Tautologas, Contradicciones y

Razonamientos Vlidos

Recordemos

Una expresin lgica es una tautologa sies verdadera para todas lascombinaciones posibles en una tabla deverdad.

Una expresin lgica es una contradiccinsi es falsa para todas las asignacionesposibles en una tabla de verdad.

Una expresin lgica es una contingenciasi no es ni una tautologa ni unacontradiccin.

Tautologas

P Q PQ (PQ) (PQ)v Q

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

Vemos algunos Ejemplos

P P P v P

V F V

F V V

Idea Interesante

Si A es una tautologa que contiene a la

variable P, se puede crear una nueva

expresin sustituyendo todas las

apariciones de P por una expresin

arbitraria.

La expresin resultante ser tambin una

tautologa

Ejemplo

Supongamos que tenemos la expresin

P Q

Tomemos como ejemplo la ley del medio excluido

Es decir

P v P

De lo expuesto en la idea anterior la expresin

(P Q) v (P Q)

Ser tambin una tautologa.

Probemos

P Q PQ (PQ) (PQ) v (PQ)

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

Tautologas y Razonamientos Vlidos

Un argumento lgico es vlido si laconclusin se deduce lgicamente de laspremisas.

Si todas las premisas son verdaderas(ejemplo, la conjuncin de todas las premisasproduce verdadero), entonces la conclusindebe ser verdadera.

Si la conjuncin de las premisas es A y si laconclusin es C, entonces A C debe serverdadera para todas las asignacionesposibles, esto es, debe ser una tautologa.

Ejemplo

Estudiemos el siguiente razonamiento

Premisa 1: Jos estuvo en la iglesia a la hora

indicada o Jos miente.

Premisa 2: Jos no miente.

Conclusin: Jos estuvo en la iglesia a la hora

indicada.

En la primera premisa existen dos

proposiciones simples:

P : Jos estuvo en la iglesia a la hora indicada

Q: Jos miente

Esa premisa en lenguaje de lgica

proposicional la podemos escribir

P v Q

Tomando como base lo anterior el

razonamiento completo lo podemos

escribir de la siguiente manera segn la

lgica proposicional

Premisa 1: P v Q

Premisa 2: Q

Conclusin: P

Es esta una forma de razonamiento vlida?

Segn lo planteado esta es una forma derazonamiento valida, si la conjuncin de laspremisas implicacin la conclusin es unatautologa.

Es decir, si la expresin

((P v Q) Q) P

Es una tautologa

P Q P v Q Q (P v Q) Q ((P v Q) Q ) P

V V V F F V

V F V V V V

F V V F F V

F F F V F V

Por lo tanto al ser esto una tautologa el razonamiento es

valido.

QED

Ejercicio

Muestre utilizando la forma expuesta

anteriormente, si el siguiente es un

razonamiento vlido

Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.

Si no voy a la fiesta, no me divertir.

Entonces, si no me despierto no me

divertir.

Contradicciones

Una expresin lgica es una contradiccin

si esta produce falso para todas las

combinaciones posibles en la tabla de

verdad.

Por ejemplo

P PP P P P

V F FF V F

Ideas Importantes

Las contradicciones estn estrechamenterelacionadas con las tautologas. De hecho siA es una tautologa A es una contradicciny viceversa.

Como las tautologas las contradiccionespueden convertirse en esquemas.- Estosignifica por ejemplo que

(P Q) (P Q)Es una contradiccin porque sigue el

esquema

P P

Uso para demostracin de Validez

Las contradicciones pueden utilizarse

para demostrar que los argumentos

lgicos son validos.

Para esto, observemos que un argumento

no puede ser valido si todas las premisas

son verdaderas pero la conclusin es

falsa.

En otras palabras, es imposible que la negacinde la conclusin y de las premisas seanverdaderas simultneamente. Por lo tanto, laconjuncin de las premisas con la negacin de laconclusin debe ser siempre falsa, es decir, debeser una contradiccin.

Para esto utilicemos el mismo ejemplo:

Demostremos que el siguiente razonamiento esvalido:

Premisa 1: Jos estuvo en la iglesia a la hora indicada o Jos miente.

Premisa 2: Jos no miente.

Conclusin: Jos estuvo en la iglesia a la hora indicada.

En la primera premisa existen dos

proposiciones simples:

P : Jos estuvo en la iglesia a la hora indicada

Q: Jos miente

Esa premisa en lenguaje de lgica

proposicional la podemos escribir

P v Q

Tomando como base lo anterior el

razonamiento completo lo podemos

escribir de la siguiente manera segn la

lgica proposicional

Premisa 1: P v Q

Premisa 2: Q

Conclusin: P

Es esta una forma de razonamiento vlida?

Segn lo planteado esta es una forma derazonamiento valida, si la conjuncin de laspremisas conjuncin la negacin de laconclusin es una contradiccin.

Es decir, si la expresin

((P v Q) Q) P

Es una contradiccin

Por lo tanto al ser esto una contradiccin el razonamiento es

valido.

QED

P Q P v Q Q (P v Q) Q P ((P v Q) Q ) P

V V V F F F F

V F F V V F F

F V F F F V F

F F F V F V F

Ejercicio

Muestre utilizando la forma expuesta

anteriormente, si el siguiente es un

razonamiento vlido

Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.

Si no voy a la fiesta, no me divertir.

Entonces, si no me despierto no me

divertir.

PREGUNTAS

Y

RESPUESTA