probabilidad

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA

FACULTAD DE INGENIERÍAS

CARRERA DE INGENIERIA MECÁNICA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

JONATHAN MENDEZ ANDRADE

NOMBRE: Jonathan Méndez Andrade FECHA: 09/05/2015 ING. Galo Izquierdo

TRABAJO DE ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

a) A = {a, e, i, o, u} en grupos de tres elementos.

Datos: 5 vocales Grupos: Tres elementos

Se tiene:

- 5 C 3 = 10 → Combinaciones

- 5 V 3 = 60 → Variaciones

b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en grupos de tres elementos

Datos: 6 números Grupos: Tres elementos

Se tiene: - 6 C 3 = 20 → Combinaciones

- 6 V 3= 120 → Variaciones

a) A = {a, e, i, o, u}

- Sin reposición: 5 V 2 = 20

- Con reposición: 5 V 1* 5 V 1 = 5*5 = 25

b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- Sin reposición: 6V2 = 30

- Con reposición: 6V1*6V1 = 6*6 = 36

Intervienen todos los elementos y el orden es importante, es una permutación

P3 = 3!=6






Intervienen todos los elementos y el orden es importante, es una permutación circular

P C 5 = P4 = 4! = 24


P C 7 = P6 = 6! = 720


P C 6 = P5 = 5! = 120 maneras


P C 18 = P17 = 17!

a) cebra

Intervienen todos los elementos y el orden es importante, es una permutación

P5 = 5! = 120

b) barca 2a; 1b; 1c; 1r

𝑷𝒂,𝒃,𝒄,𝒓 =𝟓!

𝟐! 𝒙𝟏! 𝒙𝟏! 𝒙𝟏!= 𝟔𝟎

c) cascada 3a; 2c; 1d; 1s

𝑷𝒂,𝒄,𝒅,𝒔 =𝟕!

𝟑! 𝒙𝟐! 𝒙𝟏! 𝒙𝟏!= 𝟒𝟐𝟎

d) abracadabra 5a; 2b; 1c; 1d; 2r

𝑷𝒂,𝒃,𝒄,𝒅,𝒓 =𝟏𝟏!

𝟓! 𝒙𝟐! 𝒙𝟏! 𝒙𝟏! 𝒙𝟐!= 𝟖𝟑𝟏𝟔𝟎






No intervienen todos los elementos y el orden es importante, es una variación

4 V 2 = 12


8 V 3 = 336


7 V 3 = 210


8 V 2 = 56


10 V 3 = 720

a) a condición de que en cada número no haya cifras iguales.


4 V 2 = 12

b) si las cifras si se pueden repetir

Puede haber reposición, entonces

4 V 1*4 V 1 = 4*4 = 16






No intervienen todos los elementos, hay restricción en un puesto y el orden es importante, es un producto de variaciones

2 V 1*5 V 3 = 2*60 = 120

a) Sin restricción alguna

No intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es una combinación

6 C 3 = 20

b) Solo mujeres

No intervienen todos los elementos, hay restricción de género y el orden no es importante, es una combinación

3 C 3 = 1

c) Con dos mujeres y un hombre

No intervienen todos los elementos, hay restricciones de género y el orden no es importante, es un producto de combinaciones

3 C 2*3 C 1 = 3*3 = 9

d) Con una mujer y dos hombres

No intervienen todos los elementos, hay restricciones de género y el orden no es importante, es un producto de combinaciones

3 C 2*3 C 1 = 3*3 = 9

e) Solo hombres

No intervienen todos los elementos, hay restricción de género y el orden no es importante, es una combinación

3 C 3 = 1






a) Si todos los niños tienen igual oportunidad de jugar

No intervienen todos los elementos y el orden no es importante, es una combinación

11 C 5 = 462

b) Si su hijo siempre debe jugar

No intervienen todos los elementos, hay una restricción de un jugador y el orden no es importante, es una combinación

10 C 4 = 210


3 C 15 = 455


5 C 3 = 10 SUMAS


15 C 2 = 105 LINEAS

a) Obtenga el número de diagonales del cuadrado, el hexágono y el octógono

Nd = n(n-3)/2; Donde n= número de lados Cuadrado n=4 Nd= 4*1/2 = 2 diagonales Hexágono n=6 Nd =6*3/2 = 9 diagonales Octágono n=8 Nd = 8*5/2 = 20 diagonales

b) Calcularlo para el caso general de un polígono de n lados

Usando la fórmula (n² - 3n)/2. En ella "n" representa el número de lados de un polígono.






c) ¿Existe algún polígono en el que el número de diagonales sea igual al número de lados?

Si el pentágono.

(5² - 3(5))/2

(25 - 15)/2

10/2

El número de diagonales de un pentágono es 5


6 C 3 = 20


7 C 3 = 35


52 C 5 = 2 598 960

a) Sin ninguna restricción


7 C 5 = 21

b) Si las dos primeras son obligatorias

No intervienen todos los elementos, hay 2 que ya se fijan y el orden no es importante, es una combinación

5 C 3 = 10

c) Si debe contestar 3 de las cuatro primeras

No intervienen todos los elementos, hay restricción en la posibilidad de ciertas respuestas y el orden no es importante, es un producto de combinaciones

3 C 2*4 C 3 = 3*4 = 12







8 C 3 = 56

a) Todas las plazas son diferentes


5 V 3 = 60

b) Todas las plazas son iguales


5 C 3 = 10

a) Uno de ellos debe ejecutar el cargo de superior?


30 V 2 = 870

b) Ninguno de ellos cumple con el cargo de superior?


30 C 2 = 435

No intervienen todos los elementos y el orden es importante, es un producto de variaciones, ya que se admite duplicidad de cifras

4 V 1*4 V 1 = 4*4 = 16 números

No intervienen todos los elementos y el orden es importante, es una variación condicionada

5 V 1*5 V 1*5 V 1 + 5 V 1*5 V 1 + 5 V 1 = 5*5*5 + 5*5 + 5 = 155






No intervienen todos los elementos, siempre se debe seleccionar un plato de cada tipo y el orden no es importante, es un producto de combinaciones

2 C 1*3 C 1*5 C 1*3 C 1 = 2*3*5*3 = 90

No intervienen todos los elementos, siempre se debe seleccionar un tipo de ropa y el orden no es importante, es un producto de combinaciones

2 C 1*3 C 1*5 C 1*2 C 1 = 2*3*5*2 = 60 maneras diferentes se puede vestir el joven.

a) ¿La primera persona seleccionada recibe mayor salario que la segunda?

No intervienen todos los elementos, el orden es importante, es una variación

7 V 2 = 42

b) ¿No hay diferencia entre las vacantes?


7 C 2 = 21

a) ¿Cuántos número se pueden obtener?

Tomados todos los elementos sin importar cuál es primero:

4 P 4 = 24

Las variaciones posibles con el “0” como primer elemento son:

3 V 3 = 6






Entonces los números posibles de cuatro cifras serán

24 – 6 = 18

b) ¿Cuántos números pares hay entre ellos?

Los números pares serán aquellos terminados en “0” o en “2”

Cuando empieza con “1” o “3” habrá en cada uno 6 variaciones, ya que 3 V 3 = 6, pero de las 6 solo 4 terminarán en “0” o “2”, esto nos da 8 números pares por el momento; cuando empieza con “2” el total de variaciones es igual de 6, pero solo 2 de esas corresponderán a las terminadas en “0”, por lo que el total de números pares es de 10

Intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es un producto de combinaciones

2 C 1*4 C 1 = 2*4 = 8

No intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es un producto de combinaciones

3 C 1*2 C 1 = 2*3 = 6


3 C 1*2 C 1 = 2*3 = 6

Como son cuatro viajes que debe realizar, entonces

6*4 = 24

Intervienen todos los elementos, el orden es importante, es un producto de variaciones

3 V 3*4 V 4*2 V 2*3 V 3 = 6*24*2*6 = 1728






Intervienen todos los elementos, el orden es importante, y hay una restricción en la ubicación de un elemento, es una variación

Para todos los elementos sin restricción:

6 V 6 = 720

Las combinaciones donde el más pequeño está en la cabeza:

5 V 5 = 120

Por lo que el total de posibilidades es de:

720 – 120 = 600

Intervienen todos los elementos, el orden es importante, es una variación

Para todos los elementos sin restricción:

9 V 3 = 504


12 C 1*5 C 1*6 C 1 = 12*5*6 = 360

La primera opción es un jugo simple, eso da tres posibilidades

La segunda forma serían jugos dobles, esto es una combinación:

3 C 2 = 3






La última forma es de 3 sabores, esto da una sola opción

El total de jugos posibles sería

3 + 3 + 1 = 7

La primera opción es con solo un carácter, eso da dos posibilidades

La segunda forma sería con dos caracteres, como se puede duplicar, esto es un producto de variaciones

2 V 1*2 V 1 = 2*2 = 4

La tercera forma serían los códigos con tres caracteres, como se puede duplicar, esto es un producto de variaciones

2 V 1*2 V 1*2 V 1 = 2*2*2 = 8

La última forma es código de cuatro caracteres, como se puede duplicar, esto es un producto de variaciones

2 V 1*2 V 1*2 V 1*2 V 1 = 2*2*2*2 = 16

El total de jugos posibles sería

16 + 8 + 4 + 2 = 30

a) ¿En cuántas formas puede llevar a cabo esta elección?


6 C 2 = 15

b) ¿En cuántas formas puede escoger si dos de los cursos se imparten a la misma hora?

No intervienen todos los elementos, el orden no es importante

5 C 2 = 10 son todas las combinaciones posibles sin considerar el curso a la misma hora 4 son las combinaciones que puede hacerse con la materia al mismo horario, entonces el total será 14 formas.

c) ¿En cuántas formas puede escoger si dos de los cursos se imparten a las 10 de la mañana, dos a las 11y no existen otros conflictos entre los diferentes cursos?

No intervienen todos los elementos, el orden no es importante

4 C 2 = 6 son todas las combinaciones posibles sin considerar los cursos a la misma hora 3 son las combinaciones que puede hacerse con la materia al mismo horario (serían 6, pues dos






materias tienen horarios conjuntos), entonces el total será 13 formas (12 ya contadas más la posibilidad de tomar las materias en horarios de 10 y 11)

a) ¿En cuántas formas diferentes se puede hacer esto, si dos estudiantes no reciben la misma calificación?

Intervienen todos los elementos, el orden es importante, es una permutación

5 P 5 = 120

b) Dos de los estudiantes se llaman Fernando y Sebastián. ¿En cuántas formas pueden ser asignadas las calificaciones, si no existen dos estudiantes que reciban las mismas calificaciones y Fernando deberá recibir una calificación más alta que la de Sebastián?

Intervienen todos los elementos, el orden es importante y hay una restricción en el orden, es una permutación, y ya que los elementos no se repiten, es la mitad de los casos posibles

5 P 5*0.5 = 60

c) ¿En cuántas formas pueden ser asignadas las calificaciones si solo se asignan calificaciones A y E?

Intervienen todos los elementos, el orden es importante, hay valores que se pueden repetir y son solo dos posibles opciones, es un producto de variaciones

2 V 1*2 V 1*2 V 1*2 V 1*2 V 1 = 2*2*2*2*2 = 32


10 C 3*6 C 2 = 120*15 = 1800

a) ¿En cuántas formas diferentes se puede hacerse un viaje de ida y vuelta desde la ciudad A hasta la ciudad B y viceversa?







3 V 1 = 3 (primer viaje)

3*3 = 9 sería el total de posibilidades

b) ¿Cuántas formas si se desea tomar una carretera diferente al regreso??


3 V 1 = 3 (primer viaje)

2 V 1 = 2 (segundo viaje)

1 V 1 = 1 (último viaje)

3 + 2 + 1 = 6 sería el total de posibilidades

a) No intervienen todos los elementos, el orden es importante, es una variación

26 V 1*25 V 1*10 V 1*9 V 1*8 V 1 = 26*25*10*9*8 = 468000

b) Resuelva el mismo problema si el primer dígito no puede ser cero


26V1*25V1*9V1*9V1*8V1 = 26*25*9*9*8 = 421200

a) ¿Las 7 perlas son de diferente tamaño?

b) ¿Si las 6 perlas son iguales y una es de mayor tamaño?

Intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es obvio que solo hay una posibilidad final.

1 posibilidad

c) ¿Si la perlas son de dos tamaños: cinco de tamaño pequeño y 2 de tamaño grande?






a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola?


5 V 5 = 120

b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el alumno más alto debe estar al inicio de la cola?


4 V 4 = 24

c) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el alumno más alto y el más bajo deben estar en extremos opuestos?


3 V 3 = 6 (con el más alto primero y el más bajo último)

3 V 3 = 6 (con el más bajo primero y el más alto último)

En total son 12 posibilidades

d) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el alumno más alto y el más bajo no deben estar juntos?


8 C 4*6 C 3 = 70*20 = 1400






a) Si el programa consta de una pieza de Mozart, seguida de una moderna y una nacional. ¿Cuántos programas diferentes se pueden montar?


8 V 1*12 V 1*5 V 1 = 8*12*5 = 480

b) ¿Cuántos programas si las 3 piezas se pueden montar en cualquier orden?


8 V 1*12 V 1*5 V 1*3 V 3 = 8*12*5*6 = 2880

Intervienen todos los elementos, el orden es importante y hay restricciones en los dígitos, es un producto de variaciones

3 V 1 (primer dígito solo puede ser 3, 5 u 8)

3 V 1*6 V 1*6 V 1*6 V 1 = 3*6*6*6 = 648, pero esta combinación considera el

número 3000, por lo que restamos esta posibilidad

Esto da 647 posibilidades

Intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es una combinación

6C6 = 1

Intervienen solo 5 ingredientes

6 C 5 = 6


6 C 4 = 15







6 C 3 = 20


6 C 2 = 15

Interviene solo un ingrediente

6 V 1 = 6

Y hay la posibilidad de hamburguesa sin ingredientes

1

Sumando nos da

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 posibilidades

Intervienen todos los elementos, el orden no es importante, es una combinación

4 C 4 = 1

Intervienen solo 3 monedas

4 C 3 = 4

Intervienen solo 2 monedas

4 C 2 = 6

Intervienen solo 1 moneda

4 C 1 = 4

Sumando nos da

1 + 4 + 6 + 4 = 15 posibilidades






a) ¿Cuántas combinaciones son posibles si cada número debe ser usado una sola vez?


5 V 5 = 120

b) ¿Cuántas combinaciones son posibles si no hay restricciones en las veces que se utilice un mismo número?


5 C 1*5 C 1*5 C 1*5 C 1*5 C 1 = 5*5*5*5*5 = 3125

No intervienen todos los elementos, el orden es importante, es un producto de variaciones

6 V 1*3 V 1*5 V 1*5 V 1 = 6*3*5*5 = 450


9 C 3 = 84

Desde un vértice cualquiera se pueden trazar n-3 diagonales, como hay “n” vértices, entonces se pueden trazar n(n-3), pero hay que considerar las repeticiones, por lo que la fórmula final será

n (n-3)/2

10(10-3)/2 = 35







5 V 5 = 120

b) ¿En cuántas formas pueden agruparse si se desea que tres de ellas estén en una fila frontal y dos en una fila trasera?


5 V 3*5 V 2 = 60*20 = 1200


26 combinaciones con la letra sola

26V1*36V1*36V1*36V1*36V1*36V1*36V1*36V1 = 26*36*36*36*36*36*36*36


4 V 4 = 24

a) combinación

b) variación sin repetición







3 C 1*30 C 3 = 3*4060 = 12180


8 C 4 = 70 (combinaciones posibles para el primer hijo)

4 C 2 = 6 (combinaciones posibles para otro hijo; ya no escoge sobre 8 elementos si no sobre 4)

El total de combinaciones sería

70*6 = 420


8 C 3 = 56 (los cabeza defectuosa)

5 C 2 = 10 (los punta defectuosa)

3 C 2 = 3 (los ambos defectos)

10 C 4 = 210 (los buenos)

El total del producto sería

56*10*3*210 = 352800







2 C 1 = 2 (portero)

7 C 2 = 21 (defensas)

10 C 3 = 120 (delanteros)


2*21*120 = 5040

a) no se repitan

b) se repiten


7 C 4 = 35 (defensa)

4 C 3 = 4 (centrales)

4C3 = 4 (delanteros)







35*4*4 = 560 en 4-3-3


7C5 = 21 (defensa)

4C3 = 4 (centrales)



21*4*6 = 504 en 5-3-2


4C1 = 4 (defensa)

2C1 = 2 (centrales)



4*2*6 = 24 en 4-3-3 formas


3C2 = 6 (defensa)

2C1 = 2 (centrales)



6*2*3 = 36 en 5-3-2 formas


15C7 = 6435 (combinaciones posibles para el primer grupo)

8C5 = 56 (combinaciones posibles para otro grupo; ya no escoge sobre 15 elementos si no sobre 8)


6435*56 = 360360






a) ¿Cuántas rectas determinan?

b) ¿Cuántos triángulos pueden formar?

c) ¿Cuál es el número máximo de puntos en que aquella rectas se cortan?






No intervienen todos los elementos, el orden no es importante, son combinaciones

5C4 = 5 (grupo de solo varones)

5C3*7C1 = 10*7 = 70 (grupo con 3 niños y una niña)

5C2*7C2 = 10*21 = 210 (grupos con 2 niños y 2 niñas)

5C1*7C3 = 5*35 = 175 (grupos con al menos un niño)


5 + 70 + 210 + 175 = 460

a) ¿Si no se elige el mismo sabor más de una vez?

b) ¿Si se puede pedir un mismo sabor hasta 6 veces?

c) ¿Si un sabor no se puede pedir más de 5 veces?

d) ¿Si más dela mitad debe ser de fresa?






Es una combinación nC11 = 12376

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

𝑛𝐶11 =𝑛!

11! (𝑛 − 11)!= 12376

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)(𝑛 − 5)(𝑛 − 6)(𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9)(𝑛 − 10)(𝑛 − 11)!

11! (𝑛 − 11)!= 12376

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)(𝑛 − 5)(𝑛 − 6)(𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9)(𝑛 − 10)

11!= 12376

Por tanteo n = 17

Es una combinación n C 2 = 153

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

𝑛𝐶2 =𝑛!

2! (𝑛 − 2)!= 153

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!

2! (𝑛 − 2)!= 153

𝑛(𝑛 − 1)

2!= 153

𝑛(𝑛 − 1) = 306

𝑛2 − 𝑛 − 306 = 0

(n - 18)(n + 17 ) = 0

Por tanto n = 18, ya que “n” no puede ser negativo







7 C 7*8 C 3 = 1*56 = 56 (grupo con 7 mujeres)




56 + 490 + 1176 = 1722


32 C 16*4 C 2 = 601080390*6 = 3606482340

a) ¿De cuántas maneras pueden colocarse si los miembros de cada pareja deben aparecer juntos?

Intervienen todos los elementos, el orden es importante, son combinaciones

6 C 6 = 720






b) ¿De cuántas formas se pueden colocar si lo hacen en dos filas, tres matrimonios por cada fila?

a) ¿Si los 4 son del mismo modelo?


10C4 = 210 (solo modelo A)

5C4 = 5 (solo modelo B)

En total sería 215 posibilidades de un solo modelo.

b) ¿Si dos son modelo A?


10C2 = 45 (solo modelo A)

5C2 = 10 (solo modelo B)

En total sería 450 posibilidades

c) Si al menos uno es del modelo B


10C1*5C3 = 10*10 = 100 (3 modelos B)

10C2*5C2 = 45*10 = 450 (2 modelos B)

10C3*5C1 = 120*5 = 600 (3 modelos B)

En total sería 100 + 450 + 600 = 1155 posibilidades







2 V 2*4 V 4*5 V 5*3 V 3 = 2*24*120*6 = 34560

probabilidad

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