Trabajo Practico 2Calculo 3. FCEN. UNCuyo

Nociones de Topologa. Funciones Continuas y Analticas

(1) Sea D(a, r) el disco de centro a y radio r definido por:

D(a, r) = {z C : |z a| < r}.Probar que D(a, r) es un conjunto abierto.

(2) Mostrar que el conjunto:

{z C : Re z > 0}es un conjunto abierto.

(3) Mostrar que el conjunto unipuntual {z0} es un conjunto cerrado.(4) Indicar cuales de los siguientes conjuntos son conexos y cuales son compactos:

(a) {z C : 1 |z| 2}(b) {z C : |z| 3 , |Re z| 1}(c) {z C : |Re z| 1}

(5) Hallar el siguiente lmite:limz0|z|2.

Existe el lmite de esta funcion cuando z tiende a un punto z0 6= 0?(6) En cada caso, determinar los puntos singulares de la funcion y explicar por que la

funcion es analtica en todas partes excepto en esos puntos:

(a)2z + 1

z(z2 + 1)

(b)z3 + i

z2 3z + 2(c)

z2 + 1

(z + 2)(z2 + 2z + 2)(7) Verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la funcion: f(z) = z2 3z + 2.(8) Considere la funcion:

f(z) =

{(z)2

z, si z 6= 0.

0 si z = 0

Es f continua en z = 0? Ademas, si es continua, estudiar si la parte real de f , u, yla parte imaginaria de f , v, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0.Existe f (0)?.

(9) Probar que si f : A C, A C abierto, es analtica y si |f(z)| = k C for allz A, entonces f es constante.

(10) Probar que si f(z) = Re z, entonces f (z) no existe en ningun punto.(11) Verificar que u es armonica en algun dominio y encontrar una armonica conjugada

v:(a) u(x, y) = 2x(1 y)

1

2(b) u(x, y) = senh x sen x

(c) u(x, y) =y

x2 + y2

(12) Probar que si v y V son armonicas conjugadas de una misma funcion u, entonces vy V difieren por una constante.

(13) Si v es una armonica conjugada de u es un dominioD, y u es una armonica conjugadade v, entonces u y v deben ser funciones constantes en D.

(14) Usando el sistema de coordenadas polares, mostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en forma polar de la siguiente manera:

u

r=

1

r

v

,

v

r= 1

r

u

.

(15) Sea:

f(z) =z + 1

z 1 .Donde es f analtica? Es f conforme en z = 0? Identificar las imagenes de los ejesx e y bajo la funcion f . Cual es el angulo de interseccion de estas curvas ?

(16) Identificar el conjunto en donde las siguientes funciones son armonicas:(a) u(x, y) = Im (z2 + 3z + 1)(b) u(x, y) = Im (z + 1/z)

(17) Si f : A C es analtica y u : B R es armonica, con f(A) B, mostrar queu f : A R es armonica.

(18) (a) Mostrar que u(x, y) = excos y es armonica en todo el plano.(b) Encontrar una armonica conjugada v(x, y) de u(x, y) tal que v(0, 0) = 0.(c) Deducir que f(z) = ez es analtica en C.