2º GIA. CONTROL AUTOMÁTICO (Curso 2012-13)

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CONTROL DE UN SERVOMECANISMO DE POSICIÓN

1. OBJETIVOS En esta práctica, se pretende que el alumno tome contacto con un servomecanismo de posición real, mediante su identificación y control, al tiempo que se ponen de manifiesto aspectos de implantación y limitaciones físicas (ruidos, zonas muertas, saturaciones, etc.) que surgen al trabajar con equipos reales. 2. DESCRIPCIÓN DEL SERVOMECANISMO DE POSICIÓN En esta práctica de laboratorio, se va a controlar un servomecanismo de posición Feedback 33-100, el cual se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Servomecanismo de posición Feedback 33-100. Este sistema consta de las siguientes partes:

1. Motor de corriente continua, que acciona una determinada carga en forma de disco. Este disco se puede frenar de forma manual mediante un freno magnético. En este eje se aloja un tacogenerador, o sensor de velocidad, que proporciona una medida de la velocidad del eje.

2. Engranaje de relación 32:1 que transmite el movimiento del eje motor a una carga.

3. Carga cuya posición se desea controlar. Para ello, se dispone de un sensor óptico de posición

(encoder) que proporciona una medida de la posición angular. Así pues, el sistema consta de un motor accionado por su tensión de alimentación que arrastra, a través de un engranaje de carga. La velocidad de giro se mide en el propio eje del motor, mientras que el encoder de posición se encuentra en el eje de la carga. Este sistema se puede representar mediante el siguiente diagrama de bloques funcional.

Versión 0.1 (23-05-2013)

Figura 2: Diagrama de bloques funcional.

En este diagrama, U(t) representa la señal de tensión aplicada al motor, V(t) la velocidad del eje de la carga, mientras que P(t) representa el ángulo de posición del mismo. Tanto las señales medidas como la actuación corresponden a niveles de tensión comprendidos entre -10V y +10V. Las ecuaciones que modelan este sistema, despreciando el efecto de la inductancia del motor, se pueden expresar mediante el diagrama de bloques de la Figura 3.

Figura 3: Diagrama de bloques simplificado. En este caso, se ha supuesto elegido un punto de trabajo (o punto de equilibrio), a partir del cual se realizan experimentos mediante incrementos en torno a dicho punto:

)()(

)()(

tvVtV

tuUtU

eq

eq

De esta forma, u(t) representa la señal de tensión incremental aplicada al motor, v(t) la velocidad incremental del eje de la carga, mientras que p(t) representaría el ángulo de posición del mismo, también a nivel incremental. Hay que resaltar el hecho de que este modelo es una idealización, pues el sistema real presenta no linealidades tales como:

Zona muerta: el motor no responde cuando los valores de tensión aplicada están por debajo de un cierto límite. Esto se debe principalmente al efecto de la fricción de Coulomb.

Saturación de las señales involucradas. 3. SISTEMA DE IDENTIFICACIÓN Y CONTROL POR ORDENADOR Para identificar y controlar el sistema, se dispone de un PC con una tarjeta que convierte señales analógicas en señales digitales (conversión A/D) y señales digitales en señales analógicas (conversión D/A). La conversión A/D permite tomar valores de señales analógicas y convertirlos en formato digital para su procesamiento en el PC. Este proceso se denomina muestreo y se suele hacer de forma periódica con un periodo de muestreo pequeño. Obsérvese que esto permite transmitir al ordenador señales medidas del equipo, tales como la velocidad y posición. Así, mediante un programa que se ejecuta en el PC, se pueden tomar esos datos y calcular de forma numérica la tensión necesaria a aplicar sobre el motor para controlar el sistema; es decir, que de esta forma el PC puede implementar el controlador.

Por otro lado, la conversión D/A permite crear señales en el PC y transformarlas en señales analógicas. Gracias a esto, las actuaciones calculadas se pueden aplicar al motor de corriente continua y así se puede actuar sobre el sistema. El esquema de conexiones se muestra en la Figura 4 de forma esquemática y en la Figura 5 mediante una fotografía real.

Figura 4: Elementos físicos empleados para la identificación y control del sistema.

Figura 5: Fotografía del conexionado a emplear. Por otra parte, en lo que respecta al software, se dispone de un programa de identificación y control diseñado específicamente para esta práctica (llamado controlPIDmotor.vi), el cual ha sido programado con la herramienta LabView y presenta la interfaz de usuario mostrada en la Figura 6.

vp

u

Tarjeta A/D-D/A

Programa de

Control

vp

u

Tarjeta A/D-D/A

Programa de

Control

Figura 6: Interfaz de usuario implementada en Labview. Los distintos elementos que aparecen, de izquierda a derecha, y de arriba abajo, son los siguientes:

1. Período de muestreo del programa y puesta en marcha. El botón “ON” debe estar pulsado y, a continuación, pulsar sobre la flecha “RUN” para ejecutar el programa.

2. Selección del tipo de entrada aplicada al motor: escalón (“STEP”), senoidal (“FREQUENCY”), control PID de la velocidad de giro del motor (“PID VELOCIDAD”) o control PID de la posición del motor (“PID POSICION”). Además permite fijar los parámetros para: entrada escalón (amplitud) y entrada senoidal (amplitud, frecuencia en radianes por segundo y nivel de continua).

3. Representación en tiempo real de la señal aplicada a la entrada del motor. Será un escalón, senoide o señal de control en velocidad o posición, dependiendo de lo seleccionado en 2.

4. Tiempo transcurrido del experimento.

5. Representación en tiempo real de la velocidad del motor (en azul) y de la referencia de velocidad (verde). Nótese que la referencia de velocidad sólo tiene sentido en el caso en que se esté realizando un control de la velocidad de giro del motor.

6. Parámetros del controlador PID para control de la velocidad de giro: velocidad de giro deseada, acción proporcional (ganancia Kp), acción integral (tiempo integral Ti) y acción derivada (tiempo derivativo Td). Sólo se aplican si la opción “PID VELOCIDAD” está seleccionada en 2.

7. Representación en tiempo real del error entre la velocidad de giro deseada (referencia) indicada

en 6 y la velocidad de giro actual del motor.

8. Representación en tiempo real de la posición de la carga (verde) y de la referencia de posición (azul). Nótese que la referencia de posición sólo tiene sentido en el caso en que se esté realizando un control de la posición.

9. Parámetros del controlador PID para el control de la posición de la carga: posición deseada,

acción proporcional, acción integral y acción derivada. Sólo se aplican si la opción “PID POSICION” está seleccionada en 2.

10. Representación en tiempo real del error entre la posición deseada de la carga (referencia)

indicada en 9 y la posición actual de la carga.

11. Botón de Reset para poner a cero el término integral.

12. Botón de Antiwindup, que activa el mecanismo del mismo nombre, consistente en no integrar el error cuando la actuación esté saturando.

4. REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA La práctica se puede dividir en 3 partes:

1. En primer lugar, se realizará la identificación del sistema. Inicialmente, se identifican aspectos tales como la característica estática, los niveles de saturación y la zona muerta. Más adelante, se realizará la identificación del sistema en base a su respuesta escalón. Finalmente, la identificación se realizará en el dominio de la frecuencia.

2. En segundo lugar, se llevará a cabo el diseño de un controlador PI para el control en velocidad del servomotor.

3. Por último, se realizará el diseño de un controlador PD para el control de posición del servomotor.

4.1. IDENTIFICACIÓN DE LA CARACTERÍSTICA ESTÁTICA, SATURACIÓN Y ZONA

MUERTA 4.1.1. Identificación de la zona muerta En primer lugar, se pretende identificar la zona muerta, que no es otra cosa que los niveles mínimos de la señal de actuación requeridos para que el sistema responda. Partiendo de condiciones de reposo, se

identificarán dos umbrales, minzmU y max

zmU , a partir de los cuales el motor comienza a girar en sentido

negativo y positivo, respectivamente. Para este experimento, se deberán ir introduciendo pequeños escalones (seleccionando “STEP”) de amplitud creciente en la señal de control. Anote los valores obtenidos en el correspondiente apartado del Formulario de Respuesta. Como se ha dicho anteriormente, para poner en marcha un experimento, el botón “ON” debe estar pulsado y, a continuación, debe pulsarse sobre la flecha “RUN” para ejecutar el programa. Para finalizar el experimento, se conmuta el botón “ON” a “OFF”. Al realizar esta acción, de forma automática, aparecerá una pantalla un cuadro de diálogo que permite seleccionar el directorio y nombre de archivo donde registrar los datos del experimento, en caso de que así se desee. En la Figura 7, se ilustra esta acción.

Figura 7: Cuadro de diálogo para almacenamiento en archivo de los datos del experimento realizado. 4.1.2. Identificación de la característica estática En este apartado, se pretende ir barriendo el rango admisible de la señal de actuación,

V10,V10)( tU en forma de escalones de amplitud progresivamente mayor, a incrementos de ±1V

como máximo (ver tabla correspondiente en Formulario de Respuesta), y duración suficiente como para que la velocidad del motor alcance un régimen permanente. Cada uno de estos niveles de actuación se considerará un valor de equilibrio en la señal de entrada,

eqU ; por su parte, el correspondiente valor que

tome la salida en régimen permanente se denominará eqV . Como es sabido, la representación gráfica de

estos pares de valores, constituye la característica estática del sistema. Rellene en el Formulario de Respuesta la tabla de los puntos de equilibrio obtenidos, cubriendo ambos sentidos de giro. Asimismo, represente gráficamente en MATLAB la característica estática. 4.1.3. Identificación de la saturación Durante el experimento anterior, se habrá percatado de que, llegado un momento, por más nivel que apliquemos a la señal de control, no se produce un incremento en la velocidad de giro del motor. Diremos que se ha alcanzado la saturación en la actuación. Pese a que estos valores ya puedan estar registrados en la tabla obtenida en el punto anterior, indique en el

Formulario de Respuesta, el nivel de saturación, tanto negativo como positivo ( minsatU y max

satU ,

respectivamente), y de los valores de la velocidad de giro con los que se corresponden ( minsatV y max

satV ).

4.1.5. Identificación de función de transferencia mediante respuesta escalón En esta parte de la práctica, se van a identificar los parámetros del modelo del motor para obtener la función de transferencia del sistema en bucle abierto. Para ello, en primer lugar, debe elegirse un punto de operación concreto, dentro del rango registrado en la característica estática. Debe elegirse un punto cualquiera que se encuentre claramente fuera de zona muerta y de la saturación. El valor de la actuación en el punto de trabajo elegido se fijará como valor de una entrada de tipo escalón para un nuevo experimento. A continuación, una vez que la salida haya alcanzado el equilibrio correspondiente, incremente la entrada en torno a un 20% del rango positivo de la actuación (del orden de 1.5V a 2V):

)()( tuUtU eq

asegurándose de que, nuevamente, las regiones no lineales de saturación y zona muerta no interfieren con el experimento. Almacene los datos del experimento en un archivo, tal y como se ilustró en la Figura 7. A continuación, se cargarán en MATLAB los datos para su análisis, usando la siguiente secuencia de comandos: >> load nombre.extension % para guardar los datos en una matriz llamada nombre % la matriz tiene 4 filas con los datos del experimento % la primera tiene la señal de control u % la segunda la salida en velocidad v (CANAL 0) % la tercera la salida en posición p (CANAL 1) % la cuarta el vector de tiempos t

% a continuación se separan en variables distintas >> u = nombre(1,:); >> v = nombre(2,:); >> p = nombre(3,:); >> t = nombre(4,:);

Puede resultar más cómodo escribir los cuatro comandos anteriores en una misma línea. Una vez separadas las distintas variables, se pueden representar usando el comando: >> plot(t,u,t,v,t,p);

A continuación, a la vista de la representación gráfica de los resultados del experimento, se realizará la identificación de los parámetros de la función de transferencia de respuesta en velocidad:

Figura 8: Función de transferencia del sistema en velocidad. Donde )(su es la transformada de Laplace de la señal incremental aplicada a la entrada, )(tu .

Análogamente para la señal de salida en velocidad, )(tv . Compare gráficamente usando MATLAB la respuesta ante escalón del sistema real y de la función de transferencia teórica identificada. Si bien se ha hecho la identificación anterior partiendo de un punto de operación concreto, el sistema que nos ocupa es bastante lineal (fuera de las regiones de saturación y zona muerta, claro está), de forma que podremos hacer uso de este mismo modelo en puntos de operación bien diferentes. Para completar la identificación de la función de transferencia, considerando la salida en posición, es

necesario identificar la ganancia del integrador, 2K . Esta ganancia, en esencia, es debida a la relación de

engranajes existente entre el eje del motor el eje del encoder usado para medir el ángulo.

Figura 9: Función de transferencia del sistema en posición. Indique en el Formulario de Respuesta los valores de los tres parámetros del modelo. 4.1.6. Obtención de la respuesta frecuencial1 Una vez identificado el sistema, puede obtenerse en MATLAB el diagrama de Bode teórico del sistema de primer orden (respuesta en velocidad) y se identifican las frecuencias de interés. A la vista del Bode teórico, reflexione sobre qué frecuencias pueden resultar interesantes, seleccionando, en particular, tres valores de frecuencia. Conocidas esas frecuencias, se obtendrán los puntos correspondientes del Bode de forma experimental. Para ello, realizaremos un nuevo experimento en el que la señal de actuación del sistema será de tipo senoidal (seleccionar “FREQUENCY”) y fijar la frecuencia (en rad/s) a cada una de las frecuencias de interés, el valor del OFFSET coincidiendo con el valor de la actuación en el punto trabajo (

eqU ) y la

amplitud que haga que el motor no cambie de sentido (e incluso que evite la zona muerta) ni sature en velocidad. Para una mayor efectividad en este apartado, se puede aprovechar un mismo experimento para introducir sucesivamente todas las frecuencias con las que se quiera ensayar. Con los datos obtenidos, se vuelve a MATLAB y, tras cargar los datos del experimento, se mide la relación de amplitudes y el desfase entre la onda senoidal de entrada y de salida. La gráfica de la Figura 10 pretende recordar la forma de estimar la ganancia y el desfase de un sistema lineal para una cierta frecuencia.

Figura 10: Obtención de ganancia y fase de la respuesta frecuencial para una determinada frecuencia. 1 Puede resultar conveniente realizar este apartado en último lugar.

Como se ve, la ganancia para una determinada frecuencia, 0 , se mide como el cociente entre la amplitud

de la salida y la de la entrada. Para expresarla en decibelios:

B

AjG

dBv 100 log20)(

Por su parte, el desfase que medimos en la gráfica está en unidades temporales y hemos de pasarlo a grados para hacerlo compatible con la representación habitual del Bode. Como es sabido, para esto usamos la siguiente relación:

/180)/()()(º)(arg 0 sradfsegjGv Complete en el Formulario de Respuesta los valores solicitados, en relación con la respuesta frecuencial. Asimismo, realice la representación conjunta del Bode experimental sobre el teórico. 4.2. DISEÑO DE CONTROLADOR PI PARA CONTROL EN VELOCIDAD Se pretende controlar la velocidad de giro del motor de forma que se minimice el error al alcanzar la velocidad de giro deseada y se reduzca el tiempo necesario para alcanzar dicha velocidad deseada. Para ello se utilizará un control PI, cuyos parámetros se calcularán de forma que:

El cero del PI sea igual al polo del sistema. A esta técnica se le denomina cancelación de dinámica y debe tenerse en cuenta que sólo es aplicable cuando los polos a cancelar son estables.

La constante de tiempo del sistema en bucle cerrado sea la mitad de la del sistema sin compensar:

5.0BC

Se recuerda que la forma en la que se calcula la señal de actuación en un controlador PID genérico es la siguiente:

t

idp e

T

e(t)TteKtu

0

d)(1

dt

d)()(

Como se ve, tiene tres términos, proporcional, derivativo e integral. En el caso particular que nos ocupa, sólo tendremos término proporcional e integral, al tratarse de un PI. Se recuerda que la forma de la función de transferencia de un controlador PI es la siguiente:

sT

sTKsC

i

ip

1)(

Una vez calculados analíticamente los parámetros del PI, se introducen en la parte correspondiente de la pantalla (zona 6), poniendo Td a cero y seleccionando “PID VELOCIDAD” en el tipo de entrada (zona 2 de la pantalla). A la hora de fijar valores de referencia en velocidad que sean asequibles, resulta conveniente tener a la vista la característica estática que se obtuvo en los primeros apartados. Se valorará, a continuación, si el controlador diseñado consigue que el sistema controlado cumpla, efectivamente las especificaciones; en particular, la referente a la velocidad de respuesta. En caso de no ser así, sugiera en base a la intuición y a la experimentación, un reajuste de los parámetros del controlador para cumplir con las especificaciones.

Finalmente, se probará la eficacia del controlador diseñado mediante una serie de experimentos, en los cuales la referencia del sistema en bucle cerrado tenga escalones en distintas zonas, diferentes a la zona nominal, en base a la cual se realizó el modelado del sistema. En el Formulario de Respuesta, deberán completarse los datos solicitados del controlador PI, tanto para el caso de los valores iniciales obtenidos analíticamente, como los valores ajustados a posteriori con los que se haya conseguido, en su caso, una respuesta mejorada. Asimismo, se indicarán los tiempos de subida alcanzados en BC. Finalmente, se cambiará la referencia de manera que se produzca una saturación significativa en la actuación y se volverá a dar una referencia alcanzable para ilustrar el efecto de la saturación del término integral (efecto denominado windup). Aquí es donde puede ensayarse el botón Reset comentado anteriormente (ítem nro. 11 en Figura 6). 4.3. DISEÑO DE CONTROLADOR PD PARA CONTROL EN POSICIÓN En este apartado, se pretende diseñar un controlador de tipo PD para que la posición del motor se ajuste a una referencia dada. Las especificaciones son:

El cero del PD sea igual al polo del sistema. Como vemos, nuevamente, se recurre a la cancelación de dinámica.

La constante de tiempo del sistema en bucle cumpla la siguiente relación con la de bucle abierto en velocidad:

BC

Se recuerda que la forma de la función de transferencia de un controlador PD es la siguiente:

sTKsC dp 1)( Una vez calculados analíticamente los parámetros del PD, se introducen en la parte correspondiente de la pantalla (zona 9) y se selecciona seleccionar “PID POSICIÓN” en el tipo de entrada (zona 2). Dado que no tenemos efecto integral en nuestro controlador, fijaremos el parámetro parámetro Ti a un valor muy elevado, que haga que el término integral en la ley de control sea despreciable. Intente evitar fijar una referencia de posición cercana al final de recorrido del encoder, donde se reinicia la medida del ángulo. Nuevamente, deberán completarse en el Formulario de Respuesta los datos solicitados del controlador PD diseñado y el tiempo de subida obtenido en BC con dicho controlador. Probablemente, se observará que, debido a la zona muerta, el sistema puede presentar una respuesta sustancialmente más lenta de la esperada2. A continuación, se modificarán los parámetros del controlador con idea de lograr una respuesta lo más rápida posible en BC, intentando evitar saturaciones significativas en la actuación (en particular, se fijarán escalones en posición de -2V a 2V y viceversa). Indique en el Formulario de Respuesta, los nuevos valores de los parámetros del controlador, así como el nuevo tiempo de subida logrado en BC. Finalmente, se puede ensayar el efecto de amplificación del ruido que se hace patente cuando aumentamos excesivamente el valor del tiempo derivativo. Por otra parte, también pueden ensayarse los efectos de perturbaciones mediante la aplicación del freno magnético.

2 Téngase en cuenta que, durante los experimentos de control en posición, en los tramos finales del transitorio, se está controlando a velocidades bajas, con lo cual, la interferencia de la zona muerta puede ser significativa. Un aumento sustancial de la ganancia del controlador puede ayudar a paliar este efecto.

2º GIA. CONTROL AUTOMÁTICO (Curso 2012-13)

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CONTROL DE UN SERVOMECANISMO DE POSICIÓN

FORMULARIO DE RESPUESTA

GRUPO DNI APELLIDOS, NOMBRE

4.1.1. Identificación de la zona muerta

maxzmU (V) min

zmU (V)

4.1.2. Identificación de la característica estática

eqU (V) eqV (V)

+10

+1

+0.5

maxzmU 0

0 0

minzmU 0

-0.5

-1

-10

Debe interpretarse como un valor positivo muy

pequeño. A efectos prácticos, puede tomarse 0 .

El punto de la tabla 5.0eqU podrá obviarse, en

caso de que el valor correspondiente de la zona muerta

lo supere (análogamente para 5.0eqU ).

No olvide representar gráficamente la característica estática en MATLAB. No será necesario incluir dicha gráfica en este formulario. Sin embargo, deberá mostrarse al profesor.

Versión 0.1 (23-05-2013)

4.1.3. Identificación de la saturación

maxsatU (V) max

satV (V) minsatU (V) min

satV (V)

4.1.5. Identificación de función de transferencia mediante respuesta escalón

Indique en la tabla, el punto de operación elegido, la amplitud del escalón empleada ( U ) y los valores estimados para los parámetros de la función de transferencia.

eqU (V) eqV (V) U (V) 1K (s) 2K

Represente gráficamente, con ayuda de MATLAB, la comparativa entre la respuesta de la función de transferencia en velocidad teórica y la obtenida experimentalmente. Dicha gráfica deberá mostrarse al profesor, si bien no es necesario incluirla en este formulario.

4.1.6. Obtención de la respuesta frecuencial

Frecuencia(rad/s)

Amplitud onda de entrada

(V)B

Amplitud onda de salida

(V)A

Ganancia en dB

dBjG )(

Desfase en segundos

(seg)

Desfase en grados )(º)(arg jG

Represente gráficamente, con ayuda de MATLAB, la comparativa entre la respuesta frecuencial teórica y los puntos obtenidos experimentalmente. Dicha gráfica deberá mostrarse al profesor, si bien no es necesario incluirla en este formulario.

4.2. Diseño de controlador PI para control en velocidad

Especificación Cálculo inicial Reajuste BCsdes

t pK iT BCst pK iT

BCst

4.3. Diseño de controlador PD para control en posición

Especificación Cálculo inicial Reajuste BCsdes

t pK dT BCst pK dT

BCst