Julio Cesar Rodríguez Luna

Ecuación de onda de potencial escalar Hertziano

Para realizar lo que se nos pidió de tarea, comenzaremos tomando que el rotacional de A es igual a B, expresando A en términos de E:

∇×(E+ ∂ Adt )=0

E=−( ∂ Adt +∇∅ )El termino

∂ Adt es el inducido por una porción de la Fem de E que -∇∅ es el gradiente de

potencial de una corriente de flujo en un medio resistivo.

∇×∇× A+με {∂2 A∂ t 2 +∇( ∂∅∂t )}=μJEl campo eléctrico E en la ecuaciones anteriores produce corriente en un medio conductivo

J=σE=−σ ( ∂ A∂ t +∇∅ )Sustituyendo J en la ecuación anterior tenemos

∇ (∇ ∙ A )−∇2 A+με {∂2 A∂ t 2 +∇( ∂∅∂ t )}+μσ (( ∂ A∂ t )+∇∅ )=0La ecuación de estado que ∇.D=Q que es la densidad de carga. Usando esta para eliminar E en la ecuación anterior.

∇2∅+∇ ∙( ∂ A∂ t )=−Q /ε

Usando la condición de Lorentz

∇ ∙ A=−(με ∂∅∂ t +μσ ∅ )∇2 A−με ∂

2 A∂t 2

−μσ ∂ A∂ t

=0

∇2∅−με ∂2∅∂ t2

−μσ ∂∅∂t

=−Q / ε

Entonces tenemos el par de potenciales, uno vectorial y otro escalar, en un medio homogéneo satisface la ecuación de onda como a los campos.

El vector potencial Hertz Π es disponible para definir el campo electromagnético. Esto es definido en términos de A y ∅ entonces:

A=με ∂ Π∂t

+μσ Π

∅=−∇ ∙Π

Siguiendo una manipulación similar para A y ∅ nosotros llegamos a la expresión

∇2Π−με ∂2Π∂t 2

−μσ ∂ Π∂t

=K

La evaluación de K depende de las condiciones del sistema, debe anotarse que −ρε 0

. Estos

potenciales proveen herramientas matemáticas convenientes para determinar varios campos electromagnéticos.