MOVIMIENTO CON ACELERACIóN CONSTATE

SIMULADOR EN JAVA

Por Liliana Hernández

MOVIMIENTO CON ACELERACION CONSTATE

SIMULADOR EN JAVA

1. FUNDAMENTOS FÍSICOS:

Alonso & Finn (1979) afirman que el fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen, todos estos son fenómenos de movimiento. El papel del físico es descubrir las razones de todos estos movimientos, ya que existen una serie de reglas generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, sin importar cuál sea su naturaleza. Este conjunto de principios y la teoría que los sustenta se denomina mecánica.

La mecánica, que es la ciencia del movimiento, es también una de las áreas fundamentales de la física. La manera de comprender esta ciencia, hoy en día, se la debemos al genio Isaac Newton; sin embrago muchas personas más han contribuido a su avance, entre ellos Arquímedes, Galileo, Kepler y Descartes.

Para describir un movimiento, el observador debe definir un sistema de referencia con relación al cual se describe el sistema en movimiento. El sistema de referencia Inercial (O) es un sistema de referencia que está en reposo, también llamado sistema de laboratorio, donde la velocidad tiene un valor de 0m/s.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Consideremos que el eje 0X de la Gráfica 1 coincide con la trayectoria:

Gráfica 1: Trayectoria de un Movimiento Rectilíneo Uniforme

Supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en la posición A, siendo 0A= X, más tarde en el tiempo t’, se encuentra en B, siendo 0B= X’. La velocidad media entre A y B está definida por:

Ṽ= ∆ X∆ t

(1)

Para determinar la velocidad instantánea (V) que es la rapidez con que cambia el espacio en el tiempo,

V= lim∆t→0

∆ X∆ t

(2)

V=dXdt

(3)

Resolviendo la ecuación (3):

∫X 0

X

dX=∫0

t

Vdt (4)

Si V es constante: X=X0+Vt (5)

Si V no es constante aparece el concepto de aceleración (a):Teniendo así para la aceleración media:

ā=∆V∆ t

(6)

Para determinar la aceleración instantánea (a):

a= lim∆t →0

∆V∆ t

(7)

a=dVdt

(8)

Resolviendo la ecuación (8):

∫V 0

V

dV=∫0

t

a dt (9)

Si a es constante, se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV):

V=V 0+at (10)

Ahora, remplazando la ecuación (3) en la ecuación (10) obtenemos:

dXdt

=V 0+at (11)

Resolviendo:

∫X 0

X

dX=∫0

t

(V 0+at )dt (12)

X=X0+V 0 t+12a t2 (13)

Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el movimiento se denomina RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO, mientras que si los signos son opuestos, es un movimiento RECTILINEO UNIFORMENENTE RETARDADO.

Tomando algunas de las ecuaciones anteriores, se encuentra otra ecuación para los movimientos rectilíneos uniformemente variados:

V 2−V 02=±2aX (14)

INTERPRETACIONES GRÁFICAS DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO: Al graficar en cada uno de los movimientos la posición en función del tiempo, la velocidad en función del tiempo y la aceleración en función del tiempo, se obtiene:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE

ACELERADO

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE

RETARDADOX→f ( t)

Gráfica 2

X→f ( t)

Gráfica 3

X→f ( t)

Gráfica 4

V →f (t) V →f (t) V →f (t)

Gráfica 5 Gráfica 6 Gráfica 7

a→f (t)

Gráfica 8

a→f (t)

Gráfica 9

a→f (t)

Gráfica 10

2. USO DE UN SIMULADOR COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA:

Link: http://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm

Este applet Java muestra un automóvil moviéndose con una aceleración constante. El panel de control verde contiene cuadros de texto en los cuales se pueden modificar los valores de la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración (no olvidar que se tiene que presionar la tecla "Enter"). Utilizando los botones de la parte superior derecha puedes regresar el automóvil a su posición inicial o detener y reanudar la simulación. Si se selecciona la opción "Animación lenta", el movimiento será diez veces más lento.

Tres relojes digitales indican el tiempo que transcurre desde el inicio. Tan pronto como el automóvil alcance respectivamente la barrera verde y roja con su defensa delantera, el reloj correspondiente se detendrá. Ambas barreras no están fijas se pueden arrastrar manteniendo presionado el botón del ratón.

Tres diagramas ilustran el movimiento del vehículo:

Posición x vs Tiempo t Velocidad v vs Tiempo t Aceleración a vs Tiempo t

Gráfica 11: Pantalla inicial del simulador

Al hacer clic en el botón ubicado en el panel (verde) de opciones, de la pantalla inicial del simulador, y sin modificar las variables: Posición inicial, Velocidad inicial y Aceleración, se observa que:

En una primera etapa, como se observa en la Gráfica 12, el automóvil avanza sobre el eje X, mientras que las gráficas, ubicadas en la parte inferior, se elaboran de forma simultánea al movimiento. Para detener el movimiento usamos en botón ubicado en el panel (verde) de opciones.

Gráfica 12: Ejemplo 1.

La primer grafica corresponde a la posición en función del tiempo, que para este caso es una curva creciente iniciada en el origen del eje coordenado, puesto que su posición inicial fue 0 m y su tiempo inicial fue 0 s. Como es creciente, se deduce que el auto se mueve con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Comprobamos la información mostrada en la gráfica al observar el tiempo transcurrido en los relojes digitales y la posición del automóvil sobre el eje X para el momento en el que se pauso el movimiento.

La segunda grafica corresponde a la velocidad en función del tiempo, para este ejemplo, es una recta que parte del origen del eje coordenado, por las condiciones iniciales del ejemplo. Como es una recta creciente, también se deduce que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Además, la pendiente de esta recta es la aceleración del automóvil.

La tercer grafica corresponde a la aceleración en función del tiempo, siendo en este caso una recta paralela al eje X, ya que es un movimiento con aceración constante, observando en la gráfica que esta aceleración es de 1 m/s2.

Cada gráfica dibuja un punto al finalizar su construcción, este corresponde al momento en el que se pausa el movimiento.

Ahora, haciendo clic en el botón el automóvil continúa con su movimiento, igualmente, las gráficas continúan con su elaboración. Cuando el auto llega a la posición X= 25m, que fue donde se fijó la barrera verde, se detendrá allí en movimiento usando el botón PAUSA. Se observa lo siguiente:

Gráfica 13: El automóvil llega a la barrera Verde.

Las tres graficas no cambian de características, siguen con sus rasgos descritos anteriormente, solamente que en este momento, el reloj de color verde se detendrá cuando el automóvil llegue a la posición X=25m que fue donde se colocó la barrera verde.

Observando que para llegar a esta posición, el automóvil se ha tardado 7,071 s. Además, llega a esta posición con una velocidad de 7,07 m/s y su aceleración sigue siendo constante e igual a 1m/s2.

Realizando el ejemplo teóricamente, para comprobar los datos generados por el simulador, se tendría que, según las condiciones:

X0= 0m

V0= 0m/s

a= 1m/s2

X= 25m

t= ?

V=?

Usando la ECUACIÓN 14, ya que es un movimiento con aceleración constante:

V 2−V 02=2aX (14)

Reemplazando por los datos del ejemplo:

V 2−(0 ms )2

=2(1 ms2

)(25m)

Despejando V:

V 2=(0 ms )2

+2(1ms2

)(25m)

V 2=2(25) m2

s2

V 2=50 m2

s2

V=√50 m2s2V=7,0710 m

s

Ahora, para encontrar el tiempo que se ha tardado el auto para llegar a esta posición, se emplea la ECUACIÓN 10:

V=V 0+at (10)

Reemplazando los datos del ejemplo:

7,0710ms=0 m

s+(1m

s2) t

Se despeja el tiempo t:

t=7,0710

ms

1m

s2

t=7,0710 s

Comprobando así que los datos que arrojo el simulador son correctos.

Continuando con el movimiento, se usa el botón REANUDAR para poner a andar nuevamente el automóvil y se pausa en el momento en el que llegue a la posición X= 50m. De este modo se observa lo siguiente:

Gráfica 14: El automóvil llega a la barrera roja.

Se observa que las gráficas continúan con su construcción y siguen dando las características al movimiento del auto. El reloj verde se detuvo y marca el tiempo que tardo el automóvil al recorrer 25m. El reloj rojo se detuvo al llegar a la posición X= 50m, y las gráficas muestran que para esta posición el tiempo es de 10s, la velocidad es de 10m/s y la aceleración (que es constante) es de 1m/s2.

Si se vuelve a hacer clic en el botón REANUDAR, el auto continúa moviéndose sobre el Eje X y las gráficas siguen con su elaboración, pero el automóvil ya no se alcanza a ver puesto que se sale del rango dispuesto por el simulador, como se observa en la Gráfica 15:

Gráfica 15: Auto en una posición muy lejana.

Cambiando las condiciones iniciales:

Para llevar el auto a la posición inicial del simulador se usa el botón y se cambiaran las condiciones iniciales del movimiento del automóvil, por ejemplo, para este segundo caso:

Un automóvil comienza a moverse con una velocidad inicial de 10m/s y una aceleración constante de 2m/s2. ¿Cuál es la velocidad del auto y la distancia recorrida al término de 4s?

Cambiaran las condiciones iniciales por las del problema:

Posición inicial: 0m

Velocidad inicial: 10m/s

Aceleración: 2m/s2

Sin olvidar dar ENTER al escribir la condición en cada una de las casillas disponibles, quedando el simulador como se observa en la Gráfica 15:

Gráfica 16: Segundo ejemplo.

Se hace clic en el botón INICIAR y se observa el movimiento detalladamente hasta que alguno de los relojes marque 7s para así resolver el problema, inmediatamente se detiene y se evalúan los datos que arroja el simulador:

Gráfica 17: Solución segundo ejemplo.

Encontrando con el uso del simulador que a los 4s el auto va a una velocidad de 14m/s y ha recorrido 47,99m. Además, el auto se mueve con un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, ya que en la gráfica de posición en función del tiempo, se construye una parábola que abre hacia arriba y en la gráfica de velocidad en función del tiempo se elabora una recta creciente.

Vector velocidad y vector aceleración:

El simulador permite elegir entre visualizar sobre el automóvil en movimiento el VECTOR VELOCIDAD y el VECTOR ACELERACIÓN, para hacerlo, se escoge la opción haciendo clic en el círculo que acompaña a cada una de ellas.

En los ejemplos anteriores se optó por ver el VECTOR VELOCIDAD, ilustrado mediante una flecha fucsia que nace del centro de gravedad del auto, como se observa en todas las imágenes anteriores:

Ahora, se contemplará para el segundo ejemplo la opción VECTOR ACELERACIÓN, resaltando el respectivo ítem:

Gráfica 18: Vector Aceleración

Partiendo del centro de gravedad del automóvil, se observa el vector aceleración que, recordando el ejemplo, le fue asignado como magnitud 2m/s2. De acuerdo a esto se concluye que el vector aceleración tiene el mismo sentido del vector velocidad.

Pero, ¿Qué sucederá con la situación del ejemplo si la aceleración del automóvil tiene sentido opuesto al de la velocidad? ¿Cuál es la velocidad del auto y la distancia recorrida al término de 4s?

Es decir, que en la casilla dispuesta para la aceleración, ubicada en el panel verde del simulador, se pondrá el valor -2m/s2, quedando así:

Gráfica 19: Segundo ejemplo, esta vez con aceleración con sentido opuesto a la velocidad.

Ahora, el VECTOR ACELERACIÓN se encuentra dirigido hacia el lado opuesto al VECTOR VELOCIDAD, ya que cambiamos su signo positivo por una aceleración negativa. Se inicia el movimiento y se detiene igualmente cuando alguno de los relojes llegue a 4s, observando que:

Gráfica 20: Solución segundo ejemplo, con aceleración con sentido opuesto a la velocidad.

Se observa que el auto a los 4s tiene una velocidad de 2m/s y ha recorrido 24m, con ayuda del simulador se encuentra una respuesta muy distinta a la del ejemplo cuando la aceleración va en el mismo sentido que la velocidad (Comprobar). A parte de esto, la gráfica de posición en función del tiempo traza una parábola que abre hacia abajo, la gráfica de velocidad en función del tiempo construye una recta decreciente (con pendiente negativa) y la de aceleración en función del tiempo es una recta paralela al eje de las abscisas (la aceleración es constate), indicando que se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado.

3. ACTIVIDADES:

a. Represente, con ayuda del simulador, el movimiento de un automóvil que se desplaza a lo largo del eje X, con una posición inicial igual a 5m, una velocidad inicial de 3m/s y una aceleración de 2m/s2. Determine la ecuación particular para expresar la velocidad y la posición del auto en cualquier instante del movimiento.

b. Encuentre analíticamente la velocidad y la posición del cuerpo del enunciado a. después de 5s de iniciado el movimiento y con ayuda del simulador compruébelo.

c. Un auto que parte del origen del sistema de referencia y que se mueve sobre el eje X, se encuentra a los 3s de iniciado el movimiento en la posición X= 12m y en t=5s se encuentra en X= 25m. teniendo en cuenta que la aceleración del movimiento es 1m/ s 2, encuentre con ayuda del simulador la velocidad con la que inicio el movimiento y luego justifíquela por medio de fundamentos físicos.

d. Un auto parte del reposo y se mueve con una aceleración de 1,5 m/s2 durante 10s. el conductor apaga entonces el motor y permite que el auto desacelere, debido a la fricción

ya al arrastre del aire durante 10 s con una aceleración de 0,005 m/s 2. Entonces aplica el freno y el auto queda en reposo durante 5s más. Calcule, con ayuda del simulador, la distancia total recorrida y analice las gráficas de posición en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en función del tiempo para cada uno de los momentos del recorrido del automóvil.

e. Realice un informe de cuatro páginas a cerca del simulador empleado como herramienta didáctica.

4. BIBLIOGRAFÍA:

Alonso M. & Finn E. (1970). Física. Volumen I Mecánica. Fondo Educativo Interamericano S. A.

Ohanian, H & Markert, J. (2009). Física para ingenieros y ciencias. Tercera edición. Mc Graw HILL.

SOLUCION ACTIVIDADES

a. Represente, con ayuda del simulador, el movimiento de un automóvil que se desplaza a lo largo del eje X, con una posición inicial igual a 5m, una velocidad inicial de 3m/s y una aceleración de 2m/s2. Determine la ecuación particular para expresar la velocidad y la posición del auto en cualquier instante del movimiento.

Sol:Representación con el simulador según las condiciones dadas por el problema

Determinación de la ecuación particular para la velocidad y la posición utilizando la ecuación

x=x0+v0+12at2

Ahora remplazamos con las condiciones dadas

x=5+3+ 122 t 2

b. Encuentre analíticamente la velocidad y la posición del cuerpo del enunciado a. después de 5s de iniciado el movimiento y con ayuda del simulador compruébelo.

Sol

Utilizando la ecuación

x=x0+v0+12at2