1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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FUNCIONES

El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x).

Dom f(x) = {x ∊ R | existe y = f(x) ∊ R }

El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A).

Rec f(x) = {y ∊ R | existe x ∊ Dom f(x) con f(x) = y}

Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A (conjunto original) le corresponde un único elemento de B (conjunto final), de la siguiente forma:

f: A B x y = f(x)

y es la imagen por f de xx es la antiimagen de y por f

Dada una función, f, para cada valor x ∊ A, existe un único elemento y = f(x) ∊ B. La afirmación inversa no siempre es cierta.

Si f: A B y A y B son subconjuntos de R, la función se denomina función real de variable real.

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CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Funciones polinómicas

f(x) = p0 + p1x + p2x2 + … + pnxn

Dom f(x) = R

Funciones racionales f(x) =

Dom f(x) = {x ∊ R | q(x) ≠ 0}

p(x)q(x)

Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente para distintos valores reales. El dominio se determina uniendo los diferentes subconjuntos para los cuáles está definida.

Ejemplo: dom f(x) = (-∞, 2] U (5, +∞)

Funciones irracionales f(x) =

• Si n es par Dom f(x) = {x ∊ R | g(x) ≥ 0}

• Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x)

ng(x)

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CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas.

Rec f(x) = R – {0} Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1]

Rec f(x) = Z Rec f(x) = {-2} U [-1, 12 ] Rec f(x) = (-∏2 , ∏2 )

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CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I)

Signo de una función

Se trata de determinar para qué valores de su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0.

• f(x) > 0 si su gráfica está situada por encima del eje de abscisas• f(x) < 0 si su gráfica está situada por debajo del eje de abscisas ｷ

• f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≥ f(x1). En caso de que f(x2) > f(x1), la función es estrictamente creciente.

MonotoníaEs la variación de la función con respecto a la variable independiente x.

• f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≤ f(x1). En caso de que f(x2) < f(x1), la función es estrictamente decreciente.

Periodicidad

Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f

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CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II)

Acotación

• Función acotada superiormente f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función • Función acotada inferiormente f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función• Función acotada |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente)

Simetrías

• Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas

• Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Potenciación de funciones

• (fg)(x) = [f(x)]g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f

• Dom fg = Dom f Dom g

Multiplicación de funciones

• (f · g)(x) = f(x) · g(x)

• Dom (f · g) = Dom f Dom g

• Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 1 (f1) y distributiva respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h]

Adición de funciones

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• Dom (f + g) = Dom f Dom g

• Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 0 y elemento opuesto –f

Resta de funciones

• (f - g)(x) = f(x) + g(x)

• Dom (f - g) = Dom f Dom g

División de funciones

Dom fg = {Dom f Dom g} – {x Dom g | g(x) = 0}

fg (x) = f (x)

g(x)

Composición de funciones

• f compuesta de g (g ◦ f)

x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x)

• Dom (g ◦ f) = Dom f f-1 (Dom g)

f g

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FUNCIÓN INVERSA

• Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su recorrido son todos los números reales [Rec f = R]

• Función biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo

• Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b

Cálculo de la función inversa

El procedimiento es el siguiente:

• Se hace que f(x) = y

• Se intercambian x e y

• Se despeja y en función de x

Dada una función inyectiva f(x), se denomina función inversa, f-1(x), a aquella que cumple lo siguiente:

(f ◦ f-1)(x) = (f-1 ◦ f)(x) = x

La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x.