primer parcial cálculo iii, 23 de abril de 2012

5/17/2018 Primer Parcial C lculo III, 23 de abril de 2012 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-calculo-iii-23-de-abril-de-2012 1/6

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 23 de abril de 2012

Tabla de Respuestas

1.- (40 puntos) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial

y + 2y + y = −3ex,y(0) = 1, y(0) = −3.

Respuesta:

Primero resolvemos la ecuacion lineal homogenea asociada a la ecuacion difer encial del problema avalor inicial:

y + 2y + y = 0,

que dicho sea de paso es (LHC). El polinomio caracterıstico de esta ecuacion e s,

λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2.

La raız de este polinomio es λ = −1, que se repite dos veces, de donde el

SF = {e−x, xe−x}.

Luego, hallamos una solucion particular de la ecuacion y + 2y + y = −3ex, planteando y = αex,derivando y remplazando obtenemos:

αex + 2αex + 1αex = −3ex ⇒ 4αex = −3ex ⇒ α = −3

4.

La solucion particular hallada es y = −34 ex, la solucion general de la ecuacion diferencial del problema

es

y = c1e−x + c2xe−x −3

4ex.

Por ultimo, determinamos los valores de c1 y c2 remplazando las condiciones iniciales en la soluciongeneral, lo que da

y(0) = c1 −34 = 1,

y(0) = −c1 + c2 −34 = −3.

⇒

c1 = 7

4 ,−c1 + c2 = −7

4

⇒ c1 =7

4, c2 = −

1

2.

La solucion del problema a valor inicial es

y =7

4e−x −

1

2xe−x −

3

4ex,

por lo tanto, y(ln 2) =7

4·

1

2−

1

2

1

2ln 2 −

3

4· 2 = −

5

12−

1

4ln2.

2.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on

xy + y = y2 ln x.

Respuesta:

La ecuacion es de tipo Bernouilli, planteamos z = y1−2; es decir y = 1z , derivamos y remplazamos, lo

que da

xz

−z2+

1

z=

1

z2ln x ⇒ xz = z − ln x ⇒ z =

1

xz −

ln x

x.



La solucion general de la ecuacion lineal homogenea es z = cx y la solucion particular la obtenemosplanteando por variacion de constantes z = c(x)x, lo que da

xc = −ln x

x⇒ c = −

ln x

x2,

integramos

c =ln x

x − 1

x2 dx =ln x + 1

x ,

de donde la solucion particular obtenida es z = ln x+1 y la solucion general de la ecuacion transformada

es z = cx + ln x + 1 y la solucion general de la ecuacion del ejercicio es1

y= 1 + ln x + cx.

3.- (30 puntos) Hallar la general de

y =2xye(x/y)2

y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2.

descartando las soluciones constantes.Respuesta:

Intercambiamos roles de variable independiente y funcion incognita, la ecuacion se convierte en

x =y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2

2xye(x/y)2=

y2

2xy

(1 + e(x/y)2)

e(x/y)2+

x

y.

La ecuacion es de tipo homogeneo, planteamos z = xy , de donde derivando y remplazando obtenemos

yz + z =1

2z

(1 + ez2

)

e(z2⇒

ez2

2zz

(1 + ez2

)=

1

y

Por lo tanto

ln(1 + ez2

) = ln(cy) ⇒ 1 + e(x/y)2 = cy .

2



Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 1 23 de abril de 2012

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est a respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci on que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.- g

2.- e

3.- f

1.- (40 puntos) Determinar el valor de y(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial y + 2y + y = −3ex,y(0) = 1, y(0) = −3.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 32 , c) y(ln 2) = 4,

d) y(ln 2) = −1, e) y(ln 2) = 2, f) y(ln 2) = 8,g) Ninguna de las anteriores.


xy + y = y2 ln x.

Respuesta:

a) y = x2/(c − x), b) xy(x + y)2 = c, c) x = y tan(ln(cy)),d) (x − 2y)5(x + 2y + 4) = c, e) 1

y = 1 + ln x + cx, f) x = cyxy,

g) Ninguna de las anteriores.


y = 2xye(x/y)2

y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2.


a) cx = 1 + e(y/x)2 , b) c1x2 = c2e2y, c) 1 + e(x/y)2 = cy,

d) 3c2 = tan( c1y+12 ), e) arctan(c1x) = c2y + 1, f) y3 = 3(c2 − x − c1y),















Tabla de Respuestas

1.- g

2.- f

3.- a


Respuesta:

a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 32 , c) y(ln 2) = 4,

d) y(ln 2) = 2, e) y(ln 2) = −1, f) y(ln 2) = 8,g) Ninguna de las anteriores.


xy + y = y2 ln x.

Respuesta:

a) y = x2/(c − x), b) xy(x + y)2 = c, c) x = y tan(ln(cy)),d) (x − 2y)5(x + 2y + 4) = c, e) x = cyxy, f) 1

y = 1 + ln x + cx,



y = 2xye(x/y)2

y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2.


a) y3 = 3(c2 − x − c1y), b) arctan(c1x) = c2y + 1, c) 3c2 = tan( c1y+12 ),

d) cx = 1 + e(y/x)2 , e) c1x2 = c2e2y, f) 1 + e(x/y)2 = cy,g) Ninguna de las anteriores.














Tabla de Respuestas

1.- g

2.- a

3.- b


Respuesta:

a) y(ln 2) = 32 , b) y(ln 2) = 4, c) y(ln2) = 0,

d) y(ln 2) = 2, e) y(ln 2) = 8, f) y(ln 2) = −1,g) Ninguna de las anteriores.


xy + y = y2 ln x.

Respuesta:

a) 1y = 1 + ln x + cx, b) x = y tan(ln(cy)), c) y = x2/(c − x),

d) (x − 2y)5(x + 2y + 4) = c, e) x = cyxy, f) xy(x + y)2 = c,g) Ninguna de las anteriores.


y = 2xye

(x/y)2

y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2 .


a) arctan(c1x) = c2y + 1, b) y3 = 3(c2 − x − c1y), c) cx = 1 + e(y/x)2 ,

d) c1x2 = c2e2y, e) 1 + e(x/y)2 = cy, f) 3c2 = tan( c1y+12 ),















Tabla de Respuestas

1.- g

2.- d

3.- e


Respuesta:

a) y(ln 2) = 8, b) y(ln 2) = 0, c) y(ln 2) = −1,d) y(ln 2) = 4, e) y(ln 2) = 3

2 , f) y(ln 2) = 2,g) Ninguna de las anteriores.


xy + y = y2 ln x.

Respuesta:

a) x = cyxy, b) y = x2/(c − x), c) x = y tan(ln(cy)),d) 1

y = 1 + ln x + cx, e) xy(x + y)2 = c, f) (x − 2y)5(x + 2y + 4) = c,



y = 2xye(x/y)2

y2 + y2e(x/y)2 + 2x2e(x/y)2.


a) 1 + e(x/y)2 = cy, b) c1x2 = c2e2y, c) cx = 1 + e(y/x)2 ,

d) 3c2 = tan( c1y+12 ), e) y3 = 3(c2 − x − c1y), f) arctan(c1x) = c2y + 1,


primer parcial cálculo iii, 23 de abril de 2012

Documents