ANOVA

ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VÍA o DIRECCIÓN (ANOVA 1 VIA)

El análisis de la varianza de un criterio (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de un criterio porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como:

Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son:

1. Ambas poblaciones son normales.

2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es,

Como el ANOVA de un criterio es una generalización de la prueba de t para dos muestras, los supuestos para el ANOVA de un criterio son:

1. Todas las poblaciones k son normales.

2.

El método de ANOVA con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones independientes para

, la varianza poblacional común. Estas dos estimaciones se denotan por . se

denomina estimación de la varianza entre muestras y se denomina estimación de la varianza al

interior de las muestras. El estadístico tiene una distribución muestral resultando:

El valor crítico para la prueba F es:

Donde el número de grados de libertad para el numerador es k-1 y para el denominador es k(n-1), siendo el nivel de significancia.k = número de muestras.

El Procedimiento es el siguiente 1 :

1. Determinar si las muestras provienen de poblaciones normales.2. Proponer las hipótesis.

3. Encontrar las medias poblacionales y las varianzas.

1 Estadística. Richard C.Weimer. CECSA. Segunda Edición.2000

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ANOVA

4. Encontrar la estimación de la varianza al interior de las muestras y sus grados de libertad

asociados glw.

5. Calcular la gran media para la muestra de las medias muéstrales.

6. Determinar la estimación de la varianza entre muestras y sus grados de libertad asociados.

7. Hallar el valor del estadístico de la prueba F.8. Calcular el valor crítico para F basado en glb y glw.

9. Decidir si se rechaza H0.

Calculo Manual

Se utilizan las fórmulas siguientes:

Suma de cuadrados total (SST o SCT)

*** ** Xi valores individuales* *** **

X Media de medias* * **

* **

Suma de cuadrados de los tratamientos o niveles (SSTr o SCTr):

Media X3

* 5

5

4 * * Media X2Media X1

Suma de cuadrados del error (SSE o SCE):

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ANOVA

** *Xi Xi

* ** * ** *

*** * Xmedia 3X media 1 ** *

* Xmedia 2 Xi *

O también SCE = SCT - SCTr

Grados de libertad:

Gl. Totales = n – 1Gl. Tratamientos = c -1 Gl. Error = n – c

Cuadrados medios (MS o CM):

CMT = SCT / Gl. SCTCMTr = SCTr / Gl. SCTrCME = SCE / Gl. SCE

Estadístico calculado Fc:

Fc = CMTr / CME

P value = distr.f (Fc, Gl. CMtr, Gl. CME)

F crítica de tables o Excel = distr.f.inv(alfa, Gl. CMT, Gl. CME)

Si P es menor a alfa o Fc es mayor a Ft se rechaza Ho indicando que los efectos de los diferentes niveles del factor tienen efecto significativo en la respuesta.

Distr. F

NO RECHAZAR ZONA DE RECHAZoAlfa

La tabla de ANOVA final queda como sigue:

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ANOVA

TABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DEGRADOS DE CUADRADO VALOR F

CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Entre muestras (tratam.) SCTR c-1 CMTR CMTR/CME

Dentro de muestras (err.) SCE n-c CME

Variación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

Si las medias son diferentes se puede aplicar la prueba de Tukey o DMS como sigue:

PRUEBA DE TUKEY

Se utiliza para diseños balanceados (todos los tratamientos tienenasignado el mismo número de elementos)

Se utiliza el estadístico T

Se compara T vs la diferencia en valor absoluto de cada par de medias, si esta dif. Excede a T, las medias son diferenteso iguales en caso contrario. n = 16 r = 4

c = 4 Alfa=0.05Por ejemplo: 3.6 CME = 19.6875 T

Medias q.05,4,12= 4.2 9.31X1 = 145 !X1 - X2!= 0.25 X1=X2X2= 145.25 !X1-X3! = 12.75 X1<>X3X3= 132.25 !X1-X4!= 15.75 X1<>X4X4= 129.25 !X2-X3!= 13 X2<>X3

!X2-X4!= 16 X2<>X4!X3-X4!= 3 X3=X4

X4 X3 X1 X2 DMS =3.41

129.25 132.25 145 145.2

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ANOVA

DMS

MEDIAS MEDIAS IGUALES DIFERENTES

9.45

Otro método más conservador es el la DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVADMS

r=4F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME =12)

CME = 19.6875r= 4F.05,1,12 4.75

187.0313 46.75781 6.837968

Para el caso de diseños no balanceados se utiliza el método DMSpara comparar cada par de muestras

r j es el número de elementos asignados al tratamiento jr k es el número de elementos asignados al tratamiento k

Verificar si X1 = X2 y si X2 = X3 en el ejemplo de empleados.DMS 1,2 ? DMS 2,3 ?

Por ejemplo: 3.4F=3.34

Para comparar X1-X2 Alfa =.05r1 = 5 r2=4 X1=21.74 X2=21.5 CME=0.02571

DMS = 0.1965 X1-X2= 0.24

Se concluye que X1 y X2 son diferentes

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ANOVA

Utilizando los paquetes de Excel y Minitab se tiene:

Ejemplo 1:

Tres tipos distintos de motores de gasolina fueron probados para determinar cuánto tiempo son útiles antes de necesitar una reparación; si los tiempos de vida de los motores de cada tipo se distribuyen normalmente y tienen la misma varianza, haga una prueba usando para determinar si difieren las medias de vida útil antes de requerir una reparación. En la tabla aparecen los tiempos de vida útil, en decenas de miles de millas para cada tipo de motor.

A B C6 8 32 7 24 7 51 2 47 6 1

Mediante Minitab determinamos si las muestras provienen de una población Normal.

Seleccione en el menu para cada muestra:

Stat > Basic statistics > Normality test Variable – Columnas de datosTest for normality – Seleccionar Ryan Joiner OK Hay normalidad si P value es >=0.05.

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ANOVA

Analizando las gráficas nos damos cuenta de que las muestras provienen de poblaciones normales.

Si denotamos por las medias poblacionales de los tiempos de vida útil para los tipos A, B y C, respectivamente, entonces podemos escribir las hipótesis estadísticas como:

H1: Al menos dos medias poblacionales no son iguales.

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ANOVA

Procedimiento en Excel:

En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.

Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se inciará la presentación de resultados.

En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F2.41<3.88, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H0. No tenemos evidencia estadística para afirmar que los tiempos de vida útil de los motores, antes de requerir una reparación son diferentes.

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Análisis de varianza de un factor

RESUMENGrupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Columna 1 5 20 4 6.5Columna 2 5 30 6 5.5Columna 3 5 15 3 2.5

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de las variaciones Suma de cuadrados Grados de libertad Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico para F

Entre grupos 23.33333333 2 11.66666667 2.413793103 0.13150932 3.885290312Dentro de los grupos 58 12 4.833333333

Total 81.33333333 14

ANOVA

ANOVA en Minitab.

Utilice para calcular si difiere el rendimiento de los motores.

Seleccionar:

Stat > ANOVA > One Way (Unstacked) Response in separate columns A, B, C Seleccionar º! Store Residuals º! Store Fits Confidence level 95%

Graphs Seleccionar Normal plot of residuals

Comparisons Seleccionar Tukey’s Family error rate OK

Resultados:

La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo:

One-way ANOVA: A, B, C

Source DF SS MS F PFactor 2 23.33 11.67 2.41 0.132 Error 12 58.00 4.83Total 14 81.33

Como este valor P es mayor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula y A, B y C no tienen efecto en la respuesta.

S = 2.198 R-Sq = 28.69% R-Sq(adj) = 16.80%

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ANOVA

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev ------+---------+---------+---------+---A 5 4.000 2.550 (----------*----------)B 5 6.000 2.345 (----------*----------)C 5 3.000 1.581 (----------*----------) ------+---------+---------+---------+--- 2.0 4.0 6.0 8.0

Pooled StDev = 2.198

Los intervalos de confianza de los tres niveles A, B, C del factor se pueden traslapar por tanto sus efectos no son diferentes.

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 97.94%

A subtracted from:

Lower Center Upper ---------+---------+---------+---------+B -1.707 2.000 5.707 (----------*---------)C -4.707 -1.000 2.707 (---------*----------) ---------+---------+---------+---------+ -3.5 0.0 3.5 7.0

B subtracted from:

Lower Center Upper ---------+---------+---------+---------+C -6.707 -3.000 0.707 (---------*----------) ---------+---------+---------+---------+ -3.5 0.0 3.5 7.0

Como el cero pertenece al intervalo de confianza de las diferencias entre A y B; A y C y entre B y C no hay diferencia entre el efecto entre estos niveles.

A continuación se muestran los residuos y los valores estimados para la respuesta Y por el modelo:

RESI1 RESI2 RESI3 FITS1 FITS2 FITS32 2 0 4 6 3-2 1 -1 4 6 30 1 2 4 6 3-3 -4 1 4 6 33 0 -2 4 6 3

Donde cada residuo es Eij = Yij observado – Yij estimado Yij estimado es el promedio en cada columna.

Ejemplo 2: La tabla adjunta contiene el número de palabras escritas por minuto por cuatro secretarias de la universidad en cinco ocasiones diferentes usando la misma máquina.

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ANOVA

La gráfica de residuos es la siguiente, mostrando que el modelo es válido:

One-way ANOVA: A, B, C, D

Source DF SS MS F PFactor 3 52.2 17.4 0.20 0.892Error 16 1367.6 85.5Total 19 1419.8

Como el valor P de 0.892 es mayor a alfa de 0.05 no hay efecto en la respuesta cambiando los niveles del factor A, B, C y D.

S = 9.245 R-Sq = 3.68% R-Sq(adj) = 0.00%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev -------+---------+---------+---------+--A 5 73.800 7.190 (--------------*--------------)B 5 70.800 10.918 (--------------*--------------)C 5 75.200 5.450 (-------------*--------------)D 5 72.600 11.887 (--------------*--------------) -------+---------+---------+---------+-- 66.0 72.0 78.0 84.0

Pooled StDev = 9.245

Se pueden traslapar los intervalos de confianza de los niveles del factor, por tanto no hay diferencia significativa en sus efectos.

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ANOVA

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 98.87%

A subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-B -19.745 -3.000 13.745 (-------------*------------)C -15.345 1.400 18.145 (-------------*-------------)D -17.945 -1.200 15.545 (-------------*-------------) --------+---------+---------+---------+- -12 0 12 24

B subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-C -12.345 4.400 21.145 (-------------*-------------)D -14.945 1.800 18.545 (------------*-------------) --------+---------+---------+---------+- -12 0 12 24

C subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-D -19.345 -2.600 14.145 (-------------*-------------) --------+---------+---------+---------+- -12 0 12 24

En la prueba de Tukey como el cero pertenece a los intervalos de confianza de todas las diferencias entre niveles A, B, C y D, no hay diferencia entre sus efectos en la respuesta.

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ANOVA

ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES (ANOVA 2 VIAS)

En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora agregando el cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye la variable de bloqueo.

Ejemplo con Minitab o Excel del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de experimentos.

Problema 4.1Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se presentan las resistencias a la tención resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar α=0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.

Solución

  RolloYi.

Y (gran promedio)Agente

Químico 1 2 3 4 51 73 68 74 71 67 70.6 71.752 73 67 75 72 70 71.4  3 75 68 78 73 68 72.4  4 73 71 75 75 69 72.6  

Y.j 73.5 68.5 75.5 72.75 68.5    

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo

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  RolloAgente

Químico 1 2 3 4 51 73 68 74 71 672 73 67 75 72 703 75 68 78 73 684 73 71 75 75 69

Yijestimada (FITS)72.35 67.35 74.35 71.6 67.3573.15 68.15 75.15 72.4 68.1574.15 69.15 76.15 73.4 69.1574.35 69.35 76.35 73.6 69.35

Residuos (Eij)0.65 0.65 -0.35 -0.6 -0.35

-0.15 -1.15 -0.15 -0.4 1.850.85 -1.15 1.85 -0.4 -1.15

-1.35 1.65 -1.35 1.4 -0.35

ANOVA

RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 353 70.6 9.3Fila 2 5 357 71.4 9.3Fila 3 5 362 72.4 19.3Fila 4 5 363 72.6 6.8Columna 1 4 294 73.5 1Columna 2 4 274 68.5 3Columna 3 4 302 75.5 3Columna 4 4 291 72.75 2.916666667Columna 5 4 274 68.5 1.666666667

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de

las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de los

cuadrados

F Probabilidad Valor crítico para F

Filas 12.95 3 4.31666667 2.376146789 0.12114447 3.4902948Columnas 157 4 39.25 21.60550459 2.05918E-05 3.2591667Error 21.8 12 1.81666667      Total 191.75 19        

Para el caso de los agentes químicos que son los renglones:

La Ho. No se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.49 y el valor Fc calculado es de 2.37 por lo tanto no cae en la zona de rechazo.

Calculo del valor P 0.12114447

Por otro lado el valor P = 0.1211 es mayor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el no rechazo.

Para el caso de los rollos que son las columnas:

La Ho. se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.25 y el valor Fc calculado es 21.60 por lo tanto cae en la zona de rechazo.

Calculo del valor P 3.96618E-05

Por otro lado el valor P = 0.00003 es menor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el rechazo.

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ANOVA

Procedimiento en Excel:

En el menú herramientas seleccione la opción análisis de datos, en funciones para análisis seleccione análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos. Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados.

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo

RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 353 70.6 9.3Fila 2 5 357 71.4 9.3Fila 3 5 362 72.4 19.3Fila 4 5 363 72.6 6.8

Columna 1 4 294 73.5 1Columna 2 4 274 68.5 3Columna 3 4 302 75.5 3Columna 4 4 291 72.75 2.92Columna 5 4 274 68.5 1.67

ANÁLISIS DE VARIANZA

Fuente de Suma deGrados

de Cuadrados Fc ProbabilidadF

tablasvariación Cuadrados libertad medios Valor P

Filas 12.95 3 4.32 2.38 0.12 3.49Columnas 157 4 39.25 21.61 2.06E-05 3.26Error 21.8 12 1.82

Total 191.75 19        Total 231 24        

En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F2.38<3.49, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H0. No tenemos evidencia estadística para afirmar que el agente químico tenga influencia en la respuesta.

Sin embargo observamos que el rollo si tiene influenza significativa en la respuesta (P<0.05).

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ANOVA

ANOVA en Minitab.

Utilice para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los renglones.

Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a que renglón y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:

Resp Columna Fila73 1 173 1 275 1 373 1 468 2 167 2 268 2 371 2 474 3 175 3 278 3 375 3 471 4 172 4 273 4 375 4 467 5 170 5 268 5 369 5 4

Instrucciones:

Stat > ANOVA > One two Way Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar º! Display MeansSeleccionar º! Store Residuals º! Store Fits Confidence level 95%

Graphs Seleccionar Normal plot of residuals

OK

Resultados:

La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo:

Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que se está utilizando un modelo válido.

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ANOVA

Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo

Source DF SS MS F PAgente Químico 3 12.95 4.3167 2.38 0.121Rollo 4 157.00 39.2500 21.61 0.000Error 12 21.80 1.8167Total 19 191.75

S = 1.348 R-Sq = 88.63% R-Sq(adj) = 82.00%

Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la resistencia.

Individual 95% CIs For Mean Based onAgente Pooled StDevQuímico Mean ---+---------+---------+---------+------1 70.6 (----------*----------)2 71.4 (----------*----------)3 72.4 (----------*----------)4 72.6 (----------*----------) ---+---------+---------+---------+------ 69.6 70.8 72.0 73.2

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevRollo Mean --+---------+---------+---------+-------1 73.50 (-----*-----)2 68.50 (-----*-----)3 75.50 (-----*-----)4 72.75 (-----*-----)5 68.50 (-----*-----) --+---------+---------+---------+------- 67.5 70.0 72.5 75.0

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ANOVA

Se seleccionarían en 2º y 5º rollo ya que tienen los valores más pequeños.

Los Fits y los residuales coinciden con los valores determinados en Excel.

Resp Columna Fila RESI1 FITS1 RESI2 FITS273 1 1 0.65 72.35 0.65 72.3573 1 2 -0.15 73.15 -0.15 73.1575 1 3 0.85 74.15 0.85 74.1573 1 4 -1.35 74.35 -1.35 74.3568 2 1 0.65 67.35 0.65 67.3567 2 2 -1.15 68.15 -1.15 68.1568 2 3 -1.15 69.15 -1.15 69.1571 2 4 1.65 69.35 1.65 69.3574 3 1 -0.35 74.35 -0.35 74.3575 3 2 -0.15 75.15 -0.15 75.1578 3 3 1.85 76.15 1.85 76.1575 3 4 -1.35 76.35 -1.35 76.3571 4 1 -0.6 71.6 -0.6 71.672 4 2 -0.4 72.4 -0.4 72.473 4 3 -0.4 73.4 -0.4 73.475 4 4 1.4 73.6 1.4 73.667 5 1 -0.35 67.35 -0.35 67.3570 5 2 1.85 68.15 1.85 68.1568 5 3 -1.15 69.15 -1.15 69.1569 5 4 -0.35 69.35 -0.35 69.35

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