001-tema 1 razonamientos y demostraciones v17

8/17/2019 001-Tema 1 Razonamientos y Demostraciones v17

1/76

MATEMÁTICAS DISCRETAS

Universidad de CuencaIngeniería Electrónica y Telecomunicaciones

Ciclo Marzo 2016 a Julio 2016


2/76

MATEMÁTICAS DISCRETASTEMA 1: RAZONAMIENTOS Y DEMOSTRACIONES

Lógica de Proposiciones

Razonamientos

Sub-Tema 1: Razonamiento

Sub-Tema 2: Razonamiento válido

Sub-Tema 3: Falacia

Inferencia

Sub-Tema 4: Regla de Inferencia

Sub-Tema 5: Reglas de Inferencia más usuales

Demostraciones

Sub-Tema 6: Teorema

Sub-Tema 7: Corolario

Sub-Tema 8: LemaSub-Tema 9: Demostración

Lógica de Predicados

Razonamientos y Cuantificadores

Sub-Tema 10: Razonamientos y Cuantificadores

Sub-Tema 11: Definiciones matemáticas

Sub-Tema 12: Regla de Particularización

Sub-Tema 13: Regla de Generalización

Métodos de demostración

Sub-Tema 14: Métodos de demostraciónSub-Tema 15: Demostración Vacía

Sub-Tema 16: Demostración Trivial

Sub-Tema 17: Demostración Directa

Sub-Tema 18: Demostración por la Contra recíproca

Sub-Tema 19: Demostración por Contradicción

Sub-Tema 20: Búsqueda de contraejemplos

Sub-Tema 21: Demostración por inducción matemática


3/76

Lógica de Proposiciones.


4/76

Proposiciones y Tablas de Verdad


5/76

Proposición:

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea

verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Nota: Las proposiciones se denotan con letras minúsculas: p, q, r . . .

. . . La notación p: Tres mas cuatro es igual a siete se utiliza para

definir que p es la proposición “tres mas cuatro es igual a siete”.

Valor de Verdad:

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su

veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposiciónverdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.



6/76



7/76

Proposición Compuesta:

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formarla proposición P, diremos que P es una proposición compuesta de p1,

p2, . . . , pn.

Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposición compuesta

es que su valor de verdad esta completamente determinado por losvalores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la

forma en que están conectadas.



8/76

Variables de Enunciado:

Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no

especificado, es decir, puede ser verdad o falsa

En el calculo lógico, prescindiremos de los contenidos delos enunciados y los sustituiremos por variables de

enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser

sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles

estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles

valores de una proposición p, los representaremos en lasllamadas tablas de verdad



9/76

Tablas de Verdad

La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posiblescombinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1 , p2 , . . . , pn .



10/76

Conexión entre Proposiciones


11/76

Conjunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas

a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será

verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.



12/76

Disyunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas

a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será

verdadera si al menos una de las dos p o q lo es.



13/76

Disyunción Exclusiva

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de

ambas a la proposición compuesta “p o q pero no ambos” y la notaremos p Y q.

Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son

verdaderas.



14/76

Negación

Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la

proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y

falsa cuando p sea verdadera.



15/76



16/76

Tautologías y Contradicciones

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1

, p2 , . . . , pn

P es una Tautología (“T ”) si es verdadera para todos losvalores de verdad que se asignen a p1 , p2 , . . . , pn .

P es una Contradicción (“C ” )si es falsa para todos los valores de

verdad que se asignen a p1 , p2 , . . . , pn .

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama,

usualmente, Contingencia.



17/76



18/76

Proposición Condicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama

“proposición condicional” y se nota por

p → q

¬ p ∨ q

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición

suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del

condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad

la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una

hipótesis verdadera).



19/76

Proposición Condicional

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

“p solo si q ”.

“q si p ”.

“p es una condición suficiente para q ”.

“q es una condición necesaria para p ”.

“q se sigue de p ”.

“q a condición de p ”.

“q es una consecuencia lógica de p ” .

“q cuando p ”.



20/76



21/76

Proposición Reciproca

Dada la proposición condicional p → q, su reciproca es

la proposición, también condicional, q → p.

Proposición Contra recíproca

Dada la proposición condicional p → q, su contra

recíproca es la proposición, también condicional, ¬q →

¬p.



22/76



23/76

Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“p si y solo si q”

se le llama “proposición bicondicional” y se nota por

p ←→ q

(p → q) ∧ (q → p)



24/76



25/76

Implicación


26/76

Implicación Lógica

Se dice que la proposición P implica lógicamente la proposiciónQ, y se escribe P ⇒ Q, si Q es verdad cuando P es verdad.

Implicación


27/76

Implicación Lógica y Proposición Condicional

La proposición P implica lógicamente la proposición Q si, y solosi la proposición condicional P → Q es una tautología.

P ⇒ Q solo si P → Q es una tautología

En efecto, supongamos que P implica lógicamente Q. Entonces, de

acuerdo con la definición, cuando P es verdad, Q también lo es y

cuando Q es falso, P es falso, por tanto, la tabla de verdad de P → Q

conteniendo únicamente estas opciones es:

Implicación


28/76

Implicación


29/76

Implicaciones Lógicas mas Comunes

Implicación


30/76

Equivalencia Lógica


31/76

Proposiciones Lógicamente Equivalentes

Las proposiciones compuestas P y Q son lógicamente

equivalentes y se escribe P ≡ Q o P Q cuando

ambas tienen los mismos valores de verdad.

Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional

La proposición P es lógicamente equivalente a la

proposición Q si, y solo si la proposición bicondicionalP ←→ Q es una tautología.



32/76



33/76

Equivalencias Lógicas mas Comunes



34/76

Equivalencias Lógicas mas Comunes



35/76

TEMA 1: RAZONAMIENTOS Y DEMOSTRACIONES

Razonamientos


36/76

Una demostración de una proposición significa

un argumento convincente de que la

proposición es verdadera.

Las demostraciones son una forma de

comunicación cuyo objetivo es convencer de la

veracidad de las afirmaciones que se hacen.

Sub-Tema 1: Razonamiento.


37/76

Razonamiento

Llamaremos de esta forma a cualquier proposición con la estructura:

P1 ᴧ P2 ᴧ · · · ᴧ Pn → Q

Siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . . , n se les llama premisas del razonamiento y a

la proposición Q, conclusión del mismo.

Sub-Tema 1: Razonamiento.


38/76

Razonamiento Valido

El razonamiento anterior se dice que es valido si la conclusión Q es verdadera cada vez

que todas las premisas P1, P

2, . . . , P

n lo sean.

Obsérvese que esto significa que las premisas implican lógicamente la conclusión, es

decir, un razonamiento será valido cuando

P1 ᴧ P2 ᴧ · · · ᴧ Pn ⇒ Q

También podemos decir que el razonamiento es valido si el condicional

P1 ᴧ P2 ᴧ · · · ᴧ Pn → Q

es una tautología. Esto, a su vez, nos permite aceptar como valido el razonamiento en el

caso de que alguna de las premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las P i, i = 1, 2, . . . , n

es falsa, entonces P1 ᴧ P2 ᴧ · · · ᴧ Pn será falsa, luego el condicional P1 ᴧ P2 ᴧ · · · ᴧ

Pn→ Q es verdadero, independientemente del valor de verdad de la conclusión Q.

Sub-Tema 2: Razonamiento Valido


39/76

Razonamiento Valido

Disponemos de dos formas de probar si un

razonamiento es valido:

1)Comprobar que el condicional P1 ∧ P2 ∧ • • • ∧

Pn → Q es una tautología.

2)Comprobar que P1 ∧ P2 ∧ • • • ∧ Pn ⇒ Q.

Sub-Tema 2: Razonamiento Valido


40/76

Falacia

Llamaremos de esta forma a un razonamiento queno es valido.

Sub-Tema 3: Falacia


41/76


Inferencia


42/76

Inferencia

Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la

validez de un razonamiento (cuando el numero de proposiciones es elevado, la tablapuede ser excesivamente larga), utilizaremos únicamente el procedimiento de probar

que se da la implicación lógica.

Regla de Inferencia

Diremos que la proposición Q se infiere de las proposiciones P1 , P2 , . . . , Pn si Q es

verdad cuando todas las Pi , i = 1, 2, . . . , n lo sean, es decir, cuando P1 ∧ P2 ∧ • • • ∧Pn ⇒ Q.

Sub-Tema 4: Regla de Inferencia

Significa: Por lo tanto


43/76

Reglas de Inferencia mas Usuales



44/76

Reglas de Inferencia mas Usuales



45/76


Demostraciones


46/76

Teorema

Consiste en una proposición P , llamada hipótesis y otra

proposición Q que será la conclusión.

Corolario

Es un teorema que se deduce inmediatamente de otro teorema.

Lema

Es un teorema que no tiene especial interés en si mismo peroque es útil para probar algún otro teorema.

Sub-Tema 6: Teorema Sub-Tema 7: Corolario Sub-Tema 8: Lema Sub-Tema 9: Demostración


47/76

Demostración

Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.

Sub-Tema 6: Teorema Sub-Tema 7: Corolario Sub-Tema 8: Lema Sub-Tema 9: Demostración


48/76

Lógica de Predicados


49/76

Definiciones


50/76

El calculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas

las afirmaciones que se necesitan en matemáticas

Afirmaciones como “x = 5” ´o “x > y” no son proposiciones ya que

no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando

valores concretos a las variables x e y, las afirmaciones anteriores son

susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en

proposiciones.

En castellano también ocurren situaciones similares:

Ella es alta y rubia.

El vive en el campo.

Ella, el y el campo se utilizan como variables,

x es alta y rubia.

x vive en y

Definiciones


51/76

Predicado

Es una afirmación que expresa una propiedad de un objeto o unarelación entre objetos. Estas afirmaciones se hacen verdaderas o falsas

cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores específicos.

Definiciones


52/76

Universo del Discurso

Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores quepuedan tomar las variables. Lo notaremos por U y lo nombraremos por

conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener, al menos, un

elemento.

Definiciones


53/76

Predicados y Proposiciones

Si p(x1 , x2 , . . . , xn ) es un predicado constante con n variables y

asignamos los valores c1 , c2 , . . . , cn a cada una de ellas, el resultado es la

proposición p(c1 , c2 , . . . , cn ).

Para transformar un predicado en proposición, cada variable del predicado

debe estar “ligada”.

Definiciones


54/76

Cuantificadores

C ifi d


55/76

Otra forma de ligar las variables individuales es cuantificarlas.

Cuantificador Universal

Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación

“para todo x, p(x)”

es una proposición en la cual se dice que la variable x esta universalmente cuantificada.

La frase “para todo” se simboliza con ∀, símbolo que recibe el nombre de “cuantificador universal”.

Así pues, “para todo x, p(x)” se escribe “ ∀x, p(x)”. El símbolo ∀x puede interpretarse

también como: “para cada x”, “para cualquier x” y “para x arbitrario”.

Cuantificadores

C tifi d


56/76

Valor de Verdad del Cuantificador Universal

Sea p(x) un predicado cuya variable x toma valores en un universo del discurso U .

∀x, p(x) es verdad si el predicado p(x) es una proposición verdadera para todos los valores de xen el universo U.

∀x, p(x) es falsa si hay, al menos, un valor de x en U para el cual el predicado p(x) sea una

proposición falsa.

Cuantificadores

C tifi d


57/76

Cuantificador Existencial

Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación

“existe un x tal que p(x)”

es una proposición en la que diremos que la variable x está existencialmente

cuantificada.

La frase “existe [al menos]” se simboliza con ∃, símbolo que recibe el nombre de

cuantificador existencial.

Por tanto, “existe un x, tal que p(x)” se escribe “∃x : p(x)” y puede leerse

también como “para algún x, p(x)” o “existe, al menos, un x, tal que p(x)”.

Cuantificadores

C antificadores


58/76

Valor de Verdad del Cuantificador Existencial

Sea p(x) un predicado de variable x que toma valores en un universo del discurso U .

∃x : p(x) es verdadera, si el predicado p(x) es una proposición verdadera para, al menos, uno de losvalores de x en U.

∃x : p(x) es falsa, si el predicado p(x) es una proposición falsa para todos los valores de x en U.

Cuantificadores

Cuantificadores


59/76

Valores de verdad de los cuantificadores

Cuantificadores

Cuantificadores


60/76

Alcance de un Cuantificador

En una expresión ∀x [p(x) . . .] o ∃x : [p(x) . . .], la porción de la expresión a la

que se aplica ∀x o ∃x se llama alcance del cuantificador y se indicara entrecorchetes a menos que sea evidente.

Cuantificadores

Cuantificadores


61/76

Leyes de De Morgan Generalizadas

Cuantificadores


62/76


Razonamientos y Cuantificadores



63/76

En casi todos los teoremas matemáticos aparecen de

forma natural los predicados y los cuantificadores, así

pues si queremos utilizar el procedimiento lógico

aprendido en los razonamientos para demostrar este tipode teoremas, habrá que utilizar proposiciones

cuantificadas en los razonamientos.




64/76

Definiciones Matemáticas

En las definiciones, y únicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e

interpretarse correctamente como un bicondicional.

Sub Tema 11: Definiciones matemáticas



65/76

Definiciones Matemáticas

Sub Tema 11: Definiciones matemáticas

Sub-Tema 12: Regla de Particularización


66/76

Regla de Particularización

Si un predicado se transforma en una proposición verdadera para

todos los elementos de un universo del discurso, entonces es una

proposición verdadera, en particular, para cada elemento del

universo.

Obsérvese que lo que decimos es que si ∀x, p(x) es verdad,

entonces p(a) es verdad para cada a en el universo del

discurso.

Sub Tema 12: Regla de Particularización

Sub-Tema 13: Regla de Generalización


67/76

Regla de Generalización

Si un predicado es una proposición verdadera para cualquier

elemento elegido de forma arbitraria en nuestro universo del

discurso, entonces es verdadera para todos los elementos del

universo.

Obsérvese que aquí decimos que si p(a) es verdadera, siendo aun elemento arbitrario del universo, entonces ∀x, p(x) es

verdad.

Obsérvese también que un elemento arbitrario o genérico del

universo ha de ser uno que tenga todas las características comunesde los elementos del universo de esta forma lo que probemos o

hagamos para a será aplicable a todos los elementos.

Sub Tema 13: Regla de Generalización


68/76


Métodos de demostración

Sub-Tema 14: Métodos de demostración


69/76

Una demostración era un razonamiento que establece la

veracidad de un teorema, es decir demostrar un teorema

equivale a probar que la proposición condicional P → Qes una tautología o lo que es igual probar que P⇒ Q.

Sub-Tema 15: Demostración Vacía


70/76

Demostración Vacía

Una demostración de este tipo se construye estableciendo que el valor de verdad

de la hipótesis P es falso.

En efecto, si podemos establecer la falsedad de P , entonces el condicional P

→ Q siempre es verdad independientemente del valor de verdad de la

conclusión Q, luego P → Q es una tautología y, consecuentemente, P ⇒ Q

Aunque parece que tiene poco valor, este método de demostración es importante

para establecer limitaciones o estudiar casos especiales.

Demostrar que es Falso

Sub-Tema 16: Demostración Trivial


71/76

Demostración Trivial

Se construye una demostración de este tipo, probando que el valor verdadero

de la conclusión Q es verdad.

Si es posible establecer la veracidad de la conclusión Q, entonces el

condicional P −→ Q será una tautología independientemente del valor de

verdad que tenga la hipótesis, luego P =⇒ Q, la demostración es correcta y el

teorema cierto.

Al igual que la demostración vacía, la demostración trivial tiene una aplicación

limitada y aun así es bastante importante. Se utiliza frecuentemente para

establecer casos especiales de afirmaciones.

Demostrar que es Verdadero

Sub-Tema 17: Demostración Directa


72/76

Demostración Directa

Una demostración de este tipo muestra que la verdad dela conclusión Q, se sigue lógicamente de la verdad de

la hipótesis P . La demostración empieza asumiendo

que P es verdad para después, utilizando cualquier

información disponible, así como teoremas probados conanterioridad, probar que Q es verdad. Asumir que

es Verdadero

Información disponible, así

como teoremas probados

Probar que es

Verdadero

Sub-Tema 18: Demostración por la Contra recíproca


73/76

Demostración por la Contra recíproca

La demostración de un teorema se dice que es por la contra reciproca cuando

suponiendo que la conclusión, Q, es falsa y utilizando la hipótesis P y otrosteoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente, se concluye que P es

falso.

Está basada en la equivalencia lógica entre una proposición condicional y su

contra recíproca,

P → Q ¬Q → ¬P

Por lo tanto, si probamos que ¬Q → ¬P es una tautología, habremos

probado que P → Q también lo es, luego P⇒ Q.

Asumir que es Falso

Utilizando la hipótesis P y otros teoremas y

equivalencias lógicas

Probar que es Falso

Es una

Tautologia

Entonces es unaTautologia

Sub-Tema 19: Demostración por Contradicción


74/76

Demostración por Contradicción

La demostración de un teorema diremos que es por contradicción cuando suponiendo que

la conclusión, Q, es falsa y utilizando la hipótesis P , y otros teoremas y equivalencias

lógicas establecidas previamente, se llega a una contradicción.

Esta basada en la equivalencia lógica conocida como reducción al absurdo, es por ello

que este método de demostración es conocido, también, como demostración por reducción

al absurdo.

P → Q (P ∧ ¬Q) → C

Donde C es una contradicción. Por lo tanto, si probamos que (P ∧ ¬Q) → C es una

tautología tendremos que P → Q también lo es y, consecuentemente, P ⇒ Q.

Asumir que es Falso

Utilizando la hipótesis P y otros teoremas y

equivalencias lógicas

Se llega a una Contradicción

Es una

TautologiaEntonces es una

Tautologia

Sub-Tema 20: Búsqueda de contraejemplos


75/76

Búsqueda de contraejemplos

Este tipo de demostración, íntimamente relacionada con el cuantificador

universal, aparece cuando se quiere probar que una proposición del tipo ∀x, p(x)

es falsa. Normalmente diremos que se refuta la proposición ∀x, p(x).

En efecto, ∀x, p(x) será falsa cuando exista, al menos, un elemento a en el

universo del discurso para el cual p(a) sea una proposición falsa. Hemosencontrado, pues, un ejemplo que contradice el que ∀x, p(x) sea verdad por lo

cual le llamaremos contraejemplo.

En el caso de un teorema el planteamiento seria como sigue: ∀x [p(x) → q(x)]

es falso si existe un elemento a en el universo para el cual la proposición

condicional p(a) → q(a) sea falsa, es decir tal que p(a) sea verdad y, sinembargo, q(a) sea falsa.

Sub-Tema 21: Demostración por inducción matemática


76/76

Demostración por inducción matemática

La técnica de demostración por inducción matemática es utilizada para probar

razonamientos de la forma ∀n [p(n) → q(n)], donde el universo del discurso es el

conjunto de los números naturales (N).

La demostración por la técnica de inducción matemática consiste de tres pasos:

1) Paso base: se demuestra la validez de la proposición p evaluada en el

caso base, donde dicho caso base puede ser un cero o un uno dependiendo

del punto de partida o condición inicial del problema que se estádemostrando.

2) Paso inductivo (o hipótesis de inducción): se asume que es verdadera la

proposición p evaluada en un número natural k.

3) Paso post-inductivo: apoyados en la suposición de validez de la

proposición p(k) se demuestra la validez de la proposición p(k + 1), es

decir, p(k) → p(k + 1).

Cuando se cumplen los tres casos de la técnica por inducción matemática, entonces se

ha demostrado que la proposición p(n) es verdadero para todo número natural n, es

decir se ha demostrado que ∀n p(n) es verdadero

001-tema 1 razonamientos y demostraciones v17

Documents