos. Notación:

Un intervalo abierto es aquel que excluye sus valores extremos. Notación:

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye uno de sus valores extremos y excluye al otro. Notación:

Son de particular interés los intervalos de la forma:

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Por lo que es un espacio muestral n- dimensional.En particular, si un experimento combinado consiste en realizar n ensayos repetidos de un mismo experimento simple, cuyo espacio muestral es S, el nuevo espacio muestral del experimento combinado es precisamente el producto cartesiano:

Los espacios muéstrales más frecuentes en ingeniería son espacios continuos y n-dimensionales.

Notación:

Ejemplo 1.4. MONEDA.

El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda es: donde a y s son los puntos muéstrales del experimento simple, cuyos dos posibles resultados son águila y sol. El espacio muestral es discreto, fi nito y unidimensional, pues consta de dos puntos muéstrales que tienen una sola componente. Si se considera el experimento combinado consistente en lanzar la moneda tres veces consecutivas y observar los resultados, el espacio muestral es entonces:

donde cada una de las ocho ternas, como la (a, s, a) es un punto muestral del experimento, puesto que es uno de sus ocho posibles resultados.

El espacio muestral S2 es discreto y finito, puesto que su cardinal es 8. Y es tridimensional, ya que sus puntos muéstrales tienen tres componentes. Corresponde a un experimento combinado que considera tres ensayos repetidos del experimento cuyo espacio muestral es S1; en consecuencia: S2=S1

3 . Y el cardinal de S2 es: 2 *2 *2 =8

Ejemplo 1.5. DADOS. Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. Su espacio muestral correspondiente es:

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Donde cada uno de los 36 arreglos de dos dimensiones, como él (3,4) es un punto muestral, puesto que es un posible resultado del experimento. El espacio muestral es discreto y finito, ya que su cardinal es 36 y es bidimensional, ya que sus puntos muéstrales tienen dos componentes; cada

componente forma una sucesión finita donde

El experimento puede verse como la combinación de dos experimentos simples idénticos, simultáneos e independientes, por lo que el espacio muestral del experimento combinado es el producto cartesiano de dos espacios:

Si el experimento hubiera consistido en sumar los valores de las caras que quedan hacia arriba, el espacio muestral sería entonces:

S = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Tal espacio es discreto, fi nito y unidimensional, constituido por 11 puntos muéstrales con una sola

componente, formado por una sucesión finita donde

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