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Media, Varianzas, Covarianzas y Correlaciones. En este documento se proporcionan algunas demostraciones de equivalencias útiles usadas en
estadísticas.
Pruebe que,
1.
2.
3.
4. con conocido
5. dado que y
que
Solución 1.
El ejercicio del numeral 1 indica que lo cual simplemente es
la forma práctica de calcular la varianza, y su demostración es la siguiente:
Solución 2.
esto es muy parecido al ejercicio 1, se trata de llegar a la forma práctica de cálculo de la covarianza entre dos variables aleatorias a partir de su definición teórica.
Solución 3.
El ejercicio del numeral 3 indica simplemente que el estimador de la media de una variable
aleatoria será un estimador insesgado del verdadero promedio, es decir, , cuya
demostración es:
haciendo y sustituyendo en , se
tiene para demostrar esto simplemente se opera esta última expresión
acá se aplica la propiedad que dice el valor esperado de la suma es la
suma de valores esperados.
se aplica que la sumatoria de una constante, es veces esa constante
Solución 4.
Cuando es conocido se puede demostar que el estimador de la varianza es también un
estimador insesgado,
Solución 5.
Este se trata de demostar que la quasi-varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza. Esto es con la correspondiente corrección por grados de
libertad en el denominador ( ) se logra estimar la varianza muestral de manera insesgada.
considerando que y
que
Pasando al ámbito matricial, que es el más frecuentemente utilizado en estadísticas, podemos
encontrar con frecuencia formas como las siguientes:
Sea la matriz de varianzas y covarianzas , con elementos como su
elemento, a esta matriz se le suele llamar, por simplicidad, matriz de covarianzas de Esta
matriz a veces es denotada como o . Claramente de manera
que es simétrica. Considerando esto demuestre que
Si es un vector de constantes de dimensión y que es una variable aleatoria definida de
la siguiente manera , determine
Si adicionalmente, consideramos que es otro vector de constantes de dimensión y
que demuestre que
Considere ahora que es una matriz de constates de dimensión y que ,
demuestre que y que
Si y son vectores aleatorios, entonces la matriz de covarianzas entre los componentes de
y está dada por , compruebe que esto es cierto.
y si y indique qué forma tendrá la covarianza entre y .
Se pudo haber calculado de una forma más directa, así
Aprovechando que se ha discutido y ejemplificado mucho con las covarianzas podemos introducir
ahora la correlación, que como es sabido es una medida de relación lineal que no está afectada
por las unidades de medida en que están expresas las variables, por ejemplo, y , para éstas
el coeficiente de correlación será y está definido por
Cuando . La matriz de correlaciones que tiene a como su ésimo
elemento, puede ser expresada en términos de la correspondiente matriz de covarianzas y de la
matriz diagonal específicamente,
Para cualquier vector con dimensión tenemos
Donde y además debe ser definida no negativa porque lo es. En particular,
si es la ésima columna de una matriz identidad se puede demostar que está
acotado en el intervalo . Véase a continuación,
porque
y
esto es porque
De lo anterior se obtienen las siguientes ecuaciones:
y despejando se llega a lo siguiente: