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ANOVA y ANCOVA 1

J.F. Casanova ANOVA y ANCOVA 1

Análisis de la Varianza

y de la Covarianza

ANOVA y ANCOVA


Esquema (1)

1. Análisis de la Varianza de 1 Factor(Muestras independientes)

2. Análisis de la Varianza de 1 Factor(Muestras relacionadas)

3. Análisis de la Varianza de 2 Factores

4. Análisis de la Covarianza

5. Análisis con más de 2 Factores


Análisis de la Varianza de 1 Factor

Objetivos

Comparar varios grupos respecto a una variable cuantitativa.

Analizar la asociación entre una variable

cualitativa y una variable cuantitativa.

(Recordemos la equivalencia entre Comparación y Asociación)



Pruebas utilizadas

A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas

La más conveniente es el Análisis de la Varianza.

B) No se cumple (A)

Tres opciones:

1) Transformar los datos para llegar a (A)

2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza (es una prueba muy robusta)

3) Prueba no paramétrica de Kruskal-Wallis



Comparación de más de 2 Varianzas

Pruebas utilizadas:

Prueba de Bartlett (conveniente para distribuciones Normales)

Prueba de Levene (conveniente para distribuciones No Normales)



Planteamiento

Medir: el efecto estudiado (efecto factorial) mediante las desviaciones de las medias de cada muestra respecto a la media global.

Medir: el efecto residual (resto de efectos) mediante las desviaciones de los datos de cada muestra respecto a la media de esa muestra.

Comparar: Efecto factorial demasiado superior al residual como para explicarlo por el “azar” No todas las medias son iguales.

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Efectos

x

x1

x2

x3

Residual



Varianza Factorial:

1k

xxnV

2

ii

F

Procedimiento

•Numerador: “Dispersión Factorial”, DF

•Denominador: “Grados de Libertad Factoriales”, F



Varianza Residual:

Procedimiento

•Numerador: “Dispersión Residual”, DR

•Denominador: “Grados de Libertad Residuales”, R

kn

xxV

2

ii

R



Estadístico de Contraste:

Distribución para H0

(todas las medias grupales iguales):

F de Snedecor con 1 = F y 2 = R

• Si FEXP supera el valor teórico se rechaza H0

R

FEXP

V

VF


Análisis de la Varianza: Terminología

“Análisis” = “Descomposición”

Puede demostrarse que la “Dispersión Total”

2

iT xxD

coincide con la suma de las Dispersiones Factorial y Residual.

Acrónimo: ANOVA (ANalysis Of VAriance)


Comparaciones Múltiples

Situación

ANOVA estadísticamente significativo:Alguna media grupal es diferente

Para detectarla, se comparan las medias 2 a 2

No se usa directamente la t de Student: La probabilidad de encontrar alguna diferencia significativa por error se iría acumulando

Varias Soluciones

Una simple: Bonferroni

Una típica: Newman-Keuls

ANOVA y ANCOVA 3


Método de Bonferroni

Como el error iría aproximadamente sumándose, se corrige este efecto

usando la t de Student

pero a un nivel de error / C, donde C es el número de comparaciones

INCONVENIENTE: Al aumentar el número de grupos, C crece mucho y baja la potencia.


Método de Newman-Keuls

A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES

1) Se numeran todas las medias de menor a mayor:

2) Se comparan las dos extremas:

3) Si es significativa, se toman dos grupos de k-1medias: y

4) Se comparan en cada grupo las dos extremas y, si son significativas, nuevamente se forman dos grupos, de k-2 medias

k1 x,...,x

k1 xconx

1k1 x,...,x k2 x,...,x



A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES

5) Se continúa el proceso hasta que llegamos a 2muestras o cuando alguna comparación resulta no significativa. En este caso, se declaran homogéneas todas las medias del grupo.



NOTA:

Pueden darse “PARADOJAS”, como:

21 xaogéneahomx

32 xaogéneahomx31 xadiferentex>

EXPLICACIÓN: “Homogénea” no quiere

decir “igual”, sino que “no se ha demostrado

con suficiente probabilidad la diferencia.



B) PROCEDIMIENTO DE CADA COMPARACIÓN

El estadístico de contraste es:

siendo:

ij

ji

ijs

xxq

ji

Rij

n

1

n

1

2

Vs

* Bajo la H0 ( ) sigue la distribución de Newman-

Keuls, que depende de R y de R, el “Rango” (número de

medias que hay en el grupo que se compara).

ji xx


Tamaño del Efecto

No solo interesa saber si existe o no relación entre

el factor y la respuesta, sino también cuál es su

intensidad. Es decir, el “TAMAÑO DEL EFECTO”.

Uno de los índices para evaluarlo en ANOVA es

𝜂2 =𝐷𝐹𝐷𝑇

= 𝑅2

Representa la proporción de la variabilidad de la

respuesta atribuible a su relación con el factor.

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Tamaño del Efecto

Es equivalente al Coeficiente de Determinación,

R2, en los modelos de regresión.

Este índice evalúa correctamente dicha proporción

de variabilidad en la muestra, pero resulta sesgado

para estimarla en la población.

Para corregir ese inconveniente, puede sustituirse

por este otro:

𝜔2 =𝐷𝐹 − (𝑘 − 1)𝑉𝑅

𝐷𝑇 + 𝑉𝑅


Análisis de la Varianza de 1 Factor.

Muestras relacionadasPruebas utilizadas

A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas

La más conveniente es el Análisis de la Varianza.

B) No se cumple (A)

Tres opciones:

1) Transformar los datos para llegar a (A)

2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza (es una prueba muy robusta)

3) Prueba no paramétrica de Friedman


Ejemplo

Tenemos el mismo grupo de individuos en k situaciones distintas y queremos comparar los resultados en esas situaciones

* También llamado ANOVA con MEDIDAS REPETIDAS


Muestras relacionadas


Planteamiento

Tenemos n individuos y k valores distintos del factor cualitativo

Queremos estudiar la relación del factor cualitativo F con una variable cuantitativa X.

Al utilizar los mismos individuos en todas las mediciones, se elimina la influencia de la variable individuo (I) en X.

Suponemos que la influencia de F en X no depende del individuo (No hay “interacción).






Descomposición de la Varianza

En el ANOVA simple se hacía la descomposición:

Dispersión: DT = DF + DR

Grados de Libertad: T = F + R

En el ANOVA de Muestras relacionadas:

Dispersión: DT = DF + DI + DR

Grados de Libertad: T = F + I + R




Efecto de desglosar la dispersión entre individuos (DI ):

Se reduce la dispersión residual (DR ), aumentando la potencia de la prueba.

Procedimiento de Análisis:

Análogo al ANOVA simple.

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Análisis de la Varianza de 2 Factores

Objetivos

Estudiar la relación de cada una de dos

variables cualitativas (factores) con una

variable cuantitativa.

Estudiar la interacción entre ellas.



Condiciones de Aplicación

Poblaciones normales y varianzas

homogéneas

(como todo ANOVA)

Para fácil interpretación número de

casos igual en cada combinación de factores

(o proporcional a los totales parciales)

Ejemplo

valores medios de glucosa

n = 6 datos / casilla

K = KA KB N = K n

MEDIOS DE CULTIVO

MEDIO1 MEDIO2 MEDIO3

CORTO 34 38 36

TIEMPO MEDIO 22 20 24

ALTO 14 8 12



Descomposición de la Varianza

Efectos: T: Total

A: Factor Tiempo

B: Factor Medio

I: Interacción

R: Residual

DT = DA + DB + DI + DR



Procedimiento

R

AA

V

VF ≶ F (KA -1, N-K) ⇘ = F (2, 45)

[COMO ANOVA 1 FACTOR]

R

BB

V

VF ≶ F (KB -1, N-K) ⇗ = F (2, 45)

R

II

V

VF ≶ F ((KA -1)(KB -1), N-K) = F (4, 45)

EN EL EJEMPLO



Comparaciones Múltiples

Sí interacción

ANOVA 1 factor dentro de cada una de las categorías del otro

Comparar todas las combinaciones de factores entre sí.

No interacción

Comparar por separado las categorías de cada factor significativamente relacionado con la respuesta.

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Análisis de la Covarianza (ANCOVA)

Objetivos

Estudiar la relación de una variable cualitativa (factor) con una variable cuantitativa.

Eliminando la influencia de una tercera variable (cuantitativa)

(llamada covariable)


Condiciones de Aplicación

Los habituales del ANOVA

Existe relación lineal entre la variable respuesta y

la covariable

Para fácil interpretación

La pendiente de la relación es similar para

los distintos valores del factor cualitativo

(No hay interacción entre factor y covariable)


Ejemplo

dRC,AJ

T1

T2RCT1

RCT2

EDAD

RC

1T2T CRCR

·Podemos estudiar la relación entre el Tratamiento y la Reducción de

Concentración sin que afecte la Edad

(Como si la edad fuera la misma para ambos grupos)

·La diferencia ajustada dRC,AJ no coincide con la directa,


Procedimiento

Análogo al ANOVA, sustituyendo las

dispersiones y grados de libertad directos

por los ajustados.

También en las comparaciones múltiples se

sustituye por los valores ajustados.

Medias ajustadas:

donde b es la pendiente de y = a + bx


ii xby


Análisis con más de 2 Factores

Es posible cualquier número de

factores y covariables

Puede aparecer interacción de 2º orden:

La interacción entre 2 factores depende

del valor de un tercer factor.

Las interacciones de orden superior

suelen subsumirse en el efecto residual.

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