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x= asenhvcosØcoshv−cosu

y= asenhvsen∅coshv−senu

z= asenucoshv−cosu

r=x i+ y j+ zk

i= 1hu

∂ x∂ u

u°+1hv

∂ x∂ v

v°+1

h∅

∂ x∂∅

∅ °

j= 1hu

∂ y∂u

u°+1hv

∂ y∂ v

v°+1

h∅

∂ y∂∅

∅ °

k= 1hu

∂ z∂u

u°+1hv

∂ z∂ v

v°+1h∅

∂ z∂∅

∅ °

hu2=hv

2= a(coshv−cosu)2

h∅2= a2 senh2 v

(coshv−cosu)2

La derivada parcial respecto a x

∂ x∂ u

=−senu (asenhucos∅ )

( coshv−cosu )2=−asenucos∅ senhv

(coshv−cosu )2

∂ x∂ v

=−senu(asenhvcos∅ )

(coshv−cosu )2+

acos∅ coshv (coshv−cosu)(coshv−cosu)2

=acos∅ (1−coshvcosu)

(coshv−cosu)2

∂ x∂∅

=−asenhvsen∅coshv−cosu

Derivada parcial respecto a y

∂ y∂u

=−senu(asenhvsen∅ )

(coshv−cosu)2=−asenusen∅ senhv

(coshv−cosu)2

∂ y∂ v =

acoshvsen∅ (coshv−cosu )−senhv (asenhvsen∅ )¿¿

∂ y∂∅

= asenhvcos∅coshv−cosu

Derivada parcial respecto a z

∂ z∂u =

acosu (coshv−cosu )−senu (asenu)(coshv−cosu)2

=a(cosucoshv−1)

¿¿

∂ z∂ v

=−senhv (asenu)(coshv−cosu)2

= −asenhvsenu(coshv−cosu)2

∂ z∂∅

=0

Ahora reemplazamos en

i= coshv−cosua [−asenucos∅ senhv

(coshv−cosu )2 ] u°+coshv−cosu

a [ acos∅ (1−coshvcosu)(coshv−cosu )2 ] v°

+coshv−cosuasenhv [−asenhvsen∅

coshv−cosu ]∅ °

i=−senucos∅ senhvcoshv−cosu

u°+cos∅ (1−coshvcosu )

coshv−cosuv°−sen∅ ∅°

j= coshv−cosua [−asenusen∅ senhv

(coshv−cosu )2 ] u°+coshv−cosu

a [asen∅ (1−coshvcosu )(coshv−cosu )2 ] v°

+coshv−cosuasenhv [ asenhvcos∅

coshv−cosu ]∅ °

j=−senusen∅ senhvcoshv−cosu

u°+sen∅ (1−coshvcosu)

coshv−cosuv°+cos∅ ∅°

k=coshv−cosu

a [ a ( cosucoshv−1 )(coshv−cosu)2 ] u°+

coshv−cosua [ −asenhvsenu

( coshv−cosu )2 ] v°

+coshv−cosuasenhv

[0 ] ∅ °

k= cosucoshv−1coshv−cosu

u°−senusenhv

coshv−cosuv°

Entonces ahora

x i= asenhvcos∅coshv−cosu [−senucos∅ senhv

coshc−cosuu°+

cos∅ (1−coshvcosu)coshv−cosu

v°−sen∅ ∅° ]

x i=−asenucos2∅ senh2 v(coshv−cosu )2

u°+asenhv cos2∅ (1−coshvcosu)

(coshv−cosu)2v°−

asenhvcos∅ sen∅coshv−cosu

∅ °

y j= asenhvsen∅coshv−cosu [−senusen∅ senhv

coshv−cosuu°+

sen∅ (1−coshvcosu)coshv−cosu

v°+cos∅ ∅ °]

y j=−asenu sen2∅ senh2 v(coshv−cosu )2

u°+asenhv sen2∅ (1−coshvcosu)

(coshv−cosu )2v°+

asenhvcos∅ sen∅coshv−cosu

∅ °

z k= asenucoshv−cosu [ cosucoshv−1

coshv−cosuu°−

senusenhvcoshv−cosu

v°]z k=

asenu (coshvcosu−1)(coshv−cosu)2

u°−a sen2usenhv

(coshv−cosu)2v°

Con todo esto obtenido reemplazar en el vectorr

r=[−asenu senh2 v (cos2∅+sen2∅ )(coshv−cosu )2

+asenu (coshvcosu−1 )

(coshv−cosu )2 ]u°

+[asenhv (1−coshvcosu ) (cos2∅+sen2∅ )(coshv−cosu )2

− a sen2 senhv(coshv−cosu )2 ] v°

+[ asenhvcos∅ sen∅coshv−cosu

−asenhvcos∅ sen∅coshv−cosu ]∅ °

r=−a senh2vsenu+senucoshvcosu−asenu( coshv−cosu )2

u°

+asenhv−acosucoshvsenhv−a sen2usenhv(coshv−cosu )2

v°

r=−asenucosh2 v+asenucoshvcosu(coshv−cosu)2

u°+asenhv cos2u−acosucoshvsenhv

(coshv−cosu )2v°

r=−asenucoshv(coshv−cosu)¿¿

r=−asenucoshvcoshv−cosu

u°−acosusenhvcoshv−cosu

v°

Calculo de la velocidad en coordenadas toroidales

r= −asenucohv(coshv−cosu)

u°−asenhvcosu

(coshv−cosu)v° ……….(1)

u°=−senhvcos∅ senu

(coshv−cosu)i− senhvsen∅ senu

(coshv−cosu)j+ cosucoshv−1

(coshv−cosu)k

v°=cos ∅ (1−coshvcosu)

(coshv−cosu)i+ sen∅ (1−coshvcosu)

(coshv−cosu)j− senusenhv

(coshv−cosu)k

∅ °=−sen∅ i+cos∅ j

Calculamos ˙u°

˙u°=[ senhvcos∅ (1−cosucoshv )(coshv−cosu )2

u+cos∅ senu (coshvcosu−1)

(coshv−cosu )2v+ senhvsen∅ senu

(coshv−cosu)∅ ]i

+[ senhvsen∅ (1−cosucoshv )(coshv−cosu )2

u+sen∅ senu (coshvcosu−1 )

(coshv−cosu )2v− senhvcos∅ senu

(coshv−cosu )∅ ] j

+[ −senu senh2v(coshv−cosu )2

u+ senhv sen2u(coshv−cosu )2

v ] k˙u°=

senhv(coshv−cosu ) [ cos∅ (1−cosucoshv)

(coshv−cosu )i+ sen∅ (1−coshvcosu )

( coshv−cosu )j− senusenhv

( coshv−cosu )k ]u

−senhv(coshv−cosu ) [ cos∅ (1−cosucoshv)

(coshv−cosu )i+ sen∅ (1−coshvcosu )

(coshv−cosu)j− senusenhv

(coshv−cosu )k ] v

−senhv(coshv−cosu )

[−sen∅ i+cos∅ j ] ∅

Calculamos ˙v°

˙v°=[ cos∅ senu senh2 v(coshv−cosu )2

u− cos∅ senhv sen2u(coshv−cosu )2

v− sen∅ (1−coshvcosu )(coshv−cosu )

∅ ] i+[ sen∅ senusenh2 v

(coshv−cosu )2u− sen∅ senhv sen2u

(coshv−cosu )2v+ cos∅ (1−coshvcosu )

(coshv−cosu )∅ ] j

+[ senhv (1−cosucoshv )(coshv−cosu )2

u+senu (cosucoshv−1 )

(coshv−cosu)2v ] k

˙v°=−senhv

(coshv−cosu ) [−cos∅ senusenhv(coshv−cosu )

i− sen∅ senusenhv(coshv−cosu )

j+ cosucoshv−1(coshv−cosu )

k ] u+senhv

(coshv−cosu ) [−cos∅ senhvsenu(coshv−cosu )

i− sen∅ senhvsenu(coshv−cosu )

j+ cosucoshv−1(coshv−cosu )

k ] v

+ (1−coshvcosu )(coshv−cosu )

[−sen∅ i+cos∅ j ] ∅

Calculamos la velocidad en coordenadas toroidales

V= ˙r

˙u°=senhv

(coshv−cosu )u u°−

senhv(coshv−cosu )

v v°−senhvsenu

(coshv−cosu )∅ ∅ °

˙v°=−senhv

(coshv−cosu )u u°+

senhv(coshv−cosu )

v v°+(1−coshvcosu)(coshv−cosu )

∅ ∅ °

Derivado la ecuación (1) respecto al tiempo

V=[−acosucoshv (coshv−cosu )+asenucoshvsenu( coshv−cosu )2

u

−asenusenhv (coshv−cosu )+asenucoshvsenhv

(coshv−cosu )2v ] u°

+(−asenucoshv(coshv−cosu) )[( senhv

( coshv−cosu )u−

senu( coshv−cosu )

v) v°−senhvsenu

(coshv−cosu)∅ ∅° ]

+[ asenhvsenu (coshv−cosu )+asenhvcosusenu(coshv−cosu)2

u

−acoshvcosu (coshv−cosu )+asenhvcosusenhv

(coshv−cosu )2u] v°

+(−asenhvcosu(coshv−cosu ) )[( −senhv

( coshv−cosu )u+

senu(coshv−cosu )

v )u°+1−coshvcosu( coshv−cosu )

∅ ∅°]V=⌈−acosucosh2 v+acoshv

(coshv−cosu )2u+ asenusenhvcosu

(coshv−cosu )2v ⌉ u°

+¿

+⌈ asenhvsenucoshv(coshv−cosu )2

u+ acoshv cos2u−acosu(coshv−cosu )2

v ⌉ v°+¿

⌈ a senh2vcosu(coshv−cosu )2

u−asenusenhvcosu(coshv−cosu )2

v ⌉ u°+¿

[ asenhvcoshv cos2u−asenusenhvcosu(coshv−cosu)2 ]∅ ∅ °

Separamos en sus componentes toroidales

V u°=[−acosucosh2 v+asenh2 vcosu

(coshv−cosu )2 ] u [asenusenhvcosu−asenusenhvcosu( coshv−cosu )2 ] v

V u°= a

(coshv−cosu )u

V v °=[ asenhvsenucoshv−asenhvsenucoshv

(coshv−cosu )2 ] u+[ a sen2ucoshv+acoshv cos2u−acosu(coshv−cosu )2 ] v

V ∅ °=[ a sen2usenhvcoshv+asenhvcoshv cos2u−asenhvcosu

( coshv−cosu )2 ]∅¿ [ asenhvcoshv−asenhvcosu

(coshv−cosu )2 ]∅

Entonces la velocidad es:

Hallando el potencial

E (w ,t )= e4 π ϵ ° [ n−B

γ2 (1−B∙ n )3 R ]ret

+e

4 π ϵ ° c [ n (n−B ) B(1−B∙ n )3 R ]ret

Cuando la velocidad es pequeña frente a la de la luz el campo de aceleración se reduce a

V v °= a

(coshv−cosu )v

V ∅ °= asenhv

(coshv−cosu )∅

V= au(coshv−cosu )

u°+a v

(coshv−cosu )v°+

asenhv ∅(coshv−cosu )

∅°

Ea=e

4 π ϵ ° c [ n (n−B ) B(1−B ∙n )3 R ]ret

El flujo energético imantando

S=1

c u°E × B= 1

cu°|Ea|

2n

La potencia radiada por unidad de área es:

dPdΩ

= 1cu°

|R Ea|2= e16π 2ϵ ° c

|n× (n × B )|2

dPdΩ

= e16 π2 ϵ ° c3

|V|2 sen2Θ

P=∫ e16 π2 ϵ° c3

|V|2 sen2ΘdΩ

P=23

e4 π ϵ ° c3

|V|2

Pero F=m a2; donde|V|2=a2

Entonces

P=23

e4 π ϵ ° c3

F2

m2

Para el caso de un movimiento lineal

P=23

e2

c3F2

m2

La pérdida de energía por radiación en cada revolución es ∂ E=P entonces si queremos hallar la

energía∂ E=23

e2

c3F2

m2 entonces integramos ∫ dE=∫ 23e2

c3F2

m2 con un determinado tiempo t

se obtiene la siguiente integral.

E=23

e2

c31m2∫

0

t

F2dt

Y la partícula viaja del punto inicial x0 hasta el punto final x la energía de radiación debe ser proporcional a la distancia recorrida por lo tanto

E=23

e2

c31

m2∫0

t

F2dt=∫x°

x

F rad ∙ dx

Tenemos que dx=vdt (por ser lineal)

23

e2

c31

m2∫0

t

F2dt−∫0

t

F rad ∙ vdt=0

Si se mueve en la dirección z la partícula cargada y si tuviéramos la fuerza externa en la misma

dirección se tendría:

23

e2

c31

m2∫0

t

(F¿¿2−Frad ∙ v)dt=0¿

y

x

zv(q)

Θr= 0

FradV= ( 0, 0, V)

F= (0 , 0 ,F)

γ= 1

√1− v2

c2Por la relatividad

P=mγV

β= vc

Termino de Lorentz

d ( mγV )dt

=F−λ° F2

v2V entonces γ d (mV )

dt=F−

λ° F2

v2V

d (mV )dt

=(F−λ° F2

v2V )1γ

d (mV )dt

=F (1− λ ° F2

v2V )(1− v2

c2 )1 /2

; Vv=n

d (mV )dt

=F (1− λ ° F2

vn)(1− v2

c2 )1/2

Intervalo [0,t]ɛ R

dPdt

=F−λ° F2

v2V

d (mV )dt

=F (1− λ° F2

v )(1− v2

c2 )1/2

Si ∫0

t

(¿ λ° F2−F radV )dt=0¿

λ° F2−F rad V =0 ;F rad V|F rad||V|cosθr

Según la grafica

La fuerza de radiación amortiguada para esta modificación tendríamos por definición

Pero por la fuerza de R.A. tenemos que:

Resolviendo esta ecuación diferencial con el programa wolframalpha obtenemos la solución

entonces λ° F2−|F rad||V|cosθr=0

Despejando F rad=λ° F2

Vcosθ r

F rad=− λ° F2

v2

Vv

=n

F rad=− λ° F2

v2V

F rad=λ° F2

v2V

F rad−λ° F2

v2V =0

d ( mγV )dt

=F−λ° F2

v2V

f ( β ,F )−f ( β0 , F )+g ( β , F )−g ( β0 , F )= Ftmc

Donde β y βo se han definido comoβ= vc

y βo=vo

c,con vo que indica la condición inicial de

movimiento. Las funciones f y g se han definido como.

f ( β , F )=[1−( λ0F

c )2](β−

λ0Fc )+ 2λ0

C

[1−( λ0Fc )

2]√1−β2

g ( β , F )=−

λ0 Fc

[1−( λ0Fc )

2

]32

ln[2(1−( λ0F

c )2

)−2 λ0Fc (β−

λ0 Fc )+2√1−( λ0 F

c )2

√1−β2

β−λ0F

c

]

Para el caso de un movimiento circular

P= 2e2

3m2c2F2

γ 2

Donde γ=(1−β )−1/2, y la energía total emitida en el intervalo de tiempo [0,t] С R es:

U= λ0∫0

t F2

γ2dt=∫

x0

x

F rad . d x

∫0

t

(λ0F2

γ 2−F rad ∙ v )dt=0

F rad=γ 0F2

v2γ 2v

Buscamos hacer un movimiento espiral

202 2

( ) 1vFd mv Fdt v

∫0

t

( λ0 F2 k−Frad . v )dt=0

Potencia de radiación lineal

P=2e2F2

3m2c3Potencia de radiación circular

P= 2e2

3m2c2F2

γ 2Buscamos una ecuación para una espiral sumamos potencial lineal y circular para obtener

P=2e2F2

3m2c3(1+ 1

γ2)

λ0=2e2

3m2 c3

1+ 1γ 2

¿k

P= λ0F2 k

La energía total emitida en un intervalo de tiempo [0,t]

U= λ0∫0

t

F2 kdt=∫x0

x

F rad . d x

Usando dx=vdt

U= λ0∫0

t F2

γ2dt=∫

x0

x

F rad . d xλ0F2k−F rad . v=0

λ0F2k=F rad . v

F rad=λ0 F2 kv cosθr

F rad=− λ0 F2 k

v2v

Concluiremos que la ecuación de la partícula cargada es:

d (m γ v)dt

=F−λ0 F2 k

v2v

d (m v)dt

=(F−λ0F2 k

v2v) 1

γ