Análisis de Varianza (ANOVA)

9. Comparando más de dos medias. Análisis de Varianza.

Objetivos:• Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:9.1 Describir los elementos estadísticos de un diseño experimental.9.2 Definir el objetivo de un análisis de varianza.9.3 Formular hipótesis adecuadas para las diferentes situaciones.9.4 Describir la distribución de F.9.5 Construir la tabla de análisis de varianza.9.6 Calcular F e interpretar los resultados de la prueba de hipótesis.

Contenidos:9.1 Elementos del diseño de experimentos.9.2 Supuestos para la aplicación del análisis.9.3 Análisis de varianza simple.9.4 Análisis de varianza de dos vías.

SITUACION BASICA

Un factor ( tratamientos) Categórica

Una variable de respuesta: Cuantitativa

Pregunta principal: Las medias de cada grupo difieren o están “afectadas” por el tratamiento?

Número de grupos: El caso particular de dos grupos , utilizamos test de t

Número de grupos: Cuando son más de 2 grupos: Problema de las comparaciones multiples

COMPARACION DE MAS DE DOS MEDIASCOMPARACION DE MAS DE DOS MEDIAS

Cuando se comparan dos medias a nivel de significación ,

la probabilidad de cometer un error de tipo I es

Cuando se comparan de a dos a medias tenemos comparaciones posibles.

P(x=0)=(1-p)^n P(x>0)=1-[(1-p)^n]

Probabilidad de cometer un erro tipo I = 1-[(1-α) ]

Para 5 grupos tenemos 10 comparaciones posibles

Para un = 0,05 :

P(x>0)=1-[(1-0,05)^10]= 0,40

aC2

aC2

Una solución para este problema es la CORRECCION DE BONFERRONI :

aC2'

Suele ser excesivamente severa

En el ejemplo: 005,010

05.0'

HAY OTRAS ALTERNATIVAS: UNA DE ELLAS ES EL

ANALISIS DE LA VARIANZA

2

2

ˆ

ˆ

dentro

entre

s

sFc

bioestadistica

ANOVA (ANalysis Of Variance)ANOVA (ANalysis Of Variance)

FinalidadComparar simultáneamente

varias medias

Modelo I – efectos fijos

ijiijx

x

gruposA B C

A

B

C

Bj

B

Variación total

xBj

iijxiijx

iijiij xxxx xx

iijiiijiij xxxxxxx xxx 2222

ijijij ixijxixijx xx 222

En la población

iij

En la muestra

Elevando al cuadrado:

Sumando:

SC TOTAL SC ENTRE grupos

SC DENTRO de grupos (residual)

ijijij ixijxixijx xx 222

SC TOTAL SC ENTRE grupos

SC DENTRO de grupos (residual)

1

)(ˆ

2

2

a

xx

gl

SCentres ij

ij

entreentre

an

xx

gl

SCdentros ij

iij

dentroresidualodentro

2

2

)(ˆ

Recordar

MEDIAS DE CUADRADOSMEDIAS DE CUADRADOS ESTIMA

MC entre = SC entre/(a-1)a = no de grupos

tamaño medio del grupo

Mod I

MC dentro = SC dentro/(n-a )n = tamaño de la muestra total

1

22

an i

i

2Si Ho es verdadera : MC entre = MC dentro en la población

0::0 iiH α

HIPOTESIS

Modelo I

En general

iiH ::0

in

TEST DE HIPOTESIS

Fcalc = MC entre/ MC dentro

se compara con Ftab (a-1) y (n-a) grados de libertad

Supuestos para la validez del test

Normalidad de

los residuos (ij)Homocedasticidad de los residuos

Independencia de las observaciones

AC B

nT

n

Tentre SC

2

i i

2i n

Ttotal SC2

ij

2ij x

entre SCtotal SCdentro SC

j

ijxTi

ij

ijxT

i

inn

in

Donde: En el i-ésimo grupo

Tamaño del i-ésimo grupo

Gran total

Tamaño total de la muestra

170.0

0.2

0.4

0.0 1.5 3.0 4.5

f (x )

FUENTE DE VARIACION

SUMA DE CUADRADOS

GL MEDIA DE CUADRADOS

Fcalc

ENTRE GRUPOS

SC entre a-1

DENTRO DE GRUPOS

SC dentro n-a

TOTAL SC total n-1

1)(aentre SC

a)(ndentro SC dentro MC

entre MC

El Fcalculado se compara con

el Ftabulado con (a-1) y (n-a) GL

CALCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS

A B C D

4.4 8.6 3.4 8.9

5.9 4.5 7.3 0.0

6.2 8.4 8.8 1.7

6.3 8.7 0.2

0.1

Ti 22.8 30.2 19.8 10.6 T =83.4

ni 4 4 5 3 n = 16

162.477516283.4597.2total SC

39.108816

283.4

3

210.6

5

219.8

4

230.2

4

222.8entre SC

123.368739.1088162.4775entre SC total SCdentro SC

2.597ij

2ijx

iiH ::0

16 inn

4a

gl numerador (trat-1) gl denominador (n-trat)

FUENTE DE VARIACION

SUMA DE CUADRADOS

GL MEDIA DE CUADRADOS

Fcalc

ENTRE GRUPOS

39.1088 3 13.036 1.27

DENTRO DE GRUPOS

123.3687 12 10.281

TOTAL 162.4775 15F0.95(3, 12)= 3.49

Fcalc menor que Ftab No Se rechaza Ho

las medias no difieren entre sí

3

12

A B C2.6 3.2 2.42.4 3 2.82.9 2.8 2.52.6 2.9 2.72.7 3.3 2.52.9 3.1 2.92.5 3 2.42.8 3.4 2.62.5 3.2 2.23 3.2 2.6

-> trat = A | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+-------------------------------------------------------- | 10 2.69 .2024846 2.4 3

-> trat = B | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+-------------------------------------------------------- | 10 3.11 .1852926 2.8 3.4

-> trat = C | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+-------------------------------------------------------- | 10 2.56 .2065591 2.2 2.9

22

.53

3.5

gan

anci

a d

e pe

so (

kg)

A B C

(30 Preoperative Patients)

Ganancia de Peso por Tratamiento

. oneway x y,b Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F------------------------------------------------------------------------Between groups 1.65266668 2 .826333338 21.01 0.0000 Within groups 1.06200005 27 .039333335------------------------------------------------------------------------ Total 2.71466672 29 .093609197

Bartlett's test for equal variances: chi2(2) = 0.1124 Prob>chi2 = 0.945

Comparison of x by y (Bonferroni)Row Mean-|Col Mean | A B---------+---------------------- B | .42 | 0.000 C | -.13 -.55 | 0.463 0.000

Supuestos del ANOVA

• Observaciones Independientes.

• Distribución Normal.

• Varianzas Homogéneas.

Independencia de las Observaciones

• Con el fin de obtener inferencias válidas, resulta importante determinar si los errores se encuentran correlacionados.

• El supuesto más importante es la independencia de las observaciones, pues si no hubo asignación aleatoria de tratamientos a unidades experimentales, entonces los resultados pueden incluir un efecto persistente de factores no considerados en el análisis. Esto invalida el experimento

Normalidad• No es tan importante como la Independencia de

las Observaciones, pues el ANOVA es robusto. Esto quiere decir que, aunque las observaciones no sean normales, las medias de los tratamientos son aproximadamente normales debido al Teorema Central del Limite.

• Ante la falta de normalidad se puede optar por el uso de transformaciones o, como último recurso, el uso de métodos no paramétricos.

Homogeneidad de varianzas• Esta prueba resulta fundamental, pues cualquier situación

de heterogeneidad de las varianzas invalida las inferencias realizadas.

• Pueden existir grupos muy homogéneos y, en el caso de existir un grupo muy heterogéneo, sería posible no detectar diferencias entre los grupos con varianzas homogéneas por el efecto de la contribución a la varianza de ese grupo heterogéneo.

• Cuando existe el problema de heterogeneidad de varianzas, lo apropiado es emplear transformaciones o métodos no paramétricos.

Análisis de residuos

• Homogeneidad de Varianzas– Bartlett

• Normalidad– Kolmogorov-Smirnov

• Autocorrelación– Durbin-Watson

• Es importante mencionar que el empleo de estadística no paramétrica o el uso de transformaciones no elimina el problema de la falta de aleatoriedad (falta de independencia), es decir, la ejecución incorrecta de un experimento no tiene un remedio en la etapa del análisis.